Telecurso2000 fundmatematica

Volume 1 Sumário
Apresentação
01. Por que aprender matemática?
02. Árvores na solução de problemas
03. Números do nosso diaadia
04. Nosso sistema de numeração
05. Somar e diminuir
06. A conta de mais
07. A conta de menos
08. Somando "de cabeça"
09. Multiplicar e dividir
10. Multiplicando "de cabeça"
11. A conta de vezes
12. O que é medir?
13. A conta de dividir
14. Usando padrões para medir
15. As coisas têm área, volume e forma
16. Números com vírgula
17. Sistemas de medidas
18. Somar e diminuir números com vírgula
19. Multiplicar e dividir por 10, 100, 1.000
20. Dividir sem deixar resto
Gabaritos das perguntas e exercícios
Volume 2 Sumário
21. Usando a máquina de calcular
22. Múltiplos e divisores
23. Trabalhando com múltiplos
24. Frações
25. Frações diferentes, quantidades iguais
26. Quem é maior?
27. Fração ou número com vírgula
28. Quantos por cento?
29. Construindo o pensamento geométrico
30. Perpendiculares e paralelas
31. O que é ângulo
32. Um pouco mais sobre ângulos
33. Ângulos do triângulo
34. Tirando a média
35. Frações na música
36. Números menores que zero
37. Localizando um ponto no mapa
38. Somando números com sinais
39. Lucro e prejuízo
40. A máquina tem outros recursos
Gabaritos das perguntas e exercícios
As aulas 01 a 40 mais os gabaritos das perguntas e exercícios – Infelizmente não está disponível

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A U L A
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A U L A
Triângulos
Otriângulo é uma figura geométrica muito
utilizada em construções. Você já deve ter notado que existem vários tipos de
triângulo. Observe na armação do telhado os tipos diferentes que você pode
encontrar. Tente contar quantos triângulos existem nessa armação.
Você já sabe que o triângulo é uma figura geométrica de:
Para pensar
lado
lado
vértice
vértice
lado
vértice
®
ângulos
®
®
Nossa aula

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A U L APara falar desses elementos dos triângulos, a Matemática usa uma conven-
ção universal. Com letras maiúsculas representamos os vértices, pois eles são
pontos do plano. E assim temos, por exemplo:
l Os pontos A, B e C são os vérticesvérticesvérticesvérticesvértices.
l Os segmentos AB, BC e AC são os ladosladosladosladoslados.
l Â, B e C são os ângulosângulosângulosângulosângulos do triângulo.
Você também já viu, na 1ª fase de seu curso, que:
A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.
Veja os exemplos abaixo:
Assim, se você conhece dois ângulos de um triângulo, pode sempre desco-
brir a medida do terceiro ângulo. Vejamos como seria resolvido esse problema
usando os mesmos exemplos acima.
45º
30º
60º 60º 60º
60º
90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º 90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º 60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º
45º
?
45º
30º
?
?
? ?
180º180º180º180º180º - (90º + 30º) =(90º + 30º) =(90º + 30º) =(90º + 30º) =(90º + 30º) =
= 180º= 180º= 180º= 180º= 180º - 120º =120º =120º =120º =120º =
= 60= 60= 60= 60= 60ººººº
180º180º180º180º180º - (90º + 45º) =(90º + 45º) =(90º + 45º) =(90º + 45º) =(90º + 45º) =
= 180º= 180º= 180º= 180º= 180º - 135º =135º =135º =135º =135º =
= 45º= 45º= 45º= 45º= 45º
O ângulo cuja medida é
desconhecida mede 45º, pois é
quanto falta à soma dos outros
dois para completar 180º.
O resultado é encontrado
subtraindo-se de 180º (total da
soma) a soma dos ângulos que
você já conhece.
Neste exemplo, você não
conhece nenhum dos três ângulos,
mas sabe que os três possuem
medidas iguais. Basta então divi-
dir o total por 3.
180º
3
= 60º
A B
C

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A U L A Classificação dos triângulos
Comoostriângulosnãosãotodosiguais,podemossepará-losemgruposque
tenham características comuns, ou seja, podemos classificá-los. Usam-se dois
tipos de classificação: pelos ângulos ou pelos lados.
Classificação quanto aos ângulos
Com um esquadro, verifique, nos exemplos acima, se os ângulos são agudos
(menores que o ângulo reto), retos ou obtusos (maiores que o ângulo reto). Veja:
l O triângulo acutânguloacutânguloacutânguloacutânguloacutângulo possui os 3 ângulos agudos.
l O triângulo retânguloretânguloretânguloretânguloretângulo possui 1 ângulo reto e 2 ângulos agudos.
l O triângulo obtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusângulo possui 1 ângulo obtuso e 2 ângulos agudos.
Classificação quanto aos lados
Você pode confirmar com a régua as medidas dos lados destes triângulos:
l O triângulo equiláteroequiláteroequiláteroequiláteroequilátero possui os 3 lados com a mesma medida.
l O triângulo isóscelesisóscelesisóscelesisóscelesisósceles possui 2 lados com a mesma medida e o terceiro lado
com medida diferente.
l O triângulo escalenoescalenoescalenoescalenoescaleno possui os 3 lados com medidas diferentes.
acutânguloacutânguloacutânguloacutânguloacutângulo retânguloretânguloretânguloretânguloretângulo obtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusângulo
A
A
A
B B B CCC
3 cm 3 cm
3 cm 3 cm
4 cm 4 cm 4 cm3,5 cm
3 cm

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A U L A
3 cm 3 cm
3 cm
60º
60º 60º
A
B C
65º 65º
A
B C
3 cm
3,5 cm 3,5 cm
ObservaçõesObservaçõesObservaçõesObservaçõesObservações
1.1.1.1.1. Quando um triângulo é equiláteroequiláteroequiláteroequiláteroequilátero ele é também equiânguloequiânguloequiânguloequiânguloequiângulo, isto é,
seus três ângulos possuem a mesma medida.
2.2.2.2.2. No triângulo isóscelesisóscelesisóscelesisóscelesisósceles, o lado que possui medida diferente é chama-
dodebasebasebasebasebaseeosângulosqueosladoscommedidasiguaisformamcom
a base têm a mesma medida.
Construção de um triângulo pelas medidas de seus lados
Mesmo conhecendo as três medidas dos lados, nem sempre conseguimos
construir um triângulo. Você pode usar palitos ou varetas de vários tamanhos e
ver o que acontece na prática.
Vamosmostrarcomtrêsexemplosalgumassituaçõesquevocêvaiencontrar
na prática. Você descobrirá que existe uma relação entre as medidas dos lados
que possibilita a construção de um triângulo. Vamos lá!
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Épossívelconstruirumtriânguloquandoseusladosmedem8cm,4cme3cm?
8 cm
3
cm
4 cm
3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)AB = AC = BC =AB = AC = BC =AB = AC = BC =AB = AC = BC =AB = AC = BC =
AB = BC =AB = BC =AB = BC =AB = BC =AB = BC =
BC = base =BC = base =BC = base =BC = base =BC = base = 3 cm3 cm3 cm3 cm3 cm
3,5 cm3,5 cm3,5 cm3,5 cm3,5 cm
(equiângulo)(equiângulo)(equiângulo)(equiângulo)(equiângulo)Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°
B = C = 65°B = C = 65°B = C = 65°B = C = 65°B = C = 65°

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A U L A Observe que, se “fixarmos” nas extremidades do lado maior os lados
menores, não conseguiremos encontrar uma posição para que eles se encon-
trem e formem um triângulo.
Isso ocorre porque a soma das medidas dos lados menores (3 + 4 = 7) é menor
do que a medida do lado maior (8): 8 > 3 + 48 > 3 + 48 > 3 + 48 > 3 + 48 > 3 + 4
Vamos tentar então aumentar um dos lados menores e verificar o que
acontece. Façamos os lados medindo 8 cm, 4 cm e 4 cm.
Como no exemplo anterior se “fixamos” as extremidades para procurar a
posição que formará o triângulo veremos que os dois lados menores (4 cm cada
um) só se encontrarão sobre o lado maior (8 cm). Isso ocorre porque: 8 = 4 + 48 = 4 + 48 = 4 + 48 = 4 + 48 = 4 + 4
Vamos agora utilizar lados com 8 cm, 5 cm e 4 cm.
Nesse caso é possível construir um triângulo, pois quando “giramos” os
lados menores com extremidades presas no lado maior eles se encontram
formando o triângulo. Note que: 8 < 5 + 48 < 5 + 48 < 5 + 48 < 5 + 48 < 5 + 4
Conclusão
Para verificar a existência de um triângulo quando são conhecidas as
medidas de seus três lados, bastabastabastabastabasta verificar se a soma das medidas dos
dois lados menores é maior que a medida do lado maior. Mais for-
malmente dizemos que:
Em qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempre
menor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
8 cm
4 cm 4 cm
8 cm
4 cm 5 cm

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A U L AExercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Observe os triângulos abaixo e classifique-os quanto aos ângulos e quanto
aos lados.
a)a)a)a)a) b)b)b)b)b)
c)c)c)c)c) d)d)d)d)d)
e)e)e)e)e) f)f)f)f)f)
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Use a régua para medir os lados dos triângulos abaixo e classifique-os
quanto aos lados.
a)a)a)a)a) b)b)b)b)b) c)c)c)c)c)
Use o transferidor (ou um ângulo reto qualquer), meça os ângulos e classi-
fique os triângulos quanto aos ângulos:
Exercícios
4 cm
4 cm
3,2 cm
5,5 cm
4 cm
3,5 cm 3,5 cm
3,5 cm
3 cm
4 cm4 cm
7 cm
6,4 cm 3 cm
6 cm
6 cm
45º
45º
60º
60º 60º
20º
30º
130º
110º
35º 35º
30º
60º
70º
60º
50º
c)c)c)c)c)

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A U L A Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Determine a medida do terceiro ângulo:
Num triângulo equilátero, quanto mede cada ângulo?
Num triângulo isósceles, os ângulos da base medem 50º cada um. Quanto
mede o outro ângulo?
Num triângulo isósceles, o ângulo diferente mede 110º. Quanto medem os
outros dois ângulos?
Observe a figura abaixo. O ângulo marcado com a letra aaaaa, obtido quando
prolongamos um dos lados do triângulo, é chamado ângulo externoângulo externoângulo externoângulo externoângulo externo. Neste
exemplo,
a)a)a)a)a) Quanto mede aaaaa?
b)b)b)b)b) Como você obteve essa medida?
c)c)c)c)c) Que relação ela tem com os ângulos do triângulo?
Verifique se sua conclusão é válida para estes outros exemplos:
Verifique se existem triângulos cujos lados tenham as medidas abaixo:
a)a)a)a)a) 7 cm, 10 cm e 15 cm
b)b)b)b)b) 6 cm, 6 cm e 6 cm
c)c)c)c)c) 4 cm, 5 cm e 10 cm
d)d)d)d)d) 3 cm, 7 cm e 10 cm
50º
100º
30º
a
a 70º60º
50º
60º28º
?
?
?
43º 52º 70º 70º
40º
50º
a

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A U L A
No mosaico acima, podemos identificar duas figuras bastante conhecidas:
o quadradoquadradoquadradoquadradoquadrado, de dois tamanhos diferentes, e o retânguloretânguloretânguloretânguloretângulo.
As duas figuras possuem quatro ângulos internos iguais e retos, portanto
medem 90º cada um.
Além disso, o quadrado tem os quatro lados iguais e o retângulo tem dois
pares de lados iguais chamados lados opostoslados opostoslados opostoslados opostoslados opostos.
Vejamos como se representam as observações acima:
No quadrado ABCD: AB = BC = CD = AD _ lados iguais
Â = B = C = D _ ângulos iguais
No retângulo EFGH: EF = GH _ lados opostos iguais
FG = EH _ lados opostos iguais
Ê = F = G = H _ ângulos iguais
O quadrado e outros
quadriláteros
42
A U L A
Para pensar
A D
B C
E
F G
H
Nossa aula

42
A U L A
S
U
TR
N
M P
O
}
}
Veja, agora, um outro mosaico formado por uma figura de quatro lados
também conhecida:
Essa figura, chamada losangolosangolosangolosangolosango, possui os quatro lados iguais e dois pares de
ângulos iguais, os ângulos opostos.
No losango RSTU:
RS = ST = TU = UR _ lados iguais
R = T _ ângulos opostos iguais
S = U _ ângulos opostos iguais
Outra figura de quatro lados que possui também dois pares de ângulos
iguais é o paralelogramoparalelogramoparalelogramoparalelogramoparalelogramo. Note que seus lados opostos são iguais dois a dois,
como no retângulo.
No paralelogramo MNOP:
MN = OP dois pares de lados
NO = MP opostos iguais
M = O dois pares de ângulos
N = P opostos iguais
Todas as figuras apresentadas nesta aula são chamadas de quadriláterosquadriláterosquadriláterosquadriláterosquadriláteros
(quadri = quatro e láteros = lados).
Veja um resumo das características (propriedades) dessas figuras:
´ ´ ´
´ ´ ´
´ ´ ´
´ ´ ´
Observe que na 3ª coluna aparece uma propriedade comum a todas as
figuras, ou seja, as quatro possuem dois pares de lados opostos paralelos. Por
isso, são chamadas de paralelogramosparalelogramosparalelogramosparalelogramosparalelogramos. Portanto:
Os paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois pares
de lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.
44444 LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS
IGUAISIGUAISIGUAISIGUAISIGUAIS
APENASAPENASAPENASAPENASAPENAS LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS
OOOOOPOSTOSPOSTOSPOSTOSPOSTOSPOSTOS IGUAISIGUAISIGUAISIGUAISIGUAIS
22222 PARESPARESPARESPARESPARES DEDEDEDEDE
LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS OPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOS
PARALELOSPARALELOSPARALELOSPARALELOSPARALELOS
44444 ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS
APENASAPENASAPENASAPENASAPENAS
ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS
OPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOS IGUAISIGUAISIGUAISIGUAISIGUAIS

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A U L A
A B
C D G H
E F
L M
I J
DUASDUASDUASDUASDUAS DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS
DUASDUASDUASDUASDUAS DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS
DESIGUAISDESIGUAISDESIGUAISDESIGUAISDESIGUAIS
A
B
D
C
Otrapéziotrapéziotrapéziotrapéziotrapézionão é um paralelogramo, pois é quadrilátero que tem apenas umapenas umapenas umapenas umapenas um
par de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelos, que chamamos de basesbasesbasesbasesbases. Veja alguns tipos de
trapézio:
O trapézio 11111 tem os lados AB e CD paralelos, sendo AB a base maiorbase maiorbase maiorbase maiorbase maior e CD
a base menorbase menorbase menorbase menorbase menor. Os outros dois lados não são paralelos mas são iguais, isto é,
AC = BD. Esse é o trapézio isóscelestrapézio isóscelestrapézio isóscelestrapézio isóscelestrapézio isósceles.
O trapézio 22222 tem o lado EG perpendicular às bases formando, portanto,
ângulos retos Ê e G. Esse é o trapézio retângulotrapézio retângulotrapézio retângulotrapézio retângulotrapézio retângulo.
O trapézio 33333 tem os dois lados não paralelos desiguais, isto é, IL ¹ JM. Esse
é o trapézio escalenotrapézio escalenotrapézio escalenotrapézio escalenotrapézio escaleno.
Essa classificação dos trapézios tem uma analogia (semelhança) com a
classificação dos triângulos vista na aula anterior, lembra-se? Assim fica fácil
lembrar de nomes novos.
Vamos conhecer agora um elemento dos quadriláteros que não existe nos
triângulos: a diagonal.
Diagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que liga
dois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.
No retângulo ABCD, os vértices não consecutivos são A e C, e B e D. Veja
a figura:
AC e BD são as diagonais
No retângulo as diagonais são iguaisdiagonais são iguaisdiagonais são iguaisdiagonais são iguaisdiagonais são iguais e se cortam ao meioe se cortam ao meioe se cortam ao meioe se cortam ao meioe se cortam ao meio.
Faça você as outras figuras (paralelogramos) e conclua as propriedades
das diagonais.
Confira suas conclusões com a tabela abaixo.
´ ´ ´
´ ´
´ ´ ´
´ ´
Observe que na 4ª coluna aparece a propriedade comum às diagonais dos
paralelogramos:
As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.
(1) (2) (3)
DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS
PERPENDICULARESPERPENDICULARESPERPENDICULARESPERPENDICULARESPERPENDICULARES
DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS QUEQUEQUEQUEQUE SESESESESE
CORTAMCORTAMCORTAMCORTAMCORTAM AOAOAOAOAO MEIOMEIOMEIOMEIOMEIO

42
A U L A Soma dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer
Já sabemos que em qualquer triângulo a soma dos três ângulos internos é
180º.
Um quadrilátero é convexo quando uma das diagonais fica totalmente no
interior do quadrilátero, como na figura.
Quando traçamos uma das diagonais de um quadrilátero, ele fica dividido
em dois triângulos:
A soma dos ângulos do triângulo LMO, assim como a soma dos ângulos do
triângulo LNO, é igual a 180º.
Somando-se os ângulos dos dois triângulos, encontramos a soma dos
ângulos do quadrilátero. Portanto, 180º + 180º = 360º.
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º
Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!
Usando recortes e colagens, podemos mostrar com bastante facilidade
que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a
180º e que a dos quadriláteros convexos vale 360º, como nas figuras
abaixo.
L
M
O
N
1
2 3
1
2 3
1
2 3
1
2
3
4 4
3
2
1
1
23
4

42
A U L AExercícios
Como se chama o quadrilátero:
a)a)a)a)a) Que possui os lados opostos iguais?
b)b)b)b)b) Que possui somente um par de lados paralelos?
c)c)c)c)c) Que possui os quatro ângulos iguais a 90º?
d)d)d)d)d) Que possui as diagonais iguais cortando-se ao meio?
Complete a tabela com o que se pede:
FIGURASFIGURASFIGURASFIGURASFIGURAS GEOMÉTRICASGEOMÉTRICASGEOMÉTRICASGEOMÉTRICASGEOMÉTRICAS PONTOSPONTOSPONTOSPONTOSPONTOS EMEMEMEMEM COMUMCOMUMCOMUMCOMUMCOMUM DIFERENÇASDIFERENÇASDIFERENÇASDIFERENÇASDIFERENÇAS
Desenhe:
a)a)a)a)a) Um quadrilátero com quatro lados iguais que não seja um quadrado.
Diga seu nome.
b)b)b)b)b) Um quadrilátero com quatro ângulos iguais que não seja um quadrado.
Diga seu nome.
c)c)c)c)c) Um quadrilátero que tenha somente dois ângulos retos. Diga seu nome.
d)d)d)d)d) Um quadrilátero cujas diagonais cortam-se ao meio mas não são iguais.

42
Nesta figura quadriculada existe um total de 5 quadrados.
Temos um quadrado de 2 · 2 e 4 quadrados de 1 · 1.
Descubra quantos quadrados existem nos seguintes quadriculados:
Desenhe em papel quadriculado 4 triângulos retângulos iguais a este:
a)a)a)a)a) Recorte-os.
b)b)b)b)b) Agora desenhe, em papel quadriculado, um quadrado. A medida do lado
do quadrado deve ser igual à medida do lado menor do triângulo que
você recortou.
c)c)c)c)c) Recorte também esse quadrado. Você construiu um quebra-cabeça
com 5 peças.
Atividades:Atividades:Atividades:Atividades:Atividades:
l Construa com 2 peças do seu quebra-cabeça:
− um paralelogramo;
− um retângulo.
l Registre as soluções encontradas em papel quadriculado.
l Com 3 peças de seu quebra-cabeça, forme:
− um paralelogramo;
− um retângulo.
l Registre as soluções encontradas em papel quadriculado.
l Utilizando as 5 peças, tente formar figuras diferentes e registre-as em
papel quadriculado.
Sabendo que um dos ângulos de um paralelogramo mede 45º, calcule os
outros três ângulos.

43
A U L A
Polígonos e mosaicos
43
A U L A
Para pensarAregularidade de formas encontradas na
natureza tem chamado a atenção do ser humano há muitos séculos. Ao
observar e estudar essas formas, o homem tem aprendido muitas coisas.
Com as abelhas, por exemplo, ele compreendeu que o formato dos favos de
mel é muito bom para guardar objetos com grande economia de espaço.
Exemplos da aplicação do formato das colméias são blocos de calçamento
e suportes de garrafas para o armazenamento de bebidas alcóolicas em adegas.
Esse mesmo formato também é
encontrado na cabeça de um tipo de
parafuso chamado pelos mecânicos e
técnicos de parafuso sextavadoparafuso sextavadoparafuso sextavadoparafuso sextavadoparafuso sextavado.
Na geometria, parte da Matemá-
tica que estuda as figuras, essa forma
é chamada de hexagonalhexagonalhexagonalhexagonalhexagonal.

43
A U L A O hexágono e as outras formas geométricas
No revestimento de pisos e paredes de uma casa muitas vezes usamos
ladrilhos (lajotas ou azulejos) de diferentes formatos, além da forma hexagonal.
Veja os desenhos:
As figuras que aparecem nesses revestimentos são chamadas, pela Matemá-
tica, de polígonospolígonospolígonospolígonospolígonos. Os polígonos são figuras geométricas planas e podem ser
classificados como regularesregularesregularesregularesregulares ou irregularesirregularesirregularesirregularesirregulares. No quadro abaixo, apresentamos
alguns exemplos.
Nossa aula
FormatohexagonalFormatohexagonalFormatohexagonalFormatohexagonalFormatohexagonal FormatoquadrangularFormatoquadrangularFormatoquadrangularFormatoquadrangularFormatoquadrangular
FormatoretangularFormatoretangularFormatoretangularFormatoretangularFormatoretangular ComposiçãoentreformatosComposiçãoentreformatosComposiçãoentreformatosComposiçãoentreformatosComposiçãoentreformatos
quadrangularehexagonalquadrangularehexagonalquadrangularehexagonalquadrangularehexagonalquadrangularehexagonal
POLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOS REGULARESREGULARESREGULARESREGULARESREGULARES::::: LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS EEEEE
ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS TÊMTÊMTÊMTÊMTÊM AAAAA MESMAMESMAMESMAMESMAMESMA MEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDA
POLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOS IRREGULARESIRREGULARESIRREGULARESIRREGULARESIRREGULARES::::: LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS EEEEE
ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS NÃONÃONÃONÃONÃO TÊMTÊMTÊMTÊMTÊM AAAAA MESMAMESMAMESMAMESMAMESMA MEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDA
triângulo quadrado
hexágono
decágonoeneágono
pentágono
triângulo quadrilátero
pentágono
hexágono heptágono
heptágono octógono

43
A U L A
ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação
Se você traçar as diagonais dos polígonos anteriores, vai perceber que,
em alguns, elas ficam no interior e, em outros, ficam no exterior do
polígono. Veja o exemplo:
Quandoumpolígonopossuitodasassuasdiagonaisnaparteinterior,ele
é chamado de polígono convexopolígono convexopolígono convexopolígono convexopolígono convexo. E quando pelo menos uma diagonal
fica na parte exterior, ele é chamado de polígono não convexopolígono não convexopolígono não convexopolígono não convexopolígono não convexo ou
côncavocôncavocôncavocôncavocôncavo.
A soma dos ângulos de um polígono
Num polígono o número de lados é sempre igual ao número de ângulos.
Na Aula 41 você aprendeu que a soma dos ângulos internos de um
triângulo é igual a 180º. Agora vamos ver como calcular a soma dos ângulos
de um polígono qualquer, como por exemplo do:
Pentágono (polígono de 5 lados)
Vamos desenhar um pentágono convexo qualquer, escolher um de seus
vértices e traçar as diagonais que saem desse vértice, como mostra a figura:
Observe que, ao fazermos isso, o pentágono ficou dividido em três triân-
gulos. Como em cada triângulo a soma dos ângulos é igual a 180º, então para
calcular a soma dos ângulos do pentágono podemos fazer: 3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º.
Portanto:
A soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igual
a 540º.a 540º.a 540º.a 540º.a 540º.
Todas as diagonais noTodas as diagonais noTodas as diagonais noTodas as diagonais noTodas as diagonais no
interiordopolígono.interiordopolígono.interiordopolígono.interiordopolígono.interiordopolígono.
PelomenosumadiagonalPelomenosumadiagonalPelomenosumadiagonalPelomenosumadiagonalPelomenosumadiagonal
no exteriordopolígono.no exteriordopolígono.no exteriordopolígono.no exteriordopolígono.no exteriordopolígono.

43
A U L A Hexágono (polígono de 6 lados)
Agindo de forma análoga, observamos que as diagonais dividem o hexá-
gono convexo em quatro triângulos:
Nesse caso, a soma total é calculada assim: 4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º. Portanto:
A soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igual
a 720º.a 720º.a 720º.a 720º.a 720º.
Esse processo também pode ser aplicado a outros polígonos convexos, de
7, 8, 9 ou mais lados. Experimente!
Os ângulos do hexágono regular
Observe a figura abaixo:
Ela é formada por hexágonos regulares que se encaixam sem se sobrepor
ou deixar vãos. A esse tipo de composição costuma-se dar o nome de mosaicomosaicomosaicomosaicomosaico.
Neste mosaico, cada um dos vér-
tices é vértice de três hexágonos ao
mesmo tempo, como mostra a figura
aolado. Todos os hexágonos são regu-
lares, isto é, possuem lados e ângulos
de mesma medida, o que significa que
Â = B = C. Além disso, a soma desses
três ângulos é igual a 360°, ou seja,
eles formam um ângulo de uma volta
completa: Â + B + C =360° . Então, cada
um desses ângulos éigual a 360°¸3 =
120º.
Vocêpoderáchegara essa mesma conclusão de outra maneira. Você acabou
de aprender que a soma dos ângulos internos de um hexágono qualquer é igual
a 720º. No caso do hexágono regular, basta fazer 720º720º720º720º720º ¸ 66666, isto é, 120º120º120º120º120º.
Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!
Esse processo é válido também para outros polígonos regulares.
Â B
C

43
A U L A
Você já viu que é possível revestir o piso ou as paredes de uma casa com
ladrilhos de um único tipoúnico tipoúnico tipoúnico tipoúnico tipo. Podemos revestir uma parede usando, por exemplo,
apenas ladrilhos quadrados ou, então, usando só ladrilhos com a forma de
hexágonos regulares.
Será que é possível revestir uma parede
usando apenas ladrilhos com a forma de
pentágonos regulares? Você pode responder a
essa pergunta fazendo o seguinte: recorte em
uma folha de papel vários pentágonos iguais
ao que está na figura ao lado. Em seguida, tente
ajustá-los como se fossem ladrilhos. Será que
você vai conseguir um encaixe perfeito?
Já sabemos que é possível revestir uma
parede usando apenas ladrilhos quadrados,
pois os ângulos dos quadrados se encaixam
perfeitamente, sem que haja sobra. Isso acon-
tece porque cada um destes ângulos é igual a
90º, e 90 é divisor de 36090 é divisor de 36090 é divisor de 36090 é divisor de 36090 é divisor de 360.
Já sabemos também que é possível revestir uma parede usando apenas
ladrilhos em forma de hexágonos regulares, pois os ângulos dos hexágonos
regulares encaixam-se perfeitamente, sem que haja sobra. Isso acontece porque
cada um desses ângulos é igual a 120º, e 120 é divisor de 360120 é divisor de 360120 é divisor de 360120 é divisor de 360120 é divisor de 360.
Portanto, para saber se é possível fazer revestimentos usando apenas
ladrilhos com a forma de pentágonos regulares, devemos calcular a medida dos
ângulos de um pentágono regular e, em seguida, verificar se essa medida é ou
não um divisor de 360.
Lembre-se de que a soma dos ângulos de
um pentágono dá 540º. Quando um
pentágono é regularregularregularregularregular, todos os seus 5 ângulos
são iguais (veja a figura ao lado). E, se a soma
desses ângulos dá 540º, cada um deles é igual
a 540º ¸5, ou seja, 108º. Vamos verificar então
se 108 é ou não um divisor de 360. Temos:
A divisão não é exata e, portanto, 108 não é108 não é108 não é108 não é108 não é
divisor de 360divisor de 360divisor de 360divisor de 360divisor de 360. Haverá, então, sobra quando
tentarmos encaixar os pentágonos regulares.
Logo, não é possível fazer revestimentos usan-
doapenasladrilhoscomaformadepentágonos
regulares, como se pode ver na figura acima.
Texto extraído do Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1º GrauGrauGrauGrauGrau. Fundação Roberto Marinho, Ministé-
rio da Educação e Cultura e Fundação Universidade de Brasília, 1989.
360 108360 108360 108360 108360 108
36 336 336 336 336 3
36º
108º 108º
108º
Por que não se fazem ladrilhos pentagonais?Por que não se fazem ladrilhos pentagonais?Por que não se fazem ladrilhos pentagonais?Por que não se fazem ladrilhos pentagonais?Por que não se fazem ladrilhos pentagonais?

43
A U L A Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!
Num artigo da Revista do Professor de MatemáticRevista do Professor de MatemáticRevista do Professor de MatemáticRevista do Professor de MatemáticRevista do Professor de Matemáticaaaaa - nº 4, os
professores Imenes e Jakubovic escreveram sobre o formato dos para-
fusos, apresentando algumas questões interessantes:
1.1.1.1.1. “Num parafuso, o polígono presente é sempre regular.”
Isso se dá por uma razão simples: seria muito inconveniente apertar
e desapertar um parafuso que não fosse regular, pois a chave precisa-
ria ser especial para aquele parafuso e ela voltaria a se encaixar
somente após uma rotação de 360º, como mostra a figura:
2.2.2.2.2. “O parafuso mais conveniente é o sextavado.”
“Com o parafuso sextavado, completamos um passo da rosca após
seis movimentos de 60º cada um.
Quando um mecânico está consertando um defeito qualquer numa
máquina, por exemplo num automóvel, muitas vezes ele tem pouco
espaço para trabalhar (em geral em posições desconfortáveis). Por
essa razão, dos três parafusos apresentados, o mais cômodo é o
hexagonal, pois é o que pode ser apertado ou desapertado com giros
menores (60º), isto é, com movimentos mais curtos do braço.”
ParafusosextavadoParafusosextavadoParafusosextavadoParafusosextavadoParafusosextavado Outros tipos de parafusosOutros tipos de parafusosOutros tipos de parafusosOutros tipos de parafusosOutros tipos de parafusos
60º

43
Reproduza estas malhas, crie um padrão e forme um mosaico com ele.
Descubra a medida dos ângulos das figuras abaixo. Observe que:
l a primeira é um pentágono formado por um triângulo equilátero e um
quadrado;
l a segunda é um losango formado por dois triângulos equiláteros.
O losango é um polígono regular? Por quê?
O octógono é um polígono de 8 lados. Desenhe um octógono, escolha um
de seus vértices e trace todas as diagonais que “saem” desse vértice.
Depois,
responda às perguntas:
a)a)a)a)a) Em quantos triângulos o octógono ficou dividido?
b)b)b)b)b) A soma dos ângulos de todos esses triângulos é igual à soma dos
ângulos desse octógono?
c)c)c)c)c) Quanto dá, então, a soma dos ângulos de um octógono?
O Exercício 4 foi extraído do Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1º GrauGrauGrauGrauGrau.FundaçãoRobertoMarinho,
Ministério da Educação e Cultura, Fundação Universidade de Brasília,1989.
Exercícios

43
Ao desenhar um polígono, podemos, em geral, escolher um dos vértices e
traçar as diagonais que “saem” desse vértice, como mostram as figuras:
Agora, com base nessa informação, complete a tabela abaixo:
NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO DEDEDEDEDE NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO DEDEDEDEDE NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO DEDEDEDEDE SOMASOMASOMASOMASOMA DEDEDEDEDE
LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS DODODODODO DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS QUEQUEQUEQUEQUE TRIÂNGULOSTRIÂNGULOSTRIÂNGULOSTRIÂNGULOSTRIÂNGULOS TODOSTODOSTODOSTODOSTODOS OSOSOSOSOS ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS
POLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONO “““““SAEMSAEMSAEMSAEMSAEM””””” DEDEDEDEDE FORMADOSFORMADOSFORMADOSFORMADOSFORMADOS DODODODODO POLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONO
CADACADACADACADACADA VÉRTICEVÉRTICEVÉRTICEVÉRTICEVÉRTICE
3 0 1 180º
4 1 2 360º
5
6
7
8
9
10
Após preencher a tabela, observe-a com bastante atenção e responda: existe
uma relação entre “o número de lados do polígono” e “o número de
triângulos formados”? Qual é essa relação?
Imagine um polígono com nnnnn lados, sendo nnnnn um número inteiro e maior que
3. Escolha um de seus vértices e imagine-se traçando todas as diagonais que
“saem” desse vértice.
a)a)a)a)a) Escreva uma expressão que indique o número de triângulos formados
nesse polígono de nnnnn lados que você imaginou.
b)b)b)b)b) Escreva uma expressão que indique como você poderia calcular a soma de
todos os ângulos desse polígono de nnnnn lados.

44
A U L A
Observe o texto abaixo. Ele foi extraído de
um livro de geometria chinês. Veja se, mesmo sem saber chinês, você
consegue entender o tema do texto, ou seja, sobre o que o texto fala. O que
está sendo demonstrado?
44
A U L A
A linguagem
matemática
Para pensar

44
A U L A Ao procurar num dicionário a palavra linguagemlinguagemlinguagemlinguagemlinguagem, você encontra várias
definições. Veja duas delas, encontradas no Novo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio da
Língua PortuguesaLíngua PortuguesaLíngua PortuguesaLíngua PortuguesaLíngua Portuguesa:
linguagem.linguagem.linguagem.linguagem.linguagem. 1.1.1.1.1. O uso da palavra articulada ou escrita como meio de
expressão ou da comunicação entre pessoas. 2.2.2.2.2. O vocabulário especí-
fico usado numa ciência, numa arte, numa profissão etc.
Como você pode ver, a linguagem é uma forma de expressar determi-
nada idéia. Na vida prática, existem diferentes maneiras de comunicar as
idéias: pela linguagem falada, pela escrita, pela musical etc.
A Matemática também criou uma forma de comunicação. Ela se utiliza
de uma linguagem universal para transmitir suas idéias de maneira simples,
curta e precisa.
l Simples e curtaSimples e curtaSimples e curtaSimples e curtaSimples e curta porque com apenas alguns símbolos ela pode expressar
frases que, se escritas na linguagem corrente, usariam maior quantidade de
símbolos. Por exemplo, a frase:
Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,
se escrita na linguagem matemática, usa apenas cinco símbolos, que
podem ser compreendidos por qualquer pessoa familiarizada com os
símbolos matemáticos:
2 + 3 = 52 + 3 = 52 + 3 = 52 + 3 = 52 + 3 = 5
l PrecisaPrecisaPrecisaPrecisaPrecisa porque deve indicar uma idéia com precisão, com exatidão, isto é,
sem falhas.
O uso de letras na Matemática
Além dos algarismos e dos sinais de operação (+, -, ´, ¸: , , etc), a
linguagem matemática também utiliza letras em sua comunicação. Veja alguns
exemplos:
Considere as multiplicações do múmero 1 por outros números:
1 . 0 = 01 . 0 = 01 . 0 = 01 . 0 = 01 . 0 = 0
1 . 1 = 11 . 1 = 11 . 1 = 11 . 1 = 11 . 1 = 1
1 . 2 = 21 . 2 = 21 . 2 = 21 . 2 = 21 . 2 = 2
1 . 3 = 31 . 3 = 31 . 3 = 31 . 3 = 31 . 3 = 3
Você já deve ter percebido que o número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um número
qualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse número. Daí, podemos usar uma letra para
representar esse fato:
11111 ..... x = xx = xx = xx = xx = x
onde a letra xxxxx está representando um número qualquerum número qualquerum número qualquerum número qualquerum número qualquer.
Nossa aula

44
A U L A
As propriedades da adição ou da multiplicação também podem ser expressas
por letras. É o caso, por exemplo, da propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-
cação sobre a adiçãocação sobre a adiçãocação sobre a adiçãocação sobre a adiçãocação sobre a adição, que você já aprendeu e que pode ser representada
por:
aaaaa ····· (b + c) = a(b + c) = a(b + c) = a(b + c) = a(b + c) = a ····· b + ab + ab + ab + ab + a ····· ccccc
onde as letras aaaaa, bbbbb e ccccc representam números quaisquer.
Vejamos agora uma outra situação. Observe:
0 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 0
2 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 2
Será que esses exemplos são suficientes para afirmar que x + x = x ..... x?
Basta escolher um exemplo bem simples para verificar que nãonãonãonãonão: 1 + 1 não
é igual a 1 ..... 1.
Portanto, como esse fato não é válido para qualquer número, não podemos
escrever que x + x = x ····· x.
O uso de letras na geometria
As letras também podem ser usadas para indicar algumas “fórmulas” da
geometria. Por exemplo:
l A área de um quadrado pode ser expressa por l²²
, onde l representa o lado
desse quadrado.
l A área de um retângulo pode ser expressa por a · ba · ba · ba · ba · b, onde aaaaa e bbbbb representam
as dimensões do retângulo. O perímetro do retângulo pode ser expresso
por 2a + 2b2a + 2b2a + 2b2a + 2b2a + 2b ou 2 (a + b)2 (a + b)2 (a + b)2 (a + b)2 (a + b).
l A soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer pode ser
expressa por (n(n(n(n(n - 2) · 180º2) · 180º2) · 180º2) · 180º2) · 180º. Volte à Aula 43 e veja o que significam a letra
nnnnn e a expressão nnnnn - 22222.
lado ===== l
área ===== l ..... l ===== l²
l
l
Considere dois números quaisquer cuja soma seja igual a 5.Esse fato
pode ser representado por:
a + b = 5
onde a e b representam os números que somados dão 5.

