Mat media aritimetica

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Mat media aritimetica

  1. 1. Médias 1.0 - Média Aritmética ( M.A. )Dados dois ou mais números, definimos média aritmética entre eles como sendo a razão entre a soma dessesnúmeros e a quantidadedeles.Exemplo 1 - Determine a média aritmética entre 2 e 8Aplicando a definição teremos :M.A. ( 2 e 8 ) = 2 + 8 / 2 = 10 / 2 = 5 M.A. ( 2 e 8 ) = 5Exemplo 2 - Determine a média aritmética entre 3 , 5 e 10 .Aplicando a definição teremos :M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 3 + 5 + 10 / 3 = 18 / 3 = 6 M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 6 2.0 - Média Proporcional ou Geométrica ( M.G. )Dados dois ou mais números, definimos média proporcional ou geométrica entre eles como sendo raiz cujoradicando é o produtoentre esses números e o índice da raiz é a quantidade deles.Exemplo 3 - Determine a média proporcional ou geométrica entre 2 e 8. Aplicando a definição teremos :Exemplo 4 - Determine a média geométrica entre 1 , 2 e 4 . Aplicando a definição teremos :Observação Importante 1 : O termo média proporcional deve ser , apenas, utilizado para a média geométricaentre dois números. 3.0 - Média Harmônica ( M.H. )Dados dois ou mais números, definimos média harmônica entre eles como sendo o inverso da médiaaritmética entre os inversosdesses números.Exemplo 5 - Determine a média harmônica entre 2 e 8. Aplicando a definição teremos :
  2. 2. Exemplo 6 - Determine a média harmônica entre 2 , 3 e 6 . Aplicando a definição teremos : 3.1 - Média Harmônica entre dois números ( M.H. )Por meio de uma fórmula bastante simples podemos calcular diretamente a média harmônica entre doisnúmeros.A Média Harmônica entre dois , e somente entre dois números, é a razão entre o dobro do produto dessesnúmeros e a somadeles.Vejamos como chegamos a essa fórmula :Sendo a e b esses números, teremos pela definição da média harmônica :Exemplo 7 - Determine a média harmônica entre 4 e 10Aplicando a fórmula anterior, teremos :M.H. ( 4 e 10 ) = 2 x 4 x 10 / 4 + 10 M.H. ( 4 e 10 ) = 80 / 14 M.H. ( 4 e 10 ) = 5,71 ( aproximadamente )11.5 - Relação entre as Médias Aritmética, Harmônica e Geométrica - As três médias que vimos anteriormentepodem serrelacionadas por meio da relação : A Média Geométrica entre dois , e somente entre dois números, é a Média Geométrica entre a Média Aritmética e a Média Harmônica entre esses números.Considerando : 2Média Aritmética ( M.A. ) = a , Média Geométrica ( M.G. ) = g e Média Harmônica ( M.H. ) = h , teremos : g = a.hVejamos como chegamos a essa fórmula :Observação Importante 2 : Quando afirmamos que um número m é média geométrica entre n e p, issosignifica que o quadrado de m
  3. 3. é igual ao produto entre n e p ( n.p )Exemplo 7 - Determine a média geométrica entre dois números sabendo que a média aritmética e a médiaharmônica entre eles são,respectivamente, iguais a 4 e 9. 2 2 2Aplicando a relação : g = a.h , teremos : g = 4.9 g = 36 g=6 M.G. ( 4 , 9 ) = 6 4.0 - Média Aritmética Ponderada ( M.P. )Uma média aritmética é definida como ponderada quando repetimos intencionalmente um ou mais números,com o intuito de"puxarmos" a média para "próximo" desse número.Vejamos um exemplo de média aritmética ponderada :Exemplo 8 - Um professor aplica a seus alunos, uma prova, um exame e um trabalho para casa e decide que anota de um alunoserá obtida pela média entre essas três notas. Entretanto, pretende valorizar a nota da prova mais que a notado exame e estevalorizar mais que a nota do trabalho de casa e para tal, resolve que irá tirar a média aritmética entre 5 notasiguais à nota daprova ( p ), 3 notas iguais à nota do exame ( e ) e 2 notas iguais ao trabalho de casa ( t ), dessa forma a médiaaritmética será :p + p + p + p + p + e + e + e + t + t / 10 ou então: 5p + 3e + 2t / 10Supondo que as notas de um aluno tenham sido :Prova = 3,0 , Exame = 6,0 e Trabalho = 8,0 e dessa forma, a nota do aluno seria :3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 6 + 6 + 6 + 8 + 8 / 10 ou então: 5.3 + 3.6 + 2.8 / 10 = 15 + 18 + 16 / 10 = 49 / 10 = 4,9E assim : O aluno estaria reprovadoNotemos que se o professor decidisse tirar a média aritmética simples entre as três notas do aluno, o alunoestaria aprovado jáque essa média seria :Prova + Exame + trabalho / 3 = 3,0 + 6,0 + 8,0 / 3 = 5,67 ( aproximadamente )Mas como ele "puxou" a média para mais perto da nota da prova ela se tornou igual a 4,9.Na