Projeto de sapatas de fundação conforme NBR 6118

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
UNESP - Campus de Bauru/SP
FACULDADE DE ENGENHARIA
Departamento de Engenharia Civil
Disciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III
NOTAS DE AULA
SAPATAS DE FUNDAÇÃO
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS
(wwwp.feb.unesp.br/pbastos)
Bauru/SP
Agosto/2012

APRESENTAÇÃO
Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina
2133 – Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da
Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru.
O texto apresenta o dimensionamento das sapatas de fundação, conforme os
procedimentos contidos na NBR 6118/2003 - “Projeto de estruturas de concreto –
Procedimento”.
Agradecimentos ao técnico Tiago Duarte de Mattos, pela confecção dos desenhos, e ao
aluno Lucas F. Sciacca, pelo auxílio na digitação do texto.
Esta é a primeira versão da apostila, e críticas e sugestões serão muito bem-vindas.

SUMÁRIO
1. DEFINIÇÕES...........................................................................................................................1
1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL............................................................................................1
1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO...............................................................................................1
1.3 TIPOS DE SAPATAS........................................................................................................1
1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS ........................................................................................3
2. SAPATAS ISOLADAS............................................................................................................3
2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ......................................................................4
2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL.............................................................................5
2.2.1 Sapatas Rígidas ...........................................................................................................5
2.2.2 Sapatas Flexíveis.........................................................................................................6
2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO.....................................................................6
2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA
CENTRADA .................................................................................................................................7
2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções ..............................................7
2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠ cB).......................................................8
2.5 PROJETO CONFORME O CEB-70..................................................................................9
2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior ....................................................................9
2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada.................................10
2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão..........................................................................13
2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada.................14
2.5.5 Força Cortante Limite ...............................................................................................16
2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO..........................................................................................16
2.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante .........................................................................18
2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na
Superfície Crítica C..................................................................................................................19
2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos
sem Armadura de Punção ........................................................................................................20
2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA ...............................................................21
2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS...........................................................................................29
2.9 MÉTODO DAS BIELAS.................................................................................................29
2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida ...........................................................................33
2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS.............................................34
2.10.1 Excentricidade em Uma Direção...............................................................................34
2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções ............................................................................36
2.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor....................40
2.12 EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA..............................48
2.13 SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA..................................54
2.14 VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO bW ≥
5d 56
2.15 EXEMPLO 5 – Sapata Flexível....................................................................................57
3. SAPATA CORRIDA .............................................................................................................62
3.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME...........................................64
3.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME ......................65
3.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA...............................................................67
3.4 EXERCÍCIO PROPOSTO ...............................................................................................69

3.5 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL..........................................................69
4. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS...................................................74
5. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO EM
SAPATAS.......................................................................................................................................75
6. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO .....................................................76
6.1 ROTEIRO DE CÁLCULO...............................................................................................78
6.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO.........................................78
6.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO..........................................81
6.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA......................................................81
6.5 EXEMPLO 8 ....................................................................................................................83
6.6 TAREFA...........................................................................................................................90
6.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA ..........................................................90
7. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA................................................................................92
8. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)....................................................95
8.1 SAPATA RETANGULAR...............................................................................................95
8.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO..................................................................98
8.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL.......................................................................100
8.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ ....................................................101
8.5 EXEMPLO 9 ..................................................................................................................102
9. QUESTIONÁRIO................................................................................................................111
10. RERERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................................112

UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 1
1. DEFINIÇÕES
As definições apresentadas a seguir tomam como base a norma NBR 6122/2010.
1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL
A fundação superficial é também chamada fundação rasa ou direta. É definida como:
“elemento de fundação em que a carga é transmitida ao terreno pelas tensões distribuídas sob a
base da fundação, e a profundidade de assentamento em relação ao terreno adjacente à
fundação é inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação.”
Quanto ao dimensionamento, as fundações superficiais devem ser definidas por meio de
dimensionamento geométrico e de calculo estrutural.
1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO
Sapata de fundação é um “elemento de fundação superficial, de concreto armado,
dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo emprego
de armadura especialmente disposta para esse fim.”
1.3 TIPOS DE SAPATAS
Sapata Isolada: transmite ações de um único pilar, que pode estar centrado ou
excêntrico; pode ser retangular, quadrada, circular, etc., (Figura 1).
h=cte h = var
Figura 1 – Sapata isolada.
Sapata corrida: “Sapata sujeita à ação de uma carga distribuída linearmente ou de
pilares ao longo de um mesmo alinhamento.”, (Figura 2).
parede
sapata OU
Figura 2 – Sapata corrida para apoio de parede.

Sapata associada: é a sapata comum a mais de um pilar, sendo também chamada sapata
combinada ou conjunta (Figura 3). Transmitem ações de dois ou mais pilares e é utilizada como
alternativa quando a distância entre duas ou mais sapatas é pequena.
PLANTA
VR
A
A
P1 P2
ELEVAÇÃO CORTE AA
Viga de
rigidez
Figura 3 – Sapata associada (viga de fundação).
Viga alavanca ou viga de equilíbrio: “elemento estrutural que recebe as cargas de um
ou dois pilares (ou pontos de carga) e é dimensionado de modo a transmiti-las centradas às
fundações. Da utilização de viga de equilíbrio resultam cargas nas fundações diferentes das
cargas dos pilares nelas atuantes.” É comum em pilar de divisa onde o momento fletor
resultante da excentricidade da ação com a reação da base deve ser resistido pela “viga de
equilíbrio” (VE), Figura 4.
sapata 2
VA
Viga alavanca (VA)
sapata 1
Figura 4 – Sapata com viga de equilíbrio.

A configuração das vigas baldrames (VB) em relação à sapata pode variar, conforme
alguns casos indicados na Figura 5.
VB
VB
Viga
baldrame
(VB)
Figura 5 – Posicionamento da viga baldrame em relação à sapata.
1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS
“A base de uma fundação deve ser assente a uma profundidade tal que garanta que o
solo de apoio não seja influenciado pelos agentes atmosféricos e fluxos d’água. Nas divisas com
terrenos vizinhos, salvo quando a fundação for assente sobre rocha, tal profundidade não deve
ser inferior a 1,5 m” (NBR 6122/96, item 6.4.2). A Figura 6 mostra alguns detalhes construtivos
sugeridos para as sapatas.



≥
cm20
3/h
h0
> 3
1
Lastro de concreto simples
( ≥ 5cm, fck ≥ )σsolo, rocha
h
h0
3 a 10 cm
α
Figura 6 – Sugestão para alguns detalhes construtivos da sapata.
α ≤ 30° (ângulo do talude natural do concreto fresco – não é obrigatório).
2. SAPATAS ISOLADAS
Nas sapatas isoladas, o centro de gravidade da sapata deve coincidir com o centro de
aplicação da ação do pilar; a menor dimensão deve ser ≥ 60 cm (NBR 6122/96, 6.4.1); a relação

entre os lados deve ser A/B ≤ 2,5. Regularmente, os lados A e B devem ser escolhidos de modo
que cA ≈ cB , mostrados na Figura 7.
Se cA = cB :
A – ap = B – bp
A – B = ap – bp ⇒ Asx ≈ Asy (ou AsA ≈ AsB)
B A
bp
ap
CB
CACA
CB
Figura 7 – Notação para a sapata isolada.
2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ
Conforme a NBR 6118/03 (item 22.4.1), a classificação das sapatas quanto à rigidez é:
Sapata rígida:
3
)a-(A
h
p
≥
Sapata flexível:
3
)a-(A
h
p
<
h
A
ap Pilar
Figura 8 – Altura h da sapata.
com: h = altura da sapata (Figura 8);
A = dimensão (lado) da sapata numa determinada direção;
ap = dimensão do pilar na direção do lado A.
Nota: a classificação acima deve ser verificada segundo as duas direções da sapata, ou seja,
segundo as direções dos lados A e B de sapatas retangulares.

