ESTATÍSTICA- Probabilidade

1. ESTATÍSTICA
Probabilidade
AULA 04

2. PROBABILIDADE
Introdução
Há dois tipos de fenômenos que são objeto de estudo científico: os fenômenos
determinísticos e os fenômenos aleatórios.
Em um fenômeno determinístico, os resultados dos experimentos correspondentes
podem ser determinados de
antemão.
Conhecemos as leis que os governam a ponto de afirmarmos que tais experimentos,
repetidos nas mesmas
condições, irão produzir resultados idênticos.
Como exemplo, podemos descrever o movimento de um corpo em queda livre,
determinando o tempo gasto para atingir o solo.

3. Já em um fenômeno aleatório,
os experimentos correspondentes,
repetidos nas mesmas condições,
não necessariamente produzem os
mesmos resultados. Apesar de não
sabermos com exatidão qual
resultado será obtido, geralmente
somos capazes de descrever o
conjunto de todos os resultados
possíveis para esses experimentos.
A seguir, dizemos que um desses
possíveis resultados possui uma
determinada “chance” de ocorrer. Essa
“chance” é denominada probabilidade
de ocorrência de um evento. Como
exemplo, temos o experimento “lançar
uma moeda e observar a face superior”.
A probabilidade de obtermos “cara” na
face superior é igual a , ou seja, 50%.
PROBABILIDADE

4. Experimento aleatório é todo experimento que, mesmo repetido várias vezes, sob
condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis entre os resultados possíveis.
Espaço amostral (S) de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados
possíveis desse experimento.
Evento é todo subconjunto de um espaço amostral S de um experimento aleatório.
Recordando probabilidade: experimento aleatório, espaço amostral, evento e probabilidade
0 ≤ P(A) ≤ 1 ou 0% ≤ P(A) ≤ 100%
PROBABILIDADE

5. EXPERIMENTO ALEATÓRIO
É todo experimento que depende exclusivamente do acaso. Chamamos de acaso
aos múltiplos fatores que atuam no fenômeno e cuja consideração nos cálculos é
inviável dada a impossibilidade de controlarmos as suas causas.
Exemplos:
1°) Lançar um dado e observar o número obtido na face superior.
2°) Sortear uma das bolas numeradas de uma urna.
3°) Retirar duas cartas de um baralho e observar os seus naipes.

6. ESPAÇO AMOSTRAL (S)
É o conjunto de todos os resultados possíveis
de um experimento aleatório, que será
indicado por E. Denotamos por n(E) o número
de elementos do espaço amostral.
Experimento: lançar uma moeda e observar a
face superior.
Experimento: lançar simultaneamente duas
moedas e observar as faces superiores
obtidas. Indicamos cara por C e coroa por K.
Assim, temos:
E = {(C,C), (C,K), (K,C),(K,K)} e n(E) = 4.
Podemos utilizar o Princípio Fundamental da
Contagem na obtenção de n(E), como segue:

7. EVENTO/EVENTO COMPLEMENTAR
Evento é qualquer subconjunto do espaço
amostral
Evento A: No lançamento de um dado, obter um número ímpar.
Evento B: No lançamento simultâneo de dois dados distinguíveis, obter soma das faces igual a
7.

8. EVENTO COMPLEMENTAR
Sejam E um espaço amostral finito e não vazio e A um evento de E. Chama-se de evento
complementar do evento A aquele formado pelos resultados que não fazem parte do
evento A (indicamos por A).
Como exemplo, sendo A = {1; 3; 5}
o evento “sair um número ímpar no
lançamento de um dado”, temos:
Esquematicamente
𝑛 ( 𝐴)+𝑛 ( 𝐴)=𝑛( 𝐸)

9. Consideremos um experimento aleatório com espaço amostral
equiprovável E, com n(E) elementos. Seja A um determinado evento de E
com n(A) elementos. A probabilidade de ocorrência do evento A é dada
por:
PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE UM
EVENTO

10. No lançamento simultâneo de dois dados distinguíveis, qual é a
probabilidade de obtermos uma soma das faces
igual a 10?
Temos n(E) = 6 x 6 = 36.
Seja A o evento de E “obter uma soma igual a 10”.
A = {(4, 6), (6, 4), (5, 5)} e n(A) = 3
EXEMPLO
P(A) =
P(U) = 1
P() = 0
0 P (A) 1
≤ ≤
P(A) + P(A) = 1
Propriedades:

