1. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(151) Um cone é circunscrito a duas esferas de raio 2 e 1. Sabendo que essas duas
esferas são tangentes exteriormente, determine o volume do sólido compreendido
entre o cone e essas duas esferas.
Solução
(152) Uma esfera de raio r circunscreve um cone equilátero. Um plano que secciona
a esfera e o cone paralelamente à base do cone determina duas secções de tal
modo que a diferença entre as áreas dessas secções é equivalente à área da base
do cone. Determine a distância da base do cone ao plano secção.
Solução
1

2. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
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(153) Um triângulo escaleno de lados 13 cm, 14 cm e 15 cm gira 360° em torno do
lado de 14 cm. Determine a área e o volume do sólido obtido.
Solução
2

3. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(154) Seja um triângulo de base “a” e altura “h”. Giramos o triângulo em um eixo
paralelo à base e que contém o baricentro do triângulo. Qual é o volume do sólido
gerado?
Solução
(155) Um triângulo isósceles ABC gira ao redor de uma reta paralela à base BC e
passando pelo seu vértice A. Determine o volume do sólido gerado, sabendo que a
base mede 3 cm e os lados congruentes medem 4 cm.
Solução
3

4. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
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(156) Consideremos um triângulo equilátero de lados 5 cm. Do ponto D, médio de
AB, traçamos a perpendicular DE até AC. Executando uma revolução completa em
torno de AC, calcule o volume do sólido gerado pela figura DECB.
Solução
4

5. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
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(157) Um paralelogramo de lados 27 cm e 12 cm e ângulo entre os lados de 60° gira
em torno de um eixo que contém o seu maior lado. Determine a área e o volume do
sólido obtido.
Solução
(158) As áreas laterais dos cilindros gerados por um mesmo retângulo que gira ao
redor de cada lado são iguais.
Solução
5

6. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
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(159) As diagonais de um losango de 5 cm de lado estão na razão 1:2. Ache o volume
do sólido que se obtém quando o losango dá um giro de 360° em torno de um de
seus lados.
Solução
(160) Um losango de lado 36 cm e ângulo agudo 60° gira em torno de um eixo
passando por um vértice e perpendicular à sua maior diagonal. Encontre a área e o
volume do sólido obtido.
Solução
6

7. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
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(161) Um trapézio ABCD retângulo em B tem por bases AB = 24 cm e CD = 13 cm e
por altura BC = 16 cm. Qual é o volume do sólido que se obtém quando este gira em
torno de AB?
Solução
7

8. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
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(162) Determine o volume do sólido obtido quando giramos um trapézio isósceles de
altura “h”, em torno da base maior, sendo a medida dessa base igual a “m” e 45° o
ângulo agudo do trapézio.
Solução
(163) Sabendo que OABCD é um semi-hexágono regular de
√
m de lado, calcule a
área da superfície gerada pela poligonal ABCD em rotação completa em torno do
diâmetro AOB.
Solução
8

9. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
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(164) Um triângulo gira 360° em torno de cada um de seus lados, gerando três
sólidos de volumes inversamente proporcionais aos lados do triângulo.
Solução
(165) Conhecendo a área A do triângulo gerador de um cone e a área B do cone,
calcule o apótema e o raio da base.
Solução
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10. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
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(166) Demonstre que, fazendo girar um triângulo qualquer em torno de um de seus
lados, o volume do sólido obtido é igual ao produto da área do triângulo pelo círculo
descrito pelo ponto de interseção das medianas.
Solução
(167) Quando um triângulo retângulo isósceles gira ao redor de uma reta conduzida
pelo vértice do ângulo reto, paralelamente à hipotenusa ele gera um volume
equivalente à esfera que teria a hipotenusa por diâmetro.
Solução
(168) As áreas laterais dos cones gerados por um mesmo triângulo retângulo que
gira em torno de cada cateto são inversamente proporcionais aos catetos fixos.
Solução
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11. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
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(169) Os volumes dos cones gerados por um triângulo retângulo que gira em torno
de cada cateto são inversamente proporcionais aos catetos fixos.
Solução
(170) Representando por
os volumes dos sólidos gerados por um triângulo
retângulo a, b, c quando gira respectivamente em torno da hipotenusa “a”, dos
catetos “b” e “c”, verifique a identidade:
.
Solução
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12. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
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(171) Um triângulo equilátero ABC tem lado “a”; por um ponto P da base BC traçamse as paralelas PR e OS, respectivamente, aos lados AB e AC, que concorrem com
AC e AB, respectivamente em R e S. Determine a distância x = PB, de modo que o
volume do sólido gerado pelo paralelogramo PRAS seja 2/3 do volume do sólido
gerado pelo triângulo ABC, quando a figura girar ao redor de BC.
Solução
(172) O volume de um cilindro circular gerado por um retângulo, de área A cm², é
de B cm³. Calcule o raio.
Solução
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13. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
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(173) Calcule as dimensões de um retângulo, sabendo que, se o fizermos girar
sucessivamente em torno de dois lados adjacentes, os volumes dos cilindros
gerados serão, respectivamente, V e V’.
Solução
(174) O volume do sólido gerado por um retângulo girando em torno de um eixo de
seu plano, paralelo a um de seus lados, e externo ao retângulo, é igual ao produto
da área do retângulo pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro do
retângulo.
Solução
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14. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
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(175) Um retângulo de dimensões “a” e “b” gira em torno de uma reta de seu plano,
paralela aos lados de medida “b” e cuja distância ao centro do retângulo é d a/2.
Determine a superfície total e o volume do sólido anular gerado pelo retângulo
Solução
(176) Um trapézio isósceles está inscrito em um círculo e suas bases se encontram
em semiplanos opostos em relação ao centro do círculo. Sendo as bases 12 cm e 16
cm e o raio do círculo 10 cm, determine o volume do sólido obtido pela rotação
completa do trapézio ao redor da base maior e o volume do cilindro obtido quando
giramos ao redor de um lado um quadrado que tenha a mesma área do trapézio.
Solução
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15. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
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(177) Consideremos um semicírculo ADC de centro O e de diâmetro AC = 2ª.
Prolongamos AO até um ponto B, tal que AO = AB; e pelo vértice B traçamos a
tangente MB ao semicírculo. Determine a medida BM e o ângulo M ̂ C compreendido
entre a tangente e o diâmetro prolongado. Depois calcule a área e o volume do
sólido obtido quando efetuamos uma rotação em torno de BO da figura BMO.
Solução
(178) A medida do raio de um círculo é 20 cm. Por um ponto P situado a 50 cm do
centro traçam-se duas tangentes ao círculo. Sejam A e B os pontos de tangência e
AB a corda obtida. Efetuando uma rotação do triângulo PAB em torno do diâmetro
paralelo a AB, obtemos um sólido. Calcule o volume desse sólido.
Solução
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16. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
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17. GEOMETRIA ESPACIAL – VII
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(179) Consideremos um hexágono regular inscrito em um círculo de raio R.
Efetuando uma rotação do círculo em torno de um diâmetro que passa pelos pontos
médios de dois lados paralelos do hexágono, calcule a razão entre os volumes
gerados pelo círculo e pelo hexágono.
Solução
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