Estudo de álgebra para blog - pdf

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Estudo de álgebra para blog - pdf

  1. 1. Estudo de Álgebra– 6°ano – 2012 - fevereiro, março e abril (1°Trimestre)Prof. Thiago MatosConteúdo  Sistemas de numeração: - Egípcio - Babilônico - Romano - Indo-arábico  Números naturais  Propriedades - Associativa - Comutativa - Existência do elemento neutro - Distributiva  Algoritmos - Da adição - Da subtração - Da multiplicação - Da divisão  Sistema de numeração é uma maneira de representar, organizar e identificar os números através de símbolos. É uma identidade numérica.
  2. 2. Sistema de numeração egípcioSímbolos representativos:Obs.  É um sistema decimal.  Não é posicional.  É um sistema aditivo. Exemplo: = 101.021
  3. 3. Sistema de numeração babilônico = Equivale a 1 ou a 60 = Equivale a 10 ou 60Obs.  É considerado o primeiro sistema numérico posicional  É um sistema “hexagenário” (com base de 60)  É um sistema aditivo Exemplos 2= 4= 9= 12= 20 = 50=
  4. 4. 60 =61 =123=600 = Portanto = 1 ou 60 = 2 ou 120 ... = 10 ou 600 Sistema de numeração romanoRepresentação Valores I 1 V 5 X 10 L 50
  5. 5. C 100 D 500 M 1.000Obs.  É um sistema representativo, mas não é de base.  É posicional  Aditivo  Subtrativo Exemplos: II = 2 IV= 4 VII= 7 IX = 9 XIX= 19 XLIX = 49 XCIX = 99 CDXC= 490 CDXCIX= 499 Propriedades do sistema romano Propriedade 1 - O sistema romano também é subtrativo: as quantidades podem subtrair outras, ou seja, só podemos subtrair com as seguintes quantidades: I, X, C.
  6. 6. Propriedade 2 -A) Só podemos retirar I das quantidades V e X. -B) Só podemos retirar X das quantidades L e C. - C) Só podemos retirar C das quantidades D e M. Propriedade 3MMM = 30003999 = MMMCMXCIX5000 = V6000 = VI4000 = IV194. 949= CXCIV CMXLIX Sistema de numeração indoarábicoObs.  É um sistema de numeração decimal  É um sistema de numeração posicional de base (base “dez”)  É um sistema aditivo  O uso do “zero” para representar a ausência de quantidade  Foram criados “dez” símbolos primitivos para representar todas as quantidades. o 0 – representa nenhuma quantidade, ausência de quantidade. o 1 – representa “uma” quantidade. o 2 – 1+1 o 3 – 1+1+1 o 4 – 1+1+1+1 o 5 – 1+1+1+1+1 o 6 – 1+1+1+1+1+1 o 7 – 1+1+1+1+1+1+1
  7. 7. o 8 – 1+1+1+1+1+1+1+1 o 9 – 1+1+1+1+1+1+1+1+1  O sistema de numeração idoarabico é organizado da seguinte maneira: - Sempre fazemos agrupamentos de “dez” em “dez”. Ex.: a) = 3 = 1+1+1 = três b) Como eu escrevo este número? 1 3 ___ ___ 3 3 UNIDADESUm agrupamento de“dez”UNIDADES. 2°Posição:Ou seja, 1 quantidade de DEZENA. Quantidade 1° Posição: de dezenas. quantidade de unidades.
  8. 8. c) Como eu escrevo este número? 3 6 ___ ___ 2°Posição: DEZENAS 1°Posição: UNIDADES
  9. 9.  Como fazer para representar quantidades acima de dez quantidades de DEZENAS?100 50 1 5 2 ______ _______ _______ _______ 2 1° posição: número de unidades. 4°posição: quantidad 3°posição: e de dez quantidade 2°posição: “caixotes” de dez centenas, número de “pacotinhos” ou seja o dezenas. de dezenas, milhar. ou seja, a centena.
  10. 10.  Classe e ordem de um número Ex.: 1 4 3 . 7 3 0 . 2 5 9 ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ Classe dos bilhões Classe dos milhares Classe das unidades simples EXEMPLO COM TABELA,COMPLETE COM OS NÚMEROS NA CASA CERTA: Classe dos Classe dos Classe dos milhares Classe das bilhões milhões unidades simplesOrdem 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 C D U C D U C D U C D U N Ú M E R O  Os números naturais Vimos até agora que nosso sistema numérico é composto por dez símbolos primitivos chamados de algarismos. Algarismos= símbolo primitivo, estes são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9.  Podemos definir uma “relação” que permite acumular as quantidades associadas a cada símbolo
  11. 11. do sistema decimal. Indicaremos essa relação pelo símbolo +.  O: não representa quantidade  1: representa uma única quantidade, ou seja, um único objeto de contagem.  2: 1+1 = é o acúmulo de duas quantidades.  3: 1+1+1 ou 1+2  4: 1+ 1+1 +1 ou 1+3  ... Sequencia dos números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,... ... +1 +1 +1 +1 +1 Não conseguimos adicionando dessa maneira chegar, por exemplo, ao número “3,5”, porque 3,5 não é um número natural. Obs.  Esta sequencia não tem fim, ela é infinita.  Todos os números desta sequência são números inteiros (naturais), por isso formam o que chamamos de CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS. Representamos este conjunto assim:IN 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12, 13... Representação do conjunto, símbulo de representação.O 0 é o mínimal, isto é, o menor número do conjunto.
