Plano de trabalho
•Probabilidade
•Estatística
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 • Probabilidade:
      – Espaço de probabilidade
      – Variáveis aleatórias
      – Distr...
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•Estatística
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Modelagem para o
decaimento radioativo
Modelo
•   Partindo da Formulação do Problema, o primeiro passo seria escrever um modelo.
•   Nosso modelo baseia-se na ob...
Modelo
•   Partindo da Formulação do Problema, o primeiro passo seria escrever um modelo.
•   Nosso modelo baseia-se na ob...
Modelo
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•   A transição para uma amostra cheia de objetos que podem decair é quase
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Modelo
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Modelo
•   A transição para uma amostra cheia de objetos que podem decair é quase
    imediata: trata-se da seguida observ...
Modelo
• Neste exemplo, ao final da experiência, teríamos contado a
  emissão de 3 partículas.
• Supondo que o tempo de vi...
Modelo
  •   A literatura nos informa que o tempo médio para haver contagens (tempo
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Modelo
    •   Ainda, o experimento de contagem em uma amostra pode ser compreendido
        como a variável aleatória que...
Modelo
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Experimentação
Função distribuição
•   Temos três candidatas à distribuição de probabilidades para o número de
    contagens. Mas conjunt...
Função distribuição
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• Organiza...
Histograma de Contagens - Césio (137)
             50

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Função distribuição
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•   No...
Histograma de Contagens - Césio (137
             50
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Confiabilidade da
  distribuição
Estimadores
  •   Um estimador (de um parâmetro de uma distribuição) é uma função qualquer
      das observações da amostr...
Estimadores

                                  • Definamos ainda o estimador
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Estimadores
•   Efetuamos os cálculos para os estimadores propostos e os resultados
    estão listados logo abaixo.


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Estimadores
•   Efetuamos os cálculos para os estimadores propostos e os resultados
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Assimetria da distribuição
•   Vamos ainda testar se a maioria das
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Assimetria da distribuição
•   Podemos medir esta assimetria
                                           •   Como o coefici...
Assimetria da distribuição
•   Efetuando os cálculos,       •   Podemos observar um primeiro indício de
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Assimetria da distribuição
•   Efetuando os cálculos,       •   Aproveitando, no entanto, estes cálculos,
    obtemos os p...
Teste de hipótese: c²

 •   Na grande maioria dos casos, criamos modelagens para os eventos que
     desejamos estudar. Pa...
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Ritmo de contagem e
   o tempo morto
Ritmo de contagem
    •   Até o momento, estávamos contando emissões radioativas do Cs em conjunto
        com a radiação ...
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    •   Até o momento, estávamos contando emissões radioativas do Cs em conjunto
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Ritmo de contagem
•   Podemos, utilizando esta última relação, obter uma
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O tempo morto
    •   Temos o ritmo de contagem do Césio e da radiação de fundo, ambos com
        erros muito pequenos (c...
Críticas, conclusões e
  últimas palavras
Críticas
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                        ...
Críticas

 Infelizmente não fomos capazes de
  estimar de forma segura os parâmetros da
  distribuição binomial. Os probl...
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 Experiments ...
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1184   1190   1171   1201   1287 ...
1202   1268   1262   1209   1184   1280   1152   1185   1161   1190   1242   1203   1237
1184   1190   1171   1201   1287 ...
Scripts python
Scripts python
Scripts python
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Intervalo de Confiança
                                         •   A função erf não pode ser descrita
                   ...
Detalhes físicos
Detalhes físicos
Importância do número
                      De intervalos

       • Ao gerarmos os histogramas, utilizamos 25 divisões par...
Modelo
    •     A variável aleatória “tempo de
          espera” tem como distribuição        •   Efetuando a integral, o...
N
                                         e 
                                              t N n
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Flutuações e Estatísticas: Estudo sobre o Decaimento Radioativo
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Workshop apresentado dia 4 de Julho. Recebemos alguns elogios e algumas críticas: realmente aprendemos muito. Para mim, foi a experiência mais instrutiva e educativa que tive em meu semestre.

