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Brenno Gustavo Barbosa
      Thiago Schiavo Mosqueiro



   Relatório
28/03/2008
Possível imagem
                                                                           do físico britânico
    Este fenômeno foi inicialmente descrito                                Frederick Guthrie

    pelo inglês Frederick Guthrie em 1873.
                                                                           (1833 – 1886).
    Ele notou comportamentos diferenciados

    para esferas de metal carregadas com
    temperaturas muito elevadas, relativo a sua
    descarga.
    O efeito termiônico foi acidentalmente

    redescoberto por Thomas Edison em 1880,
    enquanto tentava descobrir a razão para a
                                                      Edison construiu um bulbo com a superfície
    ruptura    de    filamentos   da   lâmpada    
    incandescente.                                    interior coberta com uma folha de metal.
                                                      Conectou a folha ao filamento da lâmpada a
    O físico britânico John Ambrose Fleming,

    descobriu que o efeito poderia ser usado          um galvanômetro. Quando na folha foi dada
    para detectar ondas de rádio. Fleming             uma carga mais negativa do que a do
    trabalhou no desenvolvimento de um tubo
                                                      filamento, nenhuma corrente fluiu entre a
    de vácuo de dois elementos, conhecido
                                                      folha e o filamento porque a folha fria
    como diodo.
                                                      emitiu poucos elétrons. Entretanto, quando
    Owern Willians Richardson trabalhou com

    emissão termiônica e recebeu o prêmio             na folha foi dada uma carga mais positiva
    Nobel em 1928 em função de seu trabalho           do que a do filamento, muitos elétrons
    e da lei que leva seu nome.
                                                      emissores do filamento quente foram
                                                      atraídos à folha, fazendo com que a
                                                      corrente fluisse. Este fluxo de sentido único
                                                      da corrente foi chamado de efeito Edison.
                                                      Edison não viu nenhum uso para este
                                                      efeito, embora o patenteasse em 1883.
Vamos propor um modelo
para a situação pesquisada
por Thomas Edison.
Um possível modelo utilizado          A distribuição de Fermi-Dirac                        nesse
                                     
    para    explicar  a    emissão        modelo pode ser escrita como
    termiônica     baseia-se    no                                         1
    Modelo do Drude e na                         f v (k )                                ,
                                                                    v (k )   (T ) 
    estátistica de Fermi-Dirac.                                                        1
                                                              exp 
    Este modelo é conhecido como                                          k BT
                                                                                     
    Modelo do Elétron Livre.              onde µ(T) é o potencial químico                          a
                                          temperatura T, que obedece a relação
    Nesse modelo consideramos

    um    volume     finito    com
                                                         lim  (T )   vF .
    condições    periódicas      de                      T 0
    contorno.                             A energia do elétron livre é dada por
                                      
    O    modelo     em      questão

                                                               2k 2
    apresenta inúmeras limitações                         v (k )     .
    por considerar os elétrons                                      2m
    totalmente livres no interior         Para encontrar valores médios utilizamos
                                      
    do material.
                                                                              3
                                                         1
                                                                 F (k ). f v (k ).d k.
                                                F
                                                       8 3     k
O modelo que estamos considerando

    não leva em consideração o que ocorre
    na superfície dos metais.
    Num modelo mais apurado para

    descrever esta superfície devemos levar
    em consideração as distorções da
    distribuição de carga.
    Se a distribuição fosse periódica

    idealizada a energia necessária para
    remover um elétron seria dada por
                    F ,
    mas, como a distribuição apresenta
    irregularidades, é necessário inserir um
    termo de correção
                                                   A   função    trabalho    (energia
                     Ws ,                      
                                                   necessária para retirar um elétron
    para levar em consideração o trabalho
                                                   dos campos adicionais) é definida
    feito contra os campos adicionais.
                                                   como:
                                                                        WS
                                                                : 
                                                                         e
O modelo que estamos considerando

    não leva em consideração o que ocorre
    na superfície dos metais.
    Num modelo mais apurado para

