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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
FACULDADE DE ARQUITETURA
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO –
CONTINUAÇÃO: PILARES
Adaptado pelo PROF. WENDELL DINIZ VARELA do material original das notas de
aula de:
PROF: REILA VARGAS VELASCO
PROF: VIVIAN KARLA C. B. L. M. BALTHAR

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1. Introdução
A estrutura de um edifício de concreto armado é formada por um conjunto de elementos
estruturais, que compõem o que é denominado de sistema estrutural. Os elementos
estruturais básicos de uma estrutura são as lajes, as vigas, os pilares e as fundações, que
podem ser visualizados na Figura 1.1. Pode existir também a presença de elementos
estruturais diferenciados que são formados pela união dos elementos estruturais básicos,
como é o caso, por exemplo, das escadas (composta de lajes e vigas) e das marquises.
Figura 1.1 – Sistema estrutural de um edifício de concreto armado
(MACGREGOR, 1992, citado por GIONGO, 2007)
Segundo FUSCO (1976), citado por SOUZA (2008), a superestrutura de um edifício de
concreto armado pode ser visualizada em três níveis distintos, a saber:
• Estrutura terciária: o elemento estrutural desse nível é capaz de suportar cargas
distribuídas em sua superfície. Esse tipo de estrutura é representado pelas lajes.
• Estrutura secundária: o elemento estrutural desse nível suporta cargas
concentradas e recebe reações oriundas da estrutura terciária (lajes). Esse tipo de
estrutura é representado pelas vigas.
• Estrutura primária: o elemento estrutural desse nível garante a resistência global
da estrutura. Esse tipo de estrutura é representado pelos pilares.
Na elaboração de um projeto estrutural, cada elemento estrutural é concebido para
desempenhar funções específicas, inerentes a cada um. As lajes são responsáveis por
receber as ações verticais, correspondentes às cargas atuantes na edificação (cargas
permanentes e acidentais), e transmiti-las às vigas através das reações de apoio. As

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vigas, por sua vez, servem de apoio às lajes e suportam as cargas provenientes das lajes,
peso próprio, alvenarias e quaisquer reações de apoio de outras vigas, transmitindo-as
aos pilares no seu ponto de contato. Os pilares recebem as ações das vigas que,
juntamente com seu peso próprio, são transferidas aos elementos de fundação. A
transferência das ações entre os elementos estruturais pode ser visualizada na Figura
1.2.
Figura 1.2 – Distribuição das ações nos elementos estruturais
(VARELA e SOUZA, 2009)
O seguimento do curso será focado na apresentação e análise dos elementos estruturais
pilares e fundações.
O estudo de pilares não é trivial. Engloba a verificação do posicionamento do pilar em
planta, as solicitações impostas (flexão composta reta ou flexão composta oblíqua),
noções do fenômeno de flambagem, tipos de excentricidades, visão dos processos de
cálculo e disposição das armaduras longitudinal e transversal. O estudo de fundações
desta disciplina engloba, uma vez determinado o tipo de fundação, a análise das ações
atuantes e o dimensionamento e detalhamento do elemento estrutural.
Na hierarquia do sistema estrutural, os pilares e as fundações assumem o maior nível de
importância, uma vez que a ruína de uma estrutura pode ser acarretada pelo colapso de
um pilar.

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2. Introdução a Pilares
2.1 Definição e disposição
Os pilares são elementos estruturais que podem ser classificados conforme a sua função
estrutural e a sua forma geométrica. Com base no critério geométrico, os pilares são
classificados como elementos lineares de seções não delgadas, ou seja, elementos cujas
dimensões da seção transversal são da mesma ordem de grandeza e bem menores que o
comprimento longitudinal. Nessa classificação também estão incluídas as vigas. A
Figura 2.1 ilustra a geometria de um elemento linear de seção não delgada.
Figura 2.1 – Elemento linear de seção não delgada.
Com base no critério estrutural, segundo a NBR 6118 (2007), pilares são “elementos
lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de
compressão são preponderantes”. Diz-se que o pilar recebe ações predominantemente
de compressão, pois a carga principal atuante em uma edificação possui direção vertical,
embora outras ações possam introduzir solicitações transversais, como é o caso do
vento. Consideram-se ainda, por exemplo, solicitações provenientes de desaprumo do
pilar na fase construtiva, inexatidão da aplicação da carga no pilar com pequena
excentricidade e efeitos denominados de efeitos de segunda ordem, que serão
apresentados nas seções posteriores.
Os pilares, assim como qualquer elemento estrutural, devem ser posicionados de forma
a atender tanto o projeto arquitetônico como também a estabilidade da estrutura. Os
elementos estruturais devem ser arranjados para serem capazes de suportar tanto as
ações verticais quanto as ações horizontais, sem causar interferências excessivas no
arranjo arquitetônico, assim como nos demais elementos estruturais. Além disso, o
arranjo estrutural deve estar em harmonia também com os demais projetos que
englobam uma edificação, sejam eles, projeto de instalações elétricas, hidráulicas,
telefonia, ar condicionado, entre outros.
No que se refere a locação dos pilares algumas recomendações auxiliam na praticidade
de execução, redução de custos e na segurança estrutural. Os pilares básicos a serem
posicionados são nos cantos da edificação, cantos da escada e elevadores, e cruzamento
de vigas principais. Procura-se manter um alinhamento entre os pilares com o objetivo
de gerar pórticos que sejam resistentes às solicitações oriundas de ações horizontais. A
distribuição dos pilares, juntamente com os demais elementos estruturais, deve ser de tal
forma a conduzir uma transferência de carga desde as lajes até as fundações, a mais
direta possível, evitando sempre que possível o apoio de pilares em vigas. Em algumas
situações esta recomendação não é atendida, principalmente no que diz respeito ao
posicionamento de pilares em áreas de garagens, que deve ser compatível às áreas de
manobras, porém não sendo compatível com o pavimento tipo. Nesse caso, é necessária
a utilização de um elemento de transição (vigas de transição) para a transferência de

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cargas. Considerando a ação do vento, a orientação da seção transversal é importante. A
distância entre pilares define o vão das vigas. Portanto, devem apresentar uma distância
entre si de modo a não acarretar aumento excessivo na altura da viga, o que poderia
implicar na alteração do projeto arquitetônico de portas e janelas. Uma distância
recomendada encontra-se na faixa de 4 a 6 m. Deve-se procurar embutir os pilares nas
alvenarias. Quando essa condição não for atendida ou quando as dimensões dos pilares
forem grandes, esses devem ser posicionados, preferencialmente, nas áreas destinadas a
cozinhas, banheiros e áreas de serviço. Deve-se apresentar uma distinção em plantas,
dos pilares que nascem, daqueles que permanecem nos pavimentos e dos que morrem.
2.2 Pilares nos sistemas estruturais
Os pilares participam de alguns tipos de sistemas estruturais, proporcionando
estabilidade e segurança estrutural. A necessidade de diferentes sistemas estruturais teve
como base o surgimento de edifícios cada vez mais altos nos grandes centros urbanos,
consequentemente estruturas com maiores solicitações, principalmente ações de origem
lateral.
No primeiro tipo de sistema estrutural (ver Figura 2.2), os pilares juntamente com as
vigas formam um sistema resistente, constituído por pórticos, que absorvem não só as
ações horizontais, mas também contribuem para a estabilidade global da estrutura. É
utilizado em edifícios de pequena altura (até 20 andares). A direção de maior rigidez do
pilar é posicionada paralela à menor dimensão do edifício para melhor estabilidade.
Figura 2.2 – Sistema em pórticos (quadro rígido) (FRUCHTENGARTEN)
O segundo tipo de sistema estrutural é denominado de sistema com núcleo de concreto
(Figura 2.3). O núcleo de concreto envolve as regiões de fluxo vertical em uma
edificação, ou seja, em torno de escadas e elevadores. Embora o núcleo de concreto não
seja constituído por paredes totalmente fechadas, pois existem aberturas para sua
utilização, possui rigidez para resistir às ações horizontais. Podem ser utilizados em
edifícios até 60 pavimentos.
CORTE

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Figura 2.3 – Sistema com núcleo de concreto (FRUCHTENGARTEN).
Os sistemas estruturais em pórticos e com núcleos de concreto podem também ser
visualizados na Figura 2.4. Nessa figura observa-se que o exemplo “a” representa o
sistema estrutural em pórtico e os exemplos “b”, “c” e “d” representam o sistema com
núcleos de concreto (núcleos resistentes). A diferença entre os exemplos “b”, “c” e “d”
consiste no número de pavimentos, quantidade de pilares e na representação quanto a
presença do núcleo resistente. Nos exemplos “b” e “c” tem-se sistemas estruturais
constituídos por um núcleo resistente central e maior densidade de pilares com o
aumento no número de pavimentos. No exemplo “d” em função da maior densidade de
pilares e proximidade entre eles, representa-se a estrutura como sendo constituída por
dois núcleos resistentes. No exemplo “e” a estrutura é constituída por paredes de
concreto nas duas direções. Nos exemplos citados diz-se que são estruturas onde há uma
combinação de núcleos resistentes com fachadas em “colméia”, que confere rigidez, de
forma a evitar excesso de flexibilidade, vibrações e deslocamentos indesejáveis,
principalmente nos pavimentos mais altos.
CORTE
PLANTA

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Figura 2.4 – Sistemas constituídos por pórtico e núcleos de concreto.
O sistema em quadro contraventado constitui o terceiro tipo de sistema estrutural
(Figura 2.5). Trata-se de uma solução econômica para edifícios de até 60 andares. Nesse
sistema há a presença de treliças como elemento de contraventamento. As treliças
resistem aos esforços horizontais e aumentam a rigidez da estrutura. Os travamentos no
formato “K” são mais eficientes e interessantes que os travamentos no formato “X”,
pois proporcionam maior liberdade de uso do espaço interno. A questão que deve ser
observada no exemplo “a” é que há uma concentração das solicitações horizontais nos
pilares pertencentes à treliça vertical. O posicionamento de treliças em outros
pavimentos contribui para tornar o sistema mais eficiente, com melhor distribuição das
solicitações.

