Lajes

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

AMÉRICO CAMPOS FILHO

2011

SUMÁRIO

1 – Introdução............................................................................................................................. 1
1.1 – Generalidades ................................................................................................................... 1
1.2 – Classificação das lajes quanto à relação entre os lados .................................................... 1
1.3 – Vinculação ........................................................................................................................ 2
1.4 – Vãos efetivos de lajes ....................................................................................................... 5
1.5 – Cargas nas lajes ................................................................................................................. 6
1.6 – Determinação da espessura das lajes ................................................................................ 7
1.7 – Cálculo das solicitações..................................................................................................... 11
1.8 – Dimensionamento das armaduras ..................................................................................... 12
2 – Lajes armadas em uma só direção ....................................................................................... 14
2.1 - Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares paralelas ao vão .......................... 19
2.2 – Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares perpendiculares ao vão .............. 20
2.3 – Exemplo de laje armada em uma só direção com carga linear paralela ao vão ................ 20
3 – Lajes armadas em duas direções .......................................................................................... 25
3.1 – Solicitações conforme o regime elástico .......................................................................... 25
3.2 – Solicitações conforme o regime rígido plástico ................................................................ 25
3.3 – Dimensionamento e detalhamento das armaduras ............................................................ 30
3.4 – Reações de apoio .............................................................................................. 31
3.5 – Exemplo de laje submetida a cargas superficiais ............................................................. 33
3.6 – Exemplo de laje submetida a carga linear além das cargas superficiais ........................... 35

4 – Programa para o projeto de lajes retangulares maciças de concreto armado ...................... 40
Anexo – Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado (NBR7480:2007) ... 41

1 - Introdução

1.1 - Generalidades

As lajes são elementos estruturais laminares planos, solicitados predominantemente
por cargas normais ao seu plano médio. Elas constituem os pisos dos edifícios correntes de
concreto armado. Nas estruturas laminares planas, predominam duas dimensões,
comprimento e largura, sobre a terceira que é a espessura. De mesma forma, que as vigas
são representadas pelos seus eixos, as lajes são representadas pelo seu plano médio. As
lajes são diferenciadas pela sua forma, vinculação e relação entre os lados. Geralmente, nas
estruturas correntes, as lajes são retangulares, mas podem ter forma trapezoidal ou em L.

1.2 - Classificação das lajes quanto à relação entre os lados

As lajes retangulares são classificadas como:

• lajes armadas em uma só direção: são aquelas em que a relação entre o maior e o
menor vão é maior que 2.

• lajes armadas em duas direções ou armadas em cruz: em caso contrário.

laje armada em uma só direção laje armada em duas direções

b/a > 2 1 < b/a < 2
a
a

b b

onde, a é o vão menor e b é o vão maior

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 1

Em função da vinculação das bordas da laje, a classificação acima apresenta
exceções. Se a laje for suportada continuamente somente ao longo de duas bordas paralelas
(as outras duas forem livres) ou quando tiver três bordas livres (laje em balanço), ela será
também armada em uma só direção, independentemente da relação entre os lados.

engaste
livre livre livre

livre
apoio

apoio

engaste
engaste

engaste
apoio

livre
livre livre livre livre

1.3 - Vinculação

As bordas das lajes podem apresentar os seguintes tipos de vinculação:
• apoiada: quando a borda da laje é continuamente suportada por vigas, paredes de
alvenaria de tijolos cerâmicos, de blocos de concreto ou de pedras.
• livre: quando a borda da laje não tiver nenhuma vinculação ao longo daquele lado.
• engastada: quando a borda da laje tem continuidade além do apoio correspondente
daquele lado (laje adjacente).

Exemplo:

B
engaste

CORTE A-A:
apoio

A A

CORTE B-B:
apoio

livre

B


Observações sobre a continuidade das bordas das lajes:

Uma laje não deve ser considerada engastada em outra que tenha uma espessura
mais do que 2 cm inferior.

< 2 cm > 2 cm
engaste engaste
engaste
apoio

Toda a laje que tiver um lado adjacente a uma laje rebaixada tem este lado apoiado;
toda a laje rebaixada deve ser considerada apoiada (salvo se tiver outros três lados livres).

apoio apoio

apoio apoio

exceção: laje em balanço
apoio

engaste

Quando em um lado da laje ocorrerem duas situações de vínculo (apoiado e
engastado), a favor da segurança considera-se todo o lado apoiado; se o engaste for
superior a 85% do comprimento do lado, pode-se considerar como engastado.


Exemplo:

4,00 2,00 4,00

L1 L2
4,00

h=10 h=8

L3

6,50
h=11

2,00 4,00

L4 L5
2,50

h=8 h=8

L6
1,50
lajes rebaixadas h=12

L1 L2 L3
4,00

4,00

6,50

4,00
2,00

L4 L5
4,00
2,50

2,50

2,00 4,00 L6
1,50

4,00

Observação:

Normalmente, quando se inicia o cálculo das lajes, não são conhecidas as
espessuras; deve-se, então, considerar inicialmente engastados todos os lados que são
adjacentes a outras lajes não rebaixadas. Somente após a primeira hipótese de vinculação é
que será possível determinar as espessuras das lajes e refazer a vinculação, quando a
espessura for maior que 2 cm.


1.4 - Vãos efetivos de lajes

Quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à
translação vertical, o vão efetivo deve ser calculado pela seguinte expressão:

lef = l0 + a1 + a2

com a1 igual ao menor valor entre (t1/2 e 0,3h) e a2 igual ao menor valor entre (t2/2 e 0,3h),
conforme a figura abaixo.

Nas lajes em balanço, o vão efetivo é o comprimento da extremidade até o centro
do apoio, não sendo necessário considerar valores superiores ao comprimento livre
acrescido de trinta por cento da espessura da laje junto ao apoio.

h

t
mín(t/2 ; 0,3h)


1.5 - Cargas nas lajes

Em lajes o carregamento, em geral, é considerado como uniformemente distribuído:
p (kN/m2), onde:
p=g+q
onde:
g – é a parcela permanente das cargas que atuam sobre a laje (peso próprio, revestimento,
reboco, etc.);
q – é a parcela variável das cargas que atuam sobre a laje (peso das pessoas, móveis,
equipamentos, etc.).

Os valores das cargas a serem considerados no cálculo de estruturas de edificações
são indicados na NBR6120:1980.

Para edifícios residenciais, os valores mais usuais de cargas são:

- peso específico do concreto armado = 25 kN/m3
- peso específico do concreto simples = 24 kN/m3
- enchimento de lajes rebaixadas = 14 kN/m3
- reboco (1cm) = 0,2 kN/m2
- revestimento de tacos ou tabuões de madeira = 0,7 kN/m2
- revestimento de material cerâmico = 0,85 kN/m2
- forro falso = 0,5 kN/m2
- carga variável em salas, dormitórios, cozinhas, banheiros = 1,5 kN/m2
- carga variável em despensa, lavanderia, área de serviço = 2,0 kN/m2
- carga variável em corredores, escadas em edifícios:
não residenciais = 3,0 kN/m2
residenciais = 2,5 kN/m2
- sacada: mesma carga da peça com a qual se comunica.
- carga variável linear nas bordas livres das lajes de 2 kN/m (vertical) e 0,8 kN/m na altura
do corrimão (horizontal)
Exemplos:
* laje de 10cm de espessura de uma sala de estar: peso próprio - 0,10 x 25 = 2,5 kN/m2
revestimento (tacos) = 0,7 kN/m2
reboco = 0,2 kN/m2
q (carga variável) = 1,5 kN/m2
4,9 kN/m2

* laje de uma área de serviço, rebaixada de peso próprio - 0,08 x 25 = 2,0 kN/m2
20cm, com 15 cm de enchimento; espessura de 8 enchimento - 0,15 x 14 = 2,1 kN/m2
cm: revestimento (cerâmico) = 0,85kN/m2
reboco = 0,2 kN/m2
q (carga variável) = 2,0 kN/m2
7,15kN/m2


Além da carga superficial, é comum ocorrer cargas lineares, correspondentes a
paredes de alvenaria executadas sobre a laje.

