O documento discute o raciocínio lógico e sua importância para profissionais de TI. A lógica é definida como a ciência que estuda as leis do pensamento e da argumentação. Vários fatores como conhecimento, experiência e criatividade são necessários para o uso efetivo do raciocínio lógico. O documento também fornece exemplos de estruturas lógicas como proposições, valores lógicos, sentenças abertas e conectivos lógicos.

1. RACIOCÍNIO LÓGICO
Muitas pessoas gostam de falar ou julgar que possuem e sabem usar o raciocínio lógico, porém,
quando questionadas direta ou indiretamente, perdem, esta linha de raciocínio, pois este depende de
inúmeros fatores para completá-lo, tais como:
§calma,
§conhecimento,
§vivência,
§versatilidade,
§experiência,
§criatividade,
§ponderação,
§responsabilidade, entre outros.
Ao nosso ver, para se usar a lógica é necessário ter domínio sobre o pensamento, bem como, saber
pensar, ou seja, possuir a "Arte de Pensar". Alguns dizem que é a seqüência coerente, regular e
necessária de acontecimentos, de coisas ou fatos, ou até mesmo, que é a maneira de raciocínio
particular que cabe a um indivíduo ou a um grupo. Existem outras definições que expressam o verdadeiro
raciocínio lógico aos profissionais de processamento de dados, tais como: um esquema sistemático que
define as interações de sinais no equipamento automático do processamento de dados, ou o computador
científico com o critério e princípios formais de raciocínio e pensamento.
Para concluir todas estas definições, podemos dizer que lógica é a ciência que estuda as leis e critérios
de validade que regem o pensamento e a demonstração, ou seja, ciência dos princípios formais do
raciocínio.
Usar a lógica é um fator a ser considerado por todos, principalmente pelos profissionais de informática
(programadores, analistas de sistemas e suporte), têm como responsabilidade dentro das organizações,
solucionar problemas e atingir os objetivos apresentados por seus usuários com eficiência e eficácia,
utilizando recursos computacionais e/ou automatizados. Saber lidar com problemas de ordem
administrativa, de controle, de planejamento e de raciocínio. Porém, devemos lembrá-los que não
ensinamos ninguém a pensar, pois todas as pessoas, normais possuem este "Dom", onde o nosso
interesse é mostrar como desenvolver e aperfeiçoar melhor esta técnica, lembrando que para isto, você
deverá ser persistente e praticá-la constantemente, chegando à exaustão sempre que julgar necessário.
Ao procurarmos a solução de um problema quando dispomos de dados como um ponto de partida e
temos um objetivo a estimularmos, mas não sabemos como chegar a esse objetivo temos um problema.
Se soubéssemos não haveria problema.
É necessário, portanto, que comece por explorar as possibilidades, por experimentar hipóteses, voltar
atrás num caminho e tentar outro. É preciso buscar idéias que se conformem à natureza do problema,
rejeitar aqueles que não se ajustam a estrutura total da questão e organizar-se.
Mesmo assim, é impossível ter certeza de que escolheu o melhor caminho. O pensamento tende a ir e vir
quando se trata de resolver problemas difíceis.
Mas se depois de examinarmos os dados chegamos a uma conclusão que aceitamos como certa
concluímos que estivemos raciocinando.
Se a conclusão decorre dos dados, o raciocínio é dito lógico.
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2. Importante!
A prova deverá auferir do candidato, se o mesmo entende a estrutura lógica de relações arbitrárias entre
pessoas, lugares, coisas, ou eventos fictícios.
Entende-se por estruturas lógicas as que são formadas pela presença de proposições ou sentenças
lógicas (são aquelas frases que apresentam sentido completo, como por exemplo: Madalena é culpada).
Observe que a estrutura lógica vai ligar relações arbitrárias e, neste caso, nada deverá ser levado para a
prova a não ser os conhecimentos de Lógica propriamente dita, os concursandos muitas vezes caem em
erros como:
Se Luiza foi à praia então Rui foi pescar, ora eu sou muito amigo de uma Luiza e de um Rui e ambos
detestam ir à praia ou mesmo pescar, auto induzindo respostas absurdas.
Dessa forma, as relações são arbitrárias, ou seja, não importa se você conhece Luiza, Madalena ou Rui.
Não importa o seu conhecimento sobre as proposições que formam a frase, na realidade pouco
importam se as proposições são verdadeiras ou falsas. Quero dizer que o seu conhecimento sobre a
frase deverá ser arbitrário, vamos ver através de outro exemplo:
Todo cavalo é um animal azul
Todo animal azul é árvore
Logo Todo cavalo é árvore
Observe que podemos dizer que tem-se acima um argumento lógico, formado por três proposições
categóricas (estas têm a presença das palavras Todo, Algum e Nenhum), as duas primeiras serão
denominadas premissas e a terceira é a conclusão.
Observe que as três proposições são totalmente falsas, mas é possível comprovar que a conclusão é
uma conseqüência lógica das premissas, ou seja, que se considerar as premissas como verdadeiras, a
conclusão será, por conseqüência, verdadeira, e este argumento será considerado válido logicamente.
A arbitrariedade é tanta que na hora da prova pode ser interessante substituir as proposições por letras,
veja:
Todo A é B
Todo B é C
Logo Todo A é C
A arbitrariedade ainda se relaciona a pessoas, lugares, coisas, ou eventos fictícios.
Cobra-se nesse tipo de prova o ato de deduzir novas informações das relações fornecidas, ou seja, o
aspecto da Dedução Lógica poderá ser cobrado de forma a resolver as questões.
Sucesso e bons estudos.
Apostilas Cds Objetiva
Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou
eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e
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3. avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas
relações.
INTRODUÇÃO AO RACIOCÍNIO LÓGICO
Lógica é a ciência que trata dos princípios válidos do raciocínio e da argumentação. Seu estudo trata das
formas do pensamento em geral e das operações intelectuais que visam à determinação do que é
verdadeiro ou não, ou seja, um encadeamento coerente de alguma coisa que obedece a certas
convenções ou regras. Assim, o estudo da lógica é um esforço no sentido de determinar as condições
que permitem tirar de determinadas proposições (ponto ou idéia de que se parte para estruturar um
raciocínio), também chamadas de premissas, uma conclusão delas derivada.
Conceitos Básicos sobre as Estruturas Lógicas
PROPOSIÇÕES
Chamaremos de proposição ou sentença, a todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um
pensamento de sentido completo.
Sendo assim, vejamos os exemplos:
a) O Instituto do Coração fica em São Paulo.
b) O Brasil é um País da América do Sul.
c) A Polícia Federal pertence ao poder judiciário.
Evidente que você já percebeu que as proposições podem assumir os valores falsos ou verdadeiros,
pois elas expressam a descrição de uma realidade, e também observamos que uma proposição
representa uma informação enunciada por uma oração, e, portanto, pode ser expressa por distintas
orações, tais como:
“Pedro é maior que Carlos”, ou podemos expressar também por “Carlos é menor que Pedro”.
Temos vários tipos de sentenças:
· Declarativas
· Interrogativas
· Exclamativas
· Imperativas
Leis do Pensamento
Vejamos algumas leis do pensamento para que possamos desenvolver corretamente o nosso pensar.
· Princípio da Identidade. Se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira.
· Princípio de Não-Contradição. Uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
· Princípio do Terceiro Excluído. Uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa , não havendo
outra alternativa.
· Sentenças Abertas. Quando substituímos numa proposição alguns componentes por variáveis,
teremos uma sentença aberta.
VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES
Valor lógico é a classificação da proposição em verdadeiro (V) ou falso (F), pelos princípios da
não-contradição e do terceiro excluído. Sendo assim, a classificação é única, ou seja, a proposição só
pode ser verdadeira ou falsa.
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4. Exemplos de valores lógicos:
r: O número 2 é primo. (Verdadeiro)
s: Marte é o planeta vermelho. (Verdadeiro)
t: No Brasil, fala-se espanhol. (Falso)
u: Toda ave voa. (Falso)
v: O número 3 é par. (Falso)
x: O número 7 é primo. (Verdadeiro)
z: O número 7 é ímpar. (Verdadeiro)
Somente às sentenças declarativas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre
quando a sentença é, respectivamente, confirmada ou negada. De fato, não se pode atribuir um valor de
verdadeiro ou falso às demais formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas e outras,
embora elas também expressem juízos.
São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas:
O número 6 é par.
O número 15 não é primo.
Todos os homens são mortais.
Nenhum porco espinho sabe ler.
Alguns canários não sabem cantar.
Se você estudar bastante, então aprenderá tudo.
Eu falo inglês e francês.
Marlene quer um sapatinho novo ou uma boneca.
Não são proposições:
Qual é o seu nome?
Preste atenção ao sinal.
Caramba!
Proposição Simples
Uma proposição é dita proposição simples ou proposição atômica quando não contém qualquer outra
proposição como sua componente. Isso significa que não é possível encontrar como parte de uma
proposição simples alguma outra proposição diferente dela. Não se pode subdividi-la em partes menores
tais que alguma delas seja uma nova proposição.
Exemplo:
A sentença “Carla é irmã de Marcelo” é uma proposição simples, pois não é possível identificar como
parte dela qualquer outra proposição diferente. Se tentarmos separá-la em duas ou mais partes menores
nenhuma delas será uma proposição nova.
Proposição Composta
Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é dita proposição composta
ou proposição molecular. Isso quer dizer que uma proposição é composta quando se pode extrair como
parte dela, uma nova proposição.
SENTENÇAS ABERTAS
Sentenças matemáticas abertas ou simplesmente sentenças abertas são expressões que não podemos
identificar como verdadeiras ou falsas.
Por exemplo: x + 2 = 9
Essa expressão pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor da letra x.
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5. Se x for igual a 7, a sentença é verdadeira, pois 7+2=9
Se x for igual a 3, a sentença é falsa, pois 3 + 2 não é igual a 9 (3 + 2 ≠ 9)
Em sentenças abertas sempre temos algum valor desconhecido, que é representado por uma letra do
alfabeto. Pode-se colocar qualquer letra, mas as mais usadas pelos matemáticos são: x, y e z.
Veja outros exemplos de sentenças abertas:
x + 3 ≠ 6
2y -1 < - 7
Pode-se, também, ter uma sentença aberta como proposição, porém nesse caso não é possível atribuir
um valor lógico.
x é um y brasileiro.
Nessa proposição b, o valor lógico só pode ser encontrado se soubermos quem é x e y (variáveis livres).
No caso de x igual a Roberto Carlos e y igual a cantor, a proposição será verdadeira.
Já no caso de x igual a Frank Sinatra e y igual a cantor, a proposição será falsa.
Portanto, é muito comum na resolução de problemas matemáticos, trocar-se alguns nomes por variáveis.
Estude os valores lógicos da sentença aberta: "Se 10x - 3 = 27 então x2 + 10x = 39"
Resolução:
Equação do primeiro grau: As equações do primeiro grau possuem uma única solução:
10x - 3 = 27
10x = 27 + 3
10x = 30
x = 30
10
x = 3
CONECTIVOS LÓGICOS
Chama-se conectivo a algumas palavras ou frases que em lógica são usadas para formarem proposições
compostas.
Veja alguns conectivos:
· A negação não cujo símbolo é ~.
· A disjunção ou cujo símbolo é v.
· A conjunção e cujo símbolo é ^
· O condicional se,....., então, cujo símbolo é -- >.
· O bicondicional se, e somente se, cujo símbolo é < - >.
Exemplo:
A sentença “Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y” é uma proposição
composta na qual se pode observar alguns conectivos lógicos (“não”, “se ... então” e “ou”) que estão
agindo sobre as proposições simples “x é maior que y”, “x é igual a y” e “x é menor que y”.
Uma propriedade fundamental das proposições compostas que usam conectivos lógicos é que o seu
valor lógico (verdadeiro ou falso) fica completamente determinado pelo valor lógico de cada proposição
componente e pela forma como estas sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados.
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6. As proposições compostas podem receber denominações especiais, conforme o conectivo lógico usado
para ligar as proposições componentes.
Conjunção: A e B
Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam
ligadas pelo conectivo “e”.
A conjunção A e B pode ser representada simbolicamente como: A ^ B
Exemplo:
Dadas as proposições simples:
A: Alberto fala espanhol.
B: Alberto é universitário.
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a conjunção ”A
^ B” corresponderá à interseção do conjunto A com o conjunto B. A ∩ B.
Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem forem verdadeiras,
Ou seja, a conjunção
”A ^B” é verdadeira somente quando A é verdadeira e B é verdadeira também. Por isso dizemos que a
conjunção exige a simultaneidade de condições.
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da conjunção “A e B” para
cada um dos valores que A e B podem assumir.
Disjunção: A ou B
Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam
ligadas pelo conectivo “ou”.
A disjunção A ou B pode ser representada simbolicamente como: A v B
Exemplo:
Dadas as proposições simples:
A: Alberto fala espanhol.
B: Alberto é universitário.
A disjunção “A ou B” pode ser escrita como:
A v B: Alberto fala espanhol ou é universitário.
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a disjunção “A v
B” corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B.
Uma disjunção é falsa somente quando as duas proposições que a compõem forem falsas. Ou seja, a
disjunção “A ou B” é falsa somente quando A é falsa e B é falsa também. Mas se A for verdadeira ou se
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7. B for verdadeira ou mesmo se ambas, A e B, forem verdadeiras, então a disjunção será verdadeira. Por
isso dizemos que, ao contrário da conjunção, a disjunção não necessita da simultaneidade de condições
para ser verdadeira, bastando que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira.
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da disjunção “A ou B” para
cada um dos valores que A e B podem assumir.
Condicional: Se A então B
Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam
ligadas pelo conectivo “Se ... então” ou por uma de suas formas equivalentes.
A proposição condicional “Se A, então B” pode ser representada simbolicamente como:
Exemplo:
Dadas as proposições simples:
A: José é alagoano.
B: José é brasileiro.
A condicional “Se A, então B” pode ser escrita como:
A → B: Se José é alagoano, então José é brasileiro.
Na proposição condicional “Se A, então B” a proposição A, que é anunciada pelo uso da conjunção “se”,
é denominada condição ou antecedente enquanto a proposição B, apontada pelo advérbio “então” é
denominada conclusão ou conseqüente.
As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de “Se A, então B”:
Se A, B.
B, se A.
Todo A é B.
A implica B.
A somente se B.
A é suficiente para B.
B é necessário para A.
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição
condicional "Se A então B" corresponderá à inclusão do conjunto A no conjunto B (A está contido em
B):
Uma condicional “Se A então B” é falsa somente quando a condição A é verdadeira e a conclusão B é
falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa proposição condicional, a
única situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira implicar uma conclusão falsa.
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição condicional “Se
A então B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.
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8. Bicondicional: A se e somente se B
Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que
estejam ligadas pelo conectivo “se e somente se”.
A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser representada simbolicamente
como:
Exemplo:
Dadas as proposições simples:
A: Adalberto é meu tio.
B: Adalberto é irmão de um de meus pais.
A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser escrita como:
A ↔B: Adalberto é meu tio se e somente se Adalberto é irmão de um de meus pais.
Como o próprio nome e símbolo sugerem, uma proposição bicondicional “A se e somente se B” equivale
à proposição composta “se A então B”.
Podem-se empregar também como equivalentes de “A se e somente se B” as seguintes expressões:
A se e só se B.
Todo A é B e todo B é A.
Todo A é B e reciprocamente.
Se A então B e reciprocamente.
A somente se B e B somente se A.
A é necessário e suficiente para B.
A é suficiente para B e B é suficiente para A.
B é necessário para A e A é necessário para B.
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição
bicondicional “A se e somente se B” corresponderá à igualdade dos conjuntos A e B.
A proposição bicondicional “A se e somente se B” é verdadeira somente quando A e B têm o mesmo
valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando A e B têm valores
lógicos contrários.
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da proposição bicondicional
“A se e somente se B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.
Negação: Não A
Dada uma proposição qualquer A denominamos negação de A à proposição composta que se obtém a
partir da proposição A acrescida do conectivo lógico “não” ou de outro equivalente.
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9. A negação “não A” pode ser representada simbolicamente como: ~A
Podem-se empregar, também, como equivalentes de “não A” as seguintes expressões:
Não é verdade que A.
É falso que A.
Se a proposição A for representada como conjunto através de um diagrama, a negação “não A”
corresponderá ao conjunto complementar de A.
Uma proposição A e sua negação “não A” terão sempre valores lógicos opostos.
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da negação “não A” para
cada um dos valores que A pode assumir.
A TABELA-VERDADE
Da mesma forma que as proposições simples podem ser verdadeiras ou falsas, as proposições
compostas podem também ser verdadeiras ou falsas. O valor-verdade de uma expressão que representa
uma proposição composta depende dos valores-verdade das subexpressões que a compõem e também
a forma pela qual elas foram compostas.
As tabelas-verdade explicitam a relação entre os valores-verdade de uma expressão composta em
termos dos valores-verdade das subexpressões e variáveis que a compõem.
Na tabela abaixo, encontra-se todos os valores lógicos possíveis de uma proposição composta
correspondente das proposições simples abaixo:
p: Claudio é estudioso.
q: Ele passará no concurso.
TEOREMA DO NÚMERO DE LINHA DA TABELA-VERDADE
A tabela-verdade lista todas as possíveis combinações de valores-verdade V e F para as variáveis
envolvidas na expressão cujo valor lógico deseja-se deduzir. A tabela-verdade de uma proposição
composta com n proposições simples componentes contém linhas. Ou seja, cada proposição simples
tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n proposição simples (atômicas) distintas, há tantas
possibilidades quantos são os arranjos com repetição de (V e F) elementos n a n. Segue-se que o
número de linhas da tabela-verdade é . Assim para duas proposições são 4 linhas; para três proposições
são 8; etc.
Então, para se construir uma tabela-verdade procede-se da seguinte maneira:
1) Determina-se o número de linhas da tabela-verdade que se quer construir;
2} Observa-se a procedência entre os conectivos, isto é, determina-se a forma das proposições que
ocorrem no problema.
3) Aplicam-se as definições das proposições lógicas que o problema exigir.
OPERAÇÕES SOBRE AS PROPOSIÇÕES E SUA TABELA-VERDADE
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10. Uma série de operações é realizada quando so analisam as proposições e seus respectivos conectivos.
a) Negação ( ~)
A negação de uma proposição p, indicada por ~p (Iê--se: "não p) é, por definição, a proposição que é
verdadeira ou falsa conforme p é falsa ou verdadeira, de maneira que se p é verdade então ~p é falso,
e vice-versa. Os possíveis valores lógicos para a negação são dados pela tabela-verdade abaixo:
p: Antonio é estudioso.
~p: Antonio não é estudioso.
b) Conjunção ( ^ )
A conjunção de duas proposições p e q, indicada por p / q (lê-se: "p e q") é, por definição, a proposição
que é verdadeira só quando o forem as proposições componentes. A tabela-verdade para a conjunção de
duas proposições é dada a seguir:
c) Disjunção ( v )
A disjunção de duas proposições p e q, indicada por p v q (lê-se: "p ou q"), é, por definição, a proposição
que é verdadeira sempre que pelo menos uma das proposições componentes o for.
A tabela-verdade para a disjunção de duas proposições é dada a seguir:
p v q: Antonio é estudioso ou ele passará no concurso.
d) Disjunção exclusiva ( v )
A disjunção de duas proposições p e q, indicada por p v q (lê-se: "ou p ou q", mas não ambos), é, por
definição, a proposição que é verdadeira sempre que a outra for falsa.
A tabela verdade para a disjunção exclusiva de duas proposições é dada a seguir.
p v q ; ou Antonio é estudioso ou ele passará no concurso (mas não ambos).
e) Condicional ( → )
A proposição condicional, indicada por p → q (lê-se: "Se p então q") é, por definição, a proposição que é
falsa quando p é verdadeira e q falsa, mas ela é verdadeira nos demais casos. A tabela-verdade para a
proposição condicional é dada a seguir:
p → q: Se Antonio é estudioso, então ele passará no concurso.
f) Bicondicional (p ↔q )
A proposição bicondicional, indicada por p ↔q (lê-se: "p se e somente se q") é, por definição, a
proposição que é verdadeira somente quando p e q têm o mesmo valor lógico. A tabela-verdade para a
proposição bicondicional é dada a seguir:
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11. p ↔q: Antonio é estudioso se e somente se ele passar no concurso.
Ou seja, p é condição necessária e suficiente para q.
