Análise combinatória EBEP 2015

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Apresentação multimídia usada nas aulas de matemática para ensino médio

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Análise combinatória EBEP 2015

  1. 1. Unidade Integrada SESI/SENAI – EBEP Carlos Guido Ferrario Lobo
  2. 2. Tipos de agrupamentos • Diferem um do outro pela ordem ou natureza dos elementos. Arranjo • Não diferem pela ordem dos seus elementos.Combinação • São grupos fazendo a troca de posições de todos os elementos. Permutação
  3. 3. Arranjos Simples CORRIDAS - ELEIÇÕES - DISPUTAS
  4. 4. O quadrangular final de um torneio mundial de basquete é disputado por quatro seleções: Brasil, Finlândia, Grécia e Turquia. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados?
  5. 5. Arranjos (Definição) • Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem ou a natureza dos seus elementos FAZ A DIFERENÇA. • É preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.
  6. 6. Arranjos (Fórmula) Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados k a k, a qualquer sequência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes.
  7. 7. Exemplo 1: A senha • A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas acompanhadas por uma sequência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser “confeccionadas”?
  8. 8. Exemplo 2: Pares ordenados • Dado o conjunto A={1,2,3,4}, vamos escrever todos os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois (pares ordenados).
  9. 9. Permutação Simples e com repetição ANAGRAMAS – FORMAÇÕES
  10. 10. Cinco pessoas, entre elas Antônio e Pedro, vão fazer uma selfie. De quantas maneiras elas podem ser dispostas, colocadas lado a lado?
  11. 11. Permutação (Definição) • São grupos formados, fazendo a troca de posições de todos os elementos envolvidos. • Notemos que a permutação é um caso particular de arranjo, pois, dado um conjunto com n elementos distintos, selecionamos exatamente n elementos para formar a sequencia ordenada.
  12. 12. Permutação (Fórmula) Permutação de n elementos.
  13. 13. Exemplo 1: Centenas distintas • Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar utilizando os algarismos 2, 5 e 8? Note o uso da palavra “distintos”, ou seja, sem repetir o mesmo algarismo.
  14. 14. Exemplo 2: ANAGRAMAS • Anagramas são todas as palavras formadas, com ou sem sentido, pelas letras da palavra dada, embaralhando a sua ordem. Quantos anagramas existem da palavra azul?
  15. 15. 15 Permutação com repetição É a permutação onde aparecem elementos repetidos. Se trocarmos a ordem destes, não aparecerá mudanças na posição. Generalizando: , , n n! P ! ! !       
  16. 16. Exemplo 3: ANAGRAMAS Exemplo: Os anagramas da palavra “matemática”. Ao mudar as letras “m” com outra “m” aparentemente não houve mudança. O mesmo com as letras “a” ou “t” . Assim, seguimos o raciocínio: n 1 2 3 P 10! 10 9 8 7 6 5 4 3! 151200 P P P 2! 3! 2! 2 3! 2                
  17. 17. Combinação Simples EQUIPES - JUNTAS MÉDICAS - GRUPOS
  18. 18. Quatro alunos – Pedro, Luís, Abel e Márcio – participam de um concurso em que serão sorteadas três bicicletas do tipo mountain bike. Quais os possíveis resultados do concurso?
  19. 19. Combinação (Definição) • Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto de A formado por k elementos. • Notemos que neste caso a troca da ordem dos elementos não caracteriza novos agrupamentos
  20. 20. Combinação de n elementos, tomados k a k.
  21. 21. Exemplo 1: A comissão • Uma classe tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas. Quantas comissões de dois meninos de duas meninas podem ser formadas?
  22. 22. Exemplo 2: DIA DE PIZZA • Um pizzaria oferece 15 diferentes sabores de pizza e seus clientes. De quantas maneiras uma família pode escolher três desses sabores?
  23. 23. Observação • Tanto arranjo como combinação são agrupamentos de k elementos distintos escolhidos a partir de um conjunto de n elementos. A diferença é que, no arranjo, se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos um novo agrupamento; na combinação, mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos o mesmo agrupamento.
  24. 24. Carlos Santos Junior Professor de Matemática Unidade Integrada SESI/SENAI – EBEP Carlos Guido Ferrario Lobo carlos.dasilva@al.sesi.org.br carlossantosjr@outlook.com.br

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