Mat - Banco de 101 questões

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Mat - Banco de 101 questões

  1. 1. EU TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS QUANDO EU TINHA A TUA IDADE. QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DASNOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES??? TINHAS uma idade que chamaremos de x e hoje TEM uma idade que chamaremos de y.Eu TENHO o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade atual y (o dobro de x) , ou seja, eu TENHO 2x anos. ENTÃO: Tu TINHAS x e agora tem y. Eu TINHA y e agora tenho 2x. Portanto temos que: y-x = 2x-y 2y=3x x=(2/3)*y ENTÃO, substituindo o valor de x, temos: Tu TINHAS (2/3)*y e agora tem y.Eu TINHA y e agora tenho (4/3)*y. Agora preste atenção na segunda frase: QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. Tu tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3)*y, deve-se somar a tua idade y com mais (1/3)*y. Somando y + (1/3)*y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3)*y. Como somamos (1/3)*y à sua idade, devemos somar à minha também, ou seja: Agora eu tenho (4/3)*y + (1/3)*y, logo eu tenho (5/3)*y. A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos: (4/3)*y + (5/3)*y=45 (9/3)*y=45 3y=45 y=15 No início descobrimos que x=(2/3)*y, portanto x=(2/3)*15, logo x=10.
  2. 2. FINALMENTE: QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES??? COMO DISSEMOS NO INÍCIO, A TUA IDADE ATUAL É y, OU SEJA, 15 ANOS. E A MINHA IDADE É 2x, OU SEJA, 2.10, QUE É IGUAL A 20 ANOS. PORTANTO AS IDADES SÃO 20 E 15 ANOS!!! UM AUTOMÓVEL COMPORTA DOIS PASSAGEIROS NO BANCO DA FRENTE E TRÊS NO BANCO DE TRÁS. CALCULE O NÚMERO DE ALTERNATIVAS DISTINTAS PARA LOTAR O AUTOMÓVEL UTILIZANDO 7 PESSOAS, DE MODO QUE UMA DESSAS PESSOAS NUNCA OCUPE UM LUGAR NOS BANCOS DA FRENTE. O PROBLEMA SE RESOLVE DA SEGUINTE MANEIRA: São 7 pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente. Vamos chamar essa pessoa de João, por exemplo.Então primeiro vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel SEM o João, usando apenas as outras seis pessoas: Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de 6 elementos, tomados 5 a 5: A6,5= 720 Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel COM o João.Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve estar em um dos três bancos de trás.Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4 lugares no carro), e depois calculamos o número de maneiras de colocar as outras 6 pessoas nesses 4 lugares, ou seja, um arranjo de 6 elementos, tomados 4 a 4: A6,4= 360 O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás, portanto devemos multiplicar esse resultado por 3: 3 x A6,4= 3 x 360 = 1080 O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos (COM João e SEM João). Portanto número total é 720+1080 = 1800 maneiras!!!
  3. 3. AS IDADES DE DUAS PESSOAS HÁ 8 ANOS ESTAVAM NA RAZÃO DE 8PARA 11; AGORA ESTÃO NA RAZÃO DE 4 PARA 5. QUAL É A IDADE DA MAIS VELHA ATUALMENTE? solução é a seguinte: Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova. Chamaremos de x a idade da pessoa mais velha. O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4 para 5. Então: y/x = 4/5 (equação 1) O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11. Então: (y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2) Isolando y na equação 1: y = 4x/5 Colocando esse valor de y na equação 2 temos: ((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11 (4x/5)-8 = 8/11.(x-8) Fazendo o mmc dos dois lados temos: (4x-40) / 5 = (8x-64) / 11 11.(4x-40) = 5.(8x-64) 44x-440 = 40x-320 44x-40x = 440-320 4x = 120 x= 30 Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!!EXISTEM N TRIÂNGULOS DISTINTOS COM OS VÉRTICES NOS PONTOS DA FIGURA. QUAL É O VALOR DE N ?
  4. 4. Podemos notar que a figura é parecida com um "A". Temos 13 pontos no total. Portanto o total de combinações entre eles é: C13,3 = 286 Porém, nós queremos apenas as que formam triângulos, então temos que subtrair todas as combinações que não formam triângulos, ou seja, as combinações em que os pontos são COLINEARES. Temos 3 situações onde isso acontece: Na "perna esquerda" do "A", temos 6 pontos colineares que não podem ser combinados entre si, pois não formam triângulos. Na "perna direita" do "A", temos a mesma situação. E no meio temos 4 pontos colineares que também não podem ser combinados entre si. Temos que subtrair essa 3 situações do total. Então o número de triângulos que podem ser formados é: C13,3 - C6,3 - C6,3 - C4,3 = 286 - 20 - 20 - 4 = 242 Portanto podem ser formados 242 triângulos distintos!!!UM HOMEM GASTOU TUDO O QUE TINHA NO BOLSO EM TRÊS LOJAS. EM CADA UMA GASTOU 1 REAL A MAIS DO QUE A METADE DO QUE TINHA AO ENTRAR. QUANTO O HOMEM TINHA AO ENTRAR NA PRIMEIRA LOJA?que quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais. Então o nosso objetivo é achar o valor de N. O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar. LOJA 1 LOJA 2 LOJA 3O homem entrou com N. O homem entrou com (N-2)/2 O homem entrou com (N-6)/4
  5. 5. O homem GASTOU: O homem GASTOU: O homem GASTOU:(N/2)+1. ( (N-2)/2 )/2 + 1 = (N-2)/4 + 1 = ( (N-6)/4 )/2 + 1 (N+2)/4 = (N-6)/8 + 1Portanto o homem FICOU com: = (N+2)/8 Portanto o homem FICOU com:N - ((N/2)+1)= N-(N/2)-1 (N-2)/2 - ((N+2)/4)= (2N-N-2) / 2 = (2N-4-N-2) / 4= (N-2)/2 = (N-6)/4 Portanto o homem FICOU com ZERO REAIS, porque o problema diz que ele gastou tudo o que tinha nastrês lojas. Então concluímos que o dinheiro que ele ENTROU na loja 3 menos o dinheiro que ele GASTOU na loja 3 é igual a ZERO: (N-6)/4 - ((N+2)/8) = 0 (2N-12-N-2) / 8 = 0 2N-12-N-2 = 0 N-14 = 0 N = 14 PORTANTO, QUANDO O HOMEM ENTROU NA PRIMEIRA LOJA ELE TINHA 14 REAIS !!! Solução alternativa enviada por Ilydio Pereira de SáVamos representar através de um fluxo, o que ocorreu desde sua entrada na 1ª loja, até a saída na últimae em, seguida, percorrer o fluxo de "trás para frente", aplicando operações inversas. Cabe lembrar que aquantia que tinha ao entrar em cada loja (que representarei por N1, N2 e N3) fica sempre dividida por 2 e,em seguida, subtraída de 1 real.(N1)/2 - 1 (saiu da loja 1 com N2)(N2)/2 - 1 (saiu da loja 2 com N3)(N3)/2 - 1 (saiu da loja 3 com zero, já que gastou tudo o que possuía).Aplicando operações inversas, teremos do fim para o início:(0 + 1) x 2 = 2(2 + 1) x 2 = 6(6 + 1) X 2 = 14
  6. 6. Logo, possuía ao entrar na 1ª loja R$14,00. DETERMINE O MENOR NÚMERO NATURAL CUJA: • DIVISÃO POR 2 TEM RESTO 1; • DIVISÃO POR 3 TEM RESTO 2; • DIVISÃO POR 4 TEM RESTO 3; • DIVISÃO POR 5 TEM RESTO 4; • DIVISÃO POR 6 TEM RESTO 5; • DIVISÃO POR 7 TEM RESTO 0. Suponhamos que estamos procurando o número X. Observe essas condições exigidas pelo problema: X dividido por 2 dá resto 1. X dividido por 3 dá resto 2. e assim por diante até: X dividido por 6 dá resto 5. Então podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o divisor. Isso significa que o número seguinte ao número X, ou seja, X+1, será divisível por 2,3,4,5 e 6. Bom...já que X+1 é divisível por esses cinco números, então o número X+1 pode ser igual a 4x5x6=120. Portanto, se X+1 é igual a 120, o número X que estamos procurando é 119, que também é divisível por 7. CONSIDERE OS NÚMEROS OBTIDOS DO NÚMERO 12345, EFETUANDO- SE TODAS AS PERMUTAÇÕES DE SEUS ALGARISMOS. COLOCANDOESSES NÚMEROS EM ORDEM CRESCENTE, QUAL É O LUGAR OCUPADO PELO NÚMERO 43521? Colocando-se as permutações obtidas pelos 5 algarismos em ordem crescente: 1xxxx => P4 = 4! = 24 2xxxx => P4 = 4! = 24 3xxxx => P4 = 4! = 24 41xxx => P3 = 3! = 6 42xxx => P3 = 3! = 6
  7. 7. 431xx => P2 = 2! = 2 432xx => P2 = 2! = 2 4351x => P1 = 1! = 1 Somando todas elas: 24+24+24+6+6+2+2+1 = 89 Então o número 43521 está na posição 89+1 = 90. Resposta: O número 43521 está na 90º posição.Num sítio existem 21 bichos, entre patos e cachorros. Sendo 54 o total de pés desses bichos, calcule a diferença entre o número de patos e o número de cachorros. O total de patos e cachorros é 21: P+C = 21 O total de pés é 54. Patos tem 2 patas e cachorros tem 4 patas. então: 2P+4C = 54 Portanto temos duas equações. Isolando P na primeira temos: P = 21-C Substituindo na segunda equação temos: 2(21-C)+4C = 54 42-2C+4C = 54 2C = 54-42 2C = 12 C=6 Agora basta encontrar o P: P = 21-C P = 21-6 P=15
  8. 8. Há 15 patos e 6 cachorros, portanto a diferença é 15-6 = 9.Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro? Sendo N o número de páginas do livro, temos: N/5 = (N/3)-16 (N/5)-(N/3) = -16 (3N-5N)/15 = -16 3N-5N = -16*15 -2N = -240 N = 120 O livro possui 120 páginas!Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z? são números de 2 algarismos, que somados resultam o número de três algarismos zxz. xy+yx = zxz O maior número que pode ser formado somando dois números de 2 algarismos é: 99+99 = 198 Ora, se o número zxz é de 3 algarismos, e o maior número que ele pode ser é 198, então concluímos que z=1.