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Flutuações e Estatísticas: Estudo sobre o Decaimento Radioativo

  1. 1. Plano de trabalho
  2. 2. •Probabilidade •Estatística
  3. 3. •Probabilidade •Estatística • Probabilidade: – Espaço de probabilidade – Variáveis aleatórias – Distribuições – Processos estocásticos • Estatística – Estimadores – Testes de Hipótese
  4. 4. •Probabilidade •Análise de equipamento •Estatística
  5. 5. •Probabilidade •Análise de equipamento •Estatística • Análise de equipamento: – Falta de manual – Limite do contador – Tempo morto – Marcação de tempo
  6. 6. •Probabilidade •Análise de equipamento •Estatística
  7. 7. •Probabilidade •Análise de equipamento •Estatística •Modelagem •Hipóteses •Teoria •Objetivos
  8. 8. •Análise de equipamento •Probabilidade •Montagem experimental •Estatística •Modelagem •Hipóteses •Teoria •Objetivos •Planejamento de amostragem •Coleta de dados
  9. 9. •Análise de equipamento •Probabilidade •Montagem experimental •Estatística •Modelagem •Hipóteses •Teoria •Objetivos •Análise de dados •Resultados •Planejamento de •Críticas amostragem •Apresentação do •Coleta de dados Workshop
  10. 10. Modelagem para o decaimento radioativo
  11. 11. Modelo • Partindo da Formulação do Problema, o primeiro passo seria escrever um modelo. • Nosso modelo baseia-se na observação de contagens, isto é, utilizamos um instrumento que detecta a partícula emitida. Contador que não perde contagens.
  12. 12. Modelo • Partindo da Formulação do Problema, o primeiro passo seria escrever um modelo. • Nosso modelo baseia-se na observação de contagens, isto é, utilizamos um instrumento que detecta a partícula emitida. Contador marca • Na emissão de uma partícula uma unidade eou radiação, a amostra transforma-se em outro b ou b+g elemento. • Nosso modelo tratará da observação da emissão em um intervalo de tempo. • Conseguimos, então, provar que o experimento “observar um decaimento até o instante t”, supondo a perda de memória deste experimento, deve obedecer à distribuição de probabilidade P(t )  1  et .
  13. 13. Modelo Modelo • A transição para uma amostra cheia de objetos que podem decair é quase imediata: trata-se da seguida observação de sistemas independentes emitindo partículas.
  14. 14. Modelo Modelo • A transição para uma amostra cheia de objetos que podem decair é quase imediata: trata-se da seguida observação de sistemas independentes emitindo partículas.
  15. 15. Modelo • A transição para uma amostra cheia de objetos que podem decair é quase imediata: trata-se da seguida observação de sistemas independentes emitindo partículas.
  16. 16. Modelo • A transição para uma amostra cheia de objetos que podem decair é quase imediata: trata-se da seguida observação de sistemas independentes emitindo partículas.
  17. 17. Modelo • Neste exemplo, ao final da experiência, teríamos contado a emissão de 3 partículas. • Supondo que o tempo de vida média (recíproco de ) destas partículas seja o mesmo para todas, a probabilidade de que ocorram n contagens é N   e  t N n t BN , (n)    1 e n , n  • usualmente conhecida como distribuição binomial, com média  . E(n)  N 1  et
  18. 18. Modelo • A literatura nos informa que o tempo médio para haver contagens (tempo médio de vida) é, aproximadamente, 30 anos, ou algo da ordem de 950 milhões de segundos. • A distribuição binomial apresenta • Analisemos o termo como parâmetros N e . p(t ) : 1  et . Tomando então o limite t  0 e N  , • Como o intervalo de tempo em que realizaremos a observação então B converge assintoticamente do decaimento radioativo não em distribuição para a distribuição se compara com o tempo de de Poisson com parâmetro Np(t), vida médio do césio, isto é, t 1  e t n N 1 e • este termo deve aproximar-se  . n  N 1et PN , (n)  de t. n!