Pelo CEB-70, a sapata é rígida quando:
0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 (26,6º ≤ β ≤ 56,3º)
tg β = h / c
h
ap Pilar
β
C
Balanço
Figura 9 – Ângulo β e balanço c.
E também:
tg β < 0,5 ⇒ sapata flexível;
tg β > 1,5 ⇒ bloco de fundação - dispensa-se a armadura de flexão porque o concreto
resiste a σt .
2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
(NBR 6118/03, 22.4.2)
2.2.1 Sapatas Rígidas
São aquelas com alturas “grandes” e tem a preferência no projeto de fundações.
a) há flexão nas duas direções (A e B), com a tração na flexão sendo uniformemente distribuída
na largura da sapata. As armaduras de flexão AsA e AsB são distribuídas uniformemente nas
larguras A e B da sapata (Figura 10).
Sapata
rígida
As B
As AA
Figura 10 – Armaduras positivas de flexão de sapata isolada.
b) há atuação de força cortante nas duas direções (A e B), não apresentando ruptura por tração
diagonal, e sim por compressão diagonal, a ser verificada conforme o item 19.5.3.1 (Figura 11).
Não há possibilidade de punção, porque a sapata fica inteiramente dentro do cone de punção.

Seção a ter compressão
verificada (item 19.5.3.1
da NBR6118)
σI
σII
Figura 11 – Tensões principais na sapata isolada.
2.2.2 Sapatas Flexíveis
São aquelas com alturas “pequenas”. “Embora de uso mais raro, as sapatas flexíveis são
utilizadas para fundação de cargas pequenas e solos relativamente fracos.” (NBR 6118/03).
a) há flexão nas duas direções, mas a tração na flexão não é uniforme na largura (Figura 12);
b) há a necessidade da verificação à punção.
N
p
M
(variável)
Figura 12 – Momento fletor na sapata flexível.
2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO
As principais variáveis que afetam a distribuição de tensões são: características das
cargas aplicadas, rigidez relativa fundação-solo, propriedades do solo e intensidade das cargas.
(ver Velloso e Lopes – Fundações, v.1, ed. Oficina de Textos).
A distribuição real não é uniforme, mas por simplicidade, na maioria dos casos, admite-se
a distribuição uniforme, o que geralmente resulta esforços solicitantes maiores (Figura 13). A
NBR 6122 (6.3.2) admite a distribuição uniforme, exceto no caso de fundações apoiadas sobre
rocha.

Rígida
distribuiçao
admitida
distribuição
real
Areia
Flexível
Areia
Figura 13 – Distribuição de tensões no solo.
A NBR 6118/03 (item 22.4.1) declara: “Para sapata rígida pode-se admitir plana a
distribuição de tensões normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha de informações
mais detalhadas a respeito.”
2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA
CENTRADA
A area de apoio da sapata pode ser estimada como:
solo
sap
N05,1
S
σ
= ou
solo
sap
N1,1
S
σ
=
onde os fatores 1,05 e 1,1 estimam o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.
2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções
Conforme as dimensões mostradas na Figura 14, tem-se:
A = 2cA + ap
B = 2cB + bp
Com cA = cB , fica:
A – B = ap – bp
B
S
ABAS
sap
sap =→⋅=
pp
sap
baB
B
S
−=−
Multiplicando por B:
( )BbaBS pp
2
sap −=−
( ) ( ) sap
2
pppp Sab
4
1
ab
2
1
B +−+−=

A e B devem ser múltiplos de 5 cm. É indicado que a dimensão seja no mínimo 80 cm no
caso de sapata de edifícios, e 60 cm para sapatas de residências térreas e de dois pavimentos
(sobrado).
B
A
bp
ap
CB
CA
CB
CA
Figura 14 – Sapata isolada com balanços iguais nas duas direções.
2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠≠≠≠ cB)
Neste caso recomenda-se obedecer a seguinte relação:
0,3
B
A
≤
Sendo R a relação entre as dimensões (Figura 15), tem-se:
RBAR
B
A
⋅=→=
Ssap = A . B ⇒ Ssap = R . B2
R
S
B
sap
= , com A e B múltiplos de 5 cm.
B
A
bp
ap
CB
CA CA
CB
Figura 15 – Sapata isolada com balanços não iguais nas duas direções.

2.5 PROJETO CONFORME O CEB-70
O método proposto pelo CEB-70 pode ser aplicado a sapatas com:
c ≤ 2h e
2
h
c ≥
ou seja: h2c
2
h
≤≤
Se
2
h
c < → bloco de fundação.
h
CC
Figura 16 – Balanço c na sapata isolada.
Admite-se que o solo tem comportamento elástico, e daí que as reações do solo sobre a
superfície de apoio da sapata seguem uma linha plana (Figura 17).
N
M("pequeno")
(LN fora da
seção)
Superfície
plana
N
M("grande")
x
Distribuição admitida para
quando existirem tensões de
tração na base da sapata
Figura 17 – Reação do solo na base da sapata.
2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior
Os momentos fletores são calculados, para cada direção, em relação a uma seção de
referência (S1A e S1B), que dista 0,15 vezes a dimensão do pilar normal à seção de referência, e se
encontra internamente ao pilar (Figura 18).
d1 = d ≤ 1,5cA ap
0,15ap
CA
d1
S1A
A
Figura 18 – Seção de referência S1 .

O momento fletor é calculado levando-se em conta o diagrama de tensões no solo, entre a
seção S1 e a extremidade da sapata, como indicado na Figura 19.
S1
σ1
σ2
Figura 19 – Diagrama para cálculo do momento fletor na seção de referência S1 .
No cálculo da armadura de flexão que atravessa a seção S1 consideram-se as
características geométricas da seção de referência S1.
O menor momento fletor deve ser pelo menos 1/5 do maior momento fletor, isto é, a
relação entre as armaduras de flexão ortogonais deve ser ≥ 1/5.
2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada
Os momentos fletores são calculados nas seções de referência S1 , conforme indicados na
Figura 20. Supondo balanços iguais, cA = cb :
2
aA
c
p
A
−
= =
2
bB
c
p
B
−
=
p
0,15
ap
0,15ap
bp
S1A
S1B
CBxB
B
CA xA
A
bp
N
S1A
Figura 20 – Notações e seção de referência S1 .