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Figura 2.5 – Sistema em quadro contraventado (FRUCHTENGARTEN).
2.3 Efeitos nos pilares
Os pilares são elementos estruturais concebidos de forma a serem capazes de resistir
tanto às ações horizontais quanto verticais. A ação vertical corresponde à carga vertical
da edificação (reação da viga no pilar) e a ação horizontal corresponde à ação do vento.
Sob a ação de cargas horizontais, os nós da estrutura de um edifício deslocam-se
lateralmente. Esses deslocamentos, juntamente com as ações verticais causam o
aparecimento dos efeitos denominados de “efeitos globais de 2ª ordem”. A Figura 2.6-a
ilustra as ações atuantes no pilar e a Figura 2.6-b ilustra o deslocamento apresentado
pelo pilar devido a ação horizontal.
(a) (b)
Figura 2.6 – Pilar: (a) ações atuantes e (b) deslocamento sob ação horizontal (MARINS
et al, 2000)

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2.3.1. Efeitos de 1ª ordem e 2ª ordem
A análise de pilares engloba a consideração de efeitos de 1ª ordem e 2ª ordem.
Entretanto, a depender do tipo de estrutura esses dois efeitos podem não ser
considerados simultaneamente na análise de pilares. Previamente ao conhecimento dos
tipos de estruturas onde os efeitos de 2ª ordem devem ser considerados, tem-se a seguir
a definição de efeitos de 1ª ordem e efeitos de 2ª ordem.
Utilizam-se os efeitos de 1ª ordem quando o equilíbrio da estrutura é considerado na
posição original (não deslocada), ou seja, os esforços atuantes em uma seção transversal
são calculados com a estrutura na sua posição original. Nesse caso, tem-se o momento
de 1ª ordem igual a M1=F.e1. Por outro lado, utilizam-se os efeitos de 2ª ordem quando
o equilíbrio da estrutura é considerado na posição deformada (deslocada), ou seja, os
esforços atuantes em uma seção transversal são calculados com a estrutura na sua
posição deformada. Nesse caso, tem-se o momento de 2ª ordem igual a M2=F.e2. O
valor do momento total é dado pela soma de M1 e M2. A Figura 2.7 ilustra as duas
condições de análise.
Figura 2.7 – Equilíbrio da estrutura na consideração dos efeitos de 1ª e 2ª ordem.
(FUSCO, 1995)
Com relação às possibilidades de instabilidade de uma estrutura já citadas (estrutura em
posições deformadas e não deformadas), tem-se ainda os efeitos locais de 2ª ordem, que
ocorrem quando os eixos das barras de uma estrutura não se mantém retilíneos. A
Figura 2.8 apresenta a perspectiva de uma estrutura com suas condições de
instabilidade. Tem-se a estrutura na condição indeformada (Figura 2.8-a), a estrutura
com instabilidade global originando os efeitos globais de 2ª ordem (Figura 2.8-b) e a
estrutura com instabilidade local dos pilares centrais inferiores, originando os efeitos
locais de 2ª ordem (Figura 2.8-c).

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(a) (b) (c)
Figura 2.8 – Condições de instabilidade: (a) estrutura não deformada; (b) instabilidade
global e (c) instabilidade local. (Carvalho e Figueiredo Filho)
Na análise de pilares, consideram-se os efeitos de 1ª ordem e 2ª ordem em função do
tipo de estrutura, seja ela está contraventada ou não. Quando uma estrutura possui sub-
estruturas com rigidez suficiente para absorver os esforços horizontais, os
deslocamentos horizontais dos nós da estrutura são pequenos, de forma que os efeitos
globais de 2ª ordem podem ser desprezados. São ditas de estruturas contraventadas
constituídas por elementos de contraventamento que podem ser pórticos treliçados,
núcleos de concreto ou paredes estruturais, conforme ilustra a Figura 2.9. Esse tipo de
estrutura também é denominada como estrutura indeslocável ou estrutura de nós fixos.
Em analogia, existem as estruturas não contraventadas que são aquelas que não
possuem rigidez suficiente aos esforços horizontais. Nesse caso os efeitos globais de 2ª
ordem não podem ser desprezados. Esse tipo de estrutura também é denominada como
estrutura deslocável ou estrutura de nós móveis. A Figura 2.10-a e a Figura 2.10-b
ilustram as estruturas contraventadas e não contraventadas, respectivamente.
Figura 2.9 – Elementos de contraventamento (Fusco, 1995)

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(a) (b)
Figura 2.10 – Classificação da estrutura quanto a sua rigidez:
(a) estrutura contraventada e (b) estrutura não contraventada. (Fusco, 1995)
2.3.2. Estruturas de nós fixos e móveis
Com relação aos efeitos de 2ª ordem pode-se dizer então que uma estrutura é dita como
estrutura de nós fixos quando os efeitos globais de 2ª ordem são desprezados, sendo
considerados somente os efeitos locais de 2ª ordem. E uma estrutura é dita como
estrutura de nós móveis quando são considerados tanto os efeitos globais quanto locais
de 2ª ordem. Diz-se que os esforços provenientes dos efeitos globais de 2ª ordem são
desprezados quando seus valores são inferiores a 10% dos esforços dos efeitos de 1ª
ordem. A rigor, toda estrutura é deslocável, porém para simplificação da análise a
estrutura é dividida em estrutura de nós fixos e estrutura de nós móveis.
Existem dois parâmetros que definem a estrutura sendo de nós fixos ou nós móveis, os
quais auxiliam, por sua vez, na análise estrutural com relação à consideração dos efeitos
globais de 2ª ordem. O primeiro é chamado de parâmetro de instabilidade α e o segundo
parâmetro é chamado de coeficiente γz.
O parâmetro de instabilidade α é dado pela seguinte expressão:
EI
N
H.
=
α
onde:
H = altura total da edificação a partir do topo da fundação ou de um nível pouco
deslocável do subsolo;
N = somatório das cargas verticais atuantes na estrutura, a partir do nível considerado;
EI = somatório dos valores de rigidez de todos os pilares na direção considerada.
Para que a estrutura seja do tipo de nós fixos, ou seja, para que os efeitos globais de 2ª
ordem possam ser desprezados, é necessário que o parâmetro de instabilidade α seja
menor que o coeficiente α1 (α < α1). O coeficiente α1 é determinado em função do
número de andares (n) acima do nível analisado, sendo calculado da seguinte forma:

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• Para n ≤ 3 n
1
,
0
2
,
0
1 +
=
α
• Para n ≥ 4 α1 = 0,5; 0,6 ou 0,7. Nesse caso, α1 = 0,5 considerando o
contraventamento constituído por pórticos; α1 = 0,6 considerando o contraventamento
constituído por associações de pórticos e pilares-parede e α1 = 0,7 considerando o
contraventamento constituído somente por pilares-parede.
O parâmetro chamado de coeficiente γz é dado pela seguinte expressão:
d
d
z
M
M
1
1
1
∆
−
=
γ
onde:
∆Md = soma dos produtos das forças verticais atuantes na estrutura pelos deslocamentos
horizontais no ponto de aplicação considerado;
M1d = soma dos momentos (momentos de cálculo) das forças horizontais, em relação à
base da estrutura.
Para que a estrutura seja do tipo de nós fixos, ou seja, para que os efeitos globais de 2ª
ordem possam ser desprezados, é necessário que coeficiente γz seja menor ou igual a 1,1
(γz≤ 1,1).
Informações sobre o parâmetro de instabilidade α e o coeficiente γz foram dadas a
título de conhecimento, uma vez que a disciplina está focada em estruturas de nós
fixos. Considerando, portanto, o foco da estrutura em estrutura de nós fixos, os
efeitos globais de 2ª ordem são desprezados. Tem-se, portanto o cálculo dos efeitos de
1ª ordem e os efeitos locais de 2ª ordem. Os efeitos de 1ª ordem, ou as excentricidades
de 1ª ordem a serem consideradas em um projeto estrutural são as seguintes:
excentricidade inicial, excentricidade acidental, excentricidade de forma e
excentricidade suplementar. A consideração de cada uma no cálculo estrutural é
dependente do posicionamento do pilar em planta e de sua classificação do pilar quanto
à esbeltez. A dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem poderá ou não acontecer
a depender da classificação do pilar quanto à sua esbeltez. Tem-se portanto a
classificação dos pilares quanto ao seu posicionamento em planta e quanto à sua
esbeltez.
2.3.3. Classificação dos pilares
2.3.3.1 Com relação ao posicionamento em planta
Quanto ao posicionamento em planta, os pilares podem ser classificados como pilares
centrais (ou intermediários), pilares laterais (ou de extremidade) e pilares de canto.
a) Pilares centrais ou intermediários: normalmente localizam-se no interior do
edifício, sendo apoio interno às vigas (Figura 2.11). São solicitados somente ao
esforço de compressão simples (força normal N). As vigas contínuas são
calculadas como apoiadas nos pilares, não transmitindo momentos fletores a
eles.