  19. 19. Modelo • Ainda, o experimento de contagem em uma amostra pode ser compreendido como a variável aleatória que soma as contagens de cada objeto independente. • • O experimento de contagens das Como a nossa variável aleatória é a emissões radioativas (de qualquer soma de N variáveis aleatórias natureza) pode ser entendido independentes e identicamente formalmente como uma variável distribuídas, é natural esperarmos aleatória a que ligamos a soma dos que a distribuição tenda à distribuição resultados das observações de cada um Gaussiana, utilizando o teorema dos constintuintes da amostra. central do limite,  n   2  1 exp  . G , (n)   2 2   2  
  20. 20. Modelo • Ainda, o experimento de contagem em uma amostra pode ser compreendido como a variável aleatória que soma as contagens de cada objeto independente. • Neste limite, temos uma distribuição gaussiana, • O experimento de depende de dois• parâmetros: a variável e o que contagens das Como a nossa média aleatória é a emissões radioativas (de qualquer desvio padrão, dados porsoma de N variáveis aleatórias natureza) pode ser entendido   independentes e identicamente  formalmente como uma variável t aleatória a que ligamos a soma N 1  e  dos distribuídas, é natural esperarmos e que a distribuição tenda à distribuição 1 e . resultados das observações de cada um t Gaussiana, utilizando o teorema   Ne t dos constintuintes da amostra. central do limite,  n   2  1 exp  . G , (n)   2 2   2  
  21. 21. N   e  t N n t BN , (n)    1 e n , n 
  22. 22. N   e  t N n t BN , (n)    1 e n , n  t  0 e N   N 
  23. 23. N   e  t N n t BN , (n)    1 e n , n  t  0 e N   N   e  n   2  t n N 1 e  . n 1  N 1et exp  . PN , (n)  G , (n)   2   2 2   n!
  24. 24. Experimentação
  25. 25. Função distribuição • Temos três candidatas à distribuição de probabilidades para o número de contagens. Mas conjuntamente, temos diversos problemas associadas a todas estas distribuições. Como resolvê-los? • Em um intervalo de tempo de 30s observamos o número de contagens diversas vezes. • A razão entre o tempo de experiência e o tempo médio de contagens é da ordem de 10-9. • Consideraremos ainda que o número de objetos que ainda podem emitir partículas (ou ondas eletromagnéticas) é muito grande.
  26. 26. Função distribuição Histograma de Contagens - Césio (137) • Organizamos os resultados 50 em um histograma, isto é, um Contagens 45 gráfico que relaciona o 40 número de contagens com a 35 Freqüência freqüência com que este 30 25 resultado ocorre. 20 • O perfil ao lado encaixa-se em 15 nossas expectativas: as 10 5 distribuições binomial, normal 0 e poissônica devem encaixar- 1100 1150 1200 1250 1300 Intervalo de classe para a contagem se bem.
  27. 27. Histograma de Contagens - Césio (137) 50 45 Contagens Fit Gaussiano 40 35 Frequência 30 25 20 15 10 5 0 1150 1200 1250 1300 Intervalo de classe para a contagem
  28. 28. Função distribuição Histograma de Contagens - Césio (137) • No entanto, assim como 50 argumentamos no início, o Contagens modelo não consegue 45 Fit Poisson distinguir qual das 40 distribuições deve melhor 35 encaixar-se. Esperamos, na Frequência 30 verdade, que no intervalo 25 tomado, ambas as 20 distribuições igualem-se. • 15 Notemos ainda: a distribuição poissônica é discreta, 10 característica importante que 5 difere as duas candidatas 0 1100 1150 1200 1250 1300 Intervalo de classe para a contagem
  29. 29. Histograma de Contagens - Césio (137 50 Contagens 45 40 35 Frequência 30 25 20 15 10 5 0 1100 1150 1200 1250 1300 Intervalo de classe para a contagem
  30. 30. Confiabilidade da distribuição
  31. 31. Estimadores • Um estimador (de um parâmetro de uma distribuição) é uma função qualquer das observações da amostra. Esta função estima um valor para o parâmetro, caracterizando assim, ao menos em partes, a distribuição. • Como sabemos quais são as prováveis distribuições, podemos não só estimar seus parâmetros como também utilizar relações entre os parâmetros para verificarmos a distribuição que melhor se encaixa em nossos dados. Abaixo temos dois estimadores não viciados para nossos parâmetros. | n   | 2 1N    ni  i N i 1 N 1
  32. 32. Estimadores • Definamos ainda o estimador • Para a distribuição de N | n   | Poisson, podemos provar i d i 1 de forma simples a relação , N   . • usualmente conhecido como desvio médio. Para a distribuição normal, podemos provar que • A verificação desta igualdade propõe boa concordância com d 24 a distribuição de Poisson.  .  5
  33. 33. Estimadores • Efetuamos os cálculos para os estimadores propostos e os resultados estão listados logo abaixo. d  27.73   34.97   1200
  34. 34. Estimadores • Efetuamos os cálculos para os estimadores propostos e os resultados estão listados logo abaixo. d  27.73   34.97   1200 • As relações teste para verificação da relação entre os estimadores foram efetuados em seguida.   Estas relações concordam  0.99  em 99% com os valores esperados. Isto significa que de fato as duas distribuições 5d  0.99 são ótimas para descrever o 4 experimento de contagens.