    descrever esta superfície devemos levar
    em consideração as distorções da
    distribuição de carga.
    Se a distribuição fosse periódica

    idealizada a energia necessária para
    remover um elétron seria dada por
                    F ,
    mas, como a distribuição apresenta
    irregularidades, é necessário inserir um
    termo de correção
                                                   A   função    trabalho    (energia
                     Ws ,                      
                                                   necessária para retirar um elétron
    para levar em consideração o trabalho
                                                   dos campos adicionais) é definida
    feito contra os campos adicionais.
                                                   como:
                                                                        WS
                                                                : 
                                                                         e
A energia dos elétrons de valência

    que deixam o metal é dada por,

                  2k 2
            v (k )      e .
                      2m
    Colocando     essa    expressão   na                   Supondo que os elétrons são

                                                       
    distribuição de Fermi-Dirac obtemos                    emitidos na direção x podemos
                                                           escrever a densidade de corrente
                               1
                                                           como
    f v (k )                                      ,
                       2 k 2            
                                                                                    3
                                                                             k x
                                                                 2e
                       2m  WS    k BT   1
                 exp 
                                                                          0 m f v (k ).d k ,
                                                             j 3
                                    
                                                            8
    Lembrando da relação anterior e                                     kx

    considerando baixas temperaturas
                                                           O que resulta na lei de Richardson-
                                                       
                                                           Dushman,
                       2k 2            
                                   
     f v (k )  exp          W  k BT .
                        2m                                                             W
                                                                                
                                                                             2
                                                                     emk
                                                              j  4                    k BT
                                                                         T 2e                  .
                                                                      3
Manipulando    essas        expressões
                                        
                                            obtemos
                                                               1
                                                    d 2V     
                                                          KV 2 ,
    Considerando uma região do
                                                      2
                                                    dx
    espaço com uma certa distribuição
    de carga ρ (carga espacial),                             Im
                                                    K  4       .
    podemos utilizar as três equações
                                                            Ae
    a seguir para deduzir uma
                                            As condições de contorno para o
    equação que rege o potencial V(x)   
                                            problema são
    entre as placas,
                                                    (i )V (d )  V0 ,
              d 2V
         (i ) 2  4 ,                                  dV
               dx                                            (0)  0.
                                                    (ii )
                                                          dx
                         I
         (ii ) J  v   ,                 Ao    resolvermos    a           equação
                                        
                         A                  diferencial, obtemos
                12
         (iii ) mv  eV ( x),                                            3
                2                                                        2
                                                           2    eV
                                                    j
                                                          9    m d2
Propomos a seguir uma
montagem experimental para
verificação do modelo.
O cátodo 3 estará a uma

    temperatura elevada em
    relação ao ânodo 5. Em 4,
    observamos o filamento
    catódico responsável pelo
    aquecimento e emissão de
    elétrons.



    1: Conexão do cátodo.


    2: Espelho responsável por

    manter o vácuo.
    6: Conexão do ânodo.



                                     A     foto   acima   é    meramente
                                 
                                     ilustrativa: as espiras   não serão
                                     usadas no experimento.
O filamento, aquecido pela diferença de potencial Uf

    (aproximadamente 6,3V), emite elétrons, gerando
    uma corrente, cuja intensidade seria igual à
    corrente calculada para o efeito termoiônico.
    Porém, a emissão de elétrons gera uma nuvem

    eletrônica, alterando o potencial efetivo sentido
    pelos elétrons emitidos posteriormente.



    Para corrigir este problema,

    acrescentamos um potencial
    UA, algo em torno de 300V,
    que faz com que a nuvem
    eletrônica     não      fique
    saturada.
De forma esquemática, o circuito montado

    está evidente abaixo.
                                      Filamento
                              Placa
                                             Placa
     150V
     