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Figura 2.11 – Pilar central (ALVES, 2010).
b) Pilares laterais ou de extremidade: localizados nas bordas do edifício (Figura
2.12). Constituem como apoio de extremidade às vigas. Têm-se vigas contínuas
e vigas que são apoiadas nos pilares e perpendiculares à borda onde as vigas são
interrompidas. Esses tipos de pilares são solicitados ao esforço normal de
compressão (força normal N) e ao momento fletor transmitido pela viga na
direção perpendicular. Na direção paralela à borda, há uma continuidade da viga,
e nesse caso não há transmissão de momentos aos pilar. Tem-se, portanto, flexão
composta normal.
Figura 2.12 - Pilar de extremidade (ALVES, 2010).
c) Pilares de canto: localizados nos cantos do edifício, conforme ilustrado na
Figura 2.13. Constituem como apoios às vigas, ortogonais entre si, que neles
concorrem e onde são interrompidas. São solicitados ao esforço normal de
compressão (força normal N) e aos momentos fletores transmitidos pelas vigas
nas duas direções. Tem-se, portanto, flexão composta oblíqua.
Figura 2.13 - Pilar de canto (ALVES, 2010).

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A Figura 2.14 ilustra a classificação dos pilares quanto ao seu posicionamento em
planta.
Figura 2.14 – Classificação dos pilares quanto à posição e solicitação.
2.3.3.2. Com relação à esbeltez
Quanto à esbeltez, os pilares podem ser classificados como pilares curtos (ou robustos),
pilares medianamente esbeltos (ou de esbeltez média), pilares esbeltos e pilares muito
esbeltos. A classificação é dada de acordo com o índice de esbeltez (λ) que é comparado
ao índice de esbeltez limite (λ1). Dessa forma, tem-se:
a) Pilares curtos: λ ≤ λ1;
b) Pilares medianamente esbeltos: λ1 < λ ≤ 90;
c) Pilares esbeltos: 90 < λ ≤ 140;
d) Pilares muito esbeltos: 140 < λ ≤ 200.
Não é admitido, por norma, pilar com índice de esbeltez superior a 200.
2.3.4. Tipos de excentricidades
O ponto de aplicação de uma força normal em um pilar pode ser no seu centro
geométrico ou a uma certa distância desse centro. Dessa forma, o pilar pode estar sujeito
tanto a compressão centrada como flexão composta. A distância do ponto de aplicação
da carga até o centro geométrico do elemento é definido como excentricidade. As
excentricidades existem por diversas causas, sendo divididas em excentricidade inicial,
excentricidade acidental, excentricidade de forma, excentricidade suplementar e
excentricidade de segunda ordem.
Compressão centrada
Flexão composta normal
Flexão composta oblíqua

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2.3.4.1. Excentricidade inicial (ei)
Nas estruturas de edifícios existe um monolitismo nas ligações entre viga e pilar e por
isso os pilares estão submetidos a um momento fletor inicial, o qual é representado por
uma dada força de compressão que atua a uma distância do centro geométrico do pilar.
Essa distância é denominada como excentricidade inicial (ei). A excentricidade inicial
ocorre nos pilares de extremidade e nos pilares de canto. Em pilares centrais a norma
permite desconsiderar a transmissão de momentos a esses tipos de pilares. A
excentricidade inicial é independente da esbeltez do pilar e pode ocorrer em uma única
direção (x ou y) ou em ambas. A Figura 2.15 ilustra a ocorrência da excentricidade
inicial nas direções x ou y (caso de pilares de extremidade) e a excentricidade inicial nas
direções x e y, simultaneamente (caso de pilares de canto).
(a) (b)
Figura 2.15 – Excentricidade inicial: (a) em pilares de extremidade e
(b) em pilares de canto.
2.3.4.2 Excentricidade acidental (ea)
A excentricidade acidental é representada pela incerteza quanto à localização da força
normal e por desvios do eixo da peça na fase de construção. Geralmente, as construções
de concreto são imperfeitas, seja por imperfeições nas dimensões da seção transversal,
na distribuição e posicionamento das armaduras, entre outros. Entretanto, esses tipos de
imperfeições são consideradas no processo de cálculo pelos coeficientes de ponderação
(majoração dos esforços e minoração das resistências), o que não é válido para as
imperfeições relacionadas a desvios nos eixos dos elementos, pois pode afetar a
estabilidade da estrutura. Esse tipo de imperfeição engloba as imperfeições globais e as
imperfeições locais. A imperfeição global e as imperfeições locais estão ilustradas na
Figura 2.16 e na Figura 2.17, respectivamente. A imperfeição local é caracterizada por
falta de retilineidade ou desaprumo do pilar.
Figura 2.16 – Imperfeição global em pilares (NBR 6118/2007).

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Figura 2.17 – Imperfeições locais em pilares (NBR 6118/2007).
Admite-se que, a consideração da falta de retilineidade no pilar seja suficiente como
excentricidade acidental. Além disso, admite-se também que para consideração
desse efeito pode-se utilizar o valor do momento total mínimo dado por:
M1d,min=Nd.emin, sendo emin=(0,015+0,03h)
onde:
Nd=esforço normal de cálculo no pilar;
h= dimensão do pilar na direção considerada.
2.3.4.3. Excentricidade de forma
Em muitas ocasiões, no projeto estrutural, em função do projeto arquitetônico, não é
possível a coincidência entre eixos de vigas com eixos de pilares. Usualmente tem-se
face externa da viga coincidente com a faixa externa do pilar. Dessa forma, devido ao
fato dos eixos das vigas não passarem pelo centro de gravidade dos pilares, as reações
das vigas geram uma excentricidade que é denominada de excentricidade de forma. De
forma geral, esse tipo de excentricidade não é considerada no dimensionamento de
pilares, com exceção dos pilares ao nível da fundação e da cobertura. Entretanto, ainda
assim esse tipo de excentricidade é desprezada, considerando que no nível da fundação
o carregamento vertical é muito grande e o surgimento de qualquer excentricidade pela
reação da viga não acarretaria incrementos expressivos no dimensionamento. No nível
da cobertura, os pilares são pouco solicitados e as armações absorvem bem qualquer
solicitação proveniente desse tipo de excentricidade. A Figura 2.18 ilustra o tipo de
excentricidade em discussão.

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Figura 2.18 – Excentricidade de forma (ALVES, 2010)
2.3.4..4. Excentricidade suplementar (ec)
Na excentricidade suplementar leva-se em conta a fluência do concreto. Esse tipo de
excentricidade é considerada em pilares com índice de esbeltez superior a 90 (λ>90).
2.3.5. Dispensa dos efeitos locais de 2ª ordem
Os efeitos locais de 2ª ordem podem ser desprezados sempre que o índice de esbeltez
(λ) for inferior ao índice de esbeltez limite (λ1), ou seja, λ<λ1.
O índice de esbeltez é dado pela seguinte expressão:
i
le
=
λ
onde:
le = comprimento de flambagem;
i = raio de giração da seção de concreto.
E sabe-se que:
A
I
i =
onde:
I = momento de inércia da seção de concreto;
A = área da seção transversal de concreto.
O índice de esbeltez limite (λ1) é dado pela seguinte expressão:
b
h
e
α
λ
1
1
5
,
12
25+
=
, tendo-se que 35 ≤ λ1 ≤ 90

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onde:
e1 = excentricidade de 1ª ordem, admitindo-se a excentricidade mínima (e1min) dada por
e1min=0,015+0,03h;
h = dimensão do pilar na direção considerada;
αb = parâmetro dependente das condições de vinculação nas extremidades do pilar e do
carregamento atuante (na disciplina adotaremos αb = 1 e λ
λ
λ
λ1 =35).
2.3.4.5. Quadro resumo dos efeitos e excentricidades
A Tabela 2.1 apresenta um resumo dos tipos de excentricidades (1ª ordem e 2ª ordem) e
suas aplicações em função da classificação do pilar quanto ao seu posicionamento em
planta e quanto à sua esbeltez.
Tabela 2.1 – Tipos de excentricidades e sua utilização.
Excentricidades Símbolo Utilização
Inicial ei ei=0 (pilar central); ei≠0 (pilar de extremidade e pilar de canto)
De forma ef Geralmente não é considerada no dimensionamento
Acidental ea Considerar sempre, comparando com e1min
Suplementar ec ec=0 (λ≤90); ec≠0 (λ>90)
Segunda ordem e2 e2=0 (λ≤λ1); e2≠0 (λ>λ1)