  35. 35. Assimetria da distribuição • Vamos ainda testar se a maioria das Histograma de Contagens - Césio (137) partículas realmente encontram-se no intervalo [, +]. Para isto, 50 Contagens contamos o número de partículas 45 que de fato não estão neste 40 “intervalo de confiança” para o 35 Frequência experimento de contagens. 30 25 • Porcentagem esperada fora do 20 intervalo: 31.7%. . 15  Contagens acima: 42 - 19% 10 5  Contagens abaixo: 29 - 13% 0  Contagens fora: 71 - 32.71% 1100 1150 1200 1250 1300 Intervalo de classe para a contagem  Erro de 0.3% Intervalo de confiança • Este resultado evidencia uma leve assimetria com relação ao eixo central.
  36. 36. Assimetria da distribuição • Podemos medir esta assimetria • Como o coeficiente de assimetria é utilizando o coeficiente de proporcional ao terceiro momento, assimetria, usualmente associado quanto mais aproximar-se de zero, a Fisher, definido como m3 mais simétrica é a distribuição. É   3/ 2 , comum a utilização deste m2 coeficiente para medir a assimetria. • em que utilizamos os segundo e terceiro momentos (centrados na média),  mk   n    n k . f (n) nn0 • Se a distribuição é simétrica, então os n-ésimos momentos ímpares (ísto é, n impar) devem anular-se.
  37. 37. Assimetria da distribuição • Efetuando os cálculos, • Podemos observar um primeiro indício de obtemos os primeiros três simetria com relação à média devido a momentos: anulação do primeiro momento. Utilizando o segundo e o terceiro momentos, calcularmos o coeficiente de assimetria: m1 = -5.606 e-15   0.198. m2 = 1.183 e3 • Usualmente, a anulação da primeira casa decimal é o suficiente para m3 = 8.706 e3 considerar a distribuição simétrica. Consideramos portanto este resultado satisfatório e a distribuição m4 = 3.9805 e7 de fato simétrica.
  38. 38. Assimetria da distribuição • Efetuando os cálculos, • Aproveitando, no entanto, estes cálculos, obtemos os primeiros três podemos efetuar uma medida sobre o momentos: achatamento da distribuição, m4   2, m1 = -5.606 e-15 m2 conhecida como curtose que no caso da Gaussiana deve aproximar-se de 3. m2 = 1.183 e3   2.84. m3 = 8.706 e3 • Este valor de curtose nos fornece um erro de 5% sobre o valor esperado para uma distribuição normal. m4 = 3.9805 e7
  39. 39. Teste de hipótese: c² • Na grande maioria dos casos, criamos modelagens para os eventos que desejamos estudar. Para saber se a modelagem (hipóteses) são corretas (não absurdas), realizamos testes de hipóteses • Sabemos que nossas variáveis aleatórias são independentes, identicamente distribuídas e sua distribuição de probabilidades é Gaussiana. • Suponha a grandeza Oi Ei 2 . n Q :  Ei i 1 • Obviamente, desejamos que esta grandeza seja o menor possível.
