Este documento apresenta os conceitos de equivalência lógica e implicação lógica. A equivalência lógica entre duas proposições é verificada quando elas têm a mesma tabela-verdade ou quando a bicondicional associada é uma tautologia. A implicação lógica ocorre quando toda vez que a primeira proposição for verdadeira, a segunda também o é, ou quando a condicional associada for uma tautologia. Exemplos ilustram como verificar essas relações por meio de tabelas-verdade.

1. Faculdade SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
SI11 LÓGICA
MÓDULO IV
Equivalência Lógica
Implicação Lógica
Professor Newton Marquez Alcantara
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2. 1. Equivalência Lógica
No módulo III definimos e estudamos alguns exemplos de equivalência lógica. Nós vamos
continuar o estudo desta relação apresentando uma segunda maneira de verificar se a relação de
equivalência lógica existe ou não entre duas proposições P (p,q,r,s,...) e Q (p,q,r,s,...).
1.1. RECORDANDO: Duas proposições são logicamente equivalentes se e somente se têm a
mesma tabela verdade. Portanto, para verificar a existência ou não da relação de equivalência lógica
entre duas proposições P (p,q,r,s,...) e Q (p,q,r,s,...) , basta construir as tabelas-verdade para ambas
as proposições e verificar se o resultado final é o mesmo.
1.2. Uma segunda maneira de verificar a existência da relação de equivalência lógica.
Definição: sejam P (p,q,r,s,...) e Q (p,q,r,s,...) duas proposições. P (p,q,r,s,...) e Q (p,q,r,s,...) são
logicamente equivalentes se e somente se a bicondicional “P (p,q,r,s,...) ↔ Q (p,q,r,s,...)” é uma
tautologia.
Observação: A bicondicional (P (p,q,r,s,...) ↔ Q (p,q,r,s,...)) é denominada de bicondicional
associada.
Exemplo: Verificar se P(p,q) = p → q e Q (p,q) = p’ + q são logicamente equivalentes.
bicondicional associada
P q p’ p→q p’ + q (p → q) ↔ (p’ + q)
1 1 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1
0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
Como a bicondicional associada “(p → q) ↔ (p’ + q)” é uma tautologia, podemos concluir que
existe a relação de equivalência lógica, ou seja, que P(p,q) = (p → q) é logicamente equivalente a
Q (p,q) = (p’ + q).
Exemplo: Verificar se P(p,q,r) = p ↔ (qr) e Q(p,q,r) = q + (p→r)’ são logicamente equivalentes.
bicondicional associada
p q r q r p ↔ (q r) p→r (p→ r)’ q + (p→ r)’ (p ↔ (q r)) ↔ (q + (p→r)’)
1 1 1 0 0 1 0 1 0
1 1 0 1 1 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 0 0 0
Como a bicondicional associada [(p ↔ (q r)) ↔ (q + (p→r)’] é uma contingência, ou seja, não é
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3. uma tautologia. Portanto, podemos concluir que não existe a relação de equivalência lógica, ou seja,
que P(p,q) = (p ↔ (q r)) não é logicamente equivalente a Q (p,q) = (q + (p→r)’).
Exercícios: Verifique, tanto pela definição quanto pela bicondicional associada, se existe a relação
de equivalência lógica.
a) P(p,q,r) = r + (p . q) Q(p,q,r) = (r + p) . (r + q)
b) P(p,q) = (p → q)’ Q(p,q) = (q’ → p’)
RESPOSTAS:
a) Existe a relação de equivalência lógica
b) Não existe a relação de equivalência lógica
2. Implicação Lógica
2.1. Definição. Uma proposições P (p,q,r,s,...) implica logicamente uma proposição Q (p,q,r,s,...) se
e somente se toda vez que P (p,q,r,s,...) for verdadeira também verificarmos que Q (p,q,r,s,...) é
verdadeira.
De outra forma, uma proposições P (p,q,r,s,...) implica logicamente uma proposição Q (p,q,r,s,...)
se e somente se for impossível que P (p,q,r,s,...) seja verdadeira e Q (p,q,r,s,...) seja falsa.
2.2. Simbologia. Simbolicamente, representaremos este fato, por “P (p,q,r,s,...)  Q (p,q,r,s,...)”
e leremos como “a proposição P (p,q,r,s,...) implica logicamente a proposição Q (p,q,r,s,...)”.
OBSERVAÇÃO: Os símbolos “→” e “” são completamente distintos. O primeiro (“→”)
representa a condicional, que é um conectivo. O segundo (“”) representa a relação de
implicação lógica que pode ou não existir entre duas proposições.
2.3. Verificação da existência da relação de implicação lógica entre duas proposições P (p,q,r,s,...)
e Q (p,q,r,s,...). O processo de verificação decorre diretamente da definição. Basta construir as
tabelas-verdade para ambas as proposições e verificar se em toda linha da tabela-verdade que
P (p,q,r,s,...) for verdadeira Q (p,q,r,s,...) também é verdadeira.
Exemplo: Verificar se P(p,q) = (p ↔ q) implica logicamente Q (p,q) = (p → q).