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3. Dimensionamento de pilares
3.1 Pré-dimensionamento da seção transversal do pilar
A área da seção transversal de um pilar pode ser estimada através da determinação da
carga total suportada pelo pilar, ou seja, o esforço normal. Para tanto é necessário o
cálculo da área de influência e a determinação da ação na área de influência, para então
se obter o esforço normal no pilar e por fim a área de seção transversal do pilar.
a) Critério das áreas de influência
A área de influência (Ai) do pilar é denominada como uma área ao redor do pilar em
que toda a carga que incidir nesta área será suportada pelo pilar. A maneira mais
simples de se determinar as áreas de influência é dividindo-se o pavimento em figuras
geométricas (retângulos ou polígonos), ou seja, dividindo-se as distâncias entre os
centros dos pilares ao meio, formando um “tabuleiro” com várias áreas associadas aos
pilares. Considera-se que cada pilar tem uma área de influência. A Tabela 3.2 ilustra o
critério das áreas de influência.
Figura 3.1 – Critério das áreas de influência.
b) Carregamento na área de influência
Nessa fase consideram-se as ações permanentes representadas pelos pesos próprios da
estrutura de concreto, peso próprio das camadas de revestimento, das camadas de
argamassa de regularização, peso próprio das paredes divisórias (geralmente alvenarias)
e as ações variáveis (cargas acidentais). Portanto, a ação na área de influência pode ser
determinada conforme a seguinte expressão:
PAi = gp + gr + ga+q
onde:
PAi = ação na área de influência;
gp = peso próprio da laje;
gr = peso próprio referente ao revestimento;
ga = peso referente às alvenarias;

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q = carga acidental.
A carga referente ao peso próprio da laje (gp) é calculada multiplicando-se a espessura
da laje (hlaje) pelo peso peso específico do concreto (γc=25kN/m3
), ou seja, gp = hlaje . γc.
A carga referente ao revestimento (gr) é dependente do acabamento a ser utilizado na
construção e é composta por diversas parcelas, como camada de regularização,
argamassa de assentamento e revestimentos. É dada pelo somatório da multiplicação
entre o peso específico dos materiais de construção pela espessura de cada parcela. Na
ausência de um valor definido, pode-se utilizar o valor gr = 1,0kN/m2
para
revestimentos cerâmicos ou de madeira, e gr = 1,5kN/m2
para revestimentos de granito
ou mármore.
A carga acidental é definida em função do uso e ocupação da laje. Os valores de
sobrecarga podem ser obtidos na NBR 6120 (1980) e alguns valores estão apresentados
na Tabela 3.1.
Tabela 3.1 – Valores de sobrecargas a serem utilizadas em lajes (NBR 6120/1980).
Localização q
Arquibancadas 4,0 kN/m2
Bibliotecas
(2,5 kN/m² por metro de
altura)
Sala de leitura
Sala de depósito de livros
Sala com estandes de livros (valor
mínimo)
2,5 kN/m2
4,0 kN/m2
6,0 kN/m2
Edifícios residenciais Dormitórios, sala, copa, cozinha e
banheiro
Despensa, área de serviço e lavanderia
1,5 kN/m2
2,0 kN/m2
Escadas e Corredores Com acesso ao público
Sem acesso ao público
3,0 kN/m2
2,5 kN/m2
Escritórios Salas de uso geral e banheiros 2,0 kN/m²
Escolas Corredor e sala de aula
Outras salas
3,0 kN/m²
2,0 kN/m²
Terraços Com acesso ao público
Sem acesso ao público
Inacessível
3,0 kN/ m2
2,0 kN/ m2
0,5 kN/ m2
Restaurantes 3,0 kN/ m2
Teatros (palco) e Ginásios de esportes 5,0 kN/ m2
A carga referente à alvenaria pode ser estimada relacionando-a aos valores da área de
influência. Assim, tem-se:














=
→
>
=
→
≤
<
=
→
≤
2
2
2
2
2
2
2
/
10
36
/
7
36
25
/
5
25
m
kN
g
m
A
m
kN
g
m
A
m
m
kN
g
m
A
a
i
a
i
a
i
Para pé-direito = 2,75m
Se

FAU/UFRJ Page 21
Para edifícios residenciais usuais, a ação na área de influência pode ser adotada como
um valor entre 8 kN/m2
e 12 kN/m2
.
c) Ação total no pilar (esforço normal estimado no pilar - Nest)
As ações em cada pilar, no andar em que for necessário fazer o pré-dimensionamento,
são dadas multiplicando-se a ação por unidade de área de cada andar (ação na área de
influência) pela área de influência e pelo número de pavimentos acima do andar em
análise. Tem-se, portanto:
Nest = n.PAi.Ai
onde:
Nest = esforço normal no pilar;
n = número de pavimentos acima do tramo do pilar para o qual se pretende fazer o pré-
dimensionamento;
PAi = ação na área de influência;
Ai = área de influência.
d) Área de concreto para a seção do pilar (Ac)
A área requerida de concreto é obtida dividindo-se o esforço normal de cálculo pela
resistência à compressão de cálculo do concreto.
cd
est
d
c
f
N
A
)
(
=
onde:
Ac = área requerida de concreto;
Nd(est) = esforço normal de cálculo (Nd = Nest.1,4);
fcd = resistência à compressão de cálculo do concreto (fcd=fck/1,4).
e) Dimensões da seção transversal
A seção transversal do pilar pode ser obtida com base na limitação de esbeltez, ou seja,
a partir da fixação de um determinado valor de λ. A partir da fixação do índice de
esbeltez (λ) e do conhecimento do valor do pé-direito obtém-se uma das dimensões do
pilar. Tendo-se a área requerida de concreto, obtém-se então a segunda dimensão do
pilar. Para consideração de pilar curto, tem-se o índice de esbeltez (λ) fixado no valor
igual a 35 e para consideração de pilar medianamente esbelto, tem-se o índice de
esbeltez (λ) fixado no valor igual a 90. A expressão para a determinação da primeira
dimensão do pilar é dada abaixo:
x
l
288
,
0
=
λ
λ
288
,
0
l
x =
onde:
λ = índice de esbeltez (λ=35 para pilar curto e λ=90 para pilar medianamente esbelto);
ou

FAU/UFRJ Page 22
l = pé-direito;
x = uma das dimensões do pilar.
De posse de uma das dimensões do pilar, calcula-se o valor da segunda dimensão do
pilar da seguinte forma:
x
A
y
req
=
onde:
x e y = dimensões do pilar;
Areq = área requerida de concreto.
Segundo a norma NBR 6118/2007, a seção transversal de um pilar não deve apresentar
área inferior a 360cm2
e dimensão menor que 19 cm. Estas recomendações garantem um
desempenho adequado aos pilares e minimizam a probabilidade de desvios e falhas na
construção que ocorrem em maior frequência em elementos de dimensões muito
pequenas. Entretanto, em casos especiais, permite-se a consideração de pilares com
dimensões inferiores a 19 cm (12 a 19 cm), desde que no dimensionamento, as ações
sejam multiplicadas por um coeficiente adicional, dependente da dimensão adotada.
Esse coeficiente, portanto, é um coeficiente de ajuste que considera a probabilidade de
ocorrências de desvios significativos na construção. O coeficiente adicional (γn) é dado
em função da seguinte expressão:
b
n 05
,
0
95
,
1 −
=
λ
onde:
b = menor dimensão da seção transversal.
A Tabela 3.2 apresenta os valores do coeficiente adicional em função da menor
dimensão do pilar.
Tabela 3.2 – Valores do coeficiente adicional γn.
b (cm) >19 18 17 16 15 14 13 12
γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35
Assumindo “b” como a menor dimensão da seção transversal e “h” como a maior
dimensão da seção transversal, todas as recomendações para pilares são válidas desde
que a maior dimensão do pilar seja inferior a cinco vezes a menor dimensão do pilar
(h≤5b). Caso contrário o elemento em análise deve ser tratado não como pilar, mas sim
como pilar parede.

FAU/UFRJ Page 23
Em virtude do exposto acima, ao final da determinação da seção transversal do pilar, é
importante que se faça a verificação das condições geométricas, resumidas em quatro
itens:
• A área requerida de concreto (Areq) deve ser superior a área mínima (Amin)
exigida por norma, cujo valor é igual a 360 cm2
;
Areq ≥ Amin
• As dimensões dos pilares devem atender as dimensões mínimas exigidas por
norma. A seção transversal de um pilar não deve apresentar dimensão menor
que 19 cm. Entretanto, permite-se a consideração de pilares com dimensões
inferiores a 19 cm (com mínimo em 12 cm);
• Os valores obtidos para as dimensões do pilar devem satisfazer a área requerida
de concreto calculada, ou seja, o resultado da multiplicação dos valores
encontrados para as dimensões do pilar deve estar próximo ao valor da área
requerida de concreto;
• Para que o elemento em análise seja tratado como pilar a sua maior dimensão
deve ser inferior a cinco vezes a sua menor dimensão.
3.2 Determinação do esforço normal real no pilar (N)
O esforço normal real suportado pelo pilar compreende duas parcelas, sendo a primeira
correspondente às reações das vigas transferidas aos pilares, e a segunda correspondente
ao peso próprio do pilar. Para a determinação da parcela referente às vigas, é necessário
o esquema estrutural das vigas com os respectivos carregamentos em cada trecho da
viga. Os carregamentos das vigas são obtidos pela soma do seu peso próprio (em função
de suas dimensões), da carga de alvenaria (peso das paredes sobre a viga) e das reações
das lajes sobre a viga. Para o dimensionamento de pilares ao nível da fundação, uma
mesma viga pode apresentar esquemas estruturais variáveis, a depender do pavimento
(cobertura, pavimento tipo e térreo_cintas). Assim, a parcela do esforço normal real no
pilar, referente às vigas, é dada pela soma das reações de apoio no contato viga/pilar de
todas as vigas que concorrem no pilar considerado, levando em consideração os
diferentes esquemas estruturais e o número de pavimentos. E a parcela do esforço
normal real no pilar, referente ao peso próprio do pilar, é dada pela multiplicação das
dimensões do pilar, pela altura do pilar (no caso, o pé direito) e pelo peso específico do
concreto.
3.3 Determinação do momento fletor
O cálculo do momento fletor envolve a avaliação e cálculo das excentricidades, que por
sua vez envolve a determinação do comprimento de flambagem.
a) Determinação do comprimento de flambagem (le)
Para a determinação do comprimento equivalente de flambagem (le), em estruturas de
nós fixos, a norma permite o cálculo de cada elemento (pilar) comprimido isoladamente
(como uma barra vinculada nas extremidades aos demais elementos que ali concorrem).
O comprimento equivalente de flambagem (le) deve ser o menor entre os seguintes
valores:

FAU/UFRJ Page 24


 +
≤
1
0
l
l
l
h
e
onde:
l0 = distância entre as faces internas dos elementos estruturais que concorrem no pilar;
l1 = distância entre os eixos dos elementos estruturais que concorrem no pilar (l1 = l0 +
hVS/2 + hVI/2).
A Figura 3.2 ilustra as variáveis para a determinação do comprimento equivalente de
flambagem de um pilar.
Figura 3.2 – Considerações para determinação do comprimento equivalente de um pilar
(adaptado de Bastos, 2005).
O comprimento equivalente de flambagem obtido será utilizado para a determinação e
verificação do índice de esbeltez e determinação das excentricidades. Neste curso,
consideraremos, por simplificação, l
l
l
le = l
l
l
l1, ou seja, o pé-direito estrutural.
b) Determinação das excentricidades
b.1) Excentricidade acidental
Como pode ser observado na Tabela 2.1, a excentricidade acidental (ou excentricidade
mínima) deve sempre ser considerada, independentemente do posicionamento do pilar.
O valor da excentricidade acidental (ea) será admitido neste curso igual a excentricidade
mínima (emin), obtida conforme a seguinte expressão:
emin=(0,015+0,03h),

FAU/UFRJ Page 25
sendo:
h = a dimensão do pilar na direção considerada, em metros.
b.2) Excentricidade de segunda ordem (e2)
A excentricidade de segunda ordem pode ser calculada conforme expressão abaixo:
h
e e
).
5
,
0
(
005
,
0
.
10
2
2
+
=
ν
l
onde:
le = comprimento equivalente de flambagem;
ν = parâmetro adimensional calculado conforme abaixo
cd
c
d
f
A
N
.
=
ν
sendo:
Nd = esforço normal de cálculo;
Ac = área de concreto (área da seção transversal do pilar);
fcd = resistência à compressão de cálculo do concreto.
Para o cálculo de pilares centrais e curtos considera-se, para a determinação dos
esforços, somente a excentricidade acidental ou excentricidade mínima, calculada
conforme descrição acima (item 3.3b), sendo considerada somente para a direção
com maior índice de esbeltez (ver itens 2.3.3.2 e 2.3.5).
Para o cálculo de pilares centrais e medianamente esbeltos, a excentricidade
acidental ou excentricidade mínima é calculada nas duas direções dos pilares.
Acrescida à excentricidade acidental, deve-se levar em consideração ainda a
excentricidade de segunda ordem, que é calculada somente para a direção de maior
índice de esbeltez.
c) Determinação do esforço momento fletor
Os tipos de solicitações impostas aos pilares são dependentes do seu posicionamento em
planta. O curso trata do estudo de pilares centrais que, a depender da sua classificação
quanto à esbeltez, estão submetidos ao esforço normal e a momento fletor, que pode ser
somente o momento de primeira ordem, como também pode ser acrescido do momento
de segunda ordem.
O esforço normal, já definido no item 3.2, é dado pelas parcelas referentes às vigas
(reações de apoio das vigas) e pela parcela referente ao peso próprio do pilar.

FAU/UFRJ Page 26
O momento fletor é dado pela multiplicação entre o esforço normal de cálculo e as
excentricidades a serem consideradas, conforme expressões abaixo (para os tipos de
pilares considerados no curso):
- Pilares centrais curtos (ou robustos): M = N.ea;
- Pilares centrais medianamente esbeltos: M = N.(ea + e2).
3.4 Cálculo da área de aço e armação
O detalhamento da armadura deve ser capaz de informar a quantidade e o
posicionamento correto das armaduras (longitudinal e transversal), além de indicar
claramente a distância entre as barras.
a) Definição do diâmetro das barras longitudinais (φl)
O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10mm e nem superior a 1/8
da menor dimensão do pilar, ou seja:
8
10
b
mm l ≤
≤φ
sendo:
b = a menor dimensão do pilar.
As barras da armadura longitudinal devem estar distribuídas ao longo da periferia do
pilar e, geralmente, colocadas simetricamente em faces opostas. Em seções poligonais
deve existir no mínimo uma barra em cada vértice e para seções circulares, exige-se a
distribuição de, no mínimo, seis barras ao longo da periferia do pilar. A Figura 3.3
ilustra a exigência quanto ao número mínimo de barras com relação à geometria do
pilar.
Figura 3.3 – Número mínimo de barras.
b) Definição do diâmetro da barra transversal (φt)
A armadura transversal é constituída pelos estribos e, algumas vezes, por estribos
suplementares. Devem ser posicionados ao longo de toda a altura do pilar. Os estribos
devem garantir o posicionamento e evitar a flambagem das barras longitudinais, além de
confinar o concreto, gerando dessa forma um elemento mais resistente.
O diâmetro dos estribos deve ser superior a 5 mm e a ¼ do diâmetro da barra
longitudinal, ou seja:

FAU/UFRJ Page 27





≥
4
5
l
t
mm
φ
φ
c) Cálculo da relação d’/h
A Figura 3.4 ilustra a variável d’ dada pela distância entre o centro de gravidade
da armadura longitudinal até a face externa do elemento. Tem-se, portanto:
2
' l
φ
φ +
+
= t
cobrimento
d
onde:
φt = diâmetro da barra transversal (estribo);
φl = diâmetro da barra longitudinal;
cobrimento = dado por norma, a depender da classe de agressividade ambiental;
h = dimensão do pilar na direção considerada.
Figura 3.4 – Variável d’.
d) Obtenção dos parâmetros ν e µ
O cálculo da área de aço do pilar é feito com o auxílio de ábacos, onde obtém-se os
parâmetros ν e µ. Para a obtenção de tais parâmetros necessita-se do valor calculado
para a relação d’/h, uma vez que há uma variabilidade entre os ábacos em função de tal
relação.
O conhecimento do ábaco a ser utilizado no dimensionamento do pilar é possível uma
vez que se tem calculado a relação d’/h. No ábaco, utilizam-se os parâmetros ν e µ de
onde se obtém um terceiro parâmetro “ω” a ser utilizado no cálculo da armadura
longitudinal. Os parâmetros ν e µ são obtidos conforme expressão abaixo.
cd
c
d
f
A
N
.
=
ν e
cd
c
d
f
h
A
M
.
.
=
µ
Para o cálculo de pilares centrais e curtos (ou robustos) esses parâmetros são obtidos
somente para a direção de maior esbeltez. No cálculo de pilares centrais medianamente
esbeltos esses parâmetros são calculados nas direções das duas dimensões dos pilares,
obtendo-se, portanto, dois valores para o parâmetro “ω”. O maior valor para “ω” será
utilizado na expressão para o cálculo da armadura longitudinal.
d’

FAU/UFRJ Page 28
e) Cálculo da área de aço e armação
A armadura longitudinal é calculada conforme expressão abaixo:
yd
cd
c
s
f
f
A
w
A .
.
=
onde:
ω = parâmetro obtido com o auxílio dos ábacos;
Ac = área de concreto (área da seção transversal do pilar);
fcd = resistência à compressão de cálculo do concreto (fcd=fck/1,4);
fyd = resistência de cálculo do aço (fyd=fyk/1,15);
Determinando-se a área de aço da armadura longitudinal, devem-se verificar as
armaduras mínima e máxima conforme mostram as expressões seguintes:
c
yd
d
s A
f
N
A %.
4
,
0
.
15
,
0
min
, ≥
=
e c
s A
A %.
8
max
, =
Como as barras são distribuídas simetricamente em faces opostas, tem-se a metade da
área de aço calculada para cada face do pilar. O número de barras por cada face do pilar
é então obtido dividindo-se a metade da área de aço pela área da seção transversal da
barra longitudinal utilizada (ver a Tabela 3.3).
Tabela 3.3 – Diâmetro de bitolas comerciais e correspondentes áreas da seção
transversal de aço para dimensionamento (Asφ).
Bitola
(mm)
5,0 6,3 8,0 10,0 12,5 16,0 20,0 25,0
Área
(cm2
)
0,20 0,32 0,50 0,80 1,25 2,00 3,15 4,90
3.5 Cálculo e verificação dos espaçamentos
a) Espaçamento entre estribos (st)
O espaçamento entre estribos deve ser igual ou inferior ao menor dos valores obtidos na
condição abaixo.