     V
     
     500V




                                4V  V  7V
Notemos a semelhança entre este arranjo e um

    triodo.
    Triodos são amplificadores

    eletrônicos    contendo   três
    eletrodos efetivos. Usualmente
    são tubos com vácuo e contém
    uma grade de controle, um
    ânodo e um cátodo.
    Atualmente, o triodo domina o

    mercado de audio profissional.
O triodo foi desenvolvido dois anos

    após Sir Alexander Fleming ter
    descoberto o diodo como uma válvula
    oscilante   (abaixo,   o    primeiro
    equipamento comercial termiônico).
                                    Em 1906, Lee DeForest
                                
                                    adicionou o terceiro
                                    eletrodo na válvula
                                    entre o filamento e a
                                    placa. Seu verdadeiro
                                    objetivo, no entanto,
                                    era amplificar sinais de
                                    rádio,     aumentando
                                    assim a sensibilidade
                                    da detecção das radio
                                    freqüências.
Verificaremos rapidamente a
lei de Child.
Para realizarmos a coleta
                                 
                                     de dados que apresentem-
    A lei de Child afirma que

                                     se dentro da restrição
    para baixas diferenças de
                                     “para baixas diferenças de
    potencial entre as placas,
                                     potencial”, utilizamos a
    a corrente em função
                                     fonte destacada abaixo.
    desta    tensão     deverá
    obedecer
         2        V 32
                e
      J               .
          9   m d
                             Fonte para
                             ajuste fino.
Para podermos verificar de forma menos

    visual a lei de Child, podemos calcular o
    logarítmo de ambos os lados desta lei,

                         2      e  3
          log( J )  log            V.
                         9d 2   m  2
                                   
    Portanto, deveremos obter uma reta, cujo

    coeficiente angular esteja próximo de 32.
    Para a temperatura 1800, realizamos esta
    tarefa.
Ao lado está o gráfico. As

    flutuações     estatísticas
    associadas    ao     efeito
    geram estas imperfeições
    na reta, uma vez que o
    logarítmo       intensifica
    pequenas variações.
    Como            resultado,

    obtivemos o coeificiente
    angular da reta como

        a  1.53  0.02
Aqui estão os valores obtidos para as outras

    temperaturas que medimos.
          Temperatura       Coeficiente linear   Erro
            (±5K, K)
             1660                 1.48           0.05
             1700                 1.52           0.05
             1720                 1.50           0.03
             1760                 1.53           0.02
             1800                 1.53           0.02

                            Podemos notar que apesar de
                        
                            algumas poucas flutuaçõess, os
                            valores mantém-se próximos de
                            1.5, que é o resultado esperado.
O      gráfico   ao    lado

    demonstra diversas curvas
    da corrente em função da
    tensão para diferentes
    temperaturas.     Podemos
    verificar que na região
    regida pela lei de Child,
    todas         comportam-se
    igualmente e coincidem
    em muitos pontos, o que
    mostra que o coeficiente
    que multiplica a tensão
    independe da temperatura.
Nesta seção, verificaremos
que a corrente para altas
tensões tendem à estabilizar
em um valor constante. A
partir de dados coletados
nesta situação, tentaremos
obter uma aproximação para o
valor da função trabalho do
tungstênio.
A lei de Richardson-Dushmann estabelece a

    relação entre a corrente emitida pelo
    tungstênio e a temperatura a que o
    tungstênio foi aquecido. Para medida da
    temperatura, utilizamos um pirômetro.
    Como a situação em que esta lei torna-se

    mensurável requisita altas diferenças de
    potencial, verificamos qual a tensão para que,
    a altas temperaturas, a corrente sature no
    valor proposto pela lei.
Ao lado, temos o gráfico
que       obtivemos     para
diferentes      temperaturas
(identificadas na legenda
do gráfico). Note que à
temperatura de 430K a
corrente já está saturada.