Pressão da sapata no solo:
B.A
N05,1
p =
onde o fator 1,05 considera o peso próprio e do solo sobre a sapata. Outros valores podem ser
adotados.
As distâncias xA e xB são:
xA = cA + 0,15ap
xB = cB + 0,15bp
Áreas de referência nas duas direções (Figura 21):
A1A = xA B
A1B = xB A
B
A
xB
xA
A1A
A1B
Figura 21 – Áreas de referência.
Resultantes da pressão (tensão) no solo (Figura 22):
R1A = p . xA . B
R1B = p . xB . A
xA
S1A
R1A
p
Figura 22 – Resultante da pressão no solo.
Momento fletor em cada direção:

2
x
RM A
A1A1 = ⇒
2
x
B.pM
2
A
A1 =
2
x
RM B
B1B1 = ⇒
2
x
A.pM
2
B
B1 =
No cálculo da armadura de flexão, embora a seção comprimida A’c seja um trapézio, o
cálculo pode ser feito simplificadamente considerando-se a seção retangular (Figura 23). Se
considerar-se o trapézio deve-se fazer σcd = 0,8 fcd .
As
A'c
LN
Figura 23 – Área de concreto comprimida pela flexão (A’c).
Como na flexão simples, com auxílio dos coeficientes K tabelados:
d
2
1w
c
M
db
K = ⇒ na tabela de valores de Kc e Ks encontra-se βx , o domínio e Ks
com bw = A ou B.
1
d
ss
d
M
KA = ≥ As,mín
Simplificadamente também pode-se fazer:
yd1
d
s
f.d85,0
M
A = ≥ As,mín
Nas sapatas de base quadrada, a armadura de flexão pode ser uniformemente distribuída
na largura da sapata.
A armadura deve se estender de face à face e terminar com gancho nas duas
extremidades.
Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado menor (B) deve-se obedecer:
a) quando B ≥ ap + 2h (Figura 24):
A armadura é calculada como sendo:
BA
B2
As
+

B Armadura
B
A
ap
bp
Figura 24 – Distribuição de As quando B ≥ ap + 2h.
b) no caso de B < ap + 2h (Figura 25):
A armadura é calculada como sendo:
( )
h2aA
h2a2
A
p
p
s
++
+
Armadura
B
A
ap
bp
+ 2hap
Figura 25 – Distribuição de As quando B < ap + 2h.
2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão
1ºcaso: se a aba de comprimento c superar a altura h, a armadura deve ser ancorada a partir da
seção distante h da face do pilar, e deve se estender até as bordas da sapata (Figura 26). lb é o
comprimento de ancoragem básico, considerado sem gancho.
C > h
h
h
lb
Figura 26 – Ancoragem da armadura quando c > h.
2ºcaso: se o comprimento c da aba for inferior a h, a armadura deve ser totalmente ancorada na
vizinhança imediata da borda da sapata, sendo o comprimento de ancoragem medido a partir da
extremidade retilínea da barra (Figura 27).

C < h
h
lb
Figura 27 – Ancoragem da armadura quando c < h.
2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada
No dimensionamento, a força cortante a ser considerada é calculada numa seção de
referencia S2 , em cada direção da sapata, perpendicular à base de apoio da sapata e distante d/2
da face do pilar em cada direção, como indicado na Figura 28.
ap
B
C2A
bp
N
d
2
C2A
A
d
h
C2B
d
2
45°
S2B
S2A
A
h0
p
d2A
Figura 28 – Seções de referência S2A e S2B relativas as duas direções da sapata.
Força cortante em relação à seção de referência paralela ao menor lado da sapata (S2A):
VA = p B c2A

com
BA
N
p
⋅
= e
2
daA
c
p
A2
−−
=
Anologamente: VB = p A c2B e
2
dbB
c
p
B2
−−
=
Com:
A2
p
0
A2 c5,1
aA
hh
1dd <








−
−
−=
B2
p
0
B2 c5,1
bB
hh
1dd <








−
−
−=
No caso de sapata alongada (c > 1,5B) a seção S2 é considerada na face do pilar (Figura
29).
C
B
S na face do pilar2A
Figura 29 – Seção de referência S2 em sapata alongada (c > 1,5B).
A largura b2A da seção de referência S2A é tomada conforme indicado na Figura 30.
ap
S2A
C2A
N
d
2
d
A
d2A1,5C2A≤
bp
45°
+d
b2A
bp
B
Figura 30 – Dimensão b2A da seção de referência S2A .

Com relação às dimensões A e B da sapata:
b2A = bp + d
b2B = ap + d
2.5.5 Força Cortante Limite
Na seção de referência S2, a força cortante de cálculo não deve ultrapassar os valores
seguintes:
ck22
C
lim,d fdb
5,1
V ⋅ρ⋅
γ
= , para fck em kN/cm2
;
ck22
C
,limd fdb
474,0
V ⋅ρ⋅
γ
= , para fck em MPa.
com: Vd,lim em kN;
γc = coeficiente de segurança do concreto;
b2 e d2 em cm;
ρ = taxa de armadura longitudinal da seção de referência S2 :
01,0
db
A
22
S
≤
⋅
=ρ (não se dispõe de resultados de ensaios com ρ > 1 %);
As = área da armadura longitudinal disposta na largura b2 da seção S2 .
Vd,lim pode ser aumentada com o acréscimo de armadura transversal.
Se Vd ≤ Vd,lim não é necessário colocar armadura transversal. Se essa condição não
ocorrer, deve-se aumentar a altura da sapata, de modo a evitar a armadura transversal.
NOTA: se a força cortante atuante for maior que a força cortante limite, uma possibilidade para
resolver o problema é adotar uma nova altura útil para a sapata, tal que:
lim,d
d
novo
V
V
dd =
2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO
A verificação das sapatas à punção se faz conforme o item 19.5 da NBR 6118/03 -
“Dimensionamento de lajes à punção”.
A superfície de ruptura por punção está indicada na Figura 31.
x
d
tg =α , fazendo α = 27°
d2
51,0
d
x
x
d
º27tg ≅=→=

superfície de ruptura de
uma laje por efeito de
punção
α = 25º a 30º
d
As
x
pilar
-
laje
Figura 31 – Superfície de ruptura de uma laje por efeito de punção.
“O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais
superfícies críticas definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica
(contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão de
compressão diagonal do concreto, através da tensão de cisalhamento.” A Figura 32 ilustra as
superfícies críticas C e C’.
C
C'
C
C'
C
C
C'
C'
2d 2d 2d
Bordalivre
B.livre
2d
B. livre
Figura 32 – Superfícies críticas C e C’.
“Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou da carga
concentrada, deve ser verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à
tração diagonal. Essa verificação também se faz através de uma seção de cisalhamento, no
entorno C’. Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. A
terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for necessário
colocar armadura transversal.”
No estudo aqui apresentado de punção aplicado às sapatas serão apresentados somente os
itens relacionados à dispensa da armadura transversal.
A verificação é feita comparando a tensão de cisalhamento solicitante (τsd) nas superfícies
críticas, com a tensão de cisalhamento resistente (τRd2), dada pela NBR 6118/03 para cada
superfície crítica. Dispensa-se a armadura transversal para a punção quando τSd ≤ τRd2 .