≤
l
t ar
ensãodopil
menor
cm
s
φ
12
dim
20
Os espaçamentos entre barras utilizados na prática das construções são os seguintes: 5,0
cm; 7,5 cm; 10 cm; 12,5 cm; 15 cm; 17,5 cm e 20 cm.
b) Espaçamento entre barras longitudinais (s)
O espaçamento entre as barras longitudinais é dado conforme a seguinte expressão:
menor dimensão do pilar

FAU/UFRJ Page 29
1
'
−
−
=
n
s
s l
φ
onde:
s’= maior dimensão do pilar – 2(cobrimento+φt);
φl = diâmetro da barra longitudinal;
n = número de barras por face do pilar.
Determinado o espaçamento entre as barras, devem ser verificados os espaçamentos
mínimo e máximo entre barras.
Como espaçamento mínimo (smin), tem-se que:
smin = amin + 2φl
Tendo-se ainda que o valor de amin deve igual ou superior ao maior dos valores obtidos
na condição abaixo.





≥
agregado
l
d
mm
a
max
.
2
,
1
20
min
φ
onde:
dmax agregado = diâmetro máximo do agregado, adotado no curso igual a 19 mm.
E como espaçamento máximo (smax), tem-se que:



≤
cm
ar
ensãodopil
menor
s
40
dim
.
2
max
3.6 Proteção contra a flambagem
Na proteção contra a flambagem verifica-se a necessidade do uso de estribos
suplementares, que podem ser grampos ou estribos poligonais. Os estribos poligonais
garantem contra a flambagem as barras longitudinais posicionadas em suas quinas e
àquelas situadas no máximo à distância 20.φt do canto, se nesse trecho não houver mais
de 2 barras, excluindo a barra da quina. Caso haja barras fora desse trecho (20.φt), ou
mais de 2 barras nesse trecho, faz-se necessário o uso de estribos suplementares. A
Figura 3.5 e a Figura 3.6 ilustram, respectivamente, a condição necessária para
verificação da proteção contra a flambagem e os ganchos e estribos suplementares que
podem ser adicionados no combate de tal fenômeno.
menor dimensão do pilar

FAU/UFRJ Page 30
Figura 3.5 – Proteção contra a flambagem das barras longitudinais
(LEONHARDT e MÖNNIG, 1978).
Figura 3.6 – Estribos suplementares e ganchos (LEONHARDT e MÖNNIG, 1978).
Alguns exemplos de estribos para pilares quadrados e retangulares estão,
respectivamente, apresentados na Figura 3.7 e na Figura 3.8.
Figura 3.7 – Arranjos de estribos para pilares quadrados.

FAU/UFRJ Page 31
Figura 3.8 – Arranjos de estribos para pilares retangulares.

FAU/UFRJ Page 32
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Exemplo 1)
Verificar a classificação do pilar com relação à esbeltez
Dado: comprimento de flambagem le= 2m
Expressão: λ

; i

e1 = e1 min = (0,015 + 0,03h)
Resolução:
Sabe-se que: ix = 0,288y
iy = 0,288x
Demonstração para ix e iy
i

; I
³

i
³

.

.
=²

√
0,288y
i

; I
³

i
³

.

.
=

√
0,288x
Assim:
Ix=0,288y=0,288.0,30=0,0864m
Iy = 0,288x = 0,288.0,40 = 0,1152m
Determinação do índice de esbeltez λ para cada direção:
Direção x:
λx =

=

!,
17,36
e1x =0,015 ( 0,03.0,4 0,027m
y
x
Y = 30
x = 40

FAU/UFRJ Page 33
λx 35
17,36 35
Direção y:
λ y =

=

!,!+,-
23,15
e1y=0,015 ( 0,03. h
e1y =0,015 ( 0,03.0,3 0,024m
λy 35
23,15 35
Exemplo 2)
Estimar a seção transversal de um pilar considerando os seguintes dados:
fck = 25MPa
pé direito (l) = 3,0m
Ação total no pilar (N) = 2600 kN
Resolução:
fcd =
/0
1
A3
/0
410
fcd =
!!!
,-
17857,14KN/m²
A3
2600 .1,4
17857,14
0,2038m² 2038cm² 9 360:;²
Fazendo a consideração de pilar robusto λ =35
λ

λ

!,++
; 35
=,!
!,++
; x 0,297m 29,7cm
Adotado x = 30cm 19cm ( dimensão mínima por norma)
A3 x. y
y
A3
x
y
!=+
=!
67,9cm
Adotar 70 cm
y5x
70cm (5.30cm = 150)
Seção do Pilar: 30cmx70cm
Consideração da seção em x = robusta
Consideração da seção em y = robusta

FAU/UFRJ Page 34
Exemplo 3)
Pré dimensionar o pilar em destaque (P10) para a seção ao nível das fundações, em um
edifício com 14 pavimentos e carregamento na área de influência igual a 8 kN/m² .
Dados: fck = 25 MPa
l = 3 m
Resolução:
• Área de influência (Ai)
Ai = 6 . 3 = 18m²
• Ação total no pilar
N = n . P. Ai = 14 . 8 . 18 = 2016 kN
• Área de concreto
A3
/?
410
; f3?
43A
,-

!!!
,-
17857,14 kN/m²
A3
2016 .1,4
17857,14
0,158m² 1580cm
C 0,036m² 360cm
Considerando pilar curto (λ 35
λ
l
0,288x
x
l
0,288λ
x
3
0,288 . 35
0,2976cm
30cm 19cm
AEFG x. y
y
AEFG
x

0,158
0,3
0,52m 9 0,19;
Pilar 30cm x 55cm
y5x
55 (5.30 = 150)
3m
3m
3m
6m 6m 6m
P10

FAU/UFRJ Page 35
Exemplo 4)
Dimensionar o pilar abaixo, considerando-o como pilar intermediário. (Determinar
esforços e armação)
Considerar: N=1800 kN;
le = 2,8m;
fck= 25MPa;
Aço CA50
Resolução:
a) Índice de esbeltez
λ x =

!,++H

+!
!,++ . !
19,4
λ y =

!,++H

+!
!,++ . =!
32,4
Tem – se:
λx=19,4 35 Pilar robusto
λ y =32,4 35
b) Cálculo de excentricidades
• Excentricidade acidental (ea)
e1x =0,015 ( 0,03. h 0,015 ( 0,03 .0,5 0,03m
e1y =0,015 ( 0,03. h 0,015 ( 0,03 .0,3 0,024m
c) Cálculo dos esforços
Adotar e1 da direção com maior índice de esbeltez (λ). Portanto, adotar e1y.
ea = e1y = 0,024m
• Esforço normal de cálculo (Nd)
y
x
hY = 30cm
hx = 50cm

FAU/UFRJ Page 36
Nd = N . 1,4 = 1800 . 1,4 = 2520 kN
• Momento fletor de cálculo (Md)
Md = ea . Nd = 0,024 . 2520 = 60,48 kNm
d) Cálculo da Armadura
• Armadura longitudinal (Øl)
10mm ≤ Øl ≤
I
+
10mm ≤ Øl ≤
=!!
+
= 37,5mm
Adotado 20mm Øl = 20mm
• Armadura transversal (Øt)
5mm = 5mm
Øt ≥
Ø
-
=
!
-
= 5mm Øt = 5mm
• Relação
?K
H
Adotar cnom = 2,5cm (25mm)
d’
Øl
2
( Øt ( c OPQ
d’
20
2
( 5 ( 25 40QQ 4cm
Sendo hy = 30cm
?K
H

-
=!
0,13 ~ 0,15 (ábaco 3)
• Parâmetros ν e µ
ν
/?
3 . 43?

!
!,= . !, .
RSSS
T,U

!
,V+,V
0,94
µ
Md
Ac . h . fcd

60,48
0,3 . 0,5 . 0,3 .
!!!
,-

60,48
803,57
0,075
ν=0,94
µ = 0,075 ω = 0,25
• Área de Aço
As w. Ac .
fcd
fyd
0,25 .30.50 .
25000
1,4
500000
1,15
15,4cm²
A[QO 0,15 .
Nd
fyd
C 0,4% Ac
A[QO 0,15 .
2520
50
1,15
8,7cm2

FAU/UFRJ Page 37
A[QO 0,4% Ac
0,4
100
.30 . 50 6cm²
A[QO 8,7cm² 9 6:;²
A[3] 15,4 cm2
A[QO 8,7cm2
A[Q] 8% Ac
8
100
. 30.50 120cm²
As adotado = 15,4cm²
Pelo Ábaco
As
2

15,4
2
7,7cm²/face
• Armação longitudinal
1 φ 20mm = 3,14 cm²; nbarras = 7,70/3,14 = 2,45 3 barras, ou seja, 3 Ø20mm / face
Ver tabela anexa. Entrando com a dimensão de 50cm e φ = 20mm, tem-se:
Número mínimo de barras por face: 3
Número máximo de barras por face: 10
Como foram encontradas 3 barras por face, OK! (nmin ≤ nbarras ≤ nmax)
• Armação transversal (estribo)
Estribos: φ 5mm c 20cm
• Estribo suplementar (proteção contra flambagem)
20Øt = 20 . 5 = 100mm = 10cm (logo, precisa colocar gancho)
• Croquis da armação em planta
As
2
As
2
3Ø20
3Ø20
Ø 5 C. 20

