Este documento apresenta um estudo teórico e experimental sobre as velocidades teóricas e experimentais de uma esfera ao rolar em um plano inclinado. Analisa a comparação entre as velocidades finais teórica e experimental e o ângulo limite a partir do qual ocorre o rolamento puro. Faz isso variando a altura e o ângulo do plano inclinado para encontrar as velocidades e o ângulo limite do deslocamento puro.

1. UMA ANÁLISE TEÓRICA E EXPERIMENTAL SOBRE AS VELOCIDADES TEORICAS E
ESPERIMENTAL DE UMA ESFERA AO ROLAR EM UM PLANO INCLINADO.
Adriana Santana de Fonseca,Cristiano Pereira da Silva, Gutemberg Antônio Alves, Wagner Gomes da Silva
adrianinhasol@gmail.com, cristiperefir@gmail.com, gutemberg.aalves@gmail.com, fisicawg@gmail.com
Física Experimental para o Ensino Fundamental e Médio – Prof. Sérgio Campello
Resumo
Neste relatório, estudaremos experimentalmente o rolamento de uma esfera maciça sobre o plano
inclinado. Teremos como objetivo, a analise da comparação das velocidades finais teorica e a experimetal,
mais também o ângulo limite onde a partir do qual deixa de acontecer o rolamento puro. E faremos esse
trabalho mudando a altura e consequentemente o ângulo do plano inclinado até encontrarmos as velocidades
e o ângulo limite do deslocamente puro.
1. Introdução
A introdução da investigação
experimental e a aplicação do método matemático
contribuíram para a distinção entre Física, filosofia
e religião, que , originalmente, tinham como
objetivo comum compreender a origem e a
constituição do Universo.
O estudo com experimentação em Física
acontece a centenas de anos atrás, com o objetivo
de explicar fenômenos que ocorriam na natureza,
com tratamento de medidas com inúmeras vezes
repetidas, levantando diagnósticos e tomando
algumas conclusões sobre o problema em estudo.
No intuito de solucionar o problema em
estudo de desse trabalho, trata-se agora de dar
embasamento teórico. Neste caso, mostraremos os
seguintes conceitos importantes nesse estudo:
Corpo rígido, Translação e rotação de um corpo
rígido, Momento de inercia e momento de inercia
de uma esfera, Torque e .
1.1.Corpo rígido
Um corpo rígido corresponde a um
conceito limite ideal, de um corpo indeformável
quaisquer que sejam as forças a ele aplicadas: um
corpo é rígido quando a distância entre duas
partículas quaisquer do corpo é invariável.
Nenhum corpo é perfeitamente rígido, entretanto,
as deformações são em geral suficientemente
pequenas para que possam ser desprezadas em
primeira aproximação.
Um corpo rígido realiza três tipos de
movimento plano: translação, rotação em torno de
um eixo fixo e movimento plano geral.
1.2. Translação de um copo rígido
Diz-se que um corpo rígido tem um
movimento de translação quando a direção de
qualquer segmento que une dois de seuspontos não
se altera durante o movimento. Ou seja, todos os
pontos do corpo descrevem curvas paralelas, ou
ainda, podendo ser superpostas umas às outras por
translação (figura 1).
Observemos que todos os pontos, figura 1,
sofrem o mesmo deslocamento durante o mesmo
intervalo de tempo, de modo que todos têm, em
qualquer instante, a mesma velocidade e
aceleração, que se chamam, respectivamente,
velocidade e aceleração de translação do corpo
rígido. Para estudar o movimento de translação de
um corpo rígido, basta estuda-lo para qualquer um
de seus pontos (por exemplo, o centro de massa
[CM]).
1.3. Rotação de um corpo rígido
Fixando dois pontos A e B de um corpo
rígido, isto equivale a fixar todos os pontos da reta
definida por AB, pois todos eles têm de manter
inalteradas suas distâncias de A e de B. qualquer
partícula do corpo situada fora desta tem de manter
invariável sua distância ao eixo AB, de modo que
só pode descrever um círculo, Figura 2, com centro
nesse eixo.
Logo, AB é um eixo de rotação e todas as
partículas descrevem círculos com centro no eixo,
e giram de um mesmo ângulo o mesmo intervalo

2. de tempo. O estudo do movimento reduz-se neste
caso ao estudo do movimento circularde qualquer
partícula situada fora do eixo:temos uma rotação
em torno de umeixo fixo,que pode ser descrita em
termos de uma única coordenada, o ângulo de
rotação.
Nesse caso, todos os segmentos de reta do
corpo sofrem um mesmo deslocamento angular e
apresentama mesma velocidade angular e a mesma
aceleração angular. As relações diferenciais entre
essas quantidades cinemáticas são:
𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
; 𝛼 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
; 𝛼𝑑𝜃 = 𝜔𝑑𝜔
Aprofundaremos esse caso mais adiante.