11. Sendo A e B dois eventos de um espaço amostral E, conforme o esquema a
seguir:
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES

12. Sabemos que o número de elementos da união de dois conjuntos A e B é dado por:
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES

13. Dividindo os dois membros por
n(E), temos:
Ou seja:
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES

14. PROBABILIDADES CONDICIONAL
Considere a seguinte situação:
Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Uma pessoa sorteia uma bola e, ao
invés de divulgar de imediato o resultado, ela declara: “O número sorteado é múltiplo de
6”. Com base nesses dados, pergunta-se: Qual é a probabilidade de o número sorteado ser
um número maior do que 30?
Assim, temos:
1. Números múltiplos de 6 entre 1 e 50 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48}.
2. Observe que, no conjunto anterior, os números 36, 42 e 48 são maiores do que 30.
Portanto, a probabilidade pedida é igual a 3/8

15. O problema anterior poderia também ser resolvido de outra forma.
Consideremos os seguintes evento:
A: Sortear um número múltiplo de 6. A = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48}
n(A) = 8
O problema anterior poderia também ser resolvido de outra forma.
Consideremos os seguintes evento:
B: Sortear um número maior do que 30.
B = {31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50}
n(B) = 20
PROBABILIDADES CONDICIONAL

16. Como devemos considerar a ocorrência do evento B, uma vez que o
evento A já ocorreu, estamos interessados nos elementos de B que
pertencem também a A, ou seja, A B.
Observe que o conjunto A é o espaço amostral reduzido a ser considerado
e que a probabilidade pedida é equivalente a:
PROBABILIDADES CONDICIONAL

17. Generalizando esse conceito, consideremos os eventos A e B de
um espaço amostral E, conforme o diagrama a seguir:
PROBABILIDADES CONDICIONAL

18. Denotamos por P(B/A) a probabilidade condicional de B em relação a A, ou
seja, a probabilidade de ocorrer B dado que A já ocorreu.
Assim, temos:
Dividindo o numerador e o denominador da fração por n(E),
temos:
PROBABILIDADES CONDICIONAL

19. Função ou distribuição de probabilidade para uma dada experiência aleatória é a
função que a cada evento possível faz corresponder a probabilidade de o evento ocorrer.
Probabilidade frequencista e lei dos grandes números
Quando se toma a frequência relativa como a probabilidade de um evento, dizemos que
estamos considerando a probabilidade frequencista ou o conceito frequencista de
probabilidade.
A lei dos grandes números se baseia no fato de que quando o número de experiências
aumenta muito, a frequência relativa de um evento tende a estabilizar-se em determinado
valor, que é adotado como probabilidade desse evento.
Função ou distribuição de probabilidade

20. A tabela seguinte apresenta os dados colhidos em uma pesquisa com 400
estudantes sobre o número de irmãos de cada um deles.
Probabilidade e estatística

21. A tabela seguinte apresenta o resultado sobre o peso de 370 bebês entre 0 e 12 meses num
hospital e o seu respectivo gráfico com a ~curva obtida por meio da união dos pontos médios
de cada retângulo.
Curva normal
A curva de distribuição que obtivemos tem as seguintes característica
• Tem a forma de um sino.
• É simétrica.
• O ponto máximo é aproximadamente a média aritmética.
• A maioria dos indivíduos estudados está na zona central.
Em estatística, curvas desse tipo são chamadas de curvas de
distribuição normal, curvas normais ou curvas de Gauss.

22. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
RIBEIRO, Paulo Vinícius [et. al.]. Matemática: coleção estudos. São Paulo: Editora Bernoulli,
2014.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume 1 - Matemática do Ensino
Médio. São Paulo: Ática, 2012.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume 2 - Matemática do Ensino
Médio. São Paulo: Ática, 2012.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume 3 - Matemática do Ensino
Médio. São Paulo: Ática, 2012.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume ÚNICO - Matemática do
Ensino Médio. São Paulo: Ática, 2009.