PROJETO DE EXTENSÃO I - SERVIÇOS JURÍDICOS, CARTORÁRIOS E NOTARIAIS.pdf
Atomic Orbitals from the Symmetry Viewpoint
1. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Conte´udo da apresenta¸c˜ao
Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Thiago Schiavo Mosqueiro e Esmerindo Bernardes
Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos,
Universidade de S˜ao Paulo
30 de Junho de 2010
T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 1/32
2. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Conte´udo da apresenta¸c˜ao
??????
???
T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 1/32
3. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Conte´udo da apresenta¸c˜ao
Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Conte´udo resumido...
Tabela de car´ateres
Montagem de representa¸c˜oes
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Significado de “∼”
Exemplo pr´atico: Xj | Pk | Xp = 0?
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4. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Tabela de car´ateres
Mapa do semin´ario
1 Tabela de car´ateres
2 Montando representa¸c˜oes
3 Orbitais atˆomicos como bases de irreps
4 Significado de ∼
5 Conclus˜ao
T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 3/32
5. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Tabela de car´ateres
Representa¸c˜oes de um elemento
Grupo −→ cole¸c˜ao de opera¸c˜oes
Opera¸c˜oes sobre quem? Conjunto de ve-
tores.
A representa¸c˜ao depende da base escolhida
Existe uma base que simultaneamente reduz
todas as representa¸c˜oes de todos os elemen-
tos `a forma blocodiagonal → irreps
g • x = y → Ax = y
g−1
• y = x → A−1
y = x
Suponha g: rota¸c˜ao bidimensional por
90o
no sentido hor´ario, e x os vetores
usuais no plano.
g •
1
1
=
−1
1
0 −1
1 0
1
1
=
−1
1
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6. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Tabela de car´ateres
Representa¸c˜oes de um elemento
-1 0 1
0
1
-1 0 1
0
1
g
0 −1
1 0
1
1
=
−1
1
Neste caso,
A =
0 −1
1 0
O car´ater de A ´e definido como
χA(g) := Tr(A) = 0
O car´ater de cada elemento depende da
representa¸c˜ao .
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7. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Tabela de car´ateres
Grupo do Diamante
Vamos estudar o grupo de simetria (pontual) do Di-
amante: Oh
Oh = Td ⊗ C2 → mesmo grupo do Zincblende,
adicionando a invers˜ao espacial
S˜ao 48 diferentes opera¸c˜oes.
48 = 1 + 1 + 1 + 1 + 22
+ 22
+ 32
+ 32
+ 32
+ 32
H´a 4 irreps unidimensionais, 2 bidimensionais e 4
tridimensionais
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8. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Tabela de car´ateres
Grupo do Diamante
As a¸c˜oes sobre vetores (x,y,z)
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9. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Tabela de car´ateres
Grupo do Diamante
Tabela de car´ateres
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10. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Montando representa¸c˜oes
Mapa do semin´ario
1 Tabela de car´ateres
2 Montando representa¸c˜oes
3 Orbitais atˆomicos como bases de irreps
4 Significado de ∼
5 Conclus˜ao
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11. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Montando representa¸c˜oes
Vetores para montar representa¸c˜oes
Escolhida uma base, podemos montar a
representa¸c˜ao de cada um dos elementos
do grupo.
Vamos denotar a (matriz) representa¸c˜ao
da opera¸c˜ao g, na base j, por Tj(g).
Assim, podemos calcular χT (g) para
cada g diferente e comparar com a ta-
bela de caracteres.