44
A U L A A linguagem matemática e a resolução de problemas
A linguagem matemática tornou-se, hoje em dia, um instrumento impor-
tante para resolver problemas. Com ela podemos traduzir os dados do problema
que estão em linguagem corrente, ou seja, podemos equacionarequacionarequacionarequacionarequacionar o problema.
Nos exemplos seguintes, há uma tabela com o problema em linguagem corrente
e sua tradução para a linguagem matemática. Veja:
A metade de um número é igual a 6.
Qual é esse número ? x = ?
A solução desse problema é a solução da equação matemática
x
2
= 6. No
momento, nãonãonãonãonão vamos aprender a resolver equações. Nosso objetivo,
agora, é apenas saber o que éo que éo que éo que éo que é e para que servepara que servepara que servepara que servepara que serve a linguagem matemá-
tica.
Uma pessoa tinha uma determinada x
quantia de dinheiro.
No primeiro mês gastou 100 reais. x - 100
No segundo mês gastou metade do
que sobrou,
ficando com 80 reais. 80
Qual era a quantia inicial? x = ?
Para descobrir o valor de xxxxx, basta resolver a última equação. Mas, como já
dissemos, esse não é o nosso objetivo no momento.
x
2
= 6
EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM CORRENTECORRENTECORRENTECORRENTECORRENTE EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA
EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM CORRENTECORRENTECORRENTECORRENTECORRENTE EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA
x = 100 +
x -100
2
+ 80
{
{
{
gastou no
1º mês
gastou no
2º mês
sobrou
x -100
2

44
Escreva as seguintes frases em linguagem matemática:
a)a)a)a)a) O dobro de um número.
b)b)b)b)b) O triplo de um número.
c)c)c)c)c) Um número menos sete.
d)d)d)d)d) Metade de um número, mais um.
Como você escreveria em linguagem matemática as frases seguintes?
a)a)a)a)a) A ordem dos fatores não altera o produto.
b)b)b)b)b) A ordem das parcelas não altera a soma.
Considere um retângulo cujo perímetro é 20 cm.
a)a)a)a)a) Escreva, em linguagem matemática, uma expressão para representar
esse fato.
b)b)b)b)b) Dê alguns exemplos para as medidas das dimensões desse retângulo.
Complete a frase:
Sempre que o desconto é de 50%, pagamos apenas metade do preço. Se o
preço é xxxxx, pagamos ........................
Exercícios

45
A U L A
45
A U L A
O círculo e o número p
Ocírculo é uma figura geométrica bastan-
te comum em nosso dia-a-dia. Observe à sua volta quantos objetos circulares
estão presentes: nas moedas, nos discos, à mesa de refeição...
Agora pense, o que você faria para:
l riscar no tecido o contorno de uma toalha de mesa redonda?
l desenhar um círculo no seu caderno?
l marcar o limite das escavações de um poço no chão?
Quando falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessa
figura geométrica. No entanto, em geometria, costuma-se fazer uma pequena
distinção entre círculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvido
falar.
A superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculocírculocírculocírculocírculo.
Quandoriscamosnopapelounochão
apenas o contorno do círculo, este con-
torno é chamado circunferênciacircunferênciacircunferênciacircunferênciacircunferência.
O compassocompassocompassocompassocompasso é um instrumento utili-
zado para desenhar circunferênciascircunferênciascircunferênciascircunferênciascircunferências.
Como você pode ver na figura ao lado, o
compasso possui duas “pernas”. Uma
delas tem uma ponta metálica, que deve
ser assentada no papel, no local que será
o centrocentrocentrocentrocentro da circunferência. A outra pon-
ta, com o grafite, deve ser girada para
Para pensar
Nossa aula

45
A U L Aobter o traçado da circunferência.
Antes de traçar uma circunferên-
cia, devemos decidir qual será a aber-
tura entre as pernas do compasso. A
distância entre as duas pontas do com-
passo define o raioraioraioraioraio da circunferência.
Agora,pegueumcompassoetrace
uma circunferência. Repare que todos
os pontos da circunferência que você
riscou no papel estão a uma mesma
distância do centrocentrocentrocentrocentro. Essa distância é
o raioraioraioraioraio.
Com essas informações, você consegue improvisar seu compasso. Utilizan-
do uma tachinha, um barbante e um giz você pode riscar uma circunferência no
chãoounotecido.Osoperários,jardineirosepedreiros,porexemplo,costumam
usar uma corda e duas estacas.
Algumas definições importantes
CordaCordaCordaCordaCorda é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência.
DiâmetroDiâmetroDiâmetroDiâmetroDiâmetro é uma corda que passa pelo centrocentrocentrocentrocentro da circunferência.
Observe que o diâmetro é sempre a corda maior: como é a corda que passa
pelo centrocentrocentrocentrocentro, sua medida é igual a duas vezes a medida do raio. Veja a figura:
diâmetro
corda
Raio
Raio
Diâmetro
r
r
d
d = 2 . r

45
A U L A
P
Q
®
Assim, se você precisar medir a maior distância entre dois pontos de uma
circunferência, deve medir o diâmetrodiâmetrodiâmetrodiâmetrodiâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida
(régua, trena ou fita métrica) deve passar pelo centrocentrocentrocentrocentro da circunferência.
Em alguns casos, porém, apenas uma parte da circunferência é utilizada.
Esta parte da circunferência, delimitada por dois pontos quaisquer, é chamada
arcoarcoarcoarcoarco de circunferência.
Para simbolizar a corda que une os pontos
P e Q, utilizamos a notação de segmento de reta,
ou seja, corda PQ.
Por outro lado, o arco também começa em
P e termina em Q mas, como você pode ver, a
corda e o arco são diferentes e por isso a
simbologia também deve ser diferente. Para o
arco, usamos PQ.
Da mesma forma que a maior corda é o
diâmetro, o maior arco é aquele que tem as
extremidades em um diâmetro. Esse arco é
chamado semicircunferência,semicircunferência,semicircunferência,semicircunferência,semicircunferência, e a parte do cír-
culo correspondente é chamada semicírculo.semicírculo.semicírculo.semicírculo.semicírculo.
O comprimento da circunferência
Quanto maior for o raio (ou o diâmetro) de uma circunferência maior será
o seu comprimento. É fácil perceber isso. Imagine que você vai caminhar em
torno de uma praça circular: você andará menos em uma praça com 500 metros
de diâmetro do que numa praça com 800 metros de diâmetro.
No exemplo abaixo, cada uma das três circunferências foi cortada no ponto
marcado com uma tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foi
esticada.
Como já sabemos que o diâmetro e o comprimento de uma circunferência
estão relacionados, vamos a seguir compará-los.
semicircunferência AB
diâmetro AB
arco
corda
_

45
A U L A
ê
ê
Descobrindo uma relação
Usando diferentes objetos com a forma circular, vamor medir o comprimen-
to das circunferências (das bordas) e de seus diâmetros. Tente medir objetos
circulares variados, como um copo ou uma mesa redonda.
Você pode estar se perguntando: “Mas como medir a linha curva?”.
Um barbante ou uma fita métrica pode servir. Acompanhe este exemplo:
l Pegue um copo e um pedaço de
barbante. Coloque o copo com a
boca para baixo e contorne a bor-
da do fundo do copo com o bar-
bante. Marque com uma caneta o
ponto do barbante que toca o seu
começo. Então estique o barbante
e meça com a régua o compri-
mento do começo do barbante
até a marquinha que você fez.
l No copo que nós utilizamos, essa
medidafoide15,5cmou155mm.
l Agora meça o diâmetro. Não es-
queça que qualquer diâmetro
tem a mesma medida e que o
diâmetropassapelocentro.Aqui
obtivemos 4,9 cm ou 49 mm.
Para saber quantas vezes o comprimento da circunferência é maior que o
diâmetro, vamos dividir a medida da circunferência pela medida do diâmetro.
Usando uma máquina de calcular encontramos o seguinte resultado:
Observe que, nesse e nos próximos exemplos, utilizamos apenas duas casas
decimais no resultado das divisões.
Vamos repetir a experiência do copo com outros objetos do nosso dia-a-dia.
Medindo uma ficha telefônica,
encontramos aproximadamente
69mmparaocomprimentodacircun-
ferência e 22 mm para o diâmetro.
comprimento
diametro
=
155mm
49mm
= 3,16
comprimento
diametro
=
69mm
22mm
= 3,13

45
A U L A
Um pouco de
História
Observe as medidas que obtivemos com vários objetos:
tampo de mesa 3,10 m 1 m 3,10
pires de xícara 47 cm 15 cm 3,13
prato de refeição 73,5 cm 23,4 cm 3,14
pirex de vidro 84,8 cm 27 cm 3,14
fundo de copo 155 mm 49 mm 3,16
ficha telefônica 69 mm 22 mm 3,13
Ao dividir a medida do comprimento da circunferência pela medida de seu
diâmetro, encontramos sempre um número um pouco maior do que 3. Na
realidade, esse número é sempre o mesmo e vale aproximadamente 3,143,143,143,143,14.
Na prática, de acordo com os exemplos, não obtivemos o resultado 3,14 em
todas as divisões. Isso ocorre porque é impossível obter medidas exatasexatasexatasexatasexatas com
os métodos que utilizamos. Da mesma forma que nossas medições são aproxi-
madas, o resultado das divisões também é uma aproximação.
Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!
Esse é um resultado muito importante em Matemática. Esse número
tão útil e importante é chamado pipipipipi e simbolizado pela letra grega p (que
já existe em muitas calculadoras).
ConclusãoConclusãoConclusãoConclusãoConclusão
O cálculo da medida do comprimento de uma circunferência, quando
conhecemos a medida de seu raio, pode ser feito por meio da relação acima.
Note que d = 2r, logo:
Arquimedes, que viveu por volta de 287 a 212 anos antes de Cristo, foi um
gênio da Matemática e da Física, além de grande construtor de máquinas de
guerra. Ele desenvolveu muitos estudos para obter um cálculo aproximado dep.
Sabia que a divisão do comprimento de uma circunferência por seu diâmetro é
um número constante, qualquer que seja o tamanho da circunferência.
Para calcular o número p, Arquimedes aproximou polígonos por dentro e
por fora da circunferência e mediu os perímetros. Quanto maior era o número
de lados do polígono mais ele se aproximava da medida da circunferência.
O valor utilizado para p foi, durante muitos anos, o número aproximado
obtido por Arquimedes: 22
7
= 3,142857142857...
6 lados6 lados6 lados6 lados6 lados 8 lados8 lados8 lados8 lados8 lados 12 lados12 lados12 lados12 lados12 lados
comprimento da circunferência
diâmetro da circunferência
=
C
d
= p
OBJETOOBJETOOBJETOOBJETOOBJETO COMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO DIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRO
COMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO
DIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRO
C
d
=p ®
C
2r
=p® C =p×2r ou C=2p r
p
p_ p_ p . 2r p

45
A U L APara você saber mais
Descobriu-se, posteriormente, que o número p não pode ser representado
por uma fração e que ele tem infinitas casas decimais. O número p é exemplo de
um tipo de número chamado irracionalirracionalirracionalirracionalirracional.
Há cem anos aproximadamente, o matemático William Shanks calculou o
número p com 707 casas decimais. Para realizar essa tarefa, precisou de 15 anos!
Atualmente os supercomputadores são capazes de apresentar o número p
com milhares de casas decimais em apenas alguns minutos.
p = 3,14= 3,14= 3,14= 3,14= 3,1415926535897932384626433832795028...
Na prática, usa-se apenas 3,143,143,143,143,14 ou 3,14163,14163,14163,14163,1416 para aproximar o valor de p.
Usando um compasso, desenhe uma circunferência com um raio de 5 cm.
Usando um compasso, desenhe uma circunferência com diâmetro de 10 cm.
ExerExerExerExerExercício 3cício 3cício 3cício 3cício 3
Desenhe duas circunferências com o mesmo centro e com os raios medindo
4 cm e 6 cm. Qual delas tem o maior comprimento?
Numa bicicleta em que o raio da roda é de 26 cm, qual será, aproximada-
mente, o comprimento da circunferência da roda?
EEEEExercício 5xercício 5xercício 5xercício 5xercício 5
Medindo uma circunferência com fita métrica graduada obtivemos 62,8 cm
de comprimento. Qual a medida do diâmetro dessa circunferência?
Complete a tabela abaixo:
RAIORAIORAIORAIORAIO = r= r= r= r= r DIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRO = d= d= d= d= d COMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO = 2= 2= 2= 2= 2prrrrr
2 4 4 . 3,14 = 12,56
1
5
18,84
Se uma circunferência tem 18,84 m de comprimento, qual o comprimento da
semicircunferência dela obtida?
ExExExExExercício 8ercício 8ercício 8ercício 8ercício 8
Agora imagine uma circunferência de 18,84 m de comprimento que foi
dividida em 4 arcos do mesmo tamanho. Qual o comprimento de cada
um dos arcos?
Numa circunferência de 1 cm de raio, quanto mede a maior corda que
podemos desenhar?
ExExExExExercício 10ercício 10ercício 10ercício 10ercício 10
Desenhe uma circunferência e divida-a em apenas dois arcos.
Exercícios

46
A U L A
46
A U L A
Novamente frações
Para pensar Uma pessoa vai viajar para uma cidade a
220 km de distância de onde mora. Planeja fazer duas paradas para descansar.
Quais serão as distâncias das paradas (incluindo a partida e a chegada),
sabendo que elas deverão ser aproximadamente iguais? Faça um gráfico da
estrada, marcando as paradas.
Sabemos que, quando dividimos um número inteiro por outro, podemos
encontrar como quociente um número inteiro ou um número decimal. Por
exemplo:
20 ¸ 5 = 4
100 ¸40 = 2,5
Vejamos, agora, o que acontece quando dividimos 41 por 9:
41 9
450 4,555......
4550
45550
455550 ....
Se continuarmos a conta, encontraremos sempre o algarismo 5 no quociente,
e o resto será sempre o mesmo (5).
Se fizermos essa conta numa máquina de calcular, aparecerá no visor o
número 4.5555555 (ou seja, 4,5555555). Nesse caso, o algarismo 5 aparece
repetido 7 vezes. Se a mesma conta for feita numa máquina maior, encontra-
remos um resultado com o algarismo 5 repetido mais vezes (9 ou 11 vezes).
Concluímos, então, que a divisão de 41 por 9 nunca termina e que os pontos
indicam que o algarismo 5 se repete indefinidamente.
O número 4,555... é chamado de dízima periódicadízima periódicadízima periódicadízima periódicadízima periódica e o algarismo 5 é o
períodoperíodoperíodoperíodoperíodo da dízima.
Podemos também representar a dízima periódica colocando um traço sobre
o período: 4,5.
Como essa dízima foi gerada pela divisão 41¸ 9, que pode ser escrita em
forma de fração, como 41
9
, dizemos que a geratrizgeratrizgeratrizgeratrizgeratriz da dízima periódica é a
fração 41
9
.
Nossa aula

46
A U L A
®
®
Vejamos outros exemplos de geratrizes e as respectivas dízimas periódicas:
17
9
= 17 ¸ 9 = 1,8 O período é 8,
a parte inteira é 1.
7
33
= 7 ¸ 3 = 0,21 O período é 21,
a parte inteira é zero.
Nesses dois exemplos, os períodosperíodosperíodosperíodosperíodos aparecem logo após a vírgula. Elas são
chamadas de dízimas períodicas simplesdízimas períodicas simplesdízimas períodicas simplesdízimas períodicas simplesdízimas períodicas simples.
As dízimas nas quais aparece um outro número entre a vírgula e o períodoperíodoperíodoperíodoperíodo
são chamadas de dízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostas. Por exemplo:
1,4888 ... O período é 8,
a parte não-periódica é 4,
a parte inteira é 1.
0,3272727 ... O período é 27,
a parte não-periódica é 3,
a parte inteira é zero.
Os números que vimos até agora podem ter muitas representações, como:
l 5; V; 5,0;
5
1
;
10
2
...
l 0,8; 0,80;
8
10
;
4
5
;
80
100
...
l 0,666...;
6
9
;
2
3
;
8
12
...
l
1
3
;
2
6
;
3
9
;
4
12
...
Além disso, observamos que todos esses números podem ser representados
em forma de fração. Eles são chamados números racionaisnúmeros racionaisnúmeros racionaisnúmeros racionaisnúmeros racionais.
Vamos conhecer, agora, um número diferente: um número decimal com
infinitas casas decimais mas sem um período. Veja este exemplo:
0,10110111011110 ....
Será que você pode concluir como serão as casas decimais seguintes?
A parte decimal começa com 1 seguido de zero, depois 11 seguido de zero,
depois 111 seguido de zero e assim por diante. Ou seja, o número nunca terá um
fim nem um período. Ele não é um número racional.
Um número desse tipo é chamado de número irracionalnúmero irracionalnúmero irracionalnúmero irracionalnúmero irracional. Um número
irracional não é resultado de nenhuma divisão de números inteiros; ele não pode
ser escrito em forma de fração.
Vocêviu,naaulaanterior,umnúmeroirracionalmuitoconhecido,onúmerop,
que vale aproximadamente 3,1416.
Você verá mais adiante, em outra aula, exemplos de números irracionais que
surgem naturalmente em muitos cálculos matemáticos.
®
®

46
Escreva a representação decimal de:
a)a)a)a)a) 13
99
b)b)b)b)b) 7
20
c)c)c)c)c) 56
9
d)d)d)d)d) 64
15
Efetue as divisões com quociente decimal:
a)a)a)a)a) 1 ¸ 9 b)b)b)b)b) 2 ¸ 9 c)c)c)c)c) 3 ¸ 9
Agora, sem efetuar a conta, dê o resultado decimal de:
a)a)a)a)a) 4 ¸ 9 b)b)b)b)b) 5 ¸ 9 c)c)c)c)c) 6 ¸ 9
Ao lado de cada número, escreva se sua representação decimal é finitafinitafinitafinitafinita,
infinita e periódicainfinita e periódicainfinita e periódicainfinita e periódicainfinita e periódica ou infinita e não-periódicainfinita e não-periódicainfinita e não-periódicainfinita e não-periódicainfinita e não-periódica:
a)a)a)a)a) 17
5
c)c)c)c)c) 0,35 e)e)e)e)e) 4
6
b)b)b)b)b) 3,45 d)d)d)d)d) 0,12131415... f)f)f)f)f) p
Diga se estes números são racionaisracionaisracionaisracionaisracionais ou irracionaisirracionaisirracionaisirracionaisirracionais:
a)a)a)a)a) 4 c)c)c)c)c) 4,33 e)e)e)e)e) 4,330
b)b)b)b)b) 4,333 ... d)d)d)d)d) 1,010010001 ... f)f)f)f)f) 0
Exercícios

47
A U L A
Números
proporcionais
47
A U L A
Para pensar
Nossa aula
20m
?
=
2
3
Adistância entre Rio de Janeiro e São Paulo
é de 400 km. Qual é a distância entre as duas cidades em um mapa feito na
escala de 1 : 200.000?
Se uma caixa d’água produz uma sombra de 20 m e um homem com 1,80
m de altura produz uma sombra de 1,20 m, medidas no mesmo local e na mesma
hora, qual é a altura da caixa?
Comparandoocomprimentodasombradohomemcomsuaaltura,medidos
em centímetros (cm), encontramos:
120
180
=
2
3
, depois de simplificar a fração.
A divisão é uma das formas que usamos para comparar dois números.
Dizemos que a razãorazãorazãorazãorazão entre o comprimento da sombra e a altura do homem é de
2
3
ou 2 : 32 : 32 : 32 : 32 : 3, que se lê 2 para 3.2 para 3.2 para 3.2 para 3.2 para 3.
Comoasmedidasforamfeitasnamesmahoraenomesmolocal,arazãoentre
o comprimento da caixa d’água e sua altura também será
2
3
.
A altura da caixa d’água é igual a 30 m, pois a razão
20
30
é igual a
2
3
.
No caso de mapas geográficos, plantas de casas ou maquetes de projetos, a
escalaescalaescalaescalaescala determina a relação entre as medidas de um desenho e as medidas reais
que correspondem a ele.

47
A U L A EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
A planta de uma sala retangular está desenhada na escala 1 : 100. Determi-
ne as medidas reais dessa sala.
6 cm
8 cm
A razão entre as medidas que aparecem na planta da sala e as medidas reais
é de 1 : 1001 : 1001 : 1001 : 1001 : 100 ou 1
100
(lê-se 1 para 1001 para 1001 para 1001 para 1001 para 100), o que significa que as medidas reais são
100 vezes maiores do que as medidas assinaladas na planta.
Para determinar as medidas reais da sala, vamos multiplicar as medidas da
planta por 100:
6 cm . 100 = 600 cm = 6 m
8 cm . 100 = 800 cm = 8 m
1
As medidas reais da sala são, portanto, 6 m6 m6 m6 m6 m e 8 m8 m8 m8 m8 m.
O mesmo deveria ser feito com qualquer outra medida que aparecesse na
planta, como, por exemplo, largura e altura de portas e janelas.
Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.
Quando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, a
relação matemática é chamada derelação matemática é chamada derelação matemática é chamada derelação matemática é chamada derelação matemática é chamada de proporção,proporção,proporção,proporção,proporção, e dizemose dizemose dizemose dizemose dizemos
que as quantidades medidas sãoque as quantidades medidas sãoque as quantidades medidas sãoque as quantidades medidas sãoque as quantidades medidas são proporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionais.
escala: 1
100
ou1:100

47
A U L AEXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Uma pessoa viaja 120 km em 2 horas. Quantas horas levará a mesma pessoa
para percorrer 180 km com a mesma velocidade?
Essa igualdade é uma proporçãoproporçãoproporçãoproporçãoproporção, e os números que medem as distâncias
eotemposão proporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionais. Quanto maior a distância, maior será o tempo
para percorrê-la.
Como calcular o número que não se conhece na proporção desse exemplo?
Vamos recordar algumas proporções que já conhecemos:
a)a)a)a)a) 2
3
=
6
9
b)b)b)b)b) 3
4
=
24
32
É fácil verificar que:
a)a)a)a)a) 2 . 9 = 18 b)b)b)b)b) 3 . 32 = 96
3 . 6 = 18, logo 2 . 9 = 3 . 6 4 . 24 = 96, logo 3 . 32 = 4 . 24
Acabamos de chegar a uma propriedade muito importante e bastante usada
em Matemática:
Numa proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fração
pelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.
Voltando ao exemplo, podemos agora determinar o termo desconhecido da
proporção
120
2
=
180
?
.
Substituindo o ponto de interrogação (?) pela letra xxxxx, que é usada em lugar
do termo desconhecido (Aula 44),
120
2
=
180
x
e aplicando a propriedade que vimos anteriormente:
120x = 2.180
120x = 360
x = 360 : 120 (Aplicando operação inversa)
x = 3
A pessoa levará 3 horas3 horas3 horas3 horas3 horas para percorrer os 180 km.
120
2
=
180
?

47
Nesta tabela, devemos encontrar vários pares de números A e B. Complete
a tabela de modo que a razão de A para B seja sempre o número
6
7
.
AAAAA BBBBB RAZÃORAZÃORAZÃORAZÃORAZÃO
A
B
RAZÃORAZÃORAZÃORAZÃORAZÃO
A
B
NANANANANA FORMAFORMAFORMAFORMAFORMA MAISMAISMAISMAISMAIS SIMPLESSIMPLESSIMPLESSIMPLESSIMPLES
a)a)a)a)a) 12 14
12
14
6
7
b)b)b)b)b) 21
c)c)c)c)c) 30
d)d)d)d)d) 100
e)e)e)e)e) 100
Numa sala de aula há 30 alunos, dos quais 12 são meninas:
a)a)a)a)a) Qual a razão do número de meninas para o total de alunos da turma?
b)b)b)b)b) Qual é a razão do número de meninos para o total de alunos da turma?
c)c)c)c)c) Qual é a razão do número de meninas para o número de meninos?
Determine o valor de xxxxx em cada uma das seguintes igualdades de modo que
elas se tornem verdadeiras:
a)a)a)a)a) 20
8
=
x
6
b)b)b)b)b) 14
30
=
x
90
c)c)c)c)c) x
3
=
75
15
d)d)d)d)d) x
4
=
36
27
A planta de uma casa foi feita em escala de 1 : 50. Quanto medirá na planta
uma parede que mede 20 m?
Quanto custam 12 canetas se 4 custam R$ 3,50?
SugestãoSugestãoSugestãoSugestãoSugestão: Estabeleça o preço usando o conceito de proporção.
Exercícios

48
A U L A
O Teorema de Tales
Para pensar
Nossa aula
l A estaca tem 1,50 m e sua sombra 2,20 m. A sombra do poste mede 4,90 m.
Qual é a altura do poste?
l A massa de um bloco de gelo é de 13 kg. Se 10% do gelo derreter, de quanto
passará a ser a sua massa?
l Com um par de esquadros, desenhe um feixe de 5 retas paralelas. Depois,
trace sobre elas 2 retas transversais que não sejam paralelas entre si. Meça os
segmentos determinados nas retas transversais. Eles são proporcionais?
As pirâmides do Egito
As pirâmides egípcias são monu-
mentos grandiosos. A técnica empre-
gada em suas construções até hoje
fascina o homem.
A pirâmide de Qué ops, no Egi-
to, foi construída por volta de 2.500
anos antes de Cristo.
Considerada uma das grandes
maravilhas do mundo antigo,
Quéops tem aproximadamente 150
metros de altura. Sua base é um qua-
drado cujos lados medem cerca de
230 metros.
48
A U L A

48
A U L A Tales e a pirâmide
O filósofo e matemático Tales nasceu na cidade de Mileto, na Grécia antiga,
por volta do ano 585 a.C.
Há muitas lendas e histórias sobre ele. Diz-se que, ao ser interrogado sobre
o que era difícil, Tales respondeu: “Conhecer a si mesmo”. O que era fácil: “Ser
dirigido por outro”. Agradável: “Seguir a própria vontade”. Divino: “Aquilo
que não tem começo nem fim”.
Tales passava grande parte do tempo viajando, como era comum aos sábios
daquela época. Em uma de suas viagens ao Egito, passou a ser prestigiado pelo
faraó Amásis por ter medido a altura de uma pirâmide sem precisar escalá-la.
Para isso, Tales fincou uma estaca verticalmente no chão. Concluiu que, no
momentoemqueocomprimentodasombradaestacafosseigualaocomprimen-
to da estaca, a altura da pirâmide seria igual ao comprimento da sombra da
pirâmide mais metade da medida da base.
A altura da pirâmide é a distância do vértice V à base. Observe a figura
abaixo: a altura é a medida do segmento VH.
V
H
metade da base comprimento
da sombra
{
{raio
solar

48
A U L ATales e a Matemática
Para medir a altura da pirâmide, Tales baseou-se em alguns fatos:
1.1.1.1.1. Quando dois triângulos têm os ângulos iguais, então seus lados
correspondentes formam uma proporção.
2.2.2.2.2. Os raios solares são paralelos.
E, nesse caso, Tales também sabia que os ângulos de incidência dos raios
solares num mesmo instante tinham todos a mesma medida.
Tales imaginou um triângulo formado pela altura da pirâmide, a metade da
base mais o comprimento da sombra da pirâmide e um raio solar ligando o
vértice da pirâmide ao final da sombra, como mostra a figura acima. Imaginou
também um outro triângulo formado pela estaca, sua sombra e um raio solar.
Esses dois triângulos imaginários tinham, cada um deles, um ângulo reto
e um ângulo de mesma medida (aaaaa). Nesse caso, Tales sabia que as medidas dos
lados desses triângulos eram proporcionais. Então:
Com esse método, Tales inaugurou o processo de medida indireta, muito
utilizado ainda hoje na astronomia e na medição de distâncias que aparentemente
não podemos alcançar, como a altura de montanhas, árvores e monumentos ou
a largura de grandes rios e lagos.
a
x
=
b
y
=
c
z
c b
a
z y
x
V
H P
a a
A
B C
VH
HP
=
AB
BC

48
A U L A
a
O Teorema de Tales
São atribuídas a Tales muitas descobertas geométricas, entre as quais um
teorema com seu nome. Veja o que diz esse teorema:
Duas retas,Duas retas,Duas retas,Duas retas,Duas retas, mmmmm eeeee nnnnn, cortam três retas parelelas, cortam três retas parelelas, cortam três retas parelelas, cortam três retas parelelas, cortam três retas parelelas aaaaa,,,,, bbbbb eeeee ccccc. Nessas. Nessas. Nessas. Nessas. Nessas
condições, os segcondições, os segcondições, os segcondições, os segcondições, os segmentos de medidasmentos de medidasmentos de medidasmentos de medidasmentos de medidas xxxxx,,,,, yyyyy,,,,, zzzzz eeeee wwwww são proporcionais.são proporcionais.são proporcionais.são proporcionais.são proporcionais.
Assim:Assim:Assim:Assim:Assim:
Uma aplicação do Teorema de Tales
Na planta de um loteamento, está faltando a medida do lado dos fundos do
lote B, conforme a figura:
Representando por xxxxx a medida que desejamos calcular e usando o Teorema
de Tales, podemos descobrir essa medida sem efetuar medições. Como as
laterais são paralelas, temos:
E, fazendo uma simples regra de três:
30 x = 20 . 24
x = 16
Assim, sem efetuar medições, concluímos que o lado dos fundos do lote B
mede 16 metros.
x
y
=
z
w
b
c
w
zx
y
nm
Rua das Marrecas
RuadosGansos
lote A
lote B
loteC
x
24m
20m30m
20
30
=
x
24

48
A U L AUma forma mais geral do Teorema de Tales
Considere um feixe de retas paralelas com duas transversais, como
mostra a figura:
Os segmentos de medidas a, b, c, da, b, c, da, b, c, da, b, c, da, b, c, d e x, y, w, zx, y, w, zx, y, w, zx, y, w, zx, y, w, z, determinados nas retas
transversais, formam segmentos proporcionais:
a
x
=
b
y
=
c
w
=
d
z
Uma outra aplicação do Teorema de Tales
Para encontrar a solução de problemas de cálculo de distâncias aparente-
mente impossíveis, os antigos usavam instrumentos de medida de ângulos na
vertical e na horizontal.
Hoje em dia, os topógrafos usam o teodolitoteodolitoteodolitoteodolitoteodolito, um instrumento que mede
ângulos, distâncias e diferenças de nível.
a
c
b
d
x
y
w
z

48
A U L A Vejanafiguraabaixocomofuncionaoteodolitonamediçãodaalturadeuma
árvore. O teodolito deve ser afastado até que o ângulo de visão da horizontal
com o topo da árvore seja de 45º. Quando isso ocorrer, basta medir a distância
da árvore até o teodolito. Essa medida será igual à medida da altura da
árvore.
Isso ocorre porque se comparou o triângulo imaginário
com um triângulo retângulo e isósceles que tem os catetos
com a mesma medida.
Outras descobertas geométricas atribuídas a Tales
l O diâmetro divide o círculo em duas partes iguais.
l Ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais.
l Os ângulos da base de um triângulo isósceles têm medidas iguais.
l O ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
A
B45º
C

48
A U L A
Nas figuras abaixo, calcule o valor de xxxxx (as retas a, b e c são paralelas).
a)a)a)a)a)
b)b)b)b)b)
A planta abaixo mostra as medidas de dois terrenos. Calcule as medidas de
suas frentes, sabendo que as laterais são paralelas e que a medida de AB é
90 metros.
Observeodesenhoabaixoedescubraqualdeveserocomprimentodaponte.
Exercícios
x 2,4
1,4 1,2
a
b
c
4
6
x
8
a b c
A
B
30 m 45 m
x
y
9 m
18 m
E
x
B
A
C
10 m
D

48
A U L A
A imagem de uma foto é, em geral, semelhante ao que se vê na realidade.
Imagine que o desenho abaixo seja uma foto. Que proporção você pode
estabelecer entre a altura do coqueiro, a altura da pessoa e suas respectivas
sombras?

49
A U L A
Figuras semelhantes
Desenhe uma ampliação da figura abaixo,
utilizando o restante da parte quadriculada do quadro de modo que as dimen-
sões da figura original sejam duplicadas.
Agora faça outra ampliação da mesma figura utilizando o quadriculado
abaixo. O que você deve fazer para que essa nova ampliação seja também uma
duplicação?
49
A U L A
Para pensar

49
A U L A
AB
A1B1
=
BC
B1C1
=
CD
C1D1
=
DA
D1A1
=
1
2
Quando ampliamos ou reduzimos uma figura em uma proporção constante,
sem modificar a sua forma, a nova figura e a figura original são chamadas de
figuras semelhantesfiguras semelhantesfiguras semelhantesfiguras semelhantesfiguras semelhantes. Observe os quadriláteros abaixo. Eles são semelhantes?
Sim, eles são realmente semelhantes. O quadrilátero 22222 é uma redução e o
quadrilátero 33333 é uma ampliação do quadrilátero 11111.
Observe que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas.
Confira com um transferidor. Os lados correspondentes foram ampliados ou
reduzidos sempre na mesma proporção.
De 11111 para 22222, reduzimos cada lado à metade do tamanho original. De 11111 para 33333,
ampliamos cada lado para o dobro do tamanho original.
Para que duas figuras sejam semelhantes elas não precisam estar na mesma
posição. No exemplo abaixo, todos os quadriláteros são uma ampliação do
quadrilátero ABCD original.
SevocêcompararamedidadequalquerumdosladosdoquadriláteroABCD
com a medida de seu correspondente nos outros quadriláteros, vai verificar que:
A razão constante entre lados correspondentes de figuras semelhantes é
conhecida em Matemática como razão de semelhrazão de semelhrazão de semelhrazão de semelhrazão de semelhançaançaançaançaança e é comum utilizarmos
a letra kkkkk para simbolizá-la. Dizemos então que k =
1
2 , neste exemplo.
Nossa aula
(1)
(2)
(3)
A B
C D
A1 B1
C1
D1
A2
B2
D2
C2
A3
B3
C3
D3
A4
D4
B4
C4

49
A U L A
Cozinha
Quarto
Quarto
Sala
O que é escala?
Em muitos casos, a razão de semelhança é chamada de escalaescalaescalaescalaescala. Quando
desenhamos a planta de uma casa, observamos a maquete de um prédio ou
estudamos um mapa, é comum encontrarmos a palavra escalaescalaescalaescalaescala. Tal como na
planta do exemplo abaixo.
Esta escala 1 : 200 =
1
200
significa que cada 1 cm da planta equivale, na
realidade, a 200 cm ou 2 m na casa de verdade.
Você pode verificar com sua régua que, na planta, a largura da sala é 1,7 cm
e que o comprimento é de 2,3 cm. Para encontrarmos as medidas reais da sala,
basta multiplicarmos as medidas por 200.
00000
largura 1,7 cm 1,7 cm · 200 = 340 cm = 3,40 m
comprimento 2,3 cm 2,3 cm · 200 = 460 cm = 4,60 m
VBº
Escala:
1
200
MEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDAS DADADADADA SALASALASALASALASALA
NANANANANA PLANTAPLANTAPLANTAPLANTAPLANTA
MEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDAS REAISREAISREAISREAISREAIS DADADADADA SALASALASALASALASALA

49
A U L A A Geografia utilizando a Matemática
Observe o mapa abaixo. A escala é apresentada em um segmento de reta e
significa que cada centímetro do mapa é equivalente a 1.250 quilômetros.
Meça algumas distâncias com a régua e calcule, aproximadamente, a
distância real em quilômetros. Para isso, utilize a escala.
É desse modo, por meio de mapas e suas respectivas escalas, que a aviação
e a navegação planejam rotas de viagem, calculam distâncias e tempos de
percurso.

49
A U L AObtendo figuras semelhantes
Sabemos, então, que duas figuras são semelhantes quando as duas condi-
ções abaixo são satisfeitas:
11111. os ângulos correspondentes têm a mesma medida; e
22222. as razões entre as medidas de lados correspondentes são iguais.
No início desta aula, você observou uma maneira de ampliar ou reduzir
figuras utilizando papel quadriculado.
Vamos mostrar a seguir outro método, também muito utilizado.
1.1.1.1.1. Escolhemos um pon-
to qualquer OOOOO.
2.2.2.2.2. Ligamos este ponto OOOOO
a vários pontos da
nossa figura.
3.3.3.3.3. Medimos a distância
de cada ligação e obte-
mos novos pontos
multiplicando esta me-
dida por uma constan-
te.
4.4.4.4.4. Ligamos os novos
pontos e está feita a
ampliação.
Este método pode ser utilizado para qualquer figura e o ponto OOOOO pode estar
em qualquer posição. Confira nos exemplos abaixo:
1. 2.
3.
O
O
O
O está dentro da figura O está em um dos vértices da figura
OO

49
A U L A Para você saber mais
Vimos que duas condições devem ocorrer, ao mesmo tempo, para garantir
a semelhança entre figuras. No entanto, um caso muito especial de semelhança
ocorre quando as figuras são triângulos, pois basta verificar apenas uma das
condições, pois a outra ocorrerá automaticamente. Veja:
l se os lados são proporcionais, então os ângulos são iguais e os triângulos são
semelhantes; ou
l se os ângulos correspondentes são iguais, então os lados são proporcionais
e os triângulos são semelhantes.
Podemos então verificar apenas uma das condições para conferir se dois
triângulos são semelhantes. Mas, não esqueça, isto só ocorre com triângulostriângulostriângulostriângulostriângulos.
Analise a planta da casa que aparece nesta aula e indique quais são as
medidas dos quartos.
Exercício 2*Exercício 2*Exercício 2*Exercício 2*Exercício 2*
Num mapa de guerra a escala era 1:100.000. No mapa, o alcance do míssil
era de 100 cm. Qual o alcance real do míssil em quilômetros?
Exercício 3 *Exercício 3 *Exercício 3 *Exercício 3 *Exercício 3 *
Um jogador de basquete mede 2,04 m. Para fazer propaganda de seu time,
fabricaram miniaturas do jogador. A escala é 1:12. Quanto mede a miniatura?
Num banheiro retangular, é preciso trocar os azulejos do box. O box ocupa
1
4
do banheiro. O banheiro mede 6 m². Na planta, o banheiro está na es-
cala 1 : 30. Quanto mede o box na planta?
(*) Os Exercícios 2 e 3 foram extraídos do artigo “Alunos inventam problemas”, da
professora Sylvia Judith Hamburger Mandel, publicado na Revista do Professor deRevista do Professor deRevista do Professor deRevista do Professor deRevista do Professor de
MatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemática, nº 26.
Exercícios

50
A U L A
50
A U L A
Proporção inversa
l Um automóvel com velocidade média de 60 km/h gasta 5 horas para
percorrer a distância entre duas cidades. Quanto tempo levará para percor-
rer a mesma distância com a velocidade média de 100 km/h?
l Pegue uma folha de papel quadriculado e desenhe alguns retângulos de
área 36 (considere cada quadradinho como uma unidade de área). Anote
numa tabela os valores encontrados para as dimensões (comprimento e
largura) de cada um dos retângulos que você desenhou.
Observando a tabela, o que você pode afirmar sobre a variação dessas
dimensões?
Na Aula 47, você aprendeu que duas grandezas que mantêm entre si uma
relação de dependência podem variar proporcionalmente. Vamos ver um exem-
plo para “refrescar” a memória.
Uma receita muito simples, e às vezes bastante necessária, é a do soro
caseiro. Para fazer 1 litro de soro, basta:
1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)
1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal
1
2
colher (café) de açúcarcolher (café) de açúcarcolher (café) de açúcarcolher (café) de açúcarcolher (café) de açúcar
E está pronto um soro muito útil nos casos de desidratação. Mas, o que essa
receita tem a ver com proporcionalidade? Observe a tabela:
QUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADE DEDEDEDEDE ÁGUAÁGUAÁGUAÁGUAÁGUA SALSALSALSALSAL AÇÚCARAÇÚCARAÇÚCARAÇÚCARAÇÚCAR
SOROSOROSOROSOROSORO (((((LITROLITROLITROLITROLITRO))))) (((((COLHERCOLHERCOLHERCOLHERCOLHER DEDEDEDEDE CAFÉCAFÉCAFÉCAFÉCAFÉ))))) (((((COLHERCOLHERCOLHERCOLHERCOLHER DEDEDEDEDE CAFÉCAFÉCAFÉCAFÉCAFÉ)))))
1 litro 1 1 12
2 litros 2 2 24
3 litros 3 3 36
4 litros 4 4 48
A quantidade de água, sal e açúcar são dependentes da quantidade de soro
caseiro que se deseja fazer.
Para pensar
Nossa aula

50
A U L A É fácil perceber que, se desejamos dobrar a quantidade de soro, devemos
dobrar as quantidades de água, sal e açúcar. Dizemos, então, que as quantidades
de água, sal e açúcar são proporcionais, ou diretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionais.
Existem situações, porém, em que as grandezas mantêm entre si uma
relação inversamente proporcional. Mas, o que são grandezas inversamenteinversamenteinversamenteinversamenteinversamente
propor-cionaispropor-cionaispropor-cionaispropor-cionaispropor-cionais?
Vejamos um exemplo. Viajando constantemente do Rio de Janeiro a São
Paulo, Mônica fez alguns cálculos e anotou o resultado numa tabela. Ela sabia
que a velocidade pode ser calculada dividindo-se a distância percorrida pelo
tempo gasto na viagem (v = e/t). Considerando a distância entre essas duas
cidades como sendo 400 km, ela fez a seguinte tabela:
50 km/h 8h
60 km/h 6h40min
400 km
80 km/h 5h
100 km/h 4h
Observe que à medida que a velocidade aumentavelocidade aumentavelocidade aumentavelocidade aumentavelocidade aumenta o tempo diminuitempo diminuitempo diminuitempo diminuitempo diminui.
Dizemos, então, que as grandezas velocidadevelocidadevelocidadevelocidadevelocidade e tempotempotempotempotempo mantêm entre si uma
relação inversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcional.
Observando um pouco mais a tabela podemos verificar que:
50 km/h . 8h
60 km/h . 6h 40min
= 400 km= 400 km= 400 km= 400 km= 400 km
80 km/h . 5h
100 km/h . 4h
Dizemos, então, que:
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando os
valoresvaloresvaloresvaloresvalores xxxxx eeeee yyyyy correspondentes acorrespondentes acorrespondentes acorrespondentes acorrespondentes a elaselaselaselaselas são tais que:são tais que:são tais que:são tais que:são tais que:
xxxxx ..... y = ky = ky = ky = ky = k,
ondeondeondeondeonde kkkkk é um vé um vé um vé um vé um valor constante e positivo chamadoalor constante e positivo chamadoalor constante e positivo chamadoalor constante e positivo chamadoalor constante e positivo chamado constante deconstante deconstante deconstante deconstante de
proporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.
No exemplo acima, a constante de proporcionalidade inversa (kkkkk) é
400 e a velocidade e o tempo são as variáveis xxxxx e yyyyy.
DISTÂNCIADISTÂNCIADISTÂNCIADISTÂNCIADISTÂNCIA
PERCORRIDAPERCORRIDAPERCORRIDAPERCORRIDAPERCORRIDA
VELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADE
MÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIA
TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO
GASTOGASTOGASTOGASTOGASTO

50
A U L AVamos resolver juntos dois problemas com variáveis inversamente
proporcionais.
PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1
Numa pequena fábrica de uniformes escolares, 12 costureiras fazem um
determinado serviço em 5 dias. Mantendo o mesmo ritmo de trabalho, em
quantos dias 15 costureiras farão o mesmo serviço?
12 5
15 x
Observe que, nessas condições, as variáveis (costureiras e dias) mantêm
entre si uma relação inversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcional. Isto se dá porque, se
aumentamos o número de costureiras, o tempo gasto será menor, pois o
serviço é o mesmo. Então:
12 . 5 = 15 . x
60 = 15x
x = 4
O que significa que o serviço poderá ser feito em 4 dias.4 dias.4 dias.4 dias.4 dias.
PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2
Para encher uma caixa d'água cuja capacidade é de 500 litros, uma torneira
leva6horas.Emquantotempoduastorneirasiguaisaessaencherãoamesma
caixa d'água?
500 l 1 6h
500 l 2 x
Como as variáveis (quantidade de torneiras e tempo) são grandezas inver-inver-inver-inver-inver-
samente proporcionaissamente proporcionaissamente proporcionaissamente proporcionaissamente proporcionais, temos:
1 . 6 = 2 . x
6 = 2x
x = 3
Ouseja,asduastorneirasjuntaslevarão3 horas3 horas3 horas3 horas3 horas para encher a caixa d'água.
COSTUREIRASCOSTUREIRASCOSTUREIRASCOSTUREIRASCOSTUREIRAS DIASDIASDIASDIASDIAS
CAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADE DADADADADA
CAIXACAIXACAIXACAIXACAIXA DDDDD''''' ÁGUAÁGUAÁGUAÁGUAÁGUA
QUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADE
DEDEDEDEDE TORNEIRASTORNEIRASTORNEIRASTORNEIRASTORNEIRAS

50
A U L AExercícios Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Verifique se as variáveis das tabelas abaixo são inversamente proporcio-
nais. Em caso afirmativo, dê o coeficiente de proporcionalidade:
a)a)a)a)a) xxxxx 5 20 40
yyyyy 8 2 1
b)b)b)b)b) aaaaa 90 80 60
bbbbb 10 20 40
c)c)c)c)c) yyyyy 8 5 4
xxxxx 10 16 20
Para pintar um prédio, 5 pintores levam 40 dias. Em quanto tempo 10
pintores fazem o mesmo serviço?
Uma torneira, despejando 10 litros de água por minuto, demora 3 horas
para encher um reservatório. Se ela despejar 20 litros por minuto, quanto
tempo levará para encher esse mesmo reservatório?
Um ônibus, a uma velocidade constante de 80 km/h, faz uma viagem entre
duas cidades em 5 horas. Quanto tempo levará para fazer essa mesma
viagem à velocidade de 60 km/h?
Exercícios