Agora se fixarmos um único ponto O do
corpo, qualquer outro ponto P situado a uma
distância r de O (Figura 3) tem de mover-se sobre
uma esfera de raio r com centro em O. Temos uma
rotação em torno de um ponto fixo, e o
deslocamento de um ponto como P sobre a esfera
pode ser descrito por duas coordenadas.
Fixando a posição de 3 pontos A, Be Cnão
colineares, fica fixada a posição do corpo rígido.
Com efeito, ao fixarmos A e B, fica o eixo AB. O
ponto C não colinear só poderia descrever um
círculo em torno de AB; logo, fixando C, fixa-se o
corpo rígido.
O movimento mais geral de um corpo
rígido se compõe de uma translação e uma
rotação.
Podemos agora demonstrar um resultado
muito importante devido a Chasles (1830).
Se O’ é o ponto para onde se desloca um ponto O
arbitrário do corpo, definida pelo vetor 𝑂𝑂′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Isto
leva à posição intermediária em linha interrompida
na figura 4.
Se A e B são duas outras partículas do corpo nessa
posição, não colineares com O’A’B’ sejam iguais,
pois os lados correspondentes são iguais, pela
rigidez do corpo. Logo, esses dois triângulos
podem ser superpostos por uma rotação em torno
do ponto fixo comum O’. Uma vez fixados os três
pontos não colineares O’,A’ e B’, rígido emrelação
a posição do corpo rígido, o que demonstrar o
resultado.
Mais afinal, de quantos parâmetros é
preciso dar para especificar completamente a
posição de um corpo rígido em relação a um dado
referencial?
Inicialmente, para especificar a posição de
um ponto P do corpo, precisamos de 3
coordenadas. Uma vez fixado P, outro ponto A do
corpo à distância r de P permanece sobre uma
esfera de raio r, e sua posição sobre essa esfera é
especificada por mais duas coordenadas (latitude e
longitude, por exemplo).
Finalmente, uma vez especificada as
posições dos dois pontos P e A, e sua posição sobre
esse círculo pode ser especificada por mais uma
coordenada (ângulo de rotação em torno do eixo).
Logo, precisamos de 3 + 2 + 1 = 6
coordenadas para especificar completamente a
posição de um corpo rígido. Diremos que umcorpo
rígido tem 6 graus de liberdade.
De forma geral, chamam-se graus de
liberdade,um sistema os parâmetros que é preciso
fixar para especificar a posição do sistema.
Uma partícula livre tem 3 graus de
liberdade e um sistema de N partículas tem 3N
graus de liberdade (3 coordenadas para cada
partícula). Uma partícula que se desloca sobre uma
superfície tem 2 graus de liberdade; uma conta que
desliza sobre um fio tem 1 grau de liberdade.
O resultado obtido acima sobre o
deslocamento mais geral de um corpo rígido
permite associar 3 dos 6 graus de liberdades à
translação e os outros 3 à rotação.
Um corpo rígido com um ponto fixo tem 3
graus de liberdade, associados à rotação em torno
desse ponto: se girar em torno de um eixo fixo, tem
1 só grau de liberdade.
1.3. Rolamento como rotação e translação
combinados
Rolamento
Pode-se definir o rolamento, como o
movimento que uma roda faz ao se deslocar. Por
exemplo, uma roda de bicicleta. Este movimento
pode ser entendido do ponto de vista físico de

3. duas formas: (1) Como uma combinação do
movimento de translação e rotação da roda ou (2)
apenas como o movimento de rotação pura.
O movimento de rolamento pode ser
observado de duas maneiras diferentes. No caso da
roda deslizando suavemente, o centro da roda
descreve um movimento uniforme, enquanto que
um ponto na periferia da roda, descreverá um
movimento mais complexo como pode ser visto na
Figura 1.
Figura 1. Os dois movimentos executados pela roda
Imagine o movimento de uma roda de
bicicleta que rola suavemente sem deslizar
conforme ilustra a figura 2.
Figura 2. Movimento da roda de bicicleta
O centro de massa O da roda se move para
frente com velocidade de constante de módulo vcm
que permanece sempre a mesma distância do ponto
P,que é o ponto de contato da roda com o solo, em
relação à vertical.
Durante um intervalo de tempo t um
observado afastado da bicicleta vê o os pontos P e
O se moverem para frente a uma distância s. Já o
ciclista, olhando para o pneu, vê a roda girar um
ângulo em torno do eixo da roda.