A carga linear é obtida a partir do peso específico da alvenaria (13 kN/m3- tijolos
furados; 18kN/m3 - tijolos maciços), da espessura da parede e de sua altura.

Exemplo:
p = 0,15 x 2,60 x 13 = 5,1 kN/m

1.6 - Determinação da espessura das lajes

Nas lajes maciças de concreto armado devem ser respeitados os seguintes limites
mínimos para a espessura:

a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço;
b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço;
c) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN.

Recomenda-se usar espessura mínima de 8 cm, para evitar o aparecimento de
fissuras pela presença de eletrodutos ou caixas de distribuição embutidas na laje. Por esta
razão, os valores mínimos de 5 cm e 7 cm não são aconselhados.

As lajes devem ter uma espessura tal que atendam a verificação do estado limite de
serviço de deformações excessivas. Desta forma, sugere-se o seguinte procedimento para
determinar a espessura de uma laje, que esteja submetida exclusivamente a cargas
uniformemente distribuídas:

(a) arbitrar a espessura da laje como sendo o valor mínimo;
(b) fazer a composição de cargas para a laje, determinando os valores da carga permanente
e variável;
(c) determinar o valor da carga de serviço, correspondente à combinação quase
permanente de serviço:
pd,ser = Σ gi,k + Σ ψ2j qj,k

(d) como a armadura a ser colocada na laje não é conhecida ainda, não é possível
determinar a sua rigidez. O momento de inércia da seção, Ieq, pode ser estimado da
seguinte forma:

se ma ≤ mr Ieq = Ic

se ma > mr Ieq = 0,30 Ic

ma é o momento fletor na seção crítica, momento máximo no vão para lajes biapoiadas
ou contínuas e momento no apoio para lajes em balanço, para a combinação quase
permanente de serviço;


mr é o momento de fissuração da laje, calculado por:

mr = 0,25 fctm b h2

onde:
fctm = 0,3 fck2/3

Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;

A flecha imediata deve ser calculada utilizando o módulo de elasticidade secante do
concreto:

Ecs = 0,85 x 5600 fck1/2
por
pd,ser l 4
f(t = 0) = κ
E cs Ieq
onde:
κ – é um coeficiente que depende da vinculação e da relação entre os vãos da laje
(tabelas seguintes);
l - é o vão menor da laje;

Tabela – Valores de κ para lajes armadas em uma direção

1,30
l

0,53

l

0,26

l

12,5

l


Tabela – Valores de κ para lajes armadas em duas direções

a/b 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
b

a 0,99 0,85 0,71 0,59 0,48 0,40

b

a 0,25 0,23 0,21 0,18 0,15 0,13

b

a 0,46 0,41 0,36 0,30 0,25 0,21

b

a 0,83 0,63 0,48 0,35 0,26 0,19

b

a 0,25 0,25 0,24 0,23 0,21 0,19

b

a 0,91 0,73 0,58 0,46 0,35 0,28

b

a 0,48 0,44 0,41 0,36 0,31 0,28

b

a 0,24 0,24 0,23 0,20 0,18 0,16

b

a 0,44 0,38 0,32 0,25 0,20 0,16


(e) calcular a flecha de longa duração, levando em conta as deformações por fluência do
concreto:

f(t=∞) = (1+αf) f(t=0)
Considerando, que as lajes não têm armadura de compressão e, a favor da segurança,
tomando-se t=∞ e t0=1 mês, tem-se:

α f = ∆ξ = ξ(t = ∞) − ξ( t 0 = 1mês) = 2 - 0,68 = 1,32

(f) comparar o valor da flecha de longa duração com o valor da flecha admissível; se a
flecha de longa duração for superior à flecha admissível, deve-se incrementar a
espessura da laje em 1 cm e voltar ao passo (b); em caso contrário, adota-se a espessura
corrente para a laje.

Exemplo de determinação de espessura de uma laje:

A laje, da figura abaixo, corresponde a um dormitório e apresenta revestimento de
tacos de madeira na face superior e reboco de 1cm de espessura na face inferior. A laje
será executada para um concreto C20.

b=5m

a=4m

- arbitra-se, inicialmente, que a espessura h=8 cm (valor mínimo);

- calcula-se a carga permanente, que atua na laje:
peso próprio - 0,08 x 25 = 2,0 kN/m2
reboco = 0,2 kN/m2
g = 2,9 kN/m2

- a carga variável a ser considerada é de 1,5 kN/m2;

- a carga de serviço, correspondente a combinação quase permanente é de:
pd,ser = Σ gi,k + Σ ψ2j qj,k = 2,9 + 0,3 x 1,5 = 3,35 kN/m2

- o módulo de elasticidade secante do concreto é de:


Ecs = 0,85 x 5600 fck1/2 = 0,85 x 5600 (20)1/2 = 21287 MPa

- o valor médio da resistência à tração do concreto:
fctm = 0,3 fck2/3 = 0,3 (20)2/3 = 2,21 MPa
- o momento de fissuração:
mr = 0,25 fctm b h2 = 0,25 x 0,221 x 100 x 82 = 354 kN.cm/m = 3,54 kN.m/m
- o momento de serviço:
ma = 0,039 pd,ser l2 = 0,039 x 3,35 x 42 = 2,09 kN.m/m
como ma<mr, a seção não está fissurada e deve-se considerar Ieq = Ic.
- o valor correspondente ao momento de inércia da seção bruta de concreto:
Ieq = Ic = b h3/12 = 100 x 83/12 = 4267 cm4

- a flecha de curta duração é dada por (para a/b=0,8, κ=0,30):
p d,ser l 4 0,000335x400
4
f(t = 0) = κ = 0,30 = 0,283 cm
E cs I eq 2128,7x4267

- a flecha de longa duração é dada por:
f(t=∞) = (1+αf) f(t=0) = 2,32 x 0,283 = 0,657cm

- a flecha admissível, para a situação de aceitabilidade visual (deslocamentos visíveis
em elementos estruturais), é:
fadm = l/250 = 400/250 = 1,60 cm

Como a flecha provável é inferior à flecha admissível, pode-se adotar para a laje a
espessura de 8 cm.
1.7 - Cálculo das solicitações

As lajes podem ser calculadas como placas em regime elástico ou em regime
rígido-plástico. Considerar o concreto armado um material elástico é uma boa aproximação
para o comportamento das lajes submetidas a cargas de serviço (verificação de estados
limites de serviço). Considerar o concreto armado um material rígido-plástico é uma boa
aproximação para o comportamento das lajes na ruptura (verificação de estados limites
últimos).
Para garantir condições apropriadas de dutilidade, quando as solicitações forem
determinadas no estado limite último através do regime rígido-plástico, a posição da linha
neutra, nas seções sobre apoios, deve ficar limitada em:
x d ≤ 0 ,30
No estado limite último, para lajes retangulares, deve ser adotada uma razão
mínima de 1,5:1 entre momentos de borda e momentos no vão.
Em lajes de estruturas de edifícios correntes, as cargas atuantes são relativamente
baixas e não é necessária a verificação das tensões devidas às forças cortantes e nem o
dimensionamento de armadura transversal.


1.8 – Dimensionamento das armaduras

O dimensionamento das armaduras das lajes deve ser feito para uma seção
retangular de largura b = 100 cm e altura útil d = h – c – 0,5cm.