Vamos criar dois vetores e montar
as representa¸c˜oes para estes veto-
res.
u =
x
y
z
v =
xz
yz
xy
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12. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Montando representa¸c˜oes
Rota¸c˜ao, sentido ante hor´ario, em torno de x por π: C2x
Tu(C2x)u =
x
−y
−z
=
1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
x
y
z
−→ χTu (C2x) = −1
Tv(C2x)v =
−xz
yz
−xy
=
−1 0 0
0 1 0
0 0 −1
xz
yz
xy
−→ χTv (C2x) = −1
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13. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Montando representa¸c˜oes
Rota¸c˜ao, sentido ante hor´ario, em torno de x por π: C2x
Tu(C2x)u =
x
−y
−z
=
1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
x
y
z
−→ χTu (C2x) = −1
Tv(C2x)v =
−xz
yz
−xy
=
−1 0 0
0 1 0
0 0 −1
xz
yz
xy
−→ χTv (C2x) = −1
Mesmos car´ateres
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14. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Montando representa¸c˜oes
Rota¸c˜ao, sentido ante hor´ario, em torno de x + y por π: C2xy
Tu(C2xy)u =
y
x
−z
=
0 1 0
1 0 0
0 0 −1
x
y
z
−→ χTu (C2x) = −1
Tv(C2x)v =
−yz
−xz
xy
=
0 −1 0
−1 0 0
0 0 1
xz
yz
xy
−→ χTv (C2x) = 1
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15. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Montando representa¸c˜oes
Rota¸c˜ao, sentido ante hor´ario, em torno de x + y por π: C2xy
Tu(C2xy)u =
y
x
−z
=
0 1 0
1 0 0
0 0 −1
x
y
z
−→ χTu (C2x) = −1
Tv(C2x)v =
−yz
−xz
xy
=
0 −1 0
−1 0 0
0 0 1
xz
yz
xy
−→ χTv (C2x) = 1
Car´ateres diferentes!
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16. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Montando representa¸c˜oes
Espelho no plano x-y: σhyz = iC2x
Tu(σhyz)u =
−x
y
z
=
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
x
y
z
−→ χTu (σhyz) = 1
Tv(σhyz)v =
−xz
yz
−xy
=
−1 0 0
0 1 0
0 0 −1
xz
yz
xy
−→ χTv (σhyz) = −1
T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 13/32
17. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Montando representa¸c˜oes
Espelho no plano x-y: σhyz = iC2x
Tu(σhyz)u =
−x
y
z
=
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
x
y
z
−→ χTu (σhyz) = 1
Tv(σhyz)v =
−xz
yz
−xy
=
−1 0 0
0 1 0
0 0 −1
xz
yz
xy
−→ χTv (σhyz) = −1
Car´ateres diferentes!
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18. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Montando representa¸c˜oes
Base das Irreps
Todos os car´ateres da representa¸c˜ao Tu
concordam com os da irrep Γ−
15, ent˜ao
u ´e dito base para Γ−
15 .
Todos os car´ateres da representa¸c˜ao Tv
concordam com os da irrep Γ+
25, ent˜ao
v ´e dito base para Γ+
25 .
Caso n˜ao concordasse com nenhuma
das representa¸c˜oes, existe uma pres-
cri¸c˜ao simples que indica qual a “com-
bina¸c˜ao de irreps” que constroi a repre-
senta¸c˜ao em quest˜ao.
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19. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Montando representa¸c˜oes
Tabela mais completa
http://www.webqc.org/symmetry.php
H´a tabelas mais completas
Bases com potˆencias de coordena-
das
Nota¸c˜ao - A s˜ao ireps 1D, E s˜ao 2D
e T s˜ao 3D
O ´ındice g significa sim´etrico (ge-
rade) e u, antissim´etrico (ungerade)
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20. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Montando representa¸c˜oes
Mias referˆencias
http://www.cryst.ehu.es/
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21. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Mapa do semin´ario
1 Tabela de car´ateres
2 Montando representa¸c˜oes
3 Orbitais atˆomicos como bases de irreps
4 Significado de ∼
5 Conclus˜ao
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22. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Orbitais atˆomicos
Vamos testar a seguir alguns orbitais atˆomicos e descobrir como se
transformam segundo os elementos do grupo Oh.
Vamos utilizar quatro orbitais: s e 3p.