verdade o que o professor fez foi uma média aritmética ponderada onde cada repetição de notas passa ase chamar peso -ponderar significar dar peso , e nesse caso nosso problema seria assim descrito :Exemplo 8a - Calcular a média ponderada entre 3 , 6 e 8 para os respectivos pesos 5 , 3 e 2 .A Média Aritmética Ponderada entre dois ou mais números é a razão entre as somas dos produtos entre osnúmeros por seusrespectivos pesos e a soma desses pesos.E dessa forma teríamos : 3 x 5 + 6 x 3 + 8 x 2 / 5 + 3 + 2 = 15 + 18 + 16 / 10 = 49 / 10 = 4,9Exemplo 9 - Numa turma de 8ª série 10 alunos possuem 14 anos, 12 alunos possuem 15 anos e oito deles 16anosde idade. Qual será a idade média dessa turma ?
  4. 4. Temos mais um exemplo de média ponderada, onde a quantidade de alunos serão os pesos. Assim teremos :14 x 10 + 15 x 12 + 16 x 8 / 10 + 12 + 8 = 140 + 180 + 128 / 30 = 448 / 30 = 14,93 ( aproximadamente ) 5.0 - Exercícios ResolvidosR 01 - A média aritmética entre 5 números é 4,6. Qual será a nova média se aumentarmos cada número de suametade ?Resolução : Se a média aritmética entre 5 números é 4,6, podemos escrever : M.A. = S5 / 5 = 4,6 S5 = 23Como aumentamos cada número de sua metade, a nova soma desses cinco números será : S5 + S5/2 = 23 +11,5 = 34,5 ea nova média será : 34,5 / 5 = 6,9Perceba que a nova média será , evidentemente, igual a média anterior mais a sua metade. S5 + S5/2 = 4,6 + 2,3= 6,9R 02 - A média geométrica entre 3 números é 4. Quanto devo multiplicar um desses números para que a médiaaumente 2unidades ?Resolução : Se a média geométrica entre 3 números é 4, podemos escrever :Se multiplicarmos um deles por m , a nova média será :e como x.y.z = 64 64.m = 216 m = 216/64 = 27/8R 03 - Determine a média salarial de uma empresa, cuja folha de pagamento é assim discriminada : Profissionais Quantidade Salário Serventes 20 profissionais R$ 320,00 Técnicos 10 profissionais R$ 840,00 Engenheiros 5 profissionais R$ 1.600,00Resolução : Estamos diante de um problema de média aritmética ponderada, onde as quantidades deprofissionais serão os pesos.E com isso calcularemos a média ponderada entre R$ 320,00 , R$ 840,00 e R$ 1 600,00 e seus respectivospesos 20 , 10 e 5. 6.0 - Exercícios PropostosI - Calcule a Média Aritmética entre os números :01) 4 e 8,6 03) 12, 14 e 1902) 1/2 , 1/3 , 1/4 e 1/5 04) 0,8; 1,4; 2,6 e 4,2
  5. 5. II - Calcule a Média Proporcional entre os números : -1 -305) 3 e 48 06) 10 e 10III - Calcule a Média Geométrica entre os números :07) 2 e 50 09) 2/3 , 3 e 3208) 0,001; 0,2 e 0,5 10) 3, 6 , 8 e 9IV - Calcule a Média Harmônica entre os números :11) 8 e 12 13) 12 e 2012) 1/5 , 1/7 e 1/15 14) 4, 6, 8 e 12V - Calcule a Média Aritmética Ponderada entre :15) 6 e 8 para os respectivos pesos 1,5 e 3,516) 8,5; 7,0 e 9 para os respectivos pesos 2, 3, e 517) 7, 6, 10 e 8 para os respectivos pesos 3, 3, 2, e 218) Em que condições ma , mg e mh são iguais ?19) A média aritmética de 5 números é 13,4. Quanto preciso adicionar a cada um deles para que a nova médiaseja igual a 14,220) A média aritmética de 7 números é 20,4. Que número preciso acrescentar para que a nova média aritméticaseja igual a 21.21) A média aritmética entre três múltiplos consecutivos de 6 é igual a 24. Calcular o maior desses múltiplosde 6 .22) No Colégio Sensação existem duas sextas séries ; uma turma de manhã e uma turma a tarde. A médiaaritmética das notasem matemática da sexta série manhã é de 4,6 e da sexta série tarde é de 5,2. Qual será a média das notas emmatemática detoda a sexta série do Colégio Sensação ?23) A média aritmética das idades de 5 meninas é de 14 anos. Quantos meninos com 17 anos de idades serãonecessários paraque a média de todo o grupo se torne igual a 16 anos ?24) A idade média do corpo docente de um colégio é de 38 anos. Com a aposentadoria do professor Baltazar,o mais velho deles,a nova média das idades dos 11 professores restantes passou a ser de 35 anos. Com que idade se aposentouo professor Baltazar ?25) No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11 jogadores de um dos times era 1,72 m. Ainda noprimeiro tempo, umdesses jogadores, com 1,77 m de altura, foi substituído. Em seu lugar,entrou um outro que media 1,68 m dealtura. No segundo tempo,outro jogador do mesmo time, com 1,73 m de altura, foi expulso. Ao terminar a partida, a altura média dos 10jogadores desse timeera:A) 1,69 m B) 1,70 m C) 1,71 m D) 1,72 m

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