  9. 9. Se z=1 o resultado da soma é 1x1. Os valores de x e y que satisfazem a equação xy+yx = 1x1 são os seguintes: x=2 e y=9, ou seja 29+92 = 121 Resposta: x=2 , y=9 , z=1 Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois . Aochegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando). Essa questão é realmente muito boa! Bom...para facilitar vamos dar nome as pessoas: GUSTAVO sobe 2 degraus por vez MARCOS sobe 1 degrau por vez.Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus. Como ele anda 2 por vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Então quando ele chegou no topo, oMARCOS havia andado 14 degraus, pois ele anda 1 por vez (faça o desenho que você entenderá melhor). Lembre-se que a escada está andando. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e o MARCOS andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus. O enunciado diz que quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21 degraus. Como ele está no 14, ainda faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja, falta metade do que ele já andou - 7 é metade de 14). Portanto duranteesses 7 que faltam, a escada andará sozinha mais X/2 degraus (pois se em 14 degraus ela andou X, em 7 ela andará X/2).FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o mesmo. Então basta montar a equação: 28+X = (14+X)+(7+(X/2)) 28+X = 21+(3X/2) 28-21 = (3X/2)-X 7 = X/2
  10. 10. X = 14 Se X=14, o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28+X no total): 28+14 = 42 degraus Note que para o MARCOS o resultado deve ser o mesmo: (14+X)+(7+(X/2)) = (14+14)+(7+14/2) = 28+14 = 42 degraus Resposta: SÃO VISÍVEIS 42 DEGRAUS NA ESCADA ROLANTE!!! Joãozinho, um rapaz muito indiscreto, sabendo da reação de uma senhora, que conhecia há algum tempo, quando falaram em idade, resolveu aprontar.Numa reunião social, na presença de todos, perguntou-lhe a idade. A senhora respondeu: - Tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens menos quatro anos. Daqui a cinco anos a soma de nossas idades será 82 anos. Se você fosse um dos presentes, você concluiria que a senhora tem que idade? O modo de resolver esse problema é o mesmo do desafio 1. Aplique o mesmo método e você encontrará que A SENHORA TEM 40 ANOS.comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúziaem R$100,00. Então, qual é o número original de garrafas de vinho na caixa? Sendo N o número de garrafas e P o preço de cada garrafa, temos: N*P = 1000 => P=1000/N
  11. 11. Tira-se 4 garrafas Aumenta o preço da dúzia em R$100,00 (N-4)*P+((N-4)/12)*100) = 1000 Colocando N-4 em evidência: (N-4) (P + 100/12) = 1000 (N-4) (1000/N + 100/12) = 1000 (1000N-4000)/N + (100N-400)/12 = 1000 Resolvendo essa equação chegamos a equação de segundo grau: 100N2 - 400N - 48000 = 0 Aplicando Bhaskara encontramos x=24. Resposta: HAVIAM 24 GARRAFAS NA CAIXApessoa, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo dasdezenas com o das centenas. Por isso, pagou a mais aimportância de R$270,00. Sabendo que os dois algarismosestão entre si como 1 está para 2, calcule o algarismo, nocheque, que foi escrito na casa das dezenas. No cheque foi escrito: ...xxxABx Mas o correto seria: ...xxxBAx Ou seja, na casa das dezenas do cheque foi escito B (é o que queremos achar). Por isso a pessoa pagou R$270,00 a mais, portanto fazendo a subtração o resultado será 270: ...xxxABx ...xxxBAx ---------------- ...000270 Portanto devemos ter AB - BA = 27O exercício diz que A e B estão entre si como 1 está para 2. Daí sabemos que A é o dobro de B, ou seja: A=2B.
  12. 12. Sabendo disso, existem 4 valores possíveis para A e B: B=1 e A=2 => 21-12 = 9 => não pode ser esse (pois AB-BA=27) B=2 e A=4 => 42-24 = 18 => não pode ser esse (pois AB-BA=27) B=3 e A=6 => 63-36 = 27 => esses são os valores (pois AB-BA=27) B=4 e A=8 => 84-48 = 36 => não pode ser esse (pois AB-BA=27) Portanto os valores são A=6 e B=3. Resposta: O algarismo escrito no cheque na casa das dezenas foi o 3. Corte uma torta em 8 pedaços, fazendo apenas 3 movimentos (3 cortes). Basta fazer dois cortes verticais e um corte horizontal. Ao fazer dois cortes verticais (pode ser em forma de X), a torta estará dividida em 4 pedaços.Quando fizermos o corte horizontal, o número de pedaços será multiplicado por 2, ou seja, teremos 8 pedaços em apenas 3 cortes.múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 9 é9990. Qual é o menor múltiplo de 1998 que possui apenasos algarismos 0 e 3?999 = 2 × 33 × 37. Um número formado apenas pelos algarismos 0 e 3 é múltiplo de 33 se esomente se o número de algarismos 3 é múltiplo de 9 (pois ao dividi-lo por 3 obtemos um número
  13. 13. que possui apenas os algarismos 0 e 1 que deve ser múltiplo de 9, o que ocorre se e só se o númerode algarismos 1 é múltiplo de 9). Assim, o número desejado deve ter pelo menos 9 algarismos 3, e deve terminar por 0, por serpar. O menor número com essas propriedades é 3333333330, que é múltiplo de 1998 pois é par, émúltiplo de 33 e é múltiplo de 37 por ser múltiplo de 111 (é igual a 111 × 30030030).Em uma reta há 1999 bolinhas. Algumas são verdes e as demais azuis(poderiam ser todas verdes ou todas azuis). Debaixo de cada bolinhaescrevemos o número igual à soma da quantidade de bolinhas verdes à direitadela mais a quantidade de bolinhas azuis à esquerda dela. Se, na sequênciade números assim obtida, houver exatamente três números que aparecem umaquantidade ímpar de vezes, quais podem ser estes três números?Este é um problema de Olimpíada Matemática. Se as 1999 bolinhas são de uma mesma cor, a sucessãode números é crescente ou decrescente. Cada número aparece uma vez só e há 1999 (portanto, não háexatamente 3 números que se repetem um número ímpar de vezes (1 é ímpar). Logo, há bolinhas dasduas cores. Dada uma distribuição das bolinhas que tem em certa posição uma bolinha azul A e na posição seguinteuma bolinha vermelha R, se há a bolinhas azuis à esquerda de A e r bolinhas vermelhas à sua direita,então há a + 1 bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1 bolinhas vermelhas à sua direita. O número escritoembaixo de A é n = a + r e o número escrito embaixo de R é a + 1 + r – 1 = n. Se trocamos de lugar A e R, e não mexemos em nenhuma outra bolinha, na nova distribuição há abolinhas azuis à esquerda de R e r – 1 bolinhas vermelhas à sua direita, enquanto que à esquerda de A háa bolinhas azuis e, à sua direita, r – 1 bolinhas vermelhas. Os números escritos embaixo de R e A são a + r– 1= n – 1 e a + r – 1 = n – 1. Os números escritos embaixo das outras bolinhas não mudam. Então, depois da troca, o número n se repete duas vezes menos e o número n – 1 se repete duas vezesmais. Os números que se repetem uma quantidade ímpar de vezes serão os mesmos em ambasconfigurações. Portanto, basta estudar a configuração na qual todas as bolinhas vermelhas são consecutivas, a partirda primeira, e todas as azuis são consecutivas, a partir da última vermelha. Sejam α , β , as quantidades de bolinhas vermelhas e azuis, respectivamente; então α + β = 1999.Embaixo da primeira bolinha (é vermelha) está o número α – 1, na seguinte, α – 2, depois α – 3, e assimpor diante, até ter 0 na última bolinha vermelha (na posição α ). Então, embaixo da primeira bolinha azul há0, na segunda 1 e assim por diante, até a última, que tem β – 1 embaixo. Se α < β , os números 0, 1, 2, …, α – 1 aparecem duas vezes (quantidade par) e os números α , α + 1,α + 2, …, β – 1 aparecem uma vez (quantidade ímpar). Se há exatamente 3 números que aparecem umaquantidade ímpar de vezes, estes são α , α + 1 e α + 2 = β – 1. Portanto, α + β = 2α + 3, donde α = 998, eos três números que se repetem uma quantidade ímpar de vezes são 998, 999 e 1000. Se α > β , os três números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes são β , β +1 e β + 2 = α – 1,donde α + β = 2β + 3 e os tres números são, novamente, 998, 999 e 1000.