O comprimento de arco s está relacionado
com o ângulo  pela seguinte expressão:
s = R
em que R é o raio da roda. O módulo velocidade
linear do centro de massa é dada por:
𝑣𝑐𝑚 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝜃𝑅 = 𝜔𝑅
Rolamento como rotação e translação
combinados
Na figura 3 pode ser visto que o
movimento de rolamento (c) pode ser entendido
como a soma do movimento de rotação pura (a)
com o movimento de translação pura (b) da roda
Figura 3. Entendendo o movimento de rotação
A figura 4
mostra a fotografia
de uma roda de
bicicleta rolando.
Esta imagem
comprova o que
foi explicado
acima porque os
raios próximos a superfície estão nítidos enquanto
que os raios da parte superior estão borrados.
Rolamento como rotação pura
O rolamento também pode ser enxergado
como uma rotação pura em torno do ponto P.
A figura 5 mostra a distribuição dos
vetores velocidades em diversos pontos da roda.
A velocidade angular do movimento em
relação a esse novo eixo de rotação visto por um
observador estacionário é exatamente igual a
velocidade angular que o ciclista atribui a roda
quando observa o movimento de rotação pura.
Desta maneira, o módulo da velocidade no
ponto mais alto da roda, será:
𝑣 𝑎𝑙𝑡𝑜 = 𝜔2𝑅 = 2𝜔𝑅 = 2𝑣𝑐𝑚
que concorda com o que foi discutido para o caso
do rolamento como combinação da rotação e da
translação.
1.4. Energia cinética de rolamento
Para calcular a energia cinética da roda em
movimento por um observador estacionário,
considere o rolamento como o caso da rotação pura
em torno do ponto P. A energia cinética é dada por
𝐾 =
1
2
𝐼 𝑝 𝜔2

4. No qual,  é o módulo da velocidade
angular da roda e 𝐼 𝑝 é o momentum de inercia em
relação ao eixo que passa por P.
Do teorema do eixo paralelo tem-se que
𝐼 𝑝 = 𝐼 𝑐𝑚 + 𝑀𝑅2
,
Na qual M é a massa da roda, Icm é o
momento de inercia para o eixo que passa pelo
centro de massa da roda de raio R.
Combinando essas duas expressões, tem-se:
𝐾 =
1
2
𝐼 𝑐𝑚 𝜔2
+
1
2
𝑀𝑅2
𝜔2
,
lembre-se que: 𝑅2 𝜔2 = ( 𝑅𝜔)2 = 𝑣2
assim,
𝐾 =
1
2
𝐼 𝑐𝑚 𝜔2
+
1
2
𝑀𝑣𝑐𝑚
2
Logo, um objeto rolando possui dois tipos
de energia cinética: Um termo devido a rotação em
torno do seu centro de massa e outro devido ao
movimento de translação do seu centro de massa
1.5. Momento de inércia
Quando está girando, o disco de uma serra
elétrica certamente possui uma energia cinética
associada à rotação. Como expressar essa energia?
Não podemos aplicar a fórmula
convencional 𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2 ao disco como um todo,
pois isso nos daria apenas a energia cinética do
centro de massa do disco, que é zero.
Em vez disso, vamos tratar o disco (e
qualquer outro corpo rígido em rotação) como um
conjunto de partículas com diferentes velocidades
e somar a energia cinética dessas partículas para
obter a energia cinética do corpo como um todo.
Segundo esse raciocínio, a energia cinética
de um corpo em rotação é dada por
Se um corpo contém um número pequeno
de partículas, podemos calcular o momento de
inercia em torno de um eixo de rotação usando a
equação
𝐼 = ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖
2
– (1)
ou seja,podemos calcular o produto 𝑚𝑟2 para cada
partícula e somar os produtos. (Lembremos que r é
a distância perpendicular de uma partícula ao eixo
de rotação.)
Se um corpo rígido contém um número
muito grande de partículas (se é contínuo, como um
disco de plástico), usando a equação (1) é
impraticável. Em vez disso, substituímos o
somatório da equação por uma integral e definimos
o momento de inércia do corpo como
𝐼 = ∫ 𝑟2
𝑑𝑚 – (2)
(Momento de inércia, corpo contínuo)
Rotação em torno de um eixo fixo
Por conveniência, iniciaremos o estudo da
dinâmica de corpos rígidos pelo movimento de
rotação mais simples de um corpo rígido o de
rotação em torno de um eixo fixo.
Assim, o problema se reduz ao do
movimento circular de uma partícula P do corpo
em torno do eixo, numa secção transversal.
Tomemos o eixo fixo OO’ como eixo z,
como origem num ponto O do mesmo (Fig. 6) e
considerar um ponto P num plano O’x’y’ (secção
transversal).
