Relatório apresentado. Não é dos melhores, mas os resultados ficaram satisfatórios e a montagem, razoável.

1. Brenno Gustavo Barbosa
Thiago Schiavo Mosqueiro
Relatório
28/03/2008

2. Possível imagem
do físico britânico
Este fenômeno foi inicialmente descrito Frederick Guthrie

pelo inglês Frederick Guthrie em 1873.
(1833 – 1886).
Ele notou comportamentos diferenciados

para esferas de metal carregadas com
temperaturas muito elevadas, relativo a sua
descarga.
O efeito termiônico foi acidentalmente

redescoberto por Thomas Edison em 1880,
enquanto tentava descobrir a razão para a
Edison construiu um bulbo com a superfície
ruptura de filamentos da lâmpada 
incandescente. interior coberta com uma folha de metal.
Conectou a folha ao filamento da lâmpada a
O físico britânico John Ambrose Fleming,

descobriu que o efeito poderia ser usado um galvanômetro. Quando na folha foi dada
para detectar ondas de rádio. Fleming uma carga mais negativa do que a do
trabalhou no desenvolvimento de um tubo
filamento, nenhuma corrente fluiu entre a
de vácuo de dois elementos, conhecido
folha e o filamento porque a folha fria
como diodo.
emitiu poucos elétrons. Entretanto, quando
Owern Willians Richardson trabalhou com

emissão termiônica e recebeu o prêmio na folha foi dada uma carga mais positiva
Nobel em 1928 em função de seu trabalho do que a do filamento, muitos elétrons
e da lei que leva seu nome.
emissores do filamento quente foram
atraídos à folha, fazendo com que a
corrente fluisse. Este fluxo de sentido único
da corrente foi chamado de efeito Edison.
Edison não viu nenhum uso para este
efeito, embora o patenteasse em 1883.

3. Vamos propor um modelo
para a situação pesquisada
por Thomas Edison.

4. Um possível modelo utilizado A distribuição de Fermi-Dirac nesse
 
para explicar a emissão modelo pode ser escrita como
termiônica baseia-se no  1
Modelo do Drude e na f v (k )   ,
  v (k )   (T ) 
estátistica de Fermi-Dirac.  1
exp 
Este modelo é conhecido como k BT
 
Modelo do Elétron Livre. onde µ(T) é o potencial químico a
temperatura T, que obedece a relação
Nesse modelo consideramos

um volume finito com
lim  (T )   vF .
condições periódicas de T 0
contorno. A energia do elétron livre é dada por

O modelo em questão

 2k 2
apresenta inúmeras limitações  v (k )  .
por considerar os elétrons 2m
totalmente livres no interior Para encontrar valores médios utilizamos

do material.
 3
1
 F (k ). f v (k ).d k.
F
8 3 k

5. O modelo que estamos considerando

não leva em consideração o que ocorre
na superfície dos metais.
Num modelo mais apurado para

descrever esta superfície devemos levar
em consideração as distorções da
distribuição de carga.
Se a distribuição fosse periódica

idealizada a energia necessária para
remover um elétron seria dada por
F ,
mas, como a distribuição apresenta
irregularidades, é necessário inserir um
termo de correção
A função trabalho (energia
Ws , 
necessária para retirar um elétron
para levar em consideração o trabalho
dos campos adicionais) é definida
feito contra os campos adicionais.
como:
WS
 : 
e

6. O modelo que estamos considerando

não leva em consideração o que ocorre
na superfície dos metais.
Num modelo mais apurado para

descrever esta superfície devemos levar
em consideração as distorções da
distribuição de carga.
Se a distribuição fosse periódica

idealizada a energia necessária para
remover um elétron seria dada por
F ,
mas, como a distribuição apresenta
irregularidades, é necessário inserir um
termo de correção
A função trabalho (energia
Ws , 
necessária para retirar um elétron
para levar em consideração o trabalho
dos campos adicionais) é definida
feito contra os campos adicionais.
como:
WS
 : 
e

7. A energia dos elétrons de valência

que deixam o metal é dada por,
  2k 2
 v (k )   e .
2m
Colocando essa expressão na Supondo que os elétrons são


distribuição de Fermi-Dirac obtemos emitidos na direção x podemos
escrever a densidade de corrente
1
como
f v (k )  ,
  2 k 2 
 3
k x
2e
 2m  WS    k BT   1
exp 
0 m f v (k ).d k ,
j 3

   8
Lembrando da relação anterior e kx

considerando baixas temperaturas
O que resulta na lei de Richardson-

Dushman,
   2k 2 

f v (k )  exp    W  k BT .
 2m  W
   
2
emk
j  4 k BT
T 2e .
3

8. Manipulando essas expressões

obtemos
1
d 2V 
 KV 2 ,
Considerando uma região do
 2
dx
espaço com uma certa distribuição
de carga ρ (carga espacial), Im
K  4 .
podemos utilizar as três equações
Ae
a seguir para deduzir uma
As condições de contorno para o
equação que rege o potencial V(x) 
problema são
entre as placas,
(i )V (d )  V0 ,
d 2V
(i ) 2  4 , dV
dx (0)  0.
(ii )
dx
I
(ii ) J  v   , Ao resolvermos a equação

A diferencial, obtemos
12
(iii ) mv  eV ( x), 3
2 2
2 eV
j
9 m d2

9. Propomos a seguir uma
montagem experimental para
verificação do modelo.

10. O cátodo 3 estará a uma

temperatura elevada em
relação ao ânodo 5. Em 4,
observamos o filamento
catódico responsável pelo
aquecimento e emissão de
elétrons.
1: Conexão do cátodo.