  14. 14. Forme o número 24 usando apenas os números 3, 3, 7, 7, uma vez cada. Vocêpode usar as operações +, -, *, /, e também os parênteses, se acharnecessário. A solução pode ser a seguinte: (3+(3/7)) x 7Ache um número que tenha sua raiz quadrada maior do que ele mesmo. Qualquer número entre 0 e 1. A Maria e o Manuel disputaram um jogo no qual são atribuídos 2 pontos porvitória e é retirado um ponto por derrota. Inicialmente cada um tinha 5 pontos.Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas, e a Maria no final ficou com 10pontos, quantas partidas eles disputaram? Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas, a Maria perdeu três pontos. Como no final a Maria ficou com 10 pontos é porque ganhou 8 pontos, logo 4 partidas. Realizaram portanto 3+4=7 partidas.Um relógio digital marca 19:57:33. Qual o número mínimo de segundos quedevem passar até que se alterem todos os algarismos? Os algarismos estarão todos alterados, pela primeira vez, quando o relógio marcar 20:00:00, ou seja, quando se passarem 147 segundos.Para numerar as páginas de um livro, consecutivamente desde a primeirapágina, são usados 852 algarismos. Quantas páginas tem o livro?Como existem 9 números naturais com 1 algarismo, 90 números com 2 algarismos e 900 números com 3 algarismos são necessários: • 9 algarismos para numerar as primeiras 9 páginas; • 90 x 2 = 180 algarismos para numerar as seguintes 90 páginas; • 900 x 3 = 2700 algarismos para numerar as seguintes 900 páginas. Como 180+9 < 852 < 2700 então o número x de páginas do livro tem 3 algarismos e satisfaz a equação: 3 (x-99) + 189 = 852
  15. 15. O livro possui 320 páginas.Você tem 10 soldados. Forme 5 filas com 4 soldados emcada uma. Os soldados são dispostos como mostrado na figura abaixo, em forma de estrela. Dessa maneira existirão 5 filas, e cada fila possuirá 4 soldados.Substitua o asterisco (*) por um número natural, para que a subtração abaixo seja verdadeira. */* é igual a 1. Substituindo esse valor na equação temos: 1- (*/6) = (*/12) 1 = (*/12) + (*/6) 1 = (*+2*)/12 1 = 3*/12 1 = */4 *=4
  16. 16. Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Seforam colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda elecarregar? 1 saco de areia = 8 tijolos. Se o caminhão pode carregar ainda 18 sacos então pode carregar 18 × 8 = 144 tijolos.Qual é o quociente de 5050 por 2525 ? Efetuando a divisão temos:Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que seja um númerointeiro? Podemos escrever a expressão da seguinte forma:Este número é inteiro se, e somente se, x + 19 for divisor de 80. Como 80 tem 20 divisores inteiros, então existem 20 valores de x.Corte 10 algarismos do número 1234512345123451234512345, para que onúmero restante seja o maior possível.maior número restante é 553451234512345. Para ver isto, podemos supor que os cortes são feitosda esquerda para a direita. Se deixarmos de cortar todos os quatro primeiros algarismos, o númeroque resta começará por 1, 2, 3 ou 4. Logo, menor que o número acima. Feito isto, se deixarmos decortar a segunda seqüência 1234, o número que resta terá na primeira ou segunda casa, da esquerdapara a direita, 1, 2, 3 ou 4. Ainda menor que o número acima. Os dois primeiros 5 devempermanecer, pois retirando-se um deles, completamos 9 retiradas e aí algum algarismo da terceiraseqüência 1234 aparecerá na 1a ou na 2a casa. Finalmente devemos cortar a seqüência 12, queocupa a 11a e 12a posição.Encontre dois números de três algarismos cada um, usando cada um dosdígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 exatamente uma vez, de forma que a diferença entreeles (o maior menos o menor) seja a menor possível.
  17. 17. Este é um problema da Olimpíada Brasileira de Matemática. Para que a diferença seja a menor possível, os números devem ser os mais próximos possíveis.Assim, os algarismos das centenas devem ser consecutivos. A melhor escolha é aquela em que asdezenas formadas pelos algarismos restantes tenham a maior diferença possível, o que ocorre para as dezenas 65 e 12. Assim, os algarismos das centenas devem ser 3 e 4. O menor número começado por 4 é 412 e o maior começado por 3 é 365, cuja diferença é 47.Determine o próximo número da sequência: 2,10,12,16,17,18,19,... O próximo número da sequência 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... é 200. É a sequência de todos os números que começam com a letra D.Determine o próximo número da sequência: 5,11,19,29,41,... O próximo número da sequência 5,11,19,29,41,... é 55. A sequência é formada somando-se a cada termo um número par, a partir do 6: 5+6 = 11+8 = 19+10 = 29+12 = 41+14 = 55.Três homens querem atravessar um rio. O barco suporta no máximo 130 kg. Elespesam 60, 65 e 80 kg. Como devem proceder para atravessar o rio, sem afundar obarco?Os homens de 60 e 65kg atravessam. Um deles volta. O que pesa 80kg atravessa sozinho. O barco volta com o que havia ficado. Finalmente os de 60 e 65kg atravessam, e os três estarão do outro lado do rio.Quantos noves existem entre 0 e 100? Existem 20 noves entre 0 e 100.Um em cada algarismo das unidades (9,19,29,39,...99), e mais os dez noves da dezena 9 (90, 91,92...99). No total 10+10 = 20 noves.
  18. 18. Uma pessoa vai comprar um presente e leva R$1.200,00. Quando lheperguntam quanto custou o presente ela disse: "Sobrou troco, mas não direi nem o troco nem o preço do presente. Digoapenas que o preço do presente, sendo lido ao contrário é o valor de 9presentes." Quanto custou o presente? Solução enviada pelo visitante Renato Santos: Seja o preço do presente expresso como um número de quatro algarismos, desprezando os centavos,como abcd (isto é, R$ abcd,00), onde a é 1 ou 0 (para R$abcd,00 ser menor ou igual a R$1.200,00) e b, c e d, é claro, estão entre 0 e 9. Lido ao contrário, o preço do presente seria dcba, que deve ser igual ao valor de nove presentes.Para podermos equacionar esta informação, temos que ter em conta a notação decimal posicional, isto é,abcd significa a milhares, b centenas, c dezenas e d unidades, ou 1000a+100b+10c+d. Da mesma forma, dcba significa 1000d+100c+10b+a. Fica assim: 1000d+100c+10b+a = 9(1000a+100b+10c+d) ou 1000d+100c+10b+a = 9000a+900b+90c + 9d Resolvendo: (1000-9)d + (100-90)c + (10-900)b +(1-9000)a = 0 ou 991d + 10c -890b -8999a = 0 Observe-se que 991 e 10 não têm factores em comum, e, portanto, neste caso, não podemos reduzir os coeficientes da equação. Temos aqui uma única equação com quatro incógnitas. Uma estratégia seria ir substituindo por tentativas valores para a, b, c e d. Pode-se, porém, como Diofanto, a partir daqui, utilizar o algoritmo das fracções contínuas: Isolamos à esquerda o termo com o menor coeficiente: 10c = 8999a + 890b - 991d Dividimos toda a equação pelo coeficiente: c = (8999/10)a + (890/10)b - (991/10)d Separando as partes inteiras das frações, c = 899a + (9/10)a + 89b - 99d - (1/10)d ou c = 899a + 89b - 99d + (1/10)(9a - d)
  19. 19. Como a, b e c devem ser números inteiros, (1/10)(9a -d) também terá de ser. Isso, é claro, só acontecerá se (9a -d) for múltiplo de 10.Todavia, como a, b, c e d representam os dígitos do valor do presente, têm de estar entre 0 e 9. Com essa restrição, (9a-d) só pode ser o múltiplo trivial de 10, isto é, 0. Fica assim, 9a - d = 0 ou d = 9a Retornando este resultado à equação anterior, fica c = 899a + 89b - 99x9a + (1/10)(9a - 9a) ou c = 899a + 89b - 891a c = 8a + 89b Como c está entre 0 e 9 e os coeficientes de a e b são positivos, resulta que b tem de ser igual a 0 para que c não exceda 9. Resulta assim, c = 8a Lembremos ainda que a é 1 ou 0. Mas a=0 resulta o caso trivial a=0, b=0, c=0 e d=0, ou seja o preço R$0000,00 e, corretamente, 9 x 0000$00 = 0000$00. Temos, então, a=1 que resulta c = 8 e, retornando à equação anterior, d=9a => d=9. Assim obtemos, finalmente, o preço do presente (R$abcd,00) como R$1089,00 que, invertido, resulta R$9801 = 9 x R$1089, como desejado. RESPOSTA: o presente custou R$1089,00 Solução enviada pelo visitante Paulo Martins Magalhães:Se a quantia reservada para o presente era R$1.200,00, devemos supor que o preço estava em torno de R$ 1.000,00. Portanto, estavamos em busca de um número de 4 algarismos, sendo 1 o primeiro deles. O último algarismo só poderia ser o 9, pois só assim poderíamos inverter o número e obter 9 vezes o primeiro. Assim, sabemos que o número é 1ab9.Achar a e b é relativamente fácil, pois o número é múltiplo de 9, já que seu inverso também o é (pois é umnúmero que vale nove vezes o preço do presente). Temos então o número 1ab9. Para que tal número seja múltiplo de 9, é preciso que a soma a+b seja 8. Os pares a e b que satisfazem essa condição são os seguintes: 0 e 8; 1 e 7; 2 e 6; 3 e 5; 4 e 4; 5 e 3; 6 e 2; 7 e 1 e finalmente, 8 e 0.Testando o primeiro par, o que parece mais lógico, pois o preço é menor que R$ 1.200,00, chegamos a R$ 1.089,00, que é o preço do presente. (1089 X 9 = 9801).