O único grau de liberdade é descrito pelo
ângulo de rotação  do ponto P em torno de Oz; a
velocidade de rotação v desse ponto é tangente ao
círculo, ou seja, é perpendicular ao raio vetor  no
plano O’x’y’ (fig. 6), e sua magnitude é
v = 𝜌𝜑̇, 𝜌 = | 𝛒|
O momento angular de uma partícula de
massa m no ponto P em relação à origem fixa O é
𝐼 = 𝑚𝑟 × 𝐯
onde (figura 6)
𝒓 = 𝑶𝑷 = 𝑶𝑶′ + 𝑶′𝑷, ou seja 𝒓 = 𝒁 + 𝝆.
Então
𝑰 = 𝑚( 𝒁 + 𝝆) × 𝐯 = 𝑚𝒁 × 𝐯 + m𝛒 × 𝐯
O produto vetorial 𝒁 × 𝐯 é perpendicular a
Z, ou seja, ao eixo “z”, ao passo que 𝝆 × 𝐯 é
paralelo a eixo “z”. Para aplicar a equação
fundamental da dinâmica das rotações (a taxa de
variação como tempo do momento angular total do
sistema em relaçãoao um ponto O(num referencial
inercial) é igual à resultante de todos os torques
externos, em relação a O, que atuam sobre o
sistema. Ou ainda,
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= ∑ 𝑟𝑖 × 𝐹𝑖
(𝑒𝑥𝑡)
𝑁
𝑖=1
= ∑ 𝜏𝑖
(𝑒𝑥𝑡)
𝑁
𝑖 =1
= 𝜏(𝑒𝑥𝑡)

5. a este problema, só nos interessa, conforme
veremos, a componente do momento angular ao
longo do eixo de rotação (componente Iz), dada
pelo último termo m𝛒 × 𝐯.
Como  é perpendicular a v, obtemos
finalmente a equação
𝐼 𝑧 = 𝑚𝜌v = 𝑚𝜌2
𝜑̇ = 𝑚𝜌2
𝜔
onde 𝜔 = 𝜑̇ é a velocidade angular de rotação.
Observe que 𝑚𝜌2 é o momento de inércia
da partícula P em relação a O’, que se chama seu
momento de inercia em relação ao eixo de
rotação. Assim, a componente Lz do momento
angular total do corpo rígido em relação a O será
então
𝐿 𝑧 = ∑ 𝐼 𝑧,𝑖
𝑖
= (∑ 𝜌𝑖
2
∆𝑚𝑖
𝑖
) 𝜔
Passando ao limite do continuo, obtemos
𝐿 𝑧 = 𝐼𝜔
onde
𝐼 = ∫ 𝜌2
𝑑𝑚
O resultado se estende agora
imediatamente ao corpo rígido como um todo.
1.6.CÁLCULO DO MOMENTO DEINERCIA
DE UMA ESFERA
Consideremos a esfera como uma pilha de
discos circulares, perpendiculares ao diâmetro
considerado.
A figura 7,
mostra um desses
discos, de espessura dz e
raio r, situado à altura z
do plano equatorial.
A massa dm do
disco está para a massa
M da esfera na mesma
proporção dos volumes
respectivos, ou seja.
𝑑𝑚
𝑀
=
𝜋𝑟2 𝑑𝑧
4
3
𝜋𝑅3
=
3
4
𝑟2
𝑅3 𝑑𝑧
Como o momento de inercia do disco é
dado pela equação: 𝐼 =
1
2
𝑀𝑟2, derivando-a temos:
𝑑𝐼 =
1
2
𝑟2 𝑑𝑚 =
3
8
𝑀
𝑅3 𝑟4 𝑑𝑧
onde: 𝑑𝑚 =
3𝑀
4
𝑟2
𝑅3
𝑑𝑧.
Para obter o momento de inercia total,
integramos sobre um hemisfério (z varia de 0 a R)
e multiplicamos por 2 o resultado:
𝐼 = 2 ∫ 𝑑𝐼
𝑧=𝑅
𝑧=0
=
3
4
𝑀
𝑅3
∫ 𝑟4
𝑑𝑧
𝑅
0
A relação entre r e z se obtém
considerando o triângulo OO’P (figura 7)
𝑟2
= 𝑅2
− 𝑧2
Substituindo na 𝐼 =
3
4
𝑀
𝑅3
∫ 𝑟4 𝑑𝑧
𝑅
0 , obtemos
𝐼 =
3
4
𝑀
𝑅3
∫ ( 𝑅4
− 2𝑅2
𝑧2
+ 𝑧4) 𝑑𝑧
𝑅
0
=
=
3
4
𝑀
𝑅3
[
𝑅4 ∫ 𝑑𝑧
𝑅
0⏟
𝑅
− 2𝑅2 ∫ 𝑧2
𝑑𝑧
𝑅
0⏟
𝑅3
3⁄
+ ∫ 𝑧4
𝑑𝑧
𝑅
0⏟
𝑅5
5⁄ ]
=
3
4
𝑀𝑅2 (1 −
2
3
+
1
5
)
⏟
8
15⁄
ou seja, finalmente,
𝐼 =
2
5
𝑀𝑅2
– (3)
(Momento de inercia de esfera)
1.7. ROLAMENTO SEM DESLIZAMENTO
SOBRE UM PLANO INCLINADO
Consideremos
agora uma esfera
maciça de massa, m,
que rola sem deslizar
sobre um plano
inclinado do ângulo 
e altura h.