FAU/UFRJ Page 38
Exemplo 5)
Dimensionar a armadura do pilar mostrado na figura abaixo, sendo conhecidos:
N K = 785,7 kN y
Seção 20x50
lex = ley =280cm h y = 20cm x
fck =20MP a
Aço CA50 h x =50cm
Resolução:
a) Índice de Esbeltez
x
λ =
50
.
288
,
0
280
288
,
0
=
x
ex
h
l
=19,4
y
λ =
20
.
288
,
0
280
288
,
0
=
y
ex
h
l
=48,6
Desse modo:
x
λ =19,4 35. Seção em x: robusto, logo, não são considerados os efeitos de 2ª
ordem na direção x (e2x = 0).
y
λ =48,4 35. Seção em y: esbelto. Logo, são considerados efeitos de 2ª ordem
na direção y (e2y ≠ 0).
b) Determinação dos Esforços
Na direção x:
e x
1 =0,015+0,03h x = 0,015+0,03.0,5 = 0,030m
N d = N K .1,4 = 785,7.1,4 = 1099,98 kN
M dx = e x
1 . N d = 0,03.1099,98 = 32,99 kN.m
Na direção y:
M dy = (e y
1 + e 2 ). N d
e y
1 =0,015+0,03h y = 0,015+0,03.0,2 = 0,021m

FAU/UFRJ Page 39
e 2 =
10
2
le
.
y
h
).
5
,
0
(
005
,
0
+
ν
; ν =
cd
c
d
f
A
N
.
ν =
4
,
1
20000
.
5
,
0
.
2
,
0
98
,
1099
=
57
,
1428
98
,
1099
= 0,77
e 2 =
10
8
,
2 2
.
2
,
0
).
5
,
0
77
,
0
(
005
,
0
+
=
10
8
,
2 2
.
254
,
0
005
,
0
= 0,0154m ou 1,54cm
M dy =(0,021+0,0154).1099,98 = 40,04 kN.m
c) Cálculo da Armação
• Estimativa do φ da armadura longitudinal( l
φ )
10mm≤ l
φ ≤
8
b
10mm≤ l
φ ≤25mm
10mm≤ l
φ ≤
8
200
= 25 adotar l
φ =16mm
• Estimativa do φ da armadura transversal ( t
φ )
t
φ ≥ 5mm t
φ = 5mm
4
t
φ
=
4
16
= 4mm
Adotar cobrimento 2,5cm
Na direção x:
Relação
x
h
d'
x
h
d'
=
50
38
= 0,076 ≅ 0,10 (ábaco 2)
d’= 2,5 + 0,5 +
2
6
,
1
= 3,8cm
ν =
cd
c
d
f
A
N
.
=
4
,
1
2000
.
5
,
0
.
2
,
0
98
,
1099
=0,77
ω = 0,05
µ =
cd
c
d
f
h
A
M
.
.
=
4
,
1
20000
.
5
,
0
.
5
,
0
.
2
,
0
99
,
32
= 0,046

FAU/UFRJ Page 40
A s = ω . Ac .
yd
cd
f
f
= 0,05 . 20 . 50 .
15
,
1
500000
4
,
1
20000
= 1,64cm²
A Smín = 0,15.
yd
d
f
N
≥0,4% . Ac
A Smín = 0,15.
15
,
1
50
98
,
1099
≥
100
4
,
0
. 20 . 50
= 3,79 ≥4 A Smín = 4cm²
A Smáx = 8% . A c =
100
8
. 20. 50 = 80cm²
A adotada = 4cm²
Na direção y:
Relação
y
h
d'
=
20
8
,
3
= 0,19 ≅ 0,20 (ábaco 4)
ν =
cd
c
d
f
A
N
.
=0,77
ω = 0,38
µ =
cd
c
d
f
h
A
M
.
.
=
4
,
1
20000
.
2
,
0
.
5
,
0
.
2
,
0
04
,
40
= 0,140
A s = ω . Ac .
yd
cd
f
f
= 0,38. 20 . 50 .
15
,
1
500000
4
,
1
20000
= 12,48cm²
A Smín = 0,15.
yd
d
f
N
≥0,4% . Ac A Smín = 4cm²

FAU/UFRJ Page 41
A Smáx = 80cm² A adotada = 12,48cm²
Toma-se para dimensionamento o maior As = 12,48cm²
• Armadura longitudinal
2
As
=
2
48
,
12
= 6,24cm²/face 1 φ 16 = 2cm², 6,24/2 = 3,12 4φ 16/face
Número mínimo de barras por face: 3
Número máximo de barras por face: 10
Como foram encontradas 3 barras por face, OK! (nmin ≤ nbarras ≤ nmax)
• Armadura transversal(st)
Estribos = φ 5mm c 17,5cm
• Proteção contra flambagem
20 t
φ = 20 . 5 = 100mm. Espaçamento entre barras ~ 15cm ((50 – 5)/3)
• Croquis da armação em planta
Ø 5 C. 17,5
4Ø16
4Ø16
Ø 5 C. 17,5

FAU/UFRJ Page 42
EXEMPLO PROPOSTO
DIMENSIONAMENTO DE PILAR INTERMEDIÁRIO
(ROBUSTO E MEDIANAMENTE ESBELTO)
1. Objetivo:
Fazer o dimensionamento do pilar intermediário P6, considerando-o como pilar curto
(primeira parte do exercício) e como pilar medianamente esbelto (segunda parte do
exercício). O pilar está apresentado na planta de fôrmas da prancha 01. Adotar aço CA-
50, concreto com fck = 25 MPa, edifício com 08 pavimentos, pé-direito de 4,1 m,
espessuras das vigas de 15 cm, espessura das lajes de 9 cm.
2. Etapas
1) Cálculo do pré-dimensionamento;
2) Cálculo do carregamento no pilar;
3) Determinação dos momentos fletores
4) Cálculo da área de aço e armação;
5) Cálculo e verificação dos espaçamentos;
6) Verificação de proteção contra a flambagem.
PROJETO ARQUITETÔNICO (Planta Baixa do Pavimento Tipo – Escritórios)

FAU/UFRJ Page 43
PROJETO ESTRUTURAL
(Pavimento Tipo)
3) Solução
3.1) PILAR INTERMEDIÁRIO CURTO (P6)
1) Pré-dimensionamento:
a) Cálculo da área de influência;
b) Cálculo do carregamento atuante na área de influência (PAi);
c) Esforço normal estimado no pilar (Nest);
d) Cálculo da área de concreto para a seção do pilar (Ac);
e) Determinação das dimensões do pilar (x e y);
f) Verificação do pilar quanto à esbeltez.
2) Cálculo do carregamento no pilar (esforço normal N):
a) Parcela referente à viga V2 (gV2);
b) Parcela referente à viga V6 (gV6);
c) Parcela referente ao peso próprio do pilar (gp);
d) Esforço normal no pilar (N);

FAU/UFRJ Page 44
e) Verificação da seção do pilar x área de concreto x esforço N.
3) Determinação do momento fletor:
a) Determinação do comprimento de flambagem (le);
b) Cálculo da excentricidade acidental (ea);
c) Cálculo do momento fletor (M).
4) Cálculo da área de aço e armação:
a) Definição do diâmetro da barra longitudinal (φl);
b) Definição do diâmetro da barra transversal (φt);
c) Determinação da relação
h
d'
(h é a dimensão do pilar na direção do
maior índice de esbeltez);
d) Cálculo dos parâmetros ν e µ para a determinação do parâmetro ω
(ábaco);
e) Cálculo da área de aço e armação.
5) Cálculo e verificação dos espaçamentos:
a) Espaçamentos entre estribos (st);
b) Espaçamentos entre barras longitudinais (s).
6) Proteção contra flambagem.
3.2) PILAR INTERMEDIÁRIO MEDIANAMENTE ESBELTO (P6)
1) Pré-dimensionamento:
a) Cálculo da área de influência;
b) Cálculo do carregamento atuante na área de influência (PAi);
c) Esforço normal estimado no pilar (Nest);
d) Cálculo da área de concreto para a seção do pilar (Ac);
e) Determinação das dimensões do pilar (x e y);
f) Verificação do pilar quanto à esbeltez.
2) Cálculo do carregamento no pilar (esforço normal N):
a) Parcela referente à viga V2 (gV2);
b) Parcela referente à viga V6 (gV6);

FAU/UFRJ Page 45
c) Parcela referente ao peso próprio do pilar (gp);
d) Esforço normal no pilar (N);
e) Verificação da seção do pilar x área de concreto x esforço N.
3) Determinação do momento fletor:
a) Determinação do comprimento de flambagem nas duas direções (lex e
ley);
b) Cálculo das excentricidades:
- Na direção curta (λ ≤ λ1): considerar apenas a excentricidade acidental (ea);
- Na direção esbelta (λ λ1): considerar a excentricidade acidental (ea) e a
excentricidade de segunda ordem (e2).
c) Cálculo do momento fletor em cada direção (Mx e My).
4) Cálculo da área de aço e armação:
a) Definição do diâmetro da barra longitudinal (φl);
b) Definição do diâmetro da barra transversal (φt);
c) Determinação das relações
x
d'
e
y
d'
;
d) Cálculo dos parâmetros ν e µ nas duas direções (x e y) para a
determinação do parâmetro ω (maior valor entre ωx e ωy);
e) Cálculo da área de aço e armação.
5) Cálculo e verificação dos espaçamentos:
a) Espaçamentos entre estribos (st);
b) Espaçamentos entre barras longitudinais (s).
6) Proteção contra flambagem.