  12. 12. Operações fundamentais nos naturaisQuais são?Adição: (+) operação que acumula quantidades, relação entre duas oumais “quantidades de objetos”, estes objetos são os mesmos, ou seja, sãohomogêneos.Multiplicação: (x ou .) operação que repete quantidades acumuladas.Representa dois diferentes objetos, sendo o primeiro o índice ( indica asvezes que o número irá se repetir), e o outro é a quantidade ( objeto)repetida pelo índice. Uma operação é fundamental no conjunto quando todasas suas respostas sempre estarão dentro do conjunto. Ex.: 13+10=33, este número está no conjunto. 13-10= -3, este número não está noconjunto.  As propriedades São axiomas, ou seja, leis da matemática que não se questionam, se aceitam. 1°propriedade- Associativa Ex.: (2+3) + 7 = 2 + (3+7) (2x3) x 7 = 2 x (3 x 7) Obs.  A ordem em que eu somo ou multiplico não altera o resultado final.  A propriedade é válida apenas quando há somente multiplicação ou só adição.
  13. 13. 2°propriedade – Comutativa Ex.: 12+5 = 5+12 12x5 = 5x12 Obs. Nas operações que envolvam somente adição ou somente multiplicação tanto faz a ordem em que os números aparecem, ou seja, eu posso trocar a ordem dos números. 3°propriedade – Existência do Elemento Neutro Qual é o número que A+?= A, ou seja, o número neutro da adição,Ex.: que mesmo quando somo este número mais outro número, o resultado sempre será o outro número. a) 27+? = 27 b) 9+? = 9 Este número, ou seja, o elemento neutro da adição, é o número 0 (zero). Porque (ex.):  27+0 = 27  9+ 0 = 9  A+0 = A Qual é o número que A ×?= A, ou seja, o número neutro da multiplicação, que mesmo quando somo este número mais outro número, o resultado sempre será o outro número. c) 103×? = 103 Este número, ou seja, o elemento neutro da multiplicação, é d) ?×1234 = 1234 o número 1 (um). Porque (ex.):  103×1= 103  1×1234= 1234  A×1 = A Mas quanto vale A?? Não importa, porque qualquer coisa multiplicada ou adicionada pelo elemento neutro permanece o mesmo número, ou seja, A.
  14. 14. 4°propriedade – Distributiva 3EX.: a) 3 x (7 x 15) = ( 7 + 15) + (7 + 15) + (7 + 15)  7 + 15 + 7 + 15 + 7 + 15  Como a conta virou apenas adição, podemos aplicar as propriedades associativa e comutativa, por isso podemos fazer algo assim:  7 + 7 + 7 + 15 + 15 +15  (3 x 7) + ( 3 x 15)  21 + 45  66 Com isso nós dividimos, isto é, distribuímos o x3 em (7+15) + (7+15) + (7+15). E assim vai o processo. Se você não entendeu, tente acompanhar este outro processo distributivo: b) 2 x ( 9 + 29) =  9 + 9 + 29 + 29  (2x9) + (2x29)  18 + 58  76 Por isso podemos afirmar que a propriedade distributiva realiza isso: a) A x (B + C) = A x B + A x C b) A x (B + C + D) = A x B + A x C + A x D c) (A+B) x (C+D) = A x C + A x D + B x C + B x D
  15. 15. Outro exemplo em que é usada a propriedade Distributiva: a) 2 x 38 = 2 x ( 30 x 8) 2 x 30 + 2 x 8  Algoritmos Algoritmo= sequência de procedimentos que levam a um objetivo, maneira de efetuar contas grandes, é como uma “receita de bolo” é necessário seguir todos os procedimentos para chegar a um resultado. Algoritmo da adição O que é adição? Adição é um acúmulo de quantidades homogêneas. Soma= relação dentre quantidade de um determinado objeto, elemento. Ou seja, a soma é a relação entre quantidades de MESMOS objetos, ou seja de quantidades homogêneas. 135 + 389 Para entender melhor o processo, vamos criar uma nova simbologia para expressar quantidades decimais, para entender o que é somar 135 + 389. = pacote de centenas = pacote de dezenas = pacote de unidades Ou seja: A cada 10 =1 A cada 10 =1 Por isso:o 135 = 1x100 (1x ) + 3 x 10 ( 3x ) + 5x1 ( 5x )