Com      esta    observação,
medimos para diferentes
valores de temperatura a
corrente para potenciais
variando entre 250V e
490V.       Para     valores
menores de tensão, há
flutuações estatísticas. Já
para maiores valores de
                               Curvas para diversas temperaturas.
tensão, o equipamento não
resiste.
Acima temos o gráfico que relaciona a medida das correntes

    para cada uma das temperaturas. O potencial é variado de
    250V a 490V. Vemos que são retas (condição de saturação)
    com leve aclive. Isto porque estas retas são as curvas
    assíntóticas da real curva que relaciona a corrente com a
    tensão (chamada sigmoidal).
Cada um destas retas na verdade serviram

    como um único dado para nosso objetivo: as
    flutuações associadas ao efeito termiônico,
    na condição de saturação, na medida de
    corrente impossibilita a determinação da
    corrente de saturação sem um tratamento
    estatístico.
    Portanto, munidos do teorema do limite

    central e estudos de estatística, podemos
    modelar      nossas  variáveis  como     se
    obedecessem a distribuição normal.
Lei de Richardson-Dushman
    Ao lado estão os valores médios obtidos utilizando aquelas retas

    apresentadas anteriormente.



    Note o como o erro

    cresce de forma quase
    que preocupante. No
    entanto,     isto    está
    relacionado     com    as
    flutuações    observadas
    nos      gráficos     das
    diversas retas. Podemos
    retornar àquele gráfico e
    comparar estes erros
    com as flutuações.
Ao lado, apresentamos os gráficos

    das correntes de saturação em
    termos da tensão e, abaixo, o
    gráfico relacionando a média para
    cada temperatura (cores diferentes
    associam-se       a      diferentes
    temperaturas)    das correntes de
    saturação em função da própria
    temperatura. Note que as retas que
    apresentam maior flutuação estão
    relacionadas    com   os    valores
    médios aos quais associamos
    maior erro. Isto porque o desvio
    padrão encobre brutalmente o erro
    de medida.
    Apesar de grande, a curva deste

    último gráfico apresenta       uma
    forma esperada: da relação de
    Richardson-Dushman,
    esperávamos uma curva que se
    parecesse com uma parábola.
Na tabela abaixo, apresentamos a corrente média

    obtida, relacionando-a com a temperatura.
Temperatura   Corrente   Erro sobre   Função Trabalho      Erro sobre
  (±5K, K)      (A)       Corrente         (eV)         função trabalho
    1873      6.4e-5      0.6e-5           5.05              0.03
    1893      8.4e-5      0.8e-5           5.01              0.02
    1913      0.12e-3     0.01e-3          4.90              0.03
    1933      0.17e-3     0.02e-3          4.84              0.08
    1953      0.23e-3     0.02e-3          4.76              0.03
    1973      0.31e-3     0.03e-3          4.69              0.03
    1993      0.41e-3     0.03e-3          4.63              0.03
    2013      0.60e-3     0.06e-3           4.5              0.03
    2033      0.76e-3     0.08e-3          4.45              0.03
    2053      1.0e-3      0.1e-3           4.39              0.03
    2073      1.3e-3      0.1e-3           4.34              0.02
Portanto, utilizando todos os
                                    
    Para podermos simplificar

                                        nossos    cálculos    até    o
    ao máximo esta situação,
                                        momento, podemos graficar o
    voltemos à relação de
                                        logarítmo da razão entre as
    Richardson-Dushman,
                                        correntes de saturação e o
                 w                   quadrado     da    temperatura
     j
         A exp     .                 como função do inverso do
                 kT 
      2
    T
                                        produto entre a temperatura e
    Se calcularmos o logarítmo          a constante de Boltzman, ou

    de ambos os lados da                seja,
    equação anterior, obtemos
                                               y  ln  A  (w) x,
         j               1
     ln  2   ln  A  w .
                                        com
        T                 kT 
                                                      j         1
                                              y  ln  2  e x     .
                                                     T         kT
O gráfico obtido está ao lado e

    apresenta-se como uma reta.
    Para, por fim, obtermos a função
    trabalho, basta fitarmos uma reta
    em termos dos pontos. Teremos
    como coeficiente angular o oposto
    da função trabalho, pois a
    equação para esta reta aproximar-
    se de

            y  B  (w) x.
Os parâmetros da reta fitada nos dados

    obtidos foram calculados, sendo seu
    coeficiente angular

           a = (-7.27 ± 0.03) e(-19) J.

