Mn aula06-interpolacao

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Mn aula06-interpolacao

  1. 1. Interpolação
  2. 2.  A necessidade de obter um valor intermediário que não consta de uma tabela ocorre comumente  Dados experimentais, tabelas estatísticas e de funções complexas são exemplos desta situação.  Como obter estes dados?
  3. 3.  Dado um conjunto de dados {xi ,f(xi )} tal como na tabela abaixo:  Como obter o valor de f(x) para um valor de x que não tenha sido medido, como x=2.0 ?  Quando se deseja saber o valor de f(x) para um x intermediário entre duas medidas, isto é, xi <x<xi+1 , pode-se usar as técnicas da interpolação 0,0570,0460,0280,0160,001f(xi ) 6,04,53,01,50xi
  4. 4.  A interpolação consiste em determinar uma função, que assume valores conhecidos em certos pontos (nós de interpolação)  A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária, e deve ser adequada às características que pretendemos que a função possua  Função a ser considerada: Polinômios ⇒ Interpolação Polinomial
  5. 5.  Métodos de interpolação polinomial são utilizados para aproximar uma função f(x), principalmente nas seguintes situações: conhece-se apenas valores de f(x) em apenas pontos discretos x0, x1 , x2 , ... f(x) é extremamente complicada e de difícil manejo f(x) não é conhecida explicitamente
  6. 6.  A interpolação por meio de polinômios consiste em:  Interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi ,f(xi )}, significa calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma analítica de f(x) ou ajustar uma função analítica aos dados
  7. 7.  Interpolação polinomial consiste em se obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto de (n+1) dados {xi ,f(xi )}, isto é: p(x0 )=f(x0 ) p(x1 )=f(x1 ) … p(xn )=f(xn ) Obs: contagem começa em zero, portanto tem-se n+1 pontos na expressão
  8. 8.  Polinômio p(x) - polinômio interpolador Pode-se demonstrar que existe um único polinômio p(x) de grau menor ou igual a n que passa por todos os (n+1) pontos do conjunto {xi ,f(xi )} ( ) ( )p x a a x a x a x f xn n n 0 0 1 0 2 0 2 0 0 = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =... ( ) ( )p x a a x a x a x f xn n n 1 0 1 1 2 1 2 1 1 = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =... ( ) ( )p x a a x a x a x f xn n n n n n n n = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = 0 1 2 2 ... ...
  9. 9.  O conjunto de equações corresponde a um sistema linear de n+1 equações e n+1 variáveis Quais são as variáveis independentes? ai ou xi ? Poderia ser resolvido diretamente Essa é uma das formas de se obter o polinômio interpolador
  10. 10. xx xx yy yxP y y a a x x yxaa yxaa yxP yxP xaaxPxf )()( 1 1 )( )( )()( 0 01 01 01 1 0 1 0 1 0 1110 0010 111 001 101 − − − +=       =            ⇔    =+ =+ = = +=≈
  11. 11. Problema  Determinar o polinômio interpolador através da resolução de um sistema linear é caro computacionalmente  Outros modos de se obter o polinômio: Lagrange Newton
  12. 12.  Seja um conjunto de n+1 dados {xi ,f(xi )}. Encontrar um polinômio interpolador p(x) que passe por todos os pontos p x L x f x L x f x L x f xn n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅ + + ⋅0 0 1 1 ... Lk (x) são polinômios tais que: ( )L xk i ki= δ sendo que: δki se k i se k i = ≠ =    0 1 , ,
  13. 13. ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )L x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k k n k k k ki k ki k n ( ) = − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − − + − + 0 1 1 1 0 1 1 1 ... ... ... ... ( ) ( ) L x e L x se i k k k k i = = ≠ 1 0 , Pois:
  14. 14. Interpolação Linear  Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de retas (n=1) (Interpolação Linear) xi x0 x1 f(xi ) f(x0 ) f(x1 ) ∑= +== 1 0 1100 )().()().()().()( i ii xfxLxfxLxfxLxp
  15. 15.  Ajuste uma reta aos seguintes pontos (x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6) ( ) ( ) ( )1 01 0 0 10 1 xf xx xx xf xx xx xp ⋅      − − +⋅      − − =
  16. 16.  Ajuste uma reta aos seguintes pontos (x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6) ( ) ( ) ( )1 01 0 0 10 1 xf xx xx xf xx xx xp ⋅      − − +⋅      − − = ( ) ( ) ( )28.2455.16.5 24 2 1.3 42 4 −⋅+−⋅−=⋅      − − +⋅      − − = xx xx xp ( ) 6.025.1 +⋅= xxp
  17. 17. Forma de Newton ( ) ))...()(( ...))(()( 021 012010 xxxxxxd xxxxdxxddxp nnn −−− ++−−+−+= −− dn -> é o operador diferença dividida
  18. 18. Diferenças divididas )(][ 00 xfxf = 01 01 01 01 1,0 )()(][][ ][ xx xfxf xx xfxf xxf − − = − − = 02 1,02,1 2,1,0 ][][ ][ xx xxfxxf xxxf − − = 03 2,1,03,2,1 3,2,1,0 ][][ ][ xx xxxfxxxf xxxxf − − = Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
  19. 19. ][ 1xf ][ 2xf ][ 3xf ][ nxf ][ 0xf ][ 1,0 xxf ][ 2,1 xxf ][ 3,2 xxf ][ 2,1,0 xxxf ][ 3,2,1 xxxf ... ... Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2
  20. 20. Exemplo  Calcule a tabela de diferenças divididas para os seguintes valores: x -1 0 1 2 3 F(x) 1 1 0 -1 -2
  21. 21. 1 0 1 - 1/2 -1 1/6 0 0 - 1/24 -1 0 -1 0 -1 -2
  22. 22.  Mas qual o valor de d? ],...,[ ],,[ ],[ )( 10 2102 101 00 nn xxxfd xxxfd xxfd xfd = = = =
  23. 23.  Assim, ( ) ))...()(](,...,[ ...))(](,,[ )](,[)( 02110 01210 0100 xxxxxxxxxf xxxxxxxf xxxxfxfxp nnn −−− ++−− +−+= −−

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