TAUTOLOGIA
A palavra Tautologia é formada por 2 radicais gregos: taut (o) – o que significa “o mesmo” e -logia que
significa “o que diz a mesma coisa já dita”. Para a lógica, a Tautologia é uma proposição analítica que
permanece sempre verdadeira, uma vez que o atributo é uma repetição do sujeito, ou seja, o uso de
palavras diferentes para expressar uma mesma idéia; redundância, pleonasmo.
Exemplo: O sal é salgado
Uma proposição composta formada pelas proposições A, B, C, ... é uma tautologia se ela for sempre
verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições A, B, C, ... que a compõem.
Exemplo:
A proposição “Se (A e B) então (A ou B)” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira,
independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:
CONTRADIÇÃO
A contradição é uma relação de incompatibilidade entre duas proposições que não podem ser
simultaneamente verdadeiras nem simultaneamente falsas, por apresentarem o mesmo sujeito e o
mesmo predicado, mas diferirem ao mesmo tempo em quantidade e qualidade.
Exemplo: Todos os homens são mortais e alguns homens não são mortais.
Há uma relação de incompatibilidade entre dois termos em que a afirmação de um implica a negação do
outro e reciprocamente.
Uma proposição composta P (p, q, r, ...) é uma contradição se P (p, q, r, ... ) tem valor lógico F quaisquer
que os valores lógicos das proposições componentes p, q, r, ..., , ou seja, uma contradição conterá
apenas F na última coluna da sua tabela-verdade.
Exemplo: A proposição "p e não p", isto é, p ^ (~p) é uma contradição. De fato, a tabela-verdade de p ^
(~p) é:
O exemplo acima mostra que uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão ser
simultaneamente verdadeiros ou simultaneamente falsos.
Como uma tautologia é sempre verdadeira e uma contradição sempre falsa, tem-se que:
a negação de uma tautologia é sempre uma contradição
enquanto
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12. a negação de uma contradição é sempre uma tautologia
CONTINGÊNCIA
Chama-se Contingência toda a proposição composta em cuja última coluna de sua tabela-verdade
figuram as letras V e F cada uma pelo menos vez. Em outros termos, contingência é toda proposição
composta que não é tautologia nem contradição.
As Contingências são também denominadas proposições indeterminadas.
A proposição "se p então ~p", isto é, p → ( ~p) é uma contingência. De fato, a tabela-verdade de p →
( ~p) é:
Resumidamente temos:
· Tautologia contendo apenas V na última coluna da sua tabela-verdade;
· Contradição contendo apenas F na última coluna da sua tabela-verdade;
· Contingência contendo apenas V e F na última coluna da sua tabela-verdade.
Proposições Logicamente Equivalentes
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes quando são
compostas pelas mesmas proposições simples e suas tabelas-verdade são idênticas. Uma conseqüência
prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja
equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la.
Da definição de equivalência lógica pode-se demonstrar as seguintes equivalências:
Leis associativas:
Leis distributivas:
Lei da dupla negação:
Equivalências da Condicional
Negação de Proposições Compostas
Um problema de grande importância para a lógica é o da identificação de proposições equivalentes à
negação de uma proposição dada. Negar uma proposição simples é uma tarefa que não oferece grandes
obstáculos. Entretanto, podem surgir algumas dificuldades quando procuramos identificar a negação de
uma proposição composta.
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13. Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da
proposição dada. Deste modo, sempre que uma proposição A for verdadeira, a sua negação não A deve
ser falsa e sempre que A for falsa, não A deve ser verdadeira.
Em outras palavras, a negação de uma proposição deve ser contraditória com a proposição dada.
A tabela abaixo mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas proposições
compostas:
Proposição Negação Direta Equivalente da Negação
Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio
verbal; raciocínio seqüencial; orientação espacial e temporal; formação de
conceitos; discriminação de elementos.
As funções intelectuais são constituídas por alguns raciocínios como: verbal, numérico, abstrato e
espacial. Essas relações contribuem para a compreensão e elaboração do processo lógico de uma
situação, através da formação de conceitos e discriminação de elementos.
Raciocínio Verbal
Definição: Trata-se da capacidade que possuímos para expressar as idéias utilizando símbolos verbais
para organizar o pensamento e estabelecer relações abstratas entre conceitos verbais.
As questões relativas ao raciocínio verbal são apresentadas sob a forma de analogias. Após a percepção
da relação entre um primeiro par de palavras, deve-se encontrar uma quarta palavra que mantenha
relação com uma terceira palavra apresentada.
Exemplos:
1) Quarto está para Casa, como Capítulo está para:
a) Dicionário b) Leitura c) Livro d) Jornal e) Revista
Resposta é a C: Livro.
2) Homem está para Menino, como Mulher está para :
a) Senhora
b) Menina
c) Jovem
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14. A resposta é Menina.
Os homens na infância são chamados de meninos e as mulheres de meninas.
3) Presidente está para o país assim como o Papa está para:
a) Igreja
b) Templo
c) Mundo
d) Missa
e) Europa
A resposta é Igreja.
O presidente é o representante do país assim como o Papa é o representante da Igreja.
4) Pelé está para o futebol assim como Michael Jordan está para:
a) Handball
b) Vôlei
c) Gol
d) Basquete
e) Automobilismo
A resposta é Basquete.
Pe!é foi o maior jogador de futebol de todos os tempos e assim como Michael Jordan foi o de basquete.
Raciocínio Numérico (Matemático e Sequencial)
Definição: É a capacidade de compreender problemas que utilizam operações que envolvam números,
bem como o domínio das operações aritméticas básicas.
As questões relativas a raciocínio numérico são apresentadas sob a, forma de sequência de números.
Deve-se, encontrar a lei de formação da sequência para dar continuidade a mesma.
Exemplos:
1) Escreva o próximo termo da seqüência:
1 2 3 4 5 6 ?
A resposta é 7. Essa é a seqüência dos números naturais.
2) Escreva o próximo termo da seqüência:
2 4 6 8 10 12 14 ?
A resposta é 16. Essa é a seqüência dos números pares.
3) Escreva o próximo termo da seqüência:
1 2 4 8 16 32 ?
A resposta é 64. A lei de formação da seqüência é dada pelo dobro do número anterior, perceba que o
segundo número é o dobro do primeiro e o terceiro o dobro do segundo e assim por diante, então o
próximo número será o dobro de 32, ou seja, 64.
4) Escreva o próximo termo da seqüência:
0 1 4 9 25 36 ?
A resposta é 49. A lei de formação dessa sequência é a multiplicação do número por ele mesmo,
perceba:
0 x 0 = 0
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
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15. 3 x 3 = 9
4 x 4 = 16
5 x 5 = 25
6 x 6 = 36
7 x 7 = 49
Pode-se dizer também que a lei de formação é elevar o número ao quadrado, alias elevar o número ao
quadrado é o mesmo que multiplica ele por ele mesmo.
Raciocínio Abstrato
Definição: É a capacidade de compreender e estabelecer relações entre objetos e similares, comparando
símbolos, idéias e conceitos.
As questões relativas a raciocínio abstrato exigem a análise de certa relação de figuras, objetos, etc.
Exemplos:
1) Qual das cinco representa a melhor comparação ?
está para assim como está para:
a) b) c) d) e)
A resposta é C.
Inicialmente temos um círculo dividido em duas partes, então o quadrado também deve ser dividido em
duas partes.
2) Qual das cinco se parece menos com as outras quatro?
a) b) c) d) e)
A resposta é D. Todas as figuras são compostas por segmentos retos, exceto o círculo.
Raciocínio Espacial
Definição: É a aptidão para visualizar relações de espaço, de dimensão, de posição e de direção, bem
como julgar visualmente formas geométricas.
Exemplos:
1) Os quadrados abaixo têm todos o mesmo tamanho.
I II III IV V
Em qual deles a região sombreada tem a maior área?
a) I b) II c) III d) IV e) V
A resposta é E.
Na opção I o quadrado está dividido em quatro triângulos iguais, de modo que a área da região
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16. sombreada é a metade da área do quadrado, Na opção II, a diagonal divide o quadrado em dois
triângulos iguais, e outra vez a área da região sombreada é metade da área do quadrado. Na opção III o
triângulo sombreado tem área menor do que o triângulo sombreado da Opção II, ou seja, menor que
metade da área do quadrado. Na opção IV, observamos na figura ao lado que a perpendicular MN ao
segmento AB divide o quadrado nos pares de triângulos iguais AMN, ADN e BMN, BCN; segue mais uma
vez que a área da região sombreada é metade da área do quadrado. Finalmente, a área do triângulo
sombreado na opção V é maior do que a área do triângulo sombreado da opção II, ou seja, é maior do
que metade da área do quadrado.
Comentário: observamos que na opção IV o ponto N não precisa ser o ponto médio do lado CD. De fato,
o argumento usado acima para analisar essa opção não depende da posição de N ao longo de CD.
.
2) Cinco discos de papelão foram colocados um a um sobre uma mesa, conforme mostra a figura.
Em que ordem os discos foram colocados na mesa?
a) V,R,S,U,T
b) U,R,V,S,T
c) R,S,U,V,T
d) T,U,R,V,S
e) V,R,U,S,T
A resposta é a A .
Na figura vê-se que V está abaixo de R, que está abaixo de S, que está abaixo de U, que está abaixo de
T. Logo a ordem em que os discos foram colocados sobre a mesa é V, R, S, U, T.
Formação de Conceitos
O conceito, é uma idéia (só existe no plano mental) que identifica uma classe de objetos singulares. Tal
identificação se dá através da criação do “objeto generalizado” da respectiva classe, o qual é definido
pelo conjunto dos atributos essenciais dessa classe e corresponde a cada um dos objetos singulares nela
incluídos, não se identificando, contudo, com qualquer um deles especificamente. O objeto generalizado
preserva, apenas, os atributos essenciais para a inclusão dos objetos singulares no conceito.
Em muitos casos, os conceitos são associados a palavras ou expressões especiais que os designam.
Exemplo
Palavras e expressões associadas a conceitos: “caderno”; “livro”; “escola”; “céu”; “amor”; “felicidade”;
“política”; “família”; “linha poligonal”; “equação”; “equação do terceiro grau” ...
Notemos que em alguns conceitos são mais evidentes as mediações de fatores alheios aos mesmos que
alteram seus significados originais, interferindo mesmo em sua essência. Assim, “amor” e “política”, por
exemplo, embora sejam valores sociais de grande relevância adquiriram sentidos bem diferentes dos
originais, sofrendo, de certa forma, uma “desvalorização” ao longo de um processo de deterioração
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17. marcado pela sua vulgarização ou pela sua prostituição.
Notemos, também, que as expressões que designam os conceitos referem-se ao respectivo objeto
generalizado. Quando alguém diz: “vou comprar um caderno”, não está se referindo a um objeto singular,
isto é, a um caderno específico, mas ao objeto generalizado. Na verdade, o objeto singular – o caderno
que efetivamente será comprado – ainda será escolhido. Da mesma forma, quando alguém diz “vou à
praia”, tanto pode ir à praia de Copacabana, como à de Ipanema ou da Barra da Tijuca, que são, esses
sim, objetos singulares.
Exemplo
Outras palavras e expressões que designam conceitos:
1) lápis
2) relógio
3) cadeira
4) avião
5) livro
6) função quadrática
7) figura geométrica
8) integral
Notemos que os três últimos não fazem parte do cotidiano da maioria das pessoas, sendo construídos
através do processo científico que ocorre, em geral, na escolaridade formal. Os demais estão
assimilados pela cultura geral e sua compreensão se dá a nível social e através do conhecimento
espontâneo.
O conceito apresenta em sua estrutura o “volume” e o “conteúdo”, estando associado a uma expressão
gestual, gráfica ou idiomática que o designa.
O volume do conceito é o conjunto de todos os objetos singulares nele incluídos e o conteúdo do
conceito é sua expressão no plano material e se apresenta numa linguagem idiomática, gráfica ou
gestual, articulando de modo conjugado todos os atributos essenciais do respectivo objeto generalizado.
O conteúdo do conceito se apresenta na forma de uma expressão que articula de modo conjugado todos
os atributos essenciais da respectiva classe; manifesta seu volume e seu conteúdo e identifica o
respectivo objeto generalizado.
Exemplo
a) O volume do conceito “caderno” é o conjunto de todos os cadernos
b) O volume do conceito “tigre” é o conjunto de todos os tigres
Exemplo
a) A expressão “substância cuja molécula é constituída por um átomo de oxigênio e dois átomos de
hidrogênio” corresponde ao conteúdo de um conceito comumente designado pela palavra “água”.
b) A expressão “número real inteiro não negativo” é o conteúdo de um conceito muito usado na aritmética
e conhecido por “número natural”.
c) A expressão: “Homem que “forneceu” o espermatozóide que fecundou o óvulo que deu origem ao
jovem José Pedro Guimarães” é o conteúdo do conceito “pai do jovem José Pedro Guimarães.
Exemplo
São exemplos de objetos singulares:
a) Caneta que meu pai utilizou para assinar o contrato de seu primeiro casamento
b) Sapato que estou calçando agora no pé esquerdo
c) Número inteiro maior do que 5 e menor do que 7
Um conceito pode ser formado em distintos graus de generalização, desde o conceito singular que
corresponde a um objeto específico - concreto ou abstrato - até o conceito generalizado (no grau de
máxima generalização), passando por graus intermediários de generalização, correspondentes a
subclasses do respectivo gênero, nas quais se incluem alguns e se excluem outros objetos. Os atributos
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18. essenciais são definidos para cada grau de generalização e o volume de um conceito está contido no
volume de outro conceito de maior grau de generalização.
Exemplo
Conceito singular: “o cachorro do Jorge que mordeu o vizinho ontem”
Conceito generalizado: “Alberto não gosta de cachorro”.
Conceito com grau intermediário de generalização: “ Pedro gosta de cachorro marrom”
No caso do conceito singular apresentado, os atributos presentes (relativos ao conceito ‘cachorro’) são:
1) ser do Jorge; 2) ter mordido o vizinho ontem. Ambos os atributos são qualidades, pois não fazem
parte dp cachorro (objeto singular).
A presença do atributo “ter mordido o vizinho ontem”, indica que:
a) Jorge tem mais de um cachorro;
b) Algum outro cachorro de Jorge mordeu o vizinho em algum dia distinto de ‘ontem’;
c) Somente um cachorro de Jorge mordeu o vizinho ‘ontem’.
Exemplo
Classificação (isto é, a separação em subclasses) do conceito “ser vivo”:
Notemos que em cada grau de generalização as subclasses correspondem a conceitos contraditórios em
relação à classe anterior e que no sétimo grau de generalização ainda não se chegou ao conceito
singular.
Notemos, também, que na passagem de um grau de generalização para outro menor é escolhido um
critério e dentro dele um atributo. Na passagem do segundo para o terceiro grau de generalização, o
critério foi a “natureza do intelecto” e o atributo escolhido foi “ser racional”. Poderia ter sido escolhido o
critério “natureza do corpo do animal” e o atributo poderia ter sido “ser vertebrado”.
Nesse exemplo, os critérios e os atributos correspondentes, foram:
(1) a palavra “ser” é substantivo e não verbo
(2) a palavra “ser” é verbo e não substantivo
Quando tratamos de um conceito singular, consideramos todos os atributos que identificam o objeto bem
determinado e que o separam de todos os demais da classe a que pertence. Quando se trata de conceito
generalizado em grau intermediário – correspondente a uma subclasse do gênero - são descartados os
atributos peculiares dos objetos individualizados e aqueles específicos a qualquer outra subclasse, sendo
considerados apenas os atributos essenciais à identificação da classe respectiva. Quando se trata de
conceito generalizado em grau máximo, são preservados apenas os atributos essenciais a todos os
objetos que se incluem no conceito, abstraindo os atributos específicos a qualquer subclasse e aqueles
que identificam um único objeto ou um grupo de objetos singulares, isto é, permanecem apenas as
propriedades do objeto generalizado.
Exemplo
Apresentamos abaixo uma seqüência de conceitos em ordem decrescente de graus de generalização:
a) caderno
b) caderno vertical
c) caderno vertical com pauta
d) caderno vertical com espiral com pauta
e) caderno vertical com espiral com pauta e capa dura
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19. Notemos que “caderno horizontal“ é um conceito com mesmo grau de generalização do que “caderno
vertical”, o mesmo acontecendo com os conceitos “caderno vertical com pauta” e “caderno vertical sem
pauta”.
Notemos, ainda, que a relação entre o grau de generalização e o número de atributos essenciais do
conceito é inversa, isto é, quanto mais atributos essenciais, menor é o grau de generalização.
O conteúdo de um conceito, exceto para aquele de grau de generalização máximo, é expresso a partir do
conceito de grau de generalização imediatamente superior.
Existe uma estreita relação entre a elaboração teórica (no plano mental) de uma idéia e sua expressão
concreta (no plano material), a qual se dá através de uma linguagem apropriada (escrita, falada, gestual
ou gráfica), de tal modo que uma coisa não se concretiza plenamente sem a outra. Em conseqüência
disso, o conhecimento somente está construído quando elaborado no plano mental e expresso
adequadamente no plano material.
No caso do conhecimento científico, isto é, aquele construído através do processo científico, se usa
comumente a linguagem idiomática conjugada com uma linguagem específica ao contexto: (linguagem
jurídica, linguagem policial. Linguagem matemática), havendo, também, o uso da linguagem gráfica
(desenho, esboço, gráfico, tabela). Como existe uma correspondência intrínseca entre a idéia (plano
mental) e a linguagem (sua expressão no plano material), esta deve ser adequada àquela, sob pena de
comprometer o conhecimento construído.
Exemplo
a) A mala do Alberto está tão pesada que parece que vai estourar
b) Todo dia viajo com a “mala” do Alberto.
A formação do conceito generalizado
Em geral, a construção de um conceito – Isto é, a aprendizagem – começa no plano material com a
observação de objetos singulares incluídos no conceito, os quais são conhecidos através de seus
atributos sensorialmente percebidos. Em seguida, tal conhecimento passa ao plano mental sob a
mediação de um signo, que pode ser uma palavra, uma expressão ou algum outro elemento material que
assume a função de “nome” do objeto e depois se confunde com o próprio. O conhecimento de um
número adequado de objetos singulares incluídos num mesmo conceito possibilita que a separação dos
atributos comuns e depois dos essenciais, o que ocorre no plano mental e, muitas vezes, de modo
inconsciente. Esse processo possibilita a construção do conceito num primeiro grau de generalização e o
signo que antes correspondia particularmente a um dos objetos singulares observados, passa a
identificar qualquer um deles e, numa fase seguinte, passa a corresponder ao conjunto de tais objetos,
isto é, designa o objeto generalizado correspondente ao tal conjunto.
Quando o número de objetos da “família” conhecidos é suficientemente grande para a identificação de
todos os atributos essenciais, torna-se possível alcançar o maior grau de generalização, descartando-se
os atributos não essenciais. Nesse ponto, a “família” passa a ser o “gênero” e o signo que a identifica
passa a corresponder ao objeto generalizado, abstrato, que só existe no plano mental e não mais
corresponde a qualquer um dos objetos singulares, ainda que tal signo continue a ser utilizado como
referência a cada um deles em particular.
O conceito não apenas identifica o objeto generalizado ao qual se refere mas se identifica com ele e
corresponde à internalização mental do conjunto dos objetos singulares ao qual se refere. Os objetos
singulares que inicialmente são conhecidos sensorialmente e depois através da mediação simbólica,
pouco a pouco vão se fundindo num único objeto abstrato, generalizado, que se transforma numa
imagem mental que substitui sua forma material ou materializada.
Relações entre conceitos
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20. As relações existentes entre os objetos singulares se apresentam igualmente entre os conceitos que os
incluem, variando desde muito remotas a muito próximas. Essas relações podem existir em função de
circunstâncias (factuais, temporais, espaciais, funcionais, etc...) e podem existir em função de nexos
lógicos entre os objetos. No primeiro caso estão: lápis e caderno; automóvel e rua; ar e avião. No
segundo caso estão: retângulo e quadrado; homem e mulher; cachorro e gato. As relações
circunstanciais sempre podem existir, quaisquer que sejam os objetos, enquanto que as relações lógicas
só existem, em geral, entre objetos que se incluem em algum conceito comum a ambos.
Exemplo
Relações não lógicas (circunstanciais, factuais, temporais, etc.)
