O documento descreve a fórmula de De Moivre, um matemático francês que relacionou números complexos e trigonometria. A segunda fórmula de De Moivre permite calcular raízes de números complexos em sua forma polar. O texto exemplifica o cálculo das raízes quartas de um número complexo z usando a fórmula de De Moivre e representando os resultados no plano complexo.

1. RADICIAÇÃO.
2ª Formula de De Moivre.

2. Quem era De Moivre?
Abraham de Moivre foi
um matemático francês famoso pela Fórmula
de De Moivre, que relaciona os números
complexos com a trigonometria, e por seus
trabalhos na distribuição normal e na teoria
das probabilidades.
De Moivre foi o primeiro a usar
princípios atuariais e bases científicas para o
cálculo de seguros de vida, no ano de 1725.
Era huguenote e migrou para

3. Abraham De Moivre.

4. 2ª Formula de De Moivre.
A segunda fórmula de De Moivre é muito
importante na álgebra, pois com ela é
possível efetuarmos a radiciação de
números complexos em sua forma polar
ou trigonométrica.
Dado um número complexo ,
vamos determinar as raízes quartas deste
número e representá-las no Plano Argand
– Gauss.

5. Portanto:
Encontramos aqui um seno e cosseno
negativos. Se analisarmos o círculo
trigonométrico abaixo, podemos observar que

6. [Figura 1: círculo trigonométrico].

7. Um ângulo θ1 localizado no 1º quadrante que
possui:
É o ângulo de 60°. Mas vejam que o
ângulo θ que procuramos possui seno e
cosseno negativos. Esta condição só ocorre
no 3º quadrante e será dado por:

8. Podemos, agora, escrevê-lo em radianos. Temos
que:
Então:
Logo:

9. Aplicando a 2º Fórmula de De Moivre,
Podemos calcular a raiz quarta
de z:

10. Atribuímos valores para k :
K= 0.
Sabemos que π / 3 equivale a 60°,
portanto:

11. K= 1.
Temos que:
O ângulo de 150° está localizado no 2º
quadrante, como podemos observar no

12. [Figura 2: círculo trigonométrico].

13. Vejam que o sen(150°) = sen(30°) e o
cos(150°) = – cos(30°). Portanto, seu valor
correspondente no primeiro quadrante é o
ângulo de 30°.
Com isso, podemos exprimir:

14. K= 2.
Temos que:

15. O ângulo de 240° está localizado no 3º
quadrante, como podemos observar no círculo
trigonométrico abaixo:
[Figura 3: círculo trigonométrico].

16. Vejam que sen(240°) = – sen(60°) e o
cos(240°) = – cos(60°). Portanto, seu valor
correspondente no primeiro quadrante é o
ângulo de 60°.
Podemos exprimir:

17. K= 3.
Temos que:

18. O ângulo de 330° está localizado no 4º
quadrante, como podemos observar no
círculo trigonométrico abaixo:
[Figura 4: círculo trigonométrico].

19. Vejam que sen(330°) = – sen(30°) e o
cos(330°) = cos(30°). Portanto, seu valor
correspondente no primeiro quadrante é o
ângulo de 30°.
Podemos exprimir:

20. Os afixos z0, z1, z2 e z3 pertencem à
circunferência de raio centrada na origem.
Eles dividem o Plano de Argand – Gauss em
4 partes congruentes e são os vértices de um
quadrado inscrito à circunferência:
[Figura 5: quadrado inscrito à circunferência].

21. De um modo geral os afixos zn de um
complexo z ≠ 0 são vértices de um
polígono regular de n lados, inscrito à
circunferência de raio e centrada na
origem do Plano Complexo.

22. Centro Cultural Manilha
II
Data: 18/09/2013.
Professor: Victor
Berbert,
Turma: 2001.
Alunos (as):
 Luiza Meneses.
 Evelyn Sant’Anna.
 Carolline Costa.
 Mariana.
 Lorena Nascimento.
 Brenda.
 Ana Carolina.
 Jaynny.
 Juliana.
 Clícia.
 Thainá.
 Sabrina.