Pilar 05-teórico

Sumário I
TQS Informática Ltda Rua dos Pinheiros 706 c/2 05422-001 São Paulo SP Tel (011) 3083-2722 Fax (011) 3083-2798
CAD/Pilar
Manual Teórico
Sumário
2.1. Modelo da viga contínua considerando pilares.................................................. 6
2.2. Excentricidades geométricas ............................................................................. 7
2.3. Consideração dos momentos externos............................................................... 9
2.3.1. Acumulam-se os momentos externos......................................................... 9
2.3.2. Propagam-se os momentos externos......................................................... 11
2.3.3. Acumula/Propaga percentualmente os mom. externos............................. 15
2.4. Tratamento de Cargas Verticais pelo CAD/Pilar............................................. 16
4.1. Esforços devido a cargas horizontais - Fornecimento direto ........................... 19
4.2. Esforços devido a cargas horizontais - Processo simplificado sem vigas........ 20
4.2.1. Cálculo em função do momento de inércia dos pilares ............................ 20
4.2.2. Cálculo em função da área dos pilares ..................................................... 23
4.2.3. Cálculo em função da carga nos pilares ................................................... 24
4.3. Esforços proveniente do cálculo de Pórtico Espacial ...................................... 25
4.4. Pressão do Vento ............................................................................................. 26
5.1. Considerações gerais sobre flambagem........................................................... 30
5.2. Efeitos locais de 2ª ordem – NBR 6118:2003 ................................................. 31
5.2.1. Métodos aproximados .............................................................................. 32
5.2.2. Pilar-padrão com 1/r aproximada ............................................................. 33
5.2.3. Pilar-padrão com  aproximada................................................................ 34
5.2.4. Pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r........................................... 35
5.2.5. Resumo..................................................................................................... 37
5.2.6. Método geral............................................................................................. 38
5.2.7. Resumo geral............................................................................................ 45
5.3. A determinação do  e esforços no ponto médio............................................. 46
5.4. Índice de esbeltez  > 80................................................................................. 48
1. Introdução............................................................................................................... 1
2. Consideração de solicitações externas verticais................................................... 6
3. Estabilidade horizontal dos edifícios................................................................... 17
4. Ação de cargas horizontais .................................................................................. 19
5. Flambagem e Efeitos de 2ªordem ........................................................................ 29

II
12.1. Dimensionamento pela NBR-6118................................................................ 59
12.2. Dimensionamento pela NB-1/60 (Processo ) .............................................. 60
13.1. Hipóteses adotadas......................................................................................... 62
13.2. Processo de análise ........................................................................................ 67
6. Pilares de seção genérica...................................................................................... 51
7. Imperfeições geométricas locais – NBR 6118:2003............................................ 53
8. Excentricidades e montagem dos carregamentos – NBR 6118:1980................ 54
9. Predimensionamento de pilares........................................................................... 55
10. Alojamento das armaduras................................................................................ 56
11. Armaduras transversais..................................................................................... 58
12. Determinação das armaduras longitudinais - Compressão simples............... 59
13. Determinação de armaduras longitudinais - Dimensionamento a Flexão
Composta Normal e Oblíqua ................................................................................... 62
14. Desenho de Pilares.............................................................................................. 73
15. Bibliografia.......................................................................................................... 74

Introdução 1
1. Introdução
Fornece-se, neste manual, explicações gerais sobre os conceitos utilizados pelo sistema
CAD/Pilar, para as normas NBR6118:2003; NBR6118:1980 e NB1/60, envolvendo:
- Consideração de solicitações externas verticais (peso próprio + cargas acidentais)
- Cargas verticais centradas
- Cargas verticais excêntricas, originadas de:
- Viga + pilares
- Excentricidade geométrica do pilar
- Excentricidade geométrica do ponto de aplicação da carga
- Consideração dos momentos externos
- Distribuição de momentos fletores nos pilares
- Ação do vento
- Sem ação do vento
- Parâmetro de instabilidade
- Esforços de cargas horizontais - fornecimento direto
- Esforços de cargas horizontais - processo simplificado
- Esforços de cargas e/ou verticais horizontais - pórtico espacial

2 CAD/Pilar - Manual Teórico
- Flambagem e Efeitos de 2ª ordem local
NBR 6118:2003
- 1 <   90
- 90 <   140
- 140 <   200
NBR 6118:1980 e NB1/60
- Pilares curtos:   40
- Pilares médios: 40 <   80
- Pilares esbeltos: > 80
- Pilares de seção genérica
- Montagem das diversas condições de carregamentos
- Predimensionamento
- Configuração de armaduras
- Armaduras transversais
- Armaduras longitudinais - Dimensionamento a compressão
- Armaduras longitudinais - Dimensionamento à flexão composta normal e oblíqua
- Desenho de pilares
No manual explicativo dos Critérios de Projeto do CAD/Pilar, já foram descritos, com
detalhes, diversos conceitos teóricos utilizados pelo CAD/Pilar.
Recomendamos a leitura desta documentação antecipadamente, pois diversos ítens
deste manual teórico farão referência a partes deste manual de critérios de projeto.

Introdução 3
Como o CAD/Pilar é integrado ao sistema CAD/Formas, especialmente no que se
refere à determinação das solicitações do modelo de pórtico espacial, recomendamos
também a leitura deste manual específico para uma melhor compreensão da origem das
solicitações que serão aqui tratadas.
O CAD/Pilar pode tratar diversas situações:
- um pilar isolado, retangular, sob o efeito apenas de uma carga centrada.
- um pilar de seção transversal genérica, sob efeito de diversos
carregamentos provocando uma flexão composta oblíqua.
- um conjunto de pilares, com seções retangulares e/ou genéricas, formando
um pórtico simplificado para efeito de cargas horizontais.
- um conjunto de pilares, com seções retangulares e/ou genéricas, a serem
dimensionadados com esforços provenientes do processamento do Pórtico
espacial.
- efeitos locais de 2ª ordem pelos 4 métodos preconizados pela
NBR6118:2003 (aproximados e exatos) e efeitos localizados para pilares-
parede (seção retangular e genérica).
Evidentemente, para cada um dos casos acima, deveremos fornecer um conjunto de
dados diferentes, com menor ou maior quantidade de informações. O usuário do
CAD/Pilar deve ter a noção de que, para a solução de um caso simples, poucos dados
são necessários e, para a solução de um caso completo, muitos dados de entrada são
necessários. A abrangência do sistema é necessária devido ao propósito do CAD/Pilar
que é o de resolver casos de edificações complexas. A documentação do CAD/Pilar é
razoavelmente extensa devido a este escopo geral do sistema e, este fato, não deve ser
considerado como um fator inibidor e confundido com uma complexidade na
utilização.
Para o usuário que deseja apenas calcular pilares retangulares com carga centrada, a
maioria dos critérios de projeto existentes não tem significado prático. Neste caso, basta
ao usuário configurar o arquivo de critérios para a situação desejada mas, salientamos,
o sistema CAD/Pilar está disponível para o cálculo completo dos pilares conforme a
NBR-6118:2003 e submetidos a flexão composta oblíqua, seção qualquer.

Uma diretriz importante do CAD/Pilar, é o de obter o desenho final das armaduras dos
pilares, a partir do fornecimento inicial do mínimo de informações alfanuméricas. Todo
o processo de montagem de carregamentos, distribuição de armaduras,
dimensionamento, detalhamento e desenho é automático. Assim, foram criados
inúmeros critérios que governam este processo automático para que o desenho final
seja o mais próximo possível do desejado. Caso isto não ocorra, são oferecidas ao
usuário, ferramentas computacionais para alteração dos desenhos de modo interativo
e/ou gráfico.
Dois importantes conjuntos de informações alfanuméricas são necessários para o
processamento dos pilares:
 Dados gerais dos pilares contendo, resumidamente:
- Identificação do projeto e obra
- Numero de pilares, pavimentos e pés-direitos
- Localização dos pilares na planta
- Dimensões dos pilares
- Cargas verticais e momentos fletores atuantes nos pilares
- Dados gerais para aplicação de cargas horizontais
- etc.
 Critérios gerais de projeto contendo, resumidamente:
- Características dos materiais
- Coeficientes de majoração de cargas e minoração dos materiais
- Critérios para dimensionamento das armaduras
- Bitolas de armaduras longitudinais e transversais
- Configurações de distribuição de armaduras
- Fatores para combinação de carregamentos
- Determinação de esforços devido a cargas horizontais
- Seleção de bitolas ao longo do pilar
- Traspasse de armaduras
- Representação dos desenhos
- etc.
Cabe aqui lembrar que, utilizando os sistemas CAD/TQS de forma integrada, os dados
referentes às informação dos pilares são criados automaticamente pelo sistema
CAD/Formas (à exceção de alguns dados dos pilares genéricos) e, os critérios de
projeto são selecionados uma única vez e válidos para todos os demais projetos.
Portanto, na forma integrada, a manipulação dos inúmeros dados do CAD/Pilar fica
muito simplificada.

Introdução 5
Para o CAD/Pilar, os diversos pilares não necessariamente iniciam no primeiro
pavimento e terminam no último pavimento mas, podem ser interrompidos ao longo da
edificação, "nascer" ou "morrer" em pisos intermediários, isto é, são aceitos os pilares
correspondentes aos pavimentos de transição.