51
A U L A
51
A U L A
Regra de três
Nossa aula
Num acampamento, há 48 pessoas e ali-
mento suficiente para um mês. Se 16 pessoas forem embora, para quantos dias
ainda haverá alimento?
Observe a seguinte situação:
l Uma pessoa paga pelo quilo de feijão R$ 1,20.
l Se comprar 2 quilos de feijão, pagará R$ 2,40.
l Se comprar 3 quilos, pagará R$ 3,60.
Quando a quantidade de feijão comprada aumenta de 1 para 2 quilos,
o preço aumenta na mesma razão, pois passa de R$ 1,20 para R$ 2,40.
Podemos, então, escrever que a razão de 1 para 2 é igual à razão de 1,20
para 2,40. Em linguagem matemática:
1
2
=
1,20
2,40
que se lê: 1 está para 2, assim como 1,20 está para 2,40.
Da mesma forma, quando o aumento é de 1 para 3 quilos, o preço aumenta
na mesma razão:
1
3
=
1,20
3,60
Como já foi visto na Aula 47, a igualdade entre duas razões é uma
proporção. O preço do feijão, no caso, é proporcionalproporcionalproporcionalproporcionalproporcional à quantidade de quilos
de feijão.
Para pensar

51
Se um ônibus percorre uma estrada com velocidade média de 80 km/h,
quantos quilômetros percorrerá em 2 horas?
Podemos organizar os dados do problema numa tabela, da seguinte maneira:
A letra xxxxx representa o valor desconhecido do problema.
TempoTempoTempoTempoTempo e espaçoespaçoespaçoespaçoespaçosãoproporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionais, pois, quando o valor do tempo aumenta, o
valor do espaço percorrido aumenta na mesma razão, ou seja, de 1 para 2.
Dizemos que tempotempotempotempotempo e espaçoespaçoespaçoespaçoespaço são grandezasgrandezasgrandezasgrandezasgrandezas que variam da mesma forma
e na mesma razão. Se uma aumenta, a outra também aumenta; se uma
diminui, a outra também diminui.
Da tabela acima, podemos escrever a seguinte proporção:
1
2
=
80
x
_ 1 está para 2, assim como 80 está para xxxxx.
Recordando a propriedade fundamental das proporções:
O produto do numerador da primeira fração com o denomina-O produto do numerador da primeira fração com o denomina-O produto do numerador da primeira fração com o denomina-O produto do numerador da primeira fração com o denomina-O produto do numerador da primeira fração com o denomina-
dor da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador da
primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.
Então: 1 . x = 2 . 80 (lembre-se que 1 . x = x)
x = 160
Portanto, o espaço percorrido pelo ônibus em 2 horas será de 160 km160 km160 km160 km160 km.
Nesse exemplo, três elementos eram conhecidos e faltava determinar o
quarto elemento.
Dois dos elementos conhecidos são medidas de uma mesma grandeza
(tempo) e o terceiro é medida de outra grandeza (espaço). O quarto
elemento, aquele que será calculado, é medida da segunda grandeza
(espaço).
O método usado para resolver problemas desse tipo é chamado rrrrregra deegra deegra deegra deegra de tttttrêsrêsrêsrêsrês.
Noexemploanterior,asgrandezastempo eespaçosãodiretamente propor-diretamente propor-diretamente propor-diretamente propor-diretamente propor-
cionaiscionaiscionaiscionaiscionais e a regra de três é diretadiretadiretadiretadireta.
Dois pintores gastam 18 horas para pintar uma parede. Quanto tempo
levariam 4 pintores para fazer o mesmo serviço?
Veja a tabela e verifique se as grandezas são diretamente proporcionais:
2h x
TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO ESPAÇOESPAÇOESPAÇOESPAÇOESPAÇO
1h 80 km
4 x
PINTORESPINTORESPINTORESPINTORESPINTORES TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO
2 18h

51
A U L ASe o número de pintores dobrar, passando de 2 para 4, será que o tempo
gasto no serviço também dobrará?
Pense um pouco e observe que o tempo gasto no serviço não pode aumentar,
pois são mais homens trabalhando. Aumentando o número de pintores, o
tempo de serviço deve diminuir. Como o número de pintores dobrou, o
tempo será reduzido à metade (razões inversasrazões inversasrazões inversasrazões inversasrazões inversas). Logo, os pintores gasta-
rão 9 horas para pintar a parede.
Nesse caso, dizemos que as duas grandezas do problema (número de
pintores e tempo de serviço) são grandezas inversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionais, e
a regra de três é inversainversainversainversainversa.
Cinco operários constroem uma casa em 360 dias. Quantos dias serão
necessários para que 15 operários construam a mesma casa?
Aumentando-se o número de operários de 5 para 15, ou seja, triplicando-
se o número de operários, o que acontecerá com o número de dias
necessários para a construção da casa?
Damesmaformaquenoexemploanterior,essasgrandezassãoinversamen-inversamen-inversamen-inversamen-inversamen-
te proporcionaiste proporcionaiste proporcionaiste proporcionaiste proporcionais. Isso quer dizer que variam na razão inversarazão inversarazão inversarazão inversarazão inversa, e a razão
inversa de 3 é
1
3
. Então:
1
3
de 360 = 360 : 3 = 120
Portanto, os 15 operários construirão a casa em 120 dias120 dias120 dias120 dias120 dias.
Vimos que, para resolver problemas de regra de três, é importante
determinar se as grandezas envolvidas no problema são diretadiretadiretadiretadireta ou
inversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionais.
Quando as grandezas são inversamente proporcionais, a proporção entre
os valores não é representada por uma mesma razão mas sim por razões
inversas.
Portanto, no caso de grandezas inversamente proporcionais, deve-se inver-
ter uma das razões para escrever a proporção relativa ao problema.
Um ônibus, em velocidade média de 80 km/h, leva 5 horas para percorrer
uma estrada. Quanto tempo gastará para percorrer a mesma estrada se
desenvolver velocidade média de 100 km/h?
15 x
OPERÁRIOSOPERÁRIOSOPERÁRIOSOPERÁRIOSOPERÁRIOS DIASDIASDIASDIASDIAS
5 360
15 x
VELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADE MÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIA
(km/h(km/h(km/h(km/h(km/h)))))
5 360
(h)(h)(h)(h)(h)

51
A U L A As grandezas tempo e velocidade são direta ou inversamente proporcionais?
Desenvolvendo maior velocidade média, o ônibus gastará menos tempo
para percorrer a estrada.
As grandezas envolvidas são, portanto, inversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionais.
Assim, escreveremos a proporção invertendo umas das razões:
5
x
=
100
80
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
100 . x = 5 . 80
100x = 400
x =
400
100
x = 4
Desenvolvendo velocidade média de 100 km/h, o ônibus levará 44444
hhhhhorasorasorasorasoras para percorrer a estrada.
Aplicações da regra de três
Cálculo da taxa de porcentagem
Depositando-se R$ 600,00 numa caderneta de poupança, ao final do mês
obtêm-se R$ 621,00. Calcule a taxa de porcentagem do rendimento.
l R$ 600,00 é a quantia principalquantia principalquantia principalquantia principalquantia principal, também chamada apenas de principalprincipalprincipalprincipalprincipal.
l R$ 21,00 é o rendimentorendimentorendimentorendimentorendimento, que foi obtido subtraindo-se 600 de 621.
l Devemos calcular a taxataxataxataxataxa, ou seja, “quantos por cento” correspondem ao
rendimento obtido, R$ 21,00.
Vamos escrever a regra de três observando que, se a taxa de porcenta-
gem do rendimento fosse de 100%, então o rendimento seria igual ao
principal (R$ 600,00). A taxa xxxxx%, procurada, corresponde ao rendimento
obtido (R$ 21,00).
Neste caso, a regra de três é diretadiretadiretadiretadireta, pois, aumentando-se o rendimento, a
taxa correspondente também aumentará. Logo:
=
600 . x = 21 . 100
600 x = 2.100
2.100
600
= 3,5
A taxa de rendimento é de 3,5%3,5%3,5%3,5%3,5%.
100
x
600
21
21,00 x
RRRRR$$$$$ %%%%%
600,00 100

51
Ao vender um imóvel, um corretor ganhou de comissão 5% do valor da
venda, recebendo R$ 2.500,00. Qual foi o valor da venda?
Vamos organizar os dados:
l R$ 2.500,00 é o valor da porcentagemvalor da porcentagemvalor da porcentagemvalor da porcentagemvalor da porcentagem;
l 5% é a taxa de porcentagemtaxa de porcentagemtaxa de porcentagemtaxa de porcentagemtaxa de porcentagem;
l xxxxx é o valor da vendavalor da vendavalor da vendavalor da vendavalor da venda do imóvel.
5 . x = 2.500 . 100
5 x = 250.000
x =
250.000
5
= 50.000
O preço de venda do imóvel foi de R$ 50.000,00R$ 50.000,00R$ 50.000,00R$ 50.000,00R$ 50.000,00.
Cálculo de juro
Pedi um empréstimo de R$ 10.000,00 a um banco, que me cobrará 8% de
juro mensal. Quanto pagarei de juro?
l R$ 10.000,00 é o capitalcapitalcapitalcapitalcapital;
l 8% é a taxa de jurotaxa de jurotaxa de jurotaxa de jurotaxa de juro;
JuroJuroJuroJuroJuro é a quantia que pagarei mensalmente em troca do empréstimo.
Novamente vamos resolver o problema por uma regra de três diretaregra de três diretaregra de três diretaregra de três diretaregra de três direta, pois
a taxa e o juro variam da mesma forma.
10.000
x
=
100
8
100 . x = 8 . 10.000
100 x = 80.000
x =
80.000
100
= 800
Pagarei de juro pelo empréstimo R$ 800,00R$ 800,00R$ 800,00R$ 800,00R$ 800,00 por mês.
2.500,00 5
RRRRR$$$$$ %%%%%
x 100
x 8
RRRRR$$$$$ %%%%%
10.000,00 100

51
Uma torneira enche um tanque em 2 horas. Em quanto tempo (em minutos)
3 torneiras iguais à primeira encherão o mesmo tanque?
Se 16 operários levam 3 dias para completar uma obra, quantos operários
seriam necessários para completar essa obra em 2 dias?
Qual é a altura de um edifício cuja sombra tem 6 m no mesmo instante em
que um poste de 2 m de altura projeta uma sombra de 0,6 m?
Trabalhandodurante40minutos,umamáquinaproduz100peças.Quantas
peças essa máquina produzirá em 2 horas?
Para percorrer 360 km de uma estrada, um automóvel consome 30l de
gasolina. Para percorrer 450 km, quanto consumirá?
Numa classe de 40 alunos, 18 são meninas. Qual é a taxa de porcentagem das
meninas dessa classe?
Gastei 30% do meu salário comprando um vestido. Calcule meu salário
sabendo que paguei R$ 60,00 pelo vestido.
Quando se aplicam R$ 2.000,00 à taxa de 12% ao ano, qual será a quantia
recebida após 5 anos?
Exercícios

52
A U L A
52
A U L A
Introdução à álgebra
Para pensarl Na figura abaixo, a balança está em equilíbrio e as três melancias têm o
mesmo peso. Nessas condições, qual é o peso (em kg) de cada melancia?
l Uma barra de rapadura pesa 1 kg mais meia barra de rapadura. Quanto pesa
a barra de rapadura?
l Hoje, Isabel tem 40 anos e seu filho André tem 8 anos. Daqui a quantos anos
a idade de André será igual à metade da idade da mãe?
Na Aula 44 você viu que, em linguagem matemática, podemos representar
um número, uma quantidade ou até mesmo uma frase, usando letras. Na aula
de hoje, vamos aprofundar um pouco mais esse assunto, estudando uma parte
da Matemática chamada álgebraálgebraálgebraálgebraálgebra. A álgebra se caracteriza fundamentalmen-
te pelo uso de letras e é uma ferramenta poderosa na solução de muitos
problemas.
Vamos começar com um exemplo bem simples.
8
kg
3
kg
8
kg
Nossa aula

52
A soma de dois números consecutivos é 13. Quais são esses números?
Este é um problema com quantidades pequenas. Por isso, é possível
calcular mentalmente que os números são 6 e 7.
Mas, como na vida real nós nem sempre trabalhamos com quantidades
pequenas, vamos aprender a equacionar e a resolver problemas como esse.
Primeiro, vamos equacionar o problema:
l dois números consecutivos _ xxxxx e xxxxx + 1+ 1+ 1+ 1+ 1
l sua soma é 13 _ xxxxx + (x + 1x + 1x + 1x + 1x + 1) = 13
Agora, vamos resolver a equação:
x + (x + 1) = 13
x + x + 1 = 13
2x + 1 = 13
2x + 1 - 1 = 13 - 1
2x + 0 = 12
2x = 12
2x
2
=
12
2
x = 6
Então, x = 6 e x + 1 = 7. Ou seja, os números procurados são 66666 e 77777.
O que é uma equação?
Um dos significados apresentados pelo dicionário para a palavra equa-equa-equa-equa-equa-
çãoçãoçãoçãoção é este: “qualquer igualdadeigualdadeigualdadeigualdadeigualdade entre seres matemáticos que só é satisfeita
para alguns valores”.
De um modo mais simples, podemos dizer que toda equação tem:
l uma letra que indica um número desconhecido;
l um sinal de igualdade (=).
A letra é a incógnitaincógnitaincógnitaincógnitaincógnita da equação. Por exemplo: na equação 22222xxxxx + 5 = 21+ 5 = 21+ 5 = 21+ 5 = 21+ 5 = 21,
a letra xxxxx é a incógnita, isto é, o termo desconhecido.
A palavra incógnitaincógnitaincógnitaincógnitaincógnita significa desconhecida e a palavra equaçãoequaçãoequaçãoequaçãoequação significa
igualdade (o prefixo -equa-equa-equa-equa-equa, em latim, quer dizer igual).
Numa equação, a expressão que fica à esquerda do sinal de igual é chamada
de 11111º membromembromembromembromembro e a que fica à direita é chamada de 22222º membromembromembromembromembro.
2x + 5 = 21
1º membro 2º membro
Eliminandoosparêntesese
juntandoostermossemelhantes.
Subtraindo1dosdoismembros.
Dividindoosdoismembrospor2.
{
{

52
A U L AResolver uma equação sem perder o equilíbrio
Podemos comparar uma equação a uma balança em equilíbrio.
Isso significa que os dois pratos devem estar em equilíbrio. Se alguma coisa
for acrescentada a um dos pratos, um peso igual deve ser acrescentado ao outro
prato, para não se perder o equilíbrio. E o mesmo deve ser feito quando alguma
coisa é retirada de um dos pratos.
Na balança da figura anterior, as 2 abóboras mais um peso de 2 kg somam
um peso igual a 10 kg. Isso pode ser escrito da seguinte maneira:
2x + 2 = 10,
onde xxxxx é a incógnitaincógnitaincógnitaincógnitaincógnita que representa o peso de cada abóbora.
Retirando o peso de 2 kg de um dos pratos,
temos que retirar um peso igual do outro
prato, que ficará com 8 kg.
Substituindo o peso de 8 kg por dois de 4 kg,
podemos perceber que cada abóbora pesa
4 kg.
Portanto, x = 4.
82x
2x + 44
x 4
1022x +
102
2
kg
10
kg

52
A U L A
Traduzindo para a linguagem matemática, fica assim:
2x + 2 = 10
2x + 2 - 2 = 10 - 2
0
2x = 8
2x
2
=
8
2
x = 4
Uma das etapas na solução de um problema é verificar se a resposta
encontrada está correta. Para isso, devemos substituir na equação o valor
encontrado, no caso x = 4.
2 x + 2 = 10
2 . 4 + 2 = 10
8 + 2 = 10
10 = 10
A palavra álgebraálgebraálgebraálgebraálgebra tem origem na palavra árabe al-jabral-jabral-jabral-jabral-jabr (às vezes também
escrita como al-gebral-gebral-gebral-gebral-gebr), título de um livro escrito em Bagdá, por volta do ano 825,
pelo matemático árabe Mohammed Al-Khowarizmi: Livro sobre as opera-Livro sobre as opera-Livro sobre as opera-Livro sobre as opera-Livro sobre as opera-
ções al-jabr e qabalahções al-jabr e qabalahções al-jabr e qabalahções al-jabr e qabalahções al-jabr e qabalah.
O termo al-jabral-jabral-jabral-jabral-jabr significa restauraçãorestauraçãorestauraçãorestauraçãorestauração e refere-se à transposição de termos
para o outro lado da equação:
6x = 2x + 8
6x - 2x = 8
O termo qabalahqabalahqabalahqabalahqabalah significa equilíbrioequilíbrioequilíbrioequilíbrioequilíbrio e refere-se à redução de termos
semelhantes:
6x - 2x = 8
4x = 8
x = 8 : 4
x = 2
Al-Khowarizmi resolvia as equações de modo semelhante a nós. A diferen-
ça é que tudo era expresso em palavras.
O primeiro matemático a escrever as equações usando letras, por volta de
1590, foi François Viète. Por isso, ele é chamado de “Pai da Álgebra”.
A partir de então, as equações passaram a ser interpretadas como as
entendemos hoje:
Equação é o idioma da álgebra.Equação é o idioma da álgebra.Equação é o idioma da álgebra.Equação é o idioma da álgebra.Equação é o idioma da álgebra.
Subtraindo2dosdoismembros.
Dividindopor2osdoismembros.
Um pouco de
História
Subtraindo2xdosdoismembros.

52
A soma de dois números consecutivos é 1.349. Quais são esses números?
Resolva as equações:
a)a)a)a)a) 4x + 2 = 14
b)b)b)b)b) 4(x - 2) = 3 (x - 1)
c)c)c)c)c)
x
2
- 1 = 6
Uma caneta custa R$1,00 a mais que um lápis. Comprei 2 canetas e 4 lápis
e gastei R$ 3,20.
a)a)a)a)a) Escreva uma equação que solucione o problema.
b)b)b)b)b) Qual o valor de cada caneta?
c)c)c)c)c) Qual o valor de cada lápis?
Somando 6 ao triplo de um número, o resultado é 42. Qual é esse número?
Exercícios

53
A U L A
53
A U L A
Calculando áreas
Para pensar l Imagine que você vá revestir o piso de sua sala com lajotas. Para saber a
quantidade de lajotas necessária, o que é preciso conhecer: a área ou o
perímetro da sala?
l Foram feitos 8 furos iguais em duas placas de madeira. As placas são de
mesmo tamanho e mesma espessura, como indica a figura:
Após terem sido furadas, qual delas possui maior área?
l Quantos quadradinhos de 1 centímetro (1cm) de lado serão necessários para
cobrir um quadrado de 1 metro quadrado (1m2
) de área?
Leia com atenção o texto seguinte, que foi extraído do Jornal do TelecursoJornal do TelecursoJornal do TelecursoJornal do TelecursoJornal do Telecurso
11111º Grau - Matemática, 3Grau - Matemática, 3Grau - Matemática, 3Grau - Matemática, 3Grau - Matemática, 3ª fasefasefasefasefase(FundaçãoRobertoMarinho,EditoraGlobo,1981).
Calculando áreasCalculando áreasCalculando áreasCalculando áreasCalculando áreas
Existem muitas situações práticas que envolvem o cálculo de áreas, como
veremos nos exemplos a seguir.
Um azulejista, ao ser chamado para executar um serviço, começará seu
trabalho calculando a área das paredes que vão ser revestidas. Depois, ele vai
comprar o material e, quando pedir os azulejos, o balconista certamente lhe
perguntará quantos metros quadrados ele deseja. Assim, calculando a área das
paredes, e das portas e janelas, o azulejista poderá pedir a quantidade certa de
azulejos, evitando a falta ou o desperdício de material.
Nossa aula

53
A U L AUma vez elaborado o projeto de uma casa, é necessário preparar seu
orçamento. É preciso saber, por exemplo, qual a quantidade de tijolos a ser usada
na obra. Para isso, devemos saber quantos metros quadrados de parede a casa
terá. Esse cálculo é necessário não apenas para saber a quantidade de material
que se deve comprar, mas também para avaliar o custo da mão-de-obra que vai
ser utilizada.
As caldeiras industriais são fabricadas com chapas de aço. Quando são
projetadas, é preciso calcular a área das chapas que vão ser usadas na sua
construção. Esse cálculo serve para fazer o orçamento do custo da caldeira e,
também, para prever o peso que ela terá.
Os garotos da rua acertaram a bola numa vidraça, e vão ter de comprar uma
nova. Você já foi ao vidraceiro comprar um pedaço de vidro? Quando damos as
medidas do vidro que queremos, o vidraceiro faz alguns cálculos e diz o preço
a pagar. Você sabe o que ele está calculando? Se não sabe, tente descobrir o que
ele calcula.
Esses são alguns dos exemplos que mostram que o cálculo de áreas faz parte
do dia-a-dia de muitos profissionais.
O que é área de uma superfície?
Medir uma superfície é compará-la com outra, tomada como unidade.
O resultado da comparação é um número positivo, ao qual chamamos de áreaáreaáreaáreaárea.
Como não existe instrumento para medir a área de uma superfície, compa-
ramos sua área com a área de uma figura mais simples, como o retângulo ou o
quadrado.
Deseja-se forrar uma parede de 3 m ´ 5 m com quadrados de cortiça de 1 m
de lado. Quantos quadrados de cortiça serão necessários?
Para resolver esse problema, é preciso calcu-
lar a área da parede, que tem a forma de um
retânguloretânguloretânguloretânguloretângulo e a área do pedaço de cortiça, que
tem a forma de um quadradoquadradoquadradoquadradoquadrado.
Área do retângulo = comprimento · largura
= 3 m · 5 m = 15 m2
Área do quadrado = lado · lado
= 1 m · 1 m = 1 m2
Como cada quadrado tem 1 m2
de área, serão necessários 15 pedaços de15 pedaços de15 pedaços de15 pedaços de15 pedaços de
cortiçacortiçacortiçacortiçacortiça para forrar a parede.

53
A U L A Unidade de área
Na Aula 15, estudamos unidades específicas para cada figura a ser medida.
No quadro abaixo, vamos recordar as unidades de área mais usuais.
l MetroMetroMetroMetroMetro quadradoquadradoquadradoquadradoquadrado(m(m(m(m(m22222
))))):éasuperfíciedeumquadradode1metro(1m)delado.
l QQQQQuilômetro quadrado (kmuilômetro quadrado (kmuilômetro quadrado (kmuilômetro quadrado (kmuilômetro quadrado (km22222
))))):éasuperfíciedeumquadradode1quilômetro
(1 km) de lado.
l CentímetroCentímetroCentímetroCentímetroCentímetro quadradoquadradoquadradoquadradoquadrado (cm(cm(cm(cm(cm22222
))))): é a superfície de um quadrado de 1 centímetro
(1 cm) de lado.
Existemainda:ohectômetroquadrado(hmhmhmhmhm22222
),odecâmetroquadrado(damdamdamdamdam22222
),
o decímetro quadrado (dmdmdmdmdm22222
) e o milímetro quadrado (mmmmmmmmmm22222
).
Observação:Observação:Observação:Observação:Observação: No Brasil, costuma-se usar o hectarehectarehectarehectarehectare (ha) ou o alqueirealqueirealqueirealqueirealqueire para
medir grandes extensões de terra. Lembre que:
l 1 hectare (ha) = 10.000 m2
(um quadrado cujos lados medem 100 metros).
l O alqueirealqueirealqueirealqueirealqueire nãoéumamedidauniformeparatodoopaís. Existem:oalqueire
paulista; o alqueire do norte; o alqueire mineiro.
Mudando de unidade
Quantos centímetros quadrados cabem em um quadrado de 1 metro de lado?
Observe que 1 m = 100 cm, logo, a área desse quadrado é:
100 cm · 100 cm = 10.000 cm2
Portanto, concluímos que: em um quadrado de 1 m2
de área, cabem 10.000
quadradinhos de 1 cm2
de área, isto é, quadradinhos de 1 cm de lado.
Agora, é sua vez! Quantos quadrados de 1 m de lado são necessários para
cobrir um quadrado de 1 km2
de área?
1 m
1m
1 cm
2
1 m
1m
1 m2
1 m
1m

53
A U L AÁreas de figuras geométricas planas
Área do quadrado
Considere um quadrado qualquer. Usando a álgebra para representar a
medida do lado desse quadrado, vamos chamá-lo por aaaaa.
A área desse quadrado é:
A = aA = aA = aA = aA = a ´ aaaaa = aaaaa2
Área do retângulo
Considere um retângulo qualquer, de dimensões aaaaa e bbbbb.
A área do retângulo é o produto da medida da base pela altura.
Então:
AAAAA = bbbbb ´ aaaaa
Área do paralelogramo
Observe as figuras abaixo. Podemos “cortar” um pedaço do paralelogramo
e encaixá-lo do outro lado, transformando o paralelogramo num retângulo:
A área do paralelogramo é, assim, igual à área do retângulo obtido, ou seja,
ao produto das medidas da base pela altura:
AAAAA = bbbbb ´ hhhhh
ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação: a altura do paralelogramo é a distância de uma base a outra;
portanto, é perpendicular à base.
Área do losango
Olosangoéumafigurageométricadeladosiguaisediagonaisperpendiculares.
AB = diagonal maior
CD = diagonal menor
b
h
base (b)
altura (h)
a
base (b)
base (b)
altura (h)
b
h
B
A
C D
altura(a)

53
A U L A Podemos construir um retângulo de tal forma que o losango fique inscrito
nessa construção. Observe que, dessa forma, a área do losango é metademetademetademetademetade da área
do retângulo, sendo determinada em função de suas diagonais:
Diagonal maior ´ diagonal menor
2
ou, em linguagem algébrica:
A =A =A =A =A =
D ´d
2
Área do trapézio
O trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos, chamados basesbasesbasesbasesbases:
Construa dois trapézios iguais e encaixe-os, colocando um deles de “cabeça
para baixo” em relação ao outro.
A figura obtida é um paralelogramo cuja área é o dobro da área do trapézio.
Dessa forma, a área do trapézio é:
Área do trapézio =
(base maior + base menor) ´ altura
2
=
B + bα φ´ h
2
B b
b B
altura
( )
diagonal
menor
diagonal
maior
diagonal
menor
base menor (b)
base maior (B)
b B
B b
altura
diagonal
maior

53
Um terreno em forma de trapézio tem 75 m na base menor, 100 m na base
maior e 40 m de altura. Qual a área desse terreno?
Logo, a área do terreno é de 3.500 m3.500 m3.500 m3.500 m3.500 m22222
.
Área do triângulo
Usaremos um raciocínio semelhante ao que usamos para determinar a área
do trapézio. Assim, construímos dois triângulos iguais:
Encaixando-os, como na figura da esquerda, obtemos um paralelogramo
cuja área é o dobro da área do triângulo. Como a área do paralelogramo é
determinada pelo produto da base pela altura, a área do triângulo é igual à área
do paralelogramo dividida por dois.
Área do triângulo =
base ´ altura
2
=
b ´ h
2
Se o triângulo for retângulo, a área pode ser calculada multiplicando-se os
catetos e dividindo o resultado por 2, pois, nesse caso, um cateto corresponde à
base (bbbbb) e o outro à altura (hhhhh).
A =A =A =A =A =
bbbbb ´ hhhhh
22222
75 m
100 m
40 m
Área =
(75 +100)×40
2
=
=
175×40
2
=
= 175 . 20 = 3.500
20
1
altura (h)
base (b)
100 m
40 m
75 m
base (b)
altura (h)
b
a

53
A U L A Decompondo figuras planas
Muitas vezes nos deparamos com “figuras estranhas”, que não são nem
triângulos, nem trapézios, nem nenhuma dessas figuras cujas áreas sabemos
determinar. E aí, o que fazer? Nesses casos, podemos usar uma técnica muito
simples: decompor a “figura estranha” em outras de formatos conhecidos, cujas
áreas são mais fáceis de serem obtidas. Veja o exemplo seguinte.
Calcule a área da figura:
Podemos decompor essa figura da seguinte maneira:
Calculamos, então, a área de cada uma das figuras:
(1)(1)(1)(1)(1) é um trapézio de área: (3+ 4,5)×1,5
2
= 5,625m2
(2)(2)(2)(2)(2) é um paralelogramo de área: 4,5 . 2,5 = 11,25 cm2
(3)(3)(3)(3)(3) é um triângulo de área:
4,5×3
2
= 6,75m2
Somando os três resultados, temos a área da figura dada:
5,625 + 11,25 + 6,75 = 23,625
Assim, a área da figura é 23,625 cm23,625 cm23,625 cm23,625 cm23,625 cm22222
.
4,5cm
3 cm2,5 cm1,5 cm
3cm
4,5cm
2
3
1

53
A U L ACálculo aproximado de áreas
Existem figuras planas cujas áreas são obtidas por cálculos aproximados.
Esta figura representa a planta de um terreno, na qual cada cm2
corresponde
a 1 km2
no real. Qual é a área do terreno?
Quadriculamos a figura tomando, por exemplo, o centímetro quadrado
como unidade de área:
Contando os quadradinhos internos e os que cobrem a figura, temos:
Figura A (quadradinhos internos) = 43 cm2
Figura B (quadradinhos que cobrem a figura) = 80 cm2
A área da figura, portanto, está entre 43 cm2
e 80 cm2
.
Figura B
Figura A

53
A U L A Aproximamos os valores encontrados por meio de média aritmética:
43 + 80
2
= 61,5cm2
A área da figura é, portanto, 61,5 cm61,5 cm61,5 cm61,5 cm61,5 cm22222
.
Como cada cm2
corresponde a 1 km2
, na realidade o terreno têm uma área de,
aproximadamente, 61,5 km61,5 km61,5 km61,5 km61,5 km22222
.
ObObObObObservação:servação:servação:servação:servação: Se usarmos uma unidade de área menor, como por exemplo o
milímetro quadrado (mm2
), o resultado obtido será mais preciso.
Com a ajuda de uma régua, meça os comprimentos necessários e determine
a área das figuras.
c)c)c)c)c)
Dê o significado de:
a)a)a)a)a) 1 m2
b)b)b)b)b) 1 km2
Calcule a área da capa de seu livro de Matemática do Telecurso 2000.
Calcule a área do banheiro de sua casa.
Uma cozinha tem formato de um paralelepípedo com as seguintes dimensões:
Deseja-se azulejar as paredes dessa cozinha até o teto.
Quantos azulejos devemos comprar, se os azulejos são quadrados de 15 cm
de lado?
Exercícios
h
3 m
3,5 m
4 m
h
4 m
3,5 m
3 m

53
Pedrodesenhou2retasparalelas.EmumamarcouosegmentoABeemoutra
marcou os pontos C, D, E e F, como mostra a figura:
Em seguida ligou alguns pontos formando os triângulos CAB, DAB, EAB e
FAB. Analisando esses triângulos, Pedro descobriu um “segredo” sobre
suas áreas.
Qual foi o “segredo” descoberto por Pedro?
Calcule a área da figura:
Quantos metros quadrados de papel são necessários para forrar uma caixa
fechada, no formato de um cubo de 20 centímetros de aresta?
Considerando o quadradinho como unidade de área (u), determine o valor
aproximado da área da figura:
A B
C D E F
4 cm
4 cm
1cm1cm
3 cm
2cm
u
4 cm
2cm
1cm1cm
4 cm 3 cm

54
A U L A
54
A U L A
Potências e raízes
Para pensar Num determinado jogo de fichas, os valo-
res dessas fichas são os seguintes:
l 1 ficha vermelha vale 5 azuis;
l 1 ficha azul vale 5 brancas;
l 1 ficha branca vale 5 pretas;
l 1 ficha preta vale 5 verdes.
Responda às perguntas, dando o resultado em forma de potência:
a)a)a)a)a) Uma ficha vermelha pode ser trocada por quantas fichas brancas?
b)b)b)b)b) E por quantas fichas pretas?
c)c)c)c)c) E por quantas fichas verdes?
Potenciação
Na Aula 4 do Volume 1, adotamos cubos para aprender a agrupar e fazer
contagens de um modo mais simples. Você se lembra das nossas figuras? Veja:
Nossa aula

54
A U L A
{
Quantos cubos há em:
l uma barra?
l uma placa?
l um bloco?
Para responder a essas perguntas, efetuamos as seguintes multiplicações:
1 barra = 10 cubinhos
1 placa = 10 · 10 = 100 cubinhos
1 bloco = 10 · 10 · 10 = 1.000 cubinhos
Esse tipo de multiplicação, em que os fatores são todos iguais, chama-se
potenciaçãopotenciaçãopotenciaçãopotenciaçãopotenciação, e pode ser indicada da seguinte maneira:
10 · 10 = 10²
10 · 10 · 10 = 10³
l O número que é multiplicado várias vezes por ele mesmo é chamado de
basebasebasebasebase (no exemplo acima, é o número 10).
l O número que indica quantas vezes a base está sendo multiplicada é o
expoenteexpoenteexpoenteexpoenteexpoente (no exemplo acima, são os números 2 e 3).
l O resultado da potenciação é chamado de potênciapotênciapotênciapotênciapotência.
Por exemplo:
1)1)1)1)1) 4³ = 4 · 4 · 4 = 64, que se lê: 4 elevado à 3ª potência ou
4 à terceira ou ainda 4 ao cubo
2)2)2)2)2) 5² = 5 · 5 = 25, que se lê: 5 elevado à 2ª potência ou
5 à segunda ou ainda 5 ao quadrado
3)3)3)3)3) 25
= 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, que se lê: 2 elevado à 5ª potência ou
2 à quinta
Os únicos casos de potenciação que têm nomes especiais são o de
expoente 2 (que se lê ao quadradoao quadradoao quadradoao quadradoao quadrado) e o de expoente 3 (que se lê ao cuboao cuboao cuboao cuboao cubo).
2 vezes
{
3 vezes

54
A U L A
5 zeros
{
{
2 zeros
Casos especiais da potenciação
1.1.1.1.1. A base é igual a 1 e o expoente é qualquer número diferente de zero:
a potência é sempre igual a 1.
Por exemplo: 15
= 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1
2.2.2.2.2. O expoente é igual a 1 e a base é qualquer número:
a potência é sempre igual à base.
Por exemplo: 31
= 3
3.3.3.3.3. A base é zero e o expoente é qualquer número diferente de zero:
a potência é sempre igual a zero.
Por exemplo: 0³ = 0 · 0 · 0 = 0
4.4.4.4.4. A base é 10 e o expoente é qualquer número diferente de zero:
a potência é um número que começa com 1 e tem um número de zeros
igual ao expoente.
Por exemplo: 10² = 10 · 10 = 100
105
= 100.000
5.5.5.5.5. A base é um número qualquer diferente de zero e o expoente é zero:
a potência, por convenção, é sempre igual a 1.
Observe:
34
= 81
¸ 3
3³ = 27
¸ 3
3² = 9
¸ 3
31
= 3
¸ 3
30
= 1

54
A U L A
NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO
QUADRADOQUADRADOQUADRADOQUADRADOQUADRADO
Radiciação
Vejamos agora a operação inversa da potenciação, a radiciaçãoradiciaçãoradiciaçãoradiciaçãoradiciação.
Considere a pergunta: qual é o número que elevado ao quadrado dá 81?
Você sabe que 9 . 9 = 81.
Então: 9² = 81 e 81 9= , que se lê: a raiz quadrada de 81 é 9a raiz quadrada de 81 é 9a raiz quadrada de 81 é 9a raiz quadrada de 81 é 9a raiz quadrada de 81 é 9.
l o sinal é o radicalradicalradicalradicalradical;
l 81 é o radicandoradicandoradicandoradicandoradicando;
l 9 é a raiz quadradaraiz quadradaraiz quadradaraiz quadradaraiz quadrada de 81.
Organizamos uma tabela de quadrados para facilitar a determinação da raiz
quadrada. Veja:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ...
Veja que, na 2ª linha (a dos quadrados) não aparecem todos os números. Os
números que não aparecem não são quadrados e, por isso, não possuem raiz
quadrada natural. Por exemplo: 2 não tem raiz quadrada natural.
Vejamos agora a inversa do cubo (3ª potência).
Qual é o número que elevado ao cubo dá 27?
Vejamos uma tabela de cubos:
0 1 2 3 4 5 6 7 ...
0 1 8 27 64 125 216 343 ...
Assim, podemos responder à pergunta:
33
= 27 e 273
= 3 que se lê: a raiz cúbica de 27 é 3a raiz cúbica de 27 é 3a raiz cúbica de 27 é 3a raiz cúbica de 27 é 3a raiz cúbica de 27 é 3.
l a raiz cúbica é a inversa do cubo;
l o sinal 3
é o radicalradicalradicalradicalradical e o 3 é o índiceíndiceíndiceíndiceíndice.
Assim como no quadrado, podemos observar que nem todo número natural
possui raiz cúbica natural. Por exemplo: 93 não tem raiz cúbica natural.
CuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidades
1.1.1.1.1. De onde surgiu a expressão ao quadradoao quadradoao quadradoao quadradoao quadrado para expressar um número
elevado à 2ª potência? Por exemplo 3².
Os nove pontos formam um quadrado de lado
com 3 pontos.
Por isso, dizemos que 9 é o quadrado de 3.
2.2.2.2.2. De onde surgiu a expressão ao cuboao cuboao cuboao cuboao cubo para expressar um número
elevado à 3ª potência? Por exemplo 2³.
Na figura, estão marcados 8 pontos que formam um
cubo de lado com 2 pontos.
Por isso, dizemos que 8 é o cubo de 2.
NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO
CUBOCUBOCUBOCUBOCUBO

54
A U L AExercícios
(*) O Exercício 2 foi extraído do livro Matemática na medida certa - 5Matemática na medida certa - 5Matemática na medida certa - 5Matemática na medida certa - 5Matemática na medida certa - 5ª sériesériesériesériesérie, de
Jakubo e Lellis, Editora Scipione, São Paulo.
o quadrado de 5
Escreva e calcule:
a)a)a)a)a) treze ao quadrado;
b)b)b)b)b) quatro ao cubo.
Exercício 2 *Exercício 2 *Exercício 2 *Exercício 2 *Exercício 2 *
Com 25 pontos é possível formar um quadrado, assim:
l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
Se for possível, forme um quadrado desse tipo com:
a)a)a)a)a) 9 pontos b)b)b)b)b) 10 pontos c)c)c)c)c) 16 pontos
Calcule:
a)a)a)a)a) 81
b)b)b)b)b) 120
c)c)c)c)c) 80
d)d)d)d)d) 014
e)e)e)e)e) 1010
Calcule:
a)a)a)a)a) 49 b)b)b)b)b) 64 c)c)c)c)c) 1 d)d)d)d)d) 100 e)e)e)e)e) 36
Calcule:
a)a)a)a)a) 83 b)b)b)b)b) 13 c)c)c)c)c) 1.0003
d)d)d)d)d) 643 e)e)e)e)e) 03

55
A U L A
O Teorema de
Pitágoras
55
A U L A
Para pensarl Com ajuda de um par de esquadros, desenhe dois triângulos retângulos de
mesmo tamanho. Represente num deles a altura relativa à hipotenusa,
como mostra a figura da direita:
Recortando os triângulos IIIIIIIIII e IIIIIIIIIIIIIII, você terá três triângulos.
Esses triângulos são semelhantes entre si? Por quê?
l Reproduza a figura abaixo, se possível ampliando-a.
l Recortando nas linhas tracejadas, separe as cinco peças numeradas.
Encaixe as peças 11111, 22222, 33333, 44444 e 55555 no quadrado-base, de forma que, juntas,
preencham-no completamente.
A área do quadrado-base é igual à soma das áreas das cinco peças?
I II III
quadrado-base
1
2
3
4
5

55
A U L A Desde épocas muito remotas, quando começou a erguer casas para se
abrigar, o homem sentiu a necessidade de “construir” ângulos retos para
verificar se as paredes estavam “no esquadro”, isto é, perpendiculares ao chão.
Atualmente há instrumentos apropriados para isso, mas não foi sempre assim.
Veremos o que a geometria tem a ver com tudo isso.
A geometria é uma ciência muito antigaA geometria é uma ciência muito antigaA geometria é uma ciência muito antigaA geometria é uma ciência muito antigaA geometria é uma ciência muito antiga
O triângulo de lados 3, 4 e 5 é utilizado há muitos séculos pelos
construtores. Talvez você já tenha ouvido falar das famosas pirâmides egíp-
cias: são enormes monumentos de pedra construídos há muitos séculos.
A maior dessas pirâmides, conhecida como Grande Pirâmide ou Pirâmide
de Quéops, foi construída há cerca de 4.500 anos. Sua base é um enorme
quadrado, cujo lado mede aproximadamente 230 m, dentro do qual caberiam
quatro quarteirões. Sua altura, que é de 146 m, equivale à altura de um prédio
de 50 andares.
Os pesquisadores impressionaram-se com o alto grau de precisão dessas
construções. A base da Grande Pirâmide é quase um quadrado perfeito: as
diferenças entre as medidas de seus lados são muito pequenas e seus ângulos
são todos praticamente iguais a 90º. Tais fatos nos levam a crer que os egípcios
desenvolveram grandes conhecimentos de geometria. Os diversos documentos
escritos naquela época revelam que, por exemplo, o triângulo de lados 3, 4 e
5 já era conhecido dos arquitetos e construtores egípcios. Diz a História que os
construtores usavam uma corda, na qual davam nós a intervalos de igual
distância, formando com ela esse tipo de triângulo.
Os arquitetos do Egito Antigo construíam ângulos retosOs arquitetos do Egito Antigo construíam ângulos retosOs arquitetos do Egito Antigo construíam ângulos retosOs arquitetos do Egito Antigo construíam ângulos retosOs arquitetos do Egito Antigo construíam ângulos retos
usando uma simples corda com nós.usando uma simples corda com nós.usando uma simples corda com nós.usando uma simples corda com nós.usando uma simples corda com nós.
Texto extraído do Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1º GrauGrauGrauGrauGrau. Fundação Roberto Marinho, Ministé-
rio da Educação e Cultura, Fundação da Universidade de Brasília, 1989.
Nossa aula