1) Estar na mesma sala (um azulejo e um livro)
2) Apresentar a letra x (a palavra “xícara” e a expressão “ax+b”
3) Ser usado para alcançar um objeto no alto (uma pedra e uma escada)
4) Terem sido comprados no mesmo dia (um martelo e um revolver)
5) Apresentar o numeral 2 (a equação “2x+3=0” e a quantia “R$27,00”)
Exemplo
Relações lógicas
1) Ser “ser humano” (duas pessoas distintas)
2) Ser talher (garfo e faca)
3) Ser equação do primeiro grau (2x + 3 = 0 e 5x – 7 = 0)
4) Ser grandeza vetorial (velocidade e força)
Conceitos comparáveis e incomparáveis
Em função dos nexos lógicos entre os objetos que incluem, os conceitos podem ser classificados como
comparáveis ou incomparáveis, conforme existam ou não existam tais nexos, respectivamente. Devido à
natureza relativa, quanto à intensidade, dos nexos lógicos eventualmente existentes entre os objetos
incluídos em conceitos distintos, a classificação dos conceitos como comparáveis ou incomparáveis não
pode ser considerada de modo absoluto. Assim, pode-se considerar que quanto mais fortes forem tais
nexos, mais os conceitos são comparáveis e quanto mais fracos o forem, mais eles são incomparáveis.
Regra geral, os conceitos comparáveis identificam subclasses de uma classe identificada por um
conceito de maior grau de generalização, o que não ocorre com os conceitos incomparáveis.
Exemplo
“Homem” e “mulher”, são conceitos comparáveis: apresentam nexos lógicos fortes revelados pelo fato de
que identificam subclasses da classe identificada pelo conceito “ser humano”. Da mesma forma, “ouro” e
“ferro” são conceitos comparáveis: correspondem a subclasses do conceito “metal”.
Exemplo
“Planta” e “raiva” são conceitos não comparáveis: não existem nexos lógicos entre eles, o que se
expressa pelo fato de não corresponderem a subclasses de um mesmo conceito.
Observação:
a) As sentenças “os conceitos A e B identificam subclasses de uma mesma classe identificada pelo
conceito X”, “os conceitos A e B são subordinados ao conceito X” e “os volumes dos conceitos A e B
estão contidos no volume do conceito X”, são equivalentes.
b) Na linguagem corrente, o conceito é “confundido” com a classe que ele identifica. Isso é aceitável,
sendo a distinção assegurada pelo contexto ou explicitada no texto.
Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de
hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas.
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21. PROCESSO LÓGICO - HIPÓTESES E CONCLUSÃO
Lógica e Argumentação
Na estrutura do raciocínio lógico se distingue como elemento central o argumento, que consiste na
articulação do conjunto de premissas de modo a justificar a conclusão.
As proposições somente podem ser designadas como premissa ou como conclusão no contexto de um
argumento e as designações em um argumento podem ser diferentes em outro. Assim, uma proposição
pode ser conclusão num argumento e premissa em outro.
Sabe-se que o objetivo da lógica consiste no estudo das formas de argumentação válidas, pois ela
estuda e sistematiza a validade ou invalidade da argumentação.
Dessa maneira, o objeto de estudo da lógica é determinar se a conclusão de um argumento é ou não
uma conseqüência lógica das proposições. Lembre-se que uma proposição (declaração/afirmação) é
uma sentença que pode ser verdadeira ou falsa.
Argumento
Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, ... Pn ,
chamadas premissas do argumento, a uma proposição C a qual chamamos de conclusão do argumento.
No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser usados os correspondentes hipótese e tese,
respectivamente.
Os argumentos que têm somente duas premissas são denominados silogismos.
Assim, são exemplos de silogismos os seguintes argumentos:
I - P1: Todos os artistas são apaixonados.
P2: Todos os apaixonados gostam de flores.
C: Todos os artistas gostam de flores.
II - P1: Todos os apaixonados gostam de flores.
P2: Miriam gosta de flores.
C: Miriam é uma apaixonada.
Outro exemplo de um argumento (forma típica):
Quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira.
Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros.
Roberto tem nacionalidade brasileira.
Exemplos de diferentes maneiras de expressar o mesmo argumento (na cor verde, indicadores
de premissa ou de conclusão):
Roberto tem nacionalidade brasileira, pois Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros,
e quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira.
Quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira. Portanto, Roberto
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22. tem nacionalidade brasileira, uma vez que Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros.
Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros. Ora, quem nasce no Brasil e tem pais
brasileiros possui nacionalidade brasileira. Logo, Roberto tem nacionalidade brasileira.
Roberto é brasileiro, porque nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros.
[Pressupostos:
(a) Quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira;
(b) "brasileiro" significa "ter nacionalidade brasileira".]
Quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira. Por isso, Roberto é
brasileiro. [Pressupostos:
(a) Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros;
(b) "brasileiro" significa "ter nacionalidade brasileira".]
Não são argumentos (embora possam parecer):
Condicionais, isto é, hipóteses. Nesse caso, o que se está propriamente afirmando é apenas o
condicional como um todo - a proposição composta que estabelece o nexo entre duas proposições
componentes, o antecedente e o conseqüente. Quando digo que se fizer sol neste fim de semana, eu irei
à praia, não estou fazendo previsão do tempo, afirmando que fará sol neste fim de semana, nem estou
pura e simplesmente me comprometendo a ir à praia. A única coisa que estou fazendo é afirmar a
conexão entre duas proposições, dizendo que a eventual verdade da primeira acarreta a verdade da
segunda. Sendo assim, apenas uma proposição é afirmada; logo, não temos um argumento.
Ligações não-proposicionais, isto é, conexões de frases em que pelo menos uma delas não é uma
proposição. Se pelo menos uma das frases ligadas não for uma proposição (for, por exemplo, um
imperativo ou um pedido), não caberá a afirmação da verdade de algo com base na verdade de outra
coisa. Não se terá, conseqüentemente, um argumento.
PROPOSIÇÕES E FRASES
Um argumento é um conjunto de proposições. Quer as premissas quer a conclusão de um argumento
são proposições. Mas o que é mesmo uma proposição?
Uma proposição é o pensamento que uma frase declarativa exprime literalmente.
Não confunda proposições com frases. Uma frase é uma entidade lingüística, é a unidade gramatical
mínima de sentido. Por exemplo, o conjunto de palavras "O Brasil é um" não é uma frase. Mas o conjunto
de palavras "O Brasil é um país" é uma frase, pois já se apresenta com sentido gramatical. Há vários
tipos de frases: declarativas, interrogativas, imperativas e exclamativas. Mas só as frases declarativas
exprimem proposições. Uma frase só exprime uma proposição quando o que ela afirma tem valor de
verdade.
Por exemplo, as seguintes frases não exprimem proposições, porque não têm valor de verdade, isto é,
não são verdadeiras nem falsas:.
1) Que horas são?
2) Traz a apostila.
3) Prometo ir ao shopping.
4) Quem me dera gostar de Matemática.
Mas as frases seguintes exprimem proposições, porque têm valor de verdade, isto é, são verdadeiras ou
falsas, ainda que, acerca de algumas, não saibamos, neste momento, se são verdadeiras ou falsas:
1) O Brasil fica na América do Norte.
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23. 2) Brasília é a capital do Brasil.
3) A neve é branca.
4) Há seres extra-terrestres inteligentes.
A frase 1 é falsa, a 2 e a 3 são verdadeiras. E a 4?
Bem, não sabemos qual é o seu valor de verdade, não sabemos se é verdadeira ou falsa, mas
sabemos que tem de ser verdadeira ou falsa. Por isso, também exprime uma proposição.
Uma proposição é uma entidade abstrata, é o pensamento que uma frase declarativa exprime
literalmente. Ora, um mesmo pensamento pode ser expresso por diferentes frases. Por isso, a mesma
proposição pode ser expressa por diferentes frases. Por exemplo, as frases "O governo demitiu o
presidente da TAP" e "O presidente da TAP foi demitido pelo governo" exprimem a mesma proposição.
As frases seguintes também exprimem a mesma proposição: "A neve é branca" e "Snow is white".
Argumento Válido
Dizemos que um argumento é válido ou ainda que ele é legítimo ou bem construído quando a sua
conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas. Posto de outra forma: quando
um argumento é válido, a verdade das premissas deve garantir a verdade da conclusão do argumento.
Isto significa que jamais poderemos chegar a uma conclusão falsa quando as premissas forem
verdadeiras e o argumento for válido.
É importante observar que ao discutir a validade de um argumento é irrelevante o valor de verdade de
cada uma das premissas. Em Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou
falsidade das proposições que compõem os argumentos, mas tão-somente a validade destes.
Exemplo:
O silogismo:
“Todos os pardais adoram jogar xadrez.
Nenhum enxadrista gosta de óperas.
Portanto, nenhum pardal gosta de óperas.”
está perfeitamente bem construído (veja o diagrama abaixo), sendo, portanto, um argumento válido,
muito embora a verdade das premissas seja questionável.
Op = Conjunto dos que gostam de óperas
X = Conjunto dos que adoram jogar xadrez
P = Conjunto dos pardais
Pelo diagrama pode-se perceber que nenhum elemento do conjunto P (pardais) pode pertencer ao
conjunto Op (os que gostam de óperas).
Validade Lógica (Exemplos)
Argumento (I):
Todas as aranhas são seres que têm seis patas
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24. Todos os seres que têm seis patas são seres que têm asas
:. Todas as aranhas são seres que têm asas
Argumento (II):
Todas as baleias são mamíferos
Todos os mamíferos são pulmonares
:. Todas as baleias são pulmonares
A estrutura comum (válida) dos argumentos (I) e (II) é:
Todo A é B
Todo B é C
:. Todo A é C
Argumento (III):
Alguns mamíferos são cetáceos
Alguns cetáceos são dentados
:. Alguns mamíferos são dentados
Argumento (IV):
Alguns presentes nesta sala são moradores de Porto Alegre
Alguns moradores de Porto Alegre são octagenários
:. Alguns presentes nesta sala são octagenários
A estrutura comum (inválida) dos argumentos (III) e (IV) é:
Alguns A são B
Alguns B são C
:. Alguns A são C
Argumento Inválido
Dizemos que um argumento é inválido, também denominado ilegítimo, mal construído ou falacioso,
quando a verdade das premisssas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão.
Exemplo:
O silogismo:
“Todos os alunos do curso passaram.
Maria não é aluna do curso.
Portanto, Maria não passou.”
é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) a
verdade da conclusão (veja o diagrama abaixo). Maria pode Ter passado mesmo sem ser aluna do
curso, pois a primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso haviam passado.
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25. P = Conjunto das pessoas que passaram.
C = Conjunto dos alunos do curso.
Na tabela abaixo, podemos ver um resumo das situações possíveis para um argumento:
Premissas
Argumentos dedutivos sempre requerem um certo número de "assunções-base". São as chamadas
premissas; é a partir delas que os argumentos são construídos; ou, dizendo de outro modo, são as
razões para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que é uma premissa no contexto de um argumento
em particular, pode ser a conclusão de outro, por exemplo.
As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas, esse é o princípio do audiatur et altera
pars*. A omissão das premissas é comumente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduzirá
as chances de aceitação do argumento.
A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras "Admitindo
que...", "Já que...", "Obviamente se..." e "Porque...". É imprescindível que seu oponente concorde
com suas premissas antes de proceder com a argumentação.
Usar a palavra "obviamente" pode gerar desconfiança. Ela ocasionalmente faz algumas pessoas
aceitarem afirmações falsas em vez de admitir que não entendem por que algo é "óbvio". Não hesite em
questionar afirmações supostamente "óbvias".
Expressão latina que significa "a parte contrária deve ser ouvida".
Inferência
Umas vez que haja concordância sobre as premissas, o argumento procede passo a passo através do
processo chamado inferência.
Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Se
a inferência for válida, a nova proposição também deve ser aceita. Posteriormente essa proposição
poderá ser empregada em novas inferências.
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26. Assim, inicialmente, apenas podemos inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da
argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta.
Há vários tipos de inferência válidos, mas também alguns inválidos, os quais serão analisados neste
documento. O processo de inferência é comumente identificado pelas frases "conseqüentemente..." ou
"isso implica que...".
Conclusão
Finalmente se chegará a uma proposição que consiste na conclusão, ou seja, no que se está tentando
provar. Ela é o resultado final do processo de inferência, e só pode ser classificada como conclusão no
contexto de um argumento em particular.
A conclusão se respalda nas premissas e é inferida a partir delas. Esse é um processo sutil que merece
explicação mais aprofundada.
Tabela Verdade para Implicação
• Se as premissas são falsas e a inferência é válida, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa. (Linhas 1
e 2.)
• Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a inferência deve ser inválida. (Linha 3.)
• Se as premissas são verdadeiras e a inferência é válida, a conclusão deve ser verdadeira. (Linha 4.)
Então o fato que um argumento é válido não necessariamente significa que sua conclusão suporta - pode
ter começado de premissas falsas.
Se um argumento é válido, e além disso começou de premissas verdadeiras, então é chamado de um
argumento sensato. Um argumento sensato deve chegar à uma conclusão verdadeira.
Exemplo de argumento
A seguir exemplificamos um argumento válido, mas que pode ou não ser "consistente".
1 - Premissa: Todo evento tem uma causa.
2 - Premissa: O Universo teve um começo.
3 - Premissa: Começar envolve um evento.
4 - Inferência: Isso implica que o começo do Universo envolveu um evento.
5 - Inferência: Logo, o começo do Universo teve uma causa.
6 - Conclusão: O Universo teve uma causa.
A proposição da linha 4 foi inferida das linhas 2 e 3.
A linha 1, então, é usada em conjunto com proposição 4, para inferir uma nova proposição (linha 5).
O resultado dessa inferência é reafirmado (numa forma levemente simplificada) como sendo a
conclusão.
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27. Reconhecendo Argumentos
O reconhecimento de argumentos é mais difícil que das premissas ou conclusão. Muitas pessoas
abarrotam textos de asserções sem sequer produzir algo que possa ser chamado argumento.
Algumas vezes os argumentos não seguem os padrões descritos acima. Por exemplo, alguém pode dizer
quais são suas conclusões e depois justificá-las. Isso é válido, mas pode ser um pouco confuso.
Para piorar a situação, algumas afirmações parecem argumentos, mas não são. Por exemplo: "Se a
Bíblia é verdadeira, Jesus ou foi um louco, um mentiroso, ou o Filho de Deus".
Isso não é um argumento; é uma afirmação condicional. Não explicita as premissas necessárias para
embasar as conclusões, sem mencionar que possui outras falhas.
Um argumento não equivale a uma explicação. Suponha que, tentando provar que Albert Einstein
acreditava em Deus, disséssemos: "Einstein afirmou que 'Deus não joga dados' porque cria em
Deus".
Isso pode parecer um argumento relevante, mas não é; trata-se de uma explicação da afirmação de
Einstein. Para perceber isso, lembre-se que uma afirmação da forma "X porque Y" pode ser reescrita na
forma "Y logo X". O que resultaria em: "Einstein cria em Deus, por isso afirmou que 'Deus não joga
dados'".
Agora fica claro que a afirmação, que parecia um argumento, está admitindo a conclusão que deveria
estar provando.
Ademais, Einstein não cria num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos .
Falácias
Há um certo número de "armadilhas" a serem evitadas quando se está construindo um argumento
dedutivo; elas são conhecidas como falácias. Na linguagem do dia-a-dia, nós denominamos muitas
crenças equivocadas como falácias, mas, na lógica, o termo possui significado mais específico: falácia é
uma falha técnica que torna o argumento inconsistente ou inválido.
(Além da consistência do argumento, também se podem criticar as intenções por detrás da
argumentação.)
Argumentos contentores de falácias são denominados falaciosos. Freqüentemente parecem válidos e
convincentes; às vezes, apenas uma análise pormenorizada é capaz de revelar a falha lógica.
A seguir está uma lista de algumas das falácias mais comuns e determinadas técnicas retóricas bastante
utilizadas em debates. A intenção não foi criar uma lista exaustivamente grande, mas apenas ajudá-lo a
reconhecer algumas das falácias mais comuns, evitando, assim, ser enganado por elas.
Acentuação / Ênfase
A Acentuação funciona através de uma mudança no significado. Neste caso, o significado é alterado
enfatizando diferentes partes da afirmação.
Por exemplo:
"Não devemos falar mal de nossos amigos"
"Não devemos falar mal de nossos amigos"
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28. Ad Hoc
Como mencionado acima, argumentar e explicar são coisas diferentes. Se estivermos interessados em
demonstrar A, e B é oferecido como evidência, a afirmação "A porque B" é um argumento. Se estivermos
tentando demonstrar a veracidade de B, então "A porque B" não é um argumento, mas uma explicação.
A falácia Ad Hoc é explicar um fato após ter ocorrido, mas sem que essa explicação seja aplicável a
outras situações. Freqüentemente a falácia Ad Hoc vem mascarada de argumento. Por exemplo, se
admitirmos que Deus trata as pessoas igualmente, então esta seria uma explicação Ad Hoc:
"Eu fui curado de câncer"
"Agradeça a Deus, pois ele lhe curou"
"Então ele vai curar todas pessoas que têm câncer?"
"Hmm... talvez... os desígnios de Deus são misteriosos."
Afirmação do Conseqüente
Essa falácia é um argumento na forma "A implica B, B é verdade, logo A é verdade". Para entender por
que isso é uma falácia, examine a tabela (acima) com as Regras de Implicação.
Aqui está um exemplo:
"Se o universo tivesse sido criado por um ser sobrenatural, haveria ordem e organização em todo lugar. E
nós vemos ordem, e não esporadicidade; então é óbvio que o universo teve um criador."
Esse argumento é o contrario da Negação do Antecedente.
Anfibolia
A Anfibolia ocorre quando as premissas usadas num argumento são ambíguas devido a negligência ou
imprecisão gramatical.
Por exemplo:
"Premissa: A crença em Deus preenche um vazio muito necessário."
Evidência Anedótica
Uma das falácias mais simples é dar crédito a uma Evidência Anedótica.
Por exemplo:
"Há abundantes provas da existência de Deus; ele ainda faz milagres. Semana passada eu li sobre uma
garota que estava morrendo de câncer, então sua família inteira foi para uma igreja e rezou, e ela foi
curada."
É bastante válido usar experiências pessoais como ilustração; contudo, essas anedotas não provam
nada a ninguém. Um amigo seu pode dizer que encontrou Elvis Presley no supermercado, mas aqueles
que não tiveram a mesma experiência exigirão mais do que o testemunho de seu amigo para serem
convencidos.
Evidências Anedóticas podem parecer muito convincentes, especialmente queremos acreditar nelas.
Argumentum ad Antiquitatem
Essa é a falácia de afirmar que algo é verdadeiro ou bom só porque é antigo ou "sempre foi assim". A
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29. falácia oposta é a Argumentum ad Novitatem.
"Cristãos acreditam em Jesus há milhares de anos. Se o Cristianismo não fosse verdadeiro, não teria
perdurado tanto tempo"
Argumentum ad Baculum / Apelo à Força
Acontece quando alguém recorre à força (ou à ameaça) para tentar induzir outros a aceitarem uma
conclusão. Essa falácia é freqüentemente utilizada por políticos, e pode ser sumarizada na expressão "o
poder define os direitos". A ameaça não precisa vir diretamente da pessoa que argumenta.
Por exemplo::
"...assim, há amplas provas da veracidade da Bíblia, e todos que não aceitarem essa verdade queimarão
no Inferno."
"...em todo caso, sei seu telefone e endereço; já mencionei que possuo licença para portar armas?"
Argumentum ad Crumenam
É a falácia de acreditar que dinheiro é o critério da verdade; que indivíduos ricos têm mais chances de
estarem certos. Trata-se do oposto ao Argumentum ad Lazarum.
Exemplo:
"A Microsoft é indubitavelmente superior; por que outro motivo Bill Gates seria tão rico?"
Argumentum ad Hominen
Argumentum ad Hominem literalmente significa "argumento direcionado ao homem"; há duas
variedades.
A primeira é a falácia Argumentum ad Hominemabusiva: consiste em rejeitar uma afirmação e justificar
a recusa criticando a pessoa que fez a afirmação.
Por exemplo:
"Você diz que os ateus podem ser morais, mas descobri que você abandonou sua mulher e filhos."
Isso é uma falácia porque a veracidade de uma asserção não depende das virtudes da pessoa que a
propugna. Uma versão mais sutil do Argumentum ad Hominen é rejeitar uma proposição baseando-se
no fato de ela também ser defendida por pessoas de caráter muito questionável.
Por exemplo:
"Por isso nós deveríamos fechar a igreja? Hitler e Stálin concordariam com você."
A segunda forma é tentar persuadir alguém a aceitar uma afirmação utilizando como referência as
circunstâncias particulares da pessoa.