2.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante
2.6.1.1 Pilar Interno com Carregamento Simétrico
A tensão de cisalhamento solicitante é:
du
FSd
Sd
⋅
=τ
onde:
( )
2
dd
d
yx +
= = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’;
dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais;
u = perímetro do contorno crítico C’;
u . d = área da superfície crítica;
FSd = força ou reação concentrada, valor de cálculo.
No caso da superfície crítica C, u deve ser trocado por u0 (perímetro do contorno C). A
força de punção FSd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentro
do contorno considerado na verificação, C ou C’ (isso será mostrado no Exemplo 5).
2.6.1.2 Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado
Neste caso, o efeito da assimetria deve ser considerado, e a tensão de cisalhamento
solicitante é:
dW
MK
du
F
p
SdSd
Sd
⋅
⋅
+
⋅
=τ
sendo:
K = coeficiente que representa a parcela do momento fletor MSd que é transmitida ao pilar
por cisalhamento, dependente da relação C1/C2 (ver Tabela 1);
C1 = dimensão do pilar paralela à excentricidade da força, indicado na Figura 33;
C2 = dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força.
Tabela 1 - Valores de K em função de C1 e C2 .
C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0
K 0,45 0,60 0,70 0,80
Notas: - é permitida interpolação para valores intermediários da Tabela 1;
- quando C1/C2 > 3,0 considera-se K = 0,8.
Wp = módulo de resistência plástica do contorno C’. Pode ser calculado desprezando a
curvatura dos cantos do perímetro crítico por:
ldeW
u
0
p ∫=
dl = comprimento infinitesimal no perímetro crítico u;

e = distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento
fletor MSd .
1
2
221
2
1
p Cd2d16dC4CC
2
C
W π++++= (pilar retangular)
22
p d16dr16r4W ++= (pilar circular; r = raio)
ou
( )2
p d4DW += (D = diâmetro)
Nota: para pilares de borda e de canto, ver a NBR 6118/03 (item 19.5).
C'
e
e1
2dc1
c2
dl
Msd
Fsd
≡
Msd
Fsd
e1
Fsd
Figura 33 – Sapata submetida à força normal e momento fletor.
2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na
Superfície Crítica C
(NBR 6118, 19.5.3.1)
“Esta verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à punção, com ou
sem armadura”.
τSd ≤ τRd2
τRd2 = 0,27αv fcd
onde 





−=α
250
f
1 ck
v , com fck em MPa.
A superfície crítica C, corresponde ao contorno do pilar ou da carga concentrada, deve
ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, por meio da tensão de
cisalhamento (Figura 34).
A tensão de cisalhamento solicitante é:
du
F
o
Sd
Sd =τ
com: FSd = força solicitante de cálculo;

uo = perímetro de contorno crítico C;
uo = 2 (ap + bp)
uo d = área da superfície crítica C;
d = altura útil ao longo do contorno crítico C.
C
d
Fsd
τsd
ap
bp
Figura 34 – Tensão de cisalhamento na sapata.
2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos
sem Armadura de Punção
(NBR 6118, 19.5.3.2)
A tensão de cisalhamento resistente na superfície crítica C’deve ser calculada por:
( )3
1
ck1Rd f100
d
20
113,0 ⋅ρ







+=τ
onde:
yx .ρρ=ρ ;
( )
2
dd
d
yx +
= = altura útil em C’(cm);
ρ = taxa geométrica de armadura de flexão aderente;
ρx e ρy = taxas de armadura nas duas direções ortogonais;
fck em MPa.
No caso de sapatas de fundação, a tensão de cisalhamento resistente é:
2cd
3
ck1Rd f5,0
*a
d2
f100
d
20
113,0 ≤ρ







+=τ
fcd2 = resistência de cálculo do concreto à compressão para regiões não fissuradas.
a* ≤ 2d

)MPa(f
250
f
16,0f cd
ck
2cd 





−=
u* = 2ap + 2bp + 2πa*
Superfície C'
(perímetro = u*)
d
ap
a*
A
Figura 35 – Distância a*
.
Para pilares com momento fletor solicitante, τSd é:








+=τ
Sdp
SdSd
Sd
FW
*uMK
1
d*u
F
2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA
(Exemplo extraído do curso de Lauro Modesto dos Santos - “Edifícios de Concreto Armado”, 1988,
p.11-31 – Escola Politécnica da USP)
Dimensionar uma sapata direta de fundação para um pilar com seção 20 x 75cm, sendo a
taxa admissível do solo ( soloσ ) de 2,5 kgf/cm2
(0,25 MPa), sendo também conhecidos:
Nk = 1.303 kN momentos fletores Mx = My = 0
materiais: concreto C25 , aço CA-50
φl,pil = 20 mm (pilar interno) γc = 1,4
Resolução
Dimensões da sapata (Figura 36), considerando um fator de 1,1 para considerar o peso
próprio da sapata e o solo sobre a sapata:
7332,5cm332.57
025,0
13031,1N1,1
S 2
solo
k
sap ==
⋅
=
σ
= m2

Fazendo a sapata com balanços iguais (cA = cB = c), a dimensão do menor lado da sapata
em planta é:
sap
2
pppp S)ab(
4
1
)ab(
2
1
B +−+−=
5,21357332)7520(
4
1
)7520(
2
1
B 2
=+−+−= cm
como as dimensões devem ser preferencialmente valores múltiplos de 5 cm, adota-se B como o
múltiplo superior, B = 215 cm. O lado maior da sapata é:
7,266
215
57332
B
S
A
sap
=== cm (adota-se A = 270 cm), e
2
sap cm050.58215.270S ==
Os balanços resultam:
5,97
2
75270
2
aA
ccc
p
BA =
−
=
−
=== cm
A altura da sapata, fazendo como sapata rígida, é:
NBR 6118 → 65
3
75270
3
aA
h
p
≥
−
≥




 −
≥ cm
Pelo CEB-70: 5,1tg5,0 ≤β≤ com
5,97
h
c
h
tg ==β
3,146h8,485,1
5,97
h
5,0 ≤≤→≤≤ cm
Para possibilitar a ancoragem da armadura longitudinal do pilar dentro do volume da
sapata, a altura deve ser superior ao comprimento de ancoragem da armadura do pilar:
h pil,,b φ≥ l
pil,,b φl = 53 cm (com gancho, região de boa aderência, C25, 20pil, =φl mm)
Adotando h = 90 cm pil,bφ≥ l = 53 cm, a sapata é rígida.

