1) O documento discute os movimentos de corpos rígidos, que são sistemas de partículas cujas distâncias entre si permanecem constantes no tempo. 2) Corpos rígidos podem se movimentar através de translação, onde todo o corpo se desloca, e rotação, onde partes do corpo giram em torno de eixos. 3) A rotação ocorre quando torques são aplicados ao corpo, fazendo com que seu momento angular mude de acordo com a segunda lei de Newton.

1. 13: Corpos Rígidos
Introdução
A mecânica de Newton é uma mecânica voltada para o estudo do movimento de um objeto
puntiforme. Diz-se que a mecânica de Newton é a mecânica do ponto.
O caso de maior interesse, no entanto, é aquele em que estudamos não uma partícula isoladamente
(um ponto) porquanto o conceito de partícula material é apenas uma abstração, mas um sistema de
partículas, ou seja, estudamos um conjunto muito grande de objetos puntiformes. Sendo que as leis
de Newton valem para cada um deles, o nosso objetivo no capitulo (000) foi o de estudar as leis do
movimento para um conjunto arbitrário de partículas. Nesse capitulo estudaremos o movimento de
um sistema de partículas mui peculiar.
O corpo rígido é um sistema constituído de partículas (átomos, por exemplo) agregadas de um modo
tal que a distância entre as várias partes que constituem o corpo (ou o sistema) não varia com o
tempo (não mudam), ou seja, as distâncias entre as várias partes que compõem o corpo são
rigorosamente constantes. Por essa definição percebe-se que corpo rígido é sinônimo de matéria no
estado sólido. Sólidos são corpos rígidos ao passo que fluidos em geral não o são.
Figura de um sólido qualquer
Um corpo rígido é caracterizado pela sua geometria e pela forma com que a massa é distribuída.
Essa última propriedade é inteiramente caracterizada pela densidade da distribuição da massa. A
densidade determina quanto de massa está distribuída num elemento de volume infinitesimal. Assim
escrevemos a densidade volumétrica de massa como

2. ( )
dm r
r
dV


Pela sua rigidez um corpo rígido se comporta de uma forma parecida com uma partícula material (ou
puntiforme). A diferença consiste em que alem do movimento de translação um corpo rígido pode
executar um movimento de rotação. Isto é, um corpo rígido executa basicamente dois tipos de
movimento: movimentos de translação e movimentos de rotação.
MOVIMENTOS DE TRANSLAÇÃO
Por meio do movimento de translação, o corpo rígido se desloca como um todo. Ele pode ser
analisado a partir de qualquer um dos seus pontos, no entanto, como discutido antes, o ponto mais
relevante é o centro de massa do corpo. Haverá movimento de translação se o seu centro de massa
se desloca à medida que o tempo passa. Assim, no caso da translação do corpo como um todo, o
estudo do movimento do centro de massa desempenha um papel central. Co
As coordenadas do centro de massa de um corpo rígido são obtidas por meio de integrais, ao
invés de somas utilizadas no caso de um sistema contendo um número discreto de partículas.
Assim, para uma distribuição volumétrica, as coordenadas do centro de massa são dadas pelas
expressões:
1
, ,
1
, ,
1
, ,
cm
cm
cm
x x x y z dxdydz
M
y y x y z dxdydz
M
z z x y z dxdydz
M
Ou, de uma forma resumida:
1
, ,R r x y z dxdydz
M
 
Onde a massa total M de um corpo rígido pode ser obtida como uma integral, sobre o
volume, da sua densidade. Para uma distribuição volumétrica podemos escrever:

3. M r dV

Para os movimentos de translação aplicamos as leis de Newton (a dinâmica do ponto), pois tudo se
passa como se toda a massa do corpo estivesse concentrada num ponto: o centro de massa. Dessa
forma, podemos escrever para a posição do centro de massa, a seguinte equação:
2
2 ext
d R
M F
dt