Conforme a classe de agressividade ambiental, que a laje se encontra exposta, o
cobrimento da armadura é dado pela tabela seguinte:

classe de agressividade ambiental I II III IV
cobrimento nominal (mm) 20 25 35 45

Para a face superior das lajes, que serão revestidas com argamassa de contrapiso,
com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e
acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e
outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por um cobrimento
nominal de 15 mm, não podendo ser inferior ao diâmetro das barras de armadura.

O dimensionamento da armadura à flexão simples deve ser feito pelas seguintes
expressões (armadura simples):

⎛ md ⎞
x = 1,25 d ⎜1 −
⎜ 1− ⎟
⎟
⎝ 0,425 f cd b d 2 ⎠

0,68 f cd b x
As =
f yd

Esta armadura deve atender os valores mínimos indicados na tabela abaixo.

Tabela - Valores mínimos para armaduras em lajes de concreto armado

Armaduras Armadura positiva Armadura de
Armadura Armaduras positivas de lajes (principal) de lajes distribuição nas
negativas armadas nas duas armadas em uma lajes armadas em
direções direção uma direção
Αs/s ≥ 20 % da
Valores mínimos ρs ≥ ρmin ρs ≥ 0,67ρmin ρs ≥ ρmin armadura
para armaduras principal
ρs ≥ 0,5 ρmin
Αs/s ≥ 0,9cm2/m

A taxa de armadura é calculada ρs = As/(b h) e ρmin deve corresponder a uma taxa
mecânica de armadura mínima ωmin = ρmin fyd/fcd = 0,035, não podendo ser inferior a
0,150%.


Tabela – Valores de ρmin em % para o aço CA-50, γc=1,4 e γs=1,15

fck 20 25 30 35 40 45 50
ρmin 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288

A NBR-6118:2007 apresenta, ainda, as seguintes prescrições gerais relativas às
armaduras das lajes:

• As armaduras devem ser dispostas de forma que se possa garantir o seu
posicionamento durante a concretagem.
• Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8.
• As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no
máximo igual a 2h ou 20 cm.
• A armadura de distribuição, nas lajes armadas em uma só direção, deve ser igual ou
superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre
barras de no máximo 33 cm.

Recomendam-se os seguintes critérios para a escolha da bitola e do espaçamento
das armaduras das lajes:
- para a armadura negativa (colocada junto à face superior da laje):
diâmetro mínimo: φ 5
espaçamento: entre 15 e 20cm
- para a armadura positiva (colocada na face inferior da laje):
diâmetro mínimo: φ 4,2
espaçamento: entre 10 e 15cm

Tabela – Áreas de armadura por unidade de comprimento (cm2/m),
para diferentes bitolas e espaçamentos

10cm 11cm 12cm 13cm 14cm 15cm 16cm 17cm 18cm 19cm 20cm 21cm 22cm 23cm 24cm 25cm
φ4,2 1,39 1,26 1,16 1,07 0,99 0,93 0,87 0,82 0,77 0,73 0,70 0,66 0,63 0,60 0,58 0,56

φ4,6 1,66 1,51 1,38 1,28 1,19 1,11 1,04 0,98 0,92 0,87 0,83 0,79 0,75 0,72 0,69 0,66

φ5 1,96 1,78 1,63 1,51 1,40 1,31 1,23 1,15 1,09 1,03 0,98 0,93 0,89 0,85 0,82 0,78

φ5,5 2,38 2,16 1,98 1,83 1,70 1,59 1,49 1,40 1,32 1,25 1,19 1,13 1,08 1,03 0,99 0,95

φ6 2,83 2,57 2,36 2,18 2,02 1,89 1,77 1,66 1,57 1,49 1,42 1,35 1,29 1,23 1,18 1,13

φ6,3 3,12 2,84 2,60 2,40 2,23 2,08 1,95 1,84 1,73 1,64 1,56 1,49 1,42 1,36 1,30 1,25

φ6,4 3,22 2,93 2,68 2,48 2,30 2,15 2,01 1,89 1,79 1,69 1,61 1,53 1,46 1,40 1,34 1,29

φ7 3,85 3,50 3,21 2,96 2,75 2,57 2,41 2,26 2,14 2,03 1,93 1,83 1,75 1,67 1,60 1,54

φ8 5,03 4,57 4,19 3,87 3,59 3,35 3,14 2,96 2,79 2,65 2,52 2,40 2,29 2,19 2,10 2,01

φ9,5 7,09 6,45 5,91 5,45 5,06 4,73 4,43 4,17 3,94 3,73 3,55 3,38 3,22 3,08 2,95 2,84

φ10 7,85 7,14 6,54 6,04 5,61 5,23 4,91 4,62 4,36 4,13 3,93 3,74 3,57 3,41 3,27 3,14

φ12,5 12,27 11,15 10,23 9,44 8,76 8,18 7,67 7,22 6,82 6,46 6,14 5,84 5,58 5,33 5,11 4,91


2 - Lajes armadas em uma só direção

As lajes armadas em uma só direção são dimensionadas como se fossem vigas. A
vinculação é definida segundo o vão menor “a”.

Nas lajes armadas em uma só direção, podem ocorrer os seguintes esquemas
estruturais:

vinculação regime elástico regime rígido-plástico

p mV = pl2/8 mV = pl2/8

r = pl/2 r = pl/2

l

p mE = -pl2/8 mE = -pl2/8,88
mV = 9pl2/128 mV = pl2/13,32

rE = pl/2 + |ME|/l rE = pl/2 + |ME|/l
l
rA = pl/2 - |ME|/l rA = pl/2 - |ME|/l

p mE = -pl2/12 mE = -3pl2/40
mV = pl2/24 mV = pl2/20

r = pl/2 r = pl/2
l

p mE = -pl2/2 mE = -pl2/2

r = pl r = pl

l


Exemplo:

* Seja uma laje em balanço, com vão efetivo de 1,50m, correspondente a uma sacada, que
está rebaixada de 20cm, e recebe um enchimento de 15cm além do revestimento cerâmico
e um reboco de 1cm. Considerar concreto C20 e aço CA-50.

QV
p
QH
1m

l

São três os carregamentos atuantes sobre a laje em balanço:

(a) carga permanente uniformemente distribuída:

peso próprio: h x 25 kN/m3
enchimento – 0,15m x 14 kN/m3: 2,1 kN/m2
revestimento cerâmico: 0,85kN/m2
reboco: 0,2 kN/m2
g = 3,15kN/m2 + h x 25kN/m3

(b) carga variável uniformemente distribuída: q = 1,5 kN/m2

(c) carga variável linear na borda livre da laje:

QV = 2 kN/m
QH = 0,8 kN/m

Para o projeto desta laje, devem ser consideradas combinações últimas e de serviço:

- combinações últimas:

m ⎛ n ⎞
Fd = γ g ∑ FGi,k + γ q ⎜ FQ1,k + ∑ Ψ 0j FQj,k ⎟
i =1 ⎝ j= 2 ⎠

- combinação quase-permanente de serviço:

m n
Fd = ∑ FGi, k + ∑ Ψ 2j FQj, k
i =1 j =1

Conforme a norma brasileira, γg = γq = γf = 1,4 e, para edifícios residenciais, Ψ0=0,5
e Ψ2=0,3.


Para a determinação da espessura da laje, é necessária a verificação do estado limite
de deformações excessivas. Arbitra-se, inicialmente, que a espessura da laje é de 8 cm.