Por exemplo:
"É perfeitamente aceitável matar animais para usar como alimento. Esperto que você não contrarie o que
eu disse, pois parece bastante feliz em vestir seus sapatos de couro."
Esta falácia é conhecida como Argumenutm ad Hominem circunstancial e também pode ser usada
como uma desculpa para rejeitar uma conclusão.
Por exemplo:
"É claro que a seu ver discriminação racial é absurda. Você é negro"
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30. Essa forma em particular do Argumenutm ad Hominem, no qual você alega que alguém está
defendendo uma conclusão por motivos egoístas, também é conhecida como "envenenar o poço".
Não é sempre inválido referir-se às circunstâncias de quem que faz uma afirmação. Um indivíduo
certamente perde credibilidade como testemunha se tiver fama de mentiroso ou traidor; entretanto, isso
não prova a falsidade de seu testemunho, nem altera a consistência de quaisquer de seus argumentos
lógicos.
Argumentum ad Ignorantiam
Argumentum ad Ignorantiam significa "argumento da ignorância". A falácia consiste em afirmar que
algo é verdade simplesmente porque não provaram o contrário; ou, de modo equivalente, quando for dito
que algo é falso porque não provaram sua veracidade.
(Nota: admitir que algo é falso até provarem o contrário não é a mesma coisa que afirmar. Nas leis, por
exemplo, os indivíduos são considerados inocentes até que se prove o contrário.)
Abaixo estão dois exemplos:
"Obviamente a Bíblia é verdadeira. Ninguém pode provar o contrário."
"Certamente a telepatia e os outros fenômenos psíquicos não existem. Ninguém jamais foi capaz de
prová-los."
Na investigação científica, sabe-se que um evento pode produzir certas evidências de sua ocorrência, e
que a ausência dessas evidências pode ser validamente utilizada para inferir que o evento não ocorreu.
No entanto, não prova com certeza.
Por exemplo:
"Para que ocorresse um dilúvio como o descrito pela Bíblia seria necessário um enorme volume de água.
A Terra não possui nem um décimo da quantidade necessária, mesmo levando em conta a que está
congelada nos pólos. Logo, o dilúvio não ocorreu."
Certamente é possível que algum processo desconhecido tenha removido a água. A ciência, entretanto,
exigiria teorias plausíveis e passíveis de experimentação para aceitar que o fato tenha ocorrido.
Infelizmente, a história da ciência é cheia de predições lógicas que se mostraram equivocadas. Em 1893,
a Real Academia de Ciências da Inglaterra foi persuadida por Sir Robert Ball de que a comunicação com
o planeta Marte era fisicamente impossível, pois necessitaria de uma antena do tamanho da Irlanda, e
seria impossível fazê-la funcionar.
Argumentum ad Lazarum
É a falácia de assumir que alguém pobre é mais íntegro ou virtuoso que alguém rico. Essa falácia é
apõe-se à Argumentum ad Crumenam.
Por exemplo:
"É mais provável que os monges descubram o significado da vida, pois abdicaram das distrações que o
dinheiro possibilita."
Argumentum ad Logicam
Essa é uma "falácia da falácia". Consiste em argumentar que uma proposição é falsa porque foi
apresentada como a conclusão de um argumento falacioso. Lembre-se que um argumento falacioso
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31. pode chegar a conclusões verdadeiras.
"Pegue a fração 16/64. Agora, cancelando-se o seis de cima e o seis debaixo, chegamos a 1/4."
"Espere um segundo! Você não pode cancelar o seis!"
"Ah, então você quer dizer que 16/64 não é 1/4?"
Argumentum ad Misericordiam
É o apelo à piedade, também conhecida como Súplica Especial. A falácia é cometida quando alguém
apela à compaixão a fim de que aceitem sua conclusão.
Por exemplo:
"Eu não assassinei meus pais com um machado! Por favor, não me acuse; você não vê que já estou
sofrendo o bastante por ter me tornado um órfão?"
Argumentum ad Nauseam
Consistem em crer, equivocadamente, que algo é tanto mais verdade, ou tem mais chances de ser,
quanto mais for repetido. Um Argumentum ad Nauseamé aquele que afirma algo repetitivamente até a
exaustão.
Argumentum ad Novitatem
Esse é o oposto do Argumentum ad Antiquitatem; é a falácia de afirmar que algo é melhor ou mais
verdadeiro simplesmente porque é novo ou mais recente que alguma outra coisa.
"BeOS é, de longe, um sistema operacional superior ao OpenStep, pois possui um design muito mais
atual."
Argumentum ad Numerum
Falácia relacionada ao Argumentum ad Populum. Consiste em afirmar que quanto mais pessoas
concordam ou acreditam numa certa proposição, mais provavelmente ela estará correta.
Por exemplo:
"A grande maioria dos habitantes deste país acredita que a punição capital é bastante eficiente na
diminuição dos delitos. Negar isso em face de tantas evidências é ridículo."
"Milhares de pessoas acreditam nos poderes das pirâmides; ela deve ter algo de especial."
Argumentum ad Populum
Também conhecida como apelo ao povo. Comete-se essa falácia ao tentar conquistar a aceitação de
uma proposição apelando a um grande número de pessoas. Esse tipo de falácia é comumente
caracterizado por uma linguagem emotiva.
Por exemplo:
"A pornografia deve ser banida. É uma violência contra as mulheres."
"Por milhares de anos pessoas têm acreditado na Bíblia e Jesus, e essa crença teve um enorme impacto
sobre suas vida. De que outra evidência você precisa para se convencer de que Jesus é o filho de Deus?
Você está dizendo que todas elas são apenas estúpidas pessoas enganadas?"
Argumentum ad Verecundiam
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32. O Apelo à Autoridade usa a admiração a uma pessoa famosa para tentar sustentar uma afirmação. Por
exemplo:
"Isaac Newton foi um gênio e acreditava em Deus."
Esse tipo de argumento não é sempre inválido; por exemplo, pode ser relevante fazer referência a um
indivíduo famoso de um campo específico. Por exemplo, podemos distinguir facilmente entre:
"Hawking concluiu que os buracos negros geram radiação."
"Penrose conclui que é impossível construir um computador inteligente."
Hawking é um físico, então é razoável admitir que suas opiniões sobre os buracos negros são
fundamentadas. Penrose é um matemático, então sua qualificação para falar sobre o assunto é bastante
questionável.
Audiatur et Altera Pars
Freqüentemente pessoas argumentam partir de assunções omitidas. O princípio do Audiatur et Altera
Pars diz que todas premissas de um argumento devem ser explicitadas. Estritamente, a omissão das
premissas não é uma falácia; entretanto, é comumente vista como algo suspeito.
Bifurcação
"Preto e Branco" é outro nome dado a essa falácia. A Bifurcação ocorre se alguém apresenta uma
situação com apenas duas alternativas, quando na verdade existem ou podem existir outras.
Por exemplo:
"Ou o homem foi criado, como diz a Bíblia, ou evoluiu casualmente de substâncias químicas
inanimadas, como os cientistas dizem. Já que a segunda hipótese é incrivelmente improvável, então..."
Circulus in Demonstrando
Consiste em adotar como premissa uma conclusão à qual você está tentando chegar. Não raro, a
proposição é reescrita para fazer com que tenha a aparência de um argumento válido.
Por exemplo:
"Homossexuais não devem exercer cargos públicos. Ou seja, qualquer funcionário público que se
revele um homossexual deve ser despedido. Por isso, eles farão qualquer coisa para esconder seu
segredo, e assim ficarão totalmente sujeitos a chantagens. Conseqüentemente, não se deve permitir
homossexuais em cargos públicos."
Esse é um argumento completamente circular; a premissa e a conclusão são a mesma coisa. Um
argumento como o acima foi realmente utilizado como um motivo para que todos os empregados
homossexuais do Serviço Secreto Britânico fossem despedidos.
Infelizmente, argumentos circulares são surpreendentemente comuns. Após chegarmos a uma
conclusão, é fácil que, acidentalmente, façamos asserções ao tentarmos explicar o raciocínio a alguém.
Questão Complexa / Falácia de Interrogação / Falácia da Pressuposição
É a forma interrogativa de pressupor uma resposta. Um exemplo clássico é a pergunta capciosa:
"Você parou de bater em sua esposa?"
A questão pressupõe uma resposta definida a outra questão que não chegou a ser feita. Esse truque é
bastante usado por advogados durante o interrogatório, quando fazem perguntas do tipo:
"Onde você escondeu o dinheiro que roubou?"
Similarmente, políticos também usam perguntas capciosas como:
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33. "Até quando será permitida a intromissão dos EUA em nossos assuntos?"
"O Chanceller planeja continuar essa privatização ruinosa por dois anos ou mais?"
Outra forma dessa falácia é pedir a explicação de algo falso ou que ainda não foi discutido.
Falácias de Composição
A Falácia de Composição é concluir que uma propriedade compartilhada por um número de elementos
em particular, também é compartilhada por um conjunto desses elementos; ou que as propriedades de
uma parte do objeto devem ser as mesmas nele inteiro.
Exemplos:
"Essa bicicleta é feita inteiramente de componentes de baixa densidade, logo é muito leve."
"Um carro utiliza menos petroquímicos e causa menos poluição que um ônibus. Logo, os carros
causam menos dano ambiental que os ônibus."
Acidente Invertido / Generalização Grosseira
Essa é o inverso da Falácia do Acidente. Ela ocorre quando se cria uma regra geral examinando
apenas poucos casos específicos que não representam todos os possíveis casos.
Por exemplo:
"Jim Bakker foi um Cristão pérfido; logo, todos os cristãos também são."
Convertendo uma Condicional
A falácia é um argumento na forma "Se A então B, logo se B então A".
"Se os padrões educacionais forem abaixados, a qualidade dos argumentos vistos na internet
diminui. Então, se vermos o nível dos debates na internet piorar, saberemos que os padrões
educacionais estão caindo."
Essa falácia é similar à Afirmação do Conseqüente, mas escrita como uma afirmação condicional.
Cum Hoc Ergo Propter Hoc
Essa falácia é similar à Post Hoc Ergo Propter Hoc. Consiste em afirmar que devido a dois eventos terem
ocorrido concomitantemente, eles possuem uma relação de causalidade. Isso é uma falácia porque
ignora outro(s) fator(es) que pode(m) ser a(s) causa(s) do(s) evento(s).
"Os índices de analfabetismo têm aumentado constantemente desde o advento da televisão.
Obviamente ela compromete o aprendizado"
Essa falácia é um caso especial da Non Causa Pro Causa.
Negação do Antecedente
Trata-se de um argumento na forma "A implica B, A é falso, logo B é falso". A tabela com as Regras de
Implicação explica por que isso é uma falácia.
(Nota: A Non Causa Pro Causa é diferente dessa falácia. A Negação do Antecedente possui a
forma "A implica B, A é falso, logo B é falso", onde A não implica B em absoluto. O problema não é que
a implicação seja inválida, mas que a falsidade de A não nos permite deduzir qualquer coisa sobre B.)
"Se o Deus bíblico aparecesse para mim pessoalmente, isso certamente provaria que o
cristianismo é verdade. Mas ele não o fez, ou seja, a Bíblia não passa de ficção."
Esse é oposto da falácia Afirmação do Conseqüente.
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34. Falácia do Acidente / Generalização Absoluta / Dicto Simpliciter
Uma Generalização Absoluta ocorre quando uma regra geral é aplicada a uma situação em particular,
mas as características da situação tornam regra inaplicável. O erro ocorre quando se vai do geral do
específico.
Por exemplo:
"Cristãos não gostam de ateus. Você é um Cristão, logo não gosta de ateus."
Essa falácia é muito comum entre pessoas que tentam decidir questões legais e morais aplicando regras
gerais mecanicamente.
Falácia da Divisão
Oposta à Falácia de Composição, consiste em assumir que a propriedade de um elemento deve
aplicar-se às suas partes; ou que uma propriedade de um conjunto de elementos é compartilhada por
todos.
"Você estuda num colégio rico. Logo, você é rico."
"Formigas podem destruir uma árvore. Logo, essa formiga também pode."
Equivocação / Falácia de Quatro Termos
A Equivocação ocorre quando uma palavra-chave é utilizada com dois um ou mais significados no
mesmo argumento.
Por exemplo:
"João é destro jogando futebol. Logo, também deve ser destro em outros esportes, apesar de ser
canhoto."
Uma forma de evitar essa falácia é escolher cuidadosamente a terminologia antes de formular o
argumento, isso evita que palavras como "destro" possam ter vários significados (como "que usa
preferencialmente a mão direita" ou "hábil, rápido").
Analogia Estendida
A falácia da Analogia Estendida ocorre, geralmente, quando alguma regra geral está sendo discutida.
Um caso típico é assumir que a menção de duas situações diferentes, num argumento sobre uma regra
geral, significa que tais afirmações são análogas.
A seguir está um exemplo retirado de um debate sobre a legislação anticriptográfica.
"Eu acredito que é errado opor-se à lei violando-a."
"Essa posição é execrável: implica que você não apoiaria Martin Luther King."
"Você está dizendo que a legislação sobre criptografia é tão importante quando a luta pela
igualdade dos homens? Como ousa!"
Ignorantio Elenchi / Conclusão Irrelevante
A Ignorantio Elenchi consiste em afirmar que um argumento suporta uma conclusão em particular,
quando na verdade não possuem qualquer relação lógica.
Por exemplo:
Um Cristão pode começar alegando que os ensinamentos do Cristianismo são indubitavelmente
verdadeiros. Se após isso ele tentar justificar suas afirmações dizendo que tais ensinamentos são muito
benéficos às pessoas que os seguem, não importa quão eloqüente ou coerente seja sua argumentação,
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35. ela nunca vai provar a veracidade desses escritos.
Lamentavelmente, esse tipo de argumentação é quase sempre bem-sucedido, pois faz as pessoas
enxergarem a suposta conclusão numa perspectiva mais benevolente.
Falácia da Lei Natural / Apelo à Natureza
O Apelo à Natureza é uma falácia comum em argumentos políticos. Uma versão consiste em
estabelecer uma analogia entre uma conclusão em particular e algum aspecto do mundo natural, e então
afirmar que tal conclusão é inevitável porque o mundo natural é similar:
"O mundo natural é caracterizado pela competição; animais lutam uns contra os outros pela
posse de recursos naturais limitados. O capitalismo - luta pela posse de capital - é simplesmente um
aspecto inevitável da natureza humana. É como o mundo funciona."
Outra forma de Apelo à Natureza é argumentar que devido ao homem ser produto da natureza, deve se
comportar como se ainda estivesse nela, pois do contrário estaria indo contra sua própria essência.
"Claro que o homossexualismo é inatural. Qual foi a última vez em que você viu animais do
mesmo sexo copulando?"
Falácia "Nenhum Escocês de Verdade..."
Suponha que eu afirme "Nenhum escocês coloca açúcar em seu mingau". Você contra-argumenta
dizendo que seu amigo Angus gosta de açúcar no mingau. Então eu digo "Ah, sim, mas nenhum
escocês de verdade coloca".
Esse é o exemplo de uma mudança Ad Hoc sendo feita para defender uma afirmação, combinada com
uma tentativa de mudar o significado original das palavras; essa pode ser chamada uma combinação de
falácias.
Non Causa Pro Causa
A falácia Non Causa Pro Causa ocorre quando algo é tomado como causa de um evento, mas sem que
a relação causal seja demonstrada.
Por exemplo:
"Eu tomei uma aspirina e rezei para que Deus a fizesse funcionar; então minha dor de cabeça
desapareceu. Certamente Deus foi quem a curou."
Essa é conhecida como a falácia da Causalidade Fictícia. Duas variações da Non Causa Pro Causa
são as falácias Cum Hoc Ergo Propter Hoc e Post Hoc Ergo Propter Hoc.
Non Sequitur
Non Sequitur é um argumento onde a conclusão deriva das premissas sem qualquer conexão lógica.
Por exemplo:
"Já que os egípcios fizeram muitas escavações durante a construção das pirâmides, então
certamente eram peritos em paleontologia."
Pretitio Principii / Implorando a Pergunta
Ocorre quando as premissas são pelo menos tão questionáveis quanto as conclusões atingidas.
Por exemplo:
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36. "A Bíblia é a palavra de Deus. A palavra de Deus não pode ser questionada; a Bíblia diz que ela
mesma é verdadeira. Logo, sua veracidade é uma certeza absoluta."
Pretitio Principii é similar ao Circulus in Demonstrando, onde a conclusão é a própria premissa.
Plurium Interrogationum / Muitas Questões
Essa falácia ocorre quando alguém exige uma resposta simplista a uma questão complexa.
"Altos impostos impedem os negócios ou não? Sim ou não?"
Post Hoc Ergo Proter Hoc
A falácia Post Hoc Ergo Propter Hoc ocorre quando algo é admitido como causa de um evento
meramente porque o antecedeu.
Por exemplo:
"A União Soviética entrou em colapso após a instituição do ateísmo estatal; logo, o ateísmo deve
ser evitado."
Essa é outra versão da Falácia da Causalidade Fictícia.
Falácia "Olha o Avião"
Comete-se essa falácia quando alguém introduz material irrelevante à questão sendo discutida, fugindo
do assunto e comprometendo a objetividade da conclusão.
"Você pode até dizer que a pena de morte é ineficiente no combate à criminalidade, mas e as
vítimas? Como você acha que os pais se sentirão quando virem o assassino de seu filho vivendo às
custas dos impostos que eles pagam? É justo que paguem pela comida do assassino de seu filho?"
Reificação
A Reificação ocorre quando um conceito abstrato é tratado como algo concreto.
"Você descreveu aquela pessoa como 'maldosa'. Mas onde fica essa 'maldade'? Dentro do
cérebro? Cadê? Você não pode nem demonstrar o que diz, suas afirmações são infundadas."
Mudando o Ônus da Prova
O ônus da prova sempre cabe à pessoa que afirma. Análoga ao Argumentum ad Ignorantiam, é a falácia
de colocar o ônus da prova no indivíduo que nega ou questiona uma afirmação. O erro, obviamente,
consiste em admitir que algo é verdade até que provem o contrário.
"Dizer que os alienígenas não estão controlando o mundo é fácil... eu quero que você prove."
Declive Escorregadio
Consiste em dizer que a ocorrência de um evento acarretará conseqüências daninhas, mas sem
apresentar provas para sustentar tal afirmação.
Por exemplo:
"Se legalizarmos a maconha, então mais pessoas começarão a usar crack e heroína, e teríamos
de legalizá-las também. Não levará muito tempo até que este país se transforme numa nação de
viciados. Logo, não se deve legalizar a maconha."
Espantalho
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37. A falácia do Espantalho consiste em distorcer a posição de alguém para que possa ser atacada mais
facilmente. O erro está no fato dela não lidar com os verdadeiros argumentos.
"Para ser ateu você precisa crer piamente na inexistência de Deus. Para convencer-se disso, é
preciso vasculhar todo o Universo e todos os lugares onde Deus poderia estar. Já que obviamente você
não fez isso, sua posição é indefensável."
Tu Quoque
Essa é a famosa falácia "você também". Ocorre quando se argumenta que uma ação é aceitável
apenas porque seu oponente a fez.
Por exemplo:
"Você está sendo agressivo em suas afirmações."
"E daí? Você também."
Isso é um ataque pessoal, sendo uma variante do caso Argumentum ad Hominem.
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Conteúdo
Sucessões: Progressão Aritmética (PA) e Geométrica (PG)
Máximo Divisor Comum (MDC) e Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Teoria dos Conjuntos
Análise Combinatória
Noções de Estatística
Noções de Probabilidade
SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS
Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de
números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9,
11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro
termo é 7 e assim sucessivamente.
Uma seqüência pode ser finita ou infinita.
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38. O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.
Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.
Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:
(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é
o k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo.
(Neste caso, k < n).
Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18,
a5 = 162, etc.
São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de
formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles.
Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é
igual ao anterior multiplicado por 3.
A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da
seqüência, é denominada termo geral.
Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n
é um número natural não nulo.
Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo)
correspondente.
Assim por exemplo, para n = 20, teremos an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo
dessa seqüência (a20) é igual a 65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria:
S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).
Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la.
Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo.
Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como: (15, 22, 31, 42, 55, 70,
... ).
Por exemplo:
a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
Chama-se Progressão Aritmética - PA - à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo,
são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.