ψ±
x (r) = (x + a)φ(|r + aˆx|)±(x − a)φ(|r − aˆx|)
x = 0
+ +
++
- -
--
2a
x = 0
+ +
++
- -
--
2a
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23. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Orbitais atˆomicos
Analogamente, definimos os outros 2
orbitais p:
ψ±
y (r) = yφ(|r + aˆx|) ± yφ(|r − aˆx|)
ψ±
z (r) = zφ(|r + aˆx|) ± zφ(|r − aˆx|)
x = 0
+ +
+
+
-
-
--
2a
Por ´ultimo, temos os orbitais s:
ψ±
s (r) = ϕ(|r + aˆx|) ± ϕ(|r − aˆx|)
Vamos usar a invers˜ao espacial i para estudar estes orbitais: i xyz → ¯x¯y¯z.
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24. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos Orbitais
Estudo alg´ebrico
iψ±
x = (−x + a)iφ(|r + aˆx|) ± (−x − a)iφ(|r − aˆx|)
= (−x + a)φ i−1
|r + aˆx| ± (−x − a)φ i−1
|r − aˆx|
i2
xyz = i (i xyz) = i ¯x¯y¯z = xyz → ∴ i2
= e ou i = i−1
i|r+aˆx| = i|(x+a, y, z)| = |(−x+a, y, z)| = (−x+a)2 + y2 + z2 = |r−aˆx|
i|r−aˆx| = i|(x−a, y, z)| = |(−x−a, y, z)| = (−x − a)2 + y2 + z2 = |r+aˆx|
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25. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos Orbitais
Estudo alg´ebrico
iψ±
x = (−x + a)iφ(|r + aˆx|) ± (−x − a)iφ(|r − aˆx|)
= (−x + a)φ i−1
|r + aˆx| ± (−x − a)φ i−1
|r − aˆx|
i2
xyz = i (i xyz) = i ¯x¯y¯z = xyz → ∴ i2
= e ou i = i−1
i|r+aˆx| = i|(x+a, y, z)| = |(−x+a, y, z)| = (−x+a)2 + y2 + z2 = |r−aˆx|
i|r−aˆx| = i|(x−a, y, z)| = |(−x−a, y, z)| = (−x − a)2 + y2 + z2 = |r+aˆx|
T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 20/32
26. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos Orbitais
Estudo alg´ebrico
iψ±
x = (−x + a)iφ(|r + aˆx|) ± (−x − a)iφ(|r − aˆx|)
= (−x + a)φ i−1
|r + aˆx| ± (−x − a)φ i−1
|r − aˆx|
i2
xyz = i (i xyz) = i ¯x¯y¯z = xyz → ∴ i2
= e ou i = i−1
i|r+aˆx| = i|(x+a, y, z)| = |(−x+a, y, z)| = (−x+a)2 + y2 + z2 = |r−aˆx|
i|r−aˆx| = i|(x−a, y, z)| = |(−x−a, y, z)| = (−x − a)2 + y2 + z2 = |r+aˆx|
T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 20/32
27. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos Orbitais
Estudo alg´ebrico
iψ±
x = −(x − a)iφ(|r − aˆx|) ∓ (x + a)iφ(|r + aˆx|)
= ∓ [(x + a)φ(|r + aˆx|) ± (x − a)φ(|r − aˆx|)]
Car´ateres diferentes!
T±(i)ψ±
x (r) = ∓ψ±
x (r) Car´ater para i: χ±(i) = ∓1
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28. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos outros Orbitais
Estudo alg´ebrico
Fazemos o mesmo com os orbitais px e py.
iψ±
y = −yiφ(|r+aˆx|)±(−y)iφ(|r−aˆx|) = −y φ i−1
|r + aˆx| ± φ i−1
|r − aˆx|
= ∓ yφ i−1
|r + aˆx| ± yφ i−1
|r − aˆx| = ∓ψ±
y
iψ±
z = −ziφ(|r+aˆx|)±(−z)iφ(|r−aˆx|) = −z φ i−1
|r + aˆx| ± φ i−1
|r − aˆx|
= ∓ zφ i−1
|r + aˆx| ± zφ i−1
|r − aˆx| = ∓ψ±
z
T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 22/32
29. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos Orbitais
Estudo alg´ebrico
Para os ramos +, definimos
u =
ψ+
x
ψ+
y
ψ+
z
u ´e dito base de Γ−
15
Para os ramos −, definimos
v =
ψ−
x
ψ−
y
ψ−
z
u ´e dito base de Γ+
25
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30. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos Orbitais
Estudo geom´etrica
Podemos ver isso tamb´em geometricamente
Ao efetuar a invers˜ao, ψ+
x → −ψ+
x
Similarmente, ψ−
x → ψ−
x
Isso se reflete na diferen¸ca de car´ateres para
estas duas fun¸c˜oes.
