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(153) Um triângulo escaleno de lados 13 cm, 14 cm e 15 cm gira...
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(154) Seja um triângulo de base “a” e altura “h”. Giramos o tr...
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(156) Consideremos um triângulo equilátero de lados 5 cm. Do p...
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(157) Um paralelogramo de lados 27 cm e 12 cm e ângulo entre o...
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(159) As diagonais de um losango de 5 cm de lado estão na razã...
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(161) Um trapézio ABCD retângulo em B tem por bases AB = 24 cm...
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(162) Determine o volume do sólido obtido quando giramos um tr...
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(164) Um triângulo gira 360° em torno de cada um de seus lados...
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(166) Demonstre que, fazendo girar um triângulo qualquer em to...
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(169) Os volumes dos cones gerados por um triângulo retângulo ...
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(171) Um triângulo equilátero ABC tem lado “a”; por um ponto P...
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(173) Calcule as dimensões de um retângulo, sabendo que, se o ...
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(175) Um retângulo de dimensões “a” e “b” gira em torno de uma...
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(7) geometria espacial vii

  1. 1. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (151) Um cone é circunscrito a duas esferas de raio 2 e 1. Sabendo que essas duas esferas são tangentes exteriormente, determine o volume do sólido compreendido entre o cone e essas duas esferas. Solução (152) Uma esfera de raio r circunscreve um cone equilátero. Um plano que secciona a esfera e o cone paralelamente à base do cone determina duas secções de tal modo que a diferença entre as áreas dessas secções é equivalente à área da base do cone. Determine a distância da base do cone ao plano secção. Solução 1
  2. 2. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (153) Um triângulo escaleno de lados 13 cm, 14 cm e 15 cm gira 360° em torno do lado de 14 cm. Determine a área e o volume do sólido obtido. Solução 2
  3. 3. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (154) Seja um triângulo de base “a” e altura “h”. Giramos o triângulo em um eixo paralelo à base e que contém o baricentro do triângulo. Qual é o volume do sólido gerado? Solução (155) Um triângulo isósceles ABC gira ao redor de uma reta paralela à base BC e passando pelo seu vértice A. Determine o volume do sólido gerado, sabendo que a base mede 3 cm e os lados congruentes medem 4 cm. Solução 3
  4. 4. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (156) Consideremos um triângulo equilátero de lados 5 cm. Do ponto D, médio de AB, traçamos a perpendicular DE até AC. Executando uma revolução completa em torno de AC, calcule o volume do sólido gerado pela figura DECB. Solução 4
  5. 5. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (157) Um paralelogramo de lados 27 cm e 12 cm e ângulo entre os lados de 60° gira em torno de um eixo que contém o seu maior lado. Determine a área e o volume do sólido obtido. Solução (158) As áreas laterais dos cilindros gerados por um mesmo retângulo que gira ao redor de cada lado são iguais. Solução 5
  6. 6. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (159) As diagonais de um losango de 5 cm de lado estão na razão 1:2. Ache o volume do sólido que se obtém quando o losango dá um giro de 360° em torno de um de seus lados. Solução (160) Um losango de lado 36 cm e ângulo agudo 60° gira em torno de um eixo passando por um vértice e perpendicular à sua maior diagonal. Encontre a área e o volume do sólido obtido. Solução 6
  7. 7. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (161) Um trapézio ABCD retângulo em B tem por bases AB = 24 cm e CD = 13 cm e por altura BC = 16 cm. Qual é o volume do sólido que se obtém quando este gira em torno de AB? Solução 7
  8. 8. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (162) Determine o volume do sólido obtido quando giramos um trapézio isósceles de altura “h”, em torno da base maior, sendo a medida dessa base igual a “m” e 45° o ângulo agudo do trapézio. Solução (163) Sabendo que OABCD é um semi-hexágono regular de √ m de lado, calcule a área da superfície gerada pela poligonal ABCD em rotação completa em torno do diâmetro AOB. Solução 8