    Por comodidade, podemos ainda calcular esta

    energia em eV, realizando a transformação
    (dados do CODATA). Obtemos, finalmente,


                    w = (4.54± 0.02) eV.
Após a realização deste projeto,
tiramos nossas conclusões sobre
os resultados e expomos nossa
bibliografia.
Conseguimos verificar a lei de Child de forma

    eficaz e comprovando, com grande certeza, a
    dependência da corrente no potencial.
    O material que emitia os elétrons é um filamento

    de tungstênio, cuja função trabalho é 4.55eV
    segundo a Environmental Chemistry (consta o
    endereço eletrônico na bibliografia) e 4.52eV
    segundo a referência Experiments in Modern
    Physics de A. C. Melissimos.
    Portanto os valores obtidos foram satisfatórios e

    o erro aproxima os valores esperados.
Introduction to Solid State Physics, Ashcroft.


        Environmental Chemistry, http://environmentalchemistry.com/.


        How Vacuum Tubes Really Works, John Harper, 2003,

        http://www.john-a-harper.com/tubes201/.
        Thermionic phenomena and the laws which govern them, Owen W.

        Richardson,Nobel Lecture, 1929.
        Experiments in Modern Physics, A. C. Melissimos, Academic Press

        Inc., Florida, USA.




         Gráficos gerados utilizando o software livre Gnuplot, versão 2.2.
    

         Todos os cálculos e propagações de erros foram calculados
    
         utilizando scripts Python escritos pelos autores deste relatório.