P(p,q) Q(p,q)
p q p↔q p→q
1 1 1 1
1 0 0 0
0 1 0 1
0 0 1 1
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4. Logo existe a relação de implicação lógica entre P(p,q) e Q(p,q) , pois toda vez que P(p,q) é
verdadeira, Q(p,q) também é verdadeira. Portanto, podemos escrever que P (p,q)  Q (p,q) , ou
seja, que (p ↔ q)  (p → q).
Segunda alternativa de verificação: Da mesma forma que na equivalência lógica, na implicação
lógica temos uma segunda alternativa para verificar a existência desta relação entre duas
proposições. A verificação passa pela constatação de que a Condicional Associada é tautológica. A
Condicional Associada é construída fazendo-se “P(p,q) → Q(p,q)”. Se “P(p,q) → Q(p,q)” for uma
tautologia, então existe a relação de implicação lógica entre P(p,q) e Q(p,q) , ou seja, podemos
afirmar que P(p,q)  Q(p,q) .
Exemplo: Verificar, utilizando a condicional associada, se P(p,q) = (p ↔ q) implica logicamente
Q (p,q) = (p → q).
P(p,q) Q(p,q) condicional associada
p q p↔q p→q (p ↔ q) → (p → q)
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
0 1 0 1 1
0 0 1 1 1
tautologia
Como a condicional associada é tautológica, ou seja ela é sempre verdadeira, então existe a relação
de implicação lógica entre P(p,q) e Q(p,q) . Portanto, podemos escrever que P (p,q)  Q (p,q) ,
ou seja, que (p ↔ q)  (p → q).
Exemplo: Verificar, pela definição e pela condicional associada, se P(p,q) = (p’ + q’) implica
logicamente Q (p,q) = (p  q).
P(p,q) Q(p,q)
p q p’ q’ p’ + q’ pq
1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 1
0 1 1 0 1 1
0 0 1 1 1 0
Pela definição: Não existe a relação de implicação lógica entre P(p,q) e Q(p,q), pois temos ao
menos uma situação em que P(p,q) é verdadeira e Q(p,q) é falsa (4ª linha da tabela verdade).
Portanto, P (p,q) não implica logicamente Q (p,q).
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5. Pela condicional associada:
P(p,q) Q(p,q) condicional associada
p q p’ q’ p’ + q’ pq (p’ + q’) → (p  q)
1 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0
contingência
Não existe a relação de implicação lógica entre P(p,q) e Q(p,q), pois a condicional associada é uma
contingência, ou seja, não é uma tautologia. Portanto, P (p,q) não implica logicamente Q (p,q).
Exemplo: Verificar, pela definição e pela condicional associada, se P(p,q,r) = ((p → q)  r) implica
logicamente Q(p,q,r) = ((p’+q) + r) .
P(p,q,r) Q(p,q,r) condicional associada
p q r p’ p→q (p → q)  r p’ + q (p’+ q) + r [(p → q)  r] → [(p’+q) + r]
1 1 1 0 1 0 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 1 1 1 0 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1 1
tautologia
Pela definição
JUSTIFICATIVAS
Pela definição: Existe a relação de implicação lógica entre P(p,q,r) e Q(p,q,r), pois toda vez que
P(p,q,r) é verdadeira, Q(p,q,r) também é verdadeira. Portanto, P(p,q,r) implica logicamente
Q(p,q,r) , ou seja, P(p,q,r)  Q(p,q,r).
Pela condicional associada: Existe a relação de implicação lógica entre P(p,q,r) e Q(p,q,r), pois a
condicional associada é uma tautologia, ou seja, a condicional associada é sempre verdadeira.
Portanto, P(p,q,r) implica logicamente Q(p,q,r) , ou seja, P(p,q,r)  Q(p,q,r).
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6. Exemplo: Verificar, pela definição e pela condicional associada, se P(p,q,r) = (qr) ↔ p implica
logicamente Q(p,q,r) = (p→r)’ + q.
P(p,q,r) Q(p,q,r) condicional associada
p q r q r (q r) ↔ p p → r (p→r)’ (p→r)’ + q ((q r) ↔ p) → ((p→r)’ + q)
1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 1 1
0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 1
0 0 1 1 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 0 0 0
Contingência
Pela definição
JUSTIFICATIVAS
Pela definição: Não existe a relação de implicação lógica entre P(p,q,r) e Q(p,q,r), pois existe caso
em que P(p,q,r) é verdadeira e Q(p,q,r) é falsa (3ª e 8ª linhas da tabela-verdade). Portanto, P (p,q,r)
não implica logicamente Q (p,q,r).
Pela condicional associada: Não existe a relação de implicação lógica entre P(p,q,r) e Q(p,q,r), pois
a condicional associada é uma contingência, ou seja, não é uma tautologia. Portanto, P (p,q,r) não
implica logicamente Q (p,q,r).
Exercícios: Verifique, tanto pela definição quanto pela condicional associada, se existe a relação de
implicação lógica.
a) P(p,q,r) = r + (p . q) Q(p,q,r) = (r + p) + (r + q)
b) P(p,q) = (p’ → q) Q(p,q) = (q’ ↔ p)
RESPOSTAS:
a) Existe a relação de implicação lógica
b) Não existe a relação de implicação lógica
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