75
20
B
215cm
A
270cm
p
97,5 97,5
97,597,5
bp
ap
h=90
d=85
0,15 = 11,25ap
CBCB
CACA
108,75
xA
≥30
Figura 36 – Dimensões (cm) da sapata e seção de referência S1 .
Para a altura útil pode-se considerar:
d = h – 5 cm → d = 85 cm
Pressão no solo:
0247,0
215270
13031,1
BA
N1,1
p k
=
⋅
⋅
=
⋅
= kN/cm2
Para aplicar o processo do CEB-70 deve-se verificar:
902c
2
90
h2c
2
h
⋅≤≤→≤≤
45 ≤ c = 97,5 cm ≤ 180 cm → ok!
Cálculo dos momentos fletores nas seções de referência S1A e S1B :
2
x
ApM;
2
x
BpM
2
B
B1
2
A
A1 ⋅=⋅=
cm75,1087515,05,97a15,0cx pAA =⋅+=+=

cm5,1002015,05,97b15,0cx pBB =⋅+=+=
402.31
2
75,108
215.0247,0M
2
A1 == kN.cm
679.33
2
5,100
270.0247,0M
2
B1 == kN.cm
O menor momento fletor deve ser ao menos 20 % do maior:
5
1
93,0
33679
31402
M
M
B1
A1
>== → ok!
A Figura 37 ilustra os momentos fletores solicitantes na sapata.
MA
33679
31402
MB
M = 31402A
A = 270
B=215
S1A
M = 33679B
Figura 37 – Momentos fletores atuantes na sapata.
Armadura segundo a dimensão A da sapata:
M1A,d = 1,4 . 31402 = 43.963 kN.cm
3,35
43963
85.215
M
db
k
2
d
2
c ===
observe que M1A,d atua segundo a dimensão menor da sapata (lado B).
Na tabela de kc e ks resulta: βx = 0,03 (domínio 2) e ks = 0,023.
85
43963
023,0
d
M
kA
d,A1
ssA ==
AsA = 11,90 cm2
Armadura segundo a dimensão B da sapata:

M1B,d = 1,4 . 33679 = 47.151 kN.cm
85
47151
023,0
d
M
kA
023,0k,2.dom,02,04,41
47151
85.270
k
d,B1
ssB
sx
2
c
=
==β⇒==
AsB = 12,76 cm2
Como opção para o cálculo da armadura tem-se a fórmula simplificada:
2
yd
d,B1
sB
2
yd
d,A1
sA
cm00,15
48,43.85.85,0
47151
f.d85,0
M
A
cm00,14
48,43.85.085
43963
f.d85,0
M
A
===
===
A escolha das armaduras pode ser feita com auxílio de uma tabela de armadura em laje
(cm2
/m). É necessário tranformar a armadura em cm2
/m:
Na dimensão A: 51,6
15,2
00,14
= cm2
/m (φ 10 mm c/12 cm – 6,67 cm2
/m)
Na dimensão B: 56,5
70,2
00,15
= cm2
/m (φ 10 mm c/14 cm – 5,71 cm2
/m)
O detalhamento das armaduras está mostrado adiante.
Verificação das forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B, conforme as
dimensões indicadas na Figura 38.
As forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B são:
VA = p B c2A VB = p A c2B
cm55
2
8575270
2
daA
c
p
A2 =
−−
=
−−
=
cm55
2
8520215
2
dbB
c
p
B2 =
−−
=
−−
=
kN1,29255.215.0247,0VA ==
VB = 0,0247 . 270 . 55 = 366,8 kN
As forças cortantes de cálculo, com γf = 1,4 são:
VA,d = 1,4 . 292,1 = 408,9 kN
VB,d = 1,4 . 366,8 = 513,5 kN

75
20
B
215cm
A
270cm
d
2
42,5
p = 0,0247
55
bp
ap
h
90
d
85
S2A
55
d
2
42,5
C2B
C2A
S2A
S2B
d2A
30
h0
58,8
75
20
d
2
42,5
bp
ap
d
2
42,5
S2A
S2B
105
b2A
160
b2B
d2A
b2A
Figura 38 – Dimensões e seções de referência S2A e S2B .
Dimensões d2Ae d2B :
30hadotado
cm20
cm30
3
90
3
h
h 00 =→




==
≥ cm

A2
p
0
A2 c5,1
aA
hh
1dd ≤








−
−
−=
cm5,82555,1c5,1c5,1 B2A2 =⋅==
8,58
75270
3090
185d A2 =



−
−
−= cm ≤ 82,5 cm → ok!
B2
p
0
B2 c5,1
bB
hh
1dd ≤








−
−
−=
8,58
20215
3090
185d B2 =



−
−
−= cm ≤ 82,5 cm → ok!
!okcm8,93cm3,44dd A2B2 →≤==
Larguras das seções S2:
cm1058520dbb pA2 =+=+=
cm1608575dab pB2 =+=+=
Forças cortantes limites conforme o CEB-70:
ck22
c
,limd fdb
474,0
V ⋅ρ⋅⋅
γ
=
Cálculo das taxas de armadura à flexão (ρ):
A2
sA
A
d100
A
=ρ 00113,0
8,58100
67,6
=
⋅
= = 0,113 % ≤ 1 %
B2
sB
B
d100
A
=ρ 000971,0
8,58100
71,5
=
⋅
= = 0,0971 % ≤ 1 %
0,3522500113,08,58105
4,1
474,0
V ,limd,A =⋅⋅⋅= kN
kN0,352V9,408V lim,d,Ad,A =>=
kN3,49625000971,08,58160
4,1
474,0
V lim,d,B =⋅⋅⋅=
kN3,496V5,513V ,limd,Bd,B =>=
A força cortante limite sugerida pelo CEB-70 é rigorosa (muito baixa), por isso, para
sapatas rígidas, Machado (1988) sugere o seguinte valor para sapatas isoladas rígidas:

22
c
ck
lim,d db
f
63,0V
γ
=
Aplicando ao exemplo:
389.18,58105
4,110
25
63,0V lim,d,A =⋅
⋅
= kN >> VA,d = 408,9 kN
Caso se considere apenas o CEB-70, existem soluções, como aumentar o fck , as
dimensões A e B, a altura h, a quantidade de armadura de flexão, etc.
Nota: como a sapata é rígida não é necessário verificar a punção. Entretanto, a NBR 6118
recomenda verificar a tensão na diagonal de compressão (item 19.5.3.1), como mostrado a
seguir.
Verificação da Diagonal Comprimida:
uo = perímetro do pilar (superfície crítica C - Figura 39).
uo = 2 (20 + 75) = 190 cm
kN824.113034,1NNF fSdSd =⋅=⋅γ==
(sem redução da força pela reação contrária da base da sapata)
C
ap
bp
75
20
Figura 39 – Superfície crítica C – contorno do pilar.
Tensão de cisalhamento atuante:
113,0
85190
1824
du
F
o
Sd
Sd =
⋅
==τ kN/cm2
= 1,13 MPa
Tensão de cisalhamento resistente:
43,0
4,1
5,2
250
25
127,0f27,0 cdV2,Rd =





−=⋅α=τ kN/cm2
= 4,3 MPa
MPa3,4MPa13,1 2,RdSd =τ<=τ
Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas.
Detalhamento (Figura 40)
Como a largura da sapata (B) é próxima do comprimento A, a armadura AsB será
distribuída uniformemente no comprimento A.
Para a armadura de flexão recomenda-se 10 cm ≤ espaçamento ≤ 20 cm.

