Teoria de Controle

1. Aula 03 – Transformada de Laplace
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira1
INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE / TEORIA DE CONTROLE
AULA 03 – TRANSFORMADA DE LAPLACE
Nesta aula iremos apresentar uma breve teoria sobre a Transformada de Laplace. Uma das
principais utilidades da transformada de Laplace é facilitar a resolução de equações diferenciais,
uma vez que estas são transformadas em equações algébricas por meio dessa ferramenta
matemática.
A Transformada de Laplace também nos auxiliará a analisar a estabilidade de sistemas dinâmicos,
sendo possível prever a o desempenho do sistema sem resolver a equação diferencial responsável
pela modelagem do sistema dinâmico.
1. DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Dada uma função  f t , defini-se:
      
0
st
f t F s e f t dt


  L ( 1 )
onde,   f tL representa a Transformada de Laplace.
EXEMPLO 1: Obtenha a transformada de Laplace de   at
f t e
 para 0t  :
      
 
0 0 0
1
s a t
s a tst at e
f t F s e e dt e dt
s a s a

   
  
     
  L
No estudo de sistemas de controle, algumas funções normalmente aparecem frequentemente, na
Tabela 1 as funções mais usuais são apresentadas com o objetivo de se tornar um material de
consulta e referência rápida. Obs.: Em nossos exercícios apenas utilizaremos as Tabelas 1 e 2.
Tabela 1 : Pares de Transformada de Laplace
Função  f t Função  F s Função  f t Função  F s
 t 1  1 2n at
t e n , ,

  1n
n !
s a


 1 t
1
s
sen t 2 2
s


t 2
1
s
cos t 2 2
s
s 

2. Aula 03 – Transformada de Laplace
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira2
 
 
1
1 2
1
n
t
n , ,
n !



1
n
s
senh t 2 2
s


 1 2n
t n , , 1n
n !
s 
cosh t 2 2
s
s 
at
e 1
s a
 1
1 at
e
a


 
1
s s a
at
t e
 2
1
s a
 1 at bt
e e
b a
 

   
1
s a s b 
 
 
1
1 2
1
n at
t e
n , ,
n !
 

  
1
n
s a  1 bt at
be ae
b a
 

   
s
s a s b 
 1 1
1 at bt
be ae
ab a b
  
      
1
s s a s b 
t sen t 
 
3
2 2 2
s s


 2
1
1 at at
e ate
a
 
 
 2
1
s s a
sen t t cos t  
 
3
22 2
2
s


 2
1
1 at
at e
a

 
 2
1
s s a
1
2
t sen t
  
22 2
s
s 
at
e sen t
 2 2
s a

 
t cos t
 
2 2
22 2
s
s




at
e cos t
 2 2
s a
s a 

 
 2 21 2
1 22 2
2 1
cos t cos t 
 
 


   2 2 2 2
1 2
s
s s  
1 cos t
 
2
2 2
s s


 
1
2
sen t t cos t  


 
2
22 2
s
s 
 2
2
1
1
1
n t
n ne sen t
  




 0 1 
2
2 2
2
n
n ns s

  
 2
2
1
1
1
n t
ne sen t
  

    
  
2
1
arctg




  0 1 0 2,     
2 2
2 n n
s
s s  
 2
2
1
1 1
1
n t
ne sen t
  

    
  
2
1
arctg




  0 1 0 2,     
 
2
2 2
2
n
n ns s s

  

3. Aula 03 – Transformada de Laplace
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira3
Além dos pares de Transformada de Laplace também é de grande importância conhecer as
propriedades da Transformada de Laplace que são apresenttadas na Tabela 2.
Tabela 2: Propriedades da Transformada de Laplace
    L A f t A F s         1 2 1 2L f t f t F s F s  
     0
d
L f t s F s f
dt

 
   
 
       
2
2
2
0 0
d
L f t s F s s f f
dt

 
     
 
     
 1
1
0
n n
kn n k
n
k
d
L f t s F s s f
dt



 
   
 
 com  
   
1
1
1
k
k
k
d
f t f t
dt




    
  0
1
t
F s
L f t dt f t dt
s s

 
     
    
  1
01
1n
k
n n k
tk
F s
L f t dt f t dt
s s
  
 
  
    
 
 
0
t
F s
L f t dt
s
  
 
  
    0
0
s
f t dt lim F s


 se existir  
0
f t dt


    at
L e f t F s a
        1 0as
L f t t e F s ,  
   
  
 dF s
L t f t
ds
      
2
2
2
d
L t f t F s
ds
 
        1 1 2
n
nn
n
d
L t f t F s n , ,
ds
      
1
s
L f t F s ds
t

 
 
 
 se existir  0
1
t
lim f t
t
 
1
L f a F as
a
  
  
  
         1 1 22
0
t
sL f t f F s F s 
  
  
  

        
1
2
c j
c j
L f t g t F p G s p dp
j
 
 
 
2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
A Transformada Inversa de Laplace é dada por:
      1 1
2
c j
st
c j
t F s F s e ds
j



 f = L ( 2 )
porém, analogamente ao processo do cálculo da Transformada de Laplace, utilizaremos as Tabelas
1 e 2 para se obter a Transformada Inversa de Laplace. Entretanto em algumas situações faz-se
necessário decompor as funções mais complexas em soma de funções mais simples, esse
procedimento denominado Expansão em frações parciais é apresentado na sequência.