2. Consideração de solicitações externas
verticais
Trataremos neste item dos seguintes tópicos relativos as cargas verticais (peso próprio
+ cargas acidentais):
- Cargas verticais centradas
- Cargas verticais excêntricas devido ao:
- Cálculo de vigas + pilares
- Excentricidade geométrica do pilar
- Excentricidade geométrica do ponto de aplicação das cargas
- Consideração de momentos externos
- Distribuição de momentos fletores nos pilares
A determinação dos esforços solicitantes nos pilares devido a cargas verticais é bastante
polêmica. Se por um lado, todo projetista tem a maior facilidade em determinar a força
vertical atuante no pilar, por outro, aparecem inúmeras dúvidas sobre os momentos
fletores que atuam nos pilares devido a presença desta carga vertical.
2.1. Modelo da viga contínua considerando pilares
Tudo se inicia no cálculo da simples viga contínua, engastada nos pilares superiores e
inferiores como no exemplo abaixo:

Consideração de solicitações externas verticais 7
Pilares
Viga
Momento
A resolução do modelo acima fornece, nos pilares inferiores e superiores, momentos
fletores devido a cargas verticais. Estas solicitações estão presentes nos pilares
extremos e também nos pilares internos.
Estas solicitações devem ou não ser consideradas? O CAD/Pilar pode ou não considerá-
las, dependendo do critério de projeto adotado pelo usuário. Sob o ponto de vista
teórico, este é um modelo adequado pois não se pode esquecer, do ponto de vista da
Resistência dos Materiais, da presença dos pilares superiores e inferiores.
Nota: A viga contínua com os apoios tratados como articulados e resistentes a apenas
cargas verticais não vai introduzir momentos fletores nos pilares. Este é um modelo
utilizado durante décadas por centenas de projetistas de concreto armado em todo o
Brasil.
2.2. Excentricidades geométricas
Quando um pilar muda de seção transversal de um pavimento ao outro, pode ocorrer a
existência de uma excentricidade entre os baricentros nos dois lances contíguos como é
apresentado no desenho abaixo:

Viga
e
N
Pilar
NN
= =
= =
É evidente que esta excentricidade provocará um momento fletor nos pilares e nas vigas
adjacentes. Estes momentos devem ser considerados ou não? Valem as mesmas
observações apresentadas acima no caso de viga contínua.
Outro caso interessante é a introdução das cargas verticais das vigas, nos pilares de
dimensões elevadas. É muito comum, nas atuais edificações, que estes pilares recebam
cargas concentradas de vigas nas extremidades como a figura apresenta abaixo:
e
= =
PP
A A
Viga
Viga
Pilar
Pilar
PLANTA CORTE A-A

Estas cargas, quando transportadas para o baricentro dos pilares, provocam também
momentos fletores elevados que não podem ser desprezados. Como considerar
adequadamente estes momentos nos diversos pilares? Esta é uma tarefa para os
diversos critérios de projeto do CAD/Pilar de tal forma que, se possa conciliar as
normas de projetos distintas de diversos usuários e que abordaremos no item abaixo.
Vale aqui uma importante observação: diversos projetistas com grande experiência
profissional, e com centenas de obras de grande porte projetadas, salvo algumas
exceções, praticamente desprezam estes momentos fletores nos pilares devido a cargas
verticais. A alegação é a de que o efeito conjunto dos elementos de vigas + pilares +
lajes, todos solidários e trabalhando em conjunto, minimizam os efeitos destes
momentos fletores que podem ser praticamente desprezados. Esta é uma posição que
pode ser adotada por profissionais de extrema experiência. Há algumas décadas
passadas, não existiam ferramentas computacionais adequadas para tratamento destes
problemas e, por esta razão, soluções simplificadoras mas, seguras, eram adotadas
baseadas na experiência profissional.
Atualmente com os recursos computacionais oferecidos, recomenda-se que estes efeitos
sejam analisados convenientemente e, quando for o caso, podem ser desprezados.
Apresentaremos a seguir uma alternativa existente no CAD/Pilar para tratamento destes
momentos fletores de forma um pouco mais adequada. A solução final aconselhada e,
tecnicamente correta nestes casos, é a análise da edificação pelo modelo de pórtico
espacial para cargas verticais. Este recurso, que até pouco tempo atrás era
extremamente trabalhoso, pode ser agora ser tratado de forma simples e prática pelo
sistema CAD/Formas - opção Pórtico Espacial.
2.3. Consideração dos momentos externos
A simples acumulação dos momentos fletores, devido a excentricidade geométrica da
seção transversal e do ponto de aplicação das cargas, ao longo de todos os lances da
edificação, geralmente resulta em superdimensionamento das armaduras pois estes
momentos na prática se redistribuem ao longo dos diversos lances.
Neste item, trataremos como esta distribuição de momentos pode ser realizada pelo
CAD/Pilar.
2.3.1. Acumulam-se os momentos externos

Pilares rígidos que acumulam os momentos fletores ao longo da edificação, isto é,
pilares que se deslocam na direção horizontal com a absorção destes momentos
fletores.
Pilares flexíveis que redistribuem os momentos fletores no próprio pavimento e no
lance imediatamente superior e inferior do lance em estudo, isto é, pilares que giram,
sem deslocamento horizontal e que não absorvem estes momentos fletores na sua
integridade.
Esquematicamente podemos mostrar como esta propagação de momentos é realizada ao
longo dos lances do pilar.
- Acumulo de momentos:
Momentos aplicados Momentos calculados
nos pisos i, i-1 e i-2 nos pisos i, i-1 e i-2
Me i Mc i,i Mc i,s
Me i-1 Mc i-1,i Mc i-1,s
temos:
- para o lance i:

Mc i,i = Me i
Mc i,s = Me i
- para o lance i-1:
Mc i-1,i = Me i + Me i-1
Mc i-1,s = Me i + Me i-1
- para o lance i-2:
Mc i-2,i = Me i + Me i-1 + Me i-2
Mc i-2,s = Me i + Me i-1 + Me i-2
Este cálculo é realizado para todos os pilares/lances da edificação e todos os momentos
nos pilares são acumulados. Note que para o pilar deslocável, estes momentos devido às
excentricidade são acumulados do topo para a base.
2.3.2. Propagam-se os momentos externos
- Propagação de momentos:
Momentos aplicados Momentos calculados
nos pisos i, i-1 e i-2 nos pisos i, i-1 e i-2
Me i Mc i,i Mc i,s

Por hipótese, o pilar é considerado engastado no lance superior e inferior. Assim a
propagação dos momentos para o topo do lance superior e base do lance inferior é feita
com o coeficiente 0.5.
Sendo:
r i= rigidez do pilar no lance i = I i / L i
r i-1= rigidez do pilar no lance i-1 = I i-1 / L i-1
r i-2= rigidez do pilar no lance i-2 = I i-2 / L i-2
temos:
- para o momento Mei:
- para o lance i:
M1 t,i = Mei
M1 b,i = Mei  0.5
- para o lance i-1:
M1 t,i-1 = 0

M1 b,i-1 = 0
- para o lance i-2:
M1 t,i-2 = 0
M1 b,i-2 = 0
- para o momento Mei-1:
- para o lance i:
M2 t,i = Mei-1 
 
 1
0.5


ii
i
rr
r
M2 b,i = Mei-1 
 
 1 ii
i
rr
r
- para o lance i-1:
M2 t,i-1 = Mei-1 
 
 1
1


 ii
i
rr
r
M2 b,i-1 = Mei-1 
 
 1
10.5




ii
i
rr
r
- para o lance i-2:
M2 t,i-2 = 0
M2 b,i-2 = 0
- para o momento Mei-2:
- para o lance i:
M3 t,i = 0
M3 b,i = 0
- para o lance i-1:

M3 t,i-1 = Mei-2 
 
 21
10.5




ii
i
rr
r
M3 b,i-1 = Mei-2 
 
 21
1


 ii
i
rr
r
- para o lance i-2:
M3 t,i-2 = Mei-2 
 
 21
2


 ii
i
rr
r
M3 b,i-2 = Mei-2 
 
 21
20.5




ii
i
rr
r
E os momentos finais de cálculo são obtidos:
- para o lance i:
Mci , s = M1 t,i + M2 t,i +M3 t,i
Mci , i = M1 b,i + M2 b,i +M3 b,i
- para o lance i-1:
Mci-1 , s = M1 t,i-1 + M2 t,i-1 +M3 t,i-1
Mci-1 , i = M1 b,i-1 + M2 b,i-1 +M3 b,i-1
- para o lance i-2:
Mci-2 , s = M1 t,i-2 + M2 t,i-2 +M3 t,i-2
Mci-2 , i = M1 b,i-2 + M2 b,i-2 +M3 b,i-2
Este cálculo é realizado para todos os pilares/lances da edificação e todos os momentos
nos pilares são acumulados. Note que para o pilar indeslocável, estes momentos devido
às excentricidade não são acumulados do topo para a base.

2.3.3. Acumula/Propaga percentualmente os mom. externos
Na edificação, nem todos os pilares terão os momentos externos acumulados ou
propagados. Geralmente o que ocorre é um misto da presença destes pilares. No
CAD/Pilar, permite-se que o usuário defina o quanto o pilar é flexível e o quanto o pilar
é rígido através de uma porcentagem.
Assim, o projetista de posse da planta de formas, analisando criteriosamente a
disposição e rigidez dos pilares, vai arbitrar para cada um dos pilares um valor de
acumulo e/ou propagação. Com estes valores a parcela dos momentos externos são
distribuídos nos pilares conforme as expressões mostradas acima, com todos os seus
efeitos combinados. Esta é uma maneira aproximada mas, de boa confiabilidade para
não desprezar, simplesmente, estes momentos.
Por exemplo, num edifício convencional onde um pilar "parede" tem grandes
dimensões perante os demais e recebe reações de vigas nas suas extremidades, podemos
assumir que 90% deste irá trabalhar acumulando os momentos externos e 10%
propagando. Neste mesmo exemplo, para os pilares de dimensões reduzidas que não
colaborarão na rigidez da edificação, podemos assumir que estes pilares trabalharão
como 100% de propagação.
Sendo:
Me - momento total no nó i.
MeD - momento para o sistema considerado deslocável
MeI - momento para o sistema considerado indeslocável
f - fator para distribuição dos momentos Me (Propagação)
temos:
MeD = Me  (1 - f)
MeI = Me  f
Após esta distribuição, o roteiro para cálculo dos momentos finais seguem os mesmos
roteiros apresentados antes, especificamente para cada "sistema" em separado, e depois
são somados os momentos em cada extremidade do lance.

Observação importante: Dependendo do critério K10, a apresentação destes resultados
poderão diferir quando ao conteúdo. Quando é usado K10=Nao, é tomado o maior dos
momentos no lance para efeito de cálculo. Caso contrário, são tomados em separado.
No INICIA.LST, na parte de carregamentos, são listados estes valores, bem como no
"rodapé" de cada pilar as condições de acumulo ou propagação dos momentos externos
do pilar, permitindo ao usuário uma completa visualização da situação.
Note que fazendo f = 0, equivale ao caso de pilar deslocável, e com f = 1, ao do pilar
onde os momentos serão acumulados.
2.4. Tratamento de Cargas Verticais pelo CAD/Pilar
O CAD/Pilar respeita os critérios usuais do usuário e não faz imposição rígida do modo
de projetar.
Não cabe ao sistema CAD/Pilar, determinar qual o método é o mais correto para esta
determinação de solicitações. Cabe ao projetista a seleção do critério que julgar mais
adequado ao seu projeto e, acompanhando a técnica usual e consagrada sob o ponto de
vista prático e teórico da arte de projetar.