55
A U L AO triângulo retângulo
Um triângulo que têm um ângulo de 90º (ângulo reto) é chamado de
triângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulo. Nele, os lados recebem os seguintes nomes:
A hipotenusa é o maior dos lados e é o lado oposto ao ângulo reto.
CuriosidadeCuriosidadeCuriosidadeCuriosidadeCuriosidade
Hipotenusa era o nome dado às cordas do
instrumento musical chamado lira. Essas
cordas formavam triângulos retângulos
com os lados do instrumento.
A lira, assim como a harpa, são os mais
antigos instrumentos de corda. Na
Grécia, a invenção da lira era atribuída a
Apolo, deus da mitologia grega.
Pitágoras e o triângulo retângulo
Quando falamos em triângulo retângulo, lembramos imediatamente de
Pitágoras, o grande matemático que nasceu na Grécia Antiga, por volta do
ano 550 a.C. Acredita-se que ele tenha obtido conhecimentos geométricos com
agrimensores egípcios, que já usavam o triângulo de lados 3, 4 e 5.
Pitágoras percebeu que, construindo um quadrado sobre cada um dos
lados de um triângulo de lados 3u3u3u3u3u, 4u4u4u4u4u e 5u5u5u5u5u (sendo uuuuu uma unidade qualquer),
como mostra a figura acima, apareceria a seguinte relação:
A área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual àA área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual àA área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual àA área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual àA área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual à
soma das áreas dos quadrados formados sobre os catetossoma das áreas dos quadrados formados sobre os catetossoma das áreas dos quadrados formados sobre os catetossoma das áreas dos quadrados formados sobre os catetossoma das áreas dos quadrados formados sobre os catetos.
No exemplo acima, você poderá observar que: 25 = 9 + 1625 = 9 + 1625 = 9 + 1625 = 9 + 1625 = 9 + 16.
cateto
cateto
hipotenusa
3cm
4 cm
5
cm

55
A U L A
I II III IV
O Teorema de Pitágoras
Para Pitágoras, não bastava que essa relação fosse válida para o triângulo
de lados 3, 4 e 5. Era preciso provar que a relação valia, também, para todostodostodostodostodos os
triângulos retângulos.
Ao construir algumas figuras com papel, acompanhamos melhor esse
raciocínio:
1.1.1.1.1. Recorte quatro triângulos retângulos iguais.
2.2.2.2.2. Recorte um quadrado de tal forma que seu lado seja igual à soma das
medidas dos catetos de um dos triângulos.
3.3.3.3.3. Agora, monte a figura abaixo, sobrepondo os triângulos e o quadrado já
recortados:
Observe que o quadrado ao centro da figura tem lado aaaaa, portanto, sua área
é igual a aaaaa²²²²²² .
a
b
c
b + c
a2
I II
III IV
a
b
c

55
A U L A4.4.4.4.4. Movimente os triângulos e forme esta outra figura:
Os dois quadrados têm lados bbbbb e ccccc. Portanto, suas áreas são bbbbb² e ccccc²²²²²² .
ConclusãoConclusãoConclusãoConclusãoConclusão
Como o quadrado grande (de lado b + c) é o mesmo nos dois casos,
podemos concluir que o quadrado de área aaaaa²²²²²² é igual ao quadrado
de área bbbbb²²²²²² somado ao quadrado de área c ²c ²c ²c ²c ², ou seja:
aaaaa²= b= b= b= b= b² + c+ c+ c+ c+ c²²²²²²
Assim, deduzimos o Teorema de Pitágoras:
Num triângulo retângulo, o quadrado da medida daNum triângulo retângulo, o quadrado da medida daNum triângulo retângulo, o quadrado da medida daNum triângulo retângulo, o quadrado da medida daNum triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos
catetos.catetos.catetos.catetos.catetos.
Usando a semelhança de triângulos, podemos demonstrar o Teorema de
Pitágoras de outra maneira, bem como aprender outras relações métricas
entre os lados de um triângulo retângulo.
Considere o triângulo ABC,
cujos catetos são bbbbb e ccccc e a
hipotenusa é aaaaa.
Trace a altura relativa à
hipotenusa. Determinando o
ponto H e os segmentos hhhhh, mmmmm
e nnnnn, podemos observar que:
aaaaa = m + n= m + n= m + n= m + n= m + n.
II
I
III
IV
a
b
c
b2
c2
A B
C
a
b
c
I
A B
C
H
a
b
c
m
n
h
III
II

55
A U L A Desse modo, obtivemos três triângulos semelhantes, ou seja, triângulos
que possuem os três ângulos iguais. Para facilitar as conclusões, desenhe os três
triângulos sobrepostos, como indica a figura:
Assim:
l Triângulo IIIII semelhante ao triângulo IIIIIIIIII, logo:
b
h
=
c
n
=
a
c
de:
c
n
=
a
c
, temos: ccccc² = a= a= a= a= a ..... nnnnn (1ª relação),
que pode ter a seguinte interpretação:
O quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusa
pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.
l Triângulo IIIII semelhante ao triângulo IIIIIIIIIIIIIII, logo:
b
m
=
c
h
=
a
b
de:
b
m
=
a
b
, temos: bbbbb² = a= a= a= a= a ..... mmmmm (2ª relação),
O quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusa
pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.
l Triângulo IIIIIIIIII semelhante ao triângulo IIIIIIIIIIIIIII, logo:
h
m
=
n
h
=
c
b
de:
h
m
=
n
h
, temos: hhhhh² = m= m= m= m= m ..... nnnnn (3ª relação),
O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produtoO quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produtoO quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produtoO quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produtoO quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto
a
b
c
b
B
A
C
h
m
h
n
II
III
I
das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

55
A U L A
b
x y
17
a
Exercícios
Somando a 1ª e a 2ª relação membro a membro, temos:
c² + b² = a . n + a . m
aplicando a propriedade
distributiva
c² + b² = a (n + m)
como m + n = a, chegamos ao Teorema de Pitágoras: ccccc² + b+ b+ b+ b+ b² = a= a= a= a= a²²²²²²
Aplicando o Teorema de Pitágoras, verifique se são retângulos os triângu-
los que têm estas medidas de lados:
a)a)a)a)a) 6 cm, 8 cm e 10 cm c)c)c)c)c) 4 cm, 5 cm e 6 cm
b)b)b)b)b) 7 cm, 9 cm e 20 cm d)d)d)d)d) 13 cm, 12 cm e 5 cm
Desenheumtriânguloretânguloeconstruatriângulosretânguloseisósceles
sobre seus catetos e sua hipotenusa, conforme este modelo:
Em seguida:
a)a)a)a)a) calcule a área de cada um dos triângulos desenhados sobre os catetos e
sobre a hipotenusa;
b)b)b)b)b) some as áreas dos triângulos desenhados sobre os catetos e compare
c o m
a área do triângulo desenhado sobre a hipotenusa.
O que você concluiu?
Usando as relações métricas no triângulo retângulo, calcule as medidas
indicadas na figura:
15

56
A U L A
Aplicação do Teorema
de Pitágoras
Para pensar
Nossa aula
Uma escada de 5 m de comprimento está
apoiada num muro. O pé da escada está afastado 3 m da base do muro. Qual
é a altura, no muro, que a escada alcança?
Para resolver esse problema, usaremos uma propriedade muito importante
dos triângulos retângulos que foi estudada na aula anterior. Ela é conhecida
como Teorema de Pitágoras e diz o seguinte:
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida daEm todo triângulo retângulo, o quadrado da medida daEm todo triângulo retângulo, o quadrado da medida daEm todo triângulo retângulo, o quadrado da medida daEm todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos
catetos.catetos.catetos.catetos.catetos.
Observe o seguinte triângulo retângulo:
A hipotenusahipotenusahipotenusahipotenusahipotenusa é o lado maior do triângulo, BC. A hipotenusa pode ser
identificada também como o lado oposto ao ângulo reto do triângulo. Os outros
lados, AB e AC, são chamados de catetoscatetoscatetoscatetoscatetos.
Esses nomes, hipotenusa e cateto, são usados apenas para indicar os lados do
triângulo retângulo.
O Teorema de Pitágoras se aplica a todos os triângulos retângulos.
Portanto, uma maneira rápida e simples de saber se determinado triângulo é
retângulo quando conhecemos apenas as medidas de seus lados é aplicar o
Teorema de Pitágoras.
56
A U L AA U L A
AB
C

56
Verifique se o triângulo cujos lados medem 10 cm, 24 cm e 26 cm é
retângulo.
Elevando ao quadrado as medidas dos dois lados menores, os catetos, e
somando os resultados, temos:
10²² + 24²² = 100 + 576 = 676
Elevando também ao quadrado a medida da hipotenusa:
26²² = 676
Verificamos que: 26²² = 10²² + 24²² . Logo, este triângulo é retângulo.
Veja, agora, outras aplicações do Teorema de Pitágoras.
Oladodeumquadradomede5cm.Quantomedeadiagonaldessequadrado?
Você já sabe que a diagonal do quadrado é o segmento de reta que liga dois
vértices não consecutivos. Não se esqueça também de que o quadrado tem
os quatro lados iguais e os quatro ângulos retos.
Ao traçar uma diagonal, o quadrado fica dividido em dois triângulos retân-
gulos iguais. A diagonal é a hipotenusa, e os lados do quadrado, os catetos.
Na figura ao lado, destacamos um
dos triângulos. Assinalamos a
diagonal com a letra ddddd. Vamos
aplicar o Teorema de Pitágoras
para determinar o valor de ddddd (me-
dida da diagonal):
² = 5² + 5²
d² = 25 + 25
d² = 50 _ d = 50
O resultado 50 é um número irracional: tem uma infinidade de casas
decimais sem ser periódico.
Não existe nenhum número natural que elevado ao quadrado seja igual a 50.
Portanto, o resultado do problema ficará indicado por 50 .
Usando a
máquina de calcular, obtemos um resultado aproximado com duas casas
decimais. A diagonal do quadrado de lado 5 cm é igual a 50 ou 7,077,077,077,077,07 cm,
aproximadamente.
5 cm
5 cm
5 cm
d
d²

56
Num losango, as diagonais medem 16 cm e 12 cm. Determine a medida do
lado do losango.
O losango é um quadrilátero que possui os quatro lados iguais. Suas
diagonais são diferentes entre si e perpendiculares, isto é, cortam-se ao meio
formando quatro ângulos retos.
Observe na figura acima que, ao se cruzarem, as diagonais dividem o
losango em quatro triângulos retângulos. Em cada um deles os catetos
medem 8 cm e 6 cm, pois cada cateto é a metade de uma diagonal. Veja que
chamamos a hipotenusa do triângulo de xxxxx, representando a medida do ladoladoladoladolado
do losango que vamos calcular. Aplicando Pitágoras, temos:
x²² = 8²² + 6²²
x²² = 64 + 36
x²² = 100
x = 100 ® x = 10
Logo, o lado do losango mede 10 cm10 cm10 cm10 cm10 cm.
Um triângulo isósceles tem 16 cm de altura e 12 cm de base. Determine a
medida dos outros dois lados.
Vamos lembrar que o triângulo isósceles possui dois lados iguais e um
diferente, chamado basebasebasebasebase.
Quando traçamos a altura do triângulo em relação à base ela forma dois
triângulos retângulos iguais, onde um dos catetos é aalturaalturaalturaalturaaltura(16cm),ooutro
mede metade da basemetade da basemetade da basemetade da basemetade da base (6 cm) e a hipotenusa é um dos lados iguaislados iguaislados iguaislados iguaislados iguais do
triângulo isósceles, cuja medida é desconhecida (xxxxx).
x
8
6
x
16
6
12
_

56
A U L AAssim, aplicando Pitágoras:
x²² = 16²² + 6²²
x²² = 256 + 36
x²² = 292
x²² = 292
A medida dos lados iguais do triângulo isósceles é 292 cm ou 17,08 cm17,08 cm17,08 cm17,08 cm17,08 cm
aproximadamente.
Num triângulo equilátero cujo lado mede 8 cm, quanto mede a altura?
Da mesma forma que no triângulo isósceles, ao traçarmos a altura formam-
se dois triângulos retângulos iguais, onde um dos catetos é a alturaalturaalturaalturaaltura (xxxxx) que
não conhecemos a medida, o outro mede metade do ladometade do ladometade do ladometade do ladometade do lado (4 cm) e a
hipotenusa é o ladoladoladoladolado do triângulo equilátero (8 cm). Aplicando o Teorema
de Pitágoras:
8²² = ² x² + 4²²
64 = x² + 16
64 - 16 = x²²+ 16 - 16 (lembre-se da Aula52)
48 = x²
A altura do triângulo retângulo de lado 8 cm é, portanto, 48 cm ou 6,926,926,926,926,92
cmcmcmcmcm aproximadamente.
Vamos agora resolver o problema sugerido no início da aula que é,
também, uma interessante aplicação prática do Teorema de Pitágoras.
Observe:
4 cm
8 cm
x
8 cm
5 m
3 m
x5 m
3 m
x
_ x = Ö48

56
A U L A
(aplicandoaoperaçãoinversadaadição,asubtração)
Exercícios
10
8
10 10
x
x
x
Ao encostar no muro, a escada forma um triângulo retângulo onde:
l o comprimento da escada é a hipotenusa do triângulo (5 m);
l a distância do pé da escada à base do muro é a medida de um dos catetos
do triângulo (3 m);
l a altura que a escada alcança no muro é a medida do outro cateto (xxxxx), que
não conhecemos.
Aplicando Pitágoras:
5²² = 3² + x²² ²
25 = 9 + x²² ²
25 - 9 = x²² ²
x²² ² = 16
A altura que a escada alcança no muro é de 4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm.
Verifique se o triângulo cujos lados medem 13 cm, 12 cm e 5 cm é um
triângulo retângulo.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, determine as medidas indicadas:
As diagonais de um losango medem 18 cm e 24 cm. Calcule a medida do lado
desse losango.
Calculeamedidadadiagonaldeumretângulocujosladosmedem36me27m.
Calcule a medida da diagonal do quadrado cujo perímetro mede 24 cm.
As diagonais de um losango medem 6 m e 8 m. Qual é o perímetro desse
losango?
_ x = Ö16 _ x = 4

57
A U L A
A área do círculo
57
A U L A
Para pensar
Nossa aula
Em uma competição de ciclismo, foi decidido
que as rodas das bicicletas seriam pintadas com a cor da camisa de cada
competidor.
A pintura foi feita como na figura abaixo:
Que parte da roda foi pintada?
Você já aprendeu na Aula 45 que o comprimento de uma circunferência
depende de seu raio e pode ser obtido pela expressão:
Nesta expressão rrrrr é a medida do raio e p é um número irracional que
aproximamos para 3,14.
comprimento = 2pr
r

57
Numa circunferência cujo raio é de 5 cm, qual é o comprimento?
2 . p . 5 = 10 . 3,14 = 31,4
O comprimento da circunferência é de aproximadamente 31,4 cm31,4 cm31,4 cm31,4 cm31,4 cm.
Agora, nesta aula, vamos aprender a calcular a área do círculo.
Para isso, imaginamos que o círculo seja formado por várias circunferên-
cias concêntricas. Depois, imaginamos também que podemos cortar
e s s a s
circunferências e esticá-las. A figura que obtemos, então, é um triângulo
retângulo:
Nesse processo, quanto maior for o número de circunferências utilizado
para completar o círculo, melhor será sua representação em um triângu-
lo.
Observe o triângulo abaixo. Sua altura é igual ao raio do círculo e sua base
mede 2pr, isto é, o comprimento da maior circunferência, a fronteira do
círculo.
Calculando a área do triângulo, temos:
=
Vamos agora calcular a área do círculo do Exemplo 1.
Como r = 5 cm, r² = 5 x 5 = 25 cm².
A área então será: p x 25 = 3,14 ´ 25 = 78,5 cm78,5 cm78,5 cm78,5 cm78,5 cm²²²²²² .
Área do círculo = pr²²
2pr
r
base . altura
2
2pr . r
2
= pr²

57
Na figura abaixo, você pode perceber que a área do quadrado que contém
o círculo com o menor desperdício possível é maior que a área do
círculo. Qual é a área desperdiçada?
Se o raio do círculo é 5 cm, seu diâmetro mede 10 cm. O lado do quadrado
é igual ao diâmetro do círculo: 10 cm. Então:
Área do quadrado = l ²² = 10 . 10 = 100 cm²²
Área do círculo = 78,5 cm²² (ver Exemplo 2)
Desperdício = 100 - 78,5 = 21,5 cm²²
SugestãoSugestãoSugestãoSugestãoSugestão: Avalie esse desperdício em termos percentuais.
Área do setor circular
Numa circunferência de centro OOOOO e raio rrrrr denominamos ângulo centralângulo centralângulo centralângulo centralângulo central ao
ângulo cujo vértice está no centro da circunferência e cujos lados cortam a
circunferência.
Um setor circularsetor circularsetor circularsetor circularsetor circular é a região do círculo de centro OOOOO e raio rrrrr delimitada por
um ângulo central.
Para calcular a área de um setor circular temos duas opções.
1.1.1.1.1. Se você sabe em quantas partes iguaispartes iguaispartes iguaispartes iguaispartes iguais um círculo foi dividido, é só
dividir a área do círculo pelo número de partes. Veja o exemplo
seguinte.
5 cm
ângulo central AÔB
A
B
O
r
setor circular
A
B
O

57
2.2.2.2.2. Quando conhecemos o ânguloânguloânguloânguloângulo correspondente ao setor circular, pode-
mos calcular a área de um setor circular usando uma regra de três. Veja
o exemplo seguinte.
Este setor circular corresponde a um
ângulo com abertura de 50º que é um
segmento do ângulo central.
O ângulo central que corresponde a
uma volta completa, ou seja, a todo o
círculo, mede 360º.
Já calculamos a área do círculo de raio 2 cm no Exemplo 4. Usando a
técnica da regra de três (ver Aula 51), temos:
ÁREAÁREAÁREAÁREAÁREA ÂNGULOÂNGULOÂNGULOÂNGULOÂNGULO
CÍRCULOCÍRCULOCÍRCULOCÍRCULOCÍRCULO 12,56 cm² 360º
SETORSETORSETORSETORSETOR x 50º
Ou seja: 12,56 cm² — 360º
x — 50º
Logo:
Área do círculo = 2 partes iguais
Área do setor =
4 partes iguais
Área do setor =
6 partes iguais
Área do setor =
2 cm 2 cm 2 cm
O O O
2 cm
50º
x =
12,56× 50º
360º
= 1,74cm2
O
2 cm
@ 3,14cm²
pr² = p . 2² @
@12,56 cm²
12,56
2
= @6,28 cm² 12,56
4
= 12,56
6
= @ 2,09cm²
.

57
A U L A
R
r
O
Exercícios
30%
Área da coroa circular
Observe a figura ao lado. Denomina-se
cococococoroa circularroa circularroa circularroa circularroa circular à região sombreada, que é obti-
da com dois círculos de mesmo centro OOOOO e raios
diferentes RRRRR e rrrrr.
É muito simples calcular a área de uma
coroa circular, pois, como você percebe na figu-
ra, ela é obtida retirando-se um círculo menor
do círculo maior. Desse modo, sua área é
obtida subtraindo-se a área do círculo menor
da área do círculo maior. Acompanhe o exem-
plo.
Fazendo R = 5 mR = 5 mR = 5 mR = 5 mR = 5 m e r = 3 mr = 3 mr = 3 mr = 3 mr = 3 m, temos:
Área do círculo maior @ 3,14 · 25 = 78,5 m²
Área do círculo menor @ 3,14 · 9 = 28,26 m²
Área da coroa circular @ 78,5 - 28,26 = 50,24 m²50,24 m²50,24 m²50,24 m²50,24 m²
Calcule a área de um círculo:
a)a)a)a)a) cujo raio mede 6 cm;
b)b)b)b)b) cujo diâmetro mede 8 cm.
Se um círculo com raio de 10 m foi dividido em 9 partes iguais, calcule:
a)a)a)a)a) a área de um dos setores circulares assim obtidos;
b)b)b)b)b) a medida do correspondente ângulo central.
Use a regra de três para calcular a área de um setor circular de 150º de
abertura num círculo com 1 m de raio.
No gráfico de setores abaixo, foi utilizado um círculo com 2 cm de raio.
Calcule a área de cada setor.
Resolva como exercício a Sugestão ao final do Exemplo 3.
40%
20%
10%

58
A U L A
Calculando volumes
l Considere um cubo de aresta aaaaa:
Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de aaaaa, de quantos cubos de
aresta aaaaa precisaremos?
l Pegue uma caixa de fósforos e uma caixa de sapatos. Considerando a caixa
de fósforos como unidade de medida, qual o volume da caixa de sapatos?
l Com cartolina, ou algum outro papel encorpado, construa um cubo e uma
pirâmide de base quadrada de tal forma que:
- a base da pirâmide seja um quadrado igual à face do cubo;
- a altura da pirâmide seja igual à medida da aresta do cubo.
Nessas condições, qual a relação entre os volumes da pirâmide e do cubo?
58
A U L A
Para pensar
a
a
a
Esquema do cubo
(sem tampa)
Esquema da pirâmide
de base quadrada
a
a a
a
a

58
A U L ANa Aula 15, estudamos que os objetos têm área, volume e forma. Vimos
também que existem objetos com mesmo volume e formas diferentes.
Nesta aula, estudaremos um pouco mais esse assunto, aprendendo a
calcular o volume de alguns sólidos. Mas, antes, veremos algumas situações
que envolvem a idéia de volume e capacidade:
l areia retirada de um rio l uma garrafa
l entulho retirado de uma obra l uma seringa
l dejetos poluentes despejados l uma caixa d'água
nos rios, lagos ou mares l ar dos nossos pulmões
Medir o volume ou a capacidade de um objeto é saber a quantidade de
espaço que ele ocupa ou de que dispõe para armazenar.
Esta garrafa está cheia. Ela contém
290 mililitros (290 ml) de refrigerante:
VolumeVolumeVolumeVolumeVolume = 290 ml
Isso significa que 290 mlé a quantida-
de de líquido que a garrafa pode
armazenar:
CapacidadeCapacidadeCapacidadeCapacidadeCapacidade = 290 ml
Para encher uma caixa d’água de 2 metros de comprimento por 2 metros
de largura e 1 metro de profundidade, foram necessários 4.000 litros de
água.
VolumeVolumeVolumeVolumeVolume da caixa d’água = 2 m x 2 m x 1 m = 4 m3
CapacidadeCapacidadeCapacidadeCapacidadeCapacidade da caixa d’água = 4.000 litros
Nossa aula
CAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADE DEDEDEDEDEVOLUMEVOLUMEVOLUMEVOLUMEVOLUME DEDEDEDEDE
2 cm
2 cm
1 cm

58
A U L A As unidades de volume e de capacidade são estabelecidas pela seguinte
relação:
11111l = 1.000 cm= 1.000 cm= 1.000 cm= 1.000 cm= 1.000 cm³³³³³³
Isto é, se tivermos um cubo oco com 10 cm de aresta, podemos colocar nesse
cubo, exatamente, 1 litro de líquido (água, suco, leite, óleo etc.).
Outras relações, decorrentes dessa, também são bastante utilizadas:
1 m1 m1 m1 m1 m33333
===== 1.0001.0001.0001.0001.000 l
1 cm1 cm1 cm1 cm1 cm33333
===== 1 m1 m1 m1 m1 ml
As unidades de medida de volume fazem parte do Sistema Decimal de
Medidas. As mais usadas são:
metro cúbico (m3
)
decímetro cúbico (dm3
)
centímetro cúbico (cm3
)
milímetro cúbico (mm3
)
1 m1 m1 m1 m1 m33333
= 1.000 dm= 1.000 dm= 1.000 dm= 1.000 dm= 1.000 dm33333
= 1.000.000 cm= 1.000.000 cm= 1.000.000 cm= 1.000.000 cm= 1.000.000 cm33333
= ...= ...= ...= ...= ...
Desse modo são necessários 1.000.000 de cubinhos de 1 cm de aresta
para formar um cubo de 1 m de aresta.
Volume do paralelepípedo
Paralelepípedo é o nome que a Matemática dá aos objetos que têm a
forma de uma caixa de sapato, de um tijolo etc. Na verdade, a definição de
paralelepípedo é mais geral. Se quisermos ser mais precisos, uma caixa de
sapato é um paralelepípedo reto de base retangular.
Na Aula 15, calculamos o volume do paralelepípedo, multiplicando suas
dimensões (comprimento, largura e altura):
10 cm
10 cm
V = aV = aV = aV = aV = a ..... bbbbb ..... ccccc
2 cm
2 cm
1 cm

58
A U L A
Qual o volume do cubo cuja aresta mede 5 cm? (Lembre-se de que o cubo é
um paralelepípedo cujas dimensões têm a mesma medida).
Imagine que esse cubo seja oco. Quantos litros de água seriam necessários
para enchê-lo até a boca?
Como: 1 l = 1.000 cm3
Então, fazendo uma regra de três, temos:
1 litro = 1.000 cm3
x litros = 125 cm3
x =
1× 125
1.000
= 0,125 litros = 125 mililitros
Podemos colocar 125125125125125 l de água num cubo cujo volume é de 125 cm3
.
Decompondo figuras sólidas
O paralelepípedo pode ser decomposto em duas outras figuras sólidas.
Veja:
V = 5 cmV = 5 cmV = 5 cmV = 5 cmV = 5 cm ..... 5 cm5 cm5 cm5 cm5 cm ..... 5 cm = 125 cm5 cm = 125 cm5 cm = 125 cm5 cm = 125 cm5 cm = 125 cm33333
5 cm
5 cm
5 cm

58
A U L A Cada um dos sólidos que surge pela decomposição deste paralelepípedo
retângulo é um exemplo de prisma. Temos, em nosso caso, dois prismas retosprismas retosprismas retosprismas retosprismas retos
de base triangularde base triangularde base triangularde base triangularde base triangular. Observe que, neste exemplo, a base de cada prisma é um
triângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulo.
O volume do prisma reto de base triangular é metade do volume do
paralelepípedo. Portanto, o volume do prisma reto de base triangular é:
Note que o paralelepípedo também é um prisma reto, porém de base
retangular.
Para obter o volume de um prisma com uma base qualquer multiplicamos
a área da baseárea da baseárea da baseárea da baseárea da base pela alturaalturaalturaalturaaltura. Por exemplo:
Prisma reto de base quadrangular(ou paralelepípedo):
Volume = área da base x altura
V = (a . b) . c
que é o resultado já conhecido para o volume do paralelepípedo.
a
a
b
b
c
c
b
a
V = a . b . cV = a . b . cV = a . b . cV = a . b . cV = a . b . c
V=V=V=V=V=
a . b . ca . b . ca . b . ca . b . ca . b . c
22222

58
A U L AVolume do cilindro
Cilindro é o nome que a Matemática dá aos objetos que têm a forma de
um latão de querosene ou de um cigarro. O cilindro é um sólido geométrico
cujas bases são dois círculos iguais, como na figura:
O volume do cilindro pode ser determinado do mesmo modo que o volume
do prisma reto:
Volume do cilindro = área da base . alturaVolume do cilindro = área da base . alturaVolume do cilindro = área da base . alturaVolume do cilindro = área da base . alturaVolume do cilindro = área da base . altura
Como a base do cilindro é um círculo, temos:
Área da base = área do círculo = pr2
, onde r é o raio do círculo
Então, a área do cilindro pode ser expressa por:
A = ² . aA = ² . aA = ² . aA = ² . aA = ² . a
Determine o volume de um cilindro de 30 centímetros de altura e cuja base
tem 20 centímetros de raio.
V = área da base · alturaV = área da base · alturaV = área da base · alturaV = área da base · alturaV = área da base · altura
Área da base = prrrrr22222
A = p . 202
= 3,14 . 400
A = 1.256 cm2
Volume = 1.256 . 30 = 37.680 cm37.680 cm37.680 cm37.680 cm37.680 cm33333
área do
círculo
da base
altura do
cilindro
{
{
20 cm
30 cm
P rrrrr²

58
A U L A Densidade de um corpo
Na Aula 14, aprendemos que a massamassamassamassamassa de um objeto pode ser dada pelo seu
peso. As unidades de medida de massa são o quilograma (kgkgkgkgkg) e o grama (ggggg).
Podemos definir a densidade de um objeto (ou corpo) como o quociente
entre sua massa e seu volume:
Um método prático para determinar o volume de objetos, por exemplo o
de uma pedra, é o seguinte:
l Pegue um recipiente transparente, cujas medidas sejam fáceis de calcular.
Por exemplo, um copo na forma de um cilindro.
l Encha-o com água e meça a altura que a água atingiu.
No nosso exemplo, o volume de água é:
V = p . 52 . 10 = 3,14 . 25 . 10 = 785 cm3
l Em seguida, mergulhe a pedra na água e meça novamente a altura
atingida.
Volume = p . 52 . 12 = 3,14 . 25 . 12 = 942 cm2
A diferença entre os dois resultados é o volume da pedra:
Volume da pedra = 942 - 785 = 157 cm157 cm157 cm157 cm157 cm33333
.
Densidade =
massa
volume
10 cm
10 cm
12 cm

58
De quantos cubinhos iguais a A precisamos para montar um cubo igual a B?
Quantos litros de óleo cabem no galão abaixo?
O que significa m3
?
Qual o volume de um bolo cuja altura é 5 cm e cujo diâmetro é 60 cm?
Quantos litros de leite cabem em um galão cilíndrico de 20 cm de diâmetro
e 60 cm de altura?
Meça as arestas e calcule o volume de uma caixa de pasta de dentes.
Calcule a capacidade, em metros cúbicos, de uma caixa que possa conter o
fogão de sua casa.
Calcule o volume de duas latas de óleo com formatos diferentes.
Exercícios
A B
50 cm
20 cm
20 cm

59
A U L A
59
A U L A
Escreva os números que são pedidos:
l os números naturais menores que 5;
l os números inteiros maiores que - 2 e menores que 1;
l os números naturais que são soluções da equação x + 3 = 2;
l os números inteiros que são soluções da equação 5x + 4 = 1;
l um número racional que seja maior que zero e menor que 1.
Vários tipos de número já foram estudados neste curso, mas seus nomes
não são conhecidos ainda. Vamos, então, organizar os diferentes tipos de
número que já conhecemos com seus respectivos nomes.
O primeiro contato que temos com os números é pela contagem, quando
surgem, de maneira natural, os números 1, 2, 3, 4 etc. Mais tarde, quando
estudamos nosso sistema de numeração, aparece o 0 (zero). Ele é usado para indicar
a ausência de unidades numa determinada ordem de um número.
Chamamos de números naturaisnúmeros naturaisnúmeros naturaisnúmeros naturaisnúmeros naturais os números 0, 1, 2, 3, 4 ...
Considere as chamadas operações elementaresoperações elementaresoperações elementaresoperações elementaresoperações elementares (adição, subtração, multi-
plicação e divisão) com números naturais. Quais dessas operações têm sempre
como resultado um número natural? Isso é o mesmo que perguntar:
l A soma de dois números naturais é sempre um número natural?
l A diferença de dois números naturais é sempre um número natural?
l O produto de dois números naturais é sempre um número natural?
l O quociente de dois números naturais é sempre um número natural?
Nas aulas anteriores verificamos que:
A soma e o produto dA soma e o produto dA soma e o produto dA soma e o produto dA soma e o produto de dois números naturais são sempree dois números naturais são sempree dois números naturais são sempree dois números naturais são sempree dois números naturais são sempre
números naturais.números naturais.números naturais.números naturais.números naturais.
A diferença de doisA diferença de doisA diferença de doisA diferença de doisA diferença de doisnúmeros naturais só é um número naturalnúmeros naturais só é um número naturalnúmeros naturais só é um número naturalnúmeros naturais só é um número naturalnúmeros naturais só é um número natural
quando o primeiro é maior ou igualquando o primeiro é maior ou igualquando o primeiro é maior ou igualquando o primeiro é maior ou igualquando o primeiro é maior ou igual ao segundo.ao segundo.ao segundo.ao segundo.ao segundo.
Por exemplo:Por exemplo:Por exemplo:Por exemplo:Por exemplo: 77777 - 3 = 43 = 43 = 43 = 43 = 4 é um número natural.é um número natural.é um número natural.é um número natural.é um número natural.
Organizando os
números
Vamos pensar
Nossa aula

59
A U L AQuando queremos fazer uma subtração em que o primeiro número é
menor que o segundo, precisamos usar os números negativosnúmeros negativosnúmeros negativosnúmeros negativosnúmeros negativos, que não são
números naturais:
44444 - 7 =7 =7 =7 =7 = - 3 não é um número natural3 não é um número natural3 não é um número natural3 não é um número natural3 não é um número natural
Vemos, assim, surgir um novo conjunto de números, formado pelos núme-
ros naturais mais os números negativos: os números inteirosnúmeros inteirosnúmeros inteirosnúmeros inteirosnúmeros inteiros.
São,portanto,númerosinteiros osnúmeros ...-3, -2,-1,0,1,2,3... epodem
ser representados numa reta numérica da seguinte maneira:
Observamos que:
l os números negativos estão à esquerda do zero, portanto todo número
negativo é menor que zero;
l os números positivos estão à direita do zero, portanto todo número positivo
é maior que zero;
l os números negativos estão à esquerda dos números positivos, logo todo
número negativo é menor que qualquer número positivo;
l um número é sempre menor que o número que está à sua direita.
Exemplos: - 3 < 0 (- 3 é menor que zero)
- 1 < 1 (- 1 é menor que 1)
- 3 < - 1 (- 3 é menor que - 1)
2 > - 1 ( 2 é maior que - 1)
0 > - 7 ( zero é maior que - 7)
Voltando às operações, também já sabemos que:
Na divisão de dois números naturais, o quociente só será umNa divisão de dois números naturais, o quociente só será umNa divisão de dois números naturais, o quociente só será umNa divisão de dois números naturais, o quociente só será umNa divisão de dois números naturais, o quociente só será um
númeronaturalquandooprimeironúmero(odividendo)fornúmeronaturalquandooprimeironúmero(odividendo)fornúmeronaturalquandooprimeironúmero(odividendo)fornúmeronaturalquandooprimeironúmero(odividendo)fornúmeronaturalquandooprimeironúmero(odividendo)for
múltiplodosegundo(odivisor).múltiplodosegundo(odivisor).múltiplodosegundo(odivisor).múltiplodosegundo(odivisor).múltiplodosegundo(odivisor).
Assim:Assim:Assim:Assim:Assim: 1616161616 ¸ 4 = 44 = 44 = 44 = 44 = 4 é um número natural.é um número natural.é um número natural.é um número natural.é um número natural.
Quando isso não acontece, usamos outros números para indicar o
quociente.
Exemplos: 5 ¸ 2 = 2,5 ou
5
2
1 ¸ 3 = 0,333 ou
1
3
-1 0 1 2 3 4 5-2-3-4

59
A U L A Todos esses números - frações, decimais exatos, dízimas periódicas e os
inteiros - formam um conjunto chamado conjunto dos números racionaisconjunto dos números racionaisconjunto dos números racionaisconjunto dos números racionaisconjunto dos números racionais.
Portanto, este conjunto é uma ampliação do conjunto dos números inteiros.
Qualquer número racional pode ser representado por um ponto na reta
numérica.
Exemplo: assinale na reta numérica um número racional entre 0 e 1:
Serápossívelmarcarnaretaoutronúmeroracionalentre0e1diferentede0,5?
Entre 0 e 0,5, dividindo ao meio o segmento, podemos marcar o número0,25.
E agora, será que ainda podemos marcar outro número racional entre 0 e 0,25?
O mesmo processo pode ser repetido: dividindo o novo segmento ao meio,
marcaremos o número 0,125.
Continuando sempre o mesmo raciocínio, podemos imaginar que entre dois
números racionais existem infinitos outros números racionais. Daí a impossibi-
lidade de escrever todostodostodostodostodos eles.
Para ter uma idéia mais clara dos conjuntos numéricos, é interessante
representá-los por diagramas, que são representações gráficas de conjuntos por
meio de uma curva fechada. Podemos escrever os elementos do conjunto dentro
do diagrama ou apenas o nome do conjunto junto à curva.
Veja quais são as letras usadas para dar nomes aos conjuntos numéricos:
: conjunto dos números naturais;
: conjunto dos números inteiros;
: conjunto dos números racionais.
E o diagrama fica assim:
-1 0 1 2 3 4 5-2-3-4
0,5
Z
Z

59
Escreva os números naturais múltiplos de 3 e maiores que 5.
Escreva os números inteiros menores que 1.
Escreva os números racionais que são a solução da equação: 5x + 1 = 10.
Escreva um número racional maior que 2.
Escreva ao lado de cada sentença V se ela for verdadeira ou F se ela for falsa:
a)a)a)a)a) ( ) - 6 é um número inteiro, logo é racional.
b)b)b)b)b) ( ) 2,516 é um número decimal exato, logo é racional.
c)c)c)c)c) ( ) 0,494949... é um número racional.
d)d)d)d)d) ( ) - 5 é um número natural.
Escreva estes números racionais na forma de fração:
a)a)a)a)a) 3
b)b)b)b)b) 2,5
c)c)c)c)c) 0,555...
d)d)d)d)d) 0
Dê exemplos de dois números racionais maiores que - 1,4.
Assinale na reta numérica os números:
1
3
; - 2 ; 1,5 ; -
1
4
.
Exercícios

60
A U L A
A reta e os
números reais
Preencha os espaços abaixo com números
da seguinte lista:
4,24,24,24,24,2 - 55555 - 3,1 0,555... 03,1 0,555... 03,1 0,555... 03,1 0,555... 03,1 0,555... 0 11
l números inteiros não naturais: ...........................................................................
l números racionais não inteiros: ..........................................................................
l números reais não racionais: ...............................................................................
l números reais não irracionais: ............................................................................
Vimos, na Aula 59, que os números racionais podem ser: frações, inteiros,
decimais exatos e dízimas periódicas. Observe estes dois números:
0,250,250,250,250,25 e 0,252525...0,252525...0,252525...0,252525...0,252525...
O primeiro tem duas casas decimais, portanto um número finitonúmero finitonúmero finitonúmero finitonúmero finito de casas
decimais. Por isso, é chamado de decimal exatodecimal exatodecimal exatodecimal exatodecimal exato.
O segundo tem um número infinitonúmero infinitonúmero infinitonúmero infinitonúmero infinito de casas decimais com um período que
se repete (25). Esse número é conhecido como dízima periódicadízima periódicadízima periódicadízima periódicadízima periódica.
Vejamos o que acontece com o número decimal:
0,010110111...0,010110111...0,010110111...0,010110111...0,010110111...
Ele tem uma infinidade de casas decimais que não se repetem, portanto, não
é decimal periódico.
Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número.Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número.Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número.Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número.Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número.
Após a vírgula, a 1ª casa decimal é o zero, seguido do número 1; depois
outro zero, seguido duas vezes do número 1, e assim por diante. Logo, os
próximos algarismos serão o zero e depois quatro vezes o número 1. Esse
número não é racional. Ele é um exemplo de número irracional.número irracional.número irracional.número irracional.número irracional.
Para pensar
Nossa aula
A U L A
60

60
A U L A
2 1 414213
3 1 73205
5 2 23606...
=
=
=
, ...
, ...
,
Outro exemplo de número irracional, bastante conhecido e muito
importante em Matemática, especialmente usado em geometria, é o
número p ===== 3,141592...3,141592...3,141592...3,141592...3,141592...
Ao estudar a operação de radiciação (Aula 54), e particularmente a raiz
quadrada, vimos que nem todo número natural tem raiz quadrada natural.
Os números naturais 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100, são chamados
quadrados perfeitosquadrados perfeitosquadrados perfeitosquadrados perfeitosquadrados perfeitos. As raízes quadradas desses números são também núme-
ros naturais:
Os outros números naturais, diferentes dos números quadrados perfeitos,
têm como raízes quadradas números irracionais. Outras raízes, com índices
diferentes de 2 e que não são números naturais, também são números irracio-
nais. Por exemplo:
3
4 4
5 3
100
Ao fazer o cálculo das raízes abaixo, numa calculadora, encontramos os
seguintes resultados:
Os pontos que aparecem no final do número não aparecem no visor da
máquina de calcular. Eles indicam que as casas decimais continuariam a
aparecer se a máquina fosse maior e comportasse mais algarismos.
Vimos também que podemos assinalar todos os números racionais na reta
numérica, associando a cada número um ponto da reta bem determinado.
Podemos fazer o mesmo com os números irracionais?
Vejamos a representação de 2 na reta numérica, com auxílio de uma
construção geométrica. Vamos construir um triângulo retângulo isósceles de
catetos iguais a 1 sobre a reta numérica:
Calculamos a medida da hipotenusa aplicando o Teorema de Pitágoras:
x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
x = 2
16 =4
25 =5
36 =6
0 =0
1=1
4 =2
9 =3
49 =7
64 =8
81=9
100 =10
-2 -1 0 1 2 31
x 1

60
A U L A Para marcar na reta a medida da hipotenusa, que é 2 , posicionamos em O
a ponta sem grafite (ponta seca) de um compasso, com abertura igual ao
tamanho da hipotenusa. Descrevendo um arco com o compasso, encontramos
o ponto na reta que corresponde a 2 :
Na prática, localizamos uma raiz quadrada na reta quando conhecemos um
valor aproximado da raiz. Por exemplo: localize o número 5 na reta numérica.
Vejamos quais são os números quadrados perfeitos mais próximos de 5:
5 está entre 4 e 9 = 4 < 5 < 9
está entre e = 4 < 5< 9
está entre 2 e 3 = 2 < < 3
Assim, podemos assinalar a 5 entre os números 2 e 3 :
Procurando o valor de 5 por tentativa, teremos uma localização mais
exata. Sabendo que 5 está entre 2 e 3, podemos escrever que 5 = 2 ,...
Experimentamos então alguns números, por exemplo:
2,1 = (2,1)² = 4,41, que é um valor ainda distante de 5;
2,2 = (2,2)² = 4,84, que é bem próximo de 5.
Então, podemos representar 5 na reta com uma localização razoável, ou
seja, próxima do valor exato do número:
-2 -1 0 1 2 31
x 1
2
5
5
4 9
5
-2 -1 0 1 2 35
-2 -1 0 1 2 3
5

60
A U L ASabendo que é possível representar na reta os números racionais e os
irracionais, podemos chamá-la reta realreta realreta realreta realreta real.O conjunto dos números reaisconjunto dos números reaisconjunto dos números reaisconjunto dos números reaisconjunto dos números reais ( ),que
é a reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números
irracionais. Veja o diagrama abaixo:
O diagrama mostra a relação entre os diversos conjuntos: todo número
natural é inteiro; todo número inteiro é racional; todo número racional é real,
assim como, todo número irracional é também real. Inversamente, todo ponto
de reta real representa um número, que pode ser racional ou irracional
Assinale na reta numérica os seguintes números reais:
- 2,5 0,75 2 p - 0,666...
Assinale V se a afirmação for verdadeira ou F se for falsa:
a)a)a)a)a) ( )
1
3
é um número real menor que 1.
b)b)b)b)b) ( ) 10 é um número real menor que 3.
c)c)c)c)c) ( ) 2,151617... é um número racional.
d)d)d)d)d) ( ) - 5 é um número inteiro, logo é um número real.
e)e)e)e)e) ( ) p não é um número real.
f)f)f)f)f) ( ) 3 é um número real
g)g)g)g)g) ( ) 3é um número racional.
a)a)a)a)a) Qual o menor número inteiro maior que 3
4
b)b)b)b)b) Qual o maior número inteiro menor que -
1
4
Dê exemplo de:
a)a)a)a)a) dois números inteiros maiores que -
1
4
b)b)b)b)b) dois números racionais que estão entre - 1 e 0.
Exercícios
Z

Aula 41 ----- Triângulo
Parapensar:
Na figura, existem 46 triângulos.
Exercícios:
1.
a) retângulo; isósceles
b) acutângulo; equilátero
c) obtusângulo; escaleno
d) obtusângulo; isósceles
e) retângulo; escaleno
f) acutângulo; escaleno
2.
a) escaleno
b) isósceles
c) equilátero
3.
a) retângulo
b) obtusângulo
c) acutângulo
4.
a) 85º
b) 92º
c) 40º
5. 60º
6. 80º
Gabarito das aulas
41 a 60

7. 35º
8.
a) 140º
b) Medindo com o transferidor ou observando que:
a + 40º = 180º
a = 180º - 40º = 140º
c) Sua medida é a soma dos dois ângulos internos opostos:
a = 90º + 50º
a = 140º
9.
a) a = 80º
b) a = 120º
10.
a) Sim.
b) Sim.
c) Não.
d) Não.
Aula 42 ----- O quadrado e outros quadriláteros
1.
a) paralelogramo
b) trapézio
c) retângulo (o quadrado é um retângulo)
d) retângulo (o quadrado é um retângulo)
2.
a) Lados iguais; tamanhos diferentes.
b) 1 par de lados paralelos; trapézio retângulo - trapézio isósceles.
c) 4 ângulos iguais; 4 lados iguais - lados opostos iguais dois a dois.
d) 2 pares de ângulos opostos iguais; lados opostos iguais - 4 lados iguais.
e) 4 lados iguais; 4 ângulos iguais - ângulos iguais 2 a 2.
3.
a) losango
b) retângulo
c) trapézio retângulo
d) paralelogramo ou losango
4. a) 14 quadrados b) 30 quadrados
5. Resposta pessoal.
6. 45º, 135º e 135º.