Tomemos a força
peso aplicada no
centro de massa
(CM).
Logo, nem a força peso nem a reação
normal (N) do plano exercemum torque emrelação
ao CM, capaz de produzir rotação. Se apenas essas
forças atuarem, a esfera deslizaria ao longo do
plano.
Para que haja rolamento, é necessário que
a força de atrito aplicada no ponto P0 exerça um
torque
𝜏 = 𝐹𝑎𝑡 ∙ 𝑅 - (4)
em relação ao centro de massa (R é o raio da
esfera).
No caso do rolamento puro, P0 pertence
ao eixo instantâneo de rotação,de modo que está
em repouso a cada instante. Portanto, Fat é a força
de atrito estático (Fat = Fe).

6. Orientando os eixos X e Y na forma
colocada na figura (8) obtemos as equações do
movimento associada a translação:
Componente X: 𝑁 − 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 - (5)
Componente Y: 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐹𝑎𝑡 = 𝑚𝑎 - (6)
A equação do movimento associada a
rotação em torno do CM fica
𝐹𝑎𝑡 ∙ 𝑅 = 𝐼 𝑐𝑚 ∙ 𝛼 - (7)
e a condição de rolamento sem deslizamento dá
𝑣 = 𝑅 ∙ 𝜔 e 𝑎 = 𝑅 ∙ 𝛼 - (8)
Lembremos que o momento de inércia da
esfera maciça é dada pela expressão (3)
𝐼 =
2
5
𝑚𝑅2
Substituindo as equações (3) e (8) na (7),
teremos
𝐹𝑎𝑡 ∙ 𝑅 =
2
5
𝑚𝑅2
∙
𝑎
𝑅
Assim, obtemos
𝐹𝑎𝑡 =
2
5
𝑚 ∙ 𝑎 - (9)
Agora, substituindo a equação (9) na (6) temos
𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐹𝑎𝑡 = 𝑚 ∙ 𝑎
𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 −
2
5
𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑚 ∙ 𝑎,
dividindo tudo por “m” obtemos:
𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 −
2
5
𝑎 = 𝑎 ⇒ 𝑎 +
2
5
𝑎 = 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃
ou seja,
𝑎 =
5
7
𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 - (10)
Obs.: o movimento continua sendo
uniformemente acelerado, mas a aceleração é
reduzida pelo fator 5/7 em reação ao deslizamento
puro, devido à energia cinética adicional (de
rotação) que tem de ser gerada.
Algumas perguntas que surgiram durante o
processo.
1. Qual a força de atrito estática necessária para
produzir o rolamento sem deslizamento?
Para responder essa indagação
substituímos a equação(10) na (7) e lembrando que
Fat = Fe.
Assim, obteremos
𝐹𝑎𝑡 =
2
5
𝑚 ∙ 𝑎 ⇒ 𝐹𝑒 =
2
5
𝑚 ∙
5
7
𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃
∴ 𝐹𝑒 =
2
7
𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 - (11)
Por outro lado, se 𝜇 𝑒 é o coeficiente de
atrito estático, devemos ter então
𝐹𝑒 = 𝜇 𝑒 ∙ 𝑁, mas pela equação (5) temos
𝑁 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃, assim
𝐹𝑎𝑡 ≤ 𝐹𝑒 = 𝜇 𝑒 ∙ 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 - (12)
Lembremos de (11) que 𝐹𝑒 =
2
7
𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃,
substituindo em (12) temos
2
7
𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 ≤ 𝜇 𝑒 ∙ 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
Logo,
𝑡𝑔𝜃 ≤
7
2
𝜇 𝑒 = 𝑡𝑔𝜃𝑟
portanto
𝑡𝑔𝜃𝑟 =
7
2
𝜇 𝑒
onde r é o ângulo crítico para que haja rolamento
sem deslizamento.