  40. 40. Teste de hipótese: c² • Na grande maioria dos casos, criamos modelagens para os eventos que desejamos estudar. Para saber se a modelagem (hipóteses) são corretas (não absurdas), realizamos testes de hipóteses • Adicionemos às nossas suspeitas que os valores Ei são todos não nulos. Neste caso, pode-se provar que Q ~ c 2. • Sabendo disto, calcula-se a distribuição de probabilidade de que Q tenha um valor maior do que um certo Q0 obtido como resultado daquela soma. Esta distribuição vale  1 x 2 1 2 P(Q  Q0 )  x r e dx.  r  2r  2 Q0  2
  41. 41. Teste de hipótese: c² Convergência do Teste de Hipótese • Ao lado temos como o 1.00000 Probabilidade associada ao teste valor de P(Q<Q0) evolui em 0.99998 2 c em função do número de dados utilizados para o cálculo. função do número de 0.99995 pontos que consideramos 0.99993 Probabilidade de nossos experimentos. 0.99990 • Podemos ver que há uma 0.99988 certa convergência, muito 0.99985 embora o valor seja 0.99982 insignificantemente menor 0.99980 do que 100%. 150 160 170 180 190 200 210 220 Número de contagens - c²/DoF = 4.07693 P(x < c²) = 99.998%
  42. 42. Ritmo de contagem e o tempo morto
  43. 43. Ritmo de contagem • Até o momento, estávamos contando emissões radioativas do Cs em conjunto com a radiação de fundo. Vamos tentar minimizar os efeitos da radiação de fundo e obter alguma informação sobre o Cs. • Definimos o ritmo de contagem como a razão entre o número médio de contagens n e o tempo t durante o qual essa contagem foi feita, n r : . t • Dada uma grandeza física, podemos associá-la a um erro, cujo procedimento padrão é linearizar a grandeza em termos de seus parâmetros e diferenciar o resultado. Definimos a grandeza resultante como erro.
  44. 44. Ritmo de contagem • Até o momento, estávamos contando emissões radioativas do Cs em conjunto com a radiação de fundo. Vamos tentar minimizar os efeitos da radiação de fundo e obter alguma informação sobre o Cs. • Definimos o ritmo de contagem como a razão entre o número • Segundo o modelo, as possíveis médio de contagens n e o distribuições de probabilidade tempo t durante o qual essa apresentam média n  N 1  et . contagem foi feita, n r : . t • Dada uma grandeza física, Supondo a aproximação t << 1, o • podemos associá-la a um erro, número médio de contagens até o cujo procedimento padrão é instante t é linearizar a grandeza em termos n  Nt. de seus parâmetros e diferenciar o resultado. Definimos a grandeza resultante como erro.
  45. 45. Ritmo de contagem • Até o momento, estávamos contando emissões radioativas do Cs em conjunto com a radiação de fundo. Vamos tentar minimizar os efeitos da radiação de fundo e obter alguma informação sobre o Cs. • Definimos o ritmo de contagem • Utilizando a amostra de Cs (considerando a como a razão entre o número radiação de fundo), obtivemos como ritmo de médio de contagens n e o contagem, em unidades de contagens por tempo t durante o qual essa minuto (cpm), contagem foi feita, n r : . t rt = 2469 cpm. • Dada uma grandeza física, • podemos associá-la a um erro, Utilizando o equipamento sem o Cs, medimos cujo procedimento padrão é o ritmo de contagem da radiação de fundo, linearizar a grandeza em termos de seus parâmetros e diferenciar rf = 25.8 cpm. o resultado. Definimos a grandeza resultante como erro.
  46. 46. Ritmo de contagem • Até o momento, estávamos contando emissões radioativas do Cs em conjunto com a radiação de fundo. Vamos tentar minimizar os efeitos da radiação de fundo e obter alguma informação sobre o Cs. • Definimos o ritmo de contagem como a razão entre o número • Para o ritmo de contagem, médio de contagens n e o  r   r  2 2 tempo t durante o qual essa (Dr)    (Dt )2 +   (Dn)2 . 2  t   n  contagem foi feita, n • r : . Vamos desprezar (Dt)². Neste caso, utilizando t a relação entre a média e a variância,  2 •  1 Dada uma grandeza física, (Dr)2    (Dn)2  2 . podemos associá-la a um erro, t    . t cujo procedimento padrão é linearizar a grandeza em termos de seus parâmetros e diferenciar o resultado. Definimos a grandeza resultante como erro.
  47. 47. Ritmo de contagem • Até o momento, estávamos contando emissões radioativas do Cs em conjunto com a radiação de fundo. Vamos tentar minimizar os efeitos da radiação de fundo e obter alguma informação sobre o Cs. • Definimos o ritmo de contagem como a razão entre o número • Para o ritmo de contagem, médio de contagens n e o  r   r  2 2 tempo t durante o qual essa (Dr)    (Dt )2 +   (Dn)2 . 2  t   n  contagem foi feita, n • r : . Vamos desprezar (Dt)². Neste caso, utilizando t a relação entre a média e a variância,  • Dada uma grandeza física, Dr  . podemos associá-la a um erro, t cujo procedimento padrão é linearizar a grandeza em termos de seus parâmetros e diferenciar o resultado. Definimos a grandeza resultante como erro.