c = 97,5 cm > h = 90 cm
φ 10 mm, C25, boa aderência, sem gancho: lb = 38 cm.
cnom = 4,0 cm (cobrimento), φl,pil = 20 mm (lb = 75 cm).
lgancho,incl ≥ 38 – [(97,5 – 4,0 – 90) + 20] ≥ 14,5 cm
30
N1-17c/12
(215-8)/12=17,2
N2 - 19 c/14
(270 - 8)/14 = 18,7
97,5
83
≥,pilarlbØl
Øl,pil
h = 90
20
N1 - 17 Ø12,5 C = 340
20
20
260
N2-19Ø12,5C=285
205
20
20
AsB
AsA
≥ 14,5
AsA
AsB
20
20
20 20
lanc ≥ ≥ 38 cmlb
Figura 40 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.
2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1o
) Ver Alonso (1983), pg. 14 (sapata isolada). Dimensionar e detalhar as armaduras de uma
sapata para um pilar de seção 30 x 100 cm, com carga de 3000 kN, com:
soloσ = 0,3 MPa Mx = My = 0
C25 θl,pilar = 22,5 mm
2o
) Resolver o Exercício 1 fazendo o pilar circular com diâmetro de 60 cm, e com a sapata de
base circular.
2.9 MÉTODO DAS BIELAS
O método ou teoria das bielas surgiu após numerosos ensaios realizados por Lebelle
(1936), e se aplica às sapatas rígidas, corridas ou isoladas. A carga é transferida do pilar para a

base da sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que induzem tensões de tração na
base da sapata (Figura 41), que devem ser resistidas por armadura.
Biela de compressão
Armadura necessária para
resistir à força de tração
Figura 41 – Caminhamento da carga do pilar em direção à base da sapata.
Segundo Gerrin (1955), os ensaios mostram que não ocorre ruptura por compressão das
bielas de concreto, e sua verificação pode ser dispensada.
A Figura 42 mostra as forças atuantes na sapata, de acordo com o método das bielas.
P
0
y
x
AB
d0
dTx
dx
dy
dT
dN
dTy
p d
dx
y
Figura 42 – Esquema de forças segundo o método das bielas.
Considerando somente a direção x, como se fosse uma sapata corrida (Figura 43), tem-se
as equações:

p
P
d
=A.d
(A-)
p
d0
β≥45°
A
2
A
2
dx
As
ap
α
ds
2dP
d
α
dT
x
p dx= dP
d0
A
0
α dN
dT
dP
Figura 43 – Forças na direção x da sapata.








−
⋅
−
=








−=⋅=
⋅=
α
=α
α
=
α⋅=
α⋅=
∫
2
2
p
x
2
2
0
2
A
x
0
x
0
x
4
A
dA
)aA(p
2
1
T
x
4
A
d
p
2
1
dxx
d
p
T
d
x
dxp
tg
dP
cos
sen
dP
dT
sendNdP
cosdNdT
Para x = 0, Tx = Tmáx :
d
)aA(
8
P
T
4
A
dA
)aA(
A
P
2
1
T
p
x
2
p
x
−
=→
⋅
−
=

De forma análoga para a direção da sapata isolada:
d
)bB(
8
P
T
p
y
−
=
A tensão máxima na biela de compressão é obtida das relações:
s
c
d
dN
=σ onde
α
=
sen
dx
ds
A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas (α = αo) e a tensão máxima
ocorre no ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta:
( )








−
−
+=σ 2
0
2
p
p
c
d4
aA
1
a
P
A Figura 44 mostra as armaduras de flexão da sapata, conforme o método das bielas.
B
A
x
y
P
h
d≥1
2(A-)ap
Asx ou AsA
P
Asy ou AsB
d ≥ 1
2 (B - )bp
ap
bp
Figura 44 – Armaduras de flexão da sapata.
As armaduras são:
yd
xd
sAsx
f
T
AA == ;
yd
yd
sBsy
f
T
AA ==
Levando-se em consideração as duas direções, a tensão máxima na biela é:

( ) ( )




















λ−
−+−
+
⋅⋅λ
=σ
2
0
2
2
p
2
p
pp
máx,c
d
1
1
4
bBaA
1
ba
p
Onde
B
b
A
a Pp
==λ (áreas hometéticas).
No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas:
























λ−
−
+
⋅⋅λ
=σ
2
0
p
p
máx,c
d
1
1
aA
2
1
1
aA
p
2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida
Calcular as armaduras de flexão da sapata do Exemplo 1 pela “Teoria ou Método das
Bielas”.
Resolução
Verificação do ângulo β:
º45º1,418718,0
5,97
85
)75270(
2
1
85
)aA(
2
1
d
tg
p
<=β→==
−
=
−
=β → não ok!
portanto, a altura útil da sapata deve ser aumentada para um valor igual ou superior a 97,5 cm, de
modo a resultar um ângulo β igual ou superior a 45°. Considerando h = 105 cm e d = 100 cm
tem-se:
º45º7,450256,1
5,97
100
tg ≥=β→==β → ok!
Forças de tração:
4,349
100
)75270(
8
13031,1
d
)aA(
8
P
T
p
x =
−
⋅
⋅
=
−
= kN
4,349
100
)75270(
8
13031,1
d
)bB(
8
P
T
p
y =
−
⋅
⋅
=
−
= kN
25,11
15,1
50
4,3494,1
AA sAsx =
⋅
== cm2
= Asy = AsB

A NBR 6118 recomenda verificar a tensão na diagonal comprimida (item 19.5.3.1), como
feito no Exemplo 1, porém, para as sapatas rígidas com ângulo β igual ou superior a 45°, não
deve ocorrer esmagamento da diagonal comprimida.
2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS
Excentricidades nas sapatas podem ser causadas pela existência de momentos fletores ou
força horizontal no pilar, como também pela carga vertical, quando aplicada fora do centro de
gravidade da base da sapata, como as sapatas de divisa (Figura 45).
N
e
divisa
N
H
M
N
MA
HA
A
B
N
MB
HB
Figura 45 – Sapatas isoladas sob ações excêntricas.
2.10.1 Excentricidade em Uma Direção
a) Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia (Figura 46)
Ocorre quando
6
A
e < . Tem-se:

A
B
A
6
B
6
e
N
σmáx
σmín
Nnúcleo
Figura 46 – Ponto de aplicação da força dentro do
núcleo central de inércia.
I
yM
BA
N ⋅
±
⋅
=σ
)
A
e6
1(
BA
N
máx +
⋅
=σ
)
A
e6
1(
BA
N
máx −
⋅
=σ
b) Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central )
6
A
e( = (Figura 47)
A
A
6
σmáx
N
Figura 47 – Ponto de aplicação da força no
limite do núcleo central.
BA
N
2máx
⋅
=σ
c) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central )
6
A
e( > (Figura 48)
Parte da base da sapata (e solo) fica sob tensões de tração (σmín < 0). Neste caso, um novo
diagrama triangular é adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do triângulo
coincidente com o limite do novo núcleo central. A tensão de compressão máxima aumenta para:

A
A
6
σmáx, 1
N
e
B
LNσmín
6
A0
σmáx
LN
3(A/2 - e)
A0
Figura 48 – Ponto de aplicação da força fora
do núcleo central.