2. Qual o valor da velocidade ao final da rampa?
ℎ = ∆𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑣𝑓
2
− 𝑣0
2
= 2𝑎∆𝑥
𝑣𝑓
2
= 2 ∙
5
7
𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 ∙
ℎ
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑣𝑓
2
=
10
7
𝑔ℎ
∴ 𝑣 = √
10
7
𝑔ℎ
3. Qual a energia cinética no final da rampa?
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣𝑓
2
+
1
2
𝐼 𝑐𝑚 𝜔2
Lembremos que: 𝐼 𝑐𝑚 =
2
5
𝑚𝑅2
e 𝑣 = 𝜔𝑅,
substituindo na equação teremos
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣𝑓
2
+
1
2
(
2
5
𝑚𝑅2) 𝜔2
⇒
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣𝑓
2
+
1
2
∙
2
5
𝑚 𝑅2
𝜔2
⏟
𝑣 𝑓
2
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣𝑓
2 (1 +
2
5
) ⇒ 𝐸 =
1
2
𝑚𝑣𝑓
2 (
7
5
),
substituindo o valor encontrado da velocidade
𝑣𝑓
2
=
10
7
𝑔ℎ, teremos:
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣𝑓
2
(
7
5
) ⇒ 𝐸 =
1
2
𝑚 (
10
7
𝑔ℎ) ∙ (
7
5
), assim
𝐸 = 𝑚𝑔ℎ
Assim, a energia cinética final é igual
energia potencial.
E a energia dissipada pelo atrito? A força
de atrito não realiza trabalho porque no ponto de
contato não há deslocamento. Força de atrito
apenas converte parte a energia de translação em
rotação.

7. 2. Procedimento experimental
Como experimento consiste em analizar
teoricamente e experimentalmente o rolamento
puro de uma esféra, utiliza-se uma rampa, a qual
varia-se o ângulo entre a rampa e o apoio da mesma
na horizontal (Figura x).
O intuito de calcular as velocidades de
descida da esféra a cada variação angular,busca-se
assim analizar até que momento a esféra rola sem
deslizar sobre a rampa (Tabela x).
Material utilizado
Trena;
Rampa educacional;
1 Esfera maciça;
1 Régua de 50 cm;
1Timer educacional;
4 Sensores educacionais;
1 solenoide;
Descrição dos procedimentos
1. Coloca-se todo material em uma mesa. Pega-se
a rampa e fixa-se os quatro sensores em locais
determinados (por exemplo, 10cm, 33cm, 56cm e
81cm), faz-se a conexão de cada sensor e a
solenoide com sua respectiva porta no timer.
No caso da solenoide, no início da rampa,
na porta do solenoide;
O sensor localizado na posição 1 na porta 1;
O sensor localizado na posição 2 na porta 2;
O sensor localizado na posição 3 na porta 3;
O sensor localizado na posição 4 na porta 4;
2. Após o procedimento de conexão dos sensores e
solenoide com o timer, liga-se o timer e escolhe-se
a opção de trabalho para coleta dos tempos, no
nosso caso a opção foi do solenoide para os
sensores.
3. Determina-se uma altura inicial, nesse caso 21,7
cm, na qual o lado da rampa que possui a solenoide
deve ser elevada e fixa-se a outra extremidade da
rampa na mesa. Como mostra a figura 8.
Figura 8. Experimento com o ângulo de 14,8°
4. Coloca-se a esfera no início da rampa, no
solenoide, e inicia-se o timer fazendo com que a
esfera percorra toda rampa enquanto o timer obtém
os tempos. Lembre-se que cada tempo está
associado a uma posição já pré-determinada.
Obs.: Esse procedimento será feito no
mínimo 5 vezes para a obtenção dos tempos.
5. Por fim, mede-se a distância horizontal entre o
local mais elevado e parte fixa na mesa.
6. Deve-se colocar todos os tempos obtidos
juntamente com o ângulo calculado em cada caso,
em uma tabela.
A tabela a seguir é correspondente aos
dados do 1 experimento.
h1 = 21,7 cm ; d1 = 82,1 cm e  = 14,8°
EXPERIMENTO 1
Posições P1 P2 P3 P4
Tempos (s)
0,260 0,553 0,743 0,899
0,260 0,552 0,738 0,897
0,261 0,554 0,738 0,901
0,261 0,554 0,738 0,901
0,261 0,554 0,737 0,900
Tempo
Médio 0,260 0,553 0,738 0,899
Faz-se o mesmo procedimento adotado, a
partir do item 3, no primeiro experimento, só que
agora para a altura h2 = 31,1 cm. Como mostra a
figura 9.
Figura 9. Experimento com o ângulo de 20,4°
A tabela a seguir é referente ao 2 experimento.
h2 = 31,1 cm ; d2 = 82,1 cm e  = 20,4°
EXPERIMENTO 2
Posições P1 (10 cm) P2 (33 cm) P3 (56 cm) P4 (81 cm)
Tempos (s)
0,224 0,475 0,631 0,771
0,224 0,475 0,632 0,772
0,224 0,475 0,632 0,772
0,224 0,474 0,631 0,771
0,224 0,475 0,631 0,774
Tempo
médio 0,2240 0,4748 0,6314 0,7720
Faz-se o mesmo procedimento adotado, a
partir do item 3, no primeiro experimento, só que
agora para a altura h3 = 52,1 cm. Como mostra a
figura 10.