  20. 20. Quatro amigos vão ao museu e um deles entra sem pagar. Um fiscal quer saberquem foi o penetra:– Eu não fui, diz o Benjamim.– Foi o Pedro, diz o Carlos.– Foi o Carlos, diz o Mário.– O Mário não tem razão, diz o Pedro.Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada? Pedro não pagou! Mário e Carlos não podem ambos ter dito a verdade, pois somente um entrou sem pagar.Se Mário não falou a verdade, então o que os outros três afirmaram é correto. Conclui-se que Pedro entrou sem pagar. Se Mário tivesse dito a verdade, teríamos uma contradição: a afirmação de Pedro seria verdadeira, mas a de Carlos seria falsa.Dona Panchovila comprou duas balas para cada aluno de sua sala. Mas osmeninos da classe fizeram muita bagunça, e a professora resolveu distribuir asbalas de maneira diferente: cinco para cada menina e apenas uma para cadamenino. Qual a porcentagem de meninos na sala?Se a professora der uma bala a menos para cada menino, pode dar três balas a mais para cada menina.Isso significa que o número de meninos é o triplo do número de meninas. É o mesmo que dizer que 3/4 daclasse – ou 75% dela – são meninos.Elevei um número positivo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo número e oque restou dividi ainda pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual:a) Ao próprio númerob) Ao dobro do númeroc) Ao número mais 1d) Ao número menos 1 Vamos chamar o resultado desejado de n, e o número inicial de x. Pelo enunciado, temos que n = (x2 – x) / x. Com a fatoração, descobrimos que: n = (x–1) . x / x. Simplificando, temos que n = x–1, ou o número menos 1.
  21. 21. Uma calculadora tem duas teclas: D, que duplica o número, e T, que apaga oalgarismo das unidades. Se uma pessoa escrever 1999 e apertar emseqüência D,T, D e T, o resultado será qual número?número 1999 duplicado dá 3998. Pressionando a tecla T, tem-se 399. Apertando D, temos o dobro de 399, que é 798. Com a tecla T apagamos o algarismo da unidade, obtendo 79.De três irmãos - José, Adriano e Caio -, sabe-se que ou José é o mais velho ouAdriano é o mais moço. Sabe-se também, que ou Adriano é o mais velho ouCaio é o mais velho. Então quem é o mais velho e quem é o mais moço dostrês irmãos? A segunda afirmação determina que José não é o mais velho, portanto a partir da primeira afirmação concluímos que Adriano é o mais moço. Se Adriano é o mais moço, Caio é o mais velho. A solução da equação y 2 - log y =0,001 é... Pela definição de logaritmo, podemos escrever: logy 0,001 = 2 - log y Da regra de mudança de base logb a = (log a) / (log b), vem: (log 0,001) / (log y) = 2 - log y Sabemos que log 0,001 = -3, então: -3 / (log y) = 2 - log y -3 = 2 log y - log2 y log2 y - 2 log y - 3 = 0 (equação de 2º grau) Aplicando a fórmula de Bhaskara encontramos: log y = 3 ou log y = -1 y = 1000 ou y = 0,1 Conjunto Solução= {1000; 0,1}Dispõe-se de nove garrafas em fila. As cinco primeiras estão cheias de cerveja e as quatro últimas, vazias. Movendo somente duas garrafas, como tornar a fileira com garrafas alternadamente cheias e vazias.
  22. 22. Temos 9 garrafas sendo que as 5 primeiras estão cheias e as 4 últimas vazias.Para que fiquem alternadamente cheias e vazias, basta despejar a garrafa 2 na garrafa 7 e a garrafa 4 na garrafa 9, voltando as duas para os seus respectivos lugares.A média mensal de ovos postos pelas aves na Suécia são na proporção de 35 ovospor mês. O Sr. Thomas Dhalin, um pequeno proprietário do interior do país decidiu incrementar sua fazenda comprando um pato. Quantos ovos, de acordo com as estatísticas, ele terá comercializado ao final de um ano? Patos não botam ovos. Infelizmente o Sr. Larsen não terá nenhum ovo ao final de um ano.Um bolsa tem 27 bolas de bilhar que parecem idênticas. É certo que há uma boladefeituosa que pesa mais que as outras. Dispomos de uma balança com 2 pratos.Demonstre que se pode localizar a bola defeituosa como somente três pesagens. Compare 9 bolas quaisquer com outras 9 e deixa as nove restantes na caixa. Se a balança se equilibra, a bola mais pesada estará entre as nove bolas que ficaram na caixa e se não,estará entre as nove do prato que mais pesou. Dividimos em 3 grupos de 3 esse conjunto e repetirmos aoperação. Dessa forma, com duas pesadas teremos isolado a bola mais pesada de um grupo de 3 bolas. Se repetirmos a operação uma terceira vez, teremos isolado a bola mais pesada das outras.
  23. 23. Uma aranha tece sua teia no marco de uma janela. Cada dia duplica a superfíciefeita anteriormente. Dessa forma tarda 30 dias para cobrir o vazio da janela. Se em vez de uma aranha, fossem duas, quanto tempo demoraria para cobrir o vazio.Cada dia a superfície duplica. Então quando uma aranha tiver coberto meio vão no 29º dia, a outra aranha também o terá feito, e o vazio será preenchido. Buscando água, uma rã caiu em um poço de 30 metros de profundidade. Na suabusca por sobrevivência, a obstinada rã conseguia subir 3 metros cada dia, sendo que a noite resbalava e descia 2 metros. Quantos dias a rã demorou para sair do poço? 28 dias Quando a rã chegar ao 27º dia, já terá subido 27m. No 28º dia, ela sobe mais 3m, e alcança os 30m, antes que desça os 2m.
  24. 24. Você tem 3 xícaras de café e 14 saquinhos de açúcar. Como adoçar as 3 xícaras utilizando um número ímpar de saquinhos em cada uma? Pode-se colocar 1 saquinho em cada xícara. Em nenhum momento foi dito que deveriam ser usados todos os saquinhos. Repartir 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. Divida 6 maçãs ao meio, e dê cada uma dessas 12 partes à uma criança. As 3 maçãs que sobraram divida em 4 partes cada uma, dando um total de 12 partes, uma para cada criança.Clodoémerson possui diversas bolas de 10 cm de diâmetro. Colocando umapor vez, quantas bolas ele poderá colocar em uma caixa vazia, de formacúbica, com 1 metro de lado?Clodoémerson poderá colocar apenas uma bola na caixa, pois quando colocar a primeira bola, a caixa já não estará mais vazia!!!