Observe as seqüências numéricas abaixo:
I. (2, 4, 6, 8, ...)
II. (11, 31, 51, 71, ...)
III. (9, 6, 3, 0, ...)
IV. (3, 3, 3, 3, ...)
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39. V. (4, , 5, , ...)2
9
2
11
Note que de um número para outro está sendo somada uma constante, podendo ser:
Um número positivo Þ Seqüências I e II
2 + 2 = 4
4 + 2 = 6
ou
11 + 20 = 31
31 + 20 = 51
Um número negativo Þ Seqüência III
9 + (-3) = 6
6 + (-3) = 3
O número Zero (elemento neutro da adição)
Þ Seqüência IV
3 + 0 = 3
3 + 0 = 3
Uma fração Þ Seqüência V
As cinco seqüências numéricas são exemplos de Progressões Aritméticas (P.A.) e a constante
que em cada caso foi adicionada a um termo, é chamada de razão (r) da progressão.
CLASSIFICAÇÕES
De acordo com a razão de uma P.A. podemos classificá-la da seguinte forma:
a) se r > 0 (razão positiva) Þ P.A. crescente
Casos: I, II e V
b) se r < 0 (razão negativa) Þ P.A. decrescente
Caso: III
c) se r = 0 (razão nula) Þ P.A. constante
Casos: IV
TERMO GERAL
Seja a P.A. representada na forma matemática:
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40. P.A.: (a1, a2, a3, a4, ..., an)
Encontraremos uma relação que nos auxiliará a obter um termo qualquer da P.A. conhecendo-se
apenas, o primeiro termo (a1) e a razão (r).
Da P.A. acima de razão "r" temos:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r Þ a3 = a1 + 2r
a4 = a3 + r Þ a4 = a1 + 3r
a5 = a4 + r Þa5 = a1 + 4r
. .
. .
. .
an = an-1 + r Þ an = a1 + (n - 1) ´ r
PROPRIEDADES IMPORTANTES
Seja a P.A.:
TERMOS EQÜIDISTANTES
A soma dos termos eqüidistantes de uma P.A. é sempre constante:
TERMOS CONSECUTIVOS
Um termo é sempre obtido pela média aritmética dos "vizinhos", ou dos eqüidistantes.
Exercícios Resolvidos
1) Encontre o 21º termo da P.A. (22, 27, 32, ...).
Resolução:
Sabemos que a1 = 22 e r = 27 - 22 = 5
Utilizando a relação do termo geral escrevemos:
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41. a21 = a1 + (21 - 1) r Þ a21 = 22 + 20 . 5
a21 = 122
2) Numa P.A. de razão 4, o quinto termo é 97. Qual a ordem do termo que é igual a 141?
Resolução:
Sabemos que a5 = 97 e r = 4
a5= a1 + (5 - 1)r Þ 97 = a1 + 4 . 4 Û a1 = 81Þ
an = a1 + (n - 1)r Þ 141 = 81 + (n - 1) . 4
n = 16
3) Sabendo que a seqüência (3y, y + 1, 5, ...) é uma P.A. Encontre a sua razão e o primeiro termo dessa
progressão.
Resolução:
Utilizando a propriedade de três termos consecutivos obtemos a seguinte relação:
y + 1 =
2
53 +y
Þ 2(y+1) = 3y + 5
Resolvendo a equação do primeiro grau obtemos
y = -3
Logo a P.A. fica escrita (-9, -2, 5, ...)
e portanto a1 = -9 e r = -2 - (-9) = 7
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.
Imagine se quiséssemos somar os cem primeiros números naturais, ou seja, obteríamos a seguinte
soma:
S= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 10
Seria a soma dos 100 primeiros termos da seguinte P.A.:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 95, 96, 97, 98, 99, 100)
e portanto se somarmos seus termos eqüidistantes obteremos somas constantes, fazendo uso desta
propriedade poderemos escrever a soma dos 100 primeiros termos da seguinte forma:
S= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100
S=100 + 99 + 98 + 97 + ... + 4 + 3 + 2 + 1
2S= 101 +101 +101 +101 +.... 101 + 101
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42. Observando que para somar todos esses termos foi necessário somar o primeiro termo com o
último, multiplicar pelo número de termos e dividir por dois. Chegamos, portanto na relação da soma dos
"n" primeiros termos de progressão aritmética:
Exercícios Resolvidos
1) Determine a soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética (2, 5, 8, ...).
Resolução:
Temos a1 = 2 e r = 3
precisamos obter o a20 Þ a20 = a1 + (20 - 1) . r
a20 = 2 + 19 . 3 Þ a20 = 59
Portanto
S20 =
2
20).592( +
Þ S20 = 61 . 10
S20 = 610
2) Um torneio de futebol é disputado em nove semanas. Na 1ª semana, há dois jogos; na 2ª semana,
cinco; na 3ª oito; e assim por diante. Quantos jogos, ao todo, são disputados nesse torneio?
Resolução:
Observando a seqüência de jogos disputados durante as nove semanas encontramos a seguinte P.A. de
nove termos:
(2, 5, 8, ..., a9)
e portanto para sabermos quantos jogos serão realizados, no total, devemos somar todos os termos, ou
seja, todos os jogos disputados em cada semana:
a9 = a1 + 8.r Þ a9 = 2 + 8 . 3 Þ a9 = 26
S9 =
( )
2
9.91 aa +
Þ S9 =
( )
2
9.262 +
Þ S9 = 14 . 9
S9 = 126
Contudo serão realizados 126 jogos, nestas nove semanas de jogo.
EXERCÍCIOS - P.A.
1) O trigésimo primeiro termo de uma P.A. de 1º termo igual a 2 e razão 3 é:
a) 63
b) 65
c) 92
d) 95
e) 102
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43. 2) Sendo 47 o 17º termo de uma P.A. e 2,75 a razão, o valor do primeiro termo é:
a) -1
b) 1
c) 2
d) 0
e) 3
3) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética
cujo quinto termo vale:
a) 45
b) 52
c) 54
d) 55
e)57
4) Se os ângulos internos de um triângulo estão em P.A. e o menor deles é a metade do maior, então o
maior mede:
a) 60º
b) 80º
c) 70º
d) 50º
e) 40º
5) Uma montadora de automóveis produz uma quantidade fixa de 5000 carros ao mês e outra, no mesmo
tempo, produz 600, para atender ao mercado interno. Em janeiro de 1995 ambas as montadoras farão
um contrato de exportação. Mensalmente, a primeira e a segunda montadoras deverão aumentar ,
respectivamente, em 100 e 200 unidades. O número de meses necessários para que as montadoras
produzam a mesma quantidade de carros é:
a) 44
b) 45
c) 48
d) 50
e) 54
6) Sabendo que a seqüência (1 - 3x, x - 2, 2x + 1, ...) é uma P.A., então o décimo termo da P.A. (5 - 3x, x
+ 7, ...) é:
a) 2
b) 6
c) 5
d) 4
e) 3
7) A soma dos vinte primeiros termos da P.A. (-13, -7, -1, ...) é:
a) 400
b) 480
c) 880
d) 800
e) 580
8) O oitavo termo de uma P.A. é 89 e a sua razão vale 11. Determine a soma:
a) de seus oito primeiros termos;
b) de seus quinze primeiros termos.
9) Um cinema possui 20 poltronas na primeira fila, 24 poltronas na segunda fila, 28 na terceira fila, 32 na
quarta fila e as demais se compõem na mesma seqüência. Quantas filas são necessárias para a casa ter
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44. 800 lugares?
10) Um agricultor colhe laranjas durante doze dias da seguinte maneira: no 1º dia, são colhidas dez
dúzias; no 2º, 16 dúzias; no 3º, 22 dúzias; e assim por diante. Quantas laranjas ele colherá ao final dos
doze dias?
11) Verificou-se que o número de pessoas que comparecia a determinado evento aumentava,
diariamente, segundo uma P.A. de razão 15. Sabe-se que no 1º dia compareceram 56 pessoas e que o
espetáculo foi visto, ao todo, por 707 pessoas. Durante quantos dias o espetáculo ficou em cartas?
(Dado: = 307.)94249
12) Um estacionamento adota a seguinte regra de pagamento:
1ª hora: R$ 4,00
2ª hora: R$ 3,50
A partir daí, o preço das horas varia segundo uma P.A. de razão igual a -R$ 0,30
a) Qual o valor a ser cobrado na 8ª hora de permanência de um carro neste estacionamento?
b) Quanto pagará um proprietário de um veículo estacionado por oito horas?
13) A soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 200 é:
a) 5000
b) 3950
c) 4000
d) 4950
e) 4500
GABARITO - P.A.
1) C
2) E
3) C
4) B
5) A
6) D
7) C
8) a) 404 b) 1335
9) 16 filas
10) 6192 laranjas
11) 7 dias
12) a) R$ 1,40 b) R$ 21,15
13) D
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
(P.G.)
Observe as seqüências numéricas abaixo:
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45. I. (2, 4, 8, 16, ...)
II. (11, 33, 99, 297, ...)
III. (9, 3, 1, 3
1
, ...)
IV . (3, 3, 3, 3, ...)
V . (4, -8, 16, -32, ...)
Note que de um número para outro está sendo multiplicada uma constante, podendo ser:
Um número positivo Þ Seqüências I e II
2 ´ 2 = 4
4 ´ 2 = 8
ou
11 ´ 3 = 33
33 ´ 3 = 99
Uma fração Þ Seqüência III
O número 1 (elemento neutro da multiplicação) Þ Seqüência IV
3 x 1 = 3
3 x 1 = 3
Um número negativo Þ Seqüência V
4 x (-2) = - 8
(-8) x (-2) = 16
As cinco seqüências numéricas são exemplos de Progressões Geométricas (P.G.) e a constante que em
cada caso foi multiplicada a um termo, é chamada de razão (q) da progressão.
Definição: "Progressão Geométrica (P.G.) é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do
segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo, chamado razão da progressão. "
CLASSIFICAÇÕES
De acordo com a razão de uma P.A. podemos classifica-la da seguinte forma:
a) se a
1
> 0 e q > 1 (primeiro termo e razão positiva) Þ P.G. crescente
Casos: I e II
b) se a
1
> 0 e 0 < q < 1 (primeiro termo positivo e razão entre 0 e 1) Þ P.G. decrescente
Caso: III
c) se q = 1 (razão igual a 1) Þ P.G. constante
Casos: IV
d) se a
1
¹ 0 e q < 0 Þ P.G. alternante
Caso: V
TERMO GERAL
Seja a P.G. representada na forma matemática:
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46. P .G .: (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ..., a n )
Encontraremos uma relação que nos auxiliará a obter um termo qualquer da P.G. conhecendo-se
apenas, o primeiro termo (a1) e a razão (q).
Da P.G. acima de razão "q" temos:
a2 = a1 ´ q
a3 = a2 ´ q Þ a3 = a1 ´ q2
a4 = a3 ´ q Þ a4 = a1 ´ q3
a5 = a4 ´ q Þ a5 = a1 ´ q4
. .
. .
. .
an = an-1 ´ q Þ an = a1 ´ q(n - 1)
PROPRIEDADES IMPORTANTES
Seja a P.G.:
(1, 3, 9, 27, 81, 243, 729)
TERMOS EQÜIDISTANTES
A produto dos termos eqüidistantes de uma P.G. é sempre constante:
1 ´ 7 2 9 = 3 ´ 2 4 3 = 9 ´ 8 1 = 2 7 ´ 2 7 = 2 7 2
TERMOS CONSECUTIVOS
Um termo é sempre obtido pela média geométrica dos "vizinhos", ou dos eqüidistantes.
3 2
= 1 ´ 9 ; 2 7 2
= 9 ´ 8 1 ; 9 2
= 3 ´ 2 7
Exercícios Resolvidos
1) Calcule o quinto termo da P.G. (2, 6, 18, ...).
Resolução:
Sabemos que a
1
= 2 e q = 6 ¸ 2 = 3
Utilizando a relação do termo geral escrevemos:
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47. a5
= a1
´ q (5 - 1) Þ a5
= 2 ´ 34
a5
= 162
2) Sabendo que a seqüência (3, y + 2, 5y - 2, ...) é uma P.G. Encontre a sua razão e o primeiro termo
dessa progressão.
Resolução:
Utilizando a propriedade de três termos consecutivos obtemos a seguinte relação:
(y + 2)2 = 3 . (5y - 2)
y2 + 4y + 4 = 15y - 6
y2 - 11y + 10 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:
y = 1 0
P .G .: (3 , 1 2 , 4 8 , ...)
î
í
ì
=
=
4q
3a 1
o u
y = 1
P .G .: (3 , 3 , 3 , ...)
î
í
ì
=
=
1q
3a 1
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G.
Para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, usa-se a fórmula abaixo:
S n =
q1
)q(1a n
1
-
-×
o u S n =
1-q
1)-(qa n
1 ×
Exercícios Resolvidos
1) Determine a soma dos 8 primeiros termos da progressão geométrica (1, 3, 9, ...).
Resolução:
Temos a
1
= 1 e q = 3
Portanto
S8 = )13(
)13(1 8
-
-×
Þ S8 = 2
16561 -
S8 = 3 280
2) Determine a soma dos oito primeiros termos da P.G. (-1, 2, -4, 8, ...)
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48. Resolução:
Da P.G. acima temos: a
1
= -1 e q = 2 ¸ (-1) = -2
Utilizando a fórmula para o cálculo dos cem primeiros termos da P.G.:
S8 = ( )
)12(
]12[1
8
--
--×-
Þ S8 = 3
255
-
-
S8 = 85
EXERCÍCIOS - P.G.
1) Qual é o quinto termo da P.G. ( , , 8, ...)?9
2
3
4
2) O 4º. termo de uma P.G. é e o 1º. termo é igual a 4. Qual é a razão dessa P.G.?250
1
3) O 9º. termo de uma P.G. é e a sua razão é . Determine:8
2
2
2
a) O primeiro termo;
b) o quarto termo.
4) Qual é o décimo termo da P.G.: (20, 10, 5, ...)?
5) Numa pequena cidade, um boato é espalhado da seguinte maneira: no 1º. dia, 5 pessoas ficam
sabendo; no 2º., 15; no 3º., 45; e assim por diante. Quantas pessoas ficam sabendo do boato no 10º.
dia?
6) Num cassino, são disputadas dez rodadas em uma noite. Na 1ª. rodada, o valor do prêmio é
R$2000,00. Caso os valores dos prêmios aumentem segundo uma P.G., qual é o valor do prêmio na
última rodada, se na 5ª. rodada ele for de R$10 125,00?
7) Calcule o valor de x, de modo que a seqüência (x - 4, 2x - 4, 4x + 4) seja uma P.G.
8) Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G. (4, -12, 36, ...).
9) Numa P.G. de termos positivos, o 1º. termo é igual a 5 e o 7º. é 320. Calcule a soma dos dez primeiros
termos dessa P.G.
10) Um indivíduo contraiu uma dívida e precisou pagá-la em oito prestações assim determinadas: 1º.
R$60,00; 2ª. R$90,00; 3ª. R$135,00; e assim por diante. Qual o valor total da dívida?
11) Numa cidade, 3100 jovens alistaram-se para o serviço militar. A junta militar da cidade convocou,
para exame médico, 3 jovens no primeiro dia, 6 no 2º. dia, 12 no 3º., e assim por diante. Quantos jovens
ainda devem ser convocados para o exame após o 10º. dia de convocações?
GABARITO - P.G.
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49. 1) 288
2) q = 10
1
3) a) b) 122
4) 128
5
5) 98 415
6) R$ 76 886,72
7) 8
8) 2 188
9) 5 115
10) R$ 2 956,00, aproximadamente
11) 31
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não nulos, ao maior
número natural que divide a todos simultaneamente.
Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, pois este divide ao mesmo tempo o 6,
o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos números dados.
MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Decompõe-se os números em fatores primo e em seguida escolhe-se os fatores primos comuns
com os menores expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes.
Exemplo:
1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280
Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números que decompomos, com os menores
expoentes. Os fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seus menores
expoentes são :
22 ´ 5 = 4 ´ 5 = 20
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50. Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma:
MDC (60, 280) = 20
2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188
O único fator primo comum entre 480 e 188 é 2, e como deve ser escolhido aquele que tiver o menor
expoente, então temos 22 = 4
mdc (480, 188) = 4
MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS
(MÉTODO DE EUCLIDES)
Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 60 e 280.
1o. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o maior número na primeira lacuna (do meio) e o menor
na segunda lacuna (do meio):
2o. Passo: Divida 280 por 60 colocando o quociente na lacuna de cima do 60 e o resto na lacuna abaixo
do 280:
3o. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado direito de 60 e repete-se os passos 1, 2
e 3 até encontrarmos resto zero.
4o. Passo: O último divisor encontrado será o mdc.
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51. mdc (60, 280) = 20
Nota:
"Números Primos entre Si"
Dois ou mais números são considerados primos entre si se e somente o Máximo Divisor Comum entre
esses números for igual a 1.
Exemplo:
21 e 16, pois mdc (21, 16) = 1
Exercícios Resolvidos
1) Determinar os dois menores números pelos quais devemos dividir 144 e 160, a fim de obtermos
quocientes iguais.
Resolução:
Determinamos o M.D.C. entre 144 e 160
mdc (144, 160) = 24 = 16
Então:
144 ¸ 16 = 9
O maior divisor de 144 é 16 e o menor quociente 9,
Vem que 160 ¸ 16 = 10 onde 16 é também o maior divisor de 160 e 10 o menor quociente. Logo os
números procurados são 9 e 10
pois 144 ¸ 9 = 16 e 160 ¸10 = 16.
2) Um terreno de forma retangular tem as seguintes dimensões, 24 metros de frente e 56 metros de
fundo. Qual deve ser o comprimento de um cordel que sirva para medir exatamente as duas dimensões?
Resolução:
Então:
mdc ( 56, 24) = 8
Resposta:
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52. O comprimento do maior cordel que pode ser utilizado para medir as dimensões do terreno deve ser de 8
metros de comprimento, pois, 8 é o maior dos divisores comuns entre 56 e 24.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)
"Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não nulos é o menor dos múltiplos,
não nulo, comum a esses números."
Sejam dois conjuntos, um constituído pelos múltiplos de 6 e outro constituído pelos múltiplos de
9.
v M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}
v M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...}
Observando-se os dois conjuntos de múltiplos de 6 e 9, verificamos que existem números que
aparecem em ambos, isto é, são comuns aos dois conjuntos, como os números 18 e 36, isto é:
M(6) Ç M(9) = {0, 18, 36, ...}
Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 9, isto é, estes números são divisíveis ao
mesmo tempo por 6 e por 9.
Logo teremos como Mínimo Múltiplo Comum entre 6 e 9 o número 18, isto é:
mmc (6, 9) = 18
MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, obtém-se decompondo simultaneamente
este números e efetuando-se o produto dos fatores primos comuns e não comuns escolhidos com seus
maiores expoentes.
Exemplo:
Determinar o M.M.C. dos números 70, 140, 180.
Fatorando os números:
70 2 140 2 180 2
35 5 70 2 90 2
7 7 35 5 45 3
1 7 7 15 3
1 5 5
1
Então temos:
70 = 2 x 5 x 7
140 = 22 x 5 x 7
180 = 22 x 32 x 5
Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três fatorações são 2 e 5. O número 7 não é
fator primo comum porque só aparece na fatoração dos números 70 e 140. O número 3 também não é
fator primo comum porque só aparece na fatoração do número 180. Logo:
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53. v fatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 22 e 5.
v Fatores primos não comuns escolhidos com os maiores expoentes: 32 e 7.
mmc (70, 140,180) = 22 x 5 x 32 x 7 = 1260
MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
Então:
mmc (70, 140, 180) = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260
RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC
O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números.
mmc (a, b) ´ mdc (a, b) = a x b
Exemplo:
Sejam os números 18 e 80
Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) ´ mdc (18, 80)
O produto é 18 ´ 80 = 1440.
Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números.
80, 18 2
40, 9 2
20, 9 2
10, 9 2
5, 9 3
5, 3 3
5, 1 5
1, 1
mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720
Logo:
mdc(80, 18) = 1440 ¸ mmc(18, 80) = 1440 ¸ 720 = 2
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54. EXERCÍCIO RESOLVIDO
Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos algumas
indicações importantes.
I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são múltiplos;
II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns;
III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C.
Exemplo:
Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias. Sabendo-se que
hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro?
Resolução:
vExiste a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando ocorrerá o novo
encontro?"
Þ Múltiplo
v"Encontrar-se-ão num determinado dia"
Þ Comum
v"Quando acontecerá o novo encontro"
Þ Mínimo
Portanto
15, 20, 25 2
15, 10, 25 2
15, 5, 25 3
5, 5, 25 5
1, 1, 5 5
1, 1 1
300
Resposta:
O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias.