  9. 9. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (164) Um triângulo gira 360° em torno de cada um de seus lados, gerando três sólidos de volumes inversamente proporcionais aos lados do triângulo. Solução (165) Conhecendo a área A do triângulo gerador de um cone e a área B do cone, calcule o apótema e o raio da base. Solução 9
  10. 10. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (166) Demonstre que, fazendo girar um triângulo qualquer em torno de um de seus lados, o volume do sólido obtido é igual ao produto da área do triângulo pelo círculo descrito pelo ponto de interseção das medianas. Solução (167) Quando um triângulo retângulo isósceles gira ao redor de uma reta conduzida pelo vértice do ângulo reto, paralelamente à hipotenusa ele gera um volume equivalente à esfera que teria a hipotenusa por diâmetro. Solução (168) As áreas laterais dos cones gerados por um mesmo triângulo retângulo que gira em torno de cada cateto são inversamente proporcionais aos catetos fixos. Solução 10
  11. 11. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (169) Os volumes dos cones gerados por um triângulo retângulo que gira em torno de cada cateto são inversamente proporcionais aos catetos fixos. Solução (170) Representando por os volumes dos sólidos gerados por um triângulo retângulo a, b, c quando gira respectivamente em torno da hipotenusa “a”, dos catetos “b” e “c”, verifique a identidade: . Solução 11
  12. 12. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (171) Um triângulo equilátero ABC tem lado “a”; por um ponto P da base BC traçamse as paralelas PR e OS, respectivamente, aos lados AB e AC, que concorrem com AC e AB, respectivamente em R e S. Determine a distância x = PB, de modo que o volume do sólido gerado pelo paralelogramo PRAS seja 2/3 do volume do sólido gerado pelo triângulo ABC, quando a figura girar ao redor de BC. Solução (172) O volume de um cilindro circular gerado por um retângulo, de área A cm², é de B cm³. Calcule o raio. Solução 12
  13. 13. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (173) Calcule as dimensões de um retângulo, sabendo que, se o fizermos girar sucessivamente em torno de dois lados adjacentes, os volumes dos cilindros gerados serão, respectivamente, V e V’. Solução (174) O volume do sólido gerado por um retângulo girando em torno de um eixo de seu plano, paralelo a um de seus lados, e externo ao retângulo, é igual ao produto da área do retângulo pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro do retângulo. Solução 13
  14. 14. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (175) Um retângulo de dimensões “a” e “b” gira em torno de uma reta de seu plano, paralela aos lados de medida “b” e cuja distância ao centro do retângulo é d a/2. Determine a superfície total e o volume do sólido anular gerado pelo retângulo Solução (176) Um trapézio isósceles está inscrito em um círculo e suas bases se encontram em semiplanos opostos em relação ao centro do círculo. Sendo as bases 12 cm e 16 cm e o raio do círculo 10 cm, determine o volume do sólido obtido pela rotação completa do trapézio ao redor da base maior e o volume do cilindro obtido quando giramos ao redor de um lado um quadrado que tenha a mesma área do trapézio. Solução 14
  15. 15. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (177) Consideremos um semicírculo ADC de centro O e de diâmetro AC = 2ª. Prolongamos AO até um ponto B, tal que AO = AB; e pelo vértice B traçamos a tangente MB ao semicírculo. Determine a medida BM e o ângulo M ̂ C compreendido entre a tangente e o diâmetro prolongado. Depois calcule a área e o volume do sólido obtido quando efetuamos uma rotação em torno de BO da figura BMO. Solução (178) A medida do raio de um círculo é 20 cm. Por um ponto P situado a 50 cm do centro traçam-se duas tangentes ao círculo. Sejam A e B os pontos de tangência e AB a corda obtida. Efetuando uma rotação do triângulo PAB em torno do diâmetro paralelo a AB, obtemos um sólido. Calcule o volume desse sólido. Solução 15
  16. 16. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves 16
  17. 17. GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves (179) Consideremos um hexágono regular inscrito em um círculo de raio R. Efetuando uma rotação do círculo em torno de um diâmetro que passa pelos pontos médios de dois lados paralelos do hexágono, calcule a razão entre os volumes gerados pelo círculo e pelo hexágono. Solução 17

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