Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil

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Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil

  1. 1. UVA Cálculo Diferencial e Integral I Profª Cinira Fernandes Apostila 1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES Limite de uma variável Se |x-a|<e valer para todo e>0, arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem um limite e tal limite vale a. Simbolicamente, a-e a+e Os valores x1, x2 e x3 a da variável x, estão na vizinhança e de x=a. Isto é, os valores xi estão no intervalo a-e < xi <a+e (i=1,2,3) LIMITE DE UMA FUNÇÃO Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do ponto a, ou, em certos pontos desta vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou lim ( ) e, para cada número positivo 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um 0 tal que, para todo x diferente de a, verificando | x -a | , a desigualdade | f(x) - l | , fica satisfeita. Diz-se então que b é o limite de f(x). x x®a, limx = a f x b x a = ®
  2. 2. LIMITES NOS EXTREMOS DO DOMÍNIO São os limites em que a variável independente x tende a assumir, em módulo, valores muito grandes positivos ( + ¥ ) ou negativos (– ¥ ). Simbolicamente: lim f (x) ou limf(x) ®− ¥ x® +¥ x Ex: Calcule os limites das funções: 1 a) = lim x®+ ¥ x 1 b) = lim x®− ¥ x c) = ®+ ¥ 3 lim x x d) = ®− ¥ 3 lim x x OPERAÇÕES COM LIMITES Supondo que f x f e g lim ( ) lim g(x) , onde ( f e g são finitos), verificam-se x a = = ® x®a para os limites as seguintes propriedades: a) lim [ f ( x ) + g ( x )] = lim f ( x ) + lim g ( x ) = f + g x ® a x ® a x ® a b) lim [ f ( x ) − g ( x )] = lim f ( x ) − lim g ( x ) = f − g x ® a x ® a x ® a lim [ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) c) f x × g x = f x × g x = f × g x ® a x ® a x ® a d) lim [ f ( x ) ÷ g ( x )] = lim f ( x ) ÷ lim g ( x ) = f ÷ g com g ¹ 0 x ® a x ® a x ® a e) n n lim [ ( )] [lim ( )] x a n x a f x = f x = f ® ® Observação importante: Uma função f(x) definida em um intervalo I, com a Î I, é contínua em x = a, se: lim f (x) f (a) x a = ® Exemplo: Verificar se a função 4 − f x é contínua em x = 3. 2 ( ) 2 − = x x 3 − 4 Resolução: Cálculo de f (3) : 5 3 2 (3) 2 = − f = Cálculo do lif ( 3 x ) : x® m4 − 2 lim 2 x ® x 3 − x = ( x + 2)( x − 2) ( 2) lim3 − ® x x = 3 li( x + 2 ) x m® = 5 Como lif ( x ) x® 3 m= f (3) , f (x) é contínua no ponto x = 3.
  3. 3. Exemplo: Verificar se a função 7 f x é contínua no ponto x = 1 A função é 1 ( ) + − = x x descontínua em x = 1 Exemplo: Verificar se a função 2 3 x se x + £ f x é contínua em x =3. + = 2 2 3 ( ) x se x Resolução: Cálculo de f (3) : Para x = 3, tem-se f (3) = 3 + 2 = 5. Contudo, como lim f ( x ) = 5 é diferente de lim f ( x ) = 8 − + x ® x ® 3 3 Como não existe o limite em x = 3, a função é descontínua . NOTAÇÕES SIMBÓLICAS OPERACIONAIS a) b) c) + ¥ = + ¥ − ¥ = − ¥ k k , se k 0 + ¥ , se k 0 − ¥ , se k 0 − ¥ , se k 0 + ¥ ( ) × +¥ = ( ) × −¥ = k k = 0 k ± ¥ d) , −∞ = +∞,
  4. 4. é −∞,
  5. 5. éí
  6. 6. ∈ N* (+¥) = + ¥ n , se k 0 + ¥ k e) f) , se k 0 − ¥ ( ) ( ) +¥ + +¥ = +¥ ( −¥ ) + ( −¥ ) = −¥ FORMAS INDETERMINADAS = 0 As sete formas clássicas de indeterminação são: 0 ¥ ¥ e , , ¥ −¥ , 0 ×¥ , 0 0 , 1 ¥ 0 0 ¥