−
=σ
e
2
A
B3
N2
máx
2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções
A Figura 49 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duas
direções.
y
x
eB
eA
A
B
N
Figura 49 – Sapata com excentricidade nas duas direções.
O equilíbrio é obtido com as pressões atuando em apenas uma parte da área da base da
sapata, e:
I
xM
I
yM
BA
N AB ⋅
±
⋅
±
⋅
=σ

N
MB
HB
B
N
MA
HA
A
Figura 50 – Forças e momentos fletores atuantes na sapata.
hHMM AAbase'A ⋅+= , hHMM BBbase'B ⋅+=
N
M
e A
A = ,
N
M
e B
B =
a) Quando
6
1
B
e
A
e BA
≤+ (Figura 51)
y
x
eB
eA
A
B
N
CG
σm
áx
σm
ín
Figura 51 – Tensões na sapata para
6
1
B
e
A
e BA
≤+ .






++
⋅
=σ
B
e6
A
e6
1
BA
N BA
máx






−−
⋅
=σ
B
e6
A
e6
1
BA
N BA
min
(toda seção seta comprimida)

b) Quando
6
1
B
e
A
e BA
>+ (Figura 52)
y
x
eB
eA
A
B
N
2
1
4
3
σm
áx
σm
ín
α
seção
comprimida
Figura 52 – Tensões na sapata para
6
1
B
e
A
e BA
>+ .
BAK
N
1
1máx
⋅⋅
=σ=σ
σmín = σ4 = K4 σ1 (fictício, não considerado)
σmín = σ4 < 0
K1 e K4 são determinadas no ábaco mostrado na Figura 53.
Num ponto qualquer de coordenadas (x, y) a tensão é:
( )
α+




α+
σ−σ+σ=σ
tg
A
B
1
tg
A
B
B
y
A
x
414mín

Figura 53 – Ábaco para determinação das tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas
para ação com dupla excentricidade (Montoya, 1973).

Notas:
- Em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento mais
desfavorável, solomáx 3,1 σ=σ ;
- Para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramente
comprimida, isto é:
6
1
B
e
A
e g,Bg,A
≤+ (G = peso próprio e solo sobre a sapata - Figura 54).
Gs2
Gb2
Gs1
Gb1
Figura 54 – Forças representativas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.
- Para garantir a segurança contra tombamento da sapata, na condição mais desfavorável, pelo
menos a metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo:
9
1
B
e
A
e
2
B
2
A
≤





+





2.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor
(Exemplo extraído de Newton C. P. Ferro, Notas de Aula, 2005, Departamento de Engenharia Civil,
UNESP – Bauru/SP)
Para um pilar de 20 x 60 cm submetido a uma força de compressão de 820 kN e um
momento fletor atuando em torno do eixo paralelo ao menor lado do pilar de 6200 kN.cm,
dimensionar a fundação em sapata isolada, sendo conhecidos:
concreto C25, aço CA-50, =σsolo 0,022 kN/cm² (0,22 MPa), armadura do pilar: 10 φ 12,5 mm.
Resolução
1) Calculo das dimensões (em planta) da sapata, sem considerar o efeito do momento fletor.
Área do apoio da sapata:
000.41
022,0
8201,1N1,1
S
solo
sap =
⋅
=
σ
= cm2
Dimensão em planta da sapata, com abas (balanços - c) iguais nas duas direções:
( ) ( ) sap
2
pppp Sab
4
1
ab
2
1
B +−+−= = ( ) ( ) 5,183410006020
4
1
6020
2
1 2
=+−+− cm
adotando um valor múltiplo de 5 cm: B = 185 cm.

A – ap = B – bp
A = ap – bp + B = 60 – 20 + 185 = 225 cm
Tensões na base da sapata (Figura 55):
I
yM
BA
N ⋅
±
⋅
=σ
2
A
y = ;
12
AB
I
3
⋅
=
9,6
8201,1
6200
N1,1
M
e =
⋅
== cm
5,37
6
225
6
A
== cm
5,37
6
A
9,6e =<= cm → a força está aplicada dentro do núcleo central de inércia.
0257,0
225
9,66
1
185225
8201,1
máx =




 ⋅
+
⋅
⋅
=σ kN/cm2
022,0solo =σ> ∴ não ok!
Aumentando a seção da base da sapata para:
A = 240 cm ; B = 200 cm
Obedecendo:
pp baBA −=− → 240 – 200 = 60 – 20
A tensão máxima passa a ser : σmáx = 0,022 kN/cm2
soloσ= → ok!
0156,0)
240
9,66
1(
200240
8201,1
mín =
⋅
−
⋅
⋅
=σ kN/cm2
> 0 (como esperado!)

60
20
185
225
N
M
1,1N
A B
M
M
I
My
0,0220
0,0156
Figura 55 – Dimensões da sapata e esquema da reação do solo.
2) Altura da sapata
Fazendo como sapata rígida, conforme o CEB-70:
90
2
60240
2
aA
c5,1tg5,0
p
=
−
=
−
=→≤β≤ cm
135h455,1
90
h
5,0 ≤≤→≤≤ cm
Pelo critério da NBR 6118/03:
60
3
60240
3
aA
h
p
≥
−
≥
−
≥ cm
É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de ancoragem
da armadura longitudinal do pilar (10 φ 12,5 mm): considerando situação de boa aderência, com
gacho, C25, CA-50 (nervurado): lb = 33 cm.
Adotado h = 60 cm > lb = 33 cm (sapata rígida)
3) Cálculo dos momentos fletores e forças cortantes segundo o CEB-70

Verificação: ⋅≤≤→≤≤ 2c
2
60
h2c
2
h
60
30 ≤ c = 90 ≤ 120 cm → ok!
Momentos fletores nas seções de referência S1 (Figura 56):
a
60
b
20
B
200cm
A
240cm
0,022
0,0156
C
90
C
90
C
90
C
90
bp
ap
h
60
d
55
x
99
xa
0,15 a = 9ap
S1A
P1A
KN
cm²
CBCB
CACA
0,022
0,01936
P1A
99
49,5
66 33
49,5
0,131
1,917
Figura 56 – Seção de referência S1A .
Dimensão A:
( ) 01936,099
240
0156,0022,0
022,0p A1 =
−
−= kN/cm2
(ver Figura 56)
( ) 708.2020066132,05,49917,1M A1 =⋅+⋅= kN.cm
Dimensão B (considerando a pressão média e diagrama retangular – ver Figura 57):
0188,0
2
0156,0022,0
pméd =
+
= kN/cm2
512.19
2
)2015,090(
2400188,0
2
x
ApM
22
B
B1 =
⋅+
⋅=⋅= kN.cm
Armaduras de flexão:

26,14
5,435585,0
207084,1
AsA =
⋅⋅
⋅
= cm2
13,7100
200
26,14
= cm2
/m → φ 10 mm c/11 cm (7,27 cm2
/m)
43,13
5,435585,0
195124,1
AsB =
⋅⋅
⋅
= cm2
60,5100
240
43,13
= cm2
/m → φ 10 mm c/14 cm (5,71 cm2
/m)
Nota-se que: !ok
5
1
94,0
26,14
43,13
→≥=
S2A
S2B
p2A
= 0,0203
0,022
0,022
0,0188
(valor médio)
0,0156
0,0156
Figura 57 – Esquema de reações do solo na base da sapata.
Forças cortantes nas seções de referência S2 (Figura 58):
5,62
2
5560240
2
daA
c
p
A2 =
−−
=
−−
= cm
5,62
2
5520200
2
dbB
c
p
B2 =
−−
=
−−
= cm
cm25hadotado
cm20
cm20
3
60
3
h
h 00 =→