Aula 43 ----- Polígonos e mosaicos
1. Várias respostas.
2. Primeiro: 60º, 150º, 90º, 90º e 150º.
Segundo: 60º, 60º, 120º e 120º.
3. Não, pois apesar de ter os 4 lados iguais, seus ângulos não são iguais.
4.
a) 6
b) Sim.
c) 6 . 180º = 1.080º
5.
3 0 1 180º
4 1 2 360º
5 2 3 540º
6 3 4 720º
7 4 5 900º
8 5 6 1.080º
9 6 7 1.260º
10 7 8 1.440º
6. Sim. A diferença entre o número de lados do polígono e o número de
triângulos formados é constante e igual a 2.
7.
a) n - 2 (n = nº de lados)
b) (n - 2) · 180º
Aula 44 ----- A linguagem matemática
1.
a) 2x
b) 3x
c) y - 7
d)
a
2
+1

2.
a) x . y = y . x
b) a + b = b + a
3.
a) 2x + 2y = 20
b) se x = 4, y = 6 ;
se x = 2, y = 8; etc.
4. x
2
Aula 45 ----- O círculo e o número p
Exercícios:
1. Mantendo 5 cm de distância entre as pernas do compasso, centre a ponta
metálica e gire.
2. Se o diâmetro é de 10 cm, o raio terá 5 cm e essa circunferência será do mesmo
tamanho que a do Exercício 1.
3. A de 6 cm de raio tem o comprimento maior.
4. 2 . 26 . 3,14 = 163,28 cm
5. 62,8 ¸3,14 = 20 cm
6.
1 2 6,28
2,5 5 15,7
3 6 18,84
7. 18,84 ¸2 = 9,42 m
8. 18,84 ¸4 = 4,71 m
9. Essa corda é o diâmetro e mede 2 cm.

10. Várias soluções possíveis, como a que está na figura:
Aula 46 ----- Novamente frações
Parapensar:
Para fazer duas paradas, é preciso dividir a distância entre as cidades (220 km)
em 3 etapas: 220 ¸ 3 = 73,333...
1ªparada 2ªparada
|________________|_______________|_________________|
Exercícios:
1.
a) 0,13
b) 0,35
c) 6,222 ...
d) 4,26666...
2.
a) 0,111 ...
b) 0,222 ...
c) 0,333 ...
3.
a) 0,444 ...
b) 0,555 ...
c) 0,666 ...
4.
a) decimal finita
b) decimal finita
c) decimal infinita periódica
d) decimal infinita não periódica
e) decimal infinita periódica
f) decimal infinita não periódica
146,6 km73,3 km0 km 220 km

5.
a) racional
b) racional
c) racional
d) irracional
e) racional
f) racional
Aula 47 -----Números proporcionais
Parapensar:
1
200.000
=
x
40.000.000
® x = 200 cm
Exercícios:
1.
a) A B RAZÃO
A
B
b) 18 21
18
21
6
7
c) 30 35
30
35
6
7
d) 85,71 100
85,71
100
6
7
e) 100 116,6 ...
100
116,66
6
7
2.
a) 12
30
b) 18
30
c) 12
18

3.
a) x = 15
b) x = 42
c) x = 15
d) x = 5,33...
4. 40 cm
5. 4
3,50
=
12
x
4x = 42
x = 42 ¸ 4
x = R$ 10,50
Aula 48 ----- O Teorema de Tales
Parapensar:
l 3,34 m.
l 11,7 kg .
l Sim.
Exercícios:
1.
a) 2,8
b) 3,2
2. x = 36 m; y = 54 m
3. 20 m
4.
alturadocoqueiro
sombradocoqueiro
=
alturadapessoa
sombradapessoa
Aula 49 ----- Figuras semelhantes
1. Um quarto mede 3 m por 4 m e o outro mede 3 m por 3,40 m.
2. 100 cm · 100.000 = 10.000.000 cm = 100 km
3. 204 cm ¸12 = 17 cm
4. 1,5 ¸30 = 0,05 m2

Aula 50 ----- Proporção inversa
Parapensar:
l Levará 3 horas.
l São grandezas inversamente proporcionais.
Exercícios:
1.
a) Sim, k = 40.
b) Não.
c) Sim, k = 80.
2. 20 dias.
3. 1h30min
4. 6h40min aproximadamente
Aula 51 ----- Regra de três
Para pensar: 51 dias.
1. 40 min
2. 24 operários
3. 20 m
4. 300 peças
5. 37,5 l
6. 45%
7. R$ 200,00
8. R$ 1.200,00
Aula 52 ----- Introdução à álgebra
Parapensar:
l 3 kg
l 2 kg
l Daqui a 24 anos, quando André tiver 32 anos e sua mãe 64 anos.

Exercícios:
1. 674 e 675
2.
a) x = 3
b) x = 5
c) x = 14
3.
a) 2 (x + 1) + 4x = 3,20
b) R$ 1,20
c) 20 centavos
4. 12
Aula 53 ----- Calculando áreas
Parapensar:
l A área.
l As áreas são iguais .
l 10.000.
Exercícios:
1.
a) 6,375 cm2
b) 2,625 cm2
c) 6,75 cm2
3. Aproximadamente 553,5 cm2
.
5. Aproximadamente 2.000 azulejos.
6. Os 4 triângulos têm áreas iguais, apesar de terem formatos diferentes.
Todos têm a mesma base e a mesma altura.
7. 14 cm2
8. 0,24 cm2
9. 93 + 145 = 119, aproximadamente 119 u.
2

Aula 54 ----- Potências e raízes
Parapensar:
a) 5² fichas brancas
b) 5³ fichas pretas
c) 54
fichas verdes
Exercícios:
1.
a) 13² = 169
b) 4³ = 64
2.
a) l l l
l l l
l l l
b) impossível
c) l l l l
l l l l
l l l l
l l l l
3.
a) 8
b) 1
c) 1
d) 0
e) 1.000... ( 10 zeros)
4.
a) 7
b) 8
c) 1
d) 10
e) 6
5.
a) 2
b) 1
c) 10
d) 4
e) 0

Aula 55 ----- O Teorema de Pitágoras
Parapensar:
l Sim, porque os três triângulos têm os ângulos com a mesma medida.
l Sim.
Exercícios:
1.
a) Sim: 10² = 8² + 6².
b) Não, porque 20² ¹ 9² + 7².
c) Não, porque 6² ¹ 5² + 4².
d) Sim: 13² = 12² + 5²
2. A área do triângulo desenhado sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas
dos triângulos desenhados sobre os catetos. Observe que esse exemplo é
uma extensão do Teorema de Pitágoras.
3. a = 8
b = 8,50
x = 3,76
y = 19,26
Observação: Os valores decimais foram considerados até os centésimos,
desprezando-se os demais.
Aula 56 ----- Aplicação do Teorema de Pitágoras
Para pensar: 4 metros
Exercícios:
1. Sim: 13² = 12² + 5²
169 = 144 + 25
2.
a) 84
b) 50
3. x = 15 cm
4. 2.025 = 45m
5. d = 72 cm
6. 20 cm

Aula 57 ----- A área do círculo
Parapensar:
Foi pintada metade da área da roda.
Exercícios:
1.
a) 113,04 cm²
b) 50,24 cm²
2.
a) 34,89 m²
b) 40º
3. 1,31 m²
4. 10% = 1,256 cm²
20% = 2,512 cm²
30% = 3,768 cm²
40% = 5,024 cm²
5. 21,5% da área do quadrado.
Aula 58 ----- Calculando volumes
Parapensar:
l 8
l Resposta pessoal.
l Volume da pirâmide =
1
3
do volume do cubo.
Exercícios:
1. 64 cubinhos
2. 20.000 cm3
= 20 litros
4. 14.137 cm3
5. 18,84 litros

Aula 59 ----- Organizando os números
Parapensar:
a) 0, 1, 2, 3, 4
b) -1, 0
c) Não tem.
d) Não tem.
e) 0,5 (há uma infininidade de outras soluções).
Exercícios:
1. 6, 9, 12, 15 ...
2. 0, -1, -2, -3 ...
3.
9
5
ou 1,8
4. Existe uma infinidade. Exemplos: 2,1; 2,2; 3,5; 4.
5.
a) V
b) V
c) V
d) F
6.
a) 3
1
ou 6
2
ou 12
4
, .....
b) 25
10
=
5
2
c) 5
9
d) 0
1
Observação: Todos os itens do Exercício 6 têm outras soluções.
7. 1,3; 0; 2,3; etc.
8.
- 2 - 1 0 1 2
-
1
4
1
3
1,5

Aula 60 ----- A reta e os números reais
Parapensar:
a) -5
b) 4,2; - 3,1; 0,555...
c) 11
d) 4,2; -5; -3,1; 0,555...; 0
Exercícios:
1.
2.
a) V
b) F
c) F
d) V
e) F
f) V
g) F
3.
a) 1
b) -1
4.
a) 0 e 1 (há uma infinidade de outras respostas)
b) -0,25 e -0,5 (há uma infinidade de outras respostas)
-1 0 1 2 3 4 5-2-3-4
-2,5 -0,666... 0,75 2 π

61
A U L A
61
A U L A
Assim como já vimos em muitas de nossas
aulas, a Matemática é uma ciência que está sempre presente em nosso dia-a-
dia.
Na aula de hoje, recordaremos algumas propriedades das operações com
números naturais de grande utilidade para a resolução de problemas que
necessitam de um cálculo mais rápido, ou seja, o cálculo mental.
Estudaremos também as expressões numéricas, suas regras e seus sinais
de pontuação.
Observe a seguinte situação:
Fazendo compras num “shopping”, uma pessoa resolveu somar mental-
mente seus gastos. Qual a melhor maneira de fazer esse cálculo, para a seguinte
soma: R$ 18,00 + R$ 40,00 + R$ 32,00?
18 + 40 + 32 =
= 40 + 18 + 32 = Trocar a ordem das duas parcelas.
= 40 + (18 + 32) =
= 40 + 50 = 9090909090 Associar as duas últimas parcelas e somar.
As etapas seguidas para esse tipo de cálculo foram baseadas, intuitivamen-
te, nas propriedades da adição: propriedade comutativa (comutar = trocar) e
associativa (associar = juntar).
Na 1ª propriedade, vimos que é possível trocar a ordem das parcelas sem
alterar o resultado.
“A ordem das parcelas não altera a soma”.“A ordem das parcelas não altera a soma”.“A ordem das parcelas não altera a soma”.“A ordem das parcelas não altera a soma”.“A ordem das parcelas não altera a soma”.
Na 2ª propriedade, vimos que a associação de parcelas pode ser feita de
maneiras diferentes, sem que o resultado seja alterado.
Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição,Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição,Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição,Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição,Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição,
sem que o resultado seja alterado.sem que o resultado seja alterado.sem que o resultado seja alterado.sem que o resultado seja alterado.sem que o resultado seja alterado.
Revendo as operações
Introdução
Nossa aula

61
A U L AVeja como poderia ser feita, de outra maneira, a adição do exemplo
anterior:
18 + 40 + 32 =
= (18 + 40) + 32 = Somar as duas primeiras parcelas.
= 58 + 30 + 2 = Decompor a última parcela.
= (58 + 2) + 30 = Trocar a ordem das duas parcelas
= 60 + 30 = Associar as duas primeiras parcelas
= 9090909090 e somar.
Será que na multiplicação podemos aplicar as mesmas propriedades da
adição? Veja os exemplos:
Calcule a área de um terreno retangular de 15 m de largura x 20 m de
comprimento.
Multiplicando as dimensões do terreno, temos:
Área do retângulo: 20 x 15 = 300 m²²
ou 15 x 20 = 300 m²²
Logo, concluímos que a propriedade comutativa também é válida para
a multiplicação, portanto:
A ordem dos fatores não altera o produto.A ordem dos fatores não altera o produto.A ordem dos fatores não altera o produto.A ordem dos fatores não altera o produto.A ordem dos fatores não altera o produto.
Em relação à propriedade associativa, podemos concluir o mesmo resulta-
do, ou seja:
A associação de dois fatores de uma multiplicação,A associação de dois fatores de uma multiplicação,A associação de dois fatores de uma multiplicação,A associação de dois fatores de uma multiplicação,A associação de dois fatores de uma multiplicação,
de diferentes maneiras, não altera o produto.de diferentes maneiras, não altera o produto.de diferentes maneiras, não altera o produto.de diferentes maneiras, não altera o produto.de diferentes maneiras, não altera o produto.
No exemplo a seguir, aplicaremos a propriedade associativa para facilitar o
cálculo mental:
237 x 25 x 4 =
= 237 x (25 x 4) =
= 237 x 100 =
= 23.70023.70023.70023.70023.700
Agora, veremos uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição
ou a multiplicação e a subtração. Observe:

61
Calcule o perímetro de um terreno retangular de 15 m de largura x 20 m
de comprimento.
Como o perímetro é a soma dos lados do terreno, esse cálculo pode ser
feito de duas maneiras diferentes:
l Multiplicando as dimensões do terreno por 2 e somando o resultado:
Perímetro = 2 x 15 + 2 x 20 = 30 + 40 = 70 m70 m70 m70 m70 m
l Somando as duas dimensões e multiplicando o resultado por 2:
Perímetro = 2 x (15 + 20) = 2 x 35 = 70 m70 m70 m70 m70 m
Observe que, nos dois casos, o resultado é o mesmo.
Então, podemos concluir que:
2 x (15 + 20) = 2 x 15 + 2 x 20
Nesse caso, utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação em
relação à adição.
Essa propriedade também é válida quando relacionada à subtração,
podendo ser aplicada ao cálculo mental. Por exemplo:
Multiplique 18 por 99, sem efetuar a conta de multiplicação:
18 x 99 = 18 x (100 - 1) = 1.800 - 18 = 17821782178217821782
Além das propriedades das operações que vimos até aqui, é preciso
conhecer as regras adequadas para a resolução de expressões numéricas.
Expressão numérica é uma seqüência de númerosExpressão numérica é uma seqüência de númerosExpressão numérica é uma seqüência de númerosExpressão numérica é uma seqüência de númerosExpressão numérica é uma seqüência de números
que seguem determinadas operações.que seguem determinadas operações.que seguem determinadas operações.que seguem determinadas operações.que seguem determinadas operações.
Veja os exemplos:
Calcular o valor da expressão: 15 + 12 - 10
Esse exemplo envolve duas operações - a adição e a subtração - que devem
ser efetuadas na ordem em que aparecem:
15 + 12 - 10 = 27 - 10 = 17
Veja os exemplos:
Calcular o valor da expressão: 98 - 12 . 3 + 36 : 3
Essa expressão apresenta as quatro operações: adição, subtração, multipli-
cação e divisão. Inicialmente, devemos efetuar as multiplicações e divisões, na
ordem em que aparecem. Em seguida, efetuamos as adições e subtrações,
também na ordem em que ocorrem:
98 - 12 . 3 + 36 : 3 =
= 98 - 36 + 12 =
= 62 + 12 = 7474747474

61
A U L ASe tentarmos calcular essa expressão de outra maneira, o resultado poderá
ser diferente. Nesse caso, é preciso estabelecer uma determinada ordem para
calcular a expressão.
Para que isso aconteça, é preciso obedecer aos sinais de pontuação. Um dos
sinais mais utilizados é chamado de parênteses ( ). Ao encontrá-lo em uma
expressão, devemos efetuar as operações que estão dentro dele e, em seguida,
continuar resolvendo as outras.
Além dos parênteses, temos também os colchetes [ ] e as chaves { }, que
podem aparecer em algumas expressões. Assim, após resolvermos as opera-
ções que estão entre os parênteses, devemos resolver as que estão entre os
colchetes e, em último lugar, as que estão entre chaves.
Observe as expressões abaixo:
1)1)1)1)1) 5 + (12 + 3) : 3 =
= 5 + 15 : 3 =
= 5 + 5 = 1010101010
Efetua-se a operação entre parênteses. Efetua-se a divisão e, em seguida,
a adição.
2)2)2)2)2) [(11 + 12) . 3 - 9] : 15 =
= [23 . 3 - 9] : 15 =
= [69 - 9] : 15 =
= 60 : 15 =
= 44444
Efetua-se a operação entre parênteses. Efetuam-se as operações entre
colchetes, de acordo com a ordem estabelecida. Calcula-se o valor da expres-
são.
3)3)3)3)3) {15 - [2 . (9 - 12 : 4)]} : 3 =
= {15 - [ 2 . (9 - 3)]} : 3 =
= {15 - [2 . 6]} : 3 =
= { 15 - 12} : 3 =
= 3 : 3 =
= 11111
Efetuam-se as operações entre parênteses, de acordo com a ordem
estabelecida. Efetua-se a operação entre colchetes. Efetua-se a operação entre
chaves. Determina-se o valor da expressão.
Em caso de ocorrerem expressões numéricas que apresentem operações de
potenciação e radiciação, ou apenas uma delas, estas deverão ser efetuadas antes
da multiplicação e da divisão. Veja:
(5
2
- 6 x 2
2
) x 3 =
= (25 - 6 x 4) x 3 =
= (25 - 24) x 3 =
= 1 x 3 =
= 33333
Efetuam-se as potenciações. Efetuam-se as operações entre parênteses,
na ordem estabelecida. Calcula-se o valor da expressão.

61
A U L A Para calcular uma expressão numérica, devemos seguir a seguinte regra
sobre a ordem das operações:
11111º))))) Efetuam-se as potenciações e radiciações na ordem em que aparecem.
22222º))))) Efetuam-se as multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem.
33333º))))) Efetuam-se as adições e subtrações, na ordem em que aparecem.
Se houver sinais de pontuação, efetuam-se primeiro as operações entre
parênteses ( ), depois as entre colchetes [ ] e, por último, as que estão entre
chaves { }.
De acordo com a sentença abaixo, escreva uma expressão e determine o
seu valor:
“Somei 127 com 356 e subtraí o resultado de 1000.”
Demonstre a maneira mais simples para calcular, mentalmente, o resultado
das operações:
300 + 895 + 700 =
Na expressão 180 - 40 : 5 - 6, acrescente parênteses de maneira
a encontrar resultados diferentes, conforme a posição em que forem
colocados.
Coloque parênteses nas expressões, de modo a obter os resultados
indicados:
a)a)a)a)a) 72 + 60 : 12 - 8 = 87
b)b)b)b)b) 10 - 2 . 3 + 1 = 25
Calcule o valor da expressão: 123 - [30 - (5 . 4 - 2) : 6]
Resumindo
Exercícios

62
A U L A
Expressões algébricas
Na aula anterior, vimos que expressão nu-
mérica é aquela que apresenta uma seqüência de operações e de números.
Também já sabemos que as letras são usadas em Matemática para
representar números desconhecidos ou para generalizar propriedades e fórmu-
las da Geometria, por exemplo.
As expressões que apresentam letras, além de operações e números são
chamadas expressões algébricas e as letras são as variáveis.
Todo número natural multiplicado por 1 é igual a ele mesmo.
Em linguagem matemática, essa propriedade pode ser escrita da seguinte
maneira: x . 1 = x
Onde x representa um número natural qualquer.
Veja o exemplo:
Uma pessoa ganha R$ 20,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa
pessoa ganhará, após alguns dias de trabalho, podemos escrever a expressão
algébrica: 20 . x
Onde x representa o número de dias trabalhados.
Se a pessoa trabalhar dois dias, receberá R$ 20,00 x 2 = R$ 40,00
Se a pessoa trabalhar dez dias, receberá R$ 20,00 x 10 = R$ 200,00
Portanto, a expressão algébrica nos permite calcular o ganho dessa pessoa,
por meio da multiplicação da variável x pelo número de dias trabalhados.
A expressão algébrica da área de um quadrado de x cm de lado é
determinada elevando-se a medida do seu lado ao quadrado. Veja:
Área: x²
Introdução
Nossa aula
62
A U L A

62
A U L A Assim, podemos determinar a área de qualquer quadrado por meio da
substituição da variável x pela medida do lado do quadrado.
Observações:
1º) Nas expressões algébricas não é usual se escrever o sinal de multiplica-
ção, veja:
2 . x se escreve 2x
a . b se escreve ab
2º) Podemos ter expressões algébricas com mais de uma variável ou ainda
sem variável:
2xy _ expressão com duas variáveis: x e y
5a²²bc³³ _ expressão com três variáveis: a, b e c
25 _ expressão sem variável.
Valor numérico
Quando substituímos as variáveis de uma expressão por números e
efetuamos as operações indicadas, o resultado encontrado é o valor numérico
da expressão.
O valor numérico da expressão 5x + 4 para x = 2, por exemplo, é:
5 x 2 + 4 = 10 + 4 = 14
Sabendo que a expressão ab representa a área de um retângulo, responda:
qual a área da figura para as dimensões a = 2,5 cm e b = 4 cm.
O valor numérico de ab é :
2,5 x 4 = 10
Logo, a área do retângulo é 10 cm²
As expressões algébricas que não apresentam adições e subtrações entre
os números e as variáveis, são chamadas de monômios. Por exemplo: 6x, 3x2
y2
,
ab, 10 etc.
A parte numérica de um monômio é o coeficiente e a outra parte formada
por letras é a parte literal.
De acordo com os exemplos anteriores, vamos destacar o coeficiente e a
parte literal de cada monômio:
6x ® coeficiente: 6
parte literal: x
3x³² y³³ ® coeficiente: 3
parte literal: x²² y³³
ab ® coeficiente: 1 (ab é o mesmo que 1 ab)
parte literal: ab
10 ® coeficiente 10
parte literal: não tem

62
A U L ADois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal e coeficientes
diferentes são chamados de monômios semelhantes.
Para somar ou subtrair monômios eles devem ser semelhantes. Caso
contrário, a adição e a subtração serão apenas indicadas e não efetuadas.
A expressão seguinte é um exemplo de operações com monômios:
4xy + 7 xy - 5 xy = (4 + 7 - 5) xy = 6xy
Veja outro exemplo:
No retângulo abaixo, assinalamos as medidas dos seus lados em cm. De
acordo com a figura, vamos determinar a expressão algébrica mais simples (com
menos termos) que representa o perímetro desse retângulo.
O perímetro de um retângulo é calculado somando-se as medidas de
seus lados:
2 (2x + 1) + 2 (x - 3) = Propriedade distributiva da multipli-
cação.
= 4x + 2 + 2x - 6 = Propriedade comutativa da adição.
= 4x + 2x + 2 - 6 = Efe t u an do- s e as ope r açõe s dos
monômios s e m e l h a n -
tes.
Portanto, a expressão mais simples que representa o perímetro do
retângulo é 6x - 4.
Polinômios
Uma expressão formada por adições e subtrações de monômios é chamada
de polinômio (poli = muitos).
Uma expressão como 4a²² - 7ab + b²² - 2a²² - ab - b²²é um polinômio
formado por seis monômios ou termos. Como existem termos semelhantes
nesse polinômio, podemos reduzi-los efetuando as operações indicadas na
seqüência:
4a²² - 7ab + b²² - 2a² - ab - b²²
= 4a²² - 2a²² - 7ab - ab + b² - b² =
= 2a² - 8ab + 0 = 2a²² - 8ab
A expressão encontrada é chamada de forma reduzida do polinômio, pois
os termos restantes não podem mais ser efetuados.
Assim, para somar ou subtrair polinômios, basta reduzir seus termos
semelhantes.

62
A U L A Somando o polinômio 3x² - 4xy + y² com - x²² - 2xy + 4y² , temos:
(3x² - 4xy + y²) + (- x² - 2xy + 4y²²) = Retirar os parênteses.
= 3x²-4xy+y²-x²-2xy+4y²= Aplicar a propriedade comutativa.
= 3x² - x² - 4xy - 2xy + y² + 4y² = Reduzir os termos semelhantes.
= 2x² - 6xy + 5y² _ Somar dos dois polinômios.
No caso da subtração de dois polinômios, temos o exemplo:
(- 14ab + 7a) - (- 12ab + 6a) = Retirando os parênteses e trocan-
do os sinais do 2º polinômio.
= - 14ab + 7a + 12ab - 6a =
= - 14ab + 12ab + 7a - 6a =
= - 2ab + a _ Diferença dos dois polinômios.
Exercício 1
A expressão 2x representa um número múltiplo de 2.
Escreva a expressão que representa os múltiplos de 5.
Exercício 2
Escreva a propriedade comutativa da adição, usando uma expressão
algébrica.
Exercício 3
Responda:
a) qual o monômio que ao somar com - 2x y resulta zero?
b) qual o resultado de - 2a² - 5a²?
Exercício 4
Escreva a expressão mais simples (reduzida) que possa representar a área
da figura:
Exercício 5
Determine o valor numérico da expressão x³y² - x² + y³ , para x = 2 e y = -1
Exercícios

63
A U L A
Equações do 1º grau
Durante nossas aulas, você aprendeu a re-
solver algumas equações bem simples. Na aula de hoje, aprofundaremos o
estudo dessas equações. Portanto, é preciso que você saiba o significado de:
. equação
. incógnita de uma equação
. membros de uma equação
. termos de uma equação
A importância do estudo das equações está no fato de que elas facilitam a
resolução de certos problemas. Vejamos:
Dois pacotes juntos pesam 22 kg. Quanto pesa cada um deles, se o maior tem
6 kg a mais que o menor ?
Já vimos que podemos representar
quantidades desconhecidas usando a
álgebra. Nesse caso, temos:
pacote menor = x
pacote maior = x + 6
Onde x representa o peso do pacote menor.
Então, teremos a seguinte equação: x + (x + 6) = 22
63
A U L A
Nossa aula
Introdução

63
A U L A Efetuando as devidas equações:
x + (x + 6) = 22 Eliminar os parênteses
x + x + 6 = 22 Somar os termos semelhantes
2x + 6 = 22
2x + 6 - 6 = 22 - 6 Subtrair 6 nos dois membros
2x = 16
2x
2
=
16
2
Efetuar uma divisão por 2, nos dois membros
x = 8
Desse modo, o peso do pacote menor é de 8 kg8 kg8 kg8 kg8 kg e do pacote maior é de
8 + 6 = 14 kg14 kg14 kg14 kg14 kg.
A equação e a balança
As equações têm propriedades semelhantes às transformações realizadas
para manter uma balança em equilíbrio.
Ao retirarmos 6 unidades de um dos pratos, devemos fazer o mesmo com
o outro, caso contrário, a balança perderá o equilíbrio. Por esse motivo,
indicamosasubtraçãode6nosdoismembroseadivisãopor2nosdoismembros,
quando resolvemos a equação x + (x + 6) = 22.
A equação e a operação inversa
Naprática,nãocostumamosresolver umaequaçãopensandonumabalança,
nem fazendo todas as operações.
Observe que quando subtraímos 6 nos dois membros, na equação acima,
zeramos o 6 que estava no primeiro membro:
2x + 6 - 6 = 22 - 6
/
0
2x = 22 - 6
Por isso, dizemos simplesmente que o 6 passa para o outro lado e muda de
sinal.
Da mesma forma, costumamos dizer que o 2 que está multiplicando um
termo no primeiro membro, passa para o segundo membro dividindo.
2x = 16
x =
16
2
_ x = 8

63
A U L AÉ importante observar que nessa regra de “passar para o outro lado”, está
embutido um conceito matemático chamado operação inversaoperação inversaoperação inversaoperação inversaoperação inversa.
A operação inversa da adição é a subtração:
+ 6 virou - 6
A operação inversa da multiplicação é a divisão:
x 2 virou : 2
Vejamos outro exemplo, que faz uso do conceito de operação inversa, para
resolver a equação:
Sabendo que o quádruplo de um número somado com 9 é igual ao número
somado com 6, descubra qual é esse número.
Um número: x
Quádruplo do número: 4x
Equação correspondente: 4x + 9 = x + 6
ResoluçãoResoluçãoResoluçãoResoluçãoResolução:
4x + 9 = x + 6
4x - x = 6 - 9 passar + 9 para o segundo membro (fica-9)
e + x para o primeiro membro (fica - x).
3x = - 3 como a operação inversa de : 3 é x 3,temos:
x =
- 3
3
x = - 1
Portanto, o número procurado é -----11111.
A verificação da solução
A verificação da solução é tão importante quanto a própria resolução da
equação. Pois ela nos dá a possibilidade de descobrir se cometemos algum erro
de cálculo, por exemplo, e corrigi-lo. Para fazer a verificação, basta experimen-
tar o valor encontrado na incógnita. Veja:
4x + 9 = x + 6 substituindo x por - 1
4 (-1) + 9 = (- 1) + 6
- 4 + 9 = - 1 + 6
5 = 5
Logo, x = -1 é um valor que torna a equação 4x - 9 = x - 6
verdadeira.Experimente substituir x por qualquer outro valor, e veja o que
acontece.

63
A U L A A raiz de uma equação
A solução de uma equação, isto é, o valor encontrado para a incógnita, é
chamado, pela matemática, de raizraizraizraizraiz da equação.
x = - 1 é raiz da equação 4x + 9 = x + 6
Veja:
Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da
estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 64,00?
Equacionando o problema:
Preço da cadeira: x
Preço da estante: 3x
Equação correspondente: x + 3x = 64
ResoluçãoResoluçãoResoluçãoResoluçãoResolução:
x + 3x = 64
4x = 64 _ x =
64
4
= 16 _ x = 16
Verificação da raiz:
16 + 3 . 16 = 64
16 + 48 = 64
64 = 64
A estante custa R$ 48,00R$ 48,00R$ 48,00R$ 48,00R$ 48,00.
a)a)a)a)a) 4x + 8 = 3x - 5
b)b)b)b)b) 3a - 4 = a + 1
c)c)c)c)c) 9y - 11 = - 2
d)d)d)d)d) 5x - 1 = 8x + 5
Exercícios

63
Verifique se - 7 é raiz da equação:
2(x + 4) -
x
3
= x - 1
Invente um problema cuja solução pode ser encontrada através da equação:
2x - 3 = 16
Ana e Maria são irmãs e a soma de suas idades é igual a 35. Qual a idade de
Ana, se Maria é 5 anos mais nova?
Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6?
Qual é o número que multiplicado por 7 é igual a 3?
Qual é o número que somado com 5 é igual a 11?
Qual é o número que somado com 6 é igual a - 13?
Uma indústria produziu este ano 600.000 unidades de um certo produto.
Essa produção representou um aumento de 20%, em relação ao ano anterior.
Qual a produção do ano anterior?

64
A U L A
64
A U L A
Introdução Nesta aula vamos rever operações com fra-
ções,verificandoavalidadedaspropriedadesoperatóriasdosnúmerosracionais.
Veremos também o cálculo de expressões numéricas com frações, de
acordo com a ordem em que as operações devem ser efetuadas, como vimos na
Aula 61.
A adição e a subtração de frações homogêneas (que têm denominadores
iguais) são efetuadas, repetindo-se os denominadores e efetuando-se as devidas
operações com os numeradores. Veja:
a)
3
7
+
2
7
=
3 + 2
7
=
5
7
b)
5
8
-
3
8
=
5 - 3
8
=
2
8
As propriedades da adição de números naturais também são válidas para
a adição de números fracionários.
Propriedade comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma
2
5
+
1
5
=
1
5
+
2
5
=
3
5
Propriedade associativa: podemos associar duas ou mais parcelas, de
maneiras diferentes, sem que o resultado (soma) seja alterado.
Lembre-se que uma fração do tipo 9/8, que tem o numerador maior que o
denominador (imprópria), é maior que a unidade (8/8). Portanto, pode ser
escrita na forma de número misto.
Operações com frações
Nossa aula
æ3
8è
+ 1
8
ö
ø
+ 5
8
= 3
8
+ æ
è
1
8
+ 5
8
ö
ø
= 9
8

64
A U L AO número misto é formado por uma parte inteira e uma parte fracionária:
9
8
=
8
8
+
1
8
= 1+
1
8
= 1
1
8
® número misto lê-se:
um inteiro e um oitavo
No caso de efetuarmos a adição e a subtração com frações heterogêneas
(que têm denominadores diferentes), é preciso transformá-las em frações
equivalentes às que tenham denominadores iguais.
Frações equivalentes são as que têm mesmo valor, mas cujos termos são
diferentes.
Para obtermos frações equivalentes, é preciso multiplicar ou dividir o
numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número natural,
diferente de zero.
EXEMPLO 2
Ao determinarmos as frações equivalentes a
2
3
, temos:
2
3
=
4
6
=
6
9
=
8
12
=
10
15
=
12
18
=
14
21
=
16
24
=...
Vamos efetuar a seguinte adição:
Como o número 6 é múltiplo co-
mum a 2 e a 3, ele será o denominador
das frações equivalentes às frações
dadas.
Então, é preciso multiplicar o nu-
merador e o denominador de cada fra-
ção, pelo mesmo número, de maneira a
obtermos o denominador 6.
Para subtrair frações, seguimos o mesmo procedimento:
5
8
-
1
6
= (Múltiplo comum: 24).
15
24
-
4
24
=
15 - 4
24
=
11
24
Sempre que efetuamos qualquer operação com frações, devemos encontrar
o resultado mais simples possível, ou seja, uma fração equivalente com
numerador e denominador menores.
=
3
6
+
2
6
=
=
3 + 2
6
=
5
6
´ 3
´ 2
´ 2
´ 3
1
2
+
1
3
=

64
A U L A O processo usado para simplificar uma fração é a aplicação da mesma
propriedade usada para encontrar frações equivalentes, ou seja:
Na simplificação da fração
64
60
, temos:
64
60
=
32
30
=
16
15
ou
64
60
=
16
15
Portanto,
16
15
é a forma simplificada da fração
64
60
.
Vejamos alguns exemplos de expressões com frações:
5
6
-
7
12
+
3
8
= Múltiplo comum: 24.
=
20
24
-
14
24
+
9
24
= Efetuar as operações na ordem em que aparecem.
=
6
24
+
9
24
=
Simplificar o resultado.
=
15
24
=
5
8
1-
1
10
-
2
5
= Múltiplo comum: 10.
10
10
-
1
10
-
4
10
= O número inteiro
pode ser escrito como uma fração, no caso:
10
10
.
9
10
-
4
10
=
Simplificar o resultado.
5
10
=
1
2
Quando as expressões apresentam os sinais de pontuação, devemos seguir
as regras das expressões numéricas, ou seja:
1) Inicialmente, efetuamos as operações que estão entre parênteses ( ).
2) Em seguida, as que estão entre colchetes [ ].
3) E, por último, as que estão entre chaves { }.
¸ 2 ¸ 2
¸ 2 ¸ 2
¸ 4
¸ 4
¸ 5
¸ 5

64
A U L AObserve:
2 -
3
4
-
1
5
Φ
Η
Ι
Κ-
1
6
Λ
ΝΜ
Ο
ΘΠ=
= 2 -
15
20
-
4
20
Φ
Η
Ι
Κ-
1
6
Λ
ΝΜ
Ο
ΘΠ=
= 2 -
11
20
-
1
6
Λ
ΝΜ
Ο
ΘΠ=
= 2 -
=
120
60
-
23
60
=
97
60
=
=
60
60
+
37
60
= 1
37
60
Multiplicação de frações
Na figura abaixo, dividida em quatro partes iguais, temos assinalada uma
das partes que representa
1
4
da figura.
Para representar1/3 da parte assinalada, ou seja 1/3 de 1/4, vamos dividir
essa parte (1/4) em três partes iguais e, em seguida, estender a divisão para a
figura toda.
1
3
de
1
4
é
1
12
.
Observe que cada parte da figura, após a segunda divisão, equivale a 1/12
da figura toda, logo:
1
3
de
1
4
=
1
3
·
1
4
=
1
12
æ3
4è
é
ë
ö
ø
- ù
û
=
é
ë
æ
è
15
20
ö
ø
- ù
û
=
é11
ë20
ù
û
=
é
ë
33 10 23
60 60 û 60
- =
ù
2 - =

64
A U L A
Então:
Para multiplicar frações, devemos multiplicar os numera-
dores e os denominadores entre si.
Quando fazemos uma multiplicação de frações, podemos simplificar a
operação usando o processo de cancelamento. Veja:
5
8
·
4
9
=
=
5
8
·
4
9
= Antes de efetuar a multiplicação, devemos simplificar
o 8 e o 4 por um número múltiplo comum
=
5
18
Para multiplicar uma fração por um número inteiro, devemos multiplicar
esse número pelo numerador da fração e repetir o denominador. Por exemplo:
2·
3
5
=
6
5
Nas expressões numéricas com frações, devemos lembrar que a ordem em
que as orações devem ser efetuadas é a mesma que já aprendemos na aula
anterior, ou seja:
l Potenciação e radiciação.
l Multiplicação e divisão.
l Adição e subtração.
EXEMPLO 1
Resolver a expressão:
3-
3-
3-
3-
2
1
é
ë
2 .
æ
è
1 2 4
3 5 5
+ - ö
ø
ù
û
=
ë
é2 .
æ
è
5 6
15 15
+
ö
ø
- 4
5
ù
û
=
é
ë
22 4
15 5
é
ë
ù
û
- = 3 - 22 12
15 15 û
ù- =
.
.
.
-é
ë
2 .11 4
15 5
ù
û
=

64
A U L A= 3 -
10
15
=
45
15
-
10
15
=
Exercício 1
Um lojista vende três partes de uma peça de tecido:
7
8
m ,
1
2
m e
1
4
m.
Quantos metros vendeu ao todo?
Exercício 2
Complete o quadro de modo que a soma dos números de cada linha, de cada
coluna e da diagonal seja a mesma:
Exercício 3
Ao receber seu salário, Pedro gastou
2
5
com o aluguel e
1
2
do que sobrou
em custos com alimentação. Que fração do salário ainda restou?
Exercício 4
Efetue e simplifique o resultado, sempre que possível:
a)
3
4
-
1
2
+
3
20
=
b)
c)
3
10
+
2
3
·
5
4
=
d)
Exercícios
æ2 1 ö
è3 6 ø ø
æ
è
ö
- 1 - 3
10
+ =
9
10
ö
ø
æ
è
4 - 1
3
. 10. =

65
A U L A
65
A U L A
Introdução Nas equações que estudamos até agora, os
coeficientes eram sempre números inteiros.
Em muitas situações, porém, precisaremos resolver equações com coefi-
cientes fracionários.
Por exemplo: x
2
+
x
5
-
1
4
= 50
Antes de resolvermos esse tipo de equação, devemos igualar todos os
denominadores e, em seguida, eliminá-los. Desse modo, transformamos a
equação inicial em um equivalente a ela, sem denominadores. A equação com
coeficientes inteiros já sabemos resolver.
Veja, a seguir, algumas situações que deverão ser resolvidas a partir de
equações com coeficientes fracionários:
EXEMPLO 1
Um terço do salário de uma pessoa é utilizado para o pagamento do
aluguel de R$ 110,00. Qual é o salário dessa pessoa?
Escrevendo a equação do problema enunciado, temos:
1
3
· x = 110
O coeficiente do termo x é
1
3
e o termo independente (110) é um número
inteiro.
Então, devemos escrever o número inteiro em forma de fração, com denomi-
nador igual a 1:
x
3
=
110
1
Igualando os denominadores.
x
3
=
330
3
Eliminando
denominadores
Nossa aula

65
A U L ANuma equação, podemos multiplicar os dois membros
por um mesmo número, diferente de zero.
3 ·
x
3
= 3 ·
330
3 Multiplicar os dois membros por 3,
x = 330 para cancelar os denominadores.
Portanto, o salário daquela pessoa é de R$ 330,00.
Na prática, essa equação poderia ser resolvida pela chamada multiplicação
em cruz: x
3
=
110
1
® x = 3 . 110
x = 330
EXEMPLO 2
Uma pessoa quer construir uma casa que ocupará
1
4
de seu terreno, sen-
do que
1
3
será reservado para o jardim. Sabendo que ainda sobrará uma área
de 375 m
2
, responda: qual a área total do terreno?
Área total do terreno: x
Área ocupada pela casa:
x
4
Área reservada para jardim:
x
3
Equação do problema:
x
4
+
x
3
+ 375 = x
Igualando os denominadores:
3x
12
+
4x
12
+
375· 12
12
=
12x
12
3x + 4x + 4500
12
=
12x
12
7x + 4500
12
=
12x
12
12 ·
7x + 4500
12
= 12 ·
12x
12
7x + 4500 = 12x
4500 = 12x - 7x
4500 = 5x
x =
4500
5
x = 900
. .
.