  25. 25. Dois amigos bêbados compraram 8 litros de vinho. Eles estavam caminhando,e na metade do caminho, decidem separar-se, repartindo antes o vinhoigualmente.Para realizar as medidas há um barril de 8 litros (onde está o vinho), umavasilha de 5 e outra de 3 litros. Como eles podem fazer para repartirigualmente o vinho? Seguimos os seguintes passos: • Enchemos a vasilha de 3 litros. • Passamos os 3 litros para a vasilha de 5 litros. • Enchemos outra vez a vasilha de 3 litros. • Enchemos a vasilha de 5 litros com a outra, sendo que sobrará 1 na de 3. • Esvaziamos a de 5 no barril. • Enchemos o litro da vasilha pequena na de 5. • Enchemos a de 3 e esvaziamos na de 5, que como já tinha 1, terá 1+3 = 4. • No barril sobra 4 litros para o outro amigo. Jarbas: "Mariclaudinete, qual é a idade de seus 3 filhos???" Mariclaudinete: "A soma de suas idades é 13, seu produto é igual a tua idade." Jarbas: "Desculpe, mas estão faltando dados!" Mariclaudinete: "Tens razão, o maior tem o cabelo ruivo" Jarbas: "Ah...agora sim consigo adivinhar!!!" Quais são as idades dos 3 filhos de Mariclaudinete???Visto que a soma das idades deve ser igual a 13, temos 14 possibilidades (excluindo os casos em que algum filho tem 0 anos, pois em tal caso o produto seria 0, que não é aidade de Jarbas). Destas 14 possibilidades, somente 2 casos (1,6,6 e 2,2,9) nos quais o
  26. 26. produto dá o mesmo resultado (36). Visto que faltam dados para Jarbas, ele necessariamente deve ter 36 anos. Então a resposta é (2,2,9) pois há um filho maior, segundo o enunciado do problema.Uma mãe tem 6 filhos e 5 batatas. Como pode distribuir as batatasuniformemente entre os 6 filhos? (Não vale fração) Faz um purê! Dois trens estão na mesma via, separados por 100 Km. Começam a se mover um em direção ao outro, a uma velocidade de 50Km/h. No mesmo momento, uma supermosca sai da 1ª locomotiva de um dos trens e voa a 100 Km/h até a locomotiva do outro trem.Apenas chega, dá meia volta e regressa até a primeira locomotiva, e assim vai e vem deuma locomotiva para a outra até que os dois trens se chocam e assim morre no acidente. Que distância percorreu a supermosca? Visto que os dois trens estão na mesma velocidade, eles se chocarão na metade do trajeto, e portanto,cada um corre 50 Km. Em consequência, como sua velocidade é de 50 km/h demoram exatamente 1 hora para se chocarem. Este é o tempo que a mosca fica voando, e portanto, como sua velocidade é de 100 km/h, a distância que correu é de 100 quilômetros. Calcular o valor do seguinte produto: (x-a)(x-b)(x-c) ... (x-z) = ? O produto (x-a)(x-b)(x-c) ... (x-z) vale ZERO. Justificativa: existe um fator dessa multiplicação que é o (x-x), que vale 0.
  27. 27. 4 amigos devem cruzar uma frágil ponte de madeira. É noite, e é indispensável usar uma lanterna paracruzar. A ponte somente pode suportar o peso de 2 pessoas e os amigos possuem apenas uma lanterna.Camila demora 8 minutos para cruzar, Manolito demora 4 minutos, Carlos demora 2 e Romerito 1minuto. Como devem fazer para cruzar para o outro lado, os 4, levando apenas 15 minutos? Devem passar primeiro Carlos e Romerito (2 m). Volta Romerito com a lanterna (3 m). Passam Camila e Manolito (11 m). Volta Carlos com a lanterna (13 m). Por último cruzam de novo Carlos e Romerito (15 minutos). Dois caçadores saíram para abater marrecas em uma caçada à beira de um grande lago. Eis que surge um bando de marrecas, comandadas por um líder e guiadas por uma marreca batedora. Ao avistar os caçadores, imediatamente a marreca batedora altera a rota do bando, levando suas companheiras para um local seguro. Lá chegando, comenta com a marreca líder: Chegamos ilesas, toda a centena! A marreca líder, retruca: Você deve estar estressado. Desaprendeu até a contar. Falta muito para chegarmos a cem. Faça você mesmo a conta: Duplique nosso número, acrescente mais a metade e mais um quarto, e não esqueça de incluir você na conta. Dessa forma conseguirás acertar a conta. Qual é o número real de marrecas? Seja x o número real de marrecas. Segundo o enunciado, formamos a equação: 2x + x/2 + x/4 + 1 = 100 Resolvendo essa equação, encontramos x=36.Como medirias os 11 minutos que são necessários para cozinhar um biscoito, comduas ampulhetas de 8 e 5 minutos respectivamente?
  28. 28. Colocamos as duas ampulhetas de uma vez só, e quando terminar o de 5 minutos, faltará no de 8, 3 minutos para terminar. Nesse momento damos a volta no de 5 minutos.Quando terminar o de 8, totalmente (levamos ao total 8 minutos), no de 5 ficaram 2 minutos para terminar.Nesse preciso momento damos a volta no de 5 que tardará 3 minutos para terminar, que somados aos 8 que haviam passado, somarão 11 minutos no total.Um peregrino se dirige para meditar em uma capela situada em cima deum monte. O peregrino sobe esta encosta com um ritmo de 2 Km/h edesce em um ritmo de 6 Km/h. Qual será a velocidade média que operegrino terminará (considerar ida e volta) a peregrinação?Chamamos de e o espaço em quilômetros que mede o monte, e t o tempo em segundos que o peregrino demora para descer. Como ele sobe 3 vezes mais lento, demorará 3t segundos para subir. Logo no total demora 4t segundos para subir e descer. A velocidade média é o espaço total percorrido (2e quilômetros) dividido pelo tempo (4t segundos), e levando em conta que o peregrino desce a 6 Km/h temos que: V = 2e/4t = 0,5 . e/t = 0,5 . 6 = 3 Km/h.Ana Carolina é uma grande fumante, no entanto decidiu parar de fumar. "Acabareicom os vinte e sete cigarros que sobraram!", e ainda afirmou: "Jamais voltarei afumar". Era costume da Ana Carolina fumar exatamente dois terços de cadacigarro. Não tardou muito em descobrir que com a ajuda de uma fita adesivapoderia juntar três tocos de cigarros e fazer outro cigarro. Com 27 cigarros,quantos pode fumar antes de abandonar o fumo para sempre? Depois de fumar 27 cigarros, Ana Carolina juntou os tocos de cigarro necessários para fazer 9 cigarrosmais. Estes 9 cigarros deixaram tocos para fazer outros 3. Então com os utlimos 3 tocos de cigarro, fez um ultimo cigarro. Total: 40 cigarros
  29. 29. O preço de custo de um chocolate é R$ 0,20 cada. A fábrica de chocolate, calculaque se vender cada chocolate por ‘x’ reais, os consumidores comprarão 10 – xchocolates por dia. Qual o preço de venda do chocolate que maximiza a o lucro dodono da empresa? Preço de custo dos (10-x) chocolates: (10-x) . 0,20 = 2 - 0,20x Preço de venda dos (10-x) chocolates: (10-x) . x = 10x - x2 Lucro nos (10-x) chocolates: L(x) = (10x - x2) - (2 - 0,20x) L(x) = 10x - x2 - 2 + 0,20x L(x) = -x2 + 10,20x -2 Derivando temos: L(x) = -2x+10,20 L(x)=0 => -2x+10,20 = 0 => x = 5,10 Resposta: O preço do chocolate a R$5,10 maximiza o lucro da empresa.Agripino observava da murada de um navio, a subida da maré. Dessa muradapende uma escada de 8 metros de comprimento. Os degraus tem 20 centímetrosde intervalo um do outro e o último toca a água. A maré sobe ‘a razão de 35centímetros por hora. Quando estarão os dois primeiros degraus cobertos deágua? Nunca, pois o navio sobe junto com a escada.Luiz Eduardo comprou várias galinhas campeãs em pôr ovos. Ao testar a eficiênciadas galinhas, ele observou que de minuto em minuto o número de ovos na cestaduplicava. Às duas horas a cesta estava cheia. A que horas a cesta estava pelametade?1h 59 min, pois como o número de ovos duplica a cada minuto e às 2h a cesta estava cheia, significa que no minuto anterior a cesta estava pela metade.
  30. 30. Davi Gama teve um sonho: um octagenário, sem ter muito o que fazer, refletiasobre a sua vida. O ancião verificou que a diferença entre os cubos dos algarismosde sua idade era igual ao quadrado da idade de seu bisneto. Ao acordar, DaviGama, queria saber a idade que os dois tinham. O ancião tinha 87 anos e seu bisneto tinha 13 anos 10 vezes 10 é igual a 100. Quanto é R$10,00 vezes R$10,00 ??? Não é possível realizar essa multiplicação! Podemos multiplicar um número real por um valor monetário. Por exemplo: 10 vezes R$10,00 é igual a R$100,00. Mas não podemos multiplicar dinheiro por dinheiro, ou seja, não podemos efetuar a operação R$10,00 vezes R$10,00, pois não saberíamos quantas vezes multiplicar a quantia de R$10,00. Resposta: Não é possível!Em uma sala onde estão 100 pessoas, sabe-se que 99% são homens. Quantos homens devem sair para que a porcentagem de homens na sala passe a ser 98%?CUIDADO: não basta um homem sair para a porcentagem cair para 98%, pois se um homem sair, teremos um percentual de homens correspondente a: . Precisamos resolver a seguinte equação: ⇒
  31. 31. Resposta: devem sair 50 homens!Um cachorro persegue uma lebre. Enquanto o cachorro dá 5 pulos, a lebre dá 8 pulos.Porém, 2 pulos de cachorro valem 5 pulos de lebre. Sendo a distância entre os doisigual a 36 pulos de cachorro, qual deverá ser o número de pulos que o cachorro devedar para alcançar a lebre?Há uma relação inversa entre os pulos do cachorro e os da lebre, ou seja, um pulo da lebre vale por 2/5pulos do cachorro. Podemos, então, escrever: nº de pulos valor do pulo pulos do cachorro 5 2 pulos da lebre 8 5Como a relação entre os pulos é inversa, efetuaremos uma multiplicação invertida, ou seja, iremosmultiplicar os 5 pulos do cachorro pelo valor do pulo da lebre (5) e multiplicaremos os 8 pulos da lebre pelovalor do pulo do cachorro (2). Assim teremos: 5 x 5 = 25 (para o cachorro) e 8 x 2 = 16 (para a lebre).A cada instante, o cachorro estará tirando uma diferença de 25 - 16 = 9 pulos. Como a distância que ossepara é de 36 pulos de cachorro, segue-se que o cachorro terá de percorrer essa distância 36/9 = 4 vezesaté alcançar a lebre. Agora, multiplicando-se o fator do cachorro (25) por 4, teremos: 25 x 4 = 100 pulosdo cachorro.Uma garrafa com sua rolha custa R$1,10. Sabendo que a garrafa custa R$1,00a mais que a rolha, qual é o preço da rolha? E qual é o preço da garrafa?Sendo G a garrafa, e R a rolha, basta resolver o sistema com as duas equações:1) G + R = 1,102) G = R+1Resolvendo esse sistema, obtemos R=0,05 e G=1,05. Resposta: A garrafa custa R$1,05 e a rolha custa R$0,05.