  7. 7. Aparecendo uma destas formas no cálculo do limite, deve-se adotar técnicas com o objetivo de encontrar uma expressão correlata à forma inicial, a fim de, substituí-la e evitar tal situação. Exemplos: lim( x 2 + 2 x + 3 − x ) x a) = = = = Como o resultado obtido é uma indeterminação, deve-se substituí-lo por uma expressão correlata. A técnica adotada consiste em multiplicar e dividir a expressão indicada pelo conjugado. 2 2 x + x + − x = = 2 2 ( x + 2 x + 3 − x )( x + 2 x + 3 + x ) x + + + x + + + ®¥ ( 2 3 ) 2 3 lim ¥ + = = 2 x + 3 x®¥ ¥ 2 ¥ + ¥ + + ¥ Observe que após a aplicação do primeiro procedimento, surge outra forma de indeterminação. Este fato nos obriga a adotar outros recursos, ou seja: divide-se numerador e denominador pela maior potência de x 2 x 3 + x = = = 2 x + 3 x x ( x 2 x 3 x ) lim→ ! ! x 2 2 x 3 x + + + 2 + 0 + + + 2 + = = = 1 Conclusão: = 1 9 − x − b) = = x 3 3 0 x x + − = = = = 6 ®¥ ( 2 3 ) 2 ¥ + ¥ + − ¥ ( ¥ + ¥ + 3 − ¥) ( ¥ − ¥) (¥ − ¥) ( 2 3 ) lim 2 x x x ( 2 3 ) lim 2 x x x ®¥ ( 2 3 ) lim 2 x x x x + + + ®¥ ( 2 3 ) ¥ x lim 2 + + + ®¥ x x x x x x x + + + ®¥ 2 2 2 lim 1 2 3 1 3 2 lim 2 + ®¥ x x x 1 0 0 1 1 1 lim( x 2 + 2 x + 3 − x ) x ®¥ 3 lim 2 ® x 3 − 3 9 2 − 0 9 − x ( 3) 3 lim 2 x ® x 3 − ( 3)( 3) lim3 − ® x x li( x + 3 ) x ® 3 m(3 + 3)
  8. 8. LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL 1 ou lim 1 1 lim 1 e x e x x x x x = + = + ®+¥ ®−¥ Onde e é um número irracional, chamado número de Euler. Façamos x variar de 1 até +¥. 2 1 1 1 1 1 = 9 1 x = ® + 2,5 4 2 2 1 2 = = x = ® + 625 1 x = ® + 2,44 2,36 64 27 1 3 3 1 3 = = 256 4 4 1 4 = = x = ® + 2,59 2,59.10 10 1 10 10 1 10 10 10 @ @ 1 x = ® + 2,705 100 100 1 100 @ x = ® + 2,717 1 1000 1000 1 1000 @ x = ® + e x = @ + ¥ ® +¥ ® + +¥ 2,71828182... 1 1 Uma forma equivalente desse limite é: x e x lim(1 ) x + = ® 1 0 Exemplos. Calcule os limites indicados abaixo: a) x x x 4 ) 1 lim(1+ ®+¥ b) x x x ) 1 lim (1− ®−¥ c) x lim(1− ) ®− x x 5 0 O conceito de continuidade Ao definir Lim f(x), se x a, analisamos o comportamento da função f(x) para valores de x próximos de a, mas diferentes de a. Vimos que Lim f(x) pode existir, mesmo que f não esteja definida no ponto a. Se f está definida em x=a e Lim f(x) existe, ainda pode ocorrer que este limite seja diferente de f(a). Uma idéia muito simples de função real contínua é a de uma função que possa ser traçada em uma folha sem retirar a caneta do papel. Caso se interrompa o gráfico da função e se comece em outro local do papel, ocorre uma descontinuidade. Em contextos avançados, observa-se que este critério é errado, mas para o momento tal análise é suficiente. Abaixo, mostramos um gráfico de uma função f contínua (sem interrupção) e um gráfico de uma função g descontínua com uma série de problemas.
  9. 9. Na função descontínua g, observamos que: Não existe Lim g(x), se x b, pois os limites laterais de g=g(x) são diferentes, isto é: Limx b_ g(x) = s Limx b+ g(x) = k embora g(b)=k. 1. Não existe Lim g(x) quando x c, pois Limx c_ g(x) = Limx c+ g(x) = embora g(c)=k. 2. Em x=d, temos Limx d_ g(x) = Limx d+ g(x) = s e g(d)=s. Assim Limx d g(x)=s que coincide com o valor de g no ponto x=d, isto é: Limx d g(x) = g(d) = s 3. Em x=e, o valor que se obtém não é o esperado, aqui Limx e_ g(x) = k = Limx e+ g(x) mas g(e)=z, logo Limx e g(x) g(e) Definição de função contínua: Seja uma função f:|a,b| R e acb. A função f é contínua no ponto c, se Lim f(x) existe, quando x c e é igual a f(c), ou de uma forma mais concisa: Limx cf(x)=f(c) onde |a,b| é um intervalo da forma: (a,b), (a,b], [a,b) ou [a,b]. Se não existe Lim f(x) ou se existe Lim f(x) quando x c, mas Lim f(x) é diferente de f(c), dizemos que a função f é descontínua em x=c.
  10. 10. Limites trigonométricos Limites envolvendo infinito a) b) c) d) Limite de uma função polinomial para Seja a função polinomial . Então: OBSERVAÇÃO: Quando x ® + ¥ ou x ® – ¥, o limite de um polinômio é igual ao limite do seu termo de maior grau. Exemplos: a) lim→#$ + $ − % lim→ #$ ∞ b) lim→'%$( − )$ + #$ + * lim→' %$( −∞ c) lim→' +,'! -. lim→' , l→im'#$ −∞

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