- as cargas de serviço são:
pd,ser = g + 0,3 q = 0,08m x 25kN/m3 + 3,15kN/m2 + 0,3 x 1,5kN/m2 = 5,60kN/m2
PdV,ser = 0,3 x 2kN/m = 0,6 kN/m
PdH,ser = 0,3 x 0,8 kN/m = 0,24 kN/m

- o módulo de elasticidade secante do concreto é de:
Ecs = 0,85 x 5600 fck1/2 = 0,85 x 5600 (20)1/2 = 21287 MPa

- o valor médio da resistência à tração do concreto:
fctm = 0,3 fck2/3 = 0,3 (20)2/3 = 2,21 MPa
- o momento de fissuração:
- o momento de serviço:
p d,ser l 2 5,60 x 1,52
ma = + P dV,ser l + P dH,ser (1m) = + 0,6 x 1,5 + 0,24 x 1= 7,44 kN.m/m
2 2
como ma>mr , a seção está fissurada e deve-se considerar Ieq = 0,30 Ic.
- o valor correspondente ao momento de inércia equivalente da seção:
Ieq = 0,30 Ic = 0,30 b h3/12 = 0,30 x 100 x 83/12 = 1280 cm4

- a flecha de curta duração é dada por:
1 ⎡ p d, ser l P dV, ser l 3 P dH, ser (1m) l 2 ⎤
4
f(t = 0) = ⎢ + + ⎥
E cs I eq ⎢ 8/100
⎣ 3/100 2/100 ⎥
⎦

1 ⎡ 0,00056x 150 4 0,006x 150 3 0,0024x100x 150 2 ⎤
f(t = 0) = ⎢ + + ⎥ =1,65 cm
2128,7 x 1280 ⎣ 8/100 3/100 2/100 ⎦

- a flecha de longa duração é dada por:
f(t=∞) = (1+αf) f(t=0) = 2,32 x 1,65 = 3,82cm

- conforme a norma, quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado
deve ser o dobro do comprimento do balanço; a flecha admissível, para a situação de
aceitabilidade visual (deslocamentos visíveis em elementos estruturais), será então:
fadm = l/250 = (2x150)/250 = 1,20 cm

Desta forma, como a flecha provável é maior do que a flecha admissível, torna-se
necessário o aumento da espessura da laje, com verificações sucessivas do estado limite de
deformações excessivas. Estas verificações estão resumidas na tabela abaixo.


Tabela – Verificação do estado limite de deformações excessivas

h pd,ser mr ma Ieq f(t=0) f(t=∞)
(cm) (kN/m2) (kN.m/m) (kN.m/m) (cm4) (cm) (cm)
8 5,60 3,54 7,44 1280 1,65 3,82
9 5,85 4,48 7,72 1823 1,20 2,78
10 6,10 5,59 8,00 2500 0,90 2,09
11 6,35 6,69 8,28 3328 0,70 1,63
12 6,60 7,96 8,57 4320 0,56 1,29
13 6,85 9,34 8,85 18308 0,12 0,27

Assim, a menor espessura da laje, que atende o estado limite de deformações
excessivas é de h=13cm. Para esta espessura, a flecha provável de 0,27 cm é inferior a
flecha admissível de 1,20 cm.

Para o dimensionamento da armadura, no estado limite último, devem se
consideradas duas combinações últimas de carga: a primeira tem a carga variável
distribuída como ação variável principal e a segunda tem o carregamento linear da borda
livre da laje como ação variável principal.

- a carga distribuída q é a ação variável principal:

g = 3,15 + 0,13 x 25 = 6,40 kN/m2
p = 6,40 + 1,50 = 7,90 kN/m2
PV = 0,5 x 2,0 = 1,0 kN/m
PH = 0,5 x 0,8 = 0,4 kN/m

p 2 7,90 x 1,52
m = l + P V l + P H (1m) = +1,0 x 1,5 + 0,4 x 1=10,79 kN.m/m
2 2

- o carregamento linear de borda (QV, QH) é a ação variável principal:

g = 3,15 + 0,13 x 25 = 6,40 kN/m2
p = 6,40 + 0,5 x 1,50 = 7,15 kN/m2
PV = 2,0 kN/m
PH = 0,8 kN/m

p l2 7,15 x 1,52
m= + P V l + P H (1m) = + 2,0 x 1,5 + 0,8 x 1=11,84 kN.m/m
2 2

O esforço normal n=PH é pequeno, frente ao momento fletor, e pode ser desprezado
para o dimensionamento da armadura. Deste modo, a armadura deve ser calculada para o
momento de 11,84 kN.m/m.


- dimensionamento à flexão simples:

m = 1184 kN.cm/m
fck = 20 MPa
b = 100 cm
h = 13 cm
d = h – c – 0,5cm = 13 – 1,5 – 0,5 = 11 cm

⎛ md ⎞ ⎛ 1,4x1184 ⎞
x = 1,25 d ⎜1 −
⎜ 1− ⎟ =1,25x11⎜1 − 1 −
2 ⎟ ⎜
⎟ = 1,65 cm
2 ⎟
⎝ 0,425 f cd b d ⎠ ⎝ 0,425x2/1,4x100x11 ⎠
(x/d = 1,65/11 = 0,15 < 0,30 OK.)

0,68 f cd b x 0,68 x 2 / 1,4 x100 x1,65
AS = = = 3,68 cm 2 /m
f yd 43,5
- armadura mínima:

ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 13 = 1,95 cm2/m < AS

armadura adotada: φ8 c/13 cm

- armadura de distribuição:

⎧ ASprinc 3,68
⎪ 5 = 5 = 0,74 cm / m
2

⎪
⎪ 1,95
≥ ⎨ ASmín = = 0,98 cm / m
2
ASdistr
⎪ 2 2
2
⎪ 0,9 cm / m
⎪
⎩

ASdistr φ 4,2 c/14cm ou φ 5 c/20cm

φ 8 c/13 cm

φ 4,2 c/14 cm
ou
φ 5 c/20 cm


2.1 - Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares paralelas ao vão
A nova versão da NBR6118:2007 não traz recomendações específicas para o
cálculo de lajes armadas em uma só direção submetidas a cargas lineares. Por esta razão,
recomenda-se, ainda, o emprego das recomendações constantes na versão anterior da
norma.
a

45o 45o
h

b=a+h

Conforme a NBR6118:1980, as cargas se distribuem a 45o até o plano médio da laje
e se pode calcular a laje armada em uma só direção como uma viga de largura bw, onde:
bw = b + ∆
sendo ∆ dado por:
(a) para momentos fletores positivos:
2. a1. ( l − a1 ) ⎛ b ⎞
∆= . ⎜1 − ⎟
l ⎝ l⎠
(b) para momentos fletores negativos:
a . ( 2. l − a1 ) ⎛ b ⎞
∆= 1 . ⎜1 − ⎟
l ⎝ l⎠
(c) para momentos fletores em lajes de balanço:
⎛ b⎞
∆ = 1,5. a1. ⎜1 − ⎟
⎝ l⎠
onde a1 é a distância do centro da carga ao apoio para cujo lado está a seção que se estuda.
Para se adotar estes valores de bw, deve-se cumprir que:
B

(I) bw ≤ B

l (II) bw ≤ 2 C

A Sdistr ⎡ b ⎤ A Sprinc
(III) ≥ ⎢1 − 0,8 ⎥
s ⎣ bw ⎦ s
bw

C

Esta armadura de distribuição deverá se estender sobre toda a largura bw, acrescida de um
comprimento de 50 φ para cada lado de bw (comprimento de ancoragem).


2.2 - Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares perpendiculares ao vão

P

l
p
Para o dimensionamento de lajes armadas em uma só direção, submetidas a cargas
lineares na direção perpendicular ao vão, deve-se determinar a solução do problema
específico, utilizando o método das rótulas plásticas (regime rígido-plástico).

2.3 – Exemplo de laje armada em uma só direção com carga linear paralela ao vão

Seja uma laje armada em uma só direção, que recebe uma parede de 12 cm de
espessura e 2,60 m de altura (alvenaria com 13kN/m3 de peso específico). Considerar o
concreto C20 e o aço CA-50.