Estabilidade horizontal dos edifícios 17
3. Estabilidade horizontal dos edifícios
Embora a grande ênfase no lançamento dos pilares na edificação seja para a resistência
de cargas verticais, atenção muito especial deve ser dada a estabilidade horizontal da
edificação de tal forma que os pilares possam resistir a estes esforços horizontais.
Estes esforços horizontais tem sua origem principal na ação do vento sobre a edificação
mas, não pode ser desprezada também a ação das cargas verticais que produzem
deslocamentos horizontais (balanços exagerados, excentricidades nos pilares, etc.).
Geralmente, nem todo edifício possui a geometria totalmente simétrica e carregamentos
absolutamente simétricos. Por esta razão, solicitações horizontais podem surgir mesmo
devido a cargas verticais.
Assim, é fundamental que se faça a análise da estabilidade global da edificação em
qualquer situação. Embora, nas normas brasileiras atuais esta não seja uma imposição
categórica (deverá ser na próxima edição da norma de concreto armado), grande parte
dos problemas encontrados nos projetos das edificações, está associada a não
verificação da estabilidade e/ou contraventamento da edificação.
Toda edificação, independente do número de pavimentos, pilares e dimensões, deve ser
verificada quanto à estabilidade global e ter seu sistema de travamento adequadamente
definido e dimensionado.
Os sistemas CAD/TQS oferecem aos usuários uma importante ferramenta para esta
verificação, que é o sistema computacional denominado Pórtico Espacial, integrado ao
CAD/Formas. Neste sistema, de forma simples e prática, a partir dos dados da forma de
concreto armado de cada pavimento e das características básicas da atuação do vento na
edificação, são calculados os parâmetros de estabilidade da edificação, (alfa) e z
(gama z) em cada direção. Para maiores informações sobre estes dois coeficientes,
consultar no Manual de Interface e Processamento de Pórticos Espaciais do
CAD/Formas, o capítulo 'Verificação de instabilidade global'.
A partir destes parâmetros, o usuário pode analisar se o sistema de contraventamento
está adequado ou não. Com estes valores, pode-se decidir se a estrutura deve ser
considerada de nós fixos ou nós deslocáveis, se os efeitos de 2ª ordem necessitam ou
não ser verificados.
Não basta o dimensionamento puro e simples dos elementos estruturais sob o efeito das
solicitações provocadas pelas cargas verticais e horizontais. É absolutamente necessário
analisar, previamente, se a edificação possui efeitos de 2ª ordem ou não. Esta análise é
obtida através dos parâmetros de instabilidade anteriormente citados.

Da mesma forma, não basta que os parâmetros de instabilidade estejam dentro dos
limites pré-estabelecidos por normas. Além do atendimento a estes parâmetros, é
absolutamente necessário o dimensionamento dos elementos estruturais às solicitações
de cargas verticais e também das cargas horizontais.
Resumidamente, os parâmetros de instabilidade, abaixo de determinados valores
limites, permitem que os lances dos pilares do edifício possam ser isolados do conjunto
total da estrutura para efeitos de dimensionamento, detalhamento e desenho
(considerando a flambagem localizada de cada lance).
Para maiores detalhes sobre os parâmetros de instabilidade da edificação
recomendamos a leitura do manual do Pórtico Espacial, integrado ao CAD/Formas.

Ação de cargas horizontais 19
4. Ação de cargas horizontais
Ao analisar os pilares da edificação, devem ser considerados os efeitos devido a
atuação das cargas horizontais, geralmente originários da ação do vento. Para esta
análise, o CAD/Pilar permite a utilização de diversos processos que são listados abaixo:
- Não consideração da ação do vento
- Esforços devido a cargas horizontais - fornecimento direto
- Esforços devido a cargas horizontais - processo simplificado
- Esforços devido a cargas horizontais - pórtico espacial
A não consideração dos efeitos de cargas horizontais deve ser realizada criteriosamente
não dispensando, enfatizando mais uma vez, a análise da estabilidade global da
edificação.
4.1. Esforços devido a cargas horizontais -
Fornecimento direto
As solicitações devido às cargas horizontais podem ser, em último caso, ser fornecidas
diretamente pelos usuários no arquivo de dados, em cada lance da edificação. Este é um
caso necessário quando a análise das solicitações não for realizada por um dos sistemas
CAD/TQS. A grande dificuldade nesta opção é o enorme volume de informações a
serem introduzidas pois, para cada lance/pilar/carregamento devem ser fornecidos 3
grandezas no topo e 3 grandezas na base de cada elemento (pilar/lance).
Para uma generalização completa dos casos abrangidos pelo CAD/Pilar, esta opção está
atualmente presente.

4.2. Esforços devido a cargas horizontais - Processo
simplificado sem vigas
Este processo se baseia na distribuição de forças normais e momentos fletores de forma
proporcional a rigidez dos pilares e sua distância ao baricentro da edificação, sem
considerar a rigidez real das diversas vigas que unem os vários pilares (faz-se uma
estimativa de que o momento fletor resultante se distribua igualmente para as vigas e os
pilares). Este é um cálculo simplificado que deve ser utilizado apenas quando não for
possível o acesso a métodos mais exatos.
Neste caso, assume-se como hipótese básica a existência de lajes em cada pavimento,
com espessura reduzida e de dimensões tais que elas podem ser consideradas como
rígidas nas direções do seu plano, assegurando que os deslocamentos horizontais dos
vários pilares sejam os mesmos nas duas direções do plano a menos do movimento de
corpo rígido (translação e rotação).
O momento fletor total em cada piso da edificação, é determinado adotando-se a
simplificação de tratar o modelo do edifício de forma unifilar reduzido a uma barra em
balanço com o eixo passando pelo ponto G (baricentro) do pavimento e calculado em
função da distribuição e das seções dos pilares na planta. Cada momento fletor total Mj
de um piso j é distribuído proporcionalmente a certas grandezas dos pilares para manter
o equilíbrio entre os esforços externos e os esforços internos (força normal e momento
fletor) nos diversos pilares.
4.2.1. Cálculo em função do momento de inércia dos pilares
Para melhor ilustrar este cálculo, é assumindo um sistema de coordenadas X', Y' com
origem no canto inferior esquerdo da planta dos pilares e paralelos aos eixos X, Y
globais.
O sistema U, V passa pelo baricentro dos pilares, ponto G, e é paralelo aos eixos X e Y.
A figura abaixo mostra os dois sistemas de referência:

O eixo que passa pelo ponto G, é calculado em função dos momentos de inércia dos
pilares como sendo:
 





 n
i
y
n
i
iy
iJ
xiJ
GX
1
1
 





 n
i
x
n
i
ix
i
i
J
yJ
GY
1
1
sendo:
Jxi e Jyi - os momentos de inércia do pilar i nas direções x e y
respectivamente.
xi e yi - as coordenadas do pilar i no sistema x, y.

Sendo Mxj e Myj os momentos fletores totais na base do lance j no ponto G do piso, os
momentos em cada pilar i no lance j são calculados pela expressão:
M i
J i M C i
Jxk
nx
x x j v
k

 



1
M i
J i M C i
Jyk
ny
y y j v
k

 



1
onde:
Cvi - relação entre a rigidez do pilar e a rigidez das vigas a ele conectados.
Adota-se por exemplo o valor 0.5 aproximadamente.
Mxj e Myj - diferenças dos momentos nos pisos consecutivos
(Mxj = Mx - Mx+1, Myj= Myi - Myi+1).
A força normal no lance j do pilar i é dada pela fórmula:
 

 n
k
k
x
x
V
iViM
iN
1
2
 

 n
k
k
y
y
U
iUiM
iN
1
2
onde :
Mxj e Myj - momentos totais na base do lance j.
Uj e Vj - coordenadas do pilar i no sistema (U, V), sistema paralelo a (X, Y),
passando pelo ponto G.

Neste método, são computados para os pilares os esforços de força normal e momento
fletor para cada direção.
4.2.2. Cálculo em função da área dos pilares
O eixo da barra que passa pelo ponto G é calculado em função das áreas dos pilares
como sendo:
 





 n
k
n
i
k
A
ixiA
GX
1
1
 





 n
k
n
i
k
A
iyiA
GY
1
1
onde :
Aj - área do pilar i
xj e yj - coordenadas do pilar i no sistema (X, Y).
Determinam-se os eixos principais de inércia (U, V) no ponto G para o conjunto total de
pilares.
Os momentos MUj e MVj no ponto G, na base do lance j, são determinados a partir dos
momentos Mxj e Myj.
Determinam-se os esforços normais no pilar i por :
N i
M Ai
J
Ui
M Ai
J
Vix
Ux
U
Vx
V
 

 


N i
M Ai
J
Ui
M Ai
J
Viy
Vx
U
Vy
V
 

 


sendo:

Ju e Jv - momentos principais de inércia do conjunto de pilares.
Uj e Vj - coordenadas dos pilar i no sistema (U, V).
Neste método, são adicionados aos pilares apenas os esforços de força normal para
cada direção.
4.2.3. Cálculo em função da carga nos pilares
O eixo da barra passa pelo ponto G, é calculado em função das cargas nos pilares como
sendo:
 





 n
k
n
i
k
Pt
ixiPt
GX
1
1
 





 n
k
n
i
k
Pt
iyiPt
GY
1
1
sendo :
Pti - carga do pavimento em estudo no pilar i
xi e yj - coordenadas do pilar i no sistema (X , Y)
O momento de "inércia" do conjunto em função das cargas dos pilares é dado pela
expressão:
   



n
i
U
n
i
iPtGYxJJiyiPtxJ
1
2
1
2
   



n
i
V
n
i
iPtGXyJJixiPtyJ
1
2
1
2

onde :
Ui e Vi - momentos de "inércia" em função da carga em relação aos eixos (U,
V), eixos paralelos aos eixos (X, Y) e passando pelo ponto G.
Sendo MUj e MVj, os momentos totais na base do lance j no ponto G do piso, a força
normal em cada pilar i é calculada pela fórmula
N i
MV Ui Pti
JVj
x
i

 
N i
MU Vi Pti
JU j
y
i

 
onde:
Ui e Vi - coordenadas do pilar i no sistema de coordenadas (U, V).
Neste método, são adicionados aos pilares apenas os esforços de força normal para cada
direção.
4.3. Esforços proveniente do cálculo de Pórtico
Espacial
Este é o modelo mais adequado para a análise dos efeitos de cargas horizontais nos
edifícios. As simplificações acima são tratadas corretamente pelo modelo espacial
criado. Algumas vantagens na utilização deste modelo:
- As excentricidades devido às variações da seção do pilar são consideradas.
- As excentricidades devido a introdução de cargas excêntricas nos pilares
são consideradas.
- Os vãos das vigas são tratados considerando os trechos rígidos pertencentes
ao interior dos pilares.
- Os pilares são considerados segundo os eixos centrais de inércia.