Ou seja:
O produto da massa pela aceleração do centro de massa de um corpo rígido é igual á
soma das forças externas aplicadas sobre ele.
Assim, o que provoca o movimento de translação do corpo rígido são as forças externas agindo
sobre o mesmo. O corpo rígido se desloca de tal forma que tudo se passa como se todas as forças
estivessem atuando sobre o centro de massa.
Um corpo rígido em queda livre tem o seu centro de massa descrevendo uma órbita parabólica. O
movimento de um ponto arbitrário do corpo rígido, por outro lado, pode ser bem mais complexo.
MOVIMENTO DE ROTAÇÃO
O outro movimento do corpo rígido é o movimento de rotação. Nesse caso o movimento pode ser
descrito como uma rotação mais geral, como se girasse em torno de três eixos imaginários. Assim, o
movimento de rotação mais geral requer, para sua inteira caracterização um conjunto de três variáveis
angulares. O conjunto de variáveis angulares mais utilizado na descrição do movimento é aquele constituído
pelos três ângulos de Euler. Isso porque três rotações sucessivas por valores adequados dessas variáveis
permitem superpor um corpo com aquele que experimentou uma rotação. No caso da rotação em torno de um
eixo, , por outro lado, basta uma variável angular.
A rotação do corpo rígido resulta sempre de um torque ou torques aplicados a ele. Esse é o caso de um
pião que gira ou do pendulo físico, o qual será tratado no próximo capítulo. O resultado desses torques é a
alteração do momento angular do corpo rígido. Assim as equações de movimento associadas à rotação
envolvem essas duas grandezas físicas: torques aplicados a um corpo e o momento angular que se altera
como resultado dos mesmos. A seguir introduziremos esses conceitos.
Momento Angular

4. O momento angular, representado por L

, é uma grandeza física muito importante, especialmente em se
tratando de rotações, mas cuja definição é um tanto quanto abstrata. Ela é definida como o produto vetorial
do vetor posição pelo vetor quantidade de movimento.
Da definição segue que L

é um vetor perpendicular tanto ao vetor posição quanto ao vetor momento. Por
isso, na maioria das vezes, ela acaba levando a dificuldades de visualização. No entanto, é uma quantidade
física fundamental e importante no estudo da rotação de um corpo.
A quantidade de movimento total de um corpo rígido pode ser nula (o que significa, nesse caso, que ele
não está em movimento de translação), e ainda assim ter momento angular total diferente de zero.
Lembrando que p mv
 
, e usando expressão (000) para a velocidade de um ponto do corpo rígido em
função da velocidade angular de rotação, podemos escrever:
. L r r
  
Até aqui definimos o vetor momento angular para uma partícula sobre o corpo rígido. Para um sistema de
partículas, tudo que devemos fazer, para obter o momento angular do corpo rígido é efetuar a soma dos
momentos angulares de cada uma das partículas que o constituem. Para um sistema de N partículas, temos:
1 1
N N
total
i i i
i i
L L r p
   
.
Da expressão acima, segue que um corpo rígido quando em rotação tem um valor bem definido do
momento angular total. Pode-se, portanto, dizer que, se o corpo está em rotação, ele tem momento angular e
vice-versa. Como veremos a seguir essa grandeza física é a variável dinâmica mais importante no que tange
às rotações do corpo. De fato, veremos que ela é o equivalente, nas rotações, da grandeza quantidade de
movimento total quando analisamos o movimento de translação do corpo.
O torque
Sabemos, a partir da nossa experiência cotidiana, que dependendo da força e onde ela é aplicada sobre um corpo
rígido os resultados do ponto de vista da rotação do mesmo são bastante diversos. O melhor exemplo para exemplificar
essa situação é aquele das bolas de bilhar quando colocadas em movimento pelo taco do jogador. Se aplicarmos um
golpe frontal a bola não se colocará em rotação. Ganhará maior rotação (os jogadores às vezes se referem a isso como
“ganhar maior efeito”) se aplicarmos a mesma força num ponto mais afastado dessa posição.
Celso: Bola de bilhar
A forma de levarmos em conta o efeito conjunto da força e da posição na qual a aplicamos é por meio do torque de
uma força. Essa grandeza, o torque (designado por

), é definida de tal sorte a que seu efeito dependa tanto da
força aplicada a uma parte do corpo rígido quanto da posição sobre o corpo na qual ela é aplicada. Sendo F


5. a força aplicada num corpo rígido num ponto cujo vetor de posição é r

, o torque é definido como o produto
vetorial entre o vetor posição onde aplicamos a força, e a força ali aplicada. Ou seja:
r F
 