82,1 cm

8. Figura 10. Experimento com o ângulo de 36,7°
A tabela a seguir é referente ao 3 experimento.
h3 = 52,1 cm ; d3 = 69,9 cm e  = 36,7°
EXPERIMENTO 3
Posições P1 (10 cm) P2 (33 cm) P3 (56 cm) P4 (81 cm)
Tempos (s)
0,177 0,368 0,487 0,596
0,178 0,369 0,488 0,597
0,184 0,369 0,489 0,597
0,178 0,374 0,489 0,597
0,187 0,37 0,489 0,598
Tempo
médio 0,1808 0,3700 0,4884 0,5970
Faz-se o mesmo procedimento adotado, a
partir do item 3, no primeiro experimento, só que
agora para a altura h4 = 70,5 cm. Como mostra a
figura 11.
Figura 11. Experimento com o ângulo de 53,27°
A tabela a seguir é referente ao 4 experimento.
h4 = 70,5 cm ; d4 = 52,6 cm e  = 53,3°
EXPERIMENTO 4
Posições P1 (10 cm) P2 (33 cm) P3 (56 cm) P4 (81 cm)
Tempos (s)
0,146 0,301 0,398 0,483
0,145 0,307 0,4 0,486
0,144 0,301 0,398 0,483
0,143 0,301 0,398 0,487
0,144 0,301 0,398 0,484
Tempo
médio
0,1444 0,3022 0,3984 0,4846
3. Resultados experimentais
Figuras e tabelas não devem possuir títulos
(cabeçalhos), mas sim legendas. Para melhor
visualização dos objetos, deve ser previsto um
espaço simples entre texto-objeto e entre
legenda-texto. As legendas devem ser
posicionadas abaixo das Figuras e Tabelas.
Esses objetos, bem como suas respectivas
legendas, devem ser centralizados na página
(ver, por exemplo, a Figura 1).
Figura 1 – Exemplo de figura
Item Quantidade Percentual
Experimento 1 22 7,9%
Experimento 2 54 19,5%
Experimento 3 124 44,8%
Tabela 1 – Pesquisa qualitativa versus pesquisa quantitativa
4. Discussão dos resultados
Deve conter comentários referentes à
concordância (ou não) entre as medidas e as
previsões teóricas, discutir as causas de
possíveis discordâncias. São comparados com o
que era esperado (com base na teoria descrita
na introdução) e com resultados de outros
experimentos já publicados na área. Se os
resultados diferem do que era esperado, na
discussão deve-se procurar explicar o motivo.
Conclusões
Síntese pessoal (do grupo) sobre as
conclusõesalcançadas como trabalho.Enumere
os resultados mais significativos do trabalho.
Expressar as dificuldades encontradas em cada
etapa da condução do experimento.
Referências
1- NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física
básica – vol.1 / 4ª edição - São Paulo: Editora
Blucher, 2002.
2- HALLIDAY, David; RESNICK, Robert;
WALKER, Jearl. Fundamentos da Física – vol.1 :
mecânica. 10ª edição – Rio de Janeiro : LTC, 2016.
3- SERWAY, Raymond; JEWETT, Jonh; tradução
técnica André Koch Torres Assis. – São Paulo :
Thomson Learning, 2007.
4- História da Física. Disponivel em:
http://www.fisica.net/historia/historia_da_fisica_r
esumo.php. Acesso em: 14.07.2017.
0,00
100.000,00
200.000,00
300.000,00
400.000,00
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20
Qualificação da equipe
Custosoperacionais

9. 9. ANEXOS
Todos os documentos não elaborados pelo
autor, mas que servem de fundamentação,
comprovação e ilustração, podem ser anexados. O
anexo quando utilizado, deve estar citado no texto
do relatório, entre parêntesis.
10. APÊNDICES
Todos os documentos elaborados pelo
autor e que servem para complementar as
informações fornecidas no corpo do trabalho
podem ser colocados em apêndices (fotos, tabelas,
quadros para coleta de dados, rotinas utilizadas
para análise dos dados).
OBSERVAÇÕES
1- A análise criteriosa e honesta dos resultados é
parte fundamental do trabalho experimental.
Se as medidas ficaram ruins ou deixaram
dúvida, repita-as.
2- Todo gráfico, figura, diagrama ou tabela
precisa terlegenda, deve sernumerado, e deve
ser mencionado no texto. Não se coloca uma
figura no relatório sem que ela seja
mencionada no texto.
3- O relatório deve permitir que outra pessoa do
mesmo nível (no nosso caso outro aluno dessa
disciplina) reproduza o experimento sem
precisar consultar ninguém. Por isto, ele deve
ser completo, mas ao mesmo tempo é objetivo
e suscinto.
4- Lembre-se: a teoria tem de se adequar aos
dados experimentais (dentro das incertezas
destes), e não o contrário.