Exercícios para resolver
01) Obter o Máximo Divisor Comum entre os números 1545, 125 e 825.
a) 25
b) 15
c) 10
d) 5
e) 1
02) Obter o Máximo Divisor Comum entre os números 21 e 49.
a) 21
b) 49
c) 147
d) 7
e) 14
03) Obter o Máximo Divisor Comum entre os números 31 e 153.
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55. a) 1
b) 13
c) 3
d) 4
e) 51
04) Obter o Máximo Divisor Comum entre os números 13 e 49.
a) 13
b) 39
c) 26
d) 7
e) 1
05) Obter o Máximo Divisor Comum entre os números 250 e 450.
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
06) Obter o Máximo Divisor Comum entre os números 1250 e 4568.
a) 12
b) 10
c) 5
d) 2
e) 3
07) Obter o Mínimo Múltiplo Comum entre os números 1250 e 4568.
a) 2.855.000
b) 1.250.000
c) 5
d) 2
e) 3
08) Obter o Mínimo Múltiplo Comum entre os números 250 e 450.
a) 2.000
b) 2.150
c) 2.250
d) 2.500
e) 4.500
09) Obter o Mínimo Múltiplo Comum entre os números 13 e 49.
a) 637
b) 497
c) 351
d) 139
e) 491
10) Obter o Mínimo Múltiplo Comum entre os números 21 e 49.
a) 21
b) 49
c) 147
d) 7
e) 14
Gabarito
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56. 01) D 02) D 03) A 04) E 05) E 06) D 07) A 08) C 09) A 10) C
Noções Básicas da Teoria dos Conjuntos
Introdução
Como em qualquer assunto a ser estudado, a Matemática também exige uma linguagem adequada para
o seu desenvolvimento.
A teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos da
Matemática, bem como em outros ramos das ciências físicas e humanas.
Devemos aceitar, inicialmente, a existência de alguns conceitos primitivos (noções que adotamos sem
definição) e que estabelecem a linguagem do estudo da teoria dos Conjuntos.
Adotaremos a existência de três conceitos primitivos: elemento, conjunto e pertinência. Assim é
preciso entender que, cada um de nós é um elemento do conjunto de moradores desta cidade, ou
melhor, cada um de nós é um elemento que pertence ao conjunto de habitantes da cidade, mesmo que
não tenhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o que é pertinência.
Notação e Representação
A notação dos conjuntos é feita mediante a utilização de uma letra maiúscula do nosso alfabeto e a
representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir.
1) Listagem dos Elementos
Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos os
elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista por um par de chaves. Os
elementos de um conjunto, quando apresentados na forma de listagem, devem ser separados por vírgula
ou por ponto-e-vírgula, caso tenhamos a presença de números decimais.
Exemplos
1o) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então:
A = {verde, amarelo, azul, branco}
2o) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
B = {a, e, i, o, u}
3o) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
2) Uma Propriedade de Seus Elementos
A apresentação de um conjunto por meio da listagem de seus elementos traz o inconveniente de não ser
uma notação prática para os casos em que o conjunto apresenta uma infinidade de elementos. Para
estas situações, podemos fazer a apresentação do conjunto por meio de uma propriedade que sirva a
todos os elementos do conjunto e somente a estes elementos.
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57. A = {x / x possui uma determinada propriedade P}
Exemplos
1o) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
B = {x / x é vogal do nosso alfabeto}
2o) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:
C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}
3) Diagrama de Euler-Venn
A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Euler-Venn é gráfica e, portanto, muito prática.
Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Dessa
forma, os pontos exteriores à linha representam elementos que não pertencem ao conjunto considerado.
Exemplo
Relação de Pertinência
Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que o
elemento x pertence ao conjunto A e indicamos:
em que o símbolo é uma versão da letra grega epsílon e está consagrado em toda matemática como
símbolo indicativo de pertinência. Para indicarmos que um elemento x não pertence ao conjunto A,
indicamos:
Exemplo
Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8}
O algarismo 2 pertence ao conjunto A:
O algarismo 7 não pertence ao conjunto A:
Relação de Inclusão Subconjuntos
Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo elemento que pertencer a A, pertencer
também a B. Indicamos que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte símbologia:
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58. Obs. – Podemos encontrar em algumas publicações uma outra notação para a relação de inclusão:
O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B.
Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira:
Se o conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B. Como todo
elemento do conjunto A pertence ao conjunto A, dizemos que A é subconjunto de A e, por extensão, todo
conjunto é subconjunto dele mesmo.
Importante – A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusão
refere-se, sempre, a dois conjuntos.
Podemos notar que existe uma diferença entre 2 e {2}. O primeiro é o elemento 2, e o segundo é o
conjunto formado pelo elemento 2. Um par de sapatos e uma caixa com um par de sapatos são coisas
diferentes e como tal devem ser tratadas.
Podemos notar, também, que, dentro de um conjunto, um outro conjunto pode ser tratado como um de
seus elementos. Vejamos o exemplo a seguir:
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59. {1, 2} é um conjunto, porém no conjunto
A = {1, 3, {1, 2}, 4} ele será considerado um elemento, ou seja, {1, 2} A.
Uma cidade é um conjunto de pessoas que representam os moradores da cidade, porém uma cidade é
um elemento do conjunto de cidades que formam um Estado.
Conjuntos Especiais
Embora conjunto nos ofereça a idéia de “reunião” de elementos, podemos considerar como conjunto
agrupamentos formados por um só elemento ou agrupamentos sem elemento algum.
Chamamos de conjunto unitário aquele formado por um só elemento.
Exemplos
1o) Conjunto dos números primos, pares e positivos:
{2}
2o) Conjunto dos satélites naturais da Terra:
{Lua}
3o) Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11:
{6}
Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos um conjunto vazio
considerando um conjunto formado por elementos que admitem uma propriedade impossível.
Exemplos
1o) Conjunto das raízes reais da equação:
x2 + 1 = 0
2o) Conjunto:
O conjunto vazio pode ser apresentado de duas formas:
Ø ou { } Ø ( é uma letra de origem norueguesa).
Não podemos confundir as duas notações representando o conjunto vazio por { Ø }, pois estaríamos
apresentando um conjunto unitário cujo elemento é o Ø.
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é considerado subconjunto de qualquer
conjunto, inclusive dele mesmo.
Demonstração
Vamos admitir que o conjunto vazio não esteja contido num dado conjunto A. Neste caso, existe um
elemento x que pertence ao conjunto vazio e que não pertence ao conjunto A, o que é um absurdo, pois
o conjunto vazio não tem elemento algum. Conclusão: o conjunto vazio está contido no conjunto A,
qualquer que seja A.
Conjunto Universo
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60. Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemática, precisamos admitir um conjunto
ao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Este conjunto é chamado de conjunto universo
e é representado pela letra maiúscula U.
Uma determinada equação pode ter diversos conjuntos solução de acordo com o conjunto universo que
for estabelecido.
Exemplos
1o) A equação 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0 apresenta:
2o) O conjunto dos pontos eqüidistantes de um ponto dado pode ser formado:
– por apenas dois pontos, se o conjunto universo for uma reta que passa pelo ponto dado;
– pelos infinitos pontos de uma circunferência, se o conjunto universo for um plano que passa pelo ponto
dado;
– pelos infinitos pontos de uma superfície esférica, se o conjunto universo for o espaço a que o ponto
dado pertence.
Para iniciarmos qualquer procedimento matemático, é importante sabermos em qual conjunto universo
vamos atuar.
Conjunto de Partes
Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto de partes, representado por P (A), é o conjunto
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61. formado por todos os subconjuntos do conjunto A.
1) Determinação do Conjunto de Partes
Vamos observar, com o exemplo a seguir, o procedimento que se deve adotar para a determinação do
conjunto de partes de um dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obtermos o conjunto de
partes do conjunto A, basta escrevermos todos os seus subconjuntos:
1o) Subconjunto vazio:
Ø , pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
2o) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}.
3o) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}.
4o) Subconjuntos com três elementos:A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode ser apresentado da seguinte forma: P(A) = { Ø,
{2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}
2) Número de Elementos do Conjunto de Partes
Podemos determinar o número de elementos do conjunto de partes de um conjunto A dado, ou seja, o
número de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja necessidade de escrevermos todos os
elementos do conjunto P (A). Para isso, basta partirmos da idéia de que cada elemento do conjunto A
tem duas opções na formação dos subconjuntos: ou o elemento pertence ao subconjunto ou ele não
pertence ao subconjunto e, pelo uso do princípio multiplicativo das regras de contagem, se cada
elemento apresenta duas opções, teremos:
Observemos o exemplo anterior: o conjunto A = {2, 3, 5} apresenta três elementos e, portanto, é de se
supor, pelo uso da relação apresentada, que n [P (A)] = 23 = 8, o que de fato ocorreu.
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os mesmos elementos, em qualquer ordem
e independentemente do número de vezes que cada elemento se apresenta. Vejamos os exemplos:
{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}
Observação
Se o conjunto A está contido em B (A B) e B está contido em A (B A), podemos afirmar que A = B.
Resumo
a) Conceito de conjunto: “reunião” de elementos que constituem um conjunto e a ele pertencem.
b) Notação e representação: por meio da listagem dos elementos; por meio de uma propriedade comum
a seus elementos; graficamente, pelo uso do diagrama de Euler-Venn.
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62. c) Pertinência: indica quando um elemento ( pertence) ou (não pertence) a um determinado
conjunto.
d) Inclusão: indica quando um conjunto está (contido) ou (não contido) em outro conjunto. Um
conjunto estará contido em outro se todos os elementos do 1o conjunto pertencerem também ao 2o
conjunto. O primeiro será chamado de subconjunto do segundo.
e) Conjuntos especiais: unitário – um único elemento; vazio – nenhum elemento. O conjunto vazio é
representado, geralmente, pela letra norueguesa Ø.
f) Conjunto de partes de A: conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A. Não podemos nos
esquecer do conjunto vazio e do próprio conjunto A.
g) Igualdade de conjuntos:
Exercícios Resolvidos
01. Dado o conjunto M = {1, 3, 5, 7}, pede-se:
a) Quantos elementos possui P(M)?
b) Escreva os elementos de P(M).
Resolução
a) M = {1, 3, 5, 7}, então n(M) = 4, portanto n(M) = 24 = 16.
b) P(M)= { {1}, {3}, {5}, {7}, {1,3}, {1,5}, {1,7}, {3,5}, {3,7}, {5,7}, {1,3,5}, {1, 3, 7}, {1, 5, 7}, {3, 5, 7}, {1, 3, 5,
7} ,Ø }
02. Se o conjunto P(R) tem 1 024 elementos, quantos são os elementos de R?
Resolução
Decompondo 1 024 em fatores primos, obteremos:
1 024 = 210, então n(R) = 10
03. Considerando U = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} como conjunto universo, determinar o conjunto solução de:
Resolução
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63. 04. Os elementos dos conjuntos abaixo são números naturais. Escreva esses conjuntos por meio de uma
propriedade que os caracterize:
a) D = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}
b) A = {0, 3, 6, 9 ...60}
Resolução
a)
é número ímpar}
b)
é múltiplo de 3, maior ou igual a zero e menor ou igual a 60}
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Contagem - Arranjo - Permutação - Combinação
Nesta parte da matemática estudaremos as diversas possibilidades da ocorrência de um evento, como
por exemplo, de quantas maneiras distintas pode uma pessoa subir até o último andar de um prédio
havendo três portas de entrada e mais quatro elevadores? Ou mesmo, quantos números de três
algarismos distintos há em nosso sistema de numeração decimal?
Para responder a essas duas perguntas estudaremos o primeiro assunto da Análise Combinatória:
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Vamos descobrir de quantas maneiras distintas pode um homem (H), subir até o apartamento de sua
mulher (M) que mora no último andar de um prédio. Sabe-se este prédio possui três portas de entrada e
após, quatro elevadores para subir até o andar desejado.
Observe todas as possibilidades relacionadas:
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64. H
Porta1
Porta2
Porta3
M
Elevador
1
Elevador
2
Elevador
3
Elevador
4
Observamos que para cada porta de entrada há quatro elevadores de acesso ao andar destinado, e
portanto se temos três portas de entrada obteremos então 4 + 4 + 4 = 12 formas distintas de subir até M,
o que seria mais fácil efetuar 3 x 4 = 12 possibilidades.
O Princípio Fundamental da Contagem nos diz exatamente isso:
Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que:
p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa
p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa
p3 é o número de possibilidades da 3ª etapa
...
pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa, então: p1.p2.p3 ... .pk é o número de possibilidades
de o acontecimento ocorrer.
No nosso caso tínhamos duas etapas, a entrada por uma das portas e a subida por um dos quatro
elevadores e, portanto 12 maneiras distintas de H chegar até M.
Exercícios Resolvidos
1) Quatro carros (c1, c2, c3 e c4) disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para
os três primeiros lugares?
Resolução:
Para separarmos as etapas possíveis utilizaremos os três retângulos abaixo:
1º Lugar 2º Lugar 3º Lugar
O primeiro retângulo para o primeiro lugar, o segundo para o segundo lugar e o terceiro para o terceiro
lugar. Temos, portanto, 4 possibilidades para o primeiro lugar, 3 possibilidades para o segundo lugar e 2
possibilidades para o terceiro lugar, logo o número de possibilidades de chegada para os três primeiros
lugares é 4 x 3 x 2 = 24.
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65. 2) Calcule quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar usando os algarismos:
a) 1, 2, 3, 4, 5 e 6
b) 0, 1, 2, 3, 4 e 5
Resolução:
a) Aplicando o princípio fundamental da contagem temos o esquema abaixo e, portanto podemos formar
360 números.
6 5 4 3 = 360
b) Temos o mesmo esquema, com a ressalva de que para o algarismo da unidade de milhar temos 5
possibilidades e não 6, como no item anterior, uma vez que o zero no início não é contado como
algarismo, para a centena temos 5 possibilidades também, pois o zero poderá ocupar esta "casa".
5 5 4 3 = 300
3) Calcule quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar usando os algarismos
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Resolução:
Para sabermos se um número é ímpar ou não, devemos olhar para o último algarismo onde devemos ter
um algarismo ímpar, então constatamos que há 5 terminações possíveis (1, 3, 5, 7 e 9):
8 7 5 = 280
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66. Logo, podemos formar 280 números ímpares.
4) Para pintarmos uma bandeira com 5 listras verticais dispomos de 4 cores diferentes de tinta. De
quantas formas distintas podemos pintar a bandeira de modo que duas listras vizinhas nunca sejam
pintadas com a mesma cor?
Resolução:
Observe o desenho da bandeira com 5 listras verticais e aplicando o P.F.C., obtemos:
4 3 3 33 = 972
Exercícios Característicos de Contagem
Ocupação de Lugares Definidos
De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em um banco de cinco lugares?
1a Resolução
· Consideremos como etapas sucessivas e independentes as escolhas dos lugares que as três
pessoas vão ocupar.
Total = 5 · 4 · 3 = 60
2a Resolução
· Consideremos como etapas sucessivas e independentes as escolhas das pessoas por quem os
cinco lugares serão ocupados, considerando, porém, dois fantasmas para simbolizar os lugares
vagos.
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67. Total = = 60
Note que o total foi dividido por 2! para desprezar a mudança de ordem dos fantasmas.
Resposta: Podem sentar-se de 60 modos diferentes.
Distribuição em Grupos
Oito escoteiros devem ser distribuídos em duas patrulhas que terão missões diferentes. De quantos
modos isto pode acontecer?
Resolução
· Imaginemos a distribuição sendo feita colocando-se os escoteiros em fila e consideremos os
quatro primeiros da fila em uma patrulha e os quatro últimos na outra.
Total = = 70
Resposta: Pode acontecer de 70 modos.
Figuras Geométricas
Considere 8 pontos distintos em uma circunferência. Quantos são os triângulos que podem ser formados
com vértices nesses pontos?
Resolução
· Consideremos as etapas sucessivas das escolhas dos vértices dos triângulos:
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68. · Total = = 56
Resposta: Podem ser formados 56 triângulos.
Exercícios Resolvidos
Ocupação de Lugares Definidos
01. De quantas maneiras podemos sentar 4 moças e 4 rapazes numa fila de 8 assentos, de modo
que nunca haja nem dois rapazes vizinhos nem duas moças sentadas uma ao lado da outra?
a) 5 040 d) 576
b) 40 320 e) 1 152
c) 2 880
Resolução
Podemos ter:
Logo: 576 + 576 = 1 152
Resposta: E
Distribuição em Grupos
02. Oito livros devem ser distribuídos em dois grupos de quatro livros cada um. De quantos
modos isto pode ser feito?
Resolução
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69. Total = = 35
Resposta: Pode acontecer de 35 modos.
Figuras Geométricas
03. Sejam 15 pontos distintos, pertencentes a uma circunferência. O número de retas distintas
determinadas por esses pontos é:
a) 14 d) 210
b) 91 e) 225
c) 105
Resolução
15 pontos distintos de uma circunferência nunca serão alinhados 3 a 3 e sabemos que = ;
portanto:
Total = = 105
Resposta: C
04. Nas condições do problema anterior, qual o número de semi-retas determinadas pelos 15
pontos?
Resolução
Sabemos que ; portanto:
Total = 15 · 14 = 210
Resposta: 210 semi-retas
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70. ARRANJOS SIMPLES
Todo problema de contagem pode, pelo menos ser resolvido pelo Princípio Fundamental da Contagem e,
no entanto podemos ainda utilizar a técnica dos agrupamentos para a resolução dos mesmos.
Obs.: Consideramos os agrupamentos (arranjos, permutações e combinações) simples, isto é, formados
apenas por elementos distintos.
FÓRMULA: p)!(n
n!
A pn,
-
=
Exercícios Resolvidos
1) Obtenha o valor de A5,2 (Arranjo de 5 elementos tomados 2 a 2).
Resolução:
2)!(5
5!
A 5,2
-
= =
3!
5!
=
3!
3!45 ××
= 20
2) Quantos números com 2 algarismos distintos podemos formar utilizando os elementos do conjunto {1,
2 ,3 , 4, 5}?
Resolução:
Utilizando o P.F.C. obtemos:
5 4 = 20
Podemos ainda utilizar o Arranjo para a resolução deste problema:
2)!(5
5!
A5,2
-
= =
3!
5!
=
3!
3!45 ××
= 20
3) A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas escolhidas de um alfabeto com
26 letras, seguidas de uma seqüência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser
confeccionadas, nestas condições?
Resolução:
Por Arranjo:
Escolhendo duas letras de um total de 26 letras e como importa a ordem dos elementos da escolha
faremos A26,2. Analogamente para a escolha dos três algarismos temos A10,3 :
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71. A26,2 A10,3´ = 468 000
Pelo P.F.C.:
26 25 10 9 = 468 0008
Letras
Distintas
Algarismos
Distintos
PERMUTAÇÃO
Permutar significa mudar, toda vez que você se deparar com um exercício onde apenas trocando (ou
mudando) os elementos de posição sem mesmo acrescentar ou retirá-los, você obterá novas respostas
então você poderá usar a permutação para a resolução do exercício em questão.
Exemplo: Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar utilizando os elementos do
conjunto {2, 5, 6, 9}?
Um número que podemos formar seria o 2569 (dois mil quinhentos e sessenta e nove), trocando o 5
(cinco) com o 6 (seis), obteremos o 2659 (dois mil seiscentos e cinqüenta e nove), são dois números
diferentes e utilizamos para a formação dos mesmos todos os algarismos do conjunto, não tendo que
acrescentar, retirar ou mesmo repetir.
Vamos, então, descobrir quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar utilizando os
elementos do conjunto, e para tanto faremos uso do princípio fundamental da contagem:
4 3 2 1 = 24
Observe que "4 . 3 . 2 . 1" é o mesmo que 4!, e, portanto para chegarmos na resposta, bastava contar a
quantidade de elementos e utilizar a permutação simples, que no caso seria a P4 = 4!
Definição: "Seja A um conjunto com n elementos. Os arranjos simples dos n tomados n a n dos
elementos de A, são chamados permutações simples de n elementos."
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72. Pn = n!
Exercícios Resolvidos
1) Quantos são os anagramas da palavra BRASIL?
Resolução:
Um possível anagrama da palavra BRASIL seria BRLSIA, onde trocamos as posições da letra L e letra
A. Portanto nos deparamos com um problema de troca de elementos, ou seja, um problema de
Permutação.
Observe que não há repetições de letras e temos 6 letras para serem permutadas, logo:
P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Temos portanto, 720 anagramas da palavra BRASIL.
2) Quantos são os anagramas da palavra BRASIL que começam com a letra B?
