O experimento de Franck-Hertz e alguns detalhes sobre seu "real" significado na mecânica quântica (ou clássica).

1. Pré-relatório, 28 de março de 2008
Brenno Gustavo Barbosa e Thiago Schiavo Mosqueiro

2. Em ano posterior, os resultados

experimentais obtidos foram
O experimento Franck-Hertz, realizado
 interpretados como a excitação dos
em 1914, pretendia confirmar a hipótese átomos levando à transição dos
de que os espectros de energia das
níveis atômicos, o que lhes valeu o
moléculas e dos sólidos são discretos.
prêmio Nobel em 1925.
 Foram realizados três montagens:
Esses resultados mostravam a

 Na primeira montagem, foram
discretização as energia.
medidas supostas energias de
ionização de vários gases;
 A segunda montagem foi uma
adaptação da primeira montagem
para realizar a medida da “energia
de ionização” de metais;
Na terceira observarão a emissão de

radiação ultra-violeta para o espectro
do mercúrio, apesar de este elemento
possuir outras freqüências de emissão; Gustav Hertz
James Franck

3. A mecânica quântica velha estava começando a surgir quando Franck e
Hertz realizaram este experimento. Imbuídos naquelas idéias,
conseguiram interpretar seus resultados de forma a concordar com tais
modelagens emergentes.

4. O elétron descreve órbitas estáveis,

representando estados chamados
Em 1913, Niels Bohr propõe um
 “estacionários”.
modelo para o átomo de
hidrogênio: o primeiro modelo que
obteve algum sucesso ao descrever
um sistema puramente quântico.
O físico Niels
Henrik David Bohr
(1885-1962), em
1922.
O modelo basea-se em três

hipóteses não muito difíceis de
serem aceitas dada nossa intuição
“clássica”.

5. As órbitas permitidas dependem de

valores quantizados (discretos) de
momento angular orbital, seguindo
Em 1913, Niels Bohr propõe um

o vínculo
modelo para o átomo de
hidrogênio: o primeiro modelo que
L   pdq : n, com n  Z .
obteve algum sucesso ao descrever
um sistema puramente quântico.
p
O físico Niels
Henrik David Bohr
 pdq  n
(1885-1962), em
1922.
O modelo basea-se em três

hipóteses não muito difíceis de

serem aceitas dada nossa intuição
“clássica”.

6. Quando ocorre o salto de um

elétron entre órbitas, a diferença de
energia é emitida (ou suprida) por
Em 1913, Niels Bohr propõe um

um simples quantum de luz.
modelo para o átomo de
hidrogênio: o primeiro modelo que
obteve algum sucesso ao descrever
um sistema puramente quântico.
O físico Niels
Henrik David Bohr
(1885-1962), em
1922.
O modelo basea-se em três

hipóteses não muito difíceis de
serem aceitas dada nossa intuição
“clássica”.

7. Em outras palavras, esperamos a

ocorrência de
Segundo o que foi discutido,

EHg (1)  EHg (0)  h .
podemos inferir então que ao
forçarmos os elétrons de uma A freqüência da onda de radiação

molécula de mercúrio a transitar de deve concordar com a diferença de
um nível eletrônico a seu segundo energia ao transitar de um estado
nível eletrônico (isto é, o de energia etiquetado por 1 para um estado
imediatamente mais alta), esperamos etiquetado por 0.
a emissão de radiação. Portanto,
alguma técnica de espectroscopia Sabemos atualmente que a

poderia nos fornecer o comprimento freqüência que é medida nesta
emissão é aproximadamente de
de onda associado a esta radiação.
3,94 10⁶Hz. Isto significa que a
diferença entre as energias do
estado 1 para o estado 0 deve
ser igual a 4.89 eV.

8. Realizamos algumas simulações

com a equação em questão,
O experimento de Franck-Hertz pode

salientando que ela mostra
ser descrito classicamente por meio da
apenas a conservação da energia
perda abrupta de energia de um elétron
e que a corrente é proporcional a
ao “chocar-se” com um átomo ao
velocidade, obtendo o seguinte
coincidirem a energia de excitação do
gráfico.
átomo com a energia total do elétron.
Matematicamente podemos descrever

esse evento através da simples equação
(discretizada para uso computacional)
para um único elétron com velocidade
inicial v0.
 
