I. A apostila apresenta 14 exercícios sobre volumes e áreas de sólidos geométricos como troncos de pirâmide, cone e pirâmide. II. Os exercícios envolvem cálculos com medidas de altura, raio, distância e razão entre volumes de diferentes sólidos. III. Geometria espacial é o tema principal, com ênfase em propriedades métricas de corpos como troncos, cones e pirâmides.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
TRONCOS

2. TRONCOS
1
01. (Epcar 2019) Um objeto de decoração foi elaborado a partir de sólidos utilizados na rotina de estudos de um
estudante de matemática. Inicialmente, partiu-se de um cubo sólido de volume igual a 3
19.683 cm . Do interior desse
cubo, retirou-se, sem perda de material, um sólido formado por dois troncos de pirâmide idênticos e um prisma reto,
como mostra o esquema da figura a seguir.
Sabe-se que:
- as bases maiores dos troncos estão contidas em faces opostas do cubo;
- as bases dos troncos são quadradas;
- a diagonal da base maior de cada tronco está contida na diagonal da face do cubo que a contém e mede a sua terça
parte;
- a diagonal da base menor de cada tronco mede a terça parte da diagonal da base maior do tronco; e
- os troncos e o prisma têm alturas iguais.
Assim, o volume do objeto de decoração obtido da diferença entre o volume do cubo e o volume do sólido
esquematizado na figura acima, em 3
cm , é um número do intervalo
a) [17.200,17.800] b) ]17.800,18.400] c) ]18.400,19.000] d) ]19.000,19.600]
02. (Espcex 2019) Na figura abaixo, a equação da circunferência é 2 2
x y 3
+ =
e a reta suporte do segmento MN tem
coeficiente angular igual a 3.
O volume do sólido gerado pela rotação do trapézio MNPO em relação ao eixo y é
a)
3
.
8
π
b)
21
.
8
π
c)
9 3
.
8
π
d)
24 3
.
8
π
e)
63 3
.
8
π

3. TRONCOS
2
03. (Ita 2019) Os volumes de um tronco de cone, de uma esfera de raio 5 cm e de um cilindro de altura 11cm formam
nessa ordem uma progressão aritmética. O tronco de cone é obtido por rotação de um trapézio retângulo, de altura
4 cm e bases medindo 5 cm e 9 cm, em torno de uma reta passando pelo lado de menor medida. Então, o raio da
base do cilindro é, em cm, igual a
a) 2 2.
b) 2 3.
c) 4.
d) 2 5.
e) 2 6.
04. (Acafe 2018) Analise as afirmações a seguir.
I. Uma vara de pesca rígida tem 2,54 m de comprimento e precisa ser transportada em uma viagem. Para acomodar
a vara foi disponibilizada uma caixa com formato de paralelepípedo cujas dimensões são 2 m, 1m e
5
m.
2
Nessas
condições, essa caixa não comporta a vara de pesca.
II. Se numa pirâmide de base quadrada todas as arestas medem 5 cm, então sua altura medirá
59
h cm.
2
=
III. Se a altura de um cilindro equilátero mede 2 cm, então o prisma regular de base hexagonal cujas bases estão
inscritas nas bases do cilindro tem volume igual a 3
3 3 cm .
IV. Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares. Se o número de vértices é 3/5 do número de faces, então
esse poliedro tem 12 faces.
V. Um reservatório é constituído por um cilindro equilátero na parte superior, um tronco de cone e outro cilindro em
sua base. Seu formato e as dimensões internas estão indicados na figura abaixo.
O cilindro da base do reservatório tem sua altura igual a
3
2
da altura do cilindro equilátero. Considerando 3,
π ≅ a
capacidade do reservatório será igual a 107.000 litros Assinale a alternativa que contém todas as afirmações corretas.
a) I – II – III b) I – III – V c) II – III – V d) I – II – IV – V