  16. 16. o 389 = 3x100 (3x ) + 8x10 (8x )+ 9x1 (9x ) Vamos transformar isso em um algoritmo: 135 + 389 v v v v v v v v v v v v c v v c v v v v v v v v v C D U v ¹1 ¹3 5 3 8 9 5 2 4Algoritmo da subtração Indicaremos o símbolo da subtração assim: - (menos).  Agora nós vamos fazer o contrário do que estávamos fazendo, em vez de
  17. 17. adicionar, isto é, acumular quantidades homogêneas, em vez de ganha-las perdê-las.  A subtração além de ser um algoritmo que exerce a perda de quantidades, também pode nos ajudar a comparar quantidades, ou seja, ver quanto elas têm de diferença. Quanto um número é maior que outro. Ex.: Comparação  6-3= 3. Para chegar em seis de três só me falta 3 algarismos. Perda  7-3= 4.Comprei 7 balas e dei 3 para minha irmã. Fiquei apenas com 4 balas.Quando um número é maior que outro, como eu sei que “este”número é maior que “este”?Um número é menor que outro quando ele consegue, com outro númeroou com ele mesmo alcançar a quantidade maior. Ex.: 3 ≥ 2, por quê?Porque 2+1= 3. Algoritmo da multiplicaçãoVamos representar a multiplicação assim: x ou . (vezes).Multiplicação= relação entre uma quantidade de objetos equantidade de repetições, probabilidades e disposição retangular.  Repetições:EX.: 2 x 3= 3+3Este número é Elemento (objeto)o índice, ouseja, ele indica OU a ser repetidaa quantidade pelo índice,de repetições 3x2= 2+2+2 quantidade dedo objeto, objetos,elemento. elementos.
  18. 18. Outros exemplos: a) 3x14 = 14 + 14 + 14 = 42 b) 2x10= 10 + 10 = 20 c) 3x5 = 5 + 5 + 5 = 15 d) 3x140 = 140 + 140 +140 = 420 o Multiplicação com 0 como último algarismo Ex.:  Tente entender estas relações: a) 2x1= 1+1 = 2 b) 2x10 = 10+10 = 20 c) 2x100 = 100+100 = 200 d) 2x1000 = 2.000 e) 3x14 = 14 + 14+ 14 = 42 f) 3x140 = 140+140+140 = 420 g) 30x14 = 3x10x14 = 3x14x10 = 42x10 = 420 Preste atenção nos exemplos e, f, g. Perceba que só acrescentando o zero nos fatores, no resultado também é acrescido zero, portanto se sei fazer, por exemplo, 3x14, sei fazer 30x14 ou 3x140 ou 3x1400 ou 300x14... O número vai apenas ganhando posições, que tende a ser completadas por zero. Quando principalmente, multiplico por 10, 100 ou 1000. Quando multiplico por 10, ganho uma posição; quando multiplico por 100, ganho duas posições e quando multiplico por 1000, ganho três posições... Porque o zero não está indicando quantidades, apenas posição. Ele “empurra” o número.
  19. 19. Probabilidade Para entender melhor, seguiremos com alguns exemplos. Esta parte de probabilidade é extra e nós ainda não aprendemos. -Considere cinco meninas: Laura, Júlia, Márcia e Cláudia disputando um campeonato de xadrez. Quais e quantos são todos os possíveis resultados deste campeonato? Este é um exemplo de permutação, em que a ordem IMPORTA e altera o resultado. ______ ______ _____ ______ ______ ______1° lugar 2°lugar 3°lugar 4°lugar 5°lugar TOTAL5 4 3 2 1 possiblidadepossibilidades possibilidades possibilidades possibilidades 120 possibilidades5x 4x 3x 2x 1x 5x4x3x2x1 - Cinco amigas (Marcela, Teresa, Jéssica, Elga e Eleonor) podem fazer quantas duplas para participar de um campeonato de tênis de mesa. Este é um exemplo de combinação, pois a ordem não importa, não altera o resultado. Devemos multiplicar 2x5 (cinco amigas que cada qual faz uma dupla e isso não importa a ordem). Ao invés de fazer: Marcela e Teresa Teresa e Eleonor Marcela e Jéssica Jéssica e Elga Marcela e Elga Jéssica e Eleonor Marcela e Eleonor Elga e Eleonor Teresa e Jéssica Teresa e Elga
  20. 20. Disposição retangular 5 ×Ex.:5x8= 40, ao invés de contarmos cadaquadradinho, simplesmentemultiplicamos o número de colunas vezeso número de linhas. 8Porém, observe que parte foi tirada, nãoexiste mais, por isso devemos fazer isso 5x8-4= 36.

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