 me vi21
2eV 2E
max  sgn   E ,0  .
vi  v  ( xi  xi 1 ) 
2
2 

i 1
 
me L me 

9. Realizamos algumas simulações

com a equação em questão,
O experimento de Franck-Hertz pode

salientando que ela mostra
ser descrito classicamente por meio da
apenas a conservação da energia
perda abrupta de energia de um elétron
e que a corrente é proporcional a
ao “chocar-se” com um átomo ao
velocidade, obtendo o seguinte
coincidirem a energia de excitação do
gráfico.
átomo com a energia total do elétron.
Matematicamente podemos descrever

esse evento através da simples equação
(discretizada para uso computacional)
para um único elétron com velocidade
inicial v0.
 
 me vi21
2eV 2E
max  sgn   E ,0  .
vi  v  ( xi  xi 1 ) 
2
2 

i 1
 
me L me 

10. Há quem queira atribuir uma grande

importância ao fato de que a primeira
energia de excitação do mercúrio
ocorrer em 4,67eV e não em 4,89eV
como se observa no experimento de
Franck-Hertz. Acreditamos que esse não
é o grande objetivo deste experimento,
mas daremos uma explicação sucinta do
fenômeno.
O que ocorre é que a secção de choque

do nível 3p1 é muito maior que a secção
de choque de 3p0 o que condiciona uma
maior chance do elétron perder sua
energia para esse nível. Não poderemos
visualizar isso no experimento.

11. Há quem queira atribuir uma grande

importância ao fato de que a primeira
energia de excitação do mercúrio
ocorrer em 4,67eV e não em 4,89eV
como se observa no experimento de
Franck-Hertz. Acreditamos que esse não
é o grande objetivo deste experimento,
mas daremos uma explicação sucinta do
fenômeno.
O que ocorre é que a secção de choque

do nível 3p1 é muito maior que a secção
de choque de 3p0 o que condiciona uma
maior chance do elétron perder sua
energia para esse nível. Não poderemos
visualizar isso no experimento.

12. O caminho livre médio para um gás ideal

(gás real suficientemente rarefeito) é
dada por Há uma redução da corrente com

1 kT
l o aumento da temperatura.
.
2d ²  T  Atribuímos o resultado
contraditório ao aumento da
Esperávamos inocentemente que o
 pressão de vapor com a
aumento da temperatura aumentasse o temperatura.
livre caminho reduzindo o número de
Abaixo temos uma interpolação

choques e aumentando as chances de
para a pressão em função da
um elétron de chegar ao ânodo, contudo
temperatura,
ocorre o contrário.
log10 P  12,93  0,042.T  2,90.105 T 2 .

13. Inicialmente, Franck e Hertz gostariam de medir energias de ionizações
para diversos metais, entre eles o mercúrio. Porém, após tomarem
conhecimento do trabalho de Niels Bohr, interpretaram o experimento
de forma concordante com o modelo proposto por Bohr.

14. O experimento consiste em

três montagens variantes com
um mesmo propósito: obter
informações sobre a emissão
de radiação pelos elétrons na
transição entre os estados
eletrônicos.
A válvula tetrodo Leybold, com as

imagens a cima, será utilizada no
experimento. Em seu interior, há
mercúrio que será aquecido até atinjir
um estado de vapor. Há também um
cátodo, emissor de elétrons que
percorrerão este vapor.

15. fk : funciona como um cátodo.

Aplicando uma tensão sobre f,
admitimos que haverá a emissão
Podemos representar a válvula tetrodo

de elétrons (emissão termiônica).
no esquema abaixo, reconhecendo o
A : ânodo, que receberá elérons

ânodo na região à direita e o cátodo, à
vindos do cátodo.
esquerda. A região central deverá
G1 : grade que controla o número

conter mercúrio.
de elétrons, os acelerando em
sentido ao ânodo A.
Cátodo Ânodo G2 : grade que reacelera os

elétrons que, ao colidirem,
perderam energia para o gás.
C : região em que há mercúrio

(Hg) e está entre as placas G1 e
G2.

16. A válvula, em mais detalhes, está

esquematizada ao lado. Na verdade, a
formação é cilíndrica, então devemos imaginar
os elétrons saindo de fk até A radialmente.
Nosso esquema anterior, copiado abaixo,

representaria uma das linhas centrais que
ligam o cátodo ao ânodo.
Cátodo Ânodo

17. O mercúrio, à temperatura

ambiente, apresenta-se como
líquido. Aquecendo a válvula, é Mercúrio (Hg)
possível mantermos o mercúrio em
estado de vapor.
Podemos ainda aplicar um potencial

Durante o trajeto em C, os elétrons

emitidos pelo cátodo colidem com sobre A (ânodo) para que elétrons
as moléculas de Hg. com baixas energias não interfiram
Nestas colisões, os elétrons podem na corrente gerada na região C.

perder sua energia ao excitar os Definiremos como potencial de
átomos de Hg. Porém, modelados retardo esta tensão aplicada em A.
pelo modelo de Bohr, isto só
O experimento basea-se na medida

ocorrerá se os elétrons
da corrente em A em função dos
apresentarem certos valores de
potenciais aplicados em f e G2.
energia discretos.