- Os efeitos do "giro" do edifício segundo seu eixo vertical é
automaticamente computado.
- Os deslocamentos horizontais devido as cargas verticais são tratados.
- Se necessário, as deformações axiais dos pilares podem ser analisadas.
- Pode-se analisar a edificação com a aplicação de cargas horizontais de
vento em quaisquer direções.
- Análise dos esforços devido a atuação de outras cargas horizontais como
empuxo, protensão, etc.
- Pode-se fazer o processamento de carregamentos independentes e combiná-
los para efeitos de obtenção de envoltórias de carregamentos para cargas
verticais e horizontais.
Para maiores detalhes, consultar o manual do Pórtico Espacial, integrado ao
CAD/Formas.
Um ponto importante a ressaltar é o controle da transferência dos esforços provenientes
de pórtico espacial para o sistema CAD/Pilar.
Como a filosofia dos sistemas CAD/TQS é dar a maior flexibilidade possível ao
usuário, deixamos por conta do projetista o fornecimento das variáveis que governam
esta transferência. Assim, o projetista determina a combinação de carregamentos
desejada, quais carregamentos serão transferidos ao CAD/Pilar, quais as reduções de
cargas horizontais que deverão ser feitas antes da transferência, etc.
Capítulo específico sobre este assunto é apresentado no manual de Critérios de Projeto,
capítulo 'Carregamentos', que se recomenda a leitura atenta antes da utilização desta
facilidade do sistema.
4.4. Pressão do Vento
As cargas horizontais que o CAD/Pilar aplica no cálculo pelo processo simplificado são
definidos conforme a norma NB-599/78 ou NBR-6123, 'Efeitos do vento em
edificações'. Veja como realizar tais definições no manual de entrada dados do
CAD/Pilar.

Nos dados de entrada são fornecidas as informações sobre a velocidade básica do vento
(Vo), o fator topográfico (S1), a rugosidade do terreno e as dimensões da edificação, o
fator estatístico (S2) e o coeficiente de arrasto (Ca ) para a ação do vento nas direções X
e Y.
Para a determinação do fator S2, que depende da rugosidade do terreno, dimensões da
edificação e altura sobre o terreno, a altura da edificação é dividida em partes
correspondentes a cada pavimento da edificação.
De posse destes dados determina-se:
- Velocidade característica do vento:
Vk = Vo  S1  S2  S3
- Pressão do vento:
q
Vk

2
16
- Força de arrasto na direção do vento :
Fa = Ca  q  Ae
onde:
Ae - área frontal efetiva perpendicular a direção do vento
Ca - coeficiente de arrasto para o vento na direção estudada
Ocasionalmente, pode-se aplicar uma pressão de vento imposta (q) ao longo da
edificação, por exemplo, para simular o emprego de antigas normas de vento, em
cálculos de verificação. Para isto, a velocidade básica Vo deve ser fornecida como igual
a 0 (zero).
Se os coeficientes de arrasto Ca não são fornecidos nos dados de entrada, a pressão do
vento (q ) é majorada pelo parâmetro de forma C determinado conforme a seguir:
C = 1.2 para HL  4.5
C = 0.4  HL para 4.5 < HL  5.5
C = 1.6 para HL > 5.5

onde :
 yx L,Lmin
e
L
H
H 
He - altura da edificação
Lx e Ly : dimensões das faces da edificação

Flambagem e Efeitos de 2ªordem 29
5. Flambagem e Efeitos de 2ªordem
NBR-6118:2003
O CAD/PILAR trata os efeitos de 2ª ordem local de um pilar em função do seu índice
de esbeltez (), conforme preconizado pela NBR-6118:2003:
a)   1
Neste caso nenhum efeito de 2ª ordem local é considerado.
O valor de 1 é calculado, para cada caso de carregamento, conforme o item
15.8.2 da NBR-6118:2003:
b
h
e










1
1
5.1225
sendo que 35  1  90
b) 1 <   90
Neste caso os efeitos de 2ª ordem local do pilar devem ser considerados. São
utilizados os métodos aproximados conforme os itens 15.8.3.3.2 e 15.8.3.3.3
da NBR-6118:2003:
 método do pilar-padrão com curvatura aproximada
 método do pilar-padrão com kapa aproximado
c) 90 <   140
Neste caso os efeitos de 2ª ordem local do pilar devem ser considerados. Nesta
situação o método utilizado é, conforme o item 15.8.3.3.4 da NBR-6118:2003,
o do pilar-padrão acoplado a diagramas M,N,1/r.
d) 140 <   200
Neste caso os efeitos de 2ª ordem local do pilar devem, obrigatoriamente, ser
considerados utilizando o Método Geral, conforme o item 15.8.3.1 da NBR-
6118:2003.

NBR-6118:1980 e NB1/60
No CAD/Pilar, a flambagem é tratada diferentemente segundo as três classificações
abaixo ( é o lambda, índice de esbeltez do pilar):
a)   40
Neste caso o pilar é tratado como curto e nenhum efeito de flambagem é
considerado.
b) 40 <   80
Neste caso o pilar é considerado como médio e o efeito de 2ª ordem ou
flambagem deve ser considerado. O tratamento teórico é o processo
simplificado apresentado na NBR 6118, item 4.1.1.3.C.
c)  > 80
Neste caso o pilar é considerado como esbelto e os efeitos de 2ª ordem devem
ser considerados obrigatoriamente. No CAD/Pilar, oferecemos um programa
específico, que realiza o estudo destes pilares, através de verificações
iterativas. Os efeitos da 2ª ordem, tanto a não linearidade geométrica como a
física são analisados.
Estes pilares geralmente são anti-econômicos e devem ser evitadas pelo
excesso de armadura resultante do dimensionamento.
5.1. Considerações gerais sobre flambagem
Na antiga NB-1/60, o limite máximo do  para a não consideração dos efeitos de 2ª
ordem de forma rigorosa era o valor 100.
Na NBR6118:1980 essa exigência passou para  > 80.
Na norma NBR6118:2003 a exigência para processos mais rigorosos passaram a ser 90
(pilar-padrão acoplado a diagramas M,N,1/r) e 140 (Método Geral), sempre inferiores a
200.

Por esta razão, o arquivo de critérios do CAD/Pilar permite a alteração dos limites para
a consideração da 2ª ordem e dos métodos a serem utilizados. Cabe a cada usuário a
adoção dos critérios mais convenientes.
Não cabe ao CAD/Pilar o mérito do acerto ou não destes critérios. Cabe a cada usuário
a adoção do limite do  que for mais adequado ao seu processo de projeto.
O código modelo MC-78 do CEB/FIP também considera valores diferentes das
adotadas pela NB-1/78.
5.2. Efeitos locais de 2ª ordem – NBR 6118:2003
A NBR 6118:2003 permite o uso de 4 métodos para análise local de 2ª ordem. São eles:
 Pilar-Padrão com 1/r aproximada
 Pilar-padrão com rigidez  aproximada
 Pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r
 Método Geral
Os três primeiros métodos são considerados processos aproximados e são descritos no
item 15.8.3.3 da NBR 6118:2003, enquanto que o Método geral (item 15.8.3.2 da NBR
6118:2003), como a própria nomenclatura já deixa meio evidente, é um processo mais
abrangente e sofisticado.
Vale lembrar que na extinta NBR 6118:1980 havia apenas um método disponível, o
pilar-padrão com curvatura aproximada, cuja formulação era praticamente similar à
atual.
Cada um desses métodos possui limitações próprias, e por isso, podem ser aplicados
desde que a esbeltez do pilar esteja dentro de um certo patamar. Evidentemente, os
processos aproximados possuem uma limitação maior.
Esbeltez limite
Os métodos do pilar-padrão com 1/r aproximada e pilar-padrão com  aproximada
podem ser utilizados em pilares com esbeltez máxima igual a 90, segundo a NBR-
6118:2003. O método do pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r é limitado para
uma esbeltez máxima de 140. O método geral, por sua vez, pode ser usado até um
limite de 200.

Acima desse valor, a norma não permite o uso de nenhum método, a não ser em casos
de postes onde a força normal de compressão é baixa.
O CAD/Pilar não faz o processamento de pilares com esbeltez maior que 200.
5.2.1. Métodos aproximados
Antes mesmo de iniciar o estudo da formulação de cada um dos métodos aproximados,
pela própria nomenclatura dos mesmos é possível tirar algumas conclusões prévias.
Note que os três processos aproximados fazem o uso de um termo comum: “pilar-
padrão”.
O que é pilar-padrão?
Conforme já sabemos, o cálculo da deformada do lance de um pilar à medida que o
carregamento é aplicado sobre o mesmo, é um dos desafios presentes na análise local
em 2ª ordem. Como tratar a não-linearidade geométrica num lance de pilar?
O método do pilar-padrão consiste numa aproximação que pressupõe que a deformada
final do pilar será representada por uma curva senoidal. Existem inúmeros estudos que
comprovam a eficiência dessa simplificação, válida até um determinado limite de
esbeltez.
Uma vez definida a forma final do lance do pilar (senóide), é possível então chegar a
uma solução analítica para o problema da não-linearidade geométrica, obtendo-se
expressões relativamente simples que podem ser utilizadas no cálculo do pilar.
Dessa forma, conclui-se que os três processos aproximados presentes na NBR
6118:2003, tratam a não-linearidade geométrica (NLG) de forma idêntica.