Resolução:
Como devemos descobrir quantos anagramas começam com a letra B, fixaremos a letra B no início e
permutaremos o restante das letras, logo:
B ___ ___ ___ ___ ___
P5 = 5! = 120
3) Cinco pessoas, entre elas Fred e Fabiano, vão posar para uma fotografia. De quantas maneiras elas
podem ser dispostas se Fred e Fabiano recusam-se a ficar lado a lado?
Resolução:
Sem levar em conta a restrição, o número total de possibilidades é P5 = 5! = 120.
Determinaremos agora, o número de possibilidades que Fred e Fabiano aparecem juntos, considerando
que os dois sejam uma só pessoa que irá permutar com as três restantes, num total de P4 = 4! = 24.
Porém, em cada uma das possibilidades acima Fred e Fabiano podem trocar de lugar entre si, num total
de P2 = 2 maneiras.
Dessa forma, 2 ´ 24 = 48 é o número de maneiras que eles aparecem juntos.
Logo, a diferença 120 - 48 = 72 nos dá o número de situações em que Fred e Fabiano não aparecem
lado a lado.
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÕES
Exemplo: Qual o número de anagramas da palavra PANTERA?
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73. Resolução:
Um possível anagrama da palavra PANTERA é PANTERA...
Como temos dois "A(s)" ao permutarmos os dois temos um mesmo anagrama, portanto devemos levar
isso em consideração.
Cálculo da Permutação com Elementos Repetidos:
...c!b!a!
n!c,...b,a,
nP ×××
=
onde:
a, b, c, ... Þ são os números de repetições dos elementos.
n Þ a quantidade de elementos que serão permutados.
No caso da palavra PANTERA teremos:
!2
!7
P2
7 = =
2!
2!7.6.5.4.3.
= 2 520
Exercício Resolvido
Qual o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA?
Resolução:
A palavra MATEMÁTICA possui dois "M(s)", dois "T(s)" e três "A(s)", então:
!3!2!2
!10
P 3,2,2
10
××
= =
3!22
3!45678910
××
×××××××
= 151 200
COMBINAÇÃO SIMPLES
Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, com os elementos desse conjunto podemos formas números
de três algarismos distintos ou mesmo subconjuntos de três elementos.
Exemplos:
Números Subconjuntos
123 456 {1,2,3} {4,5,6}
321 654 {3,2,1} {6,5,4}
213 546 {2,1,3} {5,4,6}
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74. Observe que temos 6 números formados de três algarismos distintos, e no entanto, não teremos 6
subconjuntos formados e sim, apenas 2 subconjuntos, uma vez que a ordem dos elementos de um
conjunto não importará, assim:
{1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {2, 1, 3}
por outro lado teremos
123 ¹ 321 ¹ 213
Portanto,
Para encontrarmos a quantidade de números formados de três algarismos distintos com os elementos
do conjunto A, basta aplicarmos o P.F.C. Þ 6 ´ 5 ´ 4 = 120 números.
Por outro lado, para encontrarmos a quantidade de subconjuntos formados com três elementos
utilizaremos a Combinação Simples, uma vez que neste caso a ordem dos elementos não importará.
FÓRMULA
p)!(np!
n!
C pn,
-×
=
"Combinação de n elementos tomados p a p"
No exemplo acima teremos:
)!36(!3
!6
C 3,6
-×
= =
!3!3
!6
×
=
!3123
!3456
×××
×××
= 20
serão, portanto, 20 subconjuntos formados.
COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO
Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.
Fórmula:
C,(m,p) = C (m+p-1,p)
Cálculo para o exemplo:
C,( 4,2) =C ( 4+2-1 ,2) = C(5,2) = 5!/[2!3!]=10
Exemplo:
Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10
grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo
aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos
com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:
C,= {AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já
apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações
com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:
Cr ={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
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75. Exercícios Resolvidos
1) Numa classe há 40 alunos. Desejamos formar comissões de 3 alunos.
a) De quantas formas distintas podemos eleger uma comissão?
b) De quantas formas distintas podemos eleger uma comissão sendo que ela deve ter 3 cargos
diferenciados: um presidente, um secretário e um tesoureiro?
Resolução:
a) Como não há cargos diferenciados para cada membro da comissão, a ordem dos elementos não irá
importar, ou seja, uma comissão com Gregório, Leandro e Alexandre é a mesma que uma outra formada
por Leandro, Alexandre e Gregório. Trata-se, portanto, do cálculo de C40,3:
)!340(!3
!40
C 3,40
-×
= =
!37123
!37383940
×××
×××
= 9 880
Logo, esta comissão pode ser formada de 9 880 formas distintas.
b) Neste caso, há cargos diferenciados e a ordem dos elementos importará, uma vez que se Gregório for
o presidente, Alexandre o secretário e Leandro o tesoureiro, será diferente se trocado Gregório e
Leandro, por exemplo.
Trata-se, então, do cálculo de A40,3, ou mesmo, da aplicação do P.F.C.:
40 39 38 = 59 280
Pres. Secr. Tes.
Logo, podemos formar 59280 comissões distintas.
2) Numa classe de 30 alunos, 18 são moças e 12 são rapazes. Quantas comissões de 5 alunos
podemos formar sabendo que na comissão deve haver 3 moças e 2 rapazes?
Resolução:
Para formar a ala feminina: C18,3 = 816
Para formar a ala masculina: C12,2 = 66
Aplicando o P.F.C., o número total de comissões será: 816 ´ 66 = 53 856.
EXERCÍCIOS
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76. 1) Sabendo que números de telefone não começam com 0 e nem com 1, calcule quantos diferentes
números de telefone podem ser formados com 7 algarismos?
2) Para ir ao clube, Neuci deseja usar uma camiseta, uma saia e um par de tênis. Sabendo que ela
dispõe de seis camisetas, quatro saias e três pares de tênis, de quantas maneiras distintas poderá
vestir-se?
3) Uma agência de turismo oferece bilhetes aéreos para o trecho São Paulo - Miami através de duas
companhias: Varig ou Vasp. O passageiro pode escolher também entre primeira classe, classe executiva
e classe econômica. De quantas maneiras um passageiro pode fazer tal escolha?
4) Um jantar constará de três partes: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas maneiras
distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cinco pratos principais e quatro
sobremesas?
5) Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 8 e 9:
a) quantos números de quatro algarismos podemos formar?
b) quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar?
6) Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7:
a) quantos números de quatro algarismos distintos começam por 3?
b) quantos números pares de quatro algarismos distintos podemos formar?
7) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números ímpares de quatro algarismos podemos
formar?
8) Calcule: a) A 9, 3 b) A 8, 4
9) Resolva a equação A x, 2 = 20.
10) Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos números de dois algarismos distintos é possível
formar com os elementos do conjunto A, de modo que:
a) a soma dos algarismos seja ímpar?
b) a soma dos algarismos seja par?
11) Determine n sabendo que Pn = 120.
12) Considere os anagramas formados com as letras C, A, S, T, E, L, O:
a) Quantos são?
b) Quantos começam por C?
c) Quantos começam por CAS?
d) Quantos começam e terminam por vogal?
e) Quantos começam por vogal e terminam por consoante?
13) Uma estante tem 10 livros distintos, sendo cinco de Álgebra, três de Geometria e dois de
Trigonometria. De quantos modos podemos arrumar esses livros na estante, se desejamos que os livros
de um mesmo assunto permaneçam juntos?
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77. 14) Uma classe de 10 alunos, entre eles Mariana e Gabriel, será submetida a uma prova oral em que
todos os alunos serão avaliados. De quantas maneiras o professor pode escolher a seqüência dos
alunos:
a) se Mariana deve ser sempre a primeira a ser chamada e Gabriel sempre o último a ser chamado?
b) se Mariana deve ser, no máximo, a 2ª pessoa a ser chamada? (Há dois casos a serem considerados.)
15) Quantos são os anagramas da palavra MACACA?
16) Quantos são, ao todo, os anagramas da palavra MATEMÁTICA que começam com vogal? (Não levar
em consideração o acento).
17) Um torneio de futebol será disputados em duas sedes a serem escolhidas entre seis cidades. De
quantas maneiras poderá ser feita a escolha das duas cidades?
18) Quinze alunos de uma classe participam de uma prova classificatória parta a Olimpíada de
Matemática. Se há três vagas para a Olimpíada, de quantas formas o professor poderá escolher os
alunos?
19) De um baralho de 52 cartas, sorteamos sucessivamente, e sem reposição, cinco cartas. O sorteio
sucessivo e sem reposição garante que as cartas sorteadas sejam distintas.
a) Quantas são as possibilidades de sorteio das cartas?
b) De quantas formas essas cartas podem ser sorteadas de modo que o ás de copas possa ser sempre
incluído?
20) Uma junta médica deverá ser formada por quatro médicos e dois enfermeiros. De quantas maneiras
ela poderá ser formada se estão disponíveis dez médicos e seis enfermeiros?
21) Uma classe tem 10 meninos e 12 meninas. De quantas maneiras poderá ser escolhida uma
comissão de três meninos e quatro meninas, incluindo, obrigatoriamente, o melhor aluno e a melhor
aluna?
22) Considere duas retas paralelas. Marque 7 pontos distintos numa delas e 4 pontos distintos na outra.
Determine, em seguida, o número total de:
a) Retas determinadas por estes pontos.
b) Triângulos com vértices nestes pontos.
c) Quadriláteros com vértices nestes pontos.
23) Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar
uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?
GABARITO
1) 8 000 000
2) 72
3) 6
4) 160
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78. 5) a) 1296 b) 360
5) a) 60 b) 180
7) 882
8) a) 504 b) 1 680
9) S = {5}
10) a) 12 b) 8
11) 5
12) a) 5 040 b) 720 c) 24 d) 720 e) 1 440
13) 8 640
14) a) 8! = 40320 b) 2 . 9! = 725760
15) 60
16) 75 600
17) 15
18) 455
19) a) C52, 5 b) C51, 4
20) 3 150
21) 5 940
22) a) 30 b) 126 c) 126
23) 120
ESTATÍSTICA
INTRODUÇÃO
Em anos de eleições é inevitável nos depararmos com pesquisas eleitorais, como por exemplo, quem
está em primeiro lugar nas pesquisas, ou em segundo, mas será que todos os eleitores foram
consultados? Com certeza não, pois há métodos mais convenientes, como por exemplo, considera-se
uma amostra dos eleitores e a partir desta amostra se conclui para o restante dos eleitores.
Em março de 1983, o deputado federal Dante de Oliveira, atendendo a uma forte pressão do povo
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79. brasileiro, apresentou uma proposta de emenda à Constituição, que pretendia restabelecer as eleições
diretas para a Presidência da República. A expectativa em torno dessa votação deu origem à maior
manifestação popular já conhecida neste país, que ficou conhecida como "Diretas já".
Em abril de 1984, cerca de 500 mil pessoas estavam na Praça da Candelária, no Rio de Janeiro e mais
1 milhão no Vale do Anhangabaú em São Paulo. A relação desse acontecimento com a Matemática, é a
forma como foram contadas as pessoas nestes lugares. Conta-se a quantidade de pessoas em um certo
local, e divide-se pela área ocupada por essas pessoas, em seguida, multiplica-se pela área total
ocupada, obtendo assim o valor estimado que é bem próximo do total.
ROL
As notas de 20 alunos de uma turma de oitava série estão abaixo relacionadas:
* 5,9 - 5,8 - 3,4 - 7,4 - 4,0 - 7,3 - 7,1 - 8,1 - 3,7 - 7,9 - 7,6 - 7,7 - 5,6 - 3,2 - 6,7 - 7,4 - 8,7 - 2,1 - 9,6 - 1,3
Para encontrarmos o Rol desta distribuição de valores basta colocarmos os valores em ordem crescente
ou decrescente:
* 1,3 - 2,1 - 3,2 - 3,4 - 3,7 - 4,0 - 5,6 - 5,6 - 5,6 - 6,7 - 7,1 - 7,3 - 7,4 - 7,4 - 7,6 - 7,7 - 7,7 - 8,1 - 8,7 - 9,6
* 9,6 - 8,7 - 8,1 - 7,7 - 7,7 - 7,6 - 7,4 - 7,4 - 7,3 - 7,1 - 6,7 - 5,6 - 5,6 - 5,6 - 4,0 - 3,7 - 3,4 - 3,2 - 2,1 - 1,3
CLASSES
Qualquer intervalo real que contenha um rol é chamado de classe. Considerando a relação de notas
especificadas acima podemos estabelecer as seguintes classes de intervalos:
vo intervalo [1, 2[ contém a nota 1,3
vo intervalo [2, 1[ contém a nota 2,1
vo intervalo [2, 3[ contém as notas 3,2; 3,4; 3,7
E assim sucessivamente.
Observação:
A amplitude é a diferença entre o maior e o menor elemento de uma distribuição, intervalo ou classe.
Exemplos:
v 9,6 - 1,3 = 8,5 é amplitude da distribuição das notas.
v A amplitude da classe [7, 8[ é 7,7 - 7,1 = 0,6.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
FREQÜÊNCIA ABSOLUTA (fi)
É a quantidade de vezes que um determinado valor aparece numa classe. Observe a tabela
abaixo, referente à distribuição das notas:
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80. CLASSES Freqüência Absoluta
(fi)
[1, 2[ 1
[2, 3[ 1
[3, 4[ 3
[4, 5[ 1
[5, 6[ 3
[6, 7[ 1
[7, 8[ 7
[8, 9[ 2
[9, 10[ 1
TOTAL 20
Da tabela podemos concluir que, por exemplo, 7 alunos tiraram notas entre 7,0 e 8,0.
FREQÜÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA (fa)
A distribuição de freqüências absolutas pode ser completada com mais uma coluna, chamada
freqüências absolutas acumuladas (fa), cujos valores são obtidos adicionando a cada freqüência
absoluta os valores das freqüências anteriores.
CLASSES Freqüência Absoluta (fi) Freqüência Absoluta Acumulada (fa)
[1, 2[ 1 1
[2, 3[ 1 2
[3, 4[ 3 5
[4, 5[ 1 6
[5, 6[ 3 9
[6, 7[ 1 10
[7, 8[ 7 17
[8, 9[ 2 19
[9, 10[ 1 20
TOTAL(n) 20 ÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀ
FREQÜÊNCIA RELATIVA (f%)
FREQÜÊNCIA RELATIVA ACUMULADA (fa%)
A freqüência relativa é obtida através do quociente:
onde fi representa a freqüência absoluta de um dado valor ou classe, e n representa a soma de todos as
freqüências absolutas.
A freqüência relativa acumulada é obtida de modo análogo à freqüência absoluta acumulada, mas agora
utilizando a freqüência relativa.
Acrescentando mais duas colunas na tabela:
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81. CLASSES F.A. (fi) F.A.Al. (fa) F. R. (f%) F. R. A. (fa%)
[1, 2[ 1 1 5% 5%
[2, 3[ 1 2 5% 10%
[3, 4[ 3 5 15% 25%
[4, 5[ 1 6 5% 30%
[5, 6[ 3 9 15% 45%
[6, 7[ 1 10 5% 50%
[7, 8[ 7 17 35% 85%
[8, 9[ 2 19 10% 95%
[9, 10[ 1 20 5% 100%
TOTAL(n) 20 ÀÀÀÀÀ 100% ÀÀÀÀÀ
· F.A. (fi) = Freqüência Absoluta
· F.A.A. (fa)= Freqüência Absoluta Acumulada
· F. R. (f%) = Freqüência Relativa
· F. R. A. (fa%) = Freqüência RelativaAcumulada
Nota:
Esta tabela é chamada de Tabela de Distribuição de Freqüência.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
A tabela de distribuição de freqüência do exemplo anterior pode ser representada graficamente:
GRÁFICO DE LINHA
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82. [1,2] [2,3] [3,4] [4,5] [5,6] [6,7] [7,8] [8,9] [9,10]
CLASSES
NOTAS
FREQÜÊNCIA
Número de
Alunos
Para a construção deste gráfico, marcam-se os pontos determinados pelas classes e as
correspondentes freqüências, ligando-os, a seguir, por seguimentos de reta.
GRÁFICO DE BARRAS
Vamos agora construir um diagrama de barras verticais, e paratanto, basta dispor as freqüências num
eixo vertical:
FREQÜÊNCIA
Número de
Alunos
[1,2] [2,3] [3,4] [4,5] [5,6] [6,7] [7,8] [8,9] [9,10]
CLASSES
NOTAS
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83. GRÁFICO DE SETORES
Para a construção deste gráfico vamos dividir um círculo em setores com ângulos proporcionais
às freqüências. No nosso caso já temos a freqüência relativa:
[1, 2[ Þ 5% de 360o = 0,05 ´ 360o = 18o
[2, 3[ Þ5% de 360o = 0,05 ´ 360o = 18o
[3, 4[ Þ 15% de 360o = 0,15 ´ 360o = 54o
[4, 5[ Þ 5% de 360o = 0,05 ´ 360o = 18o
[5, 6[ Þ 15% de 360o = 0,15 ´ 360o = 54o
[6, 7[ Þ 5% de 360o = 0,05 ´ 360o = 18o
[7, 8[ Þ 35% de 360o = 0,35 ´ 360o = 126o
[8, 9[ Þ 10% de 360o = 0,10 ´ 360o = 36o
[9, 10[ Þ 5% de 360o = 0,05 ´ 360o = 18o
5% 5%
5%
5%
5%
10%
15%
15%
35%
HISTOGRAMA
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84. Freqüência
(Número de alunos)
Classes
Notas
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MÉDIA ARITMÉTICA ( )x
Para encontrar a média aritmética entre valores, basta somar todos eles e dividir pela quantidade
que aparecem. Matematicamente:
ou usando símbolos:
MODA (Mo)
Considere a distribuição abaixo referente às idades de 11 pessoas integrantes de um movimento popular:
16 - 19 - 18 - 14 - 19 - 16 - 14 - 14 - 15 - 20 - 14
Repare que a idade de maior freqüência é 18 anos, portanto dizemos que a moda desta amostra é 14
anos.
Mo = 14 anos
Exemplos:
v3 - 7 - 4 - 6 - 9 - 6 - 4 - 2 - 1 - 4 ÞMo = 4
v5 - 3 - 2 - 8 - 8 - 9 - 5 - 1 - 5 - 8 Þ Mo = 8
Mo' = 5
Esta amostra é considerada bimodal por apresentar duas modas.
v1 - 9 - 8 - 6 - 4 - 3 - 2 - 7 - 5 Þ Esta amostra não apresenta moda, repare que todos os elementos
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85. apresentam a mesma freqüência.
MEDIANA (Md)
Considerando ainda, o mesmo exemplo anterior e dispondo as idades em rol temos:
14 - 14 - 14 - 14 -15 - 16 - 16 - 18 - 19 - 19 - 20
O termo central desse rol é chamado mediana da amostra:
Md = 16 anos
Exemplo:
vDispondo em rol as estaturas de seis atletas de um colégio temos:
1,68 - 1,68 - 1,70 - 1,72 - 1,72 - 1,74
Agora temos dois termos centrais, pois é uma distribuição com um número par de elementos, toda vez
que isso ocorrer, a mediana será a média aritmética dos dois termos:
Md = 1,71m
Observação:
O rol pode ser disposto na sua forma crescente ou decrescente, pois o(s) termo(s) central(is) será(ão)
o(s) mesmo(s) nos dois casos.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Observe as notas de três turmas de um curso de espanhol e suas respectivas médias:
vTurma A: 5 - 5 - 5 - 5 - 5 Þ A = 5x
vTurma B: 4 - 6 - 5 - 6 - 4 Þ B = 5x
vTurma C: 1 - 2 - 5 - 9 - 8 Þ C = 5x
Se fôssemos nos basear apenas nas médias aritméticas de todas as turmas, diríamos que todas
apresentam desempenho igual, no entanto observamos pelas notas dos integrantes que isso não é
verdade, daí vem a necessidade de se definir uma nova medida que avalie o grau de variabilidade da
turma, de tal forma que a análise dos dados não fique comprometida.
DESVIO ABSOLUTO MÉDIO (Dam)
Nas notas acima podemos encontrar qual o desvio de cada turma, paratanto basta efetuar a diferença
entre uma nota e a média, nessa ordem. O módulo dessa diferença é chamado desvio absoluto.