18. Passagem do sinal
representando a corrente
sobre o ânodo.
Passagem de
elétrons.
Tensão que controla o movimento do
marcador sobre o painel.
A corrente passa por um amperímetro de

grande precisão que repassa estas
Como comentamos, mediremos

durante o experimento a informações em forma de “sinal” para um
corrente que chega ao ânodo, plotter.
pois estamos interessados na
 Neste plotter, há um papel e um lápis,
interação entre o vapor de
sustentado por uma régua, que marca o sinal
mercúrio e os elétrons emitidos
recebido. É possível controlar a velocidade
pelo cátodo.
com que a régua do plotter percorre o painel.

19. Para estudar os espectros de energias e a energia de ionização do
mercúrio, realizamos o experimento descrito anteriormente, baseados
nas discussões de Franck e Hertz.

20. O experimento baseia-se na

leitura de medidas da corrente
que chega ao ânodo (A) em
função do potencial sobre a grade
que acelera os elétrons (G2).
Utilizaremos o HP x-y Plotter
para realizar estas medidas, que
estará ligado ao amperímetro de
grande precisão, conectado em
série com o ponto A.
 Há três montagens diferentes.
Vamos rapidamente enunciá-las.

21. O experimento baseia-se na

leitura de medidas da corrente
que chega ao ânodo (A) em A primeira de nossas montagens servirá
função do potencial sobre a grade para observarmos uma a ocorrência de
uma excitação dos átomos de mercúrio
que acelera os elétrons (G2).
pela corrente que percorrerá o cátodo e
Utilizaremos o HP x-y Plotter
o ânodo, medida no ponto A.
para realizar estas medidas, que
Segundo nosso modelo, quando um
estará ligado ao amperímetro de
átomo recebe uma quantidade de de
grande precisão, conectado em
energia oriunda de um processo externo,
série com o ponto A.
um de seus elétrons pode transitar entre
 Há três montagens diferentes.
dois estados: esta transição será
Vamos rapidamente enunciá-las. detectada indiretamente.

22. O experimento baseia-se na

leitura de medidas da corrente
que chega ao ânodo (A) em Este arranjo realiza quase a mesma
função do potencial sobre a grade tarefa do arranjo anterior, com a
diferença de que observaremos
que acelera os elétrons (G2).
múltiplas excitações ao longo do
Utilizaremos o HP x-y Plotter
caminho que a corrente percorrer.
para realizar estas medidas, que
O objetivo desta mudança é verificar se
estará ligado ao amperímetro de
o ganho de energia, pelos elétrons,
grande precisão, conectado em
entre uma excitação e outra é o mesmo
série com o ponto A.
e se esta quantidade permanece
 Há três montagens diferentes.
inalterada (ou quanto inalterada) à
Vamos rapidamente enunciá-las. medida em que modificamos a
temperatura do sistema.

23. O experimento baseia-se na

leitura de medidas da corrente A ionização é a situação em que um
que chega ao ânodo (A) em elétron é completamente libertado das
função do potencial sobre a grade ligações (barreiras atrativas de
que acelera os elétrons (G2). potencial) do átomo, deixando como
Utilizaremos o HP x-y Plotter resultado um íon positivo (cátion) livre. A
para realizar estas medidas, que idéia é medir esta corrente positiva para
assim estimar qual a energia que foi
estará ligado ao amperímetro de
necessário fornecer aos elétrons para
grande precisão, conectado em
ionizar os átomos de mercúrio.
série com o ponto A.
Associado a este modelo, deveremos
 Há três montagens diferentes.
propor um método para medir o ponto
Vamos rapidamente enunciá-las.
em que a ionização ocorre de forma
coerente.

24. A.
o Primeiramente, fixaremos a diferença de potencial entre A e fk fixa e de
aproximadamente 3.5V, deveremos observar que a corrente medida em A não sofre
alterações até que, abruptamente, decresce. Neste valor, deve haver uma
excitação dos átomos de mercúrio, o que implica na perda de energia por parte dos
elétrons. Assim, com pouca energia, o potencial de retardo os bloqueia, o que
explica a queda na corrente.