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Efeito terminônico em tubo

  • 1. Brenno Gustavo Barbosa Thiago Schiavo Mosqueiro Relatório 28/03/2008
  • 2. Possível imagem do físico britânico Este fenômeno foi inicialmente descrito Frederick Guthrie  pelo inglês Frederick Guthrie em 1873. (1833 – 1886). Ele notou comportamentos diferenciados  para esferas de metal carregadas com temperaturas muito elevadas, relativo a sua descarga. O efeito termiônico foi acidentalmente  redescoberto por Thomas Edison em 1880, enquanto tentava descobrir a razão para a Edison construiu um bulbo com a superfície ruptura de filamentos da lâmpada  incandescente. interior coberta com uma folha de metal. Conectou a folha ao filamento da lâmpada a O físico britânico John Ambrose Fleming,  descobriu que o efeito poderia ser usado um galvanômetro. Quando na folha foi dada para detectar ondas de rádio. Fleming uma carga mais negativa do que a do trabalhou no desenvolvimento de um tubo filamento, nenhuma corrente fluiu entre a de vácuo de dois elementos, conhecido folha e o filamento porque a folha fria como diodo. emitiu poucos elétrons. Entretanto, quando Owern Willians Richardson trabalhou com  emissão termiônica e recebeu o prêmio na folha foi dada uma carga mais positiva Nobel em 1928 em função de seu trabalho do que a do filamento, muitos elétrons e da lei que leva seu nome. emissores do filamento quente foram atraídos à folha, fazendo com que a corrente fluisse. Este fluxo de sentido único da corrente foi chamado de efeito Edison. Edison não viu nenhum uso para este efeito, embora o patenteasse em 1883.
  • 3. Vamos propor um modelo para a situação pesquisada por Thomas Edison.
  • 4. Um possível modelo utilizado A distribuição de Fermi-Dirac nesse   para explicar a emissão modelo pode ser escrita como termiônica baseia-se no  1 Modelo do Drude e na f v (k )   ,   v (k )   (T )  estátistica de Fermi-Dirac.  1 exp  Este modelo é conhecido como k BT   Modelo do Elétron Livre. onde µ(T) é o potencial químico a temperatura T, que obedece a relação Nesse modelo consideramos  um volume finito com lim  (T )   vF . condições periódicas de T 0 contorno. A energia do elétron livre é dada por  O modelo em questão   2k 2 apresenta inúmeras limitações  v (k )  . por considerar os elétrons 2m totalmente livres no interior Para encontrar valores médios utilizamos  do material.  3 1  F (k ). f v (k ).d k. F 8 3 k
  • 5. O modelo que estamos considerando  não leva em consideração o que ocorre na superfície dos metais. Num modelo mais apurado para  descrever esta superfície devemos levar em consideração as distorções da distribuição de carga. Se a distribuição fosse periódica  idealizada a energia necessária para remover um elétron seria dada por F , mas, como a distribuição apresenta irregularidades, é necessário inserir um termo de correção A função trabalho (energia Ws ,  necessária para retirar um elétron para levar em consideração o trabalho dos campos adicionais) é definida feito contra os campos adicionais. como: WS  :  e
  • 6. O modelo que estamos considerando  não leva em consideração o que ocorre na superfície dos metais. Num modelo mais apurado para  descrever esta superfície devemos levar em consideração as distorções da distribuição de carga. Se a distribuição fosse periódica  idealizada a energia necessária para remover um elétron seria dada por F , mas, como a distribuição apresenta irregularidades, é necessário inserir um termo de correção A função trabalho (energia Ws ,  necessária para retirar um elétron para levar em consideração o trabalho dos campos adicionais) é definida feito contra os campos adicionais. como: WS  :  e
  • 7. A energia dos elétrons de valência  que deixam o metal é dada por,   2k 2  v (k )   e . 2m Colocando essa expressão na Supondo que os elétrons são   distribuição de Fermi-Dirac obtemos emitidos na direção x podemos escrever a densidade de corrente 1 como f v (k )  ,   2 k 2   3 k x 2e  2m  WS    k BT   1 exp  0 m f v (k ).d k , j 3     8 Lembrando da relação anterior e kx  considerando baixas temperaturas O que resulta na lei de Richardson-  Dushman,    2k 2   f v (k )  exp    W  k BT .  2m  W     2 emk j  4 k BT T 2e . 3
  • 8. Manipulando essas expressões  obtemos 1 d 2V   KV 2 , Considerando uma região do  2 dx espaço com uma certa distribuição de carga ρ (carga espacial), Im K  4 . podemos utilizar as três equações Ae a seguir para deduzir uma As condições de contorno para o equação que rege o potencial V(x)  problema são entre as placas, (i )V (d )  V0 , d 2V (i ) 2  4 , dV dx (0)  0. (ii ) dx I (ii ) J  v   , Ao resolvermos a equação  A diferencial, obtemos 12 (iii ) mv  eV ( x), 3 2 2 2 eV j 9 m d2