5- A descrição e propagação de incertezas deve
ser abordada e apresentada de forma suscinta.
Para revisão, é sugerida a página da disciplina
da ufpe:
(“https://sites.google.com/site/fisicaexperimentall
1ufpe/apostilas-e-roteiros”).
O intuito de calcular as velocidades de
descida da esféra a cada variação angular,busca-se
assim analizar até que momento a esféra rola sem
deslizar sobre a rampa (Tabela x).
Descrição com desenhos ou “diagramas
de bloco” que ilustram os instrumentos e as
grandezas medidas. Todos os procedimentos
devem ser descritos com detalhes e conter a
descrição completa da metodologia utilizada:
quais os materiais utilizados, descrição da
amostra, dos procedimentos realizados durante
a coleta dos dados, análises laboratoriais,
análise estatística dos dados. O texto deve
permitir a reprodução do experimento por
outros alunos. Utilizar o tempo verbal de
maneira apropriada e impessoal (coletou-se,
determinou-se,transferiu-se,..., no singular, ou
coletaram-se, determinaram-se, transferiram-
se, ..., no plural).
3. Resultados experimentais
Figuras e tabelas não devem possuir títulos
(cabeçalhos), mas sim legendas. Para melhor
visualização dos objetos, deve ser previsto um
espaço simples entre texto-objeto e entre
legenda-texto. As legendas devem ser
posicionadas abaixo das Figuras e Tabelas.
Esses objetos, bem como suas respectivas
legendas, devem ser centralizados na página
(ver, por exemplo, a Figura 1).
Figura 1 – Exemplo de figura
Item Quantidade Percentual
Experimento 1 22 7,9%
Experimento 2 54 19,5%
Experimento 3 124 44,8%
Tabela 1 – Pesquisa qualitativa versus pesquisa quantitativa
4. Discussão dos resultados
Deve conter comentários referentes à
concordância (ou não) entre as medidas e as
previsões teóricas, discutir as causas de
possíveis discordâncias. São comparados com o
que era esperado (com base na teoria descrita
na introdução) e com resultados de outros
experimentos já publicados na área. Se os
resultados diferem do que era esperado, na
discussão deve-se procurar explicar o motivo.
Conclusões
0,00
100.000,00
200.000,00
300.000,00
400.000,00
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20
Qualificação da equipe
Custosoperacionais

10. Síntese pessoal (do grupo) sobre as
conclusõesalcançadas como trabalho.Enumere
os resultados mais significativos do trabalho.
Expressar as dificuldades encontradas em cada
etapa da condução do experimento.
Referências
5- NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física
básica – vol.1 / 4ª edição - São Paulo: Editora
Blucher, 2002.
6- HALLIDAY, David; RESNICK, Robert;
WALKER, Jearl. Fundamentos da Física – vol.1 :
mecânica. 10ª edição – Rio de Janeiro : LTC, 2016.
7- SERWAY, Raymond; JEWETT, Jonh; tradução
técnica André Koch Torres Assis. – São Paulo :
Thomson Learning, 2007.
8- História da Física. Disponivel em:
http://www.fisica.net/historia/historia_da_fisica_r
esumo.php. Acesso em: 14.07.2017.
9. ANEXOS
Todos os documentos não elaborados pelo
autor, mas que servem de fundamentação,
comprovação e ilustração, podem ser anexados. O
anexo quando utilizado, deve estar citado no texto
do relatório, entre parêntesis.
10. APÊNDICES
Todos os documentos elaborados pelo
autor e que servem para complementar as
informações fornecidas no corpo do trabalho
podem ser colocados em apêndices (fotos, tabelas,
quadros para coleta de dados, rotinas utilizadas
para análise dos dados).
OBSERVAÇÕES
6- A análise criteriosa e honesta dos resultados é
parte fundamental do trabalho experimental.
Se as medidas ficaram ruins ou deixaram
dúvida, repita-as.
7- Todo gráfico, figura, diagrama ou tabela
precisa terlegenda, deve sernumerado, e deve
ser mencionado no texto. Não se coloca uma
figura no relatório sem que ela seja
mencionada no texto.
8- O relatório deve permitir que outra pessoa do
mesmo nível (no nosso caso outro aluno dessa
disciplina) reproduza o experimento sem
precisar consultar ninguém. Por isto, ele deve
ser completo, mas ao mesmo tempo é objetivo
e suscinto.
9- Lembre-se: a teoria tem de se adequar aos
dados experimentais (dentro das incertezas
destes), e não o contrário.
10- A descrição e propagação de incertezas deve
ser abordada e apresentada de forma suscinta.
Para revisão, é sugerida a página da disciplina
da ufpe:
(“https://sites.google.com/site/fisicaexperimentall
1ufpe/apostilas-e-roteiros”).