2: Espelho responsável por

manter o vácuo.
6: Conexão do ânodo.

A foto acima é meramente

ilustrativa: as espiras não serão
usadas no experimento.

11. O filamento, aquecido pela diferença de potencial Uf

(aproximadamente 6,3V), emite elétrons, gerando
uma corrente, cuja intensidade seria igual à
corrente calculada para o efeito termoiônico.
Porém, a emissão de elétrons gera uma nuvem

eletrônica, alterando o potencial efetivo sentido
pelos elétrons emitidos posteriormente.
Para corrigir este problema,

acrescentamos um potencial
UA, algo em torno de 300V,
que faz com que a nuvem
eletrônica não fique
saturada.

12. De forma esquemática, o circuito montado

está evidente abaixo.
Filamento
Placa
Placa
150V

V

500V
4V  V  7V

13. Notemos a semelhança entre este arranjo e um

triodo.
Triodos são amplificadores

eletrônicos contendo três
eletrodos efetivos. Usualmente
são tubos com vácuo e contém
uma grade de controle, um
ânodo e um cátodo.
Atualmente, o triodo domina o

mercado de audio profissional.

14. O triodo foi desenvolvido dois anos

após Sir Alexander Fleming ter
descoberto o diodo como uma válvula
oscilante (abaixo, o primeiro
equipamento comercial termiônico).
Em 1906, Lee DeForest

adicionou o terceiro
eletrodo na válvula
entre o filamento e a
placa. Seu verdadeiro
objetivo, no entanto,
era amplificar sinais de
rádio, aumentando
assim a sensibilidade
da detecção das radio
freqüências.

15. Verificaremos rapidamente a
lei de Child.

16. Para realizarmos a coleta

de dados que apresentem-
A lei de Child afirma que

se dentro da restrição
para baixas diferenças de
“para baixas diferenças de
potencial entre as placas,
potencial”, utilizamos a
a corrente em função
fonte destacada abaixo.
desta tensão deverá
obedecer
2  V 32
e
J   .
 9 m d
Fonte para
ajuste fino.

19. Para podermos verificar de forma menos

visual a lei de Child, podemos calcular o
logarítmo de ambos os lados desta lei,
 2 e  3
log( J )  log    V.
 9d 2 m  2
 
Portanto, deveremos obter uma reta, cujo

coeficiente angular esteja próximo de 32.
Para a temperatura 1800, realizamos esta
tarefa.

20. Ao lado está o gráfico. As

flutuações estatísticas
associadas ao efeito
geram estas imperfeições
na reta, uma vez que o
logarítmo intensifica
pequenas variações.
Como resultado,

obtivemos o coeificiente
angular da reta como
a  1.53  0.02

21. Aqui estão os valores obtidos para as outras

temperaturas que medimos.
Temperatura Coeficiente linear Erro
(±5K, K)
1660 1.48 0.05
1700 1.52 0.05
1720 1.50 0.03
1760 1.53 0.02
1800 1.53 0.02
Podemos notar que apesar de

algumas poucas flutuaçõess, os
valores mantém-se próximos de
1.5, que é o resultado esperado.

22. O gráfico ao lado

demonstra diversas curvas
da corrente em função da
tensão para diferentes
temperaturas. Podemos
verificar que na região
regida pela lei de Child,
todas comportam-se
igualmente e coincidem
em muitos pontos, o que
mostra que o coeficiente
que multiplica a tensão
independe da temperatura.

23. Nesta seção, verificaremos
que a corrente para altas
tensões tendem à estabilizar
em um valor constante. A
partir de dados coletados
nesta situação, tentaremos
obter uma aproximação para o
valor da função trabalho do
tungstênio.

24. A lei de Richardson-Dushmann estabelece a

relação entre a corrente emitida pelo
tungstênio e a temperatura a que o
tungstênio foi aquecido. Para medida da
temperatura, utilizamos um pirômetro.
Como a situação em que esta lei torna-se

mensurável requisita altas diferenças de
potencial, verificamos qual a tensão para que,
a altas temperaturas, a corrente sature no
valor proposto pela lei.

25. Ao lado, temos o gráfico
que obtivemos para
diferentes temperaturas
(identificadas na legenda
do gráfico). Note que à
temperatura de 430K a
corrente já está saturada.
Com esta observação,
medimos para diferentes
valores de temperatura a
corrente para potenciais
variando entre 250V e
490V. Para valores
menores de tensão, há
flutuações estatísticas. Já
para maiores valores de
Curvas para diversas temperaturas.
tensão, o equipamento não
resiste.