  • 9. Propomos a seguir uma montagem experimental para verificação do modelo.
  • 10. O cátodo 3 estará a uma  temperatura elevada em relação ao ânodo 5. Em 4, observamos o filamento catódico responsável pelo aquecimento e emissão de elétrons. 1: Conexão do cátodo.  2: Espelho responsável por  manter o vácuo. 6: Conexão do ânodo.  A foto acima é meramente  ilustrativa: as espiras não serão usadas no experimento.
  • 11. O filamento, aquecido pela diferença de potencial Uf  (aproximadamente 6,3V), emite elétrons, gerando uma corrente, cuja intensidade seria igual à corrente calculada para o efeito termoiônico. Porém, a emissão de elétrons gera uma nuvem  eletrônica, alterando o potencial efetivo sentido pelos elétrons emitidos posteriormente. Para corrigir este problema,  acrescentamos um potencial UA, algo em torno de 300V, que faz com que a nuvem eletrônica não fique saturada.
  • 12. De forma esquemática, o circuito montado  está evidente abaixo. Filamento Placa Placa 150V  V  500V 4V  V  7V
  • 13. Notemos a semelhança entre este arranjo e um  triodo. Triodos são amplificadores  eletrônicos contendo três eletrodos efetivos. Usualmente são tubos com vácuo e contém uma grade de controle, um ânodo e um cátodo. Atualmente, o triodo domina o  mercado de audio profissional.
  • 14. O triodo foi desenvolvido dois anos  após Sir Alexander Fleming ter descoberto o diodo como uma válvula oscilante (abaixo, o primeiro equipamento comercial termiônico). Em 1906, Lee DeForest  adicionou o terceiro eletrodo na válvula entre o filamento e a placa. Seu verdadeiro objetivo, no entanto, era amplificar sinais de rádio, aumentando assim a sensibilidade da detecção das radio freqüências.
  • 16. Para realizarmos a coleta  de dados que apresentem- A lei de Child afirma que  se dentro da restrição para baixas diferenças de “para baixas diferenças de potencial entre as placas, potencial”, utilizamos a a corrente em função fonte destacada abaixo. desta tensão deverá obedecer 2  V 32 e J   .  9 m d Fonte para ajuste fino.
  • 17.
  • 18.
  • 19. Para podermos verificar de forma menos  visual a lei de Child, podemos calcular o logarítmo de ambos os lados desta lei,  2 e  3 log( J )  log    V.  9d 2 m  2   Portanto, deveremos obter uma reta, cujo  coeficiente angular esteja próximo de 32. Para a temperatura 1800, realizamos esta tarefa.
  • 20. Ao lado está o gráfico. As  flutuações estatísticas associadas ao efeito geram estas imperfeições na reta, uma vez que o logarítmo intensifica pequenas variações. Como resultado,  obtivemos o coeificiente angular da reta como a  1.53  0.02
  • 21. Aqui estão os valores obtidos para as outras  temperaturas que medimos. Temperatura Coeficiente linear Erro (±5K, K) 1660 1.48 0.05 1700 1.52 0.05 1720 1.50 0.03 1760 1.53 0.02 1800 1.53 0.02 Podemos notar que apesar de  algumas poucas flutuaçõess, os valores mantém-se próximos de 1.5, que é o resultado esperado.
  • 22. O gráfico ao lado  demonstra diversas curvas da corrente em função da tensão para diferentes temperaturas. Podemos verificar que na região regida pela lei de Child, todas comportam-se igualmente e coincidem em muitos pontos, o que mostra que o coeficiente que multiplica a tensão independe da temperatura.
  • 23. Nesta seção, verificaremos que a corrente para altas tensões tendem à estabilizar em um valor constante. A partir de dados coletados nesta situação, tentaremos obter uma aproximação para o valor da função trabalho do tungstênio.
  • 24. A lei de Richardson-Dushmann estabelece a  relação entre a corrente emitida pelo tungstênio e a temperatura a que o tungstênio foi aquecido. Para medida da temperatura, utilizamos um pirômetro. Como a situação em que esta lei torna-se  mensurável requisita altas diferenças de potencial, verificamos qual a tensão para que, a altas temperaturas, a corrente sature no valor proposto pela lei.
  • 25. Ao lado, temos o gráfico que obtivemos para diferentes temperaturas (identificadas na legenda do gráfico). Note que à temperatura de 430K a corrente já está saturada. Com esta observação, medimos para diferentes valores de temperatura a corrente para potenciais variando entre 250V e 490V. Para valores menores de tensão, há flutuações estatísticas. Já para maiores valores de Curvas para diversas temperaturas. tensão, o equipamento não resiste.