Trata-se, portanto, de uma grandeza vetorial.
Analogamente, definimos, quando mais de uma força atua sobre o corpo, o torque total como a soma dos
torques produzidos por cada uma das forças. Escrevemos:
1 1
N N
total
i i i
i i
r F
  
Um exemplo muito simples é aquele de um binário de forças. Nesse caso aplicamos duas forças de
mesma intensidade, mesma direção mas sentidos opostos. Se considerarmos o caso em que aplicamos
essas forças à mesma distância do centro de massa do corpo, podemos deduzir que o centro de massa do
mesmo se manterá imóvel, pois nesse caso,
2
2
0ext
d R
M F
dt

Nesse caso, a força total é nula, mas a soma dos torques leva a um efeito que é equivalente a duplicar a
ação de apenas um deles.
Torque e rotação
Um corpo se coloca em rotação quando aplicamos torques sobre ele. Como dito antes, não basta a ação
das forças. Veremos que a ação de torques é provocar a variação de velocidade angular do mesmo. O fato,
concreto, é que rotações ocorrem como resultado de torques aplicados a um corpo. Tal resultado é uma
conseqüência da segunda lei de Newton. Para verificarmos isso, notamos primeiramente que a variação de
momento angular pode ocorrer como resultado da variação da posição e da quantidade de movimento. Da
definição () segue que: .
Se dividirmos esta expressão por um intervalo de temp qualquer e tomarmos o limite quando o intervalo
de tempo tende a zero ( 0t ), segue da expresão (000) que a taxa de variação instantânea é dada por:
0 0 0
lim lim lim
t t t
L r p
p r
t t t
  

O primeiro termo do lado direito se anula, uma vez que a velocidade é paralela ao momento e, portanto,
dL dp
r r F
dt dt
   

6. ou seja,a taxa de variação instantânea do momento angular é igual ao torque aplicado.
dL
r F
dt

 
Isso implica que torques aplicados aos corpos rigidos levam a alteração no momento angular a uma taxa
dada pela expressão acima. O momento angular, por outro lado, é uma grandeza que caracteriza o movimento de
rotação. Veremos que ele pose sempre ser escrito em termos de uma grandeza que caracteriza o corpo rígido e uma
grandeza que caracteriza a rotação do corpo.
No caso sistema binário (de duas forças opostas), o corpo sujeito ao binário se colocará em rotação pura
(sem movimento de translação).
Um menino, para soltar o pião e fazê-lo girar, enrola uma cordinha cuidadosamente sobre o pião, deixa
uma pontinha presa entre os dedos e atira o pião ao chão. A corda, ao desenrolar, aplica um torque no pião,
que sai girando graciosamente.
Na ausência de torques aplicados sobre o corpo rígido, vale o principio da conservação do
momento angular. Escrevemos, nesse caso:
0L L
 
Onde 0L

é um vetor constante.

7. Momento Angular: MOMENTO DE INÉRCIA
Na medida em que cada uma das suas partes pode ter um momento angular, o corpo rígido também o terá.
Veremos que se pode expressar o momento angular de um corpo em função da velocidade angular do mesmo (que é
comum a todos os pontos) e de uma grandeza física denominada Momento de Inércia. Essa última depende da massa
do corpo rígido e de como ela é distribuída ao longo do mesmo.
As duas grandezas intervenientes no estudo das rotações e no movimento dos corpos rígidos são a velocidade
angular, que caracteriza a rotação do corpo, e que não depende da sua constituição e o momento de inércia, o qual
depende do corpo rígido considerado. A rigor o momento de inércia é uma grandeza tensorial.
A equação básica para o movimento de rotação é a taxa com que o momento angular varia com o tempo.
Escrevemos para o corpo rígido:
1
l
j
j
dL
dt


Onde j

é o torque exercido pela j -ésima força, de um total de l forças, aplicada sobre o corpo rígido.
O momento angular será considerado como a soma (no caso uma integral) dos momentos angulares dos
diversos elementos nos quais subdividimos o corpo rígido.
Como é de praxe, consideraremos um ponto arbitrário sobre o corpo rígido, no qual se localiza um pequeno
elemento do corpo rígido, e depois consideramos o resultado da soma sobre todos os pontos. No caso de um eixo fixo, a
velocidade de um elemento qualquer localizado num ponto, cujo raio vetor de posição é ir

no corpo rígido, é dada pela
expressão:
i iv k r
 
Na expressão acima adotamos o eixo-z como o eixo de rotação. Utilizando coordenadas cilíndricas, o vetor de
posição se escreve, para essa escolha de eixos:
i ir zk e
 
Onde i é a distancia da partícula até o eixo de rotação;
2 2
i i ix y
E portanto, a velocidade de cada ponto, numa rotação em torno do eixo z é dada por:
i iv e
 
Em módulo a velocidade assume o valor
i iv
E o sentido é dado pela tangente ao circulo associado á trajetória da partícula em torno do eixo.