4. Aula 03 – Transformada de Laplace
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2.1. Expansão em frações parciais
Uma função  F s dada por:
 
 
      
1
1 1 0
1 2
m m
m m
n
B s a s a s a s a
F s
A s s p s p s p

   
 
  
( 3 )
pode ser escrita na forma:
 
 
       
1 2
1 2
n
n
B s r r r
F s
A s s p s p s p
    
  
( 4 )
onde 1 nr r são chamados de resíduos e 1 np p são chamados de polos (os polos fornecem
informações importantes sobre a dinâmica de sistemas de controle e serão estudados em detalhes
em aulas futuras).
Caso 1: Polos distintos
Quando uma função apresenta apenas polos distintos podemos calcular os resíduos a partir da
seguinte expressão:
 
 
  k
k k
s p
B s
r s p
A s 
 
  
 
( 5 )
EXEMPLO 2: Obtenha a Transformada Inversa de Laplace de   2
2 1
3 2
s
F s
s s


 
.
Primeiramente faz-se necessário fatorar o polinômio do denominador. Na maneira fatorada os polos
são mais facilmente identificados.
 
      
1 22 1
1 2 1 2
s r r
F s
s s s s

  
   
Deseja-se determinar o valor de 1r e 2r , para tal utilizaremos a Equação 5:
 
  
 1
1
2 1
1 1
1 2 s
s
r s s
s s 
 
    
    
2 1
1
s
s

  
 
 
1
2 1 1
1
1 22
s
s

   
    
   
 
  
 2
2
2 1
2 2
1 2 s
s
r s s
s s 
 
    
      
2 1
1 2
s
s s

 
 
 
2
2 2 1
3
2 1
s
   
   
   
Portanto  
1 3
1 2
F s
s s
  
 
, e a Transformada Inversa de Laplace, por meio da Tabela 1, é dada
por:
  2
3t t
f t e e 
  

5. Aula 03 – Transformada de Laplace
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Caso 2: Polos múltiplos
Quando uma função apresenta polos múltiplos podemos calcular os resíduos a partir da seguinte
expressão:
 
 
 
 
1
1 11
1
1 !
k
k
m
k k
s p
B sd
r s p
k ds A s



 
  
 
( 6 )
EXEMPLO 3: Obtenha a Transformada Inversa de Laplace de  
 
2
3
2 3
1
s s
F s
s
 


.
Deseja-se obter a função  F s na forma expandida:
 
     
2
1 2 3
3 3 2
2 3
11 1 1
s s r r r
F s
ss s s
 
   
  
Deseja-se determinar o valor de 1r e 2r , para tal utilizaremos a Equação 5:
 
 
 
2
3 3
1 3
1
2 3
1 1
1 s
s s
r s s
s 
  
    
    
2
3
2 3
1
s s
s
 

   
2
1
1 2 1 3 2
s
 
       
 
 
 
 
 
2
3 3
2 3
1
2 3
1 1
1
s
d s s d
r s s
ds dss

   
     
      
2
3
2 3
1
s s
s
 

   1
1
2 2 2 1 2 0s
s
s 

  
        
  
   
 
 
 
2 2 2
3 3
3 32 2
1
1 2 3 1
1 1
2! 21
s
d s s d
r s s
ds dss

   
     
      
2
3
2 3
1
s s
s
 

  1
1
1
2 1
2 s
s


  
    
  
   
Portanto  
   
2
3 3
2 3 2 1
11 1
s s
F s
ss s
 
  
 
, e a Transformada Inversa de Laplace, por meio da
Tabela 1, é dada por:
  2t t
f t e t e 
 
3. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Um sistema linear invariante no tempo (LIT) que possui uma entrada e uma saída pode ser
representado por uma Função de Transferência. A Função de Transferência de um sistema
geralmente é expressa por:
 
 
 
Y s
G s
U s
 ( 7 )
onde,  Y s é a saída do sistema dinâmico e  U s é a entrada do sistema.

6. Aula 03 – Transformada de Laplace
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A Função de Transferência é uma maneira muito útil de se obter a resposta (saída) de um sistema a
um estímulo de entrada, quando a entrada e a saída são expressos no domínio da frequência.
Para se obter uma Função de Transferência deve-se calcular a Transformada de Laplace da equação
diferencial que descreve a dinâmica do sistema e então isolar a relação
 
 
Y s
U s
.
EXEMPLO 3: Obtenha a Função de Transferência que fornece a relação entre a posição da massa M
com relação a força F.
Figura 1 : Sistema Massa-Mola-Amortecedor
Do processo de modelagem sabemos que a
equação diferencial que descreve o movimento
da massa é dada por:
       f t mx t bx t kx t  
Calculando a Transformada de Laplace, por
meio das Tabelas 1 e 2, da expressão acima
temos:
       2
F s ms X s bsX s kX s  
Definindo como entrada    U s F s e saída    Y s X s , temos:
 
 
  2
1Y s
G s
U s ms bs k
 
 
que é a Função de Transferência que descreve o sistema Massa-Mola-Amortecedor.
4. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Determine a Transformada de Laplace, para 0t  , das funções a seguir:
a)   5 t
f t e
 b)   0,5
2 t
f t e
 c)   11 t
f t e
d)    0,2 3
6 t
f t e 
 e)   2t t
f t e e 
  f)   2t
f t te

g)   2
f t t h)   2 2t
f t t e
 i)    sen 3t
f t e t

j)    cos 3t
f t e t

k)   sen 3
2
f t t
 
  
 
l)    2 3
2 2 t t
f t e e 
 
2. Determine a Transformada Inversa de Laplace das funções a seguir:
a)  
 
5
2
F s
s s


b)   2
12
7 12
F s
s s

 
c)  
  
12
3 4
F s
s s s

 
d)  
 2
45
11 18
F s
s s s

 
e)  
 
  
10 3
2 4
s
F s
s s


 
f)  
  
2
5
1 2
F s
s s

 
m
k
b
x
f