4. TRONCOS
3
05. (Acafe 2016) Uma peça de madeira tem a forma de uma pirâmide hexagonal regular com 21cm de altura. Essa
peça é seccionada por um plano paralelo à base, de forma que o volume da pirâmide obtida seja 8 27 do volume da
pirâmide original. A distância (em cm) da base da pirâmide até essa secção é um número
a) fracionário
b) primo
c) múltiplo de 3.
d) quadrado perfeito
06. (Ita 2014) Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles ABC em torno de uma
reta paralela à base BC que dista 0, 25 cm do vértice A e 0, 75 cm da base BC. Se o lado AB mede
2
1
cm,
2
π
π
+
o
volume desse sólido, em cm3
, é igual a
a)
9
.
16
b)
13
.
96
c)
7
.
24
d)
9
.
24
e)
11
.
96
07. (Espcex 2013) Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente
cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do
cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura.
Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do
óleo, medida a partir do vértice será
a)
3
7
h
2
b)
3
7
h
3
c)
3
12
h
2
d)
3
23
h
2
e)
3
23
h
3

5. TRONCOS
4
08. (Esc. Naval 2013) A Marinha do Brasil comprou um reservatório para armazenar combustível com o formato de
um tronco de cone conforme figura abaixo. Qual é a capacidade em litros desse reservatório?
a) 2
40
10
3
π
b) 5
19
10
2
π
c)
49
10
3
π
d) 4
49
10
3
π
e) 3
19
10
3
π
09. (Ita 2012) Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz
2 3
3
é interceptado por um plano paralelo à sua base,
sendo determinado, assim, um novo cone. Para que este novo cone tenha o mesmo volume de um cubo de aresta
1 3
243
π
 
 
 
cm, é necessário que a distância do plano à base do cone original seja, em cm, igual a
a)
1
4
b)
1
3
c)
1
2
d)
2
3
e)
3
4

6. TRONCOS
5
10. (Espcex 2011) A figura abaixo representa a planificação de um tronco de cone reto com a indicação das medidas
dos raios das circunferências das bases e da geratriz.
A medida da altura desse tronco de cone é
a) 13 cm
b) 12 cm
c) 11 cm
d) 10 cm
e) 9 cm
11. (Ime 2010) Sejam ABC um triângulo equilátero de lado 2 cm e r uma reta situada no seu plano, distante 3 cm do
seu baricentro. Calcule a área da superfície gerada pela rotação deste triângulo em torno da reta r.
a) 2
8 cm
π
b) 2
9 cm
π
c) 2
12 cm
π
d) 2
16 cm
π
e) 2
36 cm
π
12. (Ita 2007) Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo apótema da base mede 3 cm. Secciona-se a
pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume igual a 1 cm3
e uma nova pirâmide. Dado
que a razão entre as alturas das pirâmides é 1
2
, a altura do tronco, em centímetros, é igual a
a) 6 2
4
−
b) 6 3
3
−
c) 3 3 6
21
−
d) 3 2 2 3
6
−
e) 2 6 2
22
−

7. TRONCOS
6
13. (Ita 1997) A altura e o raio da base de um cone de revolução medem 1 cm e 5 cm respectivamente. Por um ponto
do eixo do cone situado a d cm de distância do vértice, traçamos um plano paralelo à base, obtendo um tronco de
cone. O volume deste tronco é a média geométrica entre os volumes do cone dado e do cone menor formado. Então
d é igual a
a)
3
2 3
3
−
b)
3
3 5
2
−
c)
3
3 5
2
+
d) 3 2
2
−
e) 2 3
3
−
14. (Ita 1997) Dentro de um tronco de pirâmide quadrangular regular, considera-se uma pirâmide regular cuja base é
a base maior do tronco e cujo vértice é o centro da base menor do tronco. As arestas das bases medem a cm e 2a cm.
As áreas laterais do tronco e da pirâmide são iguais. A altura (em cm) do tronco mede
a)
a 3
5
b)
a 35
10
c)
a 3
2 5
d)
a 35
10
e)
a 7
5
GABARITO
1 - C 2 - B 3 - B 4 - B 5 - B
6 - C 7 - A 8 - D 9 - D 10 - B
11 - E 12 - C 13 - B 14 - B