8. Vide figura
O momento angular desse particular ponto será:
i i i iL m r v
  
-
Substituindo-se a expressão (000) em (000), obtemos para o momento angular de cada ponto, a
expressão:
2
i i i i i i i i iL mr v m z e m k
   
Ou análogamente, em coordenadas cartesianas,
2 2
i i i i i i i i i iL m z x i m z y j m x y k
  
Para um objeto extenso, é necessário subdividi-lo em pequenos elementos cujas massas são
1 2, Nm m m , e cujos vetores de posição são, respectivamente, 1 2, Nr r r
  
Para cada ponto vale uma
expressão análoga a (000). Assim, o momento angular do corpo como um todo será dado por:
2 2
i i i i i i i i ii
L L m z x i m z y j m x y k
   
Como um corpo rígido é, a rigor, uma distribuição continua de massa, no caso de rotação em torno de
um eixo, aqui denominado de eixo z, a expressão para o momento de inércia nesse caso será dado com uma integral
sobre todos os pontos sobre o corpo rígido:
2 2 3
( )L r zx i zy j x y k d r
  
Onde x, y e z são as coordenada de um ponto arbitrário sobre o corpo rígido.
MAURICIO: MUDEI A PARTIR DAQUI.
Assim, as componentes do momento angular são tais que:

9. 3 3 2 2 3
( ) ( ) ( )x x zL r zxd r L r zyd r L r x y d r
  
(43.28)
Expressões análogas são válidas para as componentes do vetor momento angular quando lidamos com rotações
em torno dos demais eixos. De forma a expressar o resultado mais geral, recorremos ao uso de matrizes. Definindo
um vetor coluna como uma matriz envolvendo as componentes do momento angular e da velocidade angular sob a
forma:
x
y
z
L
L L
L
x
y
z
(43.29)
Então, a expressão mais geral da relação entre o momento angular e a velocidade angular de um
corpo rígido pode ser escrita como:
L I (43.30)
Onde I é uma grandeza física muito importante no estudo do movimento do corpo rígido, denominada
Momento de Inércia. Tal grandeza se transforma como um tensor de posto 2. Não é portanto, nem uma grandeza
escalar nem uma grandeza vetorial. A matriz associada aos momentos de inércia será representada por uma matriz
3x3 simétrica;
11 12 13
21 22 23
31 32 33
I I I
I I I I
I I I
(43.31)
As seis componentes do tensor de inércia são dadas pelas integrais;
2 3
( )ij ij i jI r r x x d r

(43.32)
Concluimos, a partir da expressão acima, que as componentes do tensor de inércia dependem da
massa total do corpo, de como ela é distribuida, da sua geometria e da escolha dos eixos. Como se pode verificar
facilmente, essa matriz é simétrica. Isto é:
ij jiI I (43.33)
Para o caso da rotação em torno do eixo z e na qual a velocidade angular é dada por:

10. 0
0 (43.34)
Obtemos, a partir da expressão geral (43.33), que as componentes do vetor momento angular tem componentes:
x xz y yz z zzL I L I L I (43.35)
Onde as componentes do tensor de inércia são dadas em (43.32). No caso de uma rotação mais geral, o vetor
momento angular tem componentes ao longo dos demais eixos. Uma conclusão á qual se pode chegar é que nem
sempre o vetor momento angular é paralelo ao vetor velocidade angular. E isso vale mesmo para a rotação em torno
de um eixo apenas, como se pode ver de (43.35)
EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
Como apontado antes. o tensor de inércia depende do particular conjunto de eixos escolhidos. Pode-se escolher um
sistema de eixos de tal forma que, para esse particular conjunto de eixos, o tensor de inércia seja diagonal. Isso quer
dizer que para esses eixos podemos escrever o tensor de inércia de uma forma simples:
MAURICIO ATÉ AQUI
11
22
33
0 0
0 0
0 0
I
I I
I
Onde os momentos de inércia da diagonal e , nesse particular conjunto de eixos, recebe o nome de momentos
principais de inércia.
O movimento de rotação em torno de um eixo principal de inércia é bastante simples
uma vez que para uma rotação ao longo desses eixos o momento angular é paralelo á velocidade
angular ( e só para esses eixos). Por isso escrevemos, nesse caso:
L I
 