65
A U L A De acordo com a verificação da solução, substituindo x por 900 na equação,
temos:
900
4
+
900
3
+ 375 = 900
225 + 300 + 375 = 900
900 = 900 ® igualdade verdadeira.
Logo, a área total do terreno é de 900 m
2
.
EXEMPLO 3
Uma pessoa diz que daqui a 18 anos, a terça parte de sua idade será a
metade da sua idade atual. Qual a idade dessa pessoa?
Idade atual: x A metade:
x
2
Idade daqui a 18 anos: x + 18 A terça-parte:
x +18
3
Equação do problema:
x +18
3
=
x
2
Igualando os denominadores:
Verificando a resolução:
Idade atual: 36 anos ® A metade: 18 anos.
Daqui a 18 anos: 54 anos ® A terça-parte: 18 anos.
Desse modo, sabemos que a idade atual da pessoa é 36 anos.
EXEMPLO 4
Determine as medidas de um retângulo cujo perímetro é 24 m, sabendo
que o lado menor é igual a
1
3
do lado maior.
Lado maior: x
Lado menor:
x
3
Perímetro do retângulo: 2(x +
x
3
)
2(x +18)
6
=
3x
6
® 6 ·
2 x + 18α φ
6
= 6 ·
3x
6
2(x +18) = 3x ® 2x + 36 = 3x
36 = 3x - 2x
36 = x
_
_
( x )+
8

65
A U L AEquação do problema:
O lado maior do retângulo mede 9m.
O lado menor mede
9
3
= 3m
Exercício 1
a)
x + 3
2
+
x -10
3
= 4
b)
2x + 5
3
- 3x -10 = 0
Exercício 2
Uma construtora vai aproveitar um terreno de 1.275 m
2
, reservando
1
3dessa área para estacionamento.
Determine:
a) A área ocupada pela construção.
b) A área reservada para o estacionamento.
Exercício 3
Ao receber seu salário, André gastou
1
3
com despesas médicas,
1
2
com
com-pras diversas e
1
4
com o aluguel de sua casa. Qual o salário de André
se, após pagar todas essas contas, ele ficou devendo R$ 40,00?
Exercício 4
Descubra os números do seguinte circuito:
2(x +
x
3
) = 24
2x +
2x
3
= 24 ®
2x
1
3
+
2x
3
1
+
24
1
3
6x
3
+
2x
3
=
24· 3
3
®
6x
3
+
2x
3
+
72
3
6x + 2x
3
=
72
3
®
8x
3
=
72
3
3 ·
8x
3
= 3 ·
72
3
8x = 72 ® x =
72
8
x = 9
Exercícios
_
_
_

66
A U L A
66
A U L A
Introdução Você já percebeu que os gráficos são cada vez
mais usados na comunicação. Podemos encontrá-los em vários tipos de publica-
ção, expressando os mais diversos dados e situações, como por exemplo em:
l Relatórios de empresas
l Análises governamentais
l Relatórios de pesquisas
l Balanços financeiros
Por isso é tão importante saber interpretar um gráfico.
Nesta aula, vamos estudar mais um tipo de gráfico: o gráfico de uma
equação.
Nas Aulas 62 e 63, você aprendeu o que é uma equação e como resolvê-la.
Agora vai aprender a resolver graficamente uma equação do 1º grau, ou seja, a
representá-lanoplanocartesiano.(Volte à Aula 37 para relembrar o que é plano
cartesiano.)
Vamos começar com um exemplo bem simples.
A soma de dois números é igual a 5. Quais são esses números?
dois números : x e y
equação correspondente : x + y = 5
Existem muitos números que satisfazem essa equação. Esses números são
representados pelas variáveis (xxxxx e yyyyy). Vamos criar uma tabela com alguns valores
das variáveis e os respectivos pares ordenados.
Gráfico de
uma equação
Nossa aula

66
A U L A
Como a cada par ordenado obtido corresponde um ponto no gráfico, vamos
marcar alguns pontos no plano cartesiano.
Observe que todos os pontos do gráfico estão alinhados, portanto, ligando
esses pontos, temos uma retaretaretaretareta.
Essa reta é a representação gráfica da equação x + y = 5.
Comoaretaéumafigurageométricaformadaporinfinitospontos,podemos
concluir que existem infinitosinfinitosinfinitosinfinitosinfinitos valores que satisfazem a equação x + y = 5.
A equação do 1º grau
Equação do 1º grau é toda equação que pode ser escrita na forma:
ax + by = c
onde aaaaa, bbbbb e ccccc são os coeficientes, xxxxx e yyyyy são as incógnitas (ou variáveis) e têm
sempre expoente 1.
Observação:Observação:Observação:Observação:Observação: As equações do 1º grau estudadas na Aula 63 são equações
do 1º grau com uma variável; já as equações estudadas nesta aula são equações
do 1º grau com duas variáveis.
xxxxx y = 5y = 5y = 5y = 5y = 5 - xxxxx (x; y)(x; y)(x; y)(x; y)(x; y)
0 5 (0; 5)
0,5 4,5 (0,5; 4,5)
1 4 (1; 4)
1,5 3,5 (1,5; 3,5)
2 3 (2; 3)
3 2 (3; 2)
4 1 (4; 1)
5 0 (5; 0)
6 -1 (6; -1)
O

66
A U L A Quantos pontos determinam uma reta?
Imagine um plano e um ponto, como mostra a figura:
Quantas retas passam por esse ponto? Experimente desenhar!
É isso mesmo! Se você quiser traçar todas as retas, não vai acabar nunca... No
plano, existem infinitasinfinitasinfinitasinfinitasinfinitas retas que passam por um ponto.
Agora, se desenharmos mais um ponto nesse plano, quantas retas você
conseguirá desenhar? Experimente!
Você somente conseguirá desenhar uma reta!
No ponto, existe apenas uma reta que passa, ao mesmo tempo, por dois
pontos.Poressemotivo,podemosdizerquedois pontos determinam uma retadois pontos determinam uma retadois pontos determinam uma retadois pontos determinam uma retadois pontos determinam uma reta.
A equação do 1º grau e a reta
Vamos representar graficamente a equação x + 2y = 8. Para isso, precisamos
construir uma tabela com os valores das variáveis e os respectivos pares
ordenados.
(Agora você já sabe: bastam dois pontos, e a reta está determinada.)
Marcando esses pontos no plano cartesiano, temos:
xxxxx y =
8 - x
2
( x; y)( x; y)( x; y)( x; y)( x; y)
0 4 (0; 4)
1
7
2
= 3,5 (1; 3,5)

66
A U L A
A reta que aparece é a reta da equação x + 2y = 8.
Veja algumas considerações sobre esse gráfico:
l a reta corta o eixo dos xxxxx no ponto (8; 0);
l à medida que os valores de xxxxx aumentam (crescem), os valores de yyyyy dimi-
nuem, (decrescem);
l utilizando o gráfico, podemos determinar outros pontos que pertecem à
reta, como por exemplo (2; 3), (4; 2), (6; 1), (10; -1) etc.
Construa as tabelas e os respectivos gráficos das equações seguintes. Suges-Suges-Suges-Suges-Suges-
tão:tão:tão:tão:tão: use uma folha quadriculada.
a)a)a)a)a) x + y = 1 c)c)c)c)c) 2x + 2y = 4
b)b)b)b)b) y + 2x = 5 d)d)d)d)d) 3x - y = 0
Represente num mesmo gráfico as equações:
A: x + y = 0 B: x - y = 0
O que você pode concluir observando as retas?
Observando o gráfico abaixo, responda:
a)a)a)a)a) Quais as coordenadas dos pontos A, B, C e D?
b)b)b)b)b) No instante em que a reta corta o eixo dos xxxxx, qual a abscissa do ponto?
c)c)c)c)c) O que acontece com os valores de yyyyy à medida que os valores de xxxxx aumen-
tam?
Exercícios
O
O

66
Represente num mesmo gráfico as equações
A: 2x + y = 1 B: 2x + y = 2 C: 2x + y = 3
D: 2x + y = 0 E: 2x + y = 5
O que você pode concluir observando as retas?
Analisando os gráficos abaixo, o que podemos afirmar sobre os valores de yyyyy
à medida que os valores de xxxxx aumentam?
Invente uma equação do 1º grau com duas variáveis. Construa o gráfico
dessa equação.
Represente num mesmo gráfico as equações:
x + y = 4 e 2x - y = 1
O que você concluiu?

67
A U L A
Inequações do 1º grau
Analisando as condições de vida da popula-
ção brasileira, certamente encontraremos um verdadeiro desequilíbrio, tanto na
área social como na área econômica. Esse desequilíbrio pode ser percebido
em situações como:
l Moradia: a cada dia, a população de rua vem aumentando nas grandes
cidades.
l Alimentação: 42,79% da população rural vive em situação de indigência.
l Salário: enquanto o salário de uns é baixíssimo, o salário de outros é
e x c e s -
sivamente alto.
Também podemos perceber esse desequilíbrio nas áreas de saúde, edu-
cação, saneamento básico etc.
Observe o gráfico abaixo. Ele representa o desequilíbrio na área da alimen-
tação:
Introdução
67
A U L A

67
A U L A Se usarmos a imagem de uma balança para “pesar” essas desigualdades,
ela estará permanentemente desequilibrada... Mas, até quando?
Mas o que tudo isso tem a ver com a nossa aula de Matemática? Na aula de
hoje, vamos estudar inequações do 1º grau. E as inequações representam uma
desigualdade matemática.
EXEMPLO 1
O número de pessoas que entram no 1º grau é maior do que o número de
pessoas que terminam o 1º grau. Esse fato é comprovado em diversas pesquisas
realizadas.
Se representarmos por x o número de pessoas que entram no 1º grau e por
y o número de pessoas que terminam o 1º grau, poderemos escrever essa frase
em linguagem matemática, assim:
x > y onde o símbolo > indica é maior que.
A balança pode ser usada para mostrar esse desequilíbrio ou essa desigual-
dade na educação.
A inequação do 1º grau
Assim como a equação do 1º grau, a inequação também é uma frase
matemática, só que, em vez do sinal de = (igual), tem um desses sinais: >
(maior) ou < (menor) ou ³ (maior ou igual) ou £ (menor ou igual).
2x + 1 > 4x - 5
y - 1 < 0
2x ³ x + 1
y + 4 £ 5 - 2y
Nossa aula
Estas frases matemáticas são
exemplos de inequações do 1º grau
com uma incógnita.}

67
A U L Ax + y > 5
- y + x < 3
2x ³ 1 - y
Propriedades da inequação do 1º grau
Quando resolvemos uma equação do 1º grau, usamos recursos matemáti-
cos tais como: somar ou subtrair um mesmo valor aos dois membros da equação
e multiplicar ou dividir os dois membros por um mesmo valor, sem alterar a
equação. Será que esses recursos também são válidos na inequação do 1º
grau?
Vamos tomar a desigualdade 5 > 4, que é uma desigualdade verdadeira,
para verificar a validade desses recursos.
l Recurso: somar ou subtrair um mesmo valor aos dois membros.
5 > 4
somar 2
5 + 2 > 4 + 2
7 > 6 _____ Continua sendo uma desigualdade verdadeira.
5 > 4
subtrair 1
5 - 1 > 4 - 1
4 > 3 _____ Continua sendo uma desigualdade verdadeira.
Podemos concluir que esse recurso (somar ou subtrair um mesmo valor aos
dois membros) é válido também para resolver inequações do 1º grau.
l Recurso: multiplicar ou dividir por um mesmo valor os dois membros da
inequação:
Esse valor é um número positivo
5 > 4 x (+ 2)
5 x 2 > 4 x 2
10 > 8
} E estas são inequações do 1º grau
com duas incógnitas.

67
A U L A Esse valor é um número negativo.
5 > 4 _____ x (- 1)
(- 1) . 5 ? 4 . (- 1)
- 5 < - 4
Observação: - 5 < - 4 só será uma desigualdade verdadeira se o símbolo
for invertido.
5 > 4
5 : 2 > 4 : 2
2,5 > 2
5 > 4 : (- 2)
5 : (- 2) ? 4 : (- 2)
-5
2
<
-4
2
- 2,5 < - 2
Portanto, devemos ter cuidado ao utilizar esse recurso (multiplicar ou
dividir por um mesmo valor os dois membros) para resolver uma inequação do
1º grau: se esse valor for um número negativo, o sinal da desigualdade deve
ser invertido.
Como resolver uma inequação do 1º grau?
Vamos aplicar os recursos que acabamos de ver na resolução de uma
inequação do 1º grau.
EXEMPLO 2
Quais os valores de x que tornam a inequação - 2x + 5 > 0 verdadeira?
Inicialmente, resolvemos como se fosse uma equação do 1º grau:
- 2x + 5 > 0
- 2x > - 5
x <
-5
2
x < 2,5
como a operação inversa de somar 5 é subtrair 5,
+ 5 fica - 5.
2x < 5 multiplicando os dois lados por (- 1)
e invertendo o sinal de desigualdade
¿
¿

67
A U L AObserve que 2,5 não é solução da inequação, mas qualquer ponto menor
que 2,5 é solução.
Vamos verificar:
Para x = -1 _ -2 (-1) + 5 > 0 _ 2 + 5 > 0 _ 7 > 0 (verdadeiro)
Para x = 2 _ -2 (2) + 5 > 0 _ -4 + 5 > 0 _ 1 > 0 (verdadeiro)
Para x = 2,5 _ -2 (2,5) + 5 > 0 _ -5 + 5 > 0 _ 0 > 0 (falso)
Para x = 3 _ -2 (3) + 5 > 0 _ -6 + 5 > 0 _ -1 > 0 (falso)
Comprovamos, então, que somente os valores menores que 2,5 tornam a
inequação verdadeira.
O gráfico de inequação de 1º grau
Na Aula 66, você aprendeu a representar graficamente uma equação do 1º
grau com duas incógnitas. Agora vamos representar no plano cartesiano uma
inequação do 1º grau com duas incógnitas.
EXEMPLO 3
Represente no plano cartesiano a inequação x + 2y < 8
Vamos partir da equação x + 2y = 8
A região abaixo da reta representa os pontos em que x + 2y < 8. E a região
acima da reta representa os pontos em que x + 2y > 8.
Experimente! Pegue um ponto de cada uma das regiões indicadas e substi-
tua suas coordenadas na inequação x + 2y < 8. O que ocorre?
x y =
8 - x
2
(x ; y)
0 4 (0 ; 4)
2 3 (2 ; 3)

67
A U L A Exercício 1
Resolva as inequações:
a) x + 4 > 7 b) 2x - 10 £ 4
c) - 3x £ 15 d) 3x £ - 15
e)
3x +1
2
-
x
3
< 1 f)
Exercício 2
Represente na reta numérica as soluções das inequações do Exercício 1.
Exercício 3
A balança ao lado não está equilibrada. Escreva uma frase matemática que
represente esse desequilíbrio.
Exercício 4
Represente no plano cartesiano as inequações:
a) x + 2y > 8 b) 3x - y £ 0 c) x + y < 5
Exercícios
+
x 4 - 2x
2 5
³ - 2

68
A U L A
Sistemas do 1º grau
Pedro e José são amigos. Ao saírem do traba-
lho, passaram por uma livraria onde havia vários objetos em promoção. Pedro
comprou 2 cadernos e 3 livros e pagou R$ 17,40, no total. José gastou R$ 11,20
na compra de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa.
No dia seguinte, quiseram contar a um terceiro colega sobre suas compras,
mas não se lembravam do preço unitário dos livros. Sabiam apenas que todos
os livros, assim como todos os cadernos, tinham o mesmo preço.
E agora... Será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou
caderno com as informações que temos?
Acompanhe a aula e descubra...
Em aulas anteriores, você viu que existem equações do 1º grau com duas
incógnitas, como por exemplo:
x + y = 5 x - y = 3 x + 2y = 8
Você viu, também que as equações do 1º grau com duas variáveis
admitem infinitas soluções:
x + y = 5 e x - y = 3
Observando as tabelas de soluções das duas equações, verificamos que o
par (4; 1), isto é, x = 4 e y = 1, é solução para as duas equações. Dessa forma,
podemos dizer que as equações x + y = 5 e x - y = 3 formam um sistemasistemasistemasistemasistema de
equações do 1º grau que admitem uma solução comum.
Introdução
68
A U L A
Nossa aula
xxxxx yyyyy xxxxx yyyyy
0 5 0 -3
1 4 1 -2
2 3 2 -1
3 2 3 0
4 1 4 1
5 0 5 2
... ... ... ...

68
A U L A A Matemática utiliza o símbolo {{{{{ para indicar que duas (ou mais) equações
formam um sistema. Veja os exemplos:
x + y = 5 x - y = 4
x - y = 3 2x - y = 9
3x - 2y = 5 2x + y + z = 1
2x + 5y = 1 x - y - 3z = 4
x = 2
Observação:Observação:Observação:Observação:Observação: Aqui, vamos estudar apenas os sistemas do 1º grau com duas
equações de duas variáveis.
Resolução de sistemas
Resolver um sistema é encontrar um par de valores (xxxxx e yyyyy) que tornem
verdadeiras as equações que o formam.
Por exemplo, o par (3; 2) é solução do sistema x - y = 1 ?
x + y = 5
Para fazer verificação, devemos substituir os valores x = 3 e y = 2 em ambas
as equações:
x - y = 1 x + y = 5
3 - 2 = 1 3 + 2 = 5
1 = 1 5 = 5
(verdadeiro) (verdadeiro)
Sim, o par (3; 2) é solução do sistema, pois torna as equações verdadeiras.
O método da substituição
Esse método de resolução de um sistema consiste em “tirar” o valor de uma
incógnita e substituir esse valor na outra equação. Veja um exemplo:
x - y = 1
x + y = 5
Escolhemos uma das equações e “tiramos” o valor de uma das incógnitas,
ou seja, estabelecemos seu valor em função da outra incógnita, assim:
x - y = 1 ® x = 1 + y
Agora, temos o valor de xxxxx em função de yyyyy e podemos substituir esse va-
lor na outra equação:
x + y = 5
1 + y + y = 5
1 + 2y = 5
2y = 5 - 1
2y = 4
y = 2
Como x = 1 + y ® x = 1 + 2 ® x = 3.
Temos então que o par (3; 2) é solução do sistema.
ß

68
A U L AQual é mesmo o preço do livro?
Releia o problema proposto na introdução deste capítulo e acompanhe sua
resolução.
Uma etapa importante na solução de um problema é a tradução dos dados
em linguagem matemática. Para essa etapa, vamos usar as variáveis x e y em
vez de cadernocadernocadernocadernocaderno e livrolivrolivrolivrolivro. Organizamos os dados assim:
Pedro: 3 livros + 2 cadernos = R$ 17,40 ® 3x + 2y = 17,40
José: 2 livros + 1 caderno = R$ 11,20 ® 2x + y = 11,20
Temos, assim, o sistema:
3x + 2y = 17,40
2x + y = 11,20
Estabelecendo o valor de yyyyy em função de xxxxx na 2ª equação, temos:
y = 11,20 - 2x
Substituindo esse valor na 1ª equação:
3x + 2 (11,20 - 2x) = 17,40
Temosumaequaçãodo1ºgrau,comapenasumaincógnita.Resolvendoessa
equação:
3x + 22,40 - 4x = 17,40
- x = 17,40 - 22,40
- x = -5
- x = 5
Como y = 11,20 - 2x ® y = 11,20 - 10 ® y = 1,20
Portanto, cada livro custou R$ 5,00R$ 5,00R$ 5,00R$ 5,00R$ 5,00 e cada caderno, R$ 1,20R$ 1,20R$ 1,20R$ 1,20R$ 1,20.
VerificaçãoVerificaçãoVerificaçãoVerificaçãoVerificação
Pedro: 3 . 5 + 2 . 1,20 = 15 + 2,40 = 17,40
José: 2 . 5 + 1,20 = 10 + 1,20 = 11,20
O método da adição
Esse outro método de resolução de um sistema consiste em somar os termos
das equações. Veja o exemplo:
x - y = - 4
2x + y = 9
Somando as equações:
2x - y = - 4
2x + y = 9 +
3x = 5
x =
5
3

68
A U L A Veja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. PorVeja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. PorVeja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. PorVeja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. PorVeja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. Por
que isso ocorreu? Pense!que isso ocorreu? Pense!que isso ocorreu? Pense!que isso ocorreu? Pense!que isso ocorreu? Pense!
Para obter o valor de yyyyy, devemos substituir o valor de xxxxx, encontrado em uma
das equações:
x - y = - 4 ®
5
3
- y = - 4 ® -y = - 4 -
5
3
-y =
-12 - 5
3
® - y =
-17
3
® y =
17
3
A solução do sistema é o par .
x - y = - 4 ®
5
3
-
17
3
= - 4 ®
-12
3
= - 4 (verdadeiro)
2x + y = 9 ® 2 ·
5
3
+
17
3
= 9 ®
10
3
+
17
3
= 9 ®
27
3
= 9 (verdadeiro)
Usando um artifício de cálculo
Vamos resolver o sistema abaixo pelo método da adição:
3x + 2y = 4
2x + 3y = 1
Se somarmos as equações do jeito que estão, não conseguiremos anularanularanularanularanular um
dos termos. Por isso, vamos usar um artifício de cálculo:
l primeiro, multiplicamos a 1ª equação por +2;
l depois, multiplicamos a 2ª equação por -3.
O sistema sofrerá a seguinte transformação:
´ 2
3x + 2y = 4 ® 6x + 4y = 8
´ - 3
2x + 3y = 1 ® -6x - 9y = - 3
Agora, podemos somar o sistema:
- 6x + 4y = 8
- 6x - 9y = - 3 +
- 5y = 5 ® y = - 1
5 ; 17ö
3 3 ø
æ
è

68
A U L AParaobterovalorde xxxxx,devemossubstituirovalorde yyyyy emumadasequações:
2x + 3y = 1
2x + 3 (- 1) = 1
2x - 3 = 1
2x = 4 ® x = 2
Portanto, a solução do sistema é o par: (2; -1).
3x + 2y = 4 ® 3 · 2 + 2 · (-1) = 4 ® 6 - 2 = 4 (verdadeiro).
2x + 3y = 1 ® 2 · 2 + 3 · (-1) = 1 ® 4 - 3 = 1 (verdadeiro).
Observação:Observação:Observação:Observação:Observação: Você deve ter percebido que o artifício de cálculo, usado para
resolver esse sistema, permitiu que a variável xxxxx desaparecesse. Isso ocorreu
porque a variável xxxxx, nas duas equações, ficou com coeficientes simétricos.
Resolva o sistema por substituição:
3x + 5y = 20
2x + y = 11
Resolva os sistemas por adição:
a)a)a)a)a) x + y = 10 b)b)b)b)b) 5x - 2y = 1
x - y = - 6 7x + 2y = 11
Resolva os sistemas:
a)a)a)a)a) x - y = - 3
x + 2y = 3
b)b)b)b)b) 4x + y = 3
2x - 2y = - 1
Verifique se o par (1; 2) é solução para o sistema: 10x - 2y = 6
x + 5y = 11
Escreva um sistema que corresponda à seguinte situação:
Um armário custa o triplo de uma mesa. Os dois juntos custam R$ 120,00.
Resolva o sistema do Exercício 5.
Exercícios

69
A U L A
69
A U L A
Introdução Na Aula 68, você aprendeu a resolver
algebricamente um sistema do 1º grau. Nesta aula, você vai aprender a resolver
graficamentegraficamentegraficamentegraficamentegraficamente um sistema de equações do 1º grau.
Mas, antes, vamos recapitular algumas noções que, provavelmente, você
já conhece.
Uma equação do 1º grau com duas variáveis pode ser representada no
plano cartesiano, isto é, graficamente, por meio de uma reta.
Para a determinação da reta bastam dois pontos. Cada ponto é formado por
um par ordenado (x; y), onde xxxxx é a abscissa e yyyyy é a ordenada do ponto.
Os valores de xxxxx e de yyyyy podem ser estabelecidos em uma tabela, como mostra
o exemplo.
Represente graficamente 2x + 3y = 5
xxxxx y =y =y =y =y =
5 - 2x
3
(x; y)(x; y)(x; y)(x; y)(x; y)
A 0
5
3
(0;
5
3
)
B 1 1 (1; 1)
Nesta aula, vamos estudar apenas os sistemas de duas equações do 1º grau
com duas variáveis.
Gráfico de
um sistema
Nossa aula

69
Construa num mesmo plano cartesiano as retas x - y = 1 e x + y = 5
Primeiro montamos as tabelas:
As duas retas se cruzam no ponto (3; 2). Isso significa que o ponto (3; 2) é
comum às duas retas, ou seja, é o ponto de interseção das duas retas. Logo o par
ordenado (3; 2) corresponde à solução do sistema formado por essas duas
equações.
Veja:
x - y = 1
x + y = 5
Por adição temos:
x - y = 1
x + y = 5 +
2x = 6 ® x = 3 ® y = 2
Solução:Solução:Solução:Solução:Solução: (3; 2)
E assim podemos verificar que o ponto (3; 2)(3; 2)(3; 2)(3; 2)(3; 2), ponto de interseção das duas
retas é a solução gráfica do sistema.
Resolva graficamente o sistema:
x - y = 5
x + 2y = 8
x y=x-1 (x;y) x y=5 - x (x;y)
0 - 1 (0;1) 0 - 1 (0;1)
1 0 (1;0) 1 0 (1;0)
xxxxx y=xy=xy=xy=xy=x-55555 (x;y)(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)
0 - 5 (0;- 5)
1 - 4 (1;- 4)
xxxxx y =
8 - x
2
(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)
0
7
2
= 3,5 (0;3,5)
2 3 (2;3)

69
A U L A Agora, vamos verificar esse resultado, achando algebricamente a solução:
x - y = 5
x + 2y = 8
Por substituição temos:
x = 5 + y ® 5 + y + 2y = 8 ® 3y = 3
y = 1 ® x = 6
Solução:Solução:Solução:Solução:Solução: (6; 1)
Podemos concluir que a solução de um sistema do 1Podemos concluir que a solução de um sistema do 1Podemos concluir que a solução de um sistema do 1Podemos concluir que a solução de um sistema do 1Podemos concluir que a solução de um sistema do 1º grau com duasgrau com duasgrau com duasgrau com duasgrau com duas
variáveis é representada graficamente pela interseção de duas retas.variáveis é representada graficamente pela interseção de duas retas.variáveis é representada graficamente pela interseção de duas retas.variáveis é representada graficamente pela interseção de duas retas.variáveis é representada graficamente pela interseção de duas retas.
Muitas vezes, a solução de um sistema pode nos levar a resultados curiosos.
Nesse caso, a solução gráfica pode ser um excelente recurso para entender a
solução.
EXEMPO 4EXEMPO 4EXEMPO 4EXEMPO 4EXEMPO 4
Resolva algebricamente o sistema:
2x + y = 0
2x + y = 3
Usando um recurso do cálculo e resolvendo por adição, temos:
2x + y = 0 ´ (-1) - 2x - y = 0
2x + y = 3 2x + y = 3 +
0 = 3 ® falso
Mas, como 0 ¹ 3 (zero é diferente de 3), dizemos que chegamos a uma
identidade falsaidentidade falsaidentidade falsaidentidade falsaidentidade falsa.
Vamos verificar qual o significado dessa identidade falsa, resolvendo grafi-
camente o sistema:
2x + y = 0
2x + y = 3
Observe que as retas que representam as equações que formam o sistema
são paralelasparalelasparalelasparalelasparalelas. Logo, não há ponto de interseção entre elas, o que significa
que o sistema não tem soluçãoo sistema não tem soluçãoo sistema não tem soluçãoo sistema não tem soluçãoo sistema não tem solução.
x y=-2x (x;y) x y=3-2x (x;y)
0 0 (0;0) 0 3 (0;3)
1 -2 (1;-2) 1 1 (1;1)

69
A U L AUm sistema indeterminado
Resolva algebricamente o sistema abaixo e, depois, verifique o significado
da solução encontrada.
x - y = 3
2x - 2y = 6
Por substituição, temos: x = 3 + y
2x - 2y = 6 ® 2 (3 + y) - 2y = 6 6 + 2y - 2y = 6 ® 6 = 6 ® (verdadeiro)
Agora vamos resolver graficamente o sistema e verificar o significado da
solução.
x - y = 3
2x - 2y = 6
As duas equações que formam o sistema são representadas por uma únicaúnicaúnicaúnicaúnica
retaretaretaretareta. Logo todas as soluções de uma equação são também soluções da outra
equação. O que significa que há infinitas soluções, ou seja, a solução éa solução éa solução éa solução éa solução é
indeterminadaindeterminadaindeterminadaindeterminadaindeterminada.
Represente num mesmo plano cartesiano as retas 2x + 3y = 11 e 11x + 4y = 22.
Determine a solução do sistema 2x + 3y = 11 ?
x - y = - 2
Represente graficamente cada um dos sistemas a seguir e, depois, verifique
a solução algebricamente.
a)a)a)a)a) x + y = 1 b)b)b)b)b) 2x + y = 1
2x - y = 14 2x + y = 3
c)c)c)c)c) x - y = - 3 d)d)d)d)d) x + y = 4
x + 2y = 3 2x - 2y = 8
Sejam aaaaa e bbbbb as retas que representam as equações de um sistema do 1º grau.
O que podemos afirmar sobre a solução do sistema, quando:
a)a)a)a)a) aaaaa e bbbbb são retas concorrentes;
b)b)b)b)b) aaaaa e bbbbb são retas coincidentes, isto é, representam a mesma reta;
c)c)c)c)c) aaaaa e bbbbb são retas paralelas.
xxxxx y=xy=xy=xy=xy=x-33333 (x;y)(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)
0 - 3 (0;- 3)
1 - 2 (1;- 2)
xxxxx y =
2x - 6
2
(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)
0 - 3 (0;- 3)
1 - 2 (1;- 2)
Exercícios

70
A U L A
70
A U L A
Equacionando
problemas ----- I
Introdução Você já percebeu que a Matemática é um
excelente recurso para resolver muitos dos problemas do nosso dia-a-dia. Mas
a Matemática também pode ser vista sob um outro aspecto: o da brincadeira.
Problemas que envolvem jogos e desafios lógicos têm contribuído para
estimular a inteligência do ser humano ao longo de toda a história. Há registro
desse tipo de brincadeiras desde a Antigüidade.
Nesta aula, nós vamos apresentar alguns desses desafios. Certamente, você
também se sentirá estimulado a resolvê-los. Afinal, quem nunca brincou de
adivinhar?
Como descobrir o número pensado por outra pessoa?
Essa é uma brincadeira bastante antiga (livros do século XII já faziam
referência a esse tipo de jogo como uma atividade comum entre pessoas).
Consiste no seguinte: uma pessoa propõe a outra que pense em um número
qualquer. Após alguns comandos, a pessoa que propôs o jogo adivinha o
número pensado pela outra. Vamos ver um exemplo.
EXEMPLO 1
Duas pessoas, A e B, estão jogando. A dá alguns comandos para B.
COMANDOS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
l Pense num número qualquer. l B pensou no número 5.
l Encontre o seu dobro. l 5 x 2 = 10
l Some 3 ao resultado. l 10 + 3 = 13
l Triplique o valor encontrado. l 13 x 3 = 39
l Subtraia 9 do resultado. l 39 - 9 = 30
l Divida tudo por 6. l 30 : 6 = 5
l Quanto deu? l 5
l Este é o número no qual você pensou!
Nossa aula

70
A U L AVamos escrever em linguagem matemática o que ocorreu:
l Pense um número qualquer: x
l Encontre o seu dobro: 2 . x = 2x
l Some 3 ao resultado: 2x + 3
l Triplique o que você achou: 3 . (2x + 3) = 6x + 9
l Subtraia 9 ao resultado: 6x + 9 - 9 = 6x
l Divida tudo por 6: 6x : 6 = x
Porque esse jogo dá certo?
Observe que há comandos que anulam os anteriores, como por exemplo:
“achar o dobro” e “triplicar” são anulados pelo comando “divida tudo por 6”.
Os comandos que se anulam são determinados pelas operações inversas.
Recordando operações inversas
Uma operação é inversa de outra quando desfaz o que a outra faz.
l A adição e a subtração são operações inversas:
l A multiplicação e a divisão são operações inversas:
l A potenciação e a radiciação são operações inversas:

70
A U L A Adivinhando um número novamente
Vamos ver mais um exemplo desse jogo de “adivinha”:
EXEMPLO 2
A pessoa A diz os seguintes comandos para a pessoa B:
l Pense em um número par.
l Triplique o número escolhido.
l Divida o resultado por 2.
l Triplique o resultado.
l Divida o que foi encontrado por 9.
l Multiplique por 2.
l A: O resultado final é o número que você pensou.
Vamos ver em linguagem matemática o que ocorreu:
COMANDOS LINGUAGEM MATEMÁTICA
l pense um número par l 2x (*)
l triplique o número pensado l 2x . 3 = 6x
l divida o resultado por 2 l 6x : 2 = 3x
l triplique o resultado l 3x . 3 = 9x
l divida o que deu por 9 l 9x : 9 = x
l multiplique por 2 l x . 2 = 2x
(*) A expressão geral para indicar um número par é 2x. Veja que,
para qualquer valor atribuído a x, o número 2x é par.
Observe que, novamente, foram feitas operações inversas, permitindo que
se retornasse ao número pensado inicialmente.
Jogando com a calculadora
Há pessoas que dizem que os números se relacionam com a sorte. Outras,
simplesmente, simpatizam mais com este ou aquele número. E você, também
tem um número de sua preferência?
Nesse jogo você poderá escolher um número de 1 a 9 e fazer com que
somente ele apareça no visor de uma calculadora, por meio de algumas
operações bem simples. Vamos ver um exemplo.

70
A U L AEXEMPLO 3
Imagine que você tenha escolhido o número 5.
Digite na calculadora o número 1 2.3 4 5.6 7 9.
Agora, multiplique esse número por 45.
Veja que, no visor, aparece somente o número 5.
Desvendando o mistério!
Muita gente acha que 1 2.3 4 5.6 7 9 é um número misterioso. A matemática
vai mostrar que não há nenhum mistério. Veja a aplicação:
O número 1 1 1.1 1 1.1 1 1 é divisível por 9 e o quociente dessa divisão é
12.3456.79. Experimente fazer a conta na calculadora:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 .
... 12345679
0
Portanto: 1 2.3 4 5.6 7 9 x 9 = 111.111.111.
OFF ON
C%
MMR - M+ /+-
7 8 9
5 64
1 2 3
x
-
0
OFF
OFF ON
C%
MMR - M+ /+-
7 8 9
5 64
1 2 3
x
-
0
OFF

70
A U L A Quando multiplicamos 1 2.3 4 5.6 7 9 por 45, estamos, na verdade,
multiplicando-o por 9 x 5.
Logo: 1 2.3 4 5.6 7 9 x 45 =
= 1 2.3 4 5.6 7 9 x 9 x 5 =
= 1 1 1.1 1 1.1 1 1 x 5 = 5 5 5.5 5 5.5 5 5
Veja que curioso:
1 2.3 4 5.6 7 9 x 19 (9 x 1) = 111.111.111
1 2.3 4 5.6 7 9 x 18 (9 x 2) = 222.222.222
1 2.3 4 5.6 7 9 x 27 (9 x 3) = 333.333.333
1 2.3 4 5.6 7 9 x 36 (9 x 4) = 444.444.444
... ...
A álgebra desvendando mistérios
Você já sabe que a álgebra é uma linguagem matemática que auxilia a
resolver problemas, isto é, pela álgebra podemos equacionar problemas.
PROBLEMA 1
Vamos resolver um “mistério” sobre a vida de Diofanto, um notável
matemático da Antigüidade. Tudo o que se conhece a seu respeito encontra-se
na dedicatória escrita em seu túmulo sob a forma de um problema matemático.
Veja o que ela diz:
LINGUAGEM CORRENTE LINGUAGEM MATEMÁTICA
CAMINHANTE! AQUI FORAM SEPULTADOS OS RESTOS DE
DIOFANTE. E OS NÚMEROS PODEM MOSTRAR - OH,
MILAGRE - QUÃO LONGA FOI SUA VIDA, x
CUJA SEXTA PARTE CONSTITUIU SUA FORMOSA INFÂNCIA
x
6
E MAIS UM DUODÉCIMO PEDAÇO DE SUA VIDA HAVIA
TRANSCORRIDO QUANDO DE PÊLOS SE COBRIU O SEU ROSTO.
x
12
E A SÉTIMA PARTE DE SUA EXISTÊNCIA TRANSCORREU EM
UM MATRIMÔNIO SEM FILHOS.
x
7
PASSOU-SE UM QÜINQÜÊNIO MAIS E DEIXOU-O MUITO
FELIZ O NASCIMENTO DE SEU PRIMEIRO FILHO, 5
CUJO CORPO ENTREGOU À TERRA, SUA FORMOSA VIDA,
QUE DUROU SOMENTE A METADE DA DE SEU PAI.
x
2
E COM PROFUNDO PESAR DESCEU À SEPULTURA, TENDO
SOBREVIVIDO APENAS QUATRO ANOS AO DESCANSO DE
SEU FILHO. 4
DIGA-ME: QUANTOS ANOS TINHA DIOFANTO QUANDO LHE
CHEGOU A MORTE? x =
x
6
+
x
12
+
x
7
+ 5 +
x
2
+ 4

70
A U L ASolução
x =
x
6
+
x
12
+
x
7
+ 5 +
x
2
+ 4 igualando os denominadores
e simplificando
84x
84
=
14x + 7x +12x + 420 + 42x + 336
84
84x - 14x - 7x - 12x - 42x = 420 + 336
9x = 756
x = 84
Desse modo, ficamos conhecendo alguns dados biográficos sobre Diofanto:
casou-se aos 21 anos, foi pai aos 38, perdeu o filho aos 80 e morreu aos 84.
PROBLEMA 2
Vamos ver mais um problema bastante antigo que pode ser traduzido para
a linguagem da álgebra.
Um cavalo e um burro caminharam juntos levando no lombo pesados sacos.
Lamentava-se o cavalo de sua pesada carga, quando o burro lhe disse: “De que
te queixas? Se eu levasse um dos teus sacos, a minha carga seria o dobro. Pelo
contrário, se te desse um saco, a tua carga seria igual à minha”. Qual a carga
de cada um dos animais?
Vamos equacionar o problema, isto é, escrevê-lo na linguagem da álgebra:
Sejam x = a carga do cavalo e y a carga do burro.
LINGUAGEM CORRENTE LINGUAGEM DA ÁLGEBRA
Se eu levasse um de teus sacos, x - 1
a minha carga y + 1
seria o dobro da tua. y + 1 = 2 (x - 1)
Se eu te desse um saco, y - 1
a tua carga x + 1
seria igual à minha, y - 1 = x + 1
Temos, então, um sistema com duas equações do 1º grau:
y + 1 = 2 (x - 1) ® y - 2x = - 3
y - 1 = x + 1 y - x = 2
resolvendo o sistema, temos x = 5 e y = 7.
Logo, a carga do burro era de 7 sacos e a do cavalo, de 5 sacos.
Este é um dos mais curiosos problemas que se conhece. E também um dos
mais antigos: tem mais de 2000 anos!

70
A U L A Um viajante chega à margem de um rio levando uma raposa, uma cabra e
um pé de couve. Ele deseja atravessar o rio, mas o único barco que se encontra
lá é pequeno e só pode transportar dois elementos de cada vez: ele e um de seus
pertences. O viajante deseja levar todos os seus pertences para a outra margem,
sem perder nenhum deles. Ele sabe que:
— se deixar a cabra com a couve, a cabra come a couve;
— e se deixar a raposa com a cabra, a raposa come a cabra.
O que ele deve fazer?
Tente resolver esse problema antes de ler a solução! Ele não precisa de
equação para ser resolvido; precisa, sim, de muito raciocínio!
Solução
Como nada foi dito sobre a raposa e a couve, podemos concluir que podem
ficar juntos sem prejuízo para o viajante. Sendo assim, veja o que o viajante faz
para resolver seu problema:
— levou a cabra, voltou e pegou a raposa;
— deixou a raposa e trouxe a cabra de volta;
— levou a couve e voltou para pegar a cabra.
Seguiu seu caminho feliz por não ter perdido nenhum de seus pertences.
Agora que você conhece esse aspecto divertido da Matemática, que tal
pesquisar ou inventar outros problemas?
Por enquanto, aqui vão algumas sugestões que, certamente, irão “aguçar”
seu raciocínio.