26. Acima temos o gráfico que relaciona a medida das correntes

para cada uma das temperaturas. O potencial é variado de
250V a 490V. Vemos que são retas (condição de saturação)
com leve aclive. Isto porque estas retas são as curvas
assíntóticas da real curva que relaciona a corrente com a
tensão (chamada sigmoidal).

27. Cada um destas retas na verdade serviram

como um único dado para nosso objetivo: as
flutuações associadas ao efeito termiônico,
na condição de saturação, na medida de
corrente impossibilita a determinação da
corrente de saturação sem um tratamento
estatístico.
Portanto, munidos do teorema do limite

central e estudos de estatística, podemos
modelar nossas variáveis como se
obedecessem a distribuição normal.

28. Lei de Richardson-Dushman
Ao lado estão os valores médios obtidos utilizando aquelas retas

apresentadas anteriormente.
Note o como o erro

cresce de forma quase
que preocupante. No
entanto, isto está
relacionado com as
flutuações observadas
nos gráficos das
diversas retas. Podemos
retornar àquele gráfico e
comparar estes erros
com as flutuações.

29. Ao lado, apresentamos os gráficos

das correntes de saturação em
termos da tensão e, abaixo, o
gráfico relacionando a média para
cada temperatura (cores diferentes
associam-se a diferentes
temperaturas) das correntes de
saturação em função da própria
temperatura. Note que as retas que
apresentam maior flutuação estão
relacionadas com os valores
médios aos quais associamos
maior erro. Isto porque o desvio
padrão encobre brutalmente o erro
de medida.
Apesar de grande, a curva deste

último gráfico apresenta uma
forma esperada: da relação de
Richardson-Dushman,
esperávamos uma curva que se
parecesse com uma parábola.

30. Na tabela abaixo, apresentamos a corrente média

obtida, relacionando-a com a temperatura.
Temperatura Corrente Erro sobre Função Trabalho Erro sobre
(±5K, K) (A) Corrente (eV) função trabalho
1873 6.4e-5 0.6e-5 5.05 0.03
1893 8.4e-5 0.8e-5 5.01 0.02
1913 0.12e-3 0.01e-3 4.90 0.03
1933 0.17e-3 0.02e-3 4.84 0.08
1953 0.23e-3 0.02e-3 4.76 0.03
1973 0.31e-3 0.03e-3 4.69 0.03
1993 0.41e-3 0.03e-3 4.63 0.03
2013 0.60e-3 0.06e-3 4.5 0.03
2033 0.76e-3 0.08e-3 4.45 0.03
2053 1.0e-3 0.1e-3 4.39 0.03
2073 1.3e-3 0.1e-3 4.34 0.02

31. Portanto, utilizando todos os

Para podermos simplificar

nossos cálculos até o
ao máximo esta situação,
momento, podemos graficar o
voltemos à relação de
logarítmo da razão entre as
Richardson-Dushman,
correntes de saturação e o
 w quadrado da temperatura
j
 A exp  . como função do inverso do
 kT 
2
T
produto entre a temperatura e
Se calcularmos o logarítmo a constante de Boltzman, ou

de ambos os lados da seja,
equação anterior, obtemos
y  ln  A  (w) x,
 j 1
ln  2   ln  A  w .
com
T   kT 
 j 1
y  ln  2  e x  .
T  kT

32. O gráfico obtido está ao lado e

apresenta-se como uma reta.
Para, por fim, obtermos a função
trabalho, basta fitarmos uma reta
em termos dos pontos. Teremos
como coeficiente angular o oposto
da função trabalho, pois a
equação para esta reta aproximar-
se de
y  B  (w) x.

34. Os parâmetros da reta fitada nos dados

obtidos foram calculados, sendo seu
coeficiente angular
a = (-7.27 ± 0.03) e(-19) J.
Por comodidade, podemos ainda calcular esta

energia em eV, realizando a transformação
(dados do CODATA). Obtemos, finalmente,
w = (4.54± 0.02) eV.

35. Após a realização deste projeto,
tiramos nossas conclusões sobre
os resultados e expomos nossa
bibliografia.

36. Conseguimos verificar a lei de Child de forma

eficaz e comprovando, com grande certeza, a
dependência da corrente no potencial.
O material que emitia os elétrons é um filamento

de tungstênio, cuja função trabalho é 4.55eV
segundo a Environmental Chemistry (consta o
endereço eletrônico na bibliografia) e 4.52eV
segundo a referência Experiments in Modern
Physics de A. C. Melissimos.
Portanto os valores obtidos foram satisfatórios e

o erro aproxima os valores esperados.

37. Introduction to Solid State Physics, Ashcroft.

Environmental Chemistry, http://environmentalchemistry.com/.

How Vacuum Tubes Really Works, John Harper, 2003,

http://www.john-a-harper.com/tubes201/.
Thermionic phenomena and the laws which govern them, Owen W.

Richardson,Nobel Lecture, 1929.
Experiments in Modern Physics, A. C. Melissimos, Academic Press

Inc., Florida, USA.
Gráficos gerados utilizando o software livre Gnuplot, versão 2.2.

Todos os cálculos e propagações de erros foram calculados

utilizando scripts Python escritos pelos autores deste relatório.