FAU/UFRJ Page 46
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Alves, S. D. K. Notas de aula – Concreto Armado II: Dimensionamento e detalhamento
de pilares de concreto armado. Universidade do Estado de Santa Catarina, 2010.
Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR6118. Projeto de Estruturas de
Concreto – Procedimento, 2007.
Bastos, P. S. S. Notas de aula – Estruturas de concreto II: Pilares de concreto armado.
Universidade Estadual Paulista, 2005.
Fruchtengarten, J. Notas de aula – Sistemas estruturais de edifícios. Extraída em 2011
de http://www.lmc.ep.usp.br/people/Valdir/pef2402/sistemas_estr.pdf.
Fusco, P. B. Estruturas de concreto: fundamentos do projeto estrutural. São Paulo.
MCGraw-Hill. Editora da Universidade de São Paulo, 1976.
Fusco, P. B. Técnicas de armar as estruturas de concreto armado. São Paulo. Editora
Pini, 1995.
Giongo, J. S. Concreto armado: projeto estrutural de edifícios. Escola de Engenharia de
São Carlos, Universidade de São Paulo, 2007.
LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. (1978). Construções de concreto: princípios básicos
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Rio de Janeiro, Interciência.
MacGregor, J. G. Reinforced concrete: mechanics and design, 2a
edição. Englewood
Cliffs, Prentice-Hall, 1992.
Souza, João C. C. T. “Estruturas de Concreto Armado”. Editora UNB, 2008.
Varela, W. D., Sousa, J. R. M. Apostila de Concreto Armado I. Notas de Aula.
Faculdade de Arquitetura. Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2009.
Carvalho, R. C., Figueiredo Filho, J. R. Pilares de concreto armado – Estabilidade
global das estruturas. Notas de aula. Extraída em 2011, de
http://www.gdace.uem.br/romel/MDidatico/EstruturasConcretoII/Pilarnovissimo-
estabilidade%20global.pdf.

FAU/UFRJ Page 47
Tabela anexa para dimensionamento de pilares.
Notas:
1. Quando entrar com o valor da menor dimensão do pilar, obtém-se o
dimensionamento dos estribos (diâmetro e espaçamento).
2. Quando entrar com o valor da maior dimensão do pilar, obtêm-se os números
mínimo e máximo de barras em uma face do pilar.
b ou h (cm) φ
φ
φ
φlong (mm) φ
φ
φ
φest (mm) s est (cm) n mín n máx b ou h (cm) φ
φ
φ
φlong (mm) φ
φ
φ
φest (mm) s est (cm) n mín n máx
20 10 5 10 2 3 65 10 5,0 10 3 14
20 12,5 5 15 2 3 65 12,5 5,0 15 3 12
20 16 5 17,5 2 2 65 16 5,0 17,5 3 11
20 20 5 20 2 2 65 20 5,0 20 3 9
20 25 6,3 20 2 2 65 25 6,3 20 3 8
25 10 5 10 2 4 70 10 5,0 10 3 15
25 12,5 5 15 2 4 70 12,5 5,0 15 3 13
25 16 5 17,5 2 3 70 16 5,0 17,5 3 11
25 20 5 20 2 3 70 20 5,0 20 3 10
25 25 6,3 20 2 2 70 25 6,3 20 3 8
30 10 5,0 10 2 6 75 10 5,0 10 3 16
30 12,5 5,0 15 2 5 75 12,5 5,0 15 3 14
30 16 5,0 17,5 2 4 75 16 5,0 17,5 3 12
30 20 5,0 20 2 4 75 20 5,0 20 3 11
30 25 6,3 20 2 3 75 25 6,3 20 3 9
35 10 5,0 10 2 7 80 10 5,0 10 3 17
35 12,5 5,0 15 2 6 80 12,5 5,0 15 3 15
35 16 5,0 17,5 2 5 80 16 5,0 17,5 3 13
35 20 5,0 20 2 4 80 20 5,0 20 3 11
35 25 6,3 20 2 4 80 25 6,3 20 3 10
40 10 5,0 10 2 8 85 10 5,0 10 3 18
40 12,5 5,0 15 2 7 85 12,5 5,0 15 3 16
40 16 5,0 17,5 2 6 85 16 5,0 17,5 3 14
40 20 5,0 20 2 5 85 20 5,0 20 3 12
40 25 6,3 20 2 4 85 25 6,3 20 3 10
45 10 5,0 10 2 9 90 10 5,0 10 4 20
45 12,5 5,0 15 2 8 90 12,5 5,0 15 4 17
45 16 5,0 17,5 2 7 90 16 5,0 17,5 4 15
45 20 5,0 20 2 6 90 20 5,0 20 3 13
45 25 6,3 20 2 5 90 25 6,3 20 3 11
50 10 5,0 10 3 10 95 10 5,0 10 4 21
50 12,5 5,0 15 3 9 95 12,5 5,0 15 4 19
50 16 5,0 17,5 3 8 95 16 5,0 17,5 4 16
50 20 5,0 20 2 7 95 20 5,0 20 4 14
50 25 6,3 20 2 6 95 25 6,3 20 4 12
55 10 5,0 10 3 11 100 10 5,0 10 4 22
55 12,5 5,0 15 3 10 100 12,5 5,0 15 4 20
55 16 5,0 17,5 3 9 100 16 5,0 17,5 4 17
55 20 5,0 20 3 8 100 20 5,0 20 4 15
55 25 6,3 20 3 6 100 25 6,3 20 4 12
60 10 5,0 10 3 13 105 10 5,0 10 4 23
60 12,5 5,0 15 3 11 105 12,5 5,0 15 4 21
60 16 5,0 17,5 3 10 105 16 5,0 17,5 4 18
60 20 5,0 20 3 8 105 20 5,0 20 4 15
60 25 6,3 20 3 7 105 25 6,3 20 4 13

FAU/UFRJ Page 48
Tabela anexa para dimensionamento de pilares (continuação).
Notas:
1. Quando entrar com o valor da menor dimensão do pilar, obtém-se o
dimensionamento dos estribos (diâmetro e espaçamento).
2. Quando entrar com o valor da maior dimensão do pilar, obtêm-se os números
mínimo e máximo de barras em uma face do pilar.
b ou h (cm) φ
φ
φ
φlong (mm) φ
φ
φ
φest (mm) s est (cm) n mín n máx b ou h (cm) φ
φ
φ
φlong (mm) φ
φ
φ
φest (mm) s est (cm) n mín n máx
110 10 5,0 10 4 24 155 10 5,0 10 5 35
110 12,5 5,0 15 4 22 155 12,5 5,0 15 5 31
110 16 5,0 17,5 4 19 155 16 5,0 17,5 5 27
110 20 5,0 20 4 16 155 20 5,0 20 5 23
110 25 6,3 20 4 14 155 25 6,3 20 5 20
115 10 5,0 10 4 26 160 10 5,0 10 5 36
115 12,5 5,0 15 4 23 160 12,5 5,0 15 5 32
115 16 5,0 17,5 4 20 160 16 5,0 17,5 5 28
115 20 5,0 20 4 17 160 20 5,0 20 5 24
115 25 6,3 20 4 14 160 25 6,3 20 5 20
120 10 5,0 10 4 27 165 10 5,0 10 5 37
120 12,5 5,0 15 4 24 165 12,5 5,0 15 5 33
120 16 5,0 17,5 4 21 165 16 5,0 17,5 5 29
120 20 5,0 20 4 18 165 20 5,0 20 5 25
120 25 6,3 20 4 15 165 25 6,3 20 5 21
125 10 5,0 10 4 28 170 10 5,0 10 6 38
125 12,5 5,0 15 4 25 170 12,5 5,0 15 6 34
125 16 5,0 17,5 4 22 170 16 5,0 17,5 6 30
125 20 5,0 20 4 19 170 20 5,0 20 5 26
125 25 6,3 20 4 16 170 25 6,3 20 5 22
130 10 5,0 10 5 29 175 10 5,0 10 6 40
130 12,5 5,0 15 5 26 175 12,5 5,0 15 6 35
130 16 5,0 17,5 5 22 175 16 5,0 17,5 6 31
130 20 5,0 20 4 19 175 20 5,0 20 6 27
130 25 6,3 20 4 16 175 25 6,3 20 6 22
135 10 5,0 10 5 30 180 10 5,0 10 6 41
135 12,5 5,0 15 5 27 180 12,5 5,0 15 6 36
135 16 5,0 17,5 5 23 180 16 5,0 17,5 6 32
135 20 5,0 20 5 20 180 20 5,0 20 6 27
135 25 6,3 20 5 17 180 25 6,3 20 6 23
140 10 5,0 10 5 31 185 10 5,0 10 6 42
140 12,5 5,0 15 5 28 185 12,5 5,0 15 6 37
140 16 5,0 17,5 5 24 185 16 5,0 17,5 6 32
140 20 5,0 20 5 21 185 20 5,0 20 6 28
140 25 6,3 20 5 18 185 25 6,3 20 6 24
145 10 5,0 10 5 33 190 10 5,0 10 6 43
145 12,5 5,0 15 5 29 190 12,5 5,0 15 6 38
145 16 5,0 17,5 5 25 190 16 5,0 17,5 6 33
145 20 5,0 20 5 22 190 20 5,0 20 6 29
145 25 6,3 20 5 18 190 25 6,3 20 6 24
150 10 5,0 10 5 34 195 10 5,0 10 6 44
150 12,5 5,0 15 5 30 195 12,5 5,0 15 6 39
150 16 5,0 17,5 5 26 195 16 5,0 17,5 6 34
150 20 5,0 20 5 23 195 20 5,0 20 6 30
150 25 6,3 20 5 19 195 25 6,3 20 6 25

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