  • 26. Acima temos o gráfico que relaciona a medida das correntes  para cada uma das temperaturas. O potencial é variado de 250V a 490V. Vemos que são retas (condição de saturação) com leve aclive. Isto porque estas retas são as curvas assíntóticas da real curva que relaciona a corrente com a tensão (chamada sigmoidal).
  • 27. Cada um destas retas na verdade serviram  como um único dado para nosso objetivo: as flutuações associadas ao efeito termiônico, na condição de saturação, na medida de corrente impossibilita a determinação da corrente de saturação sem um tratamento estatístico. Portanto, munidos do teorema do limite  central e estudos de estatística, podemos modelar nossas variáveis como se obedecessem a distribuição normal.
  • 28. Lei de Richardson-Dushman Ao lado estão os valores médios obtidos utilizando aquelas retas  apresentadas anteriormente. Note o como o erro  cresce de forma quase que preocupante. No entanto, isto está relacionado com as flutuações observadas nos gráficos das diversas retas. Podemos retornar àquele gráfico e comparar estes erros com as flutuações.
  • 29. Ao lado, apresentamos os gráficos  das correntes de saturação em termos da tensão e, abaixo, o gráfico relacionando a média para cada temperatura (cores diferentes associam-se a diferentes temperaturas) das correntes de saturação em função da própria temperatura. Note que as retas que apresentam maior flutuação estão relacionadas com os valores médios aos quais associamos maior erro. Isto porque o desvio padrão encobre brutalmente o erro de medida. Apesar de grande, a curva deste  último gráfico apresenta uma forma esperada: da relação de Richardson-Dushman, esperávamos uma curva que se parecesse com uma parábola.
  • 30. Na tabela abaixo, apresentamos a corrente média  obtida, relacionando-a com a temperatura. Temperatura Corrente Erro sobre Função Trabalho Erro sobre (±5K, K) (A) Corrente (eV) função trabalho 1873 6.4e-5 0.6e-5 5.05 0.03 1893 8.4e-5 0.8e-5 5.01 0.02 1913 0.12e-3 0.01e-3 4.90 0.03 1933 0.17e-3 0.02e-3 4.84 0.08 1953 0.23e-3 0.02e-3 4.76 0.03 1973 0.31e-3 0.03e-3 4.69 0.03 1993 0.41e-3 0.03e-3 4.63 0.03 2013 0.60e-3 0.06e-3 4.5 0.03 2033 0.76e-3 0.08e-3 4.45 0.03 2053 1.0e-3 0.1e-3 4.39 0.03 2073 1.3e-3 0.1e-3 4.34 0.02
  • 31. Portanto, utilizando todos os  Para podermos simplificar  nossos cálculos até o ao máximo esta situação, momento, podemos graficar o voltemos à relação de logarítmo da razão entre as Richardson-Dushman, correntes de saturação e o  w quadrado da temperatura j  A exp  . como função do inverso do  kT  2 T produto entre a temperatura e Se calcularmos o logarítmo a constante de Boltzman, ou  de ambos os lados da seja, equação anterior, obtemos y  ln  A  (w) x,  j 1 ln  2   ln  A  w . com T   kT   j 1 y  ln  2  e x  . T  kT
  • 32. O gráfico obtido está ao lado e  apresenta-se como uma reta. Para, por fim, obtermos a função trabalho, basta fitarmos uma reta em termos dos pontos. Teremos como coeficiente angular o oposto da função trabalho, pois a equação para esta reta aproximar- se de y  B  (w) x.
  • 33.
  • 34. Os parâmetros da reta fitada nos dados  obtidos foram calculados, sendo seu coeficiente angular a = (-7.27 ± 0.03) e(-19) J. Por comodidade, podemos ainda calcular esta  energia em eV, realizando a transformação (dados do CODATA). Obtemos, finalmente, w = (4.54± 0.02) eV.
  • 35. Após a realização deste projeto, tiramos nossas conclusões sobre os resultados e expomos nossa bibliografia.
  • 36. Conseguimos verificar a lei de Child de forma  eficaz e comprovando, com grande certeza, a dependência da corrente no potencial. O material que emitia os elétrons é um filamento  de tungstênio, cuja função trabalho é 4.55eV segundo a Environmental Chemistry (consta o endereço eletrônico na bibliografia) e 4.52eV segundo a referência Experiments in Modern Physics de A. C. Melissimos. Portanto os valores obtidos foram satisfatórios e  o erro aproxima os valores esperados.
  • 37. Introduction to Solid State Physics, Ashcroft.  Environmental Chemistry, http://environmentalchemistry.com/.  How Vacuum Tubes Really Works, John Harper, 2003,  http://www.john-a-harper.com/tubes201/. Thermionic phenomena and the laws which govern them, Owen W.  Richardson,Nobel Lecture, 1929. Experiments in Modern Physics, A. C. Melissimos, Academic Press  Inc., Florida, USA. Gráficos gerados utilizando o software livre Gnuplot, versão 2.2.  Todos os cálculos e propagações de erros foram calculados  utilizando scripts Python escritos pelos autores deste relatório.