O que diferencia um método aproximado do outro é justamente as diferentes maneiras
de considerar a outra não-linearidade, a física (NLF).
5.2.2. Pilar-padrão com 1/r aproximada
Aplicabilidade
Esse método pode ser empregado apenas para pilares com  ≤ 90, seção constante e
armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo.
Não-linearidade geométrica
Admite-se que a deformação da barra seja senoidal (pilar-padrão).
Não-linearidade física
A rigidez do lance do pilar é obtida por meio da definição de uma curvatura
aproximada na seção crítica.
Formulação
A formulação é extremamente simples e possibilita o cálculo manual. O momento total
(1ª ordem + 2ª ordem) máximo no pilar é calculado pela seguinte expressão:
Ad
e
dAdbtotd M
r
l
NMM ,1
2
,1,
1
.
10
..   , sendo
hhr
005,0
)5,0.(
005,01




onde:

cdc
Sd
fA
N
.
 e míndAd MM ,1,1 
O momento de 2ª corresponde à parcela Nd.(le
2
/10).(1/r).
Note que não é necessário conhecer previamente a armadura do pilar para aplicar as
fórmulas acima.
5.2.3. Pilar-padrão com  aproximada
Aplicabilidade
O método do pilar-padrão com rigidez  aproximada pode ser adotado na análise de
pilares retangulares com ≤ 90, com armadura simétrica e constante ao longo de seu
eixo.
Não-linearidade física1
A não-linearidade física no lance do pilar é considerada por meio de uma expressão
aproximada para rigidez, cuja dedução foi obtida durante a tese de doutoramento do
prof. Ricardo França.
O valor da rigidez é tomado de forma adimensional e é denominado de rigidez 
(“kapa”).
Formulação
Assim como o método do pilar-padrão com 1/r aproximada, a formulação do pilar-
padrão com  aproximada é simples e possibilita o cálculo manual.
Segundo a formulação apresentada na NBR 6118:2003, o cálculo do momento total
máximo MSd,tot deve ser realizado de forma iterativa em função da rigidez adimensional
, de acordo com as seguintes fórmulas:




/.120
1
.
2
,1
,


AdSb
totSd
M
M
 .
.
.51.32
,







Sd
totSd
Nh
M
O momento de 2ª ordem é calculado por uma amplificação da 1ª (b.MS1d,A).
Note que não é necessário conhecer previamente a armadura do pilar para aplicar as
fórmulas acima.
5.2.4. Pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r
Aplicabilidade
Esse método pode ser empregado apenas para pilares com  ≤ 140.
A não-linearidade física é considerada por meio da obtenção da rigidez no diagrama N,
M, 1/r proposto pela NBR 6118:2003, conforme mostra a figura a seguir.
Note que há uma relação entre a rigidez secante EIsec e a rigidez adimensional .

Muito embora tenha o mesmo nome da rigidez adimensional calculada no método do
pilar-padrão com rigidez aproximada, essa rigidez  obtida pelo diagrama (rigidez
acoplada ao diagrama N, M, 1/r) é mais precisa.
Poderíamos dizer que se trata de uma rigidez “mais refinada e real”.
Formulação
O momento total máximo MSd,tot é calculado exatamente pela mesma fórmula do
método do pilar-padrão com rigidez aproximada:



/.120
1
.
2
,1
,


AdSb
totSd
M
M
No entanto, deve-se ficar bem claro que o valor da rigidez  a ser utilizado na fórmula é
o obtido pelo diagrama normal-momento-curvatura, e não a rigidez  aproximada.
Quando se faz o uso do coeficiente f3, a fórmula para obtenção do momento total fica
assim:



/..120
1
.
3
2
,1
,
f
AdSb
totSd
M
M



Duas observações muito importantes com relação ao método do pilar-padrão acoplado
ao diagrama N, M, 1/r:
 Trata-se de um método que, na prática, somente é viável com o uso de um
computador, pois como vimos no início deste curso, a montagem do diagrama N,
M, 1/r é extremamente complicada de ser realizada manualmente.
 É necessário que a armadura existente no lance do pilar seja previamente
conhecida, pois não há diagrama N, M, 1/r sem armadura definida! Ou seja, o
processo de dimensionamento é realizado por um processo iterativo de
verificações.
5.2.5. Resumo
A tabela a seguir apresenta um resumo das principais características de cada um dos
métodos aproximados.
Pilar-padrão com
1/r aproximada
Pilar-padrão com
rigidez 
aproximada
Pilar-padrão
acoplado a diagrama
N, M, 1/r
Item da
NBR 6118
15.8.3.3.2 15.8.3.3.3 15.8.3.3.4
NLG Pilar-padrão Pilar-padrão Pilar-padrão
NLF hhr
005,0
)5,0.(
005,01



  .
.
.51.32
,







Sd
totSd
Nh
M
cdc fhA
EI
.. 2
sec

Esbeltez limite  ≤ 90  ≤ 90  ≤ 140
Cálculo manual Sim Sim Não
Necessita As
conhecido
Não Não Sim

5.2.6. Método geral
No item anterior, foram apresentados três métodos aproximados para análise dos efeitos
locais de 2ª ordem. Agora, vamos estudar um processo mais abrangente e sofisticado,
usualmente chamado de Método Geral (item 15.8.3.2 da NBR 6118:2003).
NBR 6118:2003
O método geral é definido na NBR 6118:2003, item 15.8.3.2, por apenas uma única
frase:
“Consiste na análise não-linear de 2a. ordem efetuada com discretização
adequada da barra, consideração da relação momento-curvatura real em cada
seção, e consideração da não-linearidade geométrica de maneira não
aproximada.”
Nesse item, não existe nenhuma formulação definida, e muito menos uma descrição
detalhada de como aplicar o método. Somente existe a definição acima, e nada mais.
Dessa frase, podemos extrair as seguintes informações principais:
 Discretização adequada
 Relação Momento-Curvatura
 NLG não aproximada
Aplicabilidade
O método geral pode ser empregado apenas para pilares com  ≤ 200 e é obrigatório
para pilares com  > 140. Acima desse último limite (140), não se pode aplicar nenhum
dos processos aproximados estudados anteriormente.
As deformações ao longo lance do pilar devem ser analisadas por processo refinado.
Não se pode adotar a aproximação por uma curva senoidal (pilar-padrão).

Existem diferentes maneiras para considerar a não-linearidade geométrica de forma
refinada. Uma primeira alternativa é a partir do diagrama de momentos fletores no
lance do pilar, obter as curvaturas (1/r) por meio da rigidez EI, as rotações () e
deslocamentos (d) por meio de integrações sucessivas, e depois, com esses incrementar
os momentos de 2ª ordem nos esforços originais. Esse cálculo é repetido inúmeras
vezes até o acréscimo de esforços ou deslocamentos tender a zero.
Uma outra forma de tratar o problema é utilizar modelos numéricos que possibilitem a
análise em 2ª ordem (equilíbrio na posição deformada), como por exemplo, o cálculo de
um pórtico espacial por meio de uma análise P-.
Seja qual for o processo empregado, a informação principal que se busca é a posição
final de equilíbrio do lance do pilar, de tal forma a definir a magnitude total dos efeitos
locais de 2ª ordem.

A busca dessa posição de equilíbrio é sempre iterativa. E, por isso, é fundamental que
sejam consideradas tolerâncias que controlem a convergência dos processos de forma
eficiente e segura. Usualmente, esses valores são definidos em “deltas máximos de
deslocamentos ou esforços”.
Instabilidade local
Ao empregar um processo aproximado (pilar-padrão com 1/r aproximada, pilar-padrão
com  aproximada, pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r), a única resposta final
que temos é se o lance de pilar passa ou não em relação à resistência última da seção
crítica (ruptura).
Já, no método geral, além dessa informação (ruptura da seção crítica), pode-se flagrar
se o lance é estável ou instável, pois a busca pela posição de equilíbrio do mesmo é
iterativa.

Ao adotar o método geral no cálculo de um pilar demasiadamente
esbelto, por exemplo, pode-se se chegar numa situação de
instabilidade quando o número máximo de iterações definido na
análise é alcançado.
Nesse caso, o processo não converge pois os acréscimos de
deslocamentos a cada iteração são superiores à tolerância adotada.
Esse resultado independe do nível de solicitação da seção crítica
em relação à sua resistência.
A não-linearidade física é considerada por meio da obtenção da rigidez no diagrama N,
M, 1/r. Essa rigidez pode ser definida das seguintes formas:
 Pela rigidez secante EIsec obtida pela linearização do diagrama (reta), e que pode
ser estendida para todas as seções do lance. É a forma mais recomendável de se
obter a rigidez, pois está a favor de segurança bem como facilita a análise
(desacoplamento das duas direções).
 Pela rigidez secante EI obtida pela curva para cada seção do lance de acordo com a
sua solicitação atuante. Trata-se de um procedimento válido somente para casos de
flexão composta normal.

 Pela rigidez secante oblíqua em que considerem simultaneamente os esforços
solicitantes em ambas as direções dos pilares.
Discretização adequada
No método geral, é fundamental que o lance do pilar seja discretizado adequadamente,
de tal forma a obter as respostas em várias seções.

Ao contrário dos processos aproximados em que a definição da seção crítica entre o
topo e a base do lance do pilar era realizada de forma simplificada pelo coeficiente b,
no método geral essa seção é definida de forma bem mais realista.
Em lances de pilares de edifícios usuais, a discretização em 10 trechos é suficiente.
Coeficiente f3
Pode ser considerada a formulação de segurança em que se calculam os efeitos de 2ª
ordem das cargas majoradas de f/f3, que posteriormente são majorados de f3.

Processo de verificação
O método geral é essencialmente um processo de verificação, pois é necessário
conhecer previamente a armadura ao longo do lance do pilar para calcular os esforços
de 2ª ordem.
Dessa forma, assim como no método do pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r, o
processo de dimensionamento pelo método geral é iterativo. Define-se uma armadura e
analisa-se o pilar sucessivamente, até a obtenção de uma armadura necessária.

Cálculo manual
Calcular manualmente um lance de pilar pelo método geral é inviável, visto que é
necessário considerar tanto a não-linearidade física como a geométrica de forma
refinada. Na prática, o emprego do método geral somente é realizado com o uso de um
computador.
Cabe ao Engenheiro de Estruturas conhecer a teoria que envolve o método, de tal forma
a poder interpretar os resultados obtidos de forma segura.
5.2.7. Resumo geral
Até o momento, estudamos com detalhes todos os processos presentes na NBR
6118:2003. Através de exemplos, foi possível perceber as particularidades e
simplificações inerentes de cada método.
O gráfico a seguir traz um resumo com relação à aplicabilidade de cada um dos
métodos.