  48. 48. Ritmo de contagem • Até o momento, estávamos contando emissões radioativas do Cs em conjunto com a radiação de fundo. Vamos tentar minimizar os efeitos da radiação de fundo e obter alguma informação sobre o Cs. • Definimos o ritmo de contagem • Como o ritmo de contagem quando utilizamos como a razão entre o número a amostra de Cs apresenta em conjunto a médio de contagens n e o tempo t durante o qual essa radiação de fundo, o ritmo de contagem verdadeiramente do Cs será contagem foi feita, n r : . nf nt rc  rt  rf   t . tt t f • Dada uma grandeza física, • podemos associá-la a um erro, O erro deverá ser cujo procedimento padrão é linearizar a grandeza em termos rf rt Drc  + . de seus parâmetros e diferenciar tt t f o resultado. Definimos a grandeza resultante como erro.
  49. 49. Ritmo de contagem • Podemos, utilizando esta última relação, obter uma Fundo Com Amostra relação entre os tempos em que medimos o ritmo de 0.94 min 9.06 min contagem com a amostra e apenas o fundo, dada por tt 30 22505 rt  . tf 27 22828 rf 27 22144 • Medimos o ritmo de contagem para considerando 10 24 22243 min de experiência. Utilizando este procedimento, 28 22328 obtemos como resultado 25 22172 r = (2439 ± 24) cpm. 27 22275 32 22651  A medida do ritmo de contagem apresenta um erro 27 22349 representativo sobre seu valor estimado de 1%. Este 37 22217 ritmo de contagem foi comparado com resultados • obtidos há certa de 2 anos neste mesmo laboratório. Tabela de dados para esta experiência. De fato, a queda esperada é observada (em torno de 50 cpm).
  50. 50. O tempo morto • Temos o ritmo de contagem do Césio e da radiação de fundo, ambos com erros muito pequenos (como vimos, o ritmo de contagem para o césio apresenta erro relativo de 1%). Sinal emitido na • Podemos então determinar o tempo morto detecção do contador Geiger. Este tempo pode ser determinado utilizando os resultados que já temos: rc + rf  rc+ f Dt  . 2rc rf • Obtemos como resultado o tempo morto do Dt detector Geiger, • Podemos estimar em 40 Dt = (260 ± 30) s contagens médias por segundo, o que significa que não há problemas com o tempo morto.
  51. 51. Críticas, conclusões e últimas palavras
  52. 52. Críticas  Para um teste de aderência, os olhos são sempre míopes. Por isso, utilizamos  Com o estudo de probabilidade, fomos estimadores (estatística) para obter os capazes de determinar a distribuição que parâmetros da distribuição de deveríamos observar (dadas algumas probabilidade confirmamos que estes hipóteses) para o decaimento radioativo, parâmetros comportavam-se como assim como analisamos as principais parâmetros de uma distribuição normal e convergências em distribuição que poissônica. poderiam ainda ser observadas em nosso  Medimos, utilizando o Coeficiente de experimento. Assimetria, o quanto nossa distribuição  Realizamos o experimento, coletando 217 estava assimétrica. amostras consecutivas para o decaimento  Realizamos o teste c² para observar quão do Césio (137) e 30 amostras consecutivas confiável seria a distribuição normal para para a radiação de fundo. descrever nossos resultados.  Com estes resultados, construímos um  Determinamos o rítmo de contagem do histograma de freqüências com que Césio, 2439 cpm, com erro de 1%. resultados do experimento surgiam, Conjuntamente, medimos o tempo morto observando as distribuições normal e e determinamos que não há interferência poissônica. neste experimento.
  53. 53. Críticas  Infelizmente não fomos capazes de estimar de forma segura os parâmetros da distribuição binomial. Os problemas  Apesar de não podermos obter ainda encontrados foram: nenhum resultado realmente novo,  À medida com que realizamos o consideramos que o modelo proposto experimento, somos forçados a pará-lo. encaixa-se satisfatoriamente em nossas Ao pará-lo, a distribuição muda. Portanto, observações. estatisticamente, não somos capazes de observar mais do que uma única vez a  O modelo parte de hipóteses não comentadas durante a apresentação mesma amostra. Portanto, obtemos (estão em extra), mas disponibilizaremos apenas uma única amostra, o que não nos um relatório sobre este modelo para os garante segurança em nossos resultados. interessados.  O Césio emite em torno de 40 vezes por segundo, o que atrapalha na precisão de um possível experimento contínuo.