70
A U L AExercício 1
Um número, sua metade e sua terça parte somam 77. Qual é o número?
Exercício 2
Pensei num número, multipliquei-o por 2 e ao resultado somei 8, obtendo
20. Em que número pensei?
Exercício 3
Descubra o valor das letras, na conta abaixo, considerando que letras iguais
representam o mesmo número:
AB
BA +
CAC
Exercício 4
Que comandos anulam os seguintes comandos?
a) Somar 8 e multiplicar por 2.
b) Triplicar e multiplicar por 5.
Exercício 5
Invente uma série de comandos que levem você a adivinhar o número
pensado por um amigo.
Exercícios

71
A U L A
71
A U L A
Operando com
potências
Introdução Operações com potências são muito utiliza-
das em diversas áreas da Matemática, e em especial no cálculo algébrico. O
conhecimento das propriedades operatórias da potenciação pode facilitar a
resolução de cálculos com expressões algébricas, que de outra forma seriam
bastante trabalhosos.
Para estudar essas propriedades, vamos antes rever algumas definições de
potências com expoentes inteiros e bases reais.
Potenciação, por definição, é uma forma prática e simples de se represen-
tar uma multiplicação de fatores iguais.
Na potenciação, o fator da multiplicação chama-se base e o número de
vezes que o fator se repete é representado pelo expoente. Por exemplo:
l 5 x 5 = 25 « 5
2
= 25 Onde 5 é a base e 2 é o expoente.
Lê-se: “5 ao quadrado”.
2 vezes
l 2 x 2 x 2 = 8 « 2
3
Lê-se: “2 ao cubo”.
3 vezes
l 3 x 3 x 3 x 3 = 81 « 3
4
Lê-se: “3 à 4ª potência”.
4 vezes
De maneira geral, podemos escrever:
a . a . a ... a = an
se n > 2 (número inteiro)
n vezes
Nossa aula

71
A U L AAlguns casos especiais da potenciação:
l a1
= a para qualquer a
l a
0
= 1 se a ¹¹¹¹¹ 0
l a-n
=
1
an se a ¹¹¹¹¹ 0
Além dessas definições, convenciona-se ainda que:
- 32
significa - (3)2
= - (3 . 3) = - 9 e
(- 3)
2
= (- 3) . (- 3) = + 9
Portanto: - 32
¹¹¹¹¹ (- 3)2
Isso nos leva a concluir que, se a base é um número negativo e está elevada
a um expoente positivo, é indispensável o uso dos parênteses. Caso os
parênteses não sejam utilizados o resultado encontrado poderá ser incorreto.
Vejamos alguns exemplos numéricos de aplicação das propriedades
vistas até aqui:
l 70
= 1 l (- 2)2
= + 4
l 61
= 6 l 3-2
=
1
32
=
1
9
l - 22
= - 4 l
Para calcular o valor de uma potência, quase sempre precisamos efetuar a
multiplicação equivalente. Assim, por exemplo, para comparar duas ou mais
potências é necessário conhecer antes os seus valores. Por exemplo:
l As potências 3
-2
e (-3)
-2
são iguais ou diferentes?
3-2
=
1
32
=
1
9
e
Portanto as duas potências são iguais e podemos escrever: 3
-2
= (- 3)
-2
l Qual é a maior 6
-2
ou -6
2
?
6-2
=
1
62
=
1
36
ou - 62
= -(6 . 6) = -36
Vimos que 6
-2
resulta num número positivo e -6
2
resulta num número
negativo. Todo número positivo é maior que qualquer número negativo.
Logo: 6
-2
> -6
2
.
æ
è
1
2
ö
ø
³¯
=
(-3) =
1
(-3)
=
1
9
-
-³
³
1
(½)³
= 1
8
_( )
1 8=

71
A U L A
l Qual é o número menor: ou ?
e
Se as frações fossem positivas, a menor seria a que tem o maior denomi-
nador, portanto 1
32
.
Como as frações são negativas o resultado é ao contrário e teremos como
resposta: >
Sugestão: represente as frações obtidas na reta numérica.
Para efetuar operações com potências, também é necessário calcular
antes o valor de cada potência. Por exemplo:
l 3
2
+ 2
3
= 9 + 8 = 17
l 5
3
- 7
2
= 125 - 49 = 76
l 2
3
·. 3
2
= 8 . 9 = 72
l 4
2
: 2
3
= 16 : 8 = 2
Propriedades da potenciação
Vamos apresentar agora as propriedades operatórias, no caso especial das
potências de bases iguais. Nesses casos, podemos resolver a multiplicação sem
efetuar as potências e obteremos o resultado em forma de potência.
Multiplicação de potências de bases iguais
l 2
4
x 2
4
= 2
4+2
= 2
6
porque 2
4
x 2
2
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2
6
4 vezes 2 vezes
l 75
x 7-3
= 75 + (-3)
= 75-3
= 72
Generalizando, para multiplicar potências de bases iguais, repetimos a base
e somamos os expoentes.
a
m
. a
n
= a
m+n
ø
ø ø
æ_ 1
2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
ö ö
ö
è
³5
øø
ø
ø
ø
ø
ø
ø
ø ø
ø
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
æ_ 1
è 2
ö ö
ö ö
öö ö
ö
ö
ö
ö
³
5
5
æ_ 1
è 2
_ 1
32
_ 1
8
= . . . . =
= . . =
³

71
A U L A
Divisão de potências de bases iguais
l 54
¸ 52
=
54
52
=
5· 5· 5· 5
5· 5
= 5· 5 = 52
l 7
-3
: 7
2
= 7
-3-2
= 7
-5
l 9
4
: 9
6
= 9
4-6
= 9
-2
Então, para dividir potências de bases iguais, repetimos a base e subtraímos
os expoentes.
a
m
::::: a
n
= a
m - n
Potenciação de potência
l (3
2
)
3
= (3
2
) . (3
2
) . (3
2
) = 3
2 x 3
= 3
6
3 vezes
l
Então, para elevar uma potência a um expoente, repetimos a base e multi-
plicamos os expoentes.
(am
)
n
= a m . n
Distributividade da potenciação em relação à multiplicação
l (2 x 3)
3
= (2 x 3) . (2 x 3) . (2 x 3) = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 = 8 . 27
3 vezes 3 vezes 3 vezes
l
Para elevar um produto a um expoente, elevamos cada fator ao mesmo
expoente.
(a . b)
m
= a
m
. b
m
:
. . .
æ 1 ö
è 2²
(2
(-2)
)
4
ø
==
1
28
2
-8
4
=
(5 x 7) =
-2 1
(5 x 7)²
1
5² x 7²
= 5
-2 -2
x 7=

71
A U L A
Distributividade da potenciação em relação à divisão
l
2 vezes
l
Para elevarmos um quociente (ou uma fração) a um expoente, elevamos o
dividendo e o divisor (ou o numerador e o denominador) ao mesmo expoente.
ou
Aplicações
Como já foi dito no início da aula, uma das maiores aplicações das
propriedades operatórias das potências de bases iguais está no cálculo
algébrico. Na Aula 62, efetuamos a adição e a subtração de expressões algébri-
cas. Vejamos nos exemplos, a multiplicação e a divisão dessas expressões e
verificaremos o uso constante das propriedades estudadas.
l x
2
· x
3
· x
5
= x
10
l y
2
· (y
2
+ y + 1) = y
2
· y
2
+ y
2
· y + y
2
· 1 = y
4
+ y
3
+ y
2
l (- 2xy)
3
= (- 2)
3
· x
3
· y
3
= - 8x
3
y
3
l (x
2
)
3
· x-4 = x
6
· x- 4 = x
7
- 4
l (2x5
+ 3x4
) ¸ x3
= (2x5
¸ x3
) + (3x4
¸ x3
) = 2x2
+ 3x
l
xyβ γ4
x2
yβ γ-1 =
x4
· y4
x2β γ-1
· y-1
=
x4
· y4
x-2 · y-1
=
x4
x-2
·
y4
y-1
= x6
· y5
(7 : 3)² =
æ7ö
è3ø
æ7ö
è3
.
ø =
7 . 7 7²
3 . 3 3² = 7² : 3²
æ4ö
è5
-3
ø -3
-3
4
5
=
(a : b)
m
= a : b
m m
æaö
èbø
=
a
bm
mm
(xy)4
(x- )
-
(x )
-
.
.
.
.
.

71
A U L A
As propriedades podem ser usadas em expressões numéricas como uma
forma de simplificação dos cálculos. Veja:
l 2 . 128 . 32 = 2 . 2
7
. 2
5
= 2
13
l (4
3
)
2
: 16 = 4
6
: 4
2
= 4
4
l
52
· 53
625
=
52
· 53
54
=
55
54
= 51
= 5
Exercício 1
Verifique se as sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F):
a) ( ) 4
-2
= - 16
b) ( ) 7
-3
. 7
3
= 1
c) ( )
1
x
Φ
Η
Ι
Κ
-2
= x2
d) ( ) -3-2
=
1
9
Exercício 2
Qual é a maior -
1
5
Φ
Η
Ι
Κ
2
ou -
1
5
Φ
Η
Ι
Κ
3
?
Exercício 3
Se 2
x
= 4, qual é o valor de 2
1
+x? E qual o valor de 2
3
-x?
Exercício 4
Efetue as operações nas seguintes expressões algébricas:
a) x3
. (x + x2
+ x4
) =
b) (7x
5
- 8x
4
) : x
4
=
c) (6x
3
+ 3x
2
) : (-3x) =
d) (x2
+ y) . xy =
Exercícios
æ_
è
ö²
ø
æ_
è ø
³ö
æ1ö
èxø
. .

72
A U L A
72
A U L A
Produtos notáveis
Introdução
Nossa aula
Ocálculo algébrico é uma valiosa ferra-
menta para a álgebra e para a geometria. Em aulas anteriores, já vimos
algumas operações com expressões algébricas.
Nesta aula, estudaremos alguns produtos especialmente importantes por-
que aparecem com muita freqüência no cálculo algébrico. Esses produtos são
conhecidos pelo nome de produtos notáveis. Produto por ser resultado de
uma multiplicação, e n o t á v e l por ser importante, digno de nota, que se destaca.
Vamos verificar que podemos calcular a área de algumas figuras de
maneiras diferentes.
Primeiro produto notável
Vejamos a área da figura abaixo, cujo lado mede a.
Área: a2
Aumentando de b a medida de cada lado desse quadrado, determinamos
um quadrado de lado a + b, assim:
Área: (a + b)
2

72
A U L AOutra maneira de calcular a área desse quadrado é somando as áreas de
cada uma das figuras que o formam. Observe que temos dois quadrados, de
lados a e b respectivamente, e dois retângulos iguais, cujas dimensões são a e b:
(a + b)
2
= a
2
+ 2·ab + b
2
Podemos ainda calcular a área desse quadrado usando cálculo algébrico:
(a + b)
2
= (a + b) (a + b) Elevar ao quadrado éo mesmoque
multiplicar dois fatores iguais.
(a+b)(a+b)=a
2
+ab+ba+b
2
= Aplicando a propriedade distributiva
da multiplicação.
= a
2
+ ab + ab + b
2
= a
2
+ 2ab + b
2
Efetuando os termos semelhantes.
Logo:
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
O trinômio obtido é chamado de trinômio quadrado perfeito por ser o
resultado do quadrado de (a + b).
Observe novamente esse produto:
quadrado da soma trinômio quadrado perfeito
( a + b )2
= a2
+ 2ab + b2
å â â æ æ
1º termo 2º termo quadrado duas vezes quadrado
do 1º o 1º pelo 2º do 2º
Portanto, o primeiro produto notável pode ser lido assim:
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo,
mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º termo.

72
A U L A EXEMPLO 1
Podemos calcular (2 + 3)
2
de duas maneiras:
(2 + 3)2
= 52
= 25
(2 + 3)
2
= 2
2
+ 2 . 2 . 3 + 3
2
= 4 + 12 + 9 = 25
Encontramos o mesmo resultado nos dois caminhos usados.
É claro que, nesse exemplo, não faz sentido usar a conclusão do produto
notável, pois, como os termos da soma são números, podemos achar diretamen-
te o resultado, somando os números e elevando o resultado ao quadrado.
No caso de uma soma algébrica, é impossível efetuar a adição, e então
temos de usar a regra do produto notável.
EXEMPLO 2
l (x + 1)
2
= x
2
+ 2 . x . 1 + 1
2
= x
2
+ 2x + 1
l (3x + 4)
2
= (3x)
2
+ 2 · (3x) · 4 + 4
2
= 9x
2
+ 24x + 16
l
x
2
+ y
Φ
Η
Ι
Κ
2
=
x
2
Φ
Η
Ι
Κ
2
+ 2·
x
2
Φ
Η
Ι
Κ· y + y2
=
x2
4
+ xy + y2
l (a
2
+ 3b)
2
= (a
2
)
2
+ 2 · a
2
· 3b + (3b)
2
= a
4
+ 6a
2
b + 9b
2
Segundo produto notável
O segundo produto notável é o quadrado da diferença entre dois termos
e é praticamente igual ao primeiro produto, sendo a única diferença o sinal.
Vamos calculá-lo:
(a - b)
2
= (a - b) (a - b) = a
2
- ab - ba + (- b)
2
=
= a2
- ab - ab + b2
= a2
- 2ab + b2
Logo:
(a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
que pode ser lido assim:
O quadrado da diferença d e dois termos é igual ao quadrado
do 1º termo, menos duas vezes o produto do 1º termo pelo
2º termo, mais o quadrado do 2º termo.
æx
è2
ö
ø
æxö
è2ø
æxö
è2ø
. .
. .

72
A U L AEXEMPLO 3
l (a - 2)
2
= a
2
- 2 . a . 2 + 2
2
= a
2
- 4a + 4
l (x
2
- 2y)
2
= (x
2
)
2
- 2 . x
2
. 2y + (2y)
2
= x
4
- 4x
2
y + 4y
2
l
Terceiro produto notável
O terceiro produto notável pode ser mostrado por meio do cálculo da área
de uma figura. Essa área será calculada também de duas maneiras diferentes.
A área que devemos calcular é a da figura pintada em forma de L que tem
três dimensões diferentes a, b e c.
Completando as linhas tracejadas, obtemos um quadrado maior de lado a
e um quadrado menor de lado b.
A área da figura pintada pode ser calculada fazendo-se a diferença entre a
área do quadrado maior e a área do quadrado menor:
Área do L = área do quadrado maior - área do quadrado menor
Área do L = a
2
- b
2
Outra maneira para calcular a área do L é decompor a figura em dois
retângulos, assim:
Observe na figura anterior, que c = a - b
æ
è
æ3y
è 4ø ø
öö
(4x)²4x - -2 . 4x .3y
4
+
3y
4
= 16x² - 6xy + 9y²
16
=
²²

72
A U L A Como os dois retângulos têm uma das dimensões iguais (c), vamos
colocá-los juntos de maneira a formar um só retângulo de medidas a + b e a
- b.
comprimento: a + b
largura: a - b
Calculando a área do retângulo, que é igual à área do L, temos:
Área do retângulo: (a + b) (a - b)
Então:
(a + b) (a - b) = a
2
- b
2
que pode ser lido:
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual
ao quadrado do 1º termo menos o quadrado do 2º termo.
EXEMPLO 4
l (x + 2) (x - 2) = x
2
- 2
2
= x
2
- 4
l (2x - 5y) (2x + 5y) = (2x)
2
- (5y)
2
= 4x
2
- 25y
2
l (a
2
+ b) (a
2
- b) = (a
2
)
2
- b
2
= a
4
- b
2
l
Observações
1. Quando se diz “o quadrado da soma de dois números”, essa sentença é
representada algebricamente por (x + y)
2
.
2. Quando se diz “a soma dos quadrados de dois números”, a expressão
correspondente é x
2
+ y
2
.
3. Da mesma forma, “o quadrado da diferença” representa-se por (x - y)
2
e “a
diferença entre dois quadrados” por x
2
- y
2
.
æx yö
è2 3
ö ö ö
ø øøø
.
æx y
è2 3
+ -=
x
2
²
- y
3
²
=
x² y²
4 9
æ
è
æ
è
-

72
A U L AResumindo
Os três produtos notáveis estudados nesta aula são:
1. Quadrado da soma de dois termos: (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
2. Quadrado da diferença de dois termos: (a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
3. Produto da soma pela diferença de dois termos: (a + b) (a - b) = a
2
- b
2
Exercício 1
Sabendo que x
2
+ y
2
= 29 e (x + y)
2
= 49 são números inteiros positivos,
determine:
a) x + y
b) xy
c) x e y
Sugestão: desenvolver (x + y)
2
e substituir (x + y)
2
e x
2
+ y
2
pelos seus valores
dados pelo enunciado.
Exercício 2
Efetue:
a) (2x + 3y)
2
b) x -
y
2
Φ
ΗΓ Ι
Κϑ
2
c) (x
2
- 2xy) (x
2
+ 2xy)
Exercício 3
Qual o polinômio que somado a (a + 2) (a - 2) dá (a + 2)2
como resultado?
Exercício 4
Observe os seguintes trinômios quadrados perfeitos e determine os qua-
drados correspondentes:
a) x2
+ 2ax + a2
b) 4x
2
+ 4x + 1
Exercícios
æ
è
x
ø
ö

73
A U L A
73
A U L A
Fatoração
Introdução A palavra fatoração nos leva a pensar em
fatores, e, como já sabemos, fatores são os elementos de uma multiplicação.
Fatorar um número, portanto, é escrevê-lo na forma de uma multiplicação de
fatores. Por exemplo, o número 16 pode ser escrito como uma multiplicação de
fatores, de várias maneiras:
16 = 2 x 8
16 = 4 x 4
16 = 2 x 2 x 2 x 2 ou ainda 16 = 2
4
No caso de uma expressão numérica, cujas parcelas têm um fator comum,
podemos fatorá-la, assim:
7 x 2 + 5 x 2 = (7 + 5) x 2 ® forma fatorada da
expressão numérica
soma de 2 parcelas produto de dois fatores
Vamos aprender, nesta aula, a fatoração de expressões algébricas, que é
muito utilizada para a simplificação dos cálculos algébricos.
Vamos considerar um terreno formado por dois lotes de comprimentos
diferentes e de mesma largura:
Podemos calcular a área total do terreno de duas maneiras diferentes:
l Calculando a área de cada lote e depois somando-as.
l Somando os comprimentos dos dois lotes e calculando diretamente a
área total do terreno.
Nossa aula

73
A U L A
As duas maneiras dão o mesmo resultado; portanto, podemos escrever:
Área do lote I: ax
Área do lote II: bx
Comprimento total do terreno: (a + b)
Área do terreno: (a + b) x
Logo: ax + bx = (a + b) x
soma de duas produto de
parcelas dois fatores
Portanto, sempre que numa soma de duas ou mais parcelas houver um fator
comum a todas as parcelas (como o x em ax + bx), podemos fatorar essa
expressão, e esse fator comum será um dos fatores da expressão após ser
fatorada.
Como fazer para descobrir o outro fator da expressão fatorada?
Basta dividir a expressão que vai ser fatorada pelo fator comum.
EXEMPLO 1
Fatore a expressão: 3xy + 6x. Temos que 3 e x são fatores comuns às duas
parcelas. Podemos, então, escrever a expressão assim:
simplificando as frações
3xy + 6x = 3x (y +2)
Dizemos que o fator3x foi colocado “em evidência”, isto é, “em destaque”.
Na prática, as divisões feitas dentro dos parênteses são feitas “de cabeça”.
EXEMPLO 2
Fatore 2a2
b - 4ab2.
Os fatores comuns são 2, a e b.
Colocando 2.a.b “em evidência”, temos:
2a
2
b - 4ab
2
= 2ab . (a - 2b) divisão feita “de cabeça”
Para ter certeza de que a divisão foi feita corretamente, você pode fazer a
verificação assim:
2ab (a - 2b) = 2a
2
b - 4ab
2
Ou seja, foi usada a propriedade distributiva da multiplicação para verificar
se a fatoração está correta.
// /
/ /
2
Somando as duas áreas: ax + bx
/
= 3x .
æ3xy
è 3x
ö
ø
6x
3x/
+
æ3xy 6x
è 3x 3xø
ö3xy + 6x = 3x . +

73
A U L A Podemos também fatorar as expressões algébricas que são resultados de
produtos conhecidos, como os produtos notáveis estudados na aula anterior.
A expressão a
2
- b
2
é resultado do produto (a + b) · (a - b); então podemos
fatorar toda expressão da seguinte maneira:
l 4x
2
- 9 = (2x + 3) (2x + 3) ® forma fatorada
ß ß
(2x)
2
3
2
l 36a
2
- 1 = (6a + 1) (6a - 1)
ß ß
(6a)
2
1
2
l
ß ß
4
2
Os outros dois produtos notáveis resultam em trinômios quadrados
perfeitos. Como os dois casos diferem apenas num sinal, podemos escrever os
dois juntos usando os dois sinais ao mesmo tempo, assim:
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
Que se lê:
“O quadrado da soma ou da diferença de dois termos é igual ao
quadrado do 1º termo, mais ou menos duas vezes o 1º pelo 2º termo, mais o
quadrado do 2º termo.”
Então, sempre que tivermos um trinômio quadrado perfeito podemos
fatorá-lo escrevendo-o na forma de um quadrado da soma ou da diferença de
dois termos. Por exemplo:
l x
2
+ 8x + 16
ß ß
quadrado quadrado
de x de 4
2 . x . 4
Então, podemos escrever:
x2
+ 8x + 16 = (x + 4)2
® forma fatorada
/
öæ
è
4
ø
ø
ö
ö
16 -
x²
25
= 4 +
x
5
.
ø
-
x
5
æ
è
x
5
æ
è
²

73
A U L A
/
l a
2
+ 8a + 9
ß ß
quadrado quadrado
de a de 3
2 . a . 3
6a ¹ 8a
Nesse caso, o trinômio não é quadrado perfeito e, portanto, não pode ser
fatorado.
l x
4
- 2x
2
+ 1
ß ß
(x
2
)
2
1
2
2 . x
2
.1
2x
2
O trinômio é quadrado perfeito e vamos escrevê-lo na forma fatorada:
x
4
- 2x
2
+ 1 = (x
2
- 1)
2
Exercício 1
Calcule o valor de 5 · 36 + 5 . 24 + 5 . 15, fatorando antes a expressão.
Exercício 2
Fatore as expressões algébricas, colocando o fator comum em evidência:
a) x2
+ 11x
b) a
2
b + 4ab + ab
2
Exercício 3
Verifique se o trinômio x
2
- 12x + 64 é um trinômio quadrado perfeito,
justificando a resposta.
Exercício 4
Fatore o trinômio a
2
x
2
+ 2ax + 1.
Exercício 5
Fatore a expressão x
4
- 16 e, se ainda for possível, fatore o resultado obtido.
Isso quer dizer fatorar completamente a expressão.
Exercício 6
Simplifique a fração a2
-10a + 25
a - 5
, fatorando antes o numerador da fração.
Exercício 7
Complete o trinômio quadrado perfeito com o termo que está faltando:
x
2
- ..... + 9y
2
/
Exercícios

74
A U L A
74
A U L A
Equação do 2º grau
Introdução Sabemos, de aulas anteriores, que podemos
resolver problemas usando equações. A resolução de problemas pelo método
algébrico consiste em algumas etapas que vamos recordar:
l Representar o valor desconhecido do problema, a incógnita, por uma
letra que, em geral, é a letra x.
l Escrever a senteça matemática que “traduz” o problema. É o que
chamamos de equacionar o problema.
l Resolver a equação do problema.
l Verificar a solução encontrada escolhendo a solução correta, de acordo
com o que foi solicitado no problema.
Nas aulas em que já foram estudados problemas e sua resolução gráfica,
as equações encontradas eram do 1º grau.
Vamos estudar agora as equações do 2º grau, usadas na resolução de
problemas de diferentes assuntos que apresentam necessidade desse tipo
de equação.
Vejamos o seguinte problema: na figura a seguir, temos um retângulo de
comprimento 6 cm e cuja largura é desconhecida, ou seja, não sabemos sua
medida. Ao lado desse retângulo temos um quadrado cujo lado é igual à
largura do retângulo. Vamos determinar o lado do quadrado, sabendo que a
área total da figura é de 16 cm2
.
Nossa aula

74
A U L AChamamos o lado do quadrado, que é a incógnita do problema, de x.
Calculando as áreas do retângulo e do quadrado, temos:
Área do retângulo: 6 . x = 6x
Área do quadrado: x . x = x
2
A área total da figura é:
6x + x
2
= 16 ® equação do problema
Vamos, agora, “arrumar” a equação do problema, colocando todos os
termos no primeiro membro e ordenando-os de acordo com as potências de x,
da maior para a menor, ou seja, de modo decrescente.
x
2
+ 6x - 16 = 0
ß ß ß
termo termo termo
em x
2
em x sem x
Essa equação é da forma ax
2
+ bx + c = 0 e é chamada de equação do
2º grau.
Os coeficientes a, b e c são números reais e a ¹¹¹¹¹ 0. Veja os exemplos:
l Na equação 2x
2
- 4x + 5 = 0, os coeficientes são:
a = 2, b = - 4 e c = 5
l Na equação x
2
+ 5x = 0, os coeficientes são:
a = 1, b = 5 e c = 0 (não existe o termo independente de x)
l Na equação 2x2
- 9 = 0, os coeficientes são:
a = 2, b = 0 e c = - 9 (não existe o termo do 1º grau em x)
l Na equação 4x
2
= 0, os coeficientes são:
a = 4, b = 0 e c = 0 (faltam dois termos)
A equação que encontramos no problema inicial é uma equação completa,
pois não tem coeficientes nulos. Quando uma equação do 2º grau possui um ou
dois coeficientes nulos ela é chamada de incompleta. Aprenderemos como
resolver os diferentes tipos de equação incompletas ainda nesta aula. As
equações completas serão estudadas na próxima aula.

74
A U L A Você se lembra de que, quando definimos equação do 2º grau, escrevemos
que a é diferente de zero. O que aconteceria se a fosse igual a zero?
Vamos substituir a por zero na equação ax
2
+ bx + c = 0.
A equação ficará assim:
0 . x + bx + c = 0
bx + c = 0 ® equação do 1º grau.
Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não pode ser zero pois, anulando
esse termo, a equação deixa de ser do 2º grau.
Resolução de uma equação
Já vimos, quando estudamos equações do 1º grau, que resolver uma
equação é encontrar um valor da variável x que torna a equação verdadeira
quando substituímos x por esse valor.
No caso da equação do 2º grau, podemos encontrar até duas soluções
diferentes para uma equação.
EXEMPLO 1
a) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução da
equação.
A equação é: x2
+ 6x - 16 = 0
Substituindo x por 2, temos:
2
2
+ 6 . 2- 16 = 0
4 + 12 - 16 = 0
16- 16 = 0 ® sentença verdadeira
Logo, x = 2 é uma solução da equação x
2
+ 6x - 16 = 0.
b) Verifique, na mesma equação, se 1 é solução.
Substituindo x por 1, temos:
1
2
+ 6 . 1- 16 = 0
1 + 6 - 16 = 0
7- 16 = 0 ® sentença falsa
Logo, x = 1 não é solução da equação x2
+ 6x - 16 = 0.

74
A U L AResolução das equações incompletas
Equações do 2º grau em que b = 0 (equações do tipo ax
2
+ c = 0)
Nesse caso, a equação só tem um termo em x, então a resolvemos como se
ela fosse uma equação do 1º grau.
ax
2
+ c = 0
ax
2
= - c ® isolando o termo em x no 1º membro
x
2
=
-c
a
® calculando o termo em x
x = ±
-c
a
® extraindo a raiz quadrada
As soluções da equação são x1 = +
-c
a
e x2 = -
-c
a
Esse tipo de equação pode ter duas soluções reais, caso o radicando -c
aseja um número positivo.
Se o radicando for negativo a equação não terá solução, pois a raiz
de índice par de um número negativo não é um número real.
No caso do radicando ser nulo, a equação terá uma única solução,
também nula.
EXEMPLO 2
Resolver a equação 3x
2
- 27 = 0
3x2
= 27
x2
=
27
3
x
2
= 9
x = x = ± 9 ® x = + 3
As soluções da equação são +3 e -3.
æ-c Ð 0ö
è a ø

74
A U L A Equações do 2º grau em que c = 0 (equações do tipo ax
2
+ bx = 0)
Observe que essa equação possui dois termos em x. Nesse caso, podemos
fatorar ax
2
+ bx, colocando x em evidência:
x (ax + b) = 0
Obtivemos um produto de dois fatores que deve ser igual a zero. Logo um
dos fatores deve ser nulo:
x = 0
ì
Se x (ax + b) = 0, então ou
î
ax + b = 0 ® ax = -b
x =
-b
a
As soluções da equação são x1 = 0 e x2 =
-b
a
Nesse tipo de equação, encontraremos sempre duas soluções diferentes,
sendo uma delas igual a zero.
EXEMPLO 3
Resolver a equação 3x
2
- 15x = 0.
x (3x - 15) = 0
x = 0
ou
3x - 15 = 0
3x = 15 ® x =
15
3
® x = 5
As soluções são x1 = 0 e x2 = 5.

74
A U L AExercício 1
Na equação x
2
- 7x + 10 = 0, verifique se o número 5 é solução.
Exercício 2
Qual é o número que elevado ao quadrado é igual ao seu dobro?
Exercício 3
Quais são os coeficientes da equação
x2
2
-
x
4
+ 5 = 0?
Exercício 4
Resolva as equações incompletas:
a) 6x
2
+ 6x = 0
b) 25x
2
= 0
c) 2x
2
= - 8
d) 2x
2
- 72 = 0
Exercício 5
Dados os números 0, - 1, 1, indique quais são soluções da equação:
x
2
+ 3x - 4 = 0.
Exercícios

75
A U L A
75
A U L A
Deduzindo uma
fórmula
Introdução Na aula anterior, vimos que uma equa-
ção do 2º grau é toda equação de forma ax
2
+ bx + c = 0, onde a, b e c são
números reais sendo a ¹¹¹¹¹ 0.
Algumas equações foram resolvidas sem a necessidade de métodos pró-
prios: são as equações incompletas.
Para resolver uma equação completa do 2º grau, é necessário conhecer a
fórmula desenvolvida pelo matemático hindu Bhaskhara, que viveu em torno
de 1115 a.C., e que até hoje leva seu nome: fórmula de Bhaskhara. Ela foi
desenvolvida e generalizada com base no método de completar o quadrado,
que mostraremos nesta aula, e que foi muito usado pelo matemático árabe Al-
Khowarizmi, em fins do século VIII e início do século IX.
Vamos resolver equações do tipo (ax + b)
2
= c, onde o 1º membro é o
quadrado de uma expressão e o 2º membro é um número.
EXEMPLO 1
Resolva a equação (x + 2)
2
= 25.
x + 22
δ ι= ± 25
extraindo a raiz quadrada dos
dois membros da equação
x + 2 = 5
x + 2 = + 5 ou x + 2 = - 5
x = 5 - 2 x = - 5 - 2
x = 3 x = -7
A equação tem duas soluções: 3 e -7.
Esse exemplo nos leva a pensar que, se todas as equações do 2º grau
pudessem ser escritas nessa forma, então sua resolução seria muito simples.
Nossa aula
(x )

75
A U L APara isso, precisaríamos ter sempre no 1º membro da equação um trinômio
quadrado perfeito e escrevê-lo na forma fatorada, como queremos.
Vejamos, agora, como transformar um trinômio qualquer num trinômio
quadrado perfeito, usando o método de completar o quadrado.
EXEMPLO 2
Resolva a equação x
2
+ 8x - 9 = 0.
A equação também pode ser escrita assim: x
2
+ 8x = 9
Qual o termo que devemos somar ao 1º membro, (x
2
+ 8x) para obter um
quadrado perfeito?
Como 8x = 2 . 4 . x, devemos acrescentar 4
2
, ou seja, 16 ao 1º membro. Mas,
como a equação é uma igualdade devemos somar 16 também ao 2º membro:
x
2
+ 8x + 16 = 9 + 16
Fatorando o 1º membro:
(x + 4)
2
= 25
x + 4 = ± 25
x + 4 = + 5 è x = 5 - 4 è x = 1
x + 4 = + 5
x + 4 = - 5 è x = - 5 - 4 è x = - 9
A fórmula obtida por Bhaskhara, que resolve qualquer equação do 2º grau,
é baseada no método de completar o quadrado. Aqui não faremos esse cálculo
e usaremos a fórmula diretamente.
x =
-b ± b2
- 4ac
2a
Fórmula de Bhaskhara
Aexpressãob2
- 4ac é muito importante na resolução da equação do 2º grau.
Por ser ela que “discrimina” o número de soluções da equação, é chamada
discriminante da equação. Podemos representar o discriminante pela letra
grega D (delta).
O discriminante indica o número de soluções da equação do seguinte modo:
l Se b
2
- 4ac < 0, a equação não tem soluções reais.
l Se b2
- 4ac = 0, a equação tem uma solução real.
l Se b
2
- 4ac > 0, a equação tem duas soluções reais.
ì
î

75
A U L A Vamos, então, aplicar a fórmula de Bhaskhara na resolução de uma equação
do 2º grau.
EXEMPLO 3
Resolva a equação 2x
2
+ 5x - 3 = 0.
Em primeiro lugar identificaremos os coeficientes da equação:
a = 2 b= 5 e c = - 3
Em seguida, vamos calcular o valor de D = b
2
- 4ac:
D = 5
2
- 4 . 2 . (- 3)
D = 25 + 24 ® D = 49
Como D > 0, sabemos que a equação tem duas soluções reais.
Vamos aplicar a fórmula:
x =
-b ± b2
- 4ac
2a x1 =
-5 - 7
4
=
-12
4
® x1 = -3
ì
x =
-5 ± 49
2· 2
=
-5 ± 7
4 î x2 =
-5 + 7
4
=
2
4
® x2 =
1
2
As soluções da equação 2x
2
+ 5x - 3 = 0 são -3 e
1
2
.
EXEMPLO 4
Resolva a equação 2x
2
+ 5x + 4 = 0.
a = 2 b = 5 e c = 4
D = b
2
- 4ac
D= 5
2
- 4 . 2 . 4 = 25 - 32 ® D = - 7
Como D < 0, a equação não tem solução real.
_
_

75
A U L AEXEMPLO 5
Resolva a equação x
2
- 6x + 9 = 0.
a = 1 b = - 6 e c = 9
D = b
2
- 4ac
D = (- 6)
2
- 4 · 1 · 9
D - 36 - 36 ® D = 0
Como D = 0, a equação tem uma solução real. Vamos calculá-la:
x =
-b ± D
2a
x =
- -6α φ± 0
2· 1
=
6 ± 0
2
=
6
2
® x = 3
A solução da equação x
2
- 6x + 9 = 0 é 3.
Exercício 1
Resolva a equação (3x - 2)
2
= 4.
Exercício 2
Resolva as equações usando a fórmula de Bhaskhara:
a) 8x
2
- 2x - 1 = 0
b) 3x2
- 8x + 10 = 0
c) -x
2
- 2x + 3 = 0
* Exercício 3
Considere as expressões x
2
- 5x - 6 e 2x - 16. Encontre os valores reais de x
para os quais:
a) a primeira expressão dá 0;
b) a segunda expressão dá 0;
c) a primeira expressão dá 8;
d) a segunda expressão dá 8;
e) as duas expressões têm valores iguais.
* O Exercício 3 foi extraído do livro Matemática na medida certa (8ª série), de
Jakubo e Lellis, Editora Scipione.
Exercícios
(-6)
_

76
A U L A
76
A U L A
Equacionando
problemas ----- II
Introdução Nas duas últimas aulas, resolvemos diver-
sas equações do 2º grau pelo processo de completar o quadrado perfeito ou pela
utilização da fórmula de Bhaskara.
Na aula de hoje, resolveremos alguns problemas com o auxílio dessa
fórmula.
Com a utilização da fórmula de Bhaskara x =
-b ± b2
- 4ac
2a
Φ
Η
Γ
Ι
Κ
ϑ,
podemos solucionar muitos problemas práticos.
Observe o exemplo: a prefeitura de uma cidade deseja cimentar o contorno
de uma praça retangular de 40 m por 20 m. Para que a faixa a ser cimentada seja
uniforme e a área interna da praça tenha 476 m2
, que largura deverá ter essa
faixa?
A área interna da praça é:
(40 - 2x) (20 - 2x) = 476 m
2
Desenvolvendo essa expressão, temos:
4x2
- 120x + 324 = 0
¸ 4
x
2
- 30x + 81 = 0
x =
30 ± 900 - 324
2
=
30 ± 24
2
Nossa aula
æ
è
ö
ø

76
A U L AComo a faixa não pode ser maior que a própria praça, descartamos a raiz
x = 27. Assim, a solução do problema deverá ser a raiz x = 3.
Isto significa que a faixa ao redor da praça deverá ter 3 m de largura.
O número de diagonais de um polígono
Um polígono tem n lados, sendo n > 3. Veja os exemplos:
De cada um dos vértices de um polígono saem n - 3 diagonais.
Do vértice A desse octógono
(polígono de 8 lados) saem 5
diagonais (8 - 3 = 5).
Como são n lados, temos n (n - 3) diagonais. Entretanto, essa expressão deve
ser dividida por 2, caso contrário uma mesma diagonal será contada duas
vezes (a diagonal AC é a mesma diagonal CA).
Então, temos que o número de diagonais de um polígono é:
Nessa expressão, D representa o número de diagonais e n o número de
lados do polígono.
Assim, vemos que há uma relação entre o número de lados e o número de
diagonais de um polígono.
D = n(n - 3)
2

76
A U L A Para descobrir todas as diagonais de um octógono, acompanhe o cálculo
abaixo:
n = 8 ®
Se quiser conferir o resultado, desenhe esse polígono e trace suas diagonais.
EXEMPLO 1
Qual é o polígono que tem 90 diagonais?
D = ® 90 = ® 180 = n(n - 3) ®
® 180 = n2
- 3n ® n
2
- 3n - 180 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação n
2
- 3n - 180 = 0,
temos:
(a = 1 b = -3 c = -180)
n =
3 ± 9 + 720
2
=
3 ± 729
2
=
3 ± 27
2
; n
1
= 15, n
2
= -12
Como as diagonais de um polígono são representadas por um número
inteiro e positivo, abandonaremos a raiz n = -12.
Portanto, o polígono que tem 90 diagonais é o polígono de 15 lados.
Verificando a solução, pela substituição da raiz, temos:
solução verdadeira
Existe polígono com 100 diagonais?
100 = ® 200 = n(n - 3) ® 200 = n
2
- 3n ® n
2
- 3n - 200 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau, temos:
n =
3 ± 9 + 800
2
=
3 ± 809
2
Como a 809 não é exata, as raízes da equação n
2
- 3n - 200 = 0 não podem
ser valores inteiros. Nesse caso, concluímos que não existe polígono com 100
diagonais.
Observe que a equação n2
- 3n - 200 = 0 possui duas raízes reais. No entanto,
nenhuma delas satisfaz a solução do problema. Muitas vezes não basta resolver
a equação, pois é preciso analisar a solução encontrada.
n(n - 3)
2
90 =
15(15 - 3)
2
_ 180 = 15 . 12 _ 180 = 180
D =
8(8 - 3) 8 . 5
2 2
= 20=
n(n - 3)
2
n(n - 3)
2
n = -(-3) ± û(-3)² - 4 . 1 . (-180)
2 . 1

76
A U L AÁreas e perímetros
Conhecendo a área e o perímetro de um retângulo, é possível calcular
suas dimensões.
Quais as dimensões de um retângulo que têm 18 cm de perímetro e 20 cm
2
de área?
Área: x . y = 20
Perímetro: 2x + 2y = 18
De acordo com as dimensões x e y da figura, devemos encontrar os valores
x e y que satisfaçam as duas equações.
Simplificando a 2ª equação, temos:
2x + 2y = 18 ® x + y = 9 ® x = 9 - y
Substituindo x = 9 - y na 1ª equação:
x . y = 20 ® (9 - y) . y = 20 ® 9y - y
2
= 20
Assim, temos a equação do 2º grau: y
2
- 9y + 20 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y = 5
y =
9 ± 81- 80
2
=
9 ±1
2 y = -4
Desconsiderando o valor y = - 4, temos que:
y = 5 ® ® x = 9 - 5 ® x = 4
Portanto, as dimensões desse retângulo são 5 cm e 4 cm.
Verificando a solução, pela substituição das raízes, temos:
5 . 4 = 20 ® 20 = 20 (solução verdadeira)
2 · 5 + 2 . 4 = 18 ® 10 + 8 = 18 ® 18 = 18 (solução verdadeira)
ì
î

76
A U L A Na vida real
Seu Pedro deseja cercar o terreno onde vai construir sua casa. Para tanto,
ele pretende aproveitar um barranco e cercar os outros 3 lados, de forma a obter
um retângulo. Como a área do terreno é de 96 m
2
e ele dispõe de um rolo de
28 m de tela, a que distância do barranco deverão ser colocadas as estacas 1 e 2?
Área = 96 ® x (28 - 2x) = 96
28x - 2x
2
= 96 ® 2x
2
- 28x + 96 = 0
Resolvendo essa equação, temos: x = 8
Portanto, seu Pedro deverá colocar as estacas a 8m do barranco.
Curiosidade
Um bambu de 32 côvados, erguendo-se verticalmente sobre um terreno
horizontal, é quebrado num certo ponto pela força do vento.
Sabendo que sua extremidade tocou a terra a 16 côvados do seu pé,
responda: a quantos côvados do seu pé estava o ponto em que o bambu foi
atingido pela força do vento?
Observação: côvado é uma unidade de medida de comprimento usada na
Antigüidade.
Observando a figura, vimos que o bambu forma com o chão um triângulo
retângulo.