5.3. A determinação do  e esforços no ponto médio
A aplicação deste item é aplicável para projetos processados pela NBR6118:1980.
a )- Determinação do  em função do carregamento
Em muitos casos, as solicitações atuantes nos diversos pilares são compostas por uma
força normal e dois momentos fletores. Principalmente quando estas solicitações são
devidas ao modelo de pórtico espacial, a linha neutra resultante do dimensionamento da
seção transversal, geralmente, não é paralela ao um dos eixos principais de inércia. Por
esta razão foi criado um critério no CAD/Pilar, critério K6 do Manual de Critérios de
projeto, item 3.9, 'Consideração dos momentos de 2ª ordem', que permite o cálculo do 
em função desta linha neutra com uma aproximação, que é considerar a linha neutra
paralela ao plano de atuação dos momentos fletores. Com isto, muitos pilares
aparentemente esbeltos, passam a ter o índice de esbeltez menor, pois o  nesta direção
é menor que o  calculado na direção da maior esbeltez, podendo serem considerados
como pilares curtos. Este é um critério que reduz as armaduras nos pilares e deve ser
criteriosamente selecionado pelo usuário.
b )- Esforços de 2ª ordem no ponto médio do lance.
O CAD/Pilar realiza, para os pilares esbeltos, o dimensionamento da seção transversal
do pilar para os valores das solicitações no topo e na base do lance. Para o ponto médio
do lance, onde se estudam os efeitos da 2ª ordem, principalmente quando os esforços
são provenientes de cálculo do modelo de pórtico espacial, encontra-se uma dificuldade
pois o plano de atuação do momento resultante no topo do pilar não coincide com o
plano de atuação do momento resultante na base do pilar. Neste caso, dois critérios
estão disponíveis para a escolha do usuário:
b.1)-No topo e na base do pilar, os momentos são projetados segundo os eixos
principais de inércia, x e y, e os momentos de 2ª ordem são determinado
no ponto médio do pilar para estas direções x e y. Posteriormente, é
calculado o momento no ponto médio como resultante entre estes dois
momentos determinados. A figura abaixo ilustra estes valores de
momentos.

Mmx Mm2x
Mm2y
Mty
Mtx
Mt
Mby
Mbx
Mb
Mmy Mm
x
y
Mm2
onde:
Mt é a resultante do momento no topo
Mb é a resultante do momento na base
Mtx e Mty são projeções de Mt nos eixos x e y
Mbx e Mby são projeções de Mb nos eixos x e y
Mmy é o valor do momento no ponto médio, direção y
Mmx é o valor do momento no ponto médio, direção x
Mm2x é o valor de Mmx com efeito de 2a. ordem, direção x
Mm2y é o valor de Mmy com efeito de 2a. ordem, direção y
Mm2 é a resultante dos momentos Mm2x e Mm2y
b.2)-No topo e na base do pilar, os momentos não são projetados nos eixos
principais de inércia e a análise é feita tomando-se como plano válido, o
plano que contém o maior momento. O momento menor na outra
extremidade é projetado neste plano inicial adotado. Temos 2 casos a
considerar. Se a diferença angular entre estes dois planos projetados num
plano vertical for  15º, os dois momentos são considerados coplanares.

Mt
x
MtP
Mm
Mm2
Mb
y
Caso (a) Caso (b)
Mt
x
MtP
y
Mb
Mm Mm2
MtB
onde:
Mt é a resultante do momento no topo, e é maior, em módulo, que Mb
Mb é a resultante do momento na base
MtP é o momento Mt projetado na base
MbP é o momento Mb projetado no plano de Mt e MtP
Mm é o valor do momento no ponto médio do plano Mt e MbP
Mm2 é o valor de Mm com efeito de 2a. ordem
 é o ângulo formado entre os dois planos verticais que contém os
momentos Mt e Mb.
No caso (a), se o ângulo  for  15º, o momento Mb será considerado
como atuando no mesmo plano do momento Mt, isto é, serão coplanares
os momentos.
Caso o ângulo  for > 15º, o momento Mb será considerado como não
atuando no plano vertical que contém o momento Mb.
Para maiores detalhes sobre o cálculo das excentricidades, consultar o item sobre o
critério K73 no Manual Teórico.
5.4. Índice de esbeltez  > 80
A aplicação deste item é aplicável para projetos processados pela NBR6118:1980.

Neste caso, a verificação do esgotamento
da capacidade da seção transversal do pilar
por ruptura ou por instabilidade geral é
feita através da consideração da relação
momento - curvatura da seção transversal
do pilar em diversos pontos do lance. É
considerado neste método a não
linearidade física dos materiais através dos
diagramas tensão - deformação para o aço
e para o concreto. A não linearidade
geométrica do pilar é considerada através
dos efeitos da posição deformada do eixo
do pilar sob a atuação das cargas verticais
e horizontais.
Este é um cálculo singular, interativo, que
deve ser realizado apenas para alguns
pilares especiais onde os efeitos de 2ª
ordem não podem ser analisados por
outros processos. O processo adotado é o
de verificação da estrutura e, por esta
razão, deve-se fornecer a dimensão da
seção e as armaduras ao longo do pilar. O
pilar pode ter, inclusive, seção transversal
com variação nas suas dimensões ao longo
do lance.
O cálculo é baseado no método dos
deslocamentos. O pilar é discretizado em
diversos segmentos conectados aos nós da
estrutura.
M1
F1
F2
F3
F4
F5
P2
P3
P4
P5
P1
6
5
4
3
1
22
Em cada segmento as características dos materiais são consideradas constantes.
Permite-se a definição de vínculos elásticos nos extremos do pilar e as cargas atuantes
nas 3 direções (3 forças e 3 momentos) nos nós do modelo estrutural. A armadura do
pilar deve ser fornecida através da definição da porcentagem (da armadura total)
existente em cada face da seção. Apenas seções retangulares e circulares (cheias ou
vazadas) estão disponíveis.
O calculo é interativo. Os seguintes passos são adotados:

- Determinação da posição deformada do pilar sob o efeito da 1ª ordem.
- Solicitações nos diversos segmentos.
- Alteração da geometria da estrutura para a nova posição deformada.
- Nova rigidez dos segmentos em função das solicitações e dos materiais.
- Na próxima iteração o carregamento da estrutura atuará na posição
deformada.
- Determinação da posição deformada do pilar sob o efeito da 2ª iteração.
- Solicitações nos diversos segmentos.
- Alteração da geometria da estrutura para a nova posição deformada.
- Nova rigidez dos segmentos em função das solicitações e dos materiais.
O processo se repete até que a posição deformada entre uma iteração e outra seja menor
que uma certa tolerância e, não tenha sido atingido o esgotamento da capacidade
resistente das seções transversais do pilar.
Como resultado do processamento é emitida mensagem se o pilar é estável ou não
(houve convergência entre esforços externos e internos em cada seção considerando
todos os efeitos de 2a. ordem), para o carregamento dado. Também são impressos os
deslocamentos, reações de apoio e esforços solicitantes nos diversos segmentos (barras)
do pilar nas 3 direções (3 forças e 3 valores de momentos).
Pela singularidade da análise, este processo de verificação, embora geral, está
disponível para a verificação isolada de pilares e não está integrado aos dados gerais e
armaduras determinadas automaticamente pelo CAD/Pilar.

Pilares de seção genérica 51
6. Pilares de seção genérica
Um dos pontos importantes do CAD/Pilar, é o tratamento dos pilares não retangulares
ou vulgarmente denominados pilares de seções genéricas ou pilares quaisquer.
Este é um ponto importante do sistema pois, este tipo de pilar ocorre na maioria das
edificações funcionando como estrutura de contraventamento e, portanto, absorvendo
momentos fletores devido a ação de cargas horizontais.
Devido a sua natural generalidade, a definição do contorno do pilar e dos pontos
principais de armadura e dos estribos e grampos deve ser feita diretamente pelo usuário,
de forma interativa utilizando os editores gráficos.
O tratamento destes pilares, internamente, pelo CAD/Pilar obedece aos seguintes
passos:
- São determinados os eixos principais de inércia da seção.
- As solicitações são projetadas nas direções destes eixos principais de
inércia.
- As excentricidades acidentais são determinadas em função das dimensões
de um retângulo envolvente da seção genérica, retângulo este com os lados
paralelos aos eixos centrais de inércia.
- As armaduras são calculadas em função destes eixos centrais de inércia.

V
Mx
My
Mu
Mv
G
A
B
C
D
X
Y
U
y
x
onde:
- G é o baricentro da seção transversal
- X, Y são os eixos globais da seção
- x, y são os eixos paralelos aos eixos X e Y passando por G.
- U, V são os eixos principais de inércia
- Mu é a projeção de Mx e My no eixo principal U
- Mv é a projeção de Mx e My no eixo principal V
- Pontos A, B, C e D são os vértices do retângulo envolvente
Todas estas grandezas calculadas são impressas em relatórios específicos do CAD/Pilar
e podem ser verificadas e validados pelo usuário.

53
7. Imperfeições geométricas locais –
NBR 6118:2003
A norma NBR 6118:2003, em seu item 11.3.3.4.2, preconiza que, para a verificação de
um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de
retilineidade do eixo do pilar (figura abaixo). Ainda segundo este item da norma, nos
casos usuais, apenas a consideração da falta de retinilineidade ao longo do lance do
pilar é suficiente.
O item 11.3.3.4.3 da norma NBR 6118:2003 permite que o efeito das inperfeições
locais nos pilares acima apresentado, pode ser substituído em estruturas reticuladas pela
consideração do momento mínimo de 1ª ordem dado conforme formulação abaixo:
M1d,mín = Nd (0.015 + 0.03h)
Onde:
h : altura da seção transversal na direção considerada, em m
Ainda segundo este item, para as estruturas reticuladas usuais, pode-se admitir que o
efeito da imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor total de
momento mínimo, sendo que a esse momento mínimo acima apresentado, devam ser
acrescentados os momentos de 2ª ordem da seção 15 da NBR 6118:2003, quando for o
caso.

8. Excentricidades e montagem dos
carregamentos – NBR 6118:1980
Conforme prescrições da NBR-6118, para cada seção transversal do pilar a ser
dimensionada, é necessário acrescentar os efeitos das excentricidades acidentais em três
direções (dois eixos principais e eixo de aplicação dos momentos). No manual que
descreve o arquivo de critérios, é explicado com detalhes como estas excentricidades
acidentais podem ser consideradas nos pilares.
Esta generalização leva a necessidade do dimensionamento das seções para inúmeras
situações como podemos observar pela descrição abaixo:
- Para cálculo de modelo espacial, no mínimo, são adotados 3 condições de
carregamentos básicas, isto é, carga vertical, carga vertical + vento x e
carga vertical + vento y.
- Para as excentricidades acidentais, são necessários 3 situações de novos
carregamentos.
- Para verificação dos efeitos de 2a. ordem no ponto médio, duas situações
de carregamentos são necessárias para cada lance.
Assim para uma edificação com 20 pilares e 15 pavimentos teremos, em média, o
seguinte número de carregamentos:
20 pilares  15 lances  3 carregamentos do pórtico  3 excentricidades  2
efeitos de 2ª ordem = 5.400 dimensionamentos de seções transversais
Além do elevado número de operações que o sistema deve realizar, ocorre uma
transferência de inúmeras informações entre os diversos programas do CAD/Pilar.
Ressaltamos que é absolutamente necessário que a validação dos resultados obtidos
pelos usuários. Para tanto, listagens são emitidas pelo CAD/Pilar contendo, em cada
situação da montagem dos carregamentos e da consideração de excentricidades, todos
os passos adotados e considerações realizadas até a determinação final dos
carregamentos efetivos para dimensionamento. O usuário, que economizará grande
parte do seu tempo pelo não tratamento numérico das grandezas envolvidas deve
dedicar 10% deste tempo para, obrigatoriamente, analisar, conferir, comparar e validar
os resultados emitidos pelo sistema.