  32. 32. Calculando-se: 1094 - 94, e somando-se todos os algarismos do resultadoobtido, que valor iremos obter? 10000...........000 (94 ZEROS) - 94 0.........99999906 (92 NOVES) Logo, a soma de todos os algarismos do resultado será: 92 x 9 + 6 = 834Waneska tem uma bolsa de amêndoas que pesa 2600Kg. Ela dispõe de umabalança de 2 pratos e de 2 pesos de 20 e 30 gramas. Com 3 únicas pesagens,como Waneska consegue separar 300 gramas de amêndoas? No prato 1 colocamos as 50 gramas e no prato 2 colocamos amêndoas até que ocorra equilíbrio.Temos, portanto 50 gramas de amêndoas. Essas 50 gramas de amêndoas, juntamos com os pesos no prato 1, temos portanto 100 gramas no total.Enchemos de amêndoas no prato 2 até que haja equilíbrio, pelo que temos 100 gramas em cada lado. Retiramos os pesos do prato e passamos as 50 gramas de amêndoas para o prato 2 que contem 100gramas, temos portanto 150 gramas. Enchemos amêndoas no prato 1 até que haja equilíbrio com o prato 2, e temos um total de 150+150 =300 gramas de amêndoas.De quantos modos diferentes podemos escrever o número 497 como a somade dois números naturais primos? De nenhuma maneira, vejamos porque:Se o número 497 é a soma de dois números naturais, como ele é impar, deve ser obtido da soma de umPAR e um ÍMPAR (já que a soma de dois pares é par, o mesmo ocorrendo com a soma de dois ímpares).Logo, nosso problema consiste em obter dois números primos (um par e um ímpar), que somados dêem o resultado 497. Como o único número par que é primo é o 2, já temos a primeira parcela, o que obriga a segunda parcela ser igual a 495 (para a soma dar 497). Como 495 não é primo (termina em 5, logo é múltiplo de 5), nosso problema não tem solução.
  33. 33. Em uma estante há 10 livros, cada um com 100 folhas. Uma traça famintacome desde a primeira folha do primeiro livro até a última folha do último livro. Quantas folhas a traça faminta comeu? A resposta é 802 folhas!Note que sempre que um livro é colocado em uma prateleira, a primeira folha fica do lado direito e a última do lado esquerdo. Logo, a traça comeu os 8 livros intermediários (800 folhas) e mais a primeira folha do primeiro livro e a última folha do último livro: 800+2 = 802Representar os números de 2 a 9 utilizando TODOS os algarismos de 0 a 9.Exemplo:2 = 13584 / 067923 = ???4 = ???...9 = ??? Existem várias respostas para cada número. A seguir é apresentada uma solução: 2 = 13584 / 06792 3 = 17469 / 05823 4 = 15768/ 03942 5 = 14835 / 02967 6 = 34182 / 05697 7 = 16758 / 02394 8 = 25496 / 03187 9 = 97524 / 10836Encontre 9 formas para representar o número 6 com 3 algarismos iguais,colocando os sinais entre eles. Pode ser usado qualquer sinal matemático,contanto que não apareçam mais números.Exemplo: 2+2+2 = 6 (encontre as outras 8)
  34. 34. (1 + 1 + 1)! = 6 2+2+2 = 6 3x3-3 = 6 4 + 4 - raiz(4) = 6 5+5/5 = 6 6+6-6 = 6 7-7/7 = 6 8 - raiz[raiz(8 + 8)] = 6 raiz(9) x raiz(9) - razi(9) = 6Dois pais e dois filhos foram pescar. Cada um pescou um peixe, sendo que aotodo foram pescados 3 peixes. Como isso é possível? Três pessoas estavam pescando: filho, pai e avô. O pai é filho e pai ao mesmo tempo. Há dois filhos (filho e pai) e dois pais (pai e avô).Represente de três formas o número 100 utilizando apenas uma vez cada umdos 9 algarismos, na sua ordem natural (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), só utilizandonúmeros inteiros. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 x 9 = 100 123 - 45 - 67 + 89 = 100 123 + 45 - 67 + 8 - 9 = 100Meu pai me contou que, em 1938, conversava com o avô dele e observaramque a idade de cada um era expressa pelo número formado pelos dois últimosalgarismos dos anos em que haviam nascido. Assim, quando meu pai nasceu,qual era a idade do meu bisavô?
  35. 35. Digamos que o avô do interlocutor tenha nascido em 18XY. De acordo com os dados doproblema, sua idade será XY. Observe que o avô só poderia ter nascido no século anterior!Desse modo, sua idade será dada por: 1938 - 18XY = XY. Agora, precisamos decompor osnúmeros segundos suas respectivas ordens, para podermos “montar” uma equação.Por exemplo: o número 735 é decomposto da seguinte maneira: 7 x 100 + 3 x 10 + 5 x 1, ou seja,7 CENTÉSIMOS, 3 DÉCIMOS e 5 UNIDADES. Voltando à equação:938 - 800 - 10X - Y = 10 X - Y ⇒ 20X + 2Y = 138 ⇒ (dividindo-se tudo por 2) ⇒ 10X + Y = 69(equação 1).A idade do neto é dada pela equação 1938 - 19ZW = ZW. Da mesma forma que procedemos nocaso do avô.38 - 10Z - W = 10Z + W ⇒ 20Z + 2W = 38 ⇒ 10 Z + W = 19 (equação 2)A idade do avô quando o neto nasceu deve ser dada por: 19ZW - 18XY ⇒ 100 + (10Z + W) -(10X + Y) (equação 3). Da equação 1, temos que (10X + Y) = 69, e, da equação 2, (10Z + W) =19. Substituindo, então, estes valores na equação 3, teremos a idade do avô quando seu netonasceu:100 + 19 - 69 = 50 anos Um homem tem dois relógios. Um deles não anda e ooutro atrasa uma hora por dia. Qual deles mostrará mais freqüentemente ahora certa?relógio que não anda mostra a hora certa duas vezes ao dia. O que atrasa só mostra a hora certade doze em doze dias, após haver atrasado 12 horas. Portanto o que não anda mostra a horacerta com maior freqüência. Você quer cozinhar um ovo em 2 minutos. Entretanto você só possui 2relógios de areia, um de 5 minutos e outro de 3 minutos. Como você poderiacolocar o ovo para cozinhar e tirá-lo dentro de 2 minutos exatos?Você viraria os dois relógios de areia ao mesmo tempo. Quando o de 3 minutos acabasse vocêcolocaria o ovo e quando o de 5 minutos acabasse você retiraria o ovo.
  36. 36. O casal Aguiar tem vários filhos. Cada filha tem o mesmo número de irmãos eirmãs, e cada filho tem duas vezes mais irmãs do que irmãos. Quantos filhos efilhas existem na família? Considere "M" o número de mulheres e "H" o número de homens. Se cada filha tem o mesmo número de irmãos e irmãs, temos: M-1 = H E, se cada filho tem duas vezes mais irmãs do que irmãos, temos: M = 2(H-1) => M = 2H-2 Substituindo o valor de H na segunda equação: M = 2(M-1)-2 M = 2M-2-2 M=4 Então, basta substituir o valor de M na primeira equação para encontrar o H: M-1 = H 4-1 = H H=3 Resposta: O casal tem 4 filhas e 3 filhos.Um número palíndromo é aquele que é igual quando lido de frente para trás e de trás para frente. Por exemplo, 171 é um número palíndromo. Existem 90 palíndromos de três dígitos. Quantos palíndromos de 5 dígitos existem?