2,80m
p

bw

Arbitra-se, inicialmente, que h = hmín = 8 cm.

- cálculo da largura de influência da parede (vão):

l 280
a1 = = = 140 cm
2 2

b = a + h = 12 + 8 = 20 cm

bw = b + ∆

2.a 1 .(l − a 1 ) ⎛ b ⎞ 2x140(280 − 140) ⎛ 20 ⎞
∆V = .⎜1 − ⎟= ⎜1 − ⎟ = 130 cm
l ⎝ l⎠ 280 ⎝ 280 ⎠

bw,V = 20 + 130 = 150 cm


- composição de cargas:

peso próprio – 0,08m x 25kN/m3: 2,0 kN/m2
revestimento (tacos): 0,7 kN/m2
reboco: 0,2 kN/m2
parede: 0,12mx2,60mx13kN/m3/1,50m: 2,7 kN/m2
g = 5,6 kN/m2

carga variável: q = 1,5 kN/m2

- carga de serviço:
pd,ser = g + Ψ2 q = 5,6 + 0,3x1,5 = 6,05kN/m2

- momentos da seção crítica e de fissuração:

9 pd, ser l 2 9 x 6,05 x 2,82
ma = = = 3,34 kN.m/m (elástico)
128 128

fctm = 0,3 fck2/3 = 0,3 (20)2/3 = 2,21 MPa


como ma<mr , a seção não está fissurada e deve-se considerar-se Ieq = Ic.

- flecha imediata:

Ecs = 0,85 x 5600 fck1/2 = 0,85 x 5600 (20)1/2 = 21287 MPa

Ieq = Ic = b h3/12 = 100 x 83/12 = 4267 cm4

pd,ser l4 4
0,000605 x 280
f(t = 0) = 0,53 = 0,53 = 0,217 cm
Ecs Ieq 2128,7 x 4267

- flecha provável:

f(t=∞) = (1+αf) f(t=0) = 2,32 x 0,217 = 0,503cm

- flecha admissível:

fadm = l/250 = 280/250 = 1,12 cm

Assim, como a flecha provável é menor do que a flecha admissível, a espessura
adotada é suficiente.

Conforme as exigências da NBR6118:2007, relativas aos cobrimentos das
armaduras, admitir-se-á como altura útil da laje, no vão, d=5,5cm e, no engaste, d=6cm.


- largura de influência da parede:
l 280
a1 = = = 140 cm
2 2

b = a + h = 12 + 8 = 20 cm

bw = b + ∆

2.a 1 .(l − a 1 ) ⎛ b ⎞ 2x140(280 − 140) ⎛ 20 ⎞
∆V = .⎜1 − ⎟ = ⎜1 − ⎟ = 130 cm
l ⎝ l⎠ 280 ⎝ 280 ⎠

a 1 .(2l − a 1 ) ⎛ b ⎞ 140(2x280 − 140) ⎛ 20 ⎞
∆E = .⎜1 − ⎟= ⎜1 − ⎟ = 195 cm
l ⎝ l⎠ 280 ⎝ 280 ⎠

bw,V = 20 + 130 = 150 cm

bw,E = 20 + 195 = 215 cm

- Trecho fora da faixa de largura bw:
peso próprio – 0,08 x 25 = 2,0 kN/m2
reboco = 0,2 kN/m2
q = 1,5 kN/m2
4,40 kN/m2

2 2 2 2
pl 4,40 x 2,80 pl 4,40x2,80
mV = = = 2,59 kN.m/m ; m E = − =− = − 3,88 kN.m/m
13,32 13,32 8,88 8,88

⎛ md ⎞
x = 1,25 d ⎜1 −
⎜ 1− ⎟
⎟
⎝ 0,425 f cd b d 2 ⎠

0,68 f cd b x
AS =
f yd

m d x x/d AS ASmín
(kN.m/m) (cm) (cm) (cm2) (cm2)
vão 2,59 5,5 0,716 - 1,60 1,20 φ5c/12

engaste 3,88 6,0 0,998 0,166 2,23 1,20 φ6,3c/14


armadura de distribuição (no vão):

⎧ A Sprinc 1,60
⎪ = = 0,32 cm 2 / m
⎪ 5 5
⎪ A 1,20
A Sdistr ≥ ⎨ Smín = = 0,60 cm 2 / m
⎪ 2 2
⎪ 0,9 cm 2 / m
⎪
⎩
adotado: 0,9 cm2/m φ5 c/21
- Trecho de largura bw, onde atua a carga de parede, além da carga superficial de 4,4
kN/m2.

* no vão:
bw = 150 cm
p = 0,12m x 2,6m x 13kN/m3 = 4,06 kN/m

p’= 4,06 kN/m/1,50m = 2,71 kN/m2

(4,40+ 2,71)x2,80
2 2
pl
mV = = = 4,18 kN.m/m
13,32 13,32

b = 100 cm; d = 5,5 cm

⎛ ⎞
x = 1,25 d ⎜1 − ⎟ =1,200 cm
Md
1−
⎜ 2 ⎟
0,425 f cd b d ⎠
⎝

0,68 f cd b x
AS = = 2,68 cm 2 /m > A Smín = 1,20 cm 2 /m φ6,3 c/11
f yd

⎡ b ⎤ ⎛ 0,8x20 ⎞ 2
A Sdistr ≥ ⎢1 − 0,8 ⎥ A Sprinc = 2,68 ⎜1 − ⎟ = 2,39 cm /m
⎣ bw ⎦ ⎝ 150 ⎠

2,39 cm2/m - 0,93 cm2/m = 1,46 cm2/m (φ6,3 c/21)
* no engaste:

bw = 215 cm
p = 4,06 kN/m

p’= 4,06 kN/m/2,15m = 1,89 kN/m2

(4,40+1,89)x2,80
2 2
pl
mE = − =− = − 5,55 kN.m/m
8,88 8,88

b = 100 cm; d = 6,0 cm


⎛ md ⎞
x = 1,25 d ⎜1 −
⎜ 1− ⎟ =1,479 cm (x/d = 0,247<0,30)
⎟
⎝ 0,425 f cd b d 2 ⎠

0,68 f cd b x
AS = = 3,30 cm 2 /m > A Smín = 1,20 cm 2 /m φ8 c/15
f yd

- armadura negativa: 215 cm

φ6,3 c/14

φ6,3 c/14
φ8 c/15

- armadura positiva: 150 cm

φ5 c/21
φ6,3 c/11
φ5 c/12

φ5 c/12

φ6,3 c/21

213 cm


3 - Lajes armadas em duas direções

3.1 – Solicitações conforme o regime elástico

Para a verificação de estados limites de serviço, deve-se considerar os momentos
fletores determinados pelo regime elástico. No caso das lajes armadas em duas direções,
estes valores podem ser calculados pela expressão:

m = α p l2

onde l é o vão menor da laje e p é a carga superficial atuante na laje. O valor de α deve ser
retirado de uma tabela, em função da relação entre os vãos e da vinculação da laje.

3.2 – Solicitações conforme o regime rígido plástico

Para o dimensionamento da armadura das lajes, no estado limite último, devem ser
empregados os momentos fletores determinados considerando-se o regime rígido-plástico.
O método que utiliza este regime para o cálculo dos momentos das lajes é conhecido por
método das linhas de ruptura.

Conforme este método, em uma laje retangular, engastada nas quatro bordas, vão
aparecer momentos fletores negativos nos engastes, dados por:

m’ = - i . m

onde i é o grau de engastamento e m é o momento do vão.