Predimensionamento de pilares 55
9. Predimensionamento de pilares
Em função do que foi já apresentado nesta documentação, pode-se expor agora a
filosofia do CAD/Pilar para a não realização de um predimensionamento expedito de
pilares.
Devido às naturais dificuldades na determinação das solicitações nos diversos pilares
(analise conjunta de todos os pilares), devido à necessidade da redução das dimensões
dos pilares por imposições arquitetônicas e, devido principalmente ao extenso
tratamento numérico necessário ao correto dimensionamento dos pilares, é
praticamente inviável a introdução de qualquer processo aproximado para o
predimensionamento dos pilares.
Este processo, se adotado, seria útil apenas em pouquíssimas edificações e sujeito a
incorreções em edificações de grande importância e responsabilidade.
Por estas razões, sugerimos aos usuários o dimensionamento completo dos pilares pelo
processo exato, após o arbítrio das dimensões, apenas pela verificação da carga
concentrada vertical (muito fácil de ser realizada intuitivamente) e posterior verificação
e acerto das dimensões dos pilares que "não passam" ou que resultem em excesso de
armaduras.

10. Alojamento das armaduras
Os alojamentos das armaduras nas seções transversais dos pilares são feitos por
critérios contidos no arquivo de critérios de projeto e governados pelo usuário.
A hipótese básica é a de que as armaduras nas seções transversais são simétricas na
seção, para pilar de seção retangular e circular e de disposições quaisquer nas seções
genéricas.
Estão disponíveis aos usuários, para pilares de seção retangular, diversos tipos de
configurações de armaduras. Estes tipos diferem, principalmente, em função da
amarração dos ferros longitudinais para proteção contra a flambagem das barras.
Selecionado um tipo básico pelo usuário, o próprio CAD/Pilar, se encarrega de montar
todos os alojamentos possíveis de armaduras naquela seção, para cada bitola
selecionada como desejável para o dimensionamento.
Estes alojamentos ou arranjos dependem principalmente de algumas grandezas
fornecidas também no arquivo de critérios e abaixo apresentadas:
- Espaçamento mínimo entre as barras.
- Espaçamento máximo entre as barras.
- Porcentagem máxima de armadura na seção
- Porcentagem mínima de armadura na seção
- Porcentagem máxima de armadura na região de traspasse.
Portanto, para cada lance do pilar, diversos arranjos de armaduras para diversas bitolas
estão disponíveis para o dimensionamento.
O resultado do dimensionamento informará quais arranjos "passam" e quais arranjos
não "passam".
Para o detalhamento final dos pilares, basta a seleção das bitolas desejadas, de alto a
baixo do pilar, dentro do rol das soluções possíveis previamente analisadas. Critérios
para esta seleção de bitolas também estão disponíveis no arquivo geral de critérios de
projeto.

Alojamento das armaduras 57
Para pilares de seção genérica, o processo é semelhante com a exceção no item relativo
aos arranjos padrões de armaduras.
Pela diversidade de forma da seção genérica, os pontos principais de presença de
armaduras e a disposição dos estribos genéricos são fornecidos explicitamente pelo
usuário. O CAD/Pilar se encarregará de preencher o intervalo entre estas armaduras
principais com mais barras de aço, respeitando os espaçamentos mínimos e máximos
entre as barras e as taxas máximas de armaduras fornecidas.

11. Armaduras transversais
Conforme explicado no item acima, as armaduras transversais são selecionadas em
função do tipo de configuração de armadura que o usuário pretende fornecer.
Estão disponíveis configurações com:
- Estribos fechados apenas
- Estribos abertos
- Misto de estribos fechados / abertos e grampos
- Grampos nas direções x e y da seção do pilar
- Grampos em forma de < e/ ou >.
Exemplos de configurações para seção transversal retangular são apresentados no
Manual do Arquivo de Critérios, item 7 - 'Alojamento de armaduras longitudinais e
transversais na seção retangular'.
Para os pilares de seções genéricas, os estribos são definidos diretamente pelos
usuários, na forma desejada, podendo ser estribos fechados ou abertos ou grampos.
O diâmetro da armadura transversal utilizada também é definido no arquivo de critérios
de projeto em função da bitola longitudinal adotada para dimensionamento.

Determinação das armaduras longitudinais - Compressão simples 59
12. Determinação das armaduras
longitudinais - Compressão simples
Embora este caso na prática inexista, algumas simplificações em função das
solicitações atuantes permitem o dimensionamento das seções transversais apenas à
compressão.
Este dimensionamento é realizado para a NBR-6118 e também para a antiga NB-
1/60 (processo ômega ou ).
12.1. Dimensionamento pela NBR-6118
A expressão adotada é a seguinte:
As
Nk -0.85 fcd Ac
f yd -0.85 fcd

  

 f
onde:
f = Coeficiente de majoração das cargas
Nk = Força normal característica ou de serviço
fcd = Resistência de cálculo a compressão ( = fck / c )
fck = Resistência característica do concreto a compressão
c = Coeficiente de minoração da resistência do concreto na compressão
Ac = Área de concreto da seção do pilar
fyd = Resistência de cálculo do aço a tração: ( = fyk / s )
Para os seguintes tipos de aço, com s = 1,15, temos:
CA-40B - fyd = 3,6 tf/cm²
CA-50B - fyd = 4,0 tf/cm²
CA-50A e CA-60B - fyd = 4,2 tf/cm²
fyk = Resistência característica do aço à tração
s = Coeficiente de minoração do aço

A armadura efetiva detalhada obedecerá aos critérios de alojamento de armaduras
anteriormente descritos, em função da bitola selecionada, espaçamentos máximos e
mínimos, etc.
12.2. Dimensionamento pela NB-1/60 (Processo )
A expressão adotada é a seguinte:
As
N - Ac
-
'
' '

    
 
f r
e r
onde:
 = Coeficiente fictício de majoração da carga conforme a esbeltez
f = Coeficiente de majoração dos esforços na compressão
N = Força normal atuante
r' = Tensão admissível do concreto ( = rKc )
r = Resistência característica do concreto
Kc = Coeficiente de redução da resistência do concreto na compressão (geralmente
igual a 0,75)
Ac = Área de concreto da seção do pilar
e' = Tensão admissível no aço. Para os seguintes tipos de aço, temos:
CA-40B e' = 3,6 tf/cm²
CA-50B e' = 4,0 tf/cm²
CA-50A e CA-60B e' = 4,2 tf/cm²
Neste processo, o parâmetro  depende do índice de esbeltez. Temos:
Se    b 1
Se    

b c   

p
p
1
2
Se   

 

c
p
p
3
4
3

Determinação das armaduras longitudinais - Compressão simples 61
onde:
b = Índice de esbeltez limite inferior a partir do qual considera-se o fator de majoração
de cargas  conforme a fórmula acima. Normalmente este valor é igual a 50.
c = Índice de esbeltez limite inferior a partir do qual considera-se o fator de
majoração de cargas  conforme a fórmula acima. Usualmente o valor
de c é igual a 100.
Os parâmetros p1 a p4 são usados para determinação do fator . Normalmente, tem os
seguintes valores:
p1 = 100
p2 = 150
p3 = 2
p4 = 1.000.000
A armadura efetiva detalhada obedecerá aos critérios de alojamento de armaduras
anteriormente descritos, em função da bitola selecionada, espaçamentos máximos e
mínimos, etc.

13. Determinação de armaduras
longitudinais - Dimensionamento a
Flexão Composta Normal e Oblíqua
Este é o caso mais comum e seu tratamento no CAD/Pilar é o mais genérico possível.
Será feita uma exposição do dimensionamento da seção submetida a flexão composta
oblíqua que é o caso geral. O dimensionamento da flexão composta normal é um caso
particular da flexão composta oblíqua.
O que será exposto a seguir é o tratamento realizado pelo CAD/Pilar tanto para pilares
retangulares e pilares de seções genéricas.
13.1. Hipóteses adotadas
a)Diagramas tensão - deformação dos materiais
- Concreto
A relação entre tensões e deformações no concreto é representada por uma
parábola de 4º grau:
c
c
1
(-)
(-)
0.85fck
3.5

Determinação de armaduras longitudinais - Dimensionamento a Flexão Composta
Normal e Oblíqua 63
onde a curva  é representada pela seguinte formula:









i
kfckc 10.85
onde:
4
0.0035
1 





 c
i
E
k
- Aço
Para os aços da classe B, apresentamos, abaixo, o diagrama tensão - deformação com
temos o diagrama de
Para os aços da classe B temos o seguinte diagrama tensão - deformação com a
simplificação permitida pela NBR-6118 para a curva do aço:
s
sooo
(+)
(+)
yd yd2 /
1
2
3.5 2
+ 2 10
fyk
fyd
0.7fyd
fydc
fykc
0.7fyd

onde:
 = arctg Es
f yd
f yk
s


f ycd
f yck
s


e o trecho  é dado pela equação abaixo, conforme item 7.2 da NBR-6118:
2
0.7
45
1









yd
f
sd
sE
sd
s

 com Es = 2.1 106
Para o trecho  , a expressão é a mesma acima, mas com o termo fyd
substituído por fydc.
Para os aços da classe A temos o seguinte diagrama tensão/deformação :

s
s
(+)
(+)
yd yk 10
3.5
fyk
fyd
fydc
fykc
onde:
 = arctg Es
f yd
f yk
s


f yck f yk 
f ycd f yd 
b) Seções planas
Admite-se válida a hipótese das seções planas ou seja, as seções transversais
permanecem planas e normais ao eixo da peça após as deformações.

c) Esgotamento da capacidade resistente da seção
A resistência de uma seção transversal é limitada pela ocorrência de uma deformação
considerada excessiva na armadura, ou então, um encurtamento relativo no concreto
que produza o seu esmagamento. Limita-se o alongamento relativo na armadura em 10
o/oo (zona I). Considera-se que o esmagamento do concreto ocorre quando o seu
encurtamento relativo atinge 3.5 o/oo em seções parcialmente comprimidas (zona II), ou
(3.5 o/oo - 0.75i) em seções totalmente comprimidas (zona III). O valor i representa
o encurtamento na fibra inferior da seção.
Alongamento Encurtamento
3 h
7
h
d
(Tracao) (Compressao)
10 2 3.5
Se o programa computacional não conseguir, em um certo número limitado de
iterações, atingir o equilíbrio de esforços externos e internos, obedecendo aos limites
acima definidos e, desde que os parâmetros de convergência forem escolhidos
convenientemente, concluímos também que a capacidade resistente da seção está
esgotada.
d) Carregamentos
Considera-se que as cargas externas (N, Mx e My), são aplicadas no baricentro da seção
de concreto e os eixos X e Y são os eixos centrais de inércia da seção.
e) Discretização da seção transversal