25. Nesta parte, variamos o potencial de retardo para verificar a ocorrência da
o
mudança brusca na medida da corrente. Os gráficos obtidos não foram os
melhores e diversas flutuações estranhas ocorreriam freqüentemente,
dificultando a realização das medidas.
Como o mais importante desta parte não é retirar algum valor
o
característico do mercúrio, mas observar esta mudança abrupta no
comportamento da corrente, os gráficos foram suficientes.
V3 = (20.01 ± 0.01) V

V1 = (5.50 ± 0.01) V

V2 = (0.00 ± 0.01) V


26. Podemos primeiramente verificar a ineficácia das nossas previsões para baixos
o
valores do potencial de retardo. As curvas abaixo foram obtidas para
V4 = (2.50 ± 0.01) V.
o

27. Neste outro gráfico, estão os valores do potencial de retardo que testamos e a
o
temperatura em que os dados foram colhidos.

28. Para cada uma das temperaturas, a tensão em que tal variação ocorreu está

tabelada abaixo.
Temperatura Potencial de Distância Tensão Erro para
(±1,º C) Retardo (±0.1, cm) (V) tensão
(±0.01,V)
160 4.5 30.0 23.7 0.1
160 4.8 27.6 21.8 0.1
162 5.0 29.0 22.9 0.1
164 2.5 28.5 22.5 0.09
166 6.5 28.0 22.1 0.1

29. B.
o O elétron é acelerado dentro do tubo até realizar uma colisão inelástica,
perdendo sua energia. É acelerado novamente, até realizar uma nova colisão. Se
entre o cátodo fk e a grade G2 houver uma diferença de potencial de 80V aparecerão
15 picos referentes a 15 colisões inelásticas de um mesmo elétron. Como se tratam
sempre da mesma transição eletrônica, podemos inferir o valor da diferença de
energia entre os dois níveis transitados a partir da distância entre os picos.

30. Abaixo, estão os resultados que obtivemos ao utilizar o plotter para coleta de dados e

discriminá-los de forma inteligente com ajuda de um software de tratamento de
imagens.
Temperatura: 118 º C. Temperatura: 91 º C.

31. Temperatura: 134 º C. Temperatura: 142 º C.

32. Temperatura: 144º C. Temperatura: 154 º C.

33. Neste amplo intervalo de

temperatura, fomos
capazes de observar o
comportamento da
corrente medida no
ponto A e compará-los.
Antes de realizarmos os
primeiros cálculos, uma
pergunta vem à tona: e a
nossa previsão? Estava
Temperatura: 160º C. errada?

34. A marcação que realizamos

está marcada para variar de 0V
As diferenças de tensões
 a 30.01V. Isto significa que para
associadas aos picos podem ser que a diferença entre os picos,
em termos de tensão, seja
calculados a partir da distância
4.9eV, deveremos ter uma
entre picos. diferença em comprimento de
V
x  L.
V3 = (30.01 ± 0.01) V
 V3
V1 = (5.60 ± 0.01) V

Definimos L = (38.0 ± 0.1)cm, o

V2 = (3.00 ± 0.01) V
 que significa que
V4 = (0.06 ± 0.01)V

x  6.2cm

35. Note que para realizarmos estas

medidas, precisaríamos de uma
referência de reta horizontal.
Para tanto, zeramos a corrente
em A e marcamos a reta abaixo
de cada uma das curvas.
 A curvatura apresentada pela
reta nas figuras que estamos
exibindo como nossos
resultados é devida única e
exclusivamente ao processo de
digitalização: nós tiramos fotos.
Temperatura: 118 º C.
Reta de referência
horizontal.

37.  6.2cm
 6.3cm
 6.3cm
 6.3cm

38. Nossos resultados estão tabelados abaixo para cada uma

das temperaturas estudadas.
Temperatura Distância Tensão Erro para tensão
(±1,º C) (±0.1, cm) (V)
91 6.1 4.82 0.09
118 6.2 4.89 0.09
134 6.2 4.89 0.09
142 6.2 4.89 0.09
144 6.3 4.97 0.09
152 6.3 4.97 0.09
160 6.3 4.97 0.09
V  (4.9  0.1)V

39. Para medir o potencial de

contato, calculamos a diferença
entre as energias de excitação
para cada um das temperaturas Ocorrência da
e o potencial em que ocorre o primeira excitação.
primeiro pico.
Vc  V1  V .
Temperatura: 144º C.