  54. 54. Últimos comentários  Os cálculos foram efetuados com  Experiments in Modern Physics, Adrian C. scripts Python disponíveis no apêndice. Os scripts efetuam os cálculos de Melissinos e Jim Napolitano, 2ª edição, momentos estatísticos, c² reduzido e Cod Fís-539M523e2, Academic Press, ritmo de contagem. Para efetuar 2003. propagação de erros, utilizamos um  An Introduction to Error Analysis, John R. pacote de classes desenvolvido por Taylor, 2ª edição, Cod Fís-53016T243i2, nós. University Science Book, Sausalito,  Os gráficos foram confecionados em California, 1997 Origin, versão 7.10.  UAH, applets para estudos de estatística  Para evidenciar confiabilidade de e probabilidades, nossos cálculos, comparamos os  http://www.math.uah.edu/stat/applets/Poisso nExperiment.xhtml resultados obtidos com os scripts e com o Origin.
  55. 55. Últimos comentários  Statistical Theory and Methodology in Science  Experiments in Modern Physics, Adrian C. and Engineering, K. A. Brownlee, 2ª edição, Melissinos e Jim Napolitano, 2ª edição, Cod New York: John Wiley & Sons, 1965. Fís-539M523e2, Academic Press, 2003.  Nuclear Theory: Nuclear Models, Walter  An Introduction to Error Analysis, John R. Greiner, 3ª edição, North Holland Physics Taylor, 2ª edição, Cod Fís-53016T243i2, Publ., Elsevier Science Publishers, Amsterdam University Science Book, Sausalito, California, (1985). 1997  Numerical Analysis, an Introduction, Walter  Probabilidade de Variáveis aleatórias, M. Gautschi, Birkhäuser, 1ª edição, 1997. Magalhães, EDUSP, 1ª edição.  Quantum Mechanics, Cohen Tannoudji,  Probability & Statistics for Engineers & Claude, Dui, B., Laloe, Franck , John Wiley & Scientists, Ronald Walpole, Raymond Myers, Sons Inc, 1978, volumes 1 e 2. Sharon Myers e Keying Ye, Prentice Hall  UAH, applets para estudos de estatística e (Upper Saddle River), 7ª edição, 2002. probabilidades, http://www.math.uah.edu/stat/applets/PoissonExperime nt.xhtml
  56. 56. 1202 1268 1262 1209 1184 1280 1152 1185 1161 1190 1242 1203 1237 1184 1190 1171 1201 1287 1225 1165 1193 1189 1230 1209 1185 1231 1176 1178 1223 1183 1235 1225 1305 1156 1187 1211 1207 1235 1232 1178 1259 1182 1208 1177 1121 1207 1201 1249 1195 1177 1236 1226 1183 1121 1165 1195 1239 1163 1151 1201 1229 1208 1216 1152 1166 1228 1195 1217 1175 1243 1197 1241 1182 1233 1136 1278 1202 1189 1137 1167 1263 1153 1203 1200 1159 1192 1193 1268 1258 1231 1233 1230 1254 1211 1157 1200 1169 1223 1183 1176 1197 1154 1239 1255 1212 1200 1213 1299 1184 1148 151 1237 1182 1277 1206 1185 1182 1231 1238 1164 1220 1214 1210 1217 1184 1205 1158 1223 1198 1145 1170 1185 1124 1176 1228 1233 1209 1254 1250 1164 1182 1194 1201 1290 1214 1147 1221 1240 1273 1250 1217 1217 1219 1189 1219 1130 120 1276 1205 1231 1232 1219 1158 1162 1265 1235 1188 1267 1173 1195 1226 1197 1206 1236 1218 1179 1208 1223 1244 1284 1225 1161 1174 1195 1214 1207 1175 1208 1240 1160 1206 1168 1190 1165 1270 1191 1203 1193 1221 1170 1195 1206 1204 1212 1194 1198 195 1245 1186 1208 1174 1218 1215 1186 1234 1216 1217