Devido ao caráter geral que se pretende dar ao programa, eliminamos a restrição da
possibilidade da aplicação do programa somente a determinados tipos de seções com
determinados tipos de armaduras, considerando, no tratamento numérico como se as
seções fossem constituídas por uma série finita de pontos, para o aço e concreto assim
determinados:
- Pequenos retângulos representando o concreto, identificados por um ponto
de coordenadas x, y e respectiva área.
- Pequenos círculos representando as barras de aço, identificados por um
ponto de coordenadas x, y e a área da barra.
Neste processo de dimensionamento, com a consideração exata da posição das barras
da armadura na seção, é importante observar que a exatidão dos resultados leva a
resultados muitas vezes não coincidentes com alguns ábacos existentes no mercado.
Devido as hipóteses de armaduras distribuídas dos ábacos, dimensionado uma seção de
largura reduzida sem a consideração da posição exata das barras de ferro leva a
resultados diferentes do que os obtidos pelo CAD/Pilar onde a posição exata da
armadura é considerada. Como a posição da barra de ferro considera o cobrimento da
armadura, o estribo e o próprio diâmetro da barra, o braço de alavanca entre as
armaduras diminui. Com isto, muitos pilares "passam" pelos ábacos mas "não passam"
pelo CAD/Pilar. Os resultados do CAD/Pilar são resultados precisos para o
dimensionamento da seção transversal considerando as posições das barras na sua exata
localização.
13.2. Processo de análise
a) Variáveis do problema - Flexão Composta Oblíqua
O equilíbrio dos esforços externos e internos para as seções transversais submetidas a
flexão composta oblíqua é governado por 3 variáveis (duas rotações e uma translação)
interdependentes entre si, representadas esquematicamente como abaixo:

L
N
G
a
b
x
y
x'
y'
z
d
Na figura acima temos:
- O ponto G é o baricentro da seção.
- Os eixos X, Y são os eixos principais de inércia
- O eixo Z forma o sistema de coordenadas X, Y e Z.
Supondo que, nesta seção genérica o equilíbrio entre os esforços internos e externos foi
alcançado pela deformação da seção com a linha neutra passando pela reta denominada,
na figura, por L N e que a inclinação deste plano deformado com o plano da seção
original assume o valor do ângulo  temos:
- O ângulo  é a inclinação da LN com o eixo x
- O eixo x' passa pelo ponto G formando um ângulo  com o eixo x
- O eixo y' é ortogonal ao eixo x' passando por G
- A distância d segundo o eixo y', é a medida entre o ponto G e a linha neutra
LN.
Rebatendo a figura no plano y' z temos:

1
2
z
y'
G
a
d
L N
b
- O ângulo  é a inclinação do plano deformado com o plano original da
seção.
As três variáveis e incógnitas do problema são:
- Ângulo 
- Ângulo 
- Distância d
Todo o problema se resume em determinar estas três variáveis de tal forma que os
esforços externos sejam equilibrados pelos esforços internos da seção a menos de uma
certa tolerância.
b) Esforços resistentes na seção.
Como a seção foi discretizada em pontos, com cada ponto representando pequenos
retângulos (concreto) e círculos (aço), o problema da determinação dos esforços
resistentes na seção, para uma determinada linha neutra, se resume a:
- Determinação da deformação do ponto com relação a LN da seção.
- A partir da deformação do ponto, e do diagrama tensão - deformação do
material, determina-se a tensão no ponto.

- Com a tensão acima determinada e da área do elemento, determina-se a
força resistente neste ponto.
- Para todos os pontos da seção, representando a aço e concreto, faz-se a
integração abaixo para a obtenção dos esforços finais resistentes.
A figura abaixo ilustra as variáveis de integração:
L
N
x
y
z
G
idx
dy
A força normal resistente é calculada como:
N F FaiRI ci
i
n
i
nc a
 
 
 
1 1
sendo
nc = nº de pontos dos retângulos do concreto
ns = nº de pontos correspondente ao número das barras de aço
Fci= força no ponto i do concreto
Fai = força no ponto i da barra de aço
Nri = resultante da força normal interna na seção.
Os momentos fletores resistentes são calculados como:
M F d Fai dRIx ci
i
n
yi
i
n
yi
c a
   
 
 
1 1

M F d Fai dRIy ci
i
n
xi
i
n
xi
c a
   
 
 
1 1
onde:
dxi = distância do ponto i considerado ao eixo x
dyi = distância do ponto i considerado ao eixo y
MRIx = momento fletor resistente interno no eixo x
MRIx = momento fletor resistente interno no eixo y
c) Processo de convergência
Como as variáveis que estão envolvidas no problema não são lineares, o processo de
convergência é iterativo. Todo o problema se resume à resolução de um sistema de 3
equações a 3 incógnitas para cada iteração. Cada solução do sistema de equações induz
a uma aproximação da solução desejada.
Assumindo que a profundidade da linha neutra (d) afeta principalmente a força normal,
a rotação  afeta principalmente o momento em torno do eixo x e a rotação  afeta
principalmente o momento fletor em torno do eixo y podemos montar o sistema das 3
equações como o representado abaixo:
a11d + a12 + a13 = N
a21d + a22 + a23 = Mx
a31d + a32 + a33 = My
Para a obtenção dos coeficientes aij, basta aplicar a cada uma das três variáveis que
governam o problema (d,  e ), uma variação unitária e calcular as diferenças (como
se fossem as derivadas) dos valores dos esforços internos. Estas variações já são os
próprios coeficientes.
O roteiro para encontrar a solução desejada pode ser descrito como sendo:
1) Escolhe-se o ponto de partida das variáveis que podem ser os valores
zerados (LN coincidindo com eixo principal e seção sem giro ).

2) Aplicam-se variações unitárias a d,  e  e encontram-se os valores para
aij.
3) Resolve-se o sistema das 3 equações com a primeira aproximação para d, 
e .
4) Verifica-se se para os valores encontrados de d,  e , os esforços internos
coincidem com os externos a menos de uma tolerância.
5) Adota-se como origem a nova posição encontrada de d,  e .
6) Aplica-se variações unitárias a d,  e  e encontram-se novos valores para
aij.
7) Resolve-se o sistema das três equações com nova aproximação para d,  e
.
8) Verifica-se se para os valores encontrados de d,  e , os esforços internos
coincidem com os externos a menos da tolerância.
9) Repete-se o ciclo de operações do item 5) ao 8) até que a solução final seja
encontrada.
Ao final do processo de convergência podemos ter 2 situações:
- A solução foi encontrada dentro das tolerâncias e do número de iterações
estabelecidos. Este é o caso em que a seção, a priori, "passa".
- A solução não foi encontrada dentro das tolerâncias e do número de
iterações estabelecidos. Este é o caso em que a seção "não passa".
d) Verificação final
Obtida a solução para as variáveis d,  e , de tal forma que os esforços externos
coincidam com os internos, calculam-se as deformações extremas da seção transversal.
Uma última verificação final deve ser realizada para a validade das deformações
extremas conforme as deformações admissíveis para os materiais aço e concreto.

Desenho de Pilares 73
14. Desenho de Pilares
O CAD/Pilar cria, automaticamente, figuras representativas dos desenhos de pilares,
particionados por pilar e com subdivisões em conjunto de lances, de tal maneira que,
conforme a escala vertical fornecida pelo usuário, a dimensão da figura criada se ajusta
na altura da folha de desenho no formato desejado.
No lance, fornecida a escala transversal, pelo arquivo de critérios, fica fixada a
dimensão do desenho do pilar/lance a ser representada em papel. Se a dimensão
resultante da seção na maior escala fornecida não couber no desenho, o desenho da
seção transversal poderá ser reduzido com mensagem de aviso emitida ao usuário.
O desenho geral criado, composto por um conjunto de lances e, por pilar, pode ser
editado graficamente para sua adequação a qualquer necessidade do usuário antes de
ser emitido em impressora ou traçador gráfico.
Para efeitos de redução do volume de desenhos, os pilares iguais podem ser agrupados
em um único pilar com fator de repetição. Da mesma forma, lances idênticos podem ser
agrupados, reduzindo-se o trabalho de emissão de desenhos.
A correta locação dos desenhos dos pilares na folha de desenho pode ser feita através
da utilização de programa específico para edição de plantas. Comum a todos os
programas dos Sistemas Integrados CAD/TQS.
A representação dos símbolos utilizados para as barras dos pilares nos desenhos das
seções transversais, são definidas em Critério de desenho.
Inúmeros critérios de representação e desenho governam o programa que, efetivamente,
realiza o desenho dos pilares. Estes critérios estão completamente descritos no manual
Critérios de Projeto.
Feita a locação dos desenhos dos pilares em planta, são calculadas e emitidas também
as tabelas de ferros para cada planta.

15. Bibliografia
Associação Brasileira de Normas Técnicas - ABNT
NBR-6118 (antiga NB-1/1978)
Projeto e Execução de obras de concreto armado
NBR-6123 (antiga NB-599/1978)
Efeitos de vento em edificações
NB-1/1960
Projeto e Execução de obras de concreto armado
NB-5/1961
Cargas para o cálculo de estruturas de edifícios
Prof. Dr. Eng.º Lauro Modesto dos Santos
Cálculo de Concreto Armado - vol. 1 e 2
LMS Editora
Prof. Dr. Eng.º José Carlos Sussekind
Curso de Concreto Armado - vol. 1 e 2
Editora Globo
Curso de Analise Estrutural - vol. 3 (Método de Deslocamentos)
Editora Globo
Eng.º Alio Ernesto Kimura
Curso de Cálculo de pilares de concreto Armado (NBR6118:2003)
Apostila
Fevereiro-Março de 2008

TQS Informática Ltda
R. dos Pinheiros, 706 c/2 São Paulo SP 05422-001
Tel (011) 3083-2722 Fax (011) 3083-2798
tqs@tqs.com.br www.tqs.com.br

Pilar 05-teórico

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Destaque

Semelhante a Pilar 05-teórico

Mais de Anderson Ricardo Cunha

Pilar 05-teórico