Todas as outras opera¸c˜oes podem ser feitas
de forma similar
+ +
++
- -
--
+ +
++
- -
--
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31. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos Orbitais
Estudo geom´etrica
Podemos ver isso tamb´em geometricamente
Ao efetuar a invers˜ao, ψ+
x → −ψ+
x
Similarmente, ψ−
x → ψ−
x
Isso se reflete na diferen¸ca de car´ateres para
estas duas fun¸c˜oes.
Todas as outras opera¸c˜oes podem ser feitas
de forma similar
+ +
++
- -
--
+ +
++
- -
--
T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 25/32
32. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Significado de ∼
Mapa do semin´ario
1 Tabela de car´ateres
2 Montando representa¸c˜oes
3 Orbitais atˆomicos como bases de irreps
4 Significado de ∼
5 Conclus˜ao
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33. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Significado de ∼
Significado de ∼
Observamos que ψ+
x e x transformam-se de forma semelhante, ambos sendo
base para Γ−
15. Por isso, podemos dizer que ψ+
x transforma-se como a
coordenada x.
a ∼ b se lˆe a transforma-se como b
Sim´etrico: a ∼ b → b ∼ a
Ligando os orbitais atˆomicos `as bases das irreps, em geral facilitam-se as contas!
As tabelas nos ajudam a explorar as simetrias: ´e muito mais f´acil transformar
o vetor (x, y, z) comparado ao (ψ+
x , ψ+
y , ψ+
z ); o mesmo para (ψ−
x , ψ−
y , ψ−
z ),
usando o vetor (xz, yz, xy)
T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 27/32
34. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Significado de ∼
Tabela com orbitais e bases para irreps
Significado de ∼
T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 28/32
35. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Significado de ∼
Orbitais s
Significado de ∼
Segundo a tabela, ψ+
s ∼ Γ+
1 e ψ−
s ∼ Γ−
2 .
iψ±
s = φ(i|r + aˆx|) ± φ(i|r − aˆx|) = φ(i|r − aˆx|) ± φ(|r + aˆx|)
± {φ(i|r + aˆx|) ± φ(|r − aˆx|)}
iψ±
s = ±ψs
s
ψ+
s ∼ x2
+ y2
+ z2
ψs − + ∼ xyz
T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 29/32
36. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Conclus˜ao
Mapa do semin´ario
1 Tabela de car´ateres
2 Montando representa¸c˜oes
3 Orbitais atˆomicos como bases de irreps
4 Significado de ∼
5 Conclus˜ao
T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 30/32
37. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Conclus˜ao
Breves coment´arios
A tabela de car´ateres resume as informa¸c˜oes mais pertinentes sobre as irreps
Dada uma fun¸c˜ao, h´a uma prescri¸c˜ao para descobrir como ela transforma-se
Conhecendo as bases das irreps que transformam a fun¸c˜ao auxilia para
argumentos de simetria
Com essas irreps, podemos utilizar diversos teoremas de Teoria de Grupos
T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 31/32
38. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Conclus˜ao
Obrigado pela aten¸c˜ao
Uma boa referˆencia: Uma Introdu¸c˜ao `a Teoria de Grupos com Aplica¸c˜oes em
Mol´eculas e S´olidos, Adalberto Fazzio e Kazunori Watari
The crystallographic site at the Condensed Matter Physics Dept. of the
University of the Basque Country: http://www.cryst.ehu.es/
The Online Chemistry Education: http://www.webqc.org/symmetry.php
Trabalho sobre o suporte de Beamer, Fedora 13 β e diversos outros pacotes e
programas.
T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 32/32