Com base na expressão acima vemos que a procura dos eixos principais de inércia no
leva a um problema matemático conhecido como o problema determinar os auto-valores e os
autovetores de uma matriz.
Tendo em vista a propriedade acima válida para os eixos principais de inércia, nós nos
perguntamos pela solução do seguinte problema de autovalores de uma matriz 3x3:
ij j ij jI I
Ou, análogamente,
0ij ij jI I

11. A solução para a equação homogênea acima implica que os valores do momentos
principais de inércia, serão dados pelas soluções da equação de auto-valores:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
det det 0ij ij
I I I I
I I I I I I
I I I I
Os valores de I obtidos como soluções da equação acima correspondem aos momentos
principais de inércia. Para cada valor I obtido, podemos obter os eixos principais através da
substituição desse valor na equação (000).
O TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
O teorema dos eixos paralelos visa a escrever uma expressão para o momento de inércia para eixos que
estejam dispostos paralelamente a eixos tais que o momento de inércia em relação a eles sejam conhecidos.
O ponto de partida, ou o pressuposto básico, é que conheçamos o momento de inércia para um conjunto
de eixos que passam, necessariamente, pelo centro de massa.
outra figura com o vetor a.
Designaremos por CM
I os momentos de inércia para eixos cuja origem esteja no centro de massa.
Seja um outro eixo deslocado de um vetor a

. Substituindo, nas integrais que definem as componentes do
tensor de inercia
r r a
  
Obteremos que os momentos de inércia para os novos eixos paralelos serão dados por:
2CM
ij ij ij i jI I M a a a
Onde ja é a j-ésima componente do vetor a

.
Esse teorema é bastante útil em uma série de aplicações.
ENERGIA CINÉTICA E ENERGIA POTENCIAL

12. Uma vez em movimento um corpo rígido tem uma energia cinética bem como, na maioria dos casos, uma
energia potencial devemos analisar as duas formas de energia. No caso da energia cinética, podemos falar em dois
tipos de energia cinética: Uma associada ao movimento de translação e a outra associada á energia cinética de
rotação.
A energia cinética de translação está associada ao movimento do centro de massa. Sendo cmV

a velocidade do
centro de massa, então a energia cinética de translação será dada por:
21
2
c
cm cmE MV
A energia cinética de rotação pode ser obtida a partir das seguintes considerações: primeiramente lembramos
que a energia cinética de uma das partículas compondo o corpo rígido será dada pela expressão usual:
21
2
c
rot i iE m v
Então podemos afirmar que para a rotação em torno de um eixo, e utulizando a expressão (000) e, (000), a
energia cinética será dada por:
2 21
2
c
rot i iE m
Para o corpo rígido devemos somar sobre todos os constituintes do mesmo, o que nos leva á expressão:
2 2 2 2
33
1 1
( )
2 2
c
rotE r x y I

A energia cinética depende pois, como no caso do momento angular, dos momentos de inércia do corpo.
No caso de uma rotação mais geral, a expressão da energia cinética de rotação é dada por:
1
2
c
rotE I
Onde o símbolo agora representa a matriz linha
1 2 3, ,
Finalmente, podemos associar para cada uma das forças conservativas uma energia potencial a qual depende
da posição do centro de massa. Para cada força externa a energia potencial é igual á energia potencial do centro de
massa.
Para a-iésima força escrevemos a energia potencial como:
i
U R

A conclusão é que se todas as N forças agindo sobre o corpo rígido forem forças conservativas a energia
mecânica será conservada e essa energia mecânica será dada pela soma de três contribuições:
2
1
1 1
( )
2 2
N
i
cm
i
E I MV U R

O primeiro termos é a energia cinética para rotações em torno do centro de massa do sistema, o segundo termo
dá a contribuição do movimento de translação para a energia cinética e a última soma está associada á energia
potencial do centro de massa.