  57. 57. 1202 1268 1262 1209 1184 1280 1152 1185 1161 1190 1242 1203 1237 1184 1190 1171 1201 1287 1225 1165 1193 1189 1230 1209 1185 1231 1176 1178 1223 1183 1235 1225 1305 1156 1187 1211 1207 1235 1232 1178 1259 1182 1208 1177 1121 1207 1201 1249 1195 1177 1236 1226 1183 1121 1165 1195 1239 1163 1151 1201 1229 1208 1216 1152 1166 1228 1195 1217 1175 1243 1197 1241 1182 1233 1136 1278 1202 1189 1137 1167 1263 1153 1203 1200 1159 1192 1193 1268 1258 1231 1233 1230 1254 1211 1157 1200 1169 1223 1183 1176 1197 1154 1239 1255 1212 1200 1213 1299 1184 1148 151 1237 1182 1277 1206 1185 1182 1231 1238 1164 1220 1214 1210 1217 1184 1205 1158 1223 1198 1145 1170 1185 1124 1176 1228 1233 1209 1254 1250 1164 1182 1194 1201 1290 1214 1147 1221 1240 1273 1250 1217 1217 1219 1189 1219 1130 120 1276 1205 1231 1232 1219 1158 1162 1265 1235 1188 1267 1173 1195 1226 1197 1206 1236 1218 1179 1208 1223 1244 1284 1225 1161 1174 1195 1214 1207 1175 1208 1240 1160 1206 1168 1190 1165 1270 1191 1203 1193 1221 1170 1195 1206 1204 1212 1194 1198 195 1245 1186 1208 1174 1218 1215 1186 1234 1216 1217
  58. 58. Scripts python
  59. 59. Scripts python
  60. 60. Scripts python
  61. 61. Scripts python
  62. 62. Intervalo de Confiança • A função erf não pode ser descrita em termos de funções elementares. • Para saber quantas contagens Por isso, calculando numericamente espera-se encontrar fora do a função, intervalo de confiança, basta que 1 integremos a função densidade de 1  erf    0.317. probabilidade no intervalo  2 I   ,   ] + , . • O erro relativo a este resultado é de 0.3%, o que consideramos um • Isto significa que gostaríamos de resultado realmente bom. calcular a integral 2  + u 2  +  e du  e du   1  erf  1 . n/ 2 2  e du      P(  I )  u u 2  2   n/ 2  2 0  0
  63. 63. Detalhes físicos
  64. 64. Detalhes físicos
  65. 65. Importância do número De intervalos • Ao gerarmos os histogramas, utilizamos 25 divisões para realizar os cálculos. No entanto, quão significativo é a escolha do número de intervalos? Mostramos abaixo uma tabela com alguns valores calculados para diferentes números de intervalos. Bins Coeficiente Primeiro Segundo Terceiro Momento Assimetria Momento Momento 10 0.198 3.98722477e-015 5.4660815 e003 2.61842 e004 12 0.198 -3.63797880e-002 5.2415756 e003 8.97848 e004 19 0.198 3.17231751e-002 5.1596400 e003 2.01902 e004 22 0.198 -1.52795109e-002 5.5200690 e003 369913372.59 e004
  66. 66. Modelo • A variável aleatória “tempo de espera” tem como distribuição • Efetuando a integral, obtemos de probabilidade acumulada • como resultado uma partícula Contador marca Na emissão de uma t P (t )  1 eunidade eou radiação, a amostra , 1 t . T transforma-se em outro  b ou b+g • com densidade de probabilidade elemento. • Nosso modelo tratará da dada por • Portanto, esteemissão em um parâmetro  t observação da p(t )  e . proposto de tempo. motivos por intervalo “estatísticos” coincide com o • Por definição, a média do tempo recíproco do tempo de vida de espera é • Conseguimos, então, provar que o experimento “observar um decaimento médio da amostra, grandeza t”, supondo a perda de memória deste experimento, deve até o instante utilizada com freqüência pelos t   te dt.t obedecer à distribuição de probabilidade pesquisadores desta área. P(t )  1  et . 0
  67. 67. N   e  t N n t BN , (n)    1 e n , n  t  0 e N   N   e  n   2  t n N 1 e  . n 1  N 1et exp  . PN , (n)  G , (n)   2   2 2   n!

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