  37. 37. Para o primeiro dígito temos 9 opções (não pode iniciar com zero).Para o segundo e o terceiro dígito podemos aceitar qualquer número entre 0 e 9 (ou seja, temos 10 opções).Para o quarto e o quinto dígito, só existe uma opção, já que eles devem ser iguais ao segundo e ao primeiro dígito, respectivamente. ABCBA = 9 x 10 x 10 x 1 x 1 = 900 Existem 900 números palíndromos de 5 dígitos! Três amigos foram comer num restaurante e no final a conta deu R$30,00. Fizeram o seguinte: cada um deu R$10,00. O garçom levou o dinheiro até o caixa e o dono do restaurante disse o seguinte: - "Esses três são clientes antigos do restaurante, então vou devolver R$5,00 para eles..."E entregou ao garçom cinco notas de R$1,00. O garçom, muito esperto, fez oseguinte: pegou R$2,00 para ele e deu R$1,00 para cada um dos amigos. No final cada um dos amigos pagou o seguinte: R$10,00 - R$1,00 que foi devolvido = R$9,00.Logo, se cada um de nós gastou R$ 9,00, o que nós três gastamos juntos, foi R$ 27,00. E se o garçom pegou R$2,00 para ele, temos: Nós: R$27,00 Garçom: R$2,00 TOTAL: R$29,00 Pergunta-se: onde foi parar o outro R$1,00???Após recebermos mais de 2 milhões de e-mails pedindo a solução desse problema do restaurante, resolvemos colocar a resposta aqui na nossa seção de desafios! Há um erro no enunciado no problema, visto que ele propõe subtrair R$1,00 de cada amigo paradepois somar os novos valores e chegar aos R$30,00 iniciais. Ora, o que interessa não é a soma do que sobrou para cada um, mas sim ONDE estão os R$30,00 iniciais!
  38. 38. R$25,00 estão com o dono do restaurante R$2,00 estão com o garçom R$3,00 estão com os amigos R$25,00+R$2,00+R$3,00 = R$30,00. Pronto, resolvido! Quer uma explicação mais detalhada? Então pense da seguinte forma: Se o dono do restaurante deu R$5,00 de desconto, a conta final foi de R$25,00. R$25,00 dividido por 3 = R$8,3333 para cada amigo. Como cada um deles recebeu R$1,00 de volta: R$8, 3333 + R$1,00 = R$9,3333. R$9,3333 x 3 = R$28,00 R$28,00 + R$2,00 (do garçom) = R$30,00.Um fazendeiro, quis testar a inteligência do filho, chamou-o e disse:- Filho, tome R$100,00. Eu quero que você compre 100 cabeças de gado comesse dinheiro. Porém, não pode faltar nem sobrar dinheiro e tem que ser 100cabeças de gado exatas, sendo o preço de cada animal é:Touro: R$ 10,00Vaca: R$ 5,00Bezerro: R$ 0,50E mais uma coisa: você tem que trazer no mínimo um animal de cada.Como o filho do fazendeiro conseguiu fazer essa compra? O filho do fazendeiro comprou: 1 Touro: R$ 10,00 9 Vacas: R$ 45,00 90 Bezerros: R$ 45,00 No total, ele comprou 100 animais com apenas R$100,00.
  39. 39. Um rapaz entrou no bar do Seu Manoel e pediu uma esfirra, um saco de salgadinhos, um refrigerante e um maço de cigarros.Manoel tira o lápis de trás da orelha, escreve o preço em um pedaço de papel e entrega ao rapaz, que fica furioso: - O senhor multiplicou o preço das coisas que comprei! Deveria somá-los! O dono do bar pega de volta o papel, dá uma boa olhada e o devolve ao freguês, dizendo: Se eu tivesse somado os preços,o resultado seria o mesmo. A conta deu R$7,11. Quanto custou cada item?Temos um sistema envolvendo quatro variáveis (esfirra, saco de salgadinhos, refrigerante e maço de cigarros). Porém, temos apenas duas equações: a+b+c+d = 7,11 a.b.c.d= 7,11 Para resolver o problema, o jeito é determinar o preço de dois itens, e depois calcular os outros dois. Por exemplo, vamos determinar que a esfirra custa R$1,50 e o saco de salgadinhos custa R$1,25. Então teríamos um sistema fácil de resolver: 1,50+1,25+c+d = 7,11 1,50.1,25.c.d = 7,11 Isolando o c na primeira equação temos: c = 7,11-1,50-1,25-d c = 4,36 - d Substituindo na segunda equação temos: 1,50.1,25.(4,36-d).d = 7,11 -1,875d2 + 8,175d - 7,11 = 0 d=1,20 ou d=3,16
  40. 40. Usando d=1,20, achamos o valor de c: c = 4,36-1,20 = 3,16 Portanto, um conjunto de valores possíveis para os itens são: Esfirra: R$1,50 Salgadinhos: R$1,25 Refrigerante: R$3,16 Cigarros: R$1,20 O vovô Severino tinha muitos netos. No Natal, resolveu presenteá-los com um dinheirinho. Separou uma quantia em dinheiro e percebeu que, se ele der R$12,00 a cada garoto, ainda ficará com R$60,00. Se ele der R$15,00 a cada um, precisará de mais R$6,00. Quantos netos o vovô Severino tem? Sendo x o número de netos do vovô Severino, e y a quantia que ele separou para presenteá-los, temos o seguinte sistema: 12x + 60 = y 15x = y + 6 Substituindo y na segunda equação temos: 15x = (12x + 60) + 6 15x - 12x = 60 + 6 3x = 66 x=22 O vovô Severino tem 22 netos! Manoel tinha uma certa quantidade de dinheiro e a achava muito pequena.Como sempre vivia reclamando da vida, um dia encontrou Santo Antônio e fez- lhe uma proposta: - Oh querido Santo Antônio, dobre o dinheiro que tenho, e te darei R$10,00.Assim o santo fez. No outro dia, como achava que ainda tinha pouco dinheiro, fez a mesma proposta ao santo, e o santo fez o combinado novamente, dobrando a quantidade de dinheiro que ele tinha e ficando com R$10,00.
  41. 41. No terceiro dia, mais uma vez Manoel fez a mesma proposta, mas aconteceu algo inesperado. No momento em que a quantidade de dinheiro foi dobrada e ele entregou os R$10,00 ao santo, o dinheiro acabou e ele ficou sem nada. Quanto dinheiro Manoel possuía no primeiro dia? Vamos resolver este problema de trás para frente! Se no último dia, após dar os R$10,00 ao santo o Manoel ficou sem nada, quer dizer que naquele dia ele estava com apenas R$5,00 (pois o dobro de 5 é 10). No dia anterior (2º dia), antes do milagre ele tinha (5+10)/2 = 7,50. Por fim, no primeiro dia, antes do milagre Manoel tinha (7,50+10)/2 = 8,75. RESPOSTA: No primeiro dia, Manol tinha R$8,75.Em uma família há três mães, três filhas, duas avós, duas netas, uma bisavó e uma bisneta. Quantas pessoas compõem essa familia? 4 pessoas (quatro gerações). Ao abrir um livro, um antropólogo encontrou a seguinte mensagem: "Meu nome é Claudiomiro. O ano em que nasci era um cubo perfeito. O ano em que morri, um quadrado perfeito. O quanto vivi também era um quadrado perfeito". Sabendo que o livro foi escrito no século XVIII, quantos anos viveu o Claudiomiro? O único cubo perfeito correspondente a um ano do século XVIII é: 12³= 1728 O único quadrado perfeito correspondente a um ano do século XVIII é 42²=1764 Portanto, ele viveu 1764-1728=36, que também é um quadrado perfeito. Resposta: Claudiomiro viveu 36 anos.Forme o número 100 usando os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, os sinais +, -, *, /, eos parênteses, se necessário.
  42. 42. 1+2+3+4+5+6+7+(8*9) = 100 Use 8 oitos e os sinais de adição (+), subtração (-) e multiplicação (x) até chegar ao número 1000 exato. 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000Você tem um lobo, um carneiro e uma cesta de repolho, e precisa levar todos eles para o outro lado do rio. Porém, o seu barco só pode levar um de cada vez. Mas, se você deixar o lobo e o carneiro sozinhos, o lobo comeria ocarneiro. Se deixar o carneiro e a cesta de repolho, o carneiro comeria a cesta de repolho. Como você os levará até o outro lado do rio?Uma solução é a seguinte:1) Leve o carneiro2) Leve o lobo e traga de volta o carneiro3) Leve a cesta de repolho4) Leve o carneiroOutra solução:1) Leve o carneiro2) Leve a cesta de repolho e traga de volta o carneiro3) Leve o lobo4) Leve o carneiroPaulo César precisa transportar sacos, e para isso ele dispõe de jumentos. Seele transportar 2 sacos em cada jumento, sobram 13 sacos. Se ele transportar3 sacos em cada jumento, ficam 3 jumentos desocupados. Qual o número total de sacos que Paulo César deve transportar?