Logo, a média aritmética desses desvios absolutos é chamada Desvio Absoluto Médio:
O desvio absoluto médio mede o afastamento médio de cada turma com relação a média. Assim, temos
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86. que a turma C apresenta uma variação muito grande da média, a turma B um afastamento moderado e A
não apresenta afastamento. Matematicamente:
VARIÂNCIA (S2)
A variância também pode apresentar esse grau de variabilidade entre os elementos de uma
distribuição. Define-se essa medida como a média aritmética entre os quadrados dos desvios
dos elementos da amostra:
Em símbolos:
DESVIO PADRÃO (S)
Muitas vezes as amostras estão relacionadas com unidades de medidas que ao serem
interpretadas, poderá causar algumas dificuldades, como por exemplo se os elementos da amostra
representam as estaturas em metros, a variância representará um valor em m2 (unidade de área); e
portanto como a unidade não tem a ver com as medidas dos elementos da amostra, não será
conveniente utilizar a variância. Por dificuldades como essa é que foi definido o desvio padrão que nada
mais é que a raiz quadrada da variância.
A Þ s = = 00
B Þ s = @ 0,890,8
C Þ s = @ 3,1610
Observação:
Apresentamos três formas distintas de se analisar as dispersões entre as amostras, em cada caso
analisaremos da forma que mais convir.
EXERCÍCIOS
1) São dados os conjuntos A = { 2,4,6,8,10} e B = { 3,5,7,9,11}. Para cada conjunto, calcule:
a) a amplitude
b) a média aritmética
c) o desvio médio
d) a variância
e) o desvio padrão
2) Três conjuntos A, B e C têm os seguintes elementos:
A = { 8,8,9,7,10, 9,12},
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87. B = {13, 10, 11, 9, 10, 13}
C = {8, 6, 7,8, 6, 7, 7}.
a) Determine a média aritmética e o desvio padrão de cada um deles.
b) Qual desses conjuntos tem a maior dispersão? Justifique.
3) Uma fábrica de iogurtes opera com duas máquinas e está colocando o produto dentro de embalagens,
cujo peso nominal é de 100 ml. No entanto, um teste estatístico da produção apontou os seguintes
números:
Máquina 1: média por embalagem = 100,34 ml
desvio padrão = 0,4 ml
Máquina 2: média por embalagem = 100,41ml
desvio padrão = 0,7 ml
Qual das duas máquinas está trabalhando melhor? Justifique.
4) Numa prova de Matemática, duas classes obtiveram as seguintes médias e desvios:
Turma A: média = 5,5 desvio = 2,5
Turma B: média = 5,5 desvio = 3,0
Se for sorteado um aluno de cada classe, em qual delas é mais provável sair um aluno com nota entre
4,5 e 6,0? Justifique.
5) Numa amostra de soldados do exército foram constadas as seguintes estaturas, em metros: 1,80;
1,78; 1,69; 1,92; 1,93; 1,81; 1,90; 1,76; 1,74; 1,83; 1,88; 1,79; 1,85; 1,92; 1,86; 1,74. Construa uma tabela
de distribuição de freqüência e de freqüência relativa dessa amostra, com quatro classes.
6) A tabela seguinte corresponde à distribuição de freqüência das camisas vendidas por uma confecção
no mês de maio, segundo a numeração (1, 2, 3, 4 e 5) das camisas.
Classe (numeração) Freqüência (número de unidades vendidas)
1 50
2 150
3 250
4 450
5 100
Construa os seguintes gráficos dessa distribuição: de linha, barras verticais e de setores.
7) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de
televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite. Os resultados obtidos estão representados no
gráfico de barras a seguir:
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88. I-) O número de residências atingidas nessa pesquisa foi, aproximadamente, de:
a) 100 b) 135 c) 150 d) 200 e) 220
II-) A percentagem de entrevistados que declararam estar assistindo à TvB é aproximadamente igual a:
a) 15% b) 20% c) 22% d) 27% e) 30%
8) O gráfico de setores representado abaixo mostra a distribuição de uma amostra de alunos e suas
respectivas notas na prova de português.
NOTA 8
8%
NOTA 2
8%
NOTA 3
12%
NOTA 4
13%
NOTA 5
34%
NOTA 6
25%
Sabendo que a amostra é composta de sessenta alunos, responda:
a) Quantos alunos tiveram nota 3?
b) Quantos alunos tiveram nota 5?
c) Qual a freqüência relativa da classe "nota 6"?
9) O gráfico mostra a distribuição de uma amostra de garrafas de refrigerantes e seus respectivos
volumes em mililitros:
a) Quantas garrafas compõem essa amostra?
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89. b) Qual a freqüência relativa da classe "300ml"?
10) O número de indivíduos de certa população é representado pelo gráfico abaixo:
Em 1980, a população era aproximadamente igual à de:
a) 1950 b) 1953 c) 1957 d) 1960 e) 1963
11) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão da
oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, a seguir representado. A Companhia
Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande aumento na
oferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas
telefônicas.
Analisando os gráficos podemos concluir que:
a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I.
b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto.
c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o I incorreto.
d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas.
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90. e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes.
12) As idades dos jogadores de um time de basquetebol são 18, 23, 19, 20 e 21 anos. Qual é a média de
idade desses jogadores?
13) Entre sessenta números, vinte são iguais a 5, dez são iguais a 6, quinze são iguais a 8, dez são
iguais a 12, e cindo são iguais a 16. Determine a média aritmética desses números.
14) O gráfico, em forma de pizza, representa as notas obtidas em uma questão pelos 32.000 candidatos
presentes à primeira fase de uma prova de vestibular. Ele mostra, por exemplo, que 32% desses
candidatos tiveram nota 2 nessa questão.
Pergunta-se:
a) Quantos candidatos tiveram nota 3?
b) É possível afirmar que a nota média, nessa questão, foi menor ou igual a 2? Justifique sua resposta.
15) Observando o gráfico do exercício anterior, responda:
a) Qual é a moda do conjunto das notas de todos os alunos?
b) Qual é a mediana do conjunto das notas de todos os alunos?
16) A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é 40 anos. Se a média aritmética das
idades das mulheres é 35 anos e a dos homens é 50 anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no
grupo?
17) O gráfico abaixo mostra a distribuição de freqüência das notas obtidas pelos alunos da segunda série
do ensino médio numa prova de educação física.
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91. Determinar:
a) a nota média desses alunos;
b) a mediana dessa distribuição;
c) a moda dessa distribuição.
18) Às vésperas de um jogo decisivo, o técnico de uma equipe de basquetebol deve optar pela escalação
de um dentre dois jogadores A e B. As duas tabelas seguintes mostram o desempenho de cada jogador
nos últimos cinco jogos dos quais participou:
Jogador A
Jogo Número de pontos
1 20
2 22
3 18
4 20
5 20
Jogador B
Jogo Número de pontos
1 30
2 14
3 20
4 12
5 24
a) Calcular a média de cada um por jogo.
b) Calcular o desvio padrão de cada um nesses cinco jogos.
c) Você, como técnico desse time, se tivesse que escalar um desses jogadores, num jogo onde a simples
vitória lhe daria o título de campeão, qual deles escalaria?
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92. 19) Sejam os números, 7,8,3, 5, 9 e 5 seis números de uma lista de nove números inteiros. O maior
valor possível para a mediana dos nove números da lista e:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
GABARITO - ESTATÍSTICA
1)
Conjunto A - a) 8 b) 6 c) 2,4 d) 8 e) 2,8 aprox.
Conjunto B - a) 8 b) 7 c) 2,4 d) 8 e) 2,8 aprox.
2)
a) Conjunto A X = 9 DP » 1,51
Conjunto B X = 11 DP » 1,53
Conjunto C X = 7 DP » 0,75
b) O Conjunto B tem a maior dispersão porque tem o maior desvio padrão
3) Máquina 1, pois tem a melhor média e o menor desvio
4) Turma A. Desvio menor significa que, de modo geral, as notas estão mais próximas da média.
5) Uma distribuição possível é:
Classe (m) fi f%
[1,69; 1,76[ 3 18,75%
[1,76; 1,83[ 5 31,25%
[1,83; 1,92[ 5 31,25%
[1,92; 1,93[ 3 18,75%
6)Gráfico de Barras Verticais
450
250
150
100
50
Freqüência
Numeração1 2 3 4 5
Gráfico de Linha
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93. 450
250
150
100
50
Freqüência
Numeração1 2 3 4 5
Gráfico de Setores
1
5% 2
15%
3
25%
4
45%
5
10%
7) I-) D II-) A
8) a) 7 alunos b) 20 alunos c) 25%
9) a) 700 garrafas b) aproximadamente 57,14%
10) C
11) D
12) 20,2 anos
13) 8
14) a) 1 520 candidatos
b) não, pois a nota média, nessa questão, é:
= 2,30 e portanto, > 2.x x
15) a) Mo = 2 b) Md = 2
16) 180 mulheres e 40 homens.
17) a) = 6,6 b) Md = 7 c) Mo = 7x
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94. 18) a) Jogador A: =20, jogador B: = 20;Ax Bx
b) jogador A: sA = 1,2, jogador B: sB = 6,5
c) Você decide! Observe, porém, que, apesar de os jogadores possuírem a mesma média de
pontos por jogo, o desvio-padrão do jogador A é menor do que o do jogador B. Isso quer dizer que, em
muito mais jogos, o jogador A esteve mais próximo da média do que o jogador B, isto é, A foi mais
regular do que B.
19) D
PROBABILIDADE
Em um jogo, dois dados são lançados simultaneamente, somando-se, em seguida, os pontos obtidos na
face superior de cada um deles. Ganha quem acertar a soma desses pontos.
Antes de apostar, vamos analisar todos os possíveis resultados que podem ocorrer em cada soma.
Indicando os números da face superior dos dados pelo par ordenado (a, b), onde a é o número do
primeiro dado e b o número do segundo, temos as seguintes situações possíveis:
a + b = 2, no caso (1, 1);
a + b = 3, nos casos (1, 2) e (2, 1);
a + b = 4, nos casos (1, 3), (2, 2) e (3,1);
a + b = 5, nos casos (1,4), (2,3), (3, 2) e (4, 1)
a + b = 6, nos casos (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4,2) e (5, 1);
a + b = 7, nos casos (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4,3), (5, 2) e (6, 1);
a + b = 8, nos casos (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) e (6, 2);
a + b = 9, nos casos (3, 6), (4, 5), (5, 4) e (6,3);
a + b = 10, nos casos (4, 6), (5, 5) e (6, 4);
a + b = 11, nos casos (5, 6) e (6,5);
a + b = 12, no caso (6, 6).
É evidente que, antes de lançar os dois dados, não podemos prever o resultado "soma dos
pontos obtidos"; porém, nossa chance de vencer será maior se apostarmos em a + b = 7, pois essa
soma pode ocorre de seis maneiras diferentes.
Situações como essa, onde podemos estimar as chances de ocorrer um determinado evento,
são estudas pela teoria das probabilidades. Essa teoria, criada a partir dos "jogos de azar", é hoje um
instrumento muito valioso e utilizado por profissionais de diversas áreas, tais como economistas,
administradores e biólogos.
ESPAÇO AMOSTRAL
Um experimento que pode apresentar resultados diferentes, quando repetido nas mesmas condições, é
chamado experimento aleatório.
Chamamos Espaço Amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
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95. Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de
ocorrer.
No exemplo acima temos, como espaço amostral 36 possibilidades, para a ocorrência de quaisquer
eventos.
No exemplo de uma moeda lançando-se para cima, a leitura da face superior pode apresentar o
resultado "cara" (K) ou "coroa" (C). Trata-se de um experimento aleatório, tendo cada resultado a
mesma chance de ocorrer.
Neste caso, indicando o espaço amostral por S1 e por n(S1) o número de seus elementos, temos:
S1 = {K, C} e n(S1) = 2
Se a moeda fosse lançada duas vezes, teríamos os seguintes resultados: (K, K), (K, C), (C, K), (C, C).
Neste caso, indicando o espaço amostral por S2 e por n(S2) o número de seus elementos, temos:
S2 = {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)} e n(S2) = 4
EVENTOS
Chama-se evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Considerando o lançamento de um
dado e a leitura dos pontos da face superior, temos o espaço amostral:
S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6
Um exemplo que podemos elucidar de evento é "ocorrência de número par". Indicando esse evento por
A, temos:
A = {2, 4, 6} e n(A) = 3
PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO
Ainda levando-se em consideração o exemplo acima, "ocorrência de número par", no lançamento de
um dado, teremos:
2
1
6
3
)S(n
)A(n
)A(P ===
Concluí-se que a probabilidade de o evento "ocorrência de número par" ocorrer é 50% ou ½. Isto quer
dizer que ao lançarmos um dado ao acaso teremos 50% de chance de obter um número par, na face do
dado.
Voltando ao nosso primeiro exemplo, onde num jogo, ganha quem conseguir a soma das faces. Vimos
que a probabilidade de ocorrer o número 7 era maior, pois tínhamos diversas maneiras de ocorrer.
Chamaremos o evento "ocorrência da soma 7" entre os dois dados, de E:
n(E) = 6;
n(S) = 36.
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96. portanto:
6
1
36
6
)S(n
)E(n
)E(P === , temos então que 16,7% é a probabilidade do evento ocorrer.
Exercícios Resolvidos
1) Qual a probabilidade do número da placa de um carro ser um número par?
Resolução:
Para o número da placa de uma carro ser um número par, devemos ter um número par no algarismo das
unidades, logo o espaço amostral (S) e o evento (E) serão:
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Þ n(S) = 10
E = {2, 4, 6, 8, 0} Þ n(E) = 5
Portanto a Probabilidade de ocorrer o referido evento será:
2
1
10
5
)S(n
)E(n
)E(P ===
Resposta: 50% ou ½
2) O número da chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é:
a )
10
1
b )
2
1
c )
9
4
d )
9
5
e )
5
1
Resolução:
Se a placa de um carro é um número par, então, independente do numero de algarismos que tenha a
placa o algarismo das unidades será, necessariamente, um número par.
O espaço amostral, neste caso:
S = {2, 4, 6, 8, 0} Þ n(S) = 5
O evento é "ocorrência do zero", logo só podemos ter ocupando o último algarismo o número zero:
E = {0} Þ n(E) = 1
5
1
)S(n
)E(n
)E(P ==
Resposta: 20% ou
5
1
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Consideremos dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral S.
Da teoria dos conjuntos temos:
n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B)
Dividindo os dois membros dessa igualdade por n(S), temos:
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97. P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)
A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilidades desses eventos,
menos a probabilidade da intersecção de A com B."
Observação: se A e B forem disjuntos, isto é:
se A Ç B = Æ, então P(A È B) = P(A) + P(B).
Neste caso, ainda, os eventos são ditos Eventos Independentes.
Exercício Resolvido
No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar?
Resolução:
Espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6
evento "número 3" é: A = {3}e n(A) = 1
evento "número ímpar" é: B = {1,3,5} e n(B) = 3
A Ç B = {3} Ç {1,3,5} = {3}, então n(AÇB) = 1
Logo:
P(A È B) = 1/6 + 3/6 - 1/6 = ½
Resposta: 50% ou ½
Observação:
A soma da probabilidade de ocorrer um evento A com a probabilidade de não ocorrer o evento A é igual a
1:
p(A) + p( ) = 1A
Assim, se a probabilidade de ocorrer um evento A for 0,25 (
4
1
), a probabilidade de não ocorrer o
evento A é 0,75 (
4
3
).
EXERCÍCIOS
01) Joga-se um dado "honesto" de seis faces, numeradas de 1 a 6, lê-se o número da face voltada para
cima. Calcular a probabilidade de se obter:
a) o número 2 b) o número 6
c) um número par d) um número ímpar
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98. e) um número primo
02) Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos através dos algarismos 4, 5, 6, 7 e
8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, qual a probabilidade de ele ser um número ímpar?
03) Qual a probabilidade de uma bola branca aparecer ao retirar-se uma única bola de uma urna
contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis?
04) Considere todos os anagramas da palavra LONDRINA que começam e terminam pela letra N. Qual a
probabilidade de se escolher ao acaso um desses anagramas e ele ter as vogais juntas?
05) A probabilidade de ocorrerem duas caras ou duas coroas no lançamento de duas moedas é:
a)
4
1
b)
4
3
c) 1 d) 2 e)
2
1
06) Em uma indústria com 4.000 operários, 2.100 têm mais de 20 anos, 1.200 são especializados e 800
têm mais de 20 anos e são especializados. Se um dos operários é escolhido aleatoriamente, a
probabilidade de ele ter no máximo 20 anos e ser especializado é:
a )
10
1
b )
5
2
c )
8
3
d )
85
27
e )
18
7
07) Um prêmio vai ser sorteado entre as 50 pessoas presentes em uma sala. Se 40% delas usam óculos,
12 mulheres não usam óculos e 12 homens os usam, a probabilidade de ser premiado um homem que
não usa óculos é:
a )
25
4
b )
25
6
c )
25
8
d )
25
9
e )
5
2
08) Dois jogadores A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam que, se a soma dos números dos
dados for 5, A ganha, e se essa soma for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A
não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho?
a )
36
10
b )
32
4
c )
36
5
d )
35
5
e) não se pode calcular sem saber os números sorteados.
09) Se dois prêmios iguais forem sorteados entre 5 pessoas, sendo duas brasileiras e três argentinas,
qual será a probabilidade de:
a) serem premiadas as duas brasileiras?
b) ser premiada pelo menos uma argentina?
c) serem premiadas duas argentinas?
10) Numa caixa existem 5 balas de hortelã e 3 balas de mel. Retirando-se sucessivamente e sem
reposição duas dessas balas, qual a probabilidade de que as duas sejam de hortelã?
11) Em um lote de 500 lanternas para automóvel, existem 20 peças com defeito. Se retirarmos uma
lanterna, qual a probabilidade de estar defeituosa ?
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99. 12) Em uma urna, tem 1o bolas brancas, 5 pretas e 5 azuis. Se retirar uma bola, pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de que a bola seja azul?
b) Qual a probabilidade de que a bola seja branca?
c) Qual a probabilidade de que a bola seja preta?
d) Qual a probabilidade de que a bola seja amarela?
e) Qual a probabilidade de que a bola seja azul ou amarela?
f) Qual a probabilidade de que a bola seja azul, amarela ou branca?
13) No lançamento de um dado, qual será a probabilidade de se obter face superior com número par?
14) Em um lote de 500 peças para automóveis, existem 15 peças com defeito. Se retirarmos uma peça,
qual a probabilidade de a peça não Ter defeito?
15) Num conjunto numérico de 1 a 100, um número é escolhido ao acaso. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de esse número ser 3 ?
b) Qual a probabilidade de esse número ser múltiplo de 10 ?
c) Qual a probabilidade de esse número ser ímpar ?
d) Qual a probabilidade de esse número ser 15 ou 30?
16) Num lançamento de um dado qual a probabilidade de se obter um número múltiplo de 5?
17) Uma moeda é lançada duas vezes. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de se obter Cara e Coroa?
b) Qual a probabilidade de se obter Coroa e Coroa?
18) Numa loja, existem, para a venda, dez televisores e dois videocassetes. Se retirarmos um aparelho
ao acaso, pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de ser um televisor?
b) Qual a probabilidade de ser um videocassete?
c) Qual a probabilidade de ser um televisor ou um videocassete?
19) Um comprador foi a uma loja e comprou um automóvel. Sabendo-se que existiam quinze veículos e
apenas um com defeito, pergunta-se, qual a probabilidade de o comprador Ter levado o automóvel
defeituoso?
GABARITO
01) a) 1/6 b) 1/6 c) 1/2 d) 1/2 e) 1/2
02) 2/5
03) 1/3
04) 1/5
05) E
06) A
07) D
08) B
09) a) 1/10 b) 9/10 c) 3/10
10) 9/16
11) 1/25
12) a) 1/4 b) 1/4 c) 1/2 d) 0 e) 1/4 f) 3/4
13) 1/2
14) 97/100
15) a) 3/100 b) 1/10 c) 1/2 d) 1/50
16) 1/6
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100. 17) a) 1/4 b) 1/4
18) a) 5/6 b) 1/6 c) 1
19) 1/15
EXERCÍCIOS
Coletânea I
Bateria 1
01. A figura indica três símbolos, dispostos em um quadrado de 3 linhas e 3 colunas, sendo que
cada símbolo representa um número inteiro.Ao lado das linhas e colunas do quadrado, são
indicadas as somas dos correspondentes números de cada linha ou coluna, algumas delas
representadas pelas letras X, Y e Z.
Nas condições dadas. X+ Y + Z é igual a:
(A) 17
(B) 18
(C) 19
(D) 20
(E) 21
02. A figura mostra a localização dos apartamentos de um edifício de três pavimentos que tem
apenas alguns deles ocupados:
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