Tabela – Valores de α para lajes armadas em duas direções (regime elástico)

a/b 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
b
ma 0,099 0,086 0,073 0,061 0,051 0,042
a
mb 0,032 0,037 0,040 0,042 0,043 0,042

b ma 0,041 0,038 0,034 0,029 0,025 0,021
mb 0,010 0,013 0,017 0,018 0,020 0,021
a ma ’ 0,084 0,080 0,074 0,067 0,059 0,052
mb ’ 0,058 0,058 0,058 0,057 0,055 0,052
b ma 0,057 0,052 0,045 0,039 0,033 0,027
mb 0,016 0,020 0,024 0,026 0,027 0,027
a ma ’ 0,119 0,111 0,101 0,091 0,080 0,070
mb ’ 0,082 0,082 0,080 0,078 0,074 0,070
b ma 0,084 0,065 0,049 0,037 0,027 0,020

a
mb 0,036 0,038 0,039 0,037 0,034 0,031
mb ’ 0,119 0,111 0,102 0,091 0,080 0,070
b
ma 0,042 0,041 0,039 0,037 0,034 0,031

a
mb 0,008 0,010 0,013 0,016 0,018 0,020
ma ’ 0,084 0,083 0,082 0,078 0,074 0,070
b ma 0,091 0,075 0,060 0,048 0,037 0,030

a
mb 0,034 0,038 0,040 0,039 0,038 0,036
mb ’ 0,122 0,117 0,110 0,102 0,093 0,084
b
ma 0,060 0,056 0,051 0,046 0,040 0,036

a
mb 0,015 0,019 0,023 0,026 0,028 0,030
ma ’ 0,122 0,116 0,109 0,101 0,093 0,084
b ma 0,042 0,040 0,037 0,033 0,029 0,026
mb 0,009 0,012 0,015 0,018 0,019 0,021
a ma ’ 0,085 0,083 0,079 0,074 0,068 0,062
mb ’ 0,056 0,057 0,058 0,058 0,057 0,055
b ma 0,055 0,048 0,040 0,033 0,026 0,021
mb 0,018 0,023 0,025 0,027 0,026 0,026
a ma ’ 0,114 0,102 0,091 0,088 0,066 0,055
mb ’ 0,082 0,081 0,078 0,074 0,068 0,062


Chamando-se de 1, 2, 3, 4 os lados da laje, começando a numeração sempre por
uma borda de menor comprimento, os graus de engastamento serão i1, i2, i3 e i4, com
valores:
• entre 0,7 e 2,0, para as bordas engastadas (a NBR6118 recomenda que i ≥ 1,5);
• igual a 0, para as bordas apoiadas.

Sendo:

ma: o momento correspondente à armadura Asa, paralela ao vão “a”
mb: o momento correspondente à armadura Asb, paralela ao vão “b”

Os momentos negativos vão ser:

m1’ = - i1 . mb
m2’ = - i2 . ma
m3’ = - i3 . mb
m4’ = - i4 . ma

(a) cargas uniformemente distribuídas:

(a.1) lajes isótropas:

As lajes com 0,8 ≤ a/b ≤ 1 são consideradas lajes isótropas, isto é, ma = mb = m e
Asa = Asb. O momento no vão será calculado por:

p a r br
m=
⎛ a b ⎞
8 ⎜1 + r + r ⎟
⎜ ⎟
⎝ br a r ⎠

onde, p é a carga superficial e ar e br são os vãos reduzidos, que dependem dos graus de
engastamento i1, i2, i3, i4.


2a
ar =
1+ i2 + 1+ i4

2b
br =
1 + i1 + 1 + i 3

(a.2) lajes ortótropas:
As lajes com 0,5 ≤ a/b < 0,8 são consideradas lajes ortótropas, ou seja, ma ≠ mb e
Asa ≠ Asb.

O coeficiente de ortotropia é definido por:

mb
ϕ=
ma
e pode ser calculado por
1,7
12 −i 2 − i 4 ⎛ a ⎞
ϕ= .⎜ ⎟
12 − i1 − i 3 ⎝ b ⎠

A laje ortótropa é calculada pelas mesmas fórmulas da isótropa, considerando-se
b
que o lado maior b tem um comprimento .
ϕ
Assim,
br
b* =
r
ϕ

p a r b*
m= r
⎛ a r b* ⎞
8 ⎜1 + * + r ⎟
⎜ ⎟
⎝ br a r ⎠
com
2a
ar =
1+ i2 + 1+ i4
2b
br =
1 + i1 + 1 + i 3

com ma = m e mb = ϕ m .


Os momentos nos engastes serão:

m1’ = - i1 . mb
m2’ = - i2 . ma
m3’ = - i3 . mb
m4’ = - i4 . ma

(b) cargas lineares:

O formulário do método das linhas de ruptura, para lajes submetidas a cargas
lineares, paralelas aos vãos “a” e “b”, sendo as cargas superficiais predominantes, é o
seguinte:

p* = p (1 + α + 2 β )
pa pb
α= β=
p. b p. a

2a
ar =
1+ i2 + 1+ i4

1 1 + α + 2β 2b
br =
*
. .
ϕ 1 + 3β 1 + i1 + 1 + i 3

p* a r b*
m= r
⎛ a r b* ⎞
8 ⎜1 + * + r ⎟
⎜ ⎟
⎝ br a r ⎠
com ma = m e mb = ϕ m .

Este formulário foi obtido para a pior situação de posição da parede e com um
comprimento ao longo de toda laje. Pode-se usar este mesmo formulário em outras
situações a favor da segurança.


3.3 – Dimensionamento e detalhamento das armaduras

Após a determinação dos momentos nos vãos ma e mb e dos momentos nos engastes
m1’, m2’, m3’ e m4’, o dimensionamento das armaduras é feito da seguinte maneira:

(a) laje isótropa: dados: b = 100 cm; d = h – c – 0,5cm; m=ma=mb
calcular: AS = ASa = ASb

(b) laje ortótropa: dados: b = 100 cm; da = h – c – 0,5cm; m=ma
calcular: AS = ASa

dados: b = 100 cm; db = h – c – 1cm; m=mb
calcular: AS = ASb

Neste cálculo, admite-se que da difere de db de um φ (~5mm). Nas lajes isótropas,
usa-se um d único para se ter ASa = ASb. Sempre a armadura do menor vão deve ser
colocada por baixo da armadura do vão maior.

db da

Conforme a NBR6118, quando houver predominância de cargas permanentes, as
lajes vizinhas podem ser consideradas como isoladas, realizando-se compatibilização dos
momentos de continuidade (negativos) de forma aproximada. A compatibilização pode ser
realizada mediante alteração dos graus de engastamento, em procedimento iterativo, até a
obtenção de valores equilibrados nas bordas. Permite-se, simplificadamente, a adoção do
maior valor de momento negativo ao invés de equilibrar os momentos de lajes diferentes
sobre uma borda comum.

Desta forma, as lajes são calculadas separadamente, mas devem ter uma armadura
única de continuidade ao longo da borda comum que foi considerada engastada. Para isto,
deve-se dimensionar a armadura para o maior entre os dois momentos de engastamento e a
menor das alturas úteis. Estas armaduras devem se estender para cada lado do eixo do
apoio de um comprimento igual a 1/4 do maior dos vãos menores das duas lajes
consideradas.

Nos apoios de borda de piso, onde a laje termina, deve ser colocada uma armadura
de contorno de valor igual a 1/4 da armadura máxima do vão, não menor do que φ5 c/20
cm, com uma extensão igual a 1/5 do vão menor da laje.

A armadura correspondente a uma laje em balanço deve se estender, na laje
adjacente, de um comprimento igual ao da laje em balanço. Quando o comprimento da laje
em balanço ultrapassar 3 m é conveniente colocar uma armadura, nas duas direções,
também na face inferior (para limitar as aberturas de fissuras devidas à retração do
concreto e dilatação térmica).