40. Nossos resultados estão tabelados abaixo para cada uma

das temperaturas estudadas.
Temperatura Posição do Potencial de Erro para o
(±1,º C) primeiro pico contato potencial de
(±0.1, cm) (V) contato
91 8.8 2.1 0.2
118 9.1 2.3 0.2
134 9.0 2.2 0.2
142 8.9 2.1 0.2
144 9.2 2.3 0.2
152 - - -
160 - - -
Vc  (2.2  0.2)V

41. C.
o Uma vez que a tensão em A é menor que a tensão em fk, o potencial de retardo é
tão grande que nenhum elétron será detectado. Além disso, por A estar a um
potencial negativo, serão detectados os íons positivos quando ocorrer a ionização, e
teremos uma corrente positiva surgindo repentinamente. Por isto, apenas nesta
terceira montagem é que verificaremos a ionização de fato.

42. Esperamos com este experimento medir a energia de ionização do mercúrio. Ao
o
lado, temos a curva obtida para a temperatura de 91ºC.
Como comentamos, repentinamente, V3 = (20.01 ± 0.01) V
o 
existe a detecção de corrente no
V1 = (5.60 ± 0.01) V

sentido oposto. Naturalmente, nós
invertemos as ligações do plotter para V2 = (3.09 ± 0.01) V

que o gráfico ficasse neste sentido,
V4 = (4.19 ± 0.01)V

caso contrário veríamos uma queda
brusca.
Para medirmos a energia de ionização,
o
traçamos as assíntotas...

43. Esperamos com este experimento medir a energia de ionização do mercúrio. Ao
o
lado, temos a curva obtida para a temperatura de 91ºC.
Como comentamos, repentinamente,
o
existe a detecção de corrente no
sentido oposto. Naturalmente, nós
invertemos as ligações do plotter para
que o gráfico ficasse neste sentido,
caso contrário veríamos uma queda
brusca.
Para medirmos a energia de ionização,
o
traçamos as assíntotas associadas à
reta que indica a corrente súbita que
surge e ...

44. Esperamos com este experimento medir a energia de ionização do mercúrio. Ao
o
lado, temos a curva obtida para a temperatura de 91ºC.
Como comentamos, repentinamente,
o
existe a detecção de corrente no
sentido oposto. Naturalmente, nós
invertemos as ligações do plotter para
que o gráfico ficasse neste sentido,
caso contrário veríamos uma queda
brusca.
Para medirmos a energia de ionização,
o
traçamos as assíntotas associadas à
reta que indica a corrente súbita que
surge e a reta referência (horizontal).

45. Utilizando esta modelagem, coletamos o comportamento da corrente para

duas temperaturas diferentes, obtendo como resultado os valores
tabelados abaixo.
Temperatura Distância Energia de ionização Erro
(±1,º C) (±0.1, cm) (V)
91 23.4 10.21 0.08
98 23.6 10.42 0.08
104 24.0 10.63 0.08
O potencial de ionização fica sendo, portanto,

Vion  (10.4  0.1)V .

46. Concluiremos nossas observações e listaremos as referências que
utilizamos para compreender este experimento (teoria envolvida e a
prática da teoria).

47. Como obtivemos um bom valor

bom para a energia de ionização,
concluímos que o potencial de
 Obtivemos como energia de excitação do
contato também pôde ser
mercúrio o valor (4.9 ± 0.1)eV. O valor
calculado com êxito.
esperado, como comentado ao início, é
4.89eV.  Por fim, pudemos realizar uma
simulação numérica que constatou
 Obtivemos também a energia de ionização
as curvas obtidas baseando-se
como (10.4 ± 0.1)eV. Encontramos em
apenas no modelo de Bohr e na
algumas referências o valor de 10.44 eV.
mecânica clássica.
 O potencial de contato foi medido como
(2.2 ± 0.2)eV. Podemos verificar sua
exatidão verificando a exatidão da medida
da energia de ionização: para medirmos a
energia de ionização foi necessário subtrair
o potencial de contato da tensão em que
houve corrente.

48. Franck-Hertz experiment with mercury, Atomic and

Nuclear Physics, Leybold Physics Leaflets, P6.2.4.1.
What really happens with Franck-Hertz experiment

Para a confecção dos gráficos,

with mercury, G. F. Hanne, American Journal of
utilizamos o plotter da HP que
Physics, 56, 696 (1988).
comentamos em conjunto com
Franck-Hertz experiment, Wikipédia,

dois outros softwares: o penplot,
http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Franck- desenvolvido por um ex-aluno do
Hertz_experiment&oldid=190671859. IFSC, e o Origin Lab, conceituado
WebElements Periodic Table,
 software para trabalhar com
http://www.webelements.com/webelements/eleme dados.
nts/text/Hg/econ.html
National Institute of Standards in Technology [2007],

http://physics.nist.gov/