  43. 43. Se colocarmos 2 sacos em cada jumento, sobram 13 sacos. Ou seja, Sendo x o número de jumentos, o número de sacos é igual a 2x+13.Se colocarmos 3 sacos em cada jumento, ficam 3 jumentos desocupados. Nesse caso, o número de sacos seria 3x-9.Então, basta montar a equação e encontrar o número de jumentos, para posteriormente achar o número de sacos. 2x+13 = 3x-9 13+9 = 3x-2x x = 22 jumentos Se são 22 jumentos, o número de sacos é 2(22)+13 = 57. Resposta: Paulo César deve transportar 57 sacos.Uma certa autoridade visitou uma penitenciária e reduziu a pena dos presos pelametade. Ou seja: presos que deveriam cumprir 10 anos, passavam a cumprir 5anos; quem deveria cumprir 2, passava a cumprir apenas 1, e assimsucessivamente.Pergunta-se: O que ele fez para solucionar a questão dos presos que foramcondenados à prisão perpétua? autoridade ordenou que o preso passasse 1 dia na prisão e 1 dia solto, até morrer. Por exemplo, se ele vivesse 10 anos, passaria 5 anos preso e 5 anos livre.Considerando o alfabeto oficial, que não inclui as letras K, W e Y, complete a série abaixo: B D G L Q ... De B para D, avançamos 2 letras (C, D). De D para G, avançamos 3 letras (E, F, G). De G para L, avançamos 4 letras (H, I, J, L). De L para Q, avançamos 5 letras (M, N, O, P, Q). Portanto, agora devemos avançar 6 letras, a partir do Q: R, S, T, U, V, X
  44. 44. Resposta: a próxima letra da seqüência é X. Qual das alternativas abaixo apresenta uma contradição?1) Todo vendedor de churros é nordestino e algum nordestino não é vendedor de churros.2) Nenhum vendedor de churros é nordestino e algum vendedor de churros não é nordestino.3) Algum vendedor de churros é nordestino e algum vendedor de churros não é nordestino.4) Todo vendedor de churros não é nordestino e algum nordestino é vendedor de churros.5) Todo nordestino é vendedor de churros e algum vendedor de churros não é nordestino. alternativa que apresenta uma contradição é a 4, pois primeiro afirma que "Todo vendedor de churros não é nordestino" (ou seja, não existem vendedores de churros nordestinos), e em seguida afirma que "algum nordestino é vendedor de churros", contrariando a primeira afirmaçãoUma mulher vai visitar suas 3 filhas e leva uma cesta de maçãs. Para a primeira, dáa metade das maçãs e mais meia maçã. Para a segunda, dá a metade das maçãsque sobraram e mais meia maçã. Para a terceira, novamente dá a metade dasmaçãs que sobraram e mais meia maçã, ficando sem nenhuma maçã. Quantasmaçãs haviam na cesta? Devemos resolver este problema de trás para a frente. Ao presentear a terceira filha, acabaram as maçãs. Portanto, nesse momento a mãe só tinha 1 maçã, ou seja: metade das maçãs (0,5) + meia maçã (0,5) = 1 maçã Antes de presentear a segunda filha: (1+0,5) * 2 = 3 maçãs na cesta Antes de presentear a primeira filha: (3+0,5) * 2 = 7 maçãs na cesta Resposta: A cesta continha 7 maçãs.Robervaldo criava patos. Certo dia, um homem apareceu em sua fazenda e lheofereceu R$200,00 por pato e R$50,00 por ovo. No total, Robervaldo tinha 12 patos.
  45. 45. Porém, 2 deles eram de estimação, então ele resolveu não vendê-los. Os demaispatos foram vendidos. Quantos reais ele obteve com essa venda? Dos 12 patos que tinha, Robervaldo vendeu 10, cada um deles por R$200,00. Portanto o valor total foi 10*R$200,00 = R$2.000,00. Quanto aos ovos...pato não bota ovo! Resposta: R$2.000,00Você tem uma balança e uma estante com 10 prateleiras. Em cada prateleira temdez livros, sendo que cada livro pesa 1 kg. Porém, em uma das prateleiras os livrospesam 1,1 kg. Como você faria para descobrir, em uma única pesagem, qualprateleira está com os livros mais pesados? Coloque na balança: • 1 livro da 1ª prateleira • 2 livros da 2ª prateleira • 3 livros da 3ª prateleira • 4 livros da 4ª prateleira • e assim sucessivamente... Se o resultado for 55,1 kg, os livros mais pesados estão na 1ª prateleira. Se for 55,7 kg, os mais pesados estão na 7ª prateleira, e assim por diante.Em uma maratona, o brasileiro Vanderlei Cordeiro de Lima já havia completado 2/5do percurso total da prova, quando um ex-padre irlandês invadiu a pista e segurouo atleta. Vanderlei, que estava a 40km da metade do percurso, foi salvo pelocidadão grego Polyvios Kossivas e continuou na prova, conquistando a medalhade bronze. Qual foi a distância total percorrida por Vanderlei?
  46. 46. Sendo x a distância total do percurso, podemos dizer que Vanderlei já havia percorrido (2/5)*x.Como ainda faltavam 40km para atingir a metade do percurso (x/2), podemos formar a seguinte equação: x/2 = (2/5)*x + 40 Calculando o mínimo múltiplo comum, temos: 5x / 10 = (4x+400) / 10 5x-4x = 400 x = 400 Resposta: A distância total era de 400km.Pancho Villa viaja de Acapulco a Guadalajara, viajando por uma estrada a umavelocidade constante. Passa por um marco (marcador de distância, a partir deAcapulco) que contém dois algarismos. Uma hora depois, passa por outro marco,contendo os mesmos dois algarismos, mas em ordem inversa. Uma hora depois,passa por um terceiro marco, contendo os mesmos algarismos, na ordem que osviu no primeiro marco, mas separados por um zero. Com que velocidade PanchoVilla viaja? Temos três números, um em cada marco: xy yx x0y Podemos perceber que x deve ser menor que y, pois a distância no segundo marco deve ser maior que a distância do primeiro. Também podemos concluir que x=1, pois a distância entre cada marco é um número com 2 algarismos, e a soma de dois números com 2 algarismos jamais resultará em um valor maior que 198. Então, podemos escrever os três números da seguinte forma: 10+y 10.y+1 100+y
  47. 47. Queremos saber a velocidade que Pancho Villa anda. Vamos chamar essa velocidade de z. Então podemos montar as seguintes equações: z=(10y+1)-(10+y) e z=(100+y)-(10y+1) Substituindo o valor de z na segunda equação, temos: (10y+1)-(10+y) = (100+y)-(10y+1) 9y-9 = 99-9y 18y=108 y=6 Agora basta colocar esse valor na primeira equação para achar o z: z=(10.6+1)-(10+6) z=60+1-10-6 z=45 Portanto, Pancho Villa andava a uma velocidade de 45Km/h.Um rei comprou cinco escravos. Dois deles, que diziam sempre a verdade, tinhamolhos castanhos, e os outros três (de olhos azuis) sempre mentiam. Os cincoforam organizados em fila.O rei deveria, assim, adivinhar em que ordem eles estavam dispostos, fazendoapenas três perguntas, uma para cada escravo diferente.O rei aproximou-se do primeiro e perguntou:- "De que cor são teus olhos?"
  48. 48. Ele respondeu em dialeto chinês, e o rei nada entendeu. Restavam-lhe apenasduas perguntas. Perguntou então para o segundo escravo:- "Qual foi a resposta que seu companheiro acabou de dar?"O segundo escravo falou: - "Ele disse: os meus olhos são azuis".O terceiro escravo, localizado no centro da fila, foi questionado da seguinte forma:- "De que cor são os olhos desses dois jovens que acabo de interrogar?"O terceiro escravo respondeu: "O primeiro tem olhos castanhos e, o segundo,olhos azuis."Em que ordem os escravos se encontravam, de acordo com a cor dos olhos decada um? Olhos castanhos - o escravo fala a verdade Olhos azuis - o escravo mente Se o primeiro escravo tiver olhos castanhos, ele dirá que tem olhos castanhos. Se o primeiro escravo tiver olhos azuis, ele dirá que tem olhos castanhos (pois eles mentem).Na pergunta feita ao segundo escravo da fila, ele respondeu que o primeiro havia dito que tem olhos azuis. Portanto, o segundo escravo é mentiroso! Então concluimos que o segundo tem olhos azuis.O terceiro escravo disse que o primeiro tem olhos castanhos e o segundo tem olhos azuis. Como já concluimos que osegundo tem olhos azuis, então o terceiro fala a verdade, e portanto tem olhos castanhos. E pela afirmação feita por ele, concluimos que o primeiro tem olhos castanhos também. Sendo assim, como haviam apenas dois escravos de olhos castanhos, os outros têm olhos azuis. A fila ficou da seguinte maneira: Olhos castanhos Olhos azuis Olhos castanhos Olhos azuis Olhos azuisVocê tem uma balança de 2 pratos e 12 tomates, sendo que: - 11 tem o mesmo peso - 1 tem o peso diferente (não sabemos se é mais leve ou mais pesado)Com apenas três pesagens, descubra qual é o tomate diferente e se ele é mais leveou mais pesado.

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