3.4 - Reações de apoio
Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares, com carga
uniforme, podem ser feitas as seguintes aproximações:
a) as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou
trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à análise
efetivada. De maneira aproximada, essas reações podem ser consideradas uniformemente
distribuídas sobre os elementos estruturais que lhes servem de apoio;
b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por
retas inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos:

• 45o entre dois apoios do mesmo tipo;
• 60o a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado
simplesmente apoiado;
• 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
Empregando-se este último critério, os valores das reações podem ser determinados
com o auxílio da tabela da página seguinte (Vigas continuas, pórticos y placas – J. Hahn,
Editora Gustavo Gili - Barcelona – 1966).
Seja, por exemplo, a laje da figura abaixo, com a=2,5m e b=5,0m, submetida a uma
carga de 5,0 kN/m2.
b

30o

45o
a
30o
45o

b/a = 5,0/2,5 = 2,0
da tabela: vae = 0,159; var = 0,091; vbe = 0,476; vbr = 0,274
carga total da laje: 5,0 kN/m2 x 2,5 m x 5,0 m = 62,5 kN
reação na borda “a”, apoiada: 62,5 kN x 0,091 / 2,5 m = 2,28 kN/m
reação na borda “a”, engastada: 62,5 kN x 0,159 / 2,5 m = 3,98 kN/m
reação na borda “b”, apoiada: 62,5 kN x 0,274 / 5,0 m = 3,43 kN/m
reação na borda “b”, engastada: 62,5 kN x 0,476 / 5,0 m = 5,95 kN/m


Tabela – Reações de apoio em lajes armadas em duas direções
b/a 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00
b
va 250 238 227 217 208 200 192 185 179 173 167 161 156 139 125

a
vb 250 262 273 283 292 300 308 315 321 327 333 339 344 361 375

b va 183 175 167 160 153 147 141 136 131 126 22 118 115 102 092

vbe 402 412 422 431 440 447 455 461 468 474 479 484 488 504 517
a
vbr 232 238 244 249 254 259 263 267 270 274 277 280 282 292 299
b vae 402 388 378 366 355 342 331 320 310 300 289 280 272 241 217

var 232 226 218 212 205 198 191 184 179 173 167 161 156 139 125
a
vb 183 193 202 211 220 230 239 248 256 264 272 280 286 310 329
b
va 144 137 131 125 120 115 111 107 103 099 096 093 090 080 072

a
vb 356 363 369 375 380 385 389 393 397 401 404 407 410 420 428

b
va 356 349 341 334 327 320 312 304 297 290 283 275 267 241 217

a
vb 144 151 159 166 173 180 188 196 203 210 217 225 233 259 283

b vae 317 302 288 276 264 254 244 235 227 219 211 204 198 176 159
var 183 175 167 160 153 147 141 136 131 126 122 118 115 102 091
a vbe 317 332 347 359 371 381 391 400 408 416 424 431 437 459 476
vbr 183 191 198 205 212 218 224 229 234 239 243 247 250 263 274
b vae 250 237 227 217 208 200 192 185 179 173 166 161 156 138 125

var 144 137 131 125 120 114 110 107 103 099 096 093 090 080 071
a
vb 303 313 321 329 336 343 349 354 359 364 369 373 377 391 402

b va 304 294 284 274 264 254 244 235 227 219 211 204 198 176 159

vbe 250 263 275 288 301 314 327 339 350 360 370 378 387 416 437
a
vbr 142 149 157 164 171 178 185 191 196 202 208 214 217 232 245

b
va 250 238 227 217 208 200 192 185 179 173 167 161 156 139 125

a
vb 250 262 273 283 292 300 308 315 321 327 333 339 344 361 375


3.5 – Exemplo de laje submetida a cargas superficiais

Dimensionar as armaduras para a laje da figura abaixo, correspondente a um
dormitório, que apresenta revestimento de tacos de madeira na face superior e reboco de 1
cm de espessura na face inferior. A laje será executada com concreto C20 e aço CA-50.

b=5m

Foi verificado previamente (página
10), que uma espessura de h = 8 cm é
a=4m suficiente para esta laje atender o estado
limite de serviço de deformações excessivas.

reboco = 0,2 kN/m2
q = 1,5 kN/m2
p = 4,4 kN/m2

- cálculo das solicitações:

a/b = 4/5 = 0,8 laje isótropa

i1 = i2 = 1,5 e i3 = i4 = 0

2a 2x4
ar = = = 3,10 m
1 + i2 + 1 + i4 1 + 1,5 + 1 + 0

2b 2x5
br = = = 3,87 m
1 + i1 + 1 + i 3 1 + 1,5 + 1 + 0

p a r br 4,4 x 3,10 x 3,87
m= = = 2,16 kN.m/m
⎛ a r br ⎞ ⎛ 3,10 3,87 ⎞
8 ⎜1 + + ⎟ 8 ⎜1 +
⎜ ⎟ + ⎟
⎝ br a r ⎠ ⎝ 3,87 3,10 ⎠

ma = mb = 2,16 kN.m/m; m1’ = m2’ = -1,5 m = 3,24 kN.m/m

- armadura positiva:

ma = mb = 2,16 kN.m/m

d = h –c – 0,5 cm


para classe de agressividade I c = 2 cm

d = 8 – 2 –0,5 = 5,5 cm

⎛ md ⎞ ⎛ 1,4x216 ⎞
x = 1,25 d ⎜1 − 1− ⎟ =1,25x5,5 ⎜1 − 1− ⎟ = 0,591cm
⎜ 2 ⎟
0,425 f cd b d ⎠ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎝ 0,425x2/1,4x100x5,5 ⎠

0,68 f cd b x 0,68x2/1,4x100x0,591
AS = = =1,32 cm /m
2

f yd 50/1,15

ASmín = 0,67 x 0,15% bh = 0,67 x 0,15 x 8,0 = 0,80 cm2/m < AS


- armadura negativa:

m1’ = m2’ = -3,24 kN.m/m

(supondo que os momentos de engastamento das lajes adjacentes sejam menores que os
3,24 kN.m/m)

d = h –c – 0,5 cm

c = 1,5 cm

d = 8 – 1,5 –0,5 = 6,0 cm

⎛ md ⎞ ⎛ 1,4x324 ⎞
x = 1,25 d ⎜1 − 1− ⎟ = 1,25x6,0 ⎜1 − 1 − ⎟ = 0,823 cm
⎜ ⎟
0,425 f cd b d 2 ⎠ ⎜ 0,425x2/1,4x100x6,0 ⎟
2
⎝ ⎝ ⎠
(x/d = 0,137 < 0,30 OK.)

0,68 f cd b x 0,68x2/1,4x100x0,823
AS = = =1,84 cm /m
2

f yd 50/1,15

ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 8,0 = 1,20 cm2/m < AS



- detalhamento:

φ 5 c/20
0,8
1,00 5,00 4,00
φ 6 c/15

2,85
1,00 1,00
φ 5 c/14
4,00

φ 5 c/14
1,00
1,00
φ 6 c/15
1,00

1,40
3,00

3.6 – Exemplo de laje submetida a carga linear além das cargas superficiais

Dimensionar as armaduras para a laje da figura abaixo, correspondente a um
banheiro, que apresenta revestimento cerâmico e forro falso. A laje está submetida a uma
carga linear, referente a uma parede de 14 cm de espessura e 2,60 m de altura (peso
específico 13 kN/m3), além da carga superficial. A laje será executada com concreto C20 e
aço CA-50.

pa
b/a = 3,70/2,50 = 1,48 laje armada em
3,70

duas direções

2,50


- determinação da espessura da laje:

Na falta de um procedimento mais preciso para a determinação da flecha em uma
laje armada em duas direções, submetida a carga linear, pode-se considerar, na verificação
do estado limite de deformações excessivas, a carga como uniformemente distribuída.

revestimento cerâmico = 0,85kN/m2
forro falso = 0,5 kN/m2
parede: 0,14x2,60x13/3,70 = 1,28kN/m2
g = 4,63 kN/m2

carga variável q = 1,5 kN/m2

- a carga de serviço, correspondente a combinação quase permanente:

pd,ser = Σ gi,k + Σ ψ2j qj,k = 4,63 + 0,3 x 1,5 = 5,08 kN/m2

- momento na seção crítica e de fissuração:

a/b = 2,50/3,70 = 0,68 ≈ 0,7

ma = 0,040 pd,ser l2 = 0,040 x 5,08 x 2,502 = 1,27 kN.m/m (elástico)

fctm = 0,3 fck2/3 = 0,3 x (20)2/3 = 2,21 MPa


Ecs = 0,85 x 5600 fck1/2 = 0,85 x 5600 (20)1/2 = 21287 MPa

como ma<mr, a seção não está fissurada e deve-se considerar Ieq = Ic.