76
A U L AAplicando o Teorema de Pitágoras e desenvolvendo o produto notável,
temos:
(32 - x)
2
= x
2
+ 16
2
1024 - 64x + x
2
= x
2
+ 256
- 64x = - 768
x = 12
Portanto, o ponto em que o bambu foi atingido pela força do vento estava
a 12 côvados do pé. O problema apresentando acima foi enunciado pelos
chineses em 2600 a.C.. No entanto, foi reescrito por Bhaskara no século XII.
Exercício 1
De acordo com a expressão , diga qual o polígono que possui:
a) 35 diagonais
b) 54 diagonais
c) 170 diagonais
Exercício 2
Quais as dimensões de um retângulo que tem 30 cm de perímetro e 50 cm2
de área?
Exercício 3
Ao cercar um terreno retangular, dando três voltas completas, uma pessoa
gastou 180 m de arame. Quais as dimensões desse retângulo, sabendo que
o comprimento é o dobro da altura.
Exercício 4
Sabendo que a soma de dois números é 37 e seu produto é 300, descubra
quais são esses números.
Exercício 5
Equacione o texto abaixo e resolva:
“Estavam os pássaros
divididos em dois grupos:
enquanto o quadrado da oitava parte
se divertia cantando sobre as árvores,
outros doze sobrevoavam
o campo também cantando alegremente.”
Quantos pássaros havia no total?
Exercícios
D = n(n - 3)
2

77
A U L A
77
A U L A
Aumentos e
descontos sucessivos
Introdução Na Aula 39, estudamos o que é lucro e
prejuízo. Na aula de hoje, estudaremos os juros, as taxas, os aumentos e os
descontos que fazem parte de nosso cotidiano.
Veja alguns exemplos:
EXEMPLO 1
Ao comprar uma mercadoria de R$ 40,00, o dono da loja me concedeu um
desconto de R$ 5,00. Qual foi o percentual relativo a esse desconto?
A proporção entre o desconto e o preço inicial é de
5
40
ou
1
8
.
Para sabermos o percentual, calculamos uma fração equivalente a essa pro-
porção, cujo denominador seja 100.
Sendo x o percentual, temos:
x
100
=
1
8
® x =
100
8
= 12,5
Assim, concluímos que o desconto foi de 12,5%.
EXEMPLO 2
O salário de uma pessoa passou de R$ 70,00 para R$ 100,00. Qual o foi o
percentual do aumento?
Como o aumento foi de R$ 30,00, a proporção entre o aumento e o salário
era de
30
70
=
3
7
.
Sendo x o percentual, temos:
x
100
=
3
7
® 7x = 300 ® x = 42,85
Portanto, o aumento foi de aproximadamente 42,85%.
Observação: A proporção ou o percentual que representa o aumento são
chamados de taxa de aumento. Assim, no exemplo acima, a taxa de aumento foi
de
3
7
ou 42,85%.
Nossa aula
_
_ _

77
A U L AEXEMPLO 3
Oferecendo um desconto de 20% para pagamento à vista, a quanto sairia um
artigo cujo preço é R$ 48,00?
Desconto de 20% sobre o preço = 20% de 48,00 = 0,20 x 48 = 9,6
Logo, o preço à vista seria de:
R$ 48,00 - R$ 9,60 = R$ 38,40
Juros
De modo geral, os juros são expressos como uma porcentagem, que é
chamada taxa de juros. Assim, há os juros que correspondem à compra de uma
mercadoria a prazo, ao atraso de uma conta, ao empréstimo de dinheiro etc.
Observe:
EXEMPLO 4
Pedro comprou um eletrodoméstico por R$ 100,00 e pretende pagá-lo em
quatro prestações iguais. Consultando uma tabela, o vendedor diz que cada
uma das prestações sairá por R$ 37,00.
Qual o valor da taxa de juros embutida na compra?
Sabendo que R$ 37,00 x 4 = R$ 148,00, temos um aumento de R$ 48,00 sobre
o preço à vista, ou seja, um aumento de 48%.
Dividindo esse percentual por meses, temos 48 : 4 = 12
Portanto, a taxa de juros foi de 12% ao mês.
Nesse exemplo os juros são todos iguais porque foram calculados sobre o
mesmo valor (R$ 100,00).
EXEMPLO 5
Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 500,00 reais para pagar ao fim
de quatro meses. O banco cobra uma taxa de juros de 18% ao mês. Qual será
o total da quantia a ser paga por essa pessoa ao final desse período?
Juros por mês: R$ 500,00 x 0,18 = R$ 90,00
Total de juros: R$ 500,00 x 0,18 x 4 = R$ 360,00
Total devolvido ao banco: R$ 500,00 + R$ 360,00 = R$ 860,00
Assim, o total da quantia a ser paga por essa pessoa será de R$ 860,00.

77
A U L A Dando nome aos bois
Capital é uma determinada quantia de dinheiro, tomada por empréstimo.
Montante é o total a ser pago por essa quantia.
No exemplo anterior, o capital foi de R$ 500,00 e o montante foi de R$ 860,00.
Há uma fórmula matemática para o cálculo dos juros, que pode ser
expressa por:
J = C . i . t onde:
J = juros
C = capital
i = taxa de juros
t = tempo
O montante é a soma do capital com os juros calculado:
M = C + J
Os juros compostos
Os juros usados no Mercado Financeiro são os chamados juros
compostos. Observe o exemplo:
EXEMPLO 6
Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 200,00 reais, a juros de 10% ao
mês. Ao final de um mês, essa pessoa deverá o montante de:
J = R$ 200,00 x 0,10 x 1 = R$ 20,00
M = R$ 200,00 : 20 = R$ 220,00
Se essa dívida for adiada por mais um mês, haverá um novo acréscimo.
Veja:
J = R$ 220,00 x 0,10 x 1 = R$ 22,00
M = R$ 220,00 + 22 = R$ 244,00
Esse tipo de juro, calculado ao fim de cada período sobre o montante

77
A U L Aanterior, é chamado de juro composto.
Aumentos e descontos sucessivos
Imagine que um produto sofra dois aumentos sucessivos de 20% e 30%.
Qual será a taxa de aumento?
Muita gente pensa que esse aumento pode ser calculado pela soma dos
percentuais (30% + 20% = 50%); no entanto, esse raciocínio é incorreto.
Veja o cálculo correto para essa questão:
Vamos imaginar um produto que custa R$ 100,00 (podemos comparar
com o preço igual a 100, pois é o mesmo que comparar com a unidade); como
o primeiro aumento é de 20% sobre R$ 100,00 (0,20 x R$ 100,00 = R$ 20,00),
temos um montante de R$ 120,00. Sabendo que o segundo aumento é de 30%
sobre R$ 120,00 (0,30 x R$ 120,00 = R$ 36,00), o preço do produto é elevado
a R$ 120,00 + R$ 36,00 = R$ 156,00.
Portanto, o aumento é de R$ 56,00 sobre um preço de R$ 100,00. E a taxa
total é de
56
100
= 0,56 = 56%.
Vejamos outros exemplos:
EXEMPLO 7
O preço de um artigo sofreu dois descontos sucessivos de 15% e 12%. Qual
foi a taxa total de descontos?
Já vimos que podemos comparar o preço do artigo com o valor de R$
100,00. Com o desconto de 15% sobre R$ 100,00 (0,15 x R$ 100,00 = R$ 15,00), o
artigo passa a custar R$ 85,00. Com o segundo desconto é de 12% sobre R$ 85,00
(0,12 x R$ 85,00 = 10,20), o preço do artigo vai para R$ 74,80. Sabendo que o
desconto foi de
25· 20
100
= 0,252%.
Veja que o preço do artigo passou de 100 reais a 74,80, sofrendo um desconto
total de 100 - 74,80 = 25,20.
EXEMPLO 2
Sabendo que um produto em promoção é vendido com 20% de desconto,
qual será a porcentagem de aumento com relação ao preço normal?
Desconto: 20% sobre 100 = 0,20 x R$ 100,00 = R$ 20,00
Portanto, o produto é vendido a um preço promocional de:
R$ 100,00 - R$ 20,00 = R$ 80,00
Para retornar ao preço inicial ele deve ter um aumento de R$ 20,00 sobre o
valor de R$ 80,00. Ou seja:
20
80
=
1
4
= 0,25.

77
A U L A Assim, a taxa de aumento deverá ser de 25%.
À vista ou a prazo
Muitas lojas costumam atrair os consumidores com promoções do tipo:
20% DE DESCONTO À VISTA
OU
EM DUAS VEZES SEM ACRÉSCIMO
No caso de um artigo que custa R$ 100,00, vejamos as opções oferecidas:
À vista com 20% de desconto:
R$ 100,00 x 0,20 = R$ 20,00
R$ 100,00 - R$ 20,00 = R$ 80,00
O artigo sairá por R$ 80,00.
Em duas vezes sem acréscimo:
100 : 2 = R$ 50,00
O artigo sairá por duas prestações de R$ 50,00, cada.
Qual a porcentagem da taxa de juros embutida no preço do artigo?
Como a diferença entre o pagamento à vista e a prazo è de R$ 20,00, temos:
R$20,00
R$80,00
=
1
4
= 0,25
Portanto, a taxa de juros embutida no preço é de 25%.

77
A U L A
Exercício 1
Ao vender um objeto por R$ 90,00, uma pessoa obteve um lucro de 20%.
Quanto deve ter lhe custado esse objeto?
Exercício 2
Os funcionários de uma empresa foram agrupados em três faixas etárias
(A, B e C), que correspondem, respectivamente, às idades de 18 a 25 anos,
de 25 a 35 anos e acima de 35 anos. O gráfico abaixo indica o total de
funcionários em cada faixa etária. Indique a afirmação errada:
a) B tem 50% a mais que A.
b) A tem 50% a mais que C.
c) B tem 200% a mais que C.
d) C tem 50% a menos que A.
e) A tem 50% a menos que B e C juntos.
Exercício 3
Qual o aumento total correspondente a dois aumentos sucessivos de 20%
e 30%?
Exercício 4
Sabendo que o salário de Pedro passou para R$ 450,00, após um reajuste de
70%, responda: qual era o salário de Pedro antes do aumento?
Exercícios

78
A U L A
78
A U L A
Revisão I
Representação gráfica
Introdução Você já deve ter observado a freqüência com
que os gráficos aparecem em jornais, revistas e livros. Usados em diversas áreas
de conhecimento, eles facilitam a visualização dos dados e nos permitem uma
melhor interpretação dos resultados.
Durante nosso curso, apresentamos vários tipos de gráficos. Na aula de
hoje, faremos uma revisão desses gráficos, por meio de suas construções e
interpretações.
Gráfico de segmentos
O gráfico abaixo, mostra a variação do consumo de energia elétrica de uma
residência, em kWh (quilowatt-hora) entre os meses de janeiro e agosto de 1994.
Esse tipo de gráfico é feito, geralmente, em papel quadriculado, com duas
retas perpendiculares - uma horizontal e outra vertical.
Na reta horizontal marcamos os meses em que foram anotados o consumo
e na reta vertical marcamos o consumo de cada mês.
Os segmentos de reta que ligam o consumo de um mês ao outro têm
inclinações diferentes.
Nossa aula

78
A U L ANo período de março a abril, por exemplo, a queda do consumo foi bastante
acentuada (de acordo com a inclinação correspondente a esse período, ou seja,
para baixo).
Sabemos que o consumo de energia elétrica varia em função de vários
fatores, por exemplo: o uso de aparelhos elétricos -ventiladores, ferro de passar
roupa, chuveiros elétricos, etc. -e o número de pessoas da casa. Baseando-se nas
informações da conta de energia, podemos construir um gráfico que nos permite
observar a variação do consumo de energia.
Gráfico de barras (ou de colunas)
Esse tipo de gráfico também é utilizado para representar comparações entre
elementos semelhantes, da mesma forma que o de segmentos. No entanto, há
situações cuja representação fica mais adequada em gráfico de barras: a variação
do número de empregados de uma fábrica, por exemplo, num período de cinco
anos. Assim, representamos o período numa reta horizontal e o número de
empregados numa reta vertical. Tanto o espaço entre as barras quanto a largura
delas devem ser iguais.
O gráfico de barras também é usado com as barras na horizontal. Dependen-
do dos dados, isso facilita a sua leitura.
Veja o exemplo abaixo:
(Fonte: Jornal Folha de São Paulo - 25/06/95)

78
A U L A Gráfico de setores (ou gráfico circular)
Esse tipo de gráfico é usado para representar as relações das partes de um
todo entre si e entre as partes e o todo. Desse modo, quando os resultados de uma
pesquisa são marcados em um círculo, que representa o todo (o universo
pesquisado), as partes são representadas por setores desse círculo.
Para analisar esse tipo de gráfico, precisamos calcular o arco, em graus,
relativo a cada uma das partes.
Numa pesquisa de opiniões foi feita a seguinte pergunta: “Você acha que
o brasileiro respeita as leis de trânsito?”
O resultado obtido foi o seguinte:
SIM : 55%
NÃO : 34,5%
NÃO RESPONDERAM: 10,5%
Para representar esse resultado num círculo, precisamos calcular que parte
do círculo representa cada resposta fornecida pela pesquisa. Então, teremos:
55% de 360º = 198º198º198º198º198º
34,5% de 360º = 124,2º124,2º124,2º124,2º124,2º
10,5% de 360º = 37,8º37,8º37,8º37,8º37,8º
Assim, desenhamos um círculo e marcamos com um transferidor, a partir
um ponto inicial PPPPP, os arcos calculados:
No gráfico da página 101, temos três curvas que mostram a variação da
balança comercial (em milhões de dólares), relativa à exportação e à importa-
ção (curva de cima e curva do meio) e ao saldo da balança comercial (curva de
baixo). Os valores assinalados na vertical são referentes ao período de julho/
1994 a janeiro/1995, marcados na horizontal.

78
A U L A
Fonte: Jornal do Brasil
Observe que até outubro os valores das exportações estavam acima das
importações e nos três últimos meses a situação se inverteu. Ou seja, o país
passou a importar mais do que exportar, provocando um déficit na balança
comercial brasileira (veja os valores negativos na curva relativa ao saldo).
Em janeiro, o déficit diminuiu de - 884 para - 290, o que confirma o fato
das importações terem sofrido uma queda para 3.271, aproximando-se do valor
das exportações (2.981).
Mostraremos, a seguir, um exemplo de gráfico de um sistema de equações
do 1º grau. Esse sistema é utilizado para resolver problemas que resultam em
duas equações, com duas incógnitas.
No gráfico cartesiano representaremos as duas retas que correspondem às
equações do sistema e determinaremos sua solução, caso exista.
x + 3y = 34
Seja o sistema
- x + 5y = 30

78
A U L A Assim, faremos as tabelas contendo os pares ordenados (x , y) de cada uma
das equações, para representá-las no gráfico:
x y
7 9
10 8
x y
5 7
10 8
Esse gráfico facilita a determinação da solução do sistema, que é represen-
tada pela intersecção das duas retas, no ponto (10,8).
Uma família gasta 30% de sua renda familiar em alimentos, 20% em roupas,
20% em aluguel, 20% em despesas diversas e guarda 10%. Represente essa
situação num gráfico de setores.
O gráfico abaixo representa o rendimento de um carro, em função da
velocidade desenvolvida.
Responda:
a)a)a)a)a) Quando a velocidade constante é de 80 km/h, quantos quilômetros por
litro faz o automóvel?
b)b)b)b)b) E se a velocidade constante for de 120 km/h?
c)c)c)c)c) Qual é a velocidade mais econômica?
Exercícios

78
O gráfico abaixo representa a folha de pagamento do Estado de São Paulo,
de janeiro a maio de 1995.
Fonte: Folha de São Paulo - 25/06/95
Responda:
a)a)a)a)a) Em que mês a folha de pagamento tem o menor valor?
b)b)b)b)b) Em que mês a folha de pagamento tem o maior valor?
c)c)c)c)c) Em que meses houve aumento na folha de pagamento?
d)d)d)d)d) De quanto foi a diferença dos valores entre os meses de março e abril?
Resolva graficamente o sistema:
3x + 2y = 6
x - y = 7

79
A U L A
79
A U L A
Revisão II
Geometria
Introdução Agora vamos rever alguns conceitos bási-
cos da Geometria, estudados ao longo do Telecurso 2000.
Observe a figura abaixo e resolva a seguinte questão:
Uma formiga sai do ponto A dirigindo-se ao ponto B. Sabendo que cada
uma das faces do cubo mede 20 cm ´ 20 cm, responda: qual será o caminho
traçado pela formiga, de modo que ela percorra a menor distância?
Sugestão:Sugestão:Sugestão:Sugestão:Sugestão: como a formiga tanto pode começar a andar pela face superior do
cubo quanto pela frontal - aquela que está de frente para você -, pense no cubo
planificado e na menor distância entre esses pontos. Utilize o Teorema de
Pitágoras.
O triângulo retângulo
seu João vai construir um quarto nos fundos de sua casa. O quarto deverá
medir 3 m ´ 4 m e servirá para guardar material de construção.
Depois de “levantar” a primeira parede, ele ficou pensando sobre como
construir as outras, de modo que o quarto ficasse retangular, ou seja, com
ângulos de 90º em cada canto.
Nossa aula

79
A U L APara resolver esse problema, ele teve a seguinte idéia: uniu três cordas de
mesmo comprimento (0A, 0B e 0C), por uma de suas extremidades:
Em seguida, com as cordas sobre o chão, fixou as extremidades A e B na
parede construída e esticou as três cordas, de modo que OB e OC ficassem
colineares, como mostra a figura abaixo:
Construíndo a parede sobre a direção AC, seu João garantiu que ela ficaria
perpendicular à parede construída. Por que ele está certo?
Repare que os dois triângulos construídos (OAB) e (OAC) são isósceles, pois
OA = OB e OA = OC.
Logo, tais triângulos possuem dois ângulos internos de mesma medida,
como indicado na figura pelas variáveis xxxxx e yyyyy.
Observando o triângulo ABC, verificamos que seus ângulos internos são:
A = x + y B = x C = y

79
A U L A De acordo com a lei angular de Tales, sabemos que, em qualquer triângulo,
a soma dos seus ângulos interno vale 180º. Logo:
A + B + C = 180º
x + y + x + y = 180º
2x + 2y = 180º ® x + y = 90º
Como x + y é a expressão que representa o ângulo A do triângulo ABC,
podemos afirmar que o triângulo ABC é retângulo.
Portanto, seu João conseguiu que o quarto ficasse retangular.
Quantas lajotas comprar?
Para revestir o chão de seu quarto com lajotas de 30 cm ´ 20 cm, quantas
lajotas seu João precisará comprar?
O quarto mede 3 m ´ 4 m, convertendo essa medida para centímetros,
temos: 300 cm ´ 400 cm. Portanto, a área do quarto é de 300 cm ´ 400 cm =
120.000 cm
2
Como a área da lajota é de 30 cm ´ 20 cm = 600 cm
2
, o número de lajotas
necessário será de 120.000 : 600 = 200 lajotas.
Portanto, seu João deverá comprar pelo menos 200 lajotas200 lajotas200 lajotas200 lajotas200 lajotas.
Qual o comprimento do tubo?
De que modo seu João conseguirá colocar um tubo de PVC, medindo 6 m de
comprimento, no chão de seu quarto?

79
A U L AComo a maior distância disponível no chão desse quarto fica na diagonal,
resolvemos pelo Teorema de Pitágoras:
d
2
= 3
2
+ 4
2
d2
= 9 + 16
d
2
= 25
d = 5
Assim, temos que a maior distância disponível no chão do quarto é de 5 m.
Portanto, seu João nãonãonãonãonão poderá colocar em seu quarto um tubo de 6 m de
comprimento.
Quanto de tinta encomendar?
seu João deseja pintar as paredes de seu quartinho. Para saber a quantidade
de tinta necessária para a pintura, ele deverá calcular a área total das paredes.
Sabendo que o quarto tem o formato de um paralelepípedo, devemos
calcular as áreas de suas faces e, em seguida, somá-las:
O pé direito (altura) do quarto é de 2,5 m e suas paredes são de 3 m ´ 4 m.
Calculando a área do paralelepípedo (área de suas faces), temos:
2 faces de 4 m ´ 3 m = 2 . (4 . 3) = 24 m
2
2 faces de 3 m ´ 2,5 m = 2 . (3 . 2,5) = 15 m2
2 faces de 4 m ´ 2,5 m = 2 . (4 . 2,5) = 20 m
2
No caso do quartinho de seu João, em que serão pintadas as paredes laterais
e o teto, a área total é de:
24 + 15 + 20 = 59 m
2
Portanto, seu João deverá comprar uma quantidade de tinta suficiente para
pintar um total de 59 m59 m59 m59 m59 m
2
.
Agora, imagine que seu João queira encher seu quartinho de objetos. Como
saber o volume que poderá ser ocupado por suas coisas?

79
A U L A Neste caso, basta calcular o volume do paralelepípedo:
V = base ´ largura ´ altura
V = 4 m ´ 3 m ´ 2,5 m =
= 4 ´ 3 ´ 2,5 = 30 m30 m30 m30 m30 m33333
(metros cúbicos).
CuriosidadeCuriosidadeCuriosidadeCuriosidadeCuriosidade
Movendo-se sobre um paralelepípedo:
Qual será o menor percurso para ir de A até B, movendo-se sobre a
superfície de um paralelepípedo?
Para resolver esse problema, é preciso lembrar que a menor distância entre
dois pontos de um plano deve ser calculada sobre a reta que liga esses pontos.
De acordo com a figura acima, imaginamos três possíveis caminhos.
Para facilitar o entendimento, vamos planificar suas faces. Se quiser
acompanhar melhor o raciocínio, pode pegar uma caixa e desmontá-la, como
mostra a figura:

79
A U L APara calcular a distância de A até B, devemos aplicar o Teorema de
Pitágoras:
Caminho 1:Caminho 1:Caminho 1:Caminho 1:Caminho 1:
triângulo ABC:
(AB)
2
= 8
2
+ 10
2
= 64 + 100 = 164
AB = 164 = 12,8 cm12,8 cm12,8 cm12,8 cm12,8 cm aproximadamente
triângulo ARP:
d
2
= 6
2
+ 8
2
= 36 + 64 = 100
d = 100 ® d = 10
de A até B: 10 + 4 = 14 cm14 cm14 cm14 cm14 cm
triângulo ADB:
(AB)
2
= 12
2
+ 6
2
= 144 + 36 = 180
AB = 180 = 13,4 cm13,4 cm13,4 cm13,4 cm13,4 cm aproximadamente
Logo, o menor percurso será aquele traçado pelo caminho 1.
Observação: A partir do exemplo acima, você poderá resolver o problema
proposto na introdução desta aula.
Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 50º. Quais são as
medidas dos outros dois ângulos internos?
NotriânguloretânguloABC,oladoAC temamesmamedidaqueamediana
OA. Calcule as medidas dos ângulos B e C.
Exercícios

79
A U L A
Em um semicírculo de centro 0 e diâmetro BC, escolhemos um ponto A
qualquer e o ligamos aos pontos B e C, como mostra a figura.
Qual o valor do ângulo A?
Um reservatório, com a forma de um paralelepípedo mede 4m ´ 2m ´ 2,5m.
Qual a capacidade desse reservatório?
Qual a área total das paredes de uma sala que tem 3 m de pé direito e mede
3,5 m ´ 4 m?

80
A U L A
80
A U L A
IntroduçãoNesta aula vamos recordar alguns conceitos
básicos das operações matemáticas. Começaremos com um exercício:
Os preços das mercadorias foram reduzidos 20% numa liquidação. Termi-
nada a promoção, qual deverá ser o reajuste dos preços atuais, de modo que
retornem a seus antigos valores?
Veja:
l No amistoso do campeonato carioca, dois terços dosdosdosdosdos lugares do
Maracanã estavam ocupados.
l Nas últimas eleições, o candidato A recebeu o dobro dododododo número de votos
obtidos pelo candidato B.
l Setenta por cento dadadadada renda de uma família são gastos com despesas de
alimentação.
Observando as frases acima, vemos que as palavras grifadas dosdosdosdosdos, dododododo e dadadadada
são indicadores de multiplicação.
No caso da primeira frase, se houvesse 120.000 lugares no Maracanã, o
número de lugares ocupados seria:
2
3
de 120.000 =
2
3
´ 120.000 =
2 ´ 120.000
3
= 80.000 lugares80.000 lugares80.000 lugares80.000 lugares80.000 lugares
De acordo com a segunda frase, caso o candidato B tivesse obtido 65.000
votos, o candidato A teria obtido o dobro de 65.000 = 130.000 votos130.000 votos130.000 votos130.000 votos130.000 votos.
Na terceira frase, supondo que a renda de uma família é de R$ 240,00 e que
70% desse valor é gasto com despesas de alimentação, temos um gasto de:
70% de R$ 240,00 = 0,70 ´ 240 = R$ 168,00R$ 168,00R$ 168,00R$ 168,00R$ 168,00
Nossa aula
Revisão III
Operações
e suas aplicações

80
A U L A Revendo as operações
O primeiro passo na resolução de um problema consiste em decidir qual é
a operação que devemos utilizar. Veja o problema a seguir:
Após ter caminhado
2
7
de um percurso de 3.500 m, quantos metros ainda
terei de caminhar para chegar ao final?
2
7
de 3.500 =
2
7
´ 3.500 = 1.000 m1.000 m1.000 m1.000 m1.000 m
Sabendo que já caminhei 1.000 m, ainda terei de caminhar 2.500 m2.500 m2.500 m2.500 m2.500 m.
De acordo com a figura, esse problema também pode ser resolvido assim:
5
7
de 3.500 =
5
7
´ 3.500 = 2.500 m2.500 m2.500 m2.500 m2.500 m
Uma certa quantia foi dividida entre Sérgio, João e Pedro. Sabendo que
Sérgio recebeu
1
3
da quantia e João recebeu 30%, responda: que fração da quan-
tia recebeu Pedro? Quem recebeu mais?
Solução:Solução:Solução:Solução:Solução:
30%=
3
100
=
3
10
Sérgio e João: =
1
3
+
3
10
=
10
30
+
9
30
=
19
30
Portanto, Pedro recebeu: =
1
3
+
3
10
=
10
30
+
9
30
=
19
30
Para saber quem recebeu mais, devemos comparar as frações:
Sérgio:
1
3
=
10
30
João:
9
30
Pedro:
11
30
Logo, Pedro recebeu mais.
Observação: Para saber quanto falta a uma fração para completar o total,
basta subtraísubtraísubtraísubtraísubtraí-la da unidadela da unidadela da unidadela da unidadela da unidade. Porexemplo,parasaberapartequePedrorecebeu,
fizemos 1-
19
30
.

80
Na divisão de uma herança, Maria ficou com
3
4
do totaldo totaldo totaldo totaldo total. Como ela deu
3
6
dadadadada
sua partesua partesua partesua partesua parte para Ana, indique que fração do total foi recebida por Ana.
De acordo com as palavras destacadas, observamos que:
Maria deu
1
6
de
3
4
do total para Ana.
Portanto, Ana recebeu
1
6
´
3
4
=
3
24
=
1
8
Portanto, Ana recebeu
1
8
do total da herança.
Resolvendo pelo diagrama, temos:
6 ´ 4 = 24
3 em 24 ®
3
24
=
1
8
Na divisão de uma compra, Joana recebeu
1
6
dododododo total e André recebeu
1
8
dododododo
total. Que fração do total receberam os dois juntos? Essa fração corresponde a
mais ou amenos de30%?
Neste exemplo, temos duas frações de um mesmo total. Assim a solução
consiste em somar essas duas frações.
Para efetuar essa operação, devemos reduzir as frações a um mesmo
denominador (que deve ser um múltiplo comum aos denominadores das
frações). Neste caso, reduzimos ao denominador comum 24:
1
6
+
1
8
=
4
24
+
3
24
=
7
24
Assim, temos que André e Joana receberam juntos
7
24
da compra.

80
A U L A Essa fração (
7
24
) corresponde a mais ou a menos de 30%?
Para responder a essa pergunta, devemos transformar a fração
7
24
em um
número decimal:
7
24
= 7 ¸ 24 = 0,291666...= 0,29
Logo, 0,29 =
29
100
= 29%
Portanto, a fração total recebida por André e Joana corresponde a menosmenosmenosmenosmenos
de 30%de 30%de 30%de 30%de 30%.
Em 1985, a população de uma cidade era de 200 mil habitantes. No período
entre 1985 e 1990, houve um aumento populacional de 20% e, entre 1990 e 1995,
um outro aumento de 25%.
a)a)a)a)a) Qual era a população dessa cidade no ano de 1995?
b)b)b)b)b) Qual o percentual (taxa) de aumento populacional no período de 1985
a 1995?
a)a)a)a)a) De 1985 a 1990: 20% de 200.000
0,20 ´ 200.000 = 40.000
Em 1990 a população era de 200.000 + 40.000 = 240.000 habitantes.
De 1990 a 1995: 25% de 240.000
0,20 ´ 240.000 = 60.000
Assim, em 1995 a população era de 240.000 + 60.000 =300.000 habitantes300.000 habitantes300.000 habitantes300.000 habitantes300.000 habitantes.
b)b)b)b)b) De 1985 até 1995, a população passou de 200.000 para 300.000 habitantes.
Ou seja, houve um aumento populacional de 100.000 habitantes.
100.000
200.000
=
1
2
= 0,50
Logo, a taxa de aumento foi de 50%50%50%50%50%.
Observação:Observação:Observação:Observação:Observação: Na Aula 77, vimos que dois aumentos sucessivos nãonãonãonãonão equi-
valem à soma dos percentuais.

80
Um comerciante remarca os preços de suas mercadorias, aumentando-os
em 50%. Em seguida, anuncia uma liquidação na qual os preços são reduzidos
de
1
3
do seu valor. Os preços dessa liquidação serão maiores ou menores que os
preços anteriores à remarcação?
Supondo uma mercadoria que custe R$ 100,00, ela passará a custar, após a
remarcação:
50% de R$ 100,00 = 0,50 ´ 100 = R$ 50,00
R$ 100,00 + R$ 50,00 = R$ 150,00
Ao reduzir desse valor a sua terça parte, temos:
1
3
de R$ 150,00 =
150
3
= R$ 50,00
Logo, a mercadoria foi vendida por:
R$ 150,00 - R$ 50,00 = R$ 100,00 = R$ 100,00R$ 100,00R$ 100,00R$ 100,00R$ 100,00
Ou seja, pelo mesmo preço de antes da remarcação.
Após gastar
2
5
do seu salário no aluguel de sua casa, Otacílio ficou com
R$ 138,00. Responda:
a)a)a)a)a) Qual é o valor do salário de Otacílio?
b)b)b)b)b) Qual é o valor do aluguel de sua casa?
Uma caixa de balas foi dividida entre três crianças. A primeira ficou com
1
3
das balas, a segunda ficou com
2
5
e a terceira recebeu 12 balas.
a)a)a)a)a) Quantas balas havia na caixa?
b)b)b)b)b) Quantas balas receberam as duas primeiras crianças?
Sabendo que 60% dos lugares de um estádio de futebol estão ocupados e
20.000 estão disponíveis, responda: qual é o número de pessoas nesse
estádio?
Caso um televisor que custa R$ 500,00 sofra três aumentos sucessivos de
20%, quanto ele passará a custar? Qual será a taxa total de aumento?
Sabendo que
5
8
da população de uma cidade torce pelo o time A e que, dentre
esses torcedores,
2
5
são mulheres. Responda: se o número de torce-
dores homens é igual a 120.000, qual a população dessa cidade?
Exercícios

Gabaritos das aulas
61 a 80
Aula 61Aula 61Aula 61Aula 61Aula 61 - Resolvendo as operaçõesResolvendo as operaçõesResolvendo as operaçõesResolvendo as operaçõesResolvendo as operações
Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. 1000 - (127 + 356) = 517
Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. 300 + 700 + 895 = 1000 + 895 = 1895
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. 180 - 40 : 5 - 6 = 166
(180 - 40) : 5 - 6 =
= 140 : 5 - 6 =
= 28 - 6 = 22
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a) 72 + 60 : (12 - 8) = 87
b)b)b)b)b) (10 - 2) . 3 + 1 = 25
Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. 123 - [30 - (5 . 4 - 2) : 6] =
= 123 - [30 - 18 : 6] =
= 123 - [30 - 3] =
= 123 - 27 = 96
Aula 62Aula 62Aula 62Aula 62Aula 62 - Expressões algébricasExpressões algébricasExpressões algébricasExpressões algébricasExpressões algébricas
Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. 5x
Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. a + b = b + a
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. a)a)a)a)a) 2xy
b)b)b)b)b) -7a2
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. 2xy - x
2
Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. 3

Aula 63Aula 63Aula 63Aula 63Aula 63 - Equações de 1Equações de 1Equações de 1Equações de 1Equações de 1º graugraugraugraugrau
Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) x = - 13
b)b)b)b)b) a = 2,5
c)c)c)c)c) y = 1
d)d)d)d)d) x = -2
Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. Não
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. Resposta aberta
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. 20 anos
Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.
3
7
Exercício 8.Exercício 8.Exercício 8.Exercício 8.Exercício 8. - 19
Exercício 9.Exercício 9.Exercício 9.Exercício 9.Exercício 9. 500.000 unidades
Aula 64Aula 64Aula 64Aula 64Aula 64 - Operações com fraçõesOperações com fraçõesOperações com fraçõesOperações com fraçõesOperações com frações
5
8
m
3
10
do salário. .
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a)
2
5
b)b)b)b)b)
2
15
c)c)c)c)c) 1
2
15
d)d)d)d)d)
3
5

Aula 65Aula 65Aula 65Aula 65Aula 65 - Eliminando denominadoresEliminando denominadoresEliminando denominadoresEliminando denominadoresEliminando denominadores
Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) x = 7
b)b)b)b)b) x =
-25
7
Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. a)a)a)a)a) 850 m2
.
b)b)b)b)b) 425 m
2
.
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. R$ 480,00
Aula 66Aula 66Aula 66Aula 66Aula 66 - Gráfico de uma equaçãoGráfico de uma equaçãoGráfico de uma equaçãoGráfico de uma equaçãoGráfico de uma equação
Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) b)b)b)b)b) c)c)c)c)c) d)d)d)d)d)
As retas passam pelo ponto (0; 0) e são perpendiculares.
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. a)a)a)a)a) A (4; 5), B (2; 3), C (0; 1), D (-3; -2)
b)b)b)b)b) -1
c)c)c)c)c) aumentam
As retas A, B, C, D e E
são paralelas.

Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. a)a)a)a)a) Aumentam.
b)b)b)b)b) Diminuem.
c)c)c)c)c) Permanecem constantes e iguais a 2.
Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6. Resposta pessoal
As retas são concorrentes
Aula 67Aula 67Aula 67Aula 67Aula 67 - Inequações de 1Inequações de 1Inequações de 1Inequações de 1Inequações de 1º graugraugraugraugrau
Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) x > 3 b)b)b)b)b) x £ 7
c)c)c)c)c) x
3
- 5 d)d)d)d)d) x £ - 5
e)e)e)e)e) x < 3/7 f)f)f)f)f) x
3
- 28
b)b)b)b)b)
c)c)c)c)c)
d)d)d)d)d)
e)e)e)e)e)
f)f)f)f)f)
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. 2y < x ou x > 2y
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a) b)b)b)b)b) c)c)c)c)c)

Aula 68Aula 68Aula 68Aula 68Aula 68 - Sistemas do 1Sistemas do 1Sistemas do 1Sistemas do 1Sistemas do 1º graugraugraugraugrau
Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. (5 ; 1)
Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. a)a)a)a)a) (2 ; 8) b)b)b)b)b) (1 ; 2)
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. a)a)a)a)a) (- 1 ; 2) b)b)b)b)b)
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. Sim.
Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. Chamando de aaaaa o preço do armário e bbbbb o preço da mesa, temos:
a = 3b
a + b = 120
Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6. a=90, b=30
Aula 69Aula 69Aula 69Aula 69Aula 69 - Gráfico de um sistemaGráfico de um sistemaGráfico de um sistemaGráfico de um sistemaGráfico de um sistema
Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. (1; 3)
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. a)a)a)a)a) (5; - 4).
b)b)b)b)b) Sistema impossível.
c)c)c)c)c) (- 1;2).
d)d)d)d)d) Sistema indeterminado.
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a) A solução é única.
b)b)b)b)b) A solução é indeterminada.
c)c)c)c)c) A solução é impossível.
Aula 70Aula 70Aula 70Aula 70Aula 70 - Equacionando problemasEquacionando problemasEquacionando problemasEquacionando problemasEquacionando problemas −−−−− IIIII
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. A = 2, B = 9 e C = 1
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a) Dividir por 2 e subtrair 8.
b)b)b)b)b) Dividir por 15.
Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. Resposta aberta.
æ1
è2
;1 ;1
ö
ø

Aula 71Aula 71Aula 71Aula 71Aula 71 - Operando com potênciasOperando com potênciasOperando com potênciasOperando com potênciasOperando com potências
Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) F
b)b)b)b)b) V
c)c)c)c)c) V
d)d)d)d)d) F
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. 8 e 2
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a) x
4
+ x
5
+ x
7
b)b)b)b)b) 7x - 8
c)c)c)c)c) -2x
2
- x
d)d)d)d)d) x
3
y + xy
2
Resposta da sugestão:
-
1
8
está à esquerda de -
1
32
, logo -
1
8
< -
1
32
Aula 72Aula 72Aula 72Aula 72Aula 72 - Produtos notáveisProdutos notáveisProdutos notáveisProdutos notáveisProdutos notáveis
Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) 7
b)b)b)b)b) 10
c)c)c)c)c) 2 e 5
Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. a)a)a)a)a) 4x2
+ 12xy + 9y2
b)b)b)b)b) x2 - xy +
y2
4
c)c)c)c)c) x
4
- 4x
2
y
2
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. 4a + 8
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a) (x + a)
2
b)b)b)b)b) (2x + 1)2
Aula 73Aula 73Aula 73Aula 73Aula 73 - FatoraçãoFatoraçãoFatoraçãoFatoraçãoFatoração
Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. x (x + 11)
ab (a + 4 + b)
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. Não, pois 2 · 8 · x = 16x ¹ 12x
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. (ax + 1)2
1
5
-æ
è
ö
ø
²

Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. (x
2
+ 4) (x + 2) (x - 2)
Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6. a - 5
Exercício 7.Exercício 7.Exercício 7.Exercício 7.Exercício 7. 6xy
Aula 74Aula 74Aula 74Aula 74Aula 74 - Equação do 2Equação do 2Equação do 2Equação do 2Equação do 2º graugraugraugraugrau
Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. Sim
Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. 0 e 2
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. a =
1
2
, b =
-1
4
e c = 5
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a) 0 e - 1
b)b)b)b)b) 0
c)c)c)c)c) não tem solução
d)d)d)d)d) + 36 e - 36
Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. 1 é solução
Aula 75Aula 75Aula 75Aula 75Aula 75 - Deduzindo uma fórmulaDeduzindo uma fórmulaDeduzindo uma fórmulaDeduzindo uma fórmulaDeduzindo uma fórmula
4
3
e 0
1
2
e
-1
4
b)b)b)b)b) não tem solução
c)c)c)c)c) -3 e 1
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. a)a)a)a)a) 6 e -1
b)b)b)b)b) 8
c)c)c)c)c) 7 e -2
d)d)d)d)d) 12
e)e)e)e)e) 5 e 2
Aula 76Aula 76Aula 76Aula 76Aula 76 - Equacionando problemasEquacionando problemasEquacionando problemasEquacionando problemasEquacionando problemas −−−−− IIIIIIIIII
Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) Decágono (polígono de 10 lados)
b)b)b)b)b) Dodecágono (polígono de 12 lados)
c)c)c)c)c) Icoságono (polígono de 20 lados)
Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. 5 cm e 10 cm
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. 10 m e 20 m
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. Os números são: 12 e 25

Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. Havia 48 ou 16 pássaros, pois ambas as soluções satisfazem às
condições do problema.
Aula 77Aula 77Aula 77Aula 77Aula 77 - Aumentos e descontos sucessivosAumentos e descontos sucessivosAumentos e descontos sucessivosAumentos e descontos sucessivosAumentos e descontos sucessivos
Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. Item bbbbb
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. 56%
Aula 78Aula 78Aula 78Aula 78Aula 78 - Revisão IRevisão IRevisão IRevisão IRevisão I −−−−− Representação gráficaRepresentação gráficaRepresentação gráficaRepresentação gráficaRepresentação gráfica
Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. a)a)a)a)a) 8 km/l
b)b)b)b)b) 4,5 km/l
c)c)c)c)c) 60 km/h
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. a)a)a)a)a) Fevereiro
b)b)b)b)b) Maio
c)c)c)c)c) Março e maio
d)d)d)d)d) A diferença foi de 45 milhões de reais
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. x y x y
2 0 6 - 1
4 - 3 4 - 3

Aula 79 - Revisão IIAula 79 - Revisão IIAula 79 - Revisão IIAula 79 - Revisão IIAula 79 - Revisão II −−−−− GeometriaGeometriaGeometriaGeometriaGeometria
Introdução:Introdução:Introdução:Introdução:Introdução: AB = 20 2 cm
Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. Os outros ângulos internos poderão medir 50º e 80º ou 65º e 65º.
Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. B = 30º e C = 60º
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. Â = 90º
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. 20 m
2
ou 20.000 litros
Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. 45 m
2
Aula 80 - Revisão IIIAula 80 - Revisão IIIAula 80 - Revisão IIIAula 80 - Revisão IIIAula 80 - Revisão III −−−−− Operações e suas aplicaçõesOperações e suas aplicaçõesOperações e suas aplicaçõesOperações e suas aplicaçõesOperações e suas aplicações
Introdução:Introdução:Introdução:Introdução:Introdução: O reajuste deverá ser de 25%
Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) R$ 230,00
b)b)b)b)b) R$ 92,00
Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. a)a)a)a)a) 45 balas
b)b)b)b)b) Primeira: 15 balas
Segunda: 18 balas
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. 30.000 pessoas
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. Passará a custar R$ 864,00 e a taxa de aumento será de 72,8%
Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. 320.000 habitantes

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