Ieq = Ic = b h3/12 = 100 x 83/12 = 4267 cm4

- flecha imediata:
p d,ser l 4 0,000508x250
4
f(t = 0) = κ = 0,32 = 0,070 cm
E cs I eq 2128,7x4267

- flecha provável:
f(t=∞) = (1+αf) f(t=0) = 2,32 x 0,070 = 0,162 cm

- flecha admissível:
fadm = l/250 = 250/250 = 1,0 cm
Como a flecha provável é inferior à flecha admissível, pode-se adotar para a laje a
espessura de 8 cm.


- dimensionamento das armaduras:


• superficial:
revestimento cerâmico = 0,85 kN/m2
forro falso = 0,5 kN/m2
q = 1,5 kN/m2
p = 4,85 kN/m2

• linear:
p a = 0,14 m x 2,6 m x 13 kN/m3 = 4,73 kN/m

- cálculo das solicitações:

pa 4,73
α= = = 0,264
p . b 4,85 x 3,70
p
β = b =0
p .a
p* = p (1 + α + 2 β ) = 4,85(1 + 0,264 + 0) = 6,13 kN/m
2

a/b = 2,50/3,70 = 0,68 < 0,8 laje ortótropa

i1 = i3 = i4 = 1,5 e i2 = 0

1,7 1,7
12 −i 2 −i 4 ⎛a⎞ 12 − 0 −1,5 ⎛ 2,50 ⎞
ϕ= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 0,599
12 − i1 − i 3 ⎝b⎠ 12 −1,5 −1,5 ⎝ 3,70 ⎠

2a 2 x 2,50
ar = = =1,94 m
1 + i2 + 1 + i4 1 + 2,5

1 1 + α + 2β 2b 1 1 + 0,264 + 0 2 x 3,70
br = = = 3,40 m
*

ϕ 1 + 3β 1 + i1 + 1 + i3 0,599 1+ 0 2,5 + 2,5

*
p a r b* 6,13 x 1,94 x 3,40
m= r
= =1,52 kN.m/m
⎛ a r b r ⎞ ⎛ 1,94 3,40 ⎞
*
8 ⎜ 1 + * + ⎟ 8 ⎜1 +
⎜ ⎟ + ⎟
⎝ br a r ⎠ ⎝ 3,40 1,94 ⎠


- armadura positiva:

ma = m = 1,52 kN.m/m

d = h –c – 0,5 cm = 8 – 2 –0,5 = 5,5 cm

⎛ md ⎞ ⎛ 1,4x152 ⎞
x = 1,25 d ⎜1 −
⎜ 1− ⎟ ⎜
⎟ =1,25x5,5 ⎜1 − 1− ⎟ = 0,411cm
2 ⎟
⎝ 0,425 f cd b d 2 ⎠ ⎝ 0,425x2/1,4x100x5,5 ⎠

0,68 f cd b x 0,68x2/1,4x100x0,411
AS = = = 0,92 cm /m
2

f yd 50/1,15

ASmín = 0,67 x 0,15% bh = 0,67 x 0,15 x 8,0 = 0,80 cm2/m < AS

armadura adotada: φ4,2 c/15 cm

mb = φ m = 0,599 x 1,52 = 0,91 kN.m/m

d = h –c – 1 cm = 8 – 2 –1 = 5,0 cm

⎛ md ⎞ ⎛ 1,4x91 ⎞
x = 1,25 d ⎜1 −
⎜ 1− ⎟ =1,25x5,0 ⎜1 −
⎟ ⎜ 1− ⎟ = 0,268cm
2 ⎟
⎝ 0,425 f cd b d 2 ⎠ ⎝ 0,425x2/1,4x100x5,0 ⎠

0,68 f cd b x 0,68x2/1,4x100x0,268
AS = = = 0,60 cm /m
2

f yd 50/1,15

ASmín = 0,67 x 0,15% bh = 0,67 x 0,15 x 8,0 = 0,80 cm2/m > AS

armadura adotada: φ4,2 c/16 cm

- armadura negativa:

(supondo que os momentos de engastamento sejam maiores que os das lajes adjacentes)

m4’ = - 1,5ma = -2,28 kN.m/m

d = h –c – 0,5 cm = 8 – 1,5 – 0,5 = 6,0 cm


⎛ md ⎞ ⎛ 1,4x228 ⎞
⎜
x = 1,25 d ⎜1 − 1− ⎟ =1,25x6,0 ⎜1 − 1 −
2 ⎟
⎟ = 0,569 cm
0,425 f cd b d ⎠ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎝ 0,425x2/1,4x100x6,0 ⎠
(x/d = 0,0948<0,30 OK.)

0,68 f cd b x 0,68x2/1,4x100x0,569
AS = = =1,27 cm /m
2

f yd 50/1,15

ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 8,0 = 1,20 cm2/m < AS


m1’ = m3’ =- 1,5mb = -1,37 kN.m/m

d = h –c – 0,5 cm = 8 – 1,5 – 0,5 = 6,0 cm

⎛ md ⎞ ⎛ 1,4x137 ⎞
⎜
x = 1,25 d ⎜1 − 1− ⎟ =1,25x6,0 ⎜1 − 1 −
2 ⎟
⎟ = 0,337 cm
0,425 f cd b d ⎠ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎝ 0,425x2/1,4x100x6,0 ⎠
(x/d = 0,0562<0,30 OK.)

0,68 f cd b x 0,68x2/1,4x100x0,337
AS = = = 0,75 cm /m
2

f yd 50/1,15

ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 8,0 = 1,20 cm2/m > AS

0,65 0,65
φ 5 c/16
φ 4,2 c/16

φ 5 c/15 φ 5c/19
φ 4,2 c/15
3,70

3,70

0,65 0,65 0,50
0,65 0,65
φ 5 c/16

2,50
2,50


armadura positiva armadura negativa
4 – Programa para o projeto de lajes retangulares maciças de concreto armado

As figuras abaixo apresentam as telas de utilização do programa de cálculo de lajes
maciças para os exemplos analisados nos itens 2.3 e 3.5.


ANEXO – AÇO DESTINADO A ARMADURAS PARA ESTRUTURAS DE
CONCRETO ARMADO (NBR7480:2007)

Tabela 1 – Características das barras
Diâmetro Área
(mm) (cm2)
6,3 0,312
8,0 0,503
10,0 0,785
12,5 1,227
16,0 2,011
20,0 3,142
22,0 3,801
25,0 4,909
32,0 8,042
40,0 12,566

Tabela 2 – Características dos fios
Diâmetro Área
(mm) (cm2)
2,4 0,045
3,4 0,091
3,8 0,113
4,2 0,139
4,6 0,166
5,0 0,196
5,5 0,238
6,0 0,283
6,4 0,322
7,0 0,385
8,0 0,503
9,5 0,709
10,0 0,785


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