==
≥

a
60
b
20
B
200cm
A
240cm
0,022 KN
cm²
0,0156
d
2
27,5
b
C
62,5
bp
ap
h
60
d
55
S2A
P2A
d
2
27,5
C2B
b2A
C
62,5
C2A
S2A
S2B
h
25
h0
dd2A
= 0,0203
Figura 58 – Seção de referência S2A .
A2
p
0
A2 c5,1
aA
hh
1dd ≤








−
−
−=
cm8,935,625,1c5,1c5,1 B2A2 =⋅==
3,44
60240
2560
155d A2 =



−
−
−= cm
!okcm8,93cm3,44d A2 →≤=
B2
p
0
B2 c5,1
bB
hh
1dd ≤








−
−
−=
B2B2 c5,1
20200
2560
155d ≤



−
−
−=
!okcm8,93cm3,44dd A2B2 →≤==

Larguras b2A e b2B :
cm755520dbb pA2 =+=+=
cm1155560dab pB2 =+=+=
A2médA cBpV = 4,2645,62200
2
0203,00220,0
=⋅




 +
= kN
1,3704,2644,1VdA =⋅= kN
VB na seção S2B :
B2médB cApV = 0,2825,62240
2
0156,0022,0
=⋅




 +
= kN
8,3940,2824,1VdB =⋅= kN
Força cortante limite (CEB-70):
ck22
c
,limd fdb
474,0
V ⋅ρ⋅⋅
γ
=
A2
sA
A
d100
A
=ρ 00164,0
3,44100
27,7
=
⋅
=
B2
sB
B
d100
A
=ρ 00129,0
3,44100
71,5
=
⋅
=
9,2272500164,03,4475
4,1
474,0
V lim,dA =⋅⋅⋅= kN
kN9,227V1,370V lim,dAdA =>=
kN6,3092500129,03,44115
4,1
474,0
V lim,dB =⋅⋅⋅=
kN6,309V1,394V lim,dBdB =>=
Como as forças cortantes solicitantes são maiores que os valores limites, é necessário
colocar armadura transversal, pelo menos segundo o CEB-70. Se forem considerados os limites
sugeridos por Machado (1988) para sapata rígida:
22
c
ck
lim,d db
f
63,0V
γ
=

kN6,7473,4475
10
25
4,1
63,0
V lim,dA =⋅⋅=
!okkN6,747V1,370V ,limdAdA →=<=
kN3,146.13,44115
10
25
4,1
63,0
V lim,dB =⋅⋅=
!okkN3,146.1V8,394V ,limdBdB →=<=
com esses limites não é necessário colocar armadura transversal.
Verificação da diagonal comprimida:
cm160)6020(2uo =+= (Figura 59)
60
ap
20bp
Figura 59 – Perímetro do pilar – superfície crítica C.
kN148.18204,1NNF fSdSd =⋅=⋅γ==
1305,0
55160
1148
du
F
o
Sd
Sd =
⋅
==τ kN/cm2
= 1,305 MPa
43,0
4,1
5,2
250
25
127,0f27,0 cdv2,Rd =





−=α=τ kN/cm2
= 4,3 MPa
MPa3,4MPa305,1 2,RdSd =τ<=τ
Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas.
Detalhamento (Figura 60)
As armaduras serão distribuídas uniformemente nas direções A e B, pois A ≅ B. Para a
armadura de flexão recomenda-se 10 cm ≤ espaçamento ≤ 20 cm.
Comprimento dos ganchos das armaduras de flexão, considerando: φ 10 mm, C25, boa
aderência, sem gancho: lb = 38 cm.
Comprimento de ancoragem existente na horizontal e na extremidade da barra (ver Figura
60):
2660490 =−− cm

Portanto, o comprimento do gancho na vertical deve ser:
ℓgancho = 38 – 26 = 12 cm ≈ 15 cm
Tem-se também os valores: cnom = 4,0 cm, lφ,pilar = 33 cm.
60
25
N1-17c/11
N2 - 16 c/14
90
54
≥lØ,pilarlbØl
ØlØ , pilar
16 Ø10
17 Ø10
c/ 11
h
60
90 - 4 - 60 = 26cm
}
}
c h
12
N1 - 17 Ø10 C = 260
15
15
230
N2-16Ø10C=220
190
15
15
Figura 60 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.
2.12 EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA
(Exemplo de Edja L. Silva, Dissertação de Mestrado, 1988, EESC-USP, São Carlos/SP)
Dimensionar a sapata isolada de um pilar considerando:
- seção do pilar: 40 x 60 cm ; φl,pilar = 22 φ 20 mm, sendo parte tracionada;
- N = 1.040 kN;
- concreto C20; aço CA-50; cnom = 4,5 cm
- 500solo =σ kN/m2
;
- momentos fletores: Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m
Resolução
a) Estimativa das dimensões da sapata

2
solo
sap m288,2
500
10401,1N1,1
S =
⋅
=
σ
=
Fazendo abas (balanços) iguais: cA = cB = c:
( ) ( ) sap
2
pppp Sab
4
1
ab
2
1
B +−+−=
( ) ( ) m42,1288,26,04,0
4
1
6,04,0
2
1
B 2
=+−+−=
adotado B = 1,40 m
m60,1Aadotadom63,1
40,1
288,2
B
S
A
sap
=→===
b) Verificação das tensões na base da sapata
Excentricidades da força vertical (Figura 61):
B
140cm
A
160cm
x
y
60
40
N
N
Mx
N
My
Figura 61 – Dimensões e esforços solicitantes na sapata.
N = 1.040 kN ; Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m
cm27m270,0
1040
280
ex ===
cm3,18m183,0
1040
190
ey ===

Cálculo da tensão máxima σ1 com auxílio do ábaco (ver Figura 53):
13,0
140
3,18
B
e
17,0
160
0,27
A
e
y
y
x
x
===η
===η
→ ábaco (Figura 53) → λ1 = 0,34, zona C
6505003,13,1
BA
F
solo
1
V
1 =⋅≤σ≤
⋅⋅λ
=σ kN/m2
502.1
4,16,134,0
10401,1
1 =
⋅⋅
⋅
=σ kN/m2
>> solo3,1 σ = 650 kN/m2
→ não ok!
As dimensões da sapata devem ser aumentadas!
Nova tentativa com A = 220 cm e B = 200 cm (cA = cB = c = 80 cm):
12,0
220
0,27
x ==η
09,0
200
3,18
y ==η
Verifica-se que:
)basenatraçãohá(
6
1
21,0
B
e
A
e
yx
yx
>=η+η=+
no ábaco (Figura 53): λ1 = 0,44, α = 36°, λ4 = 0,10 e zona C.
Tensões nos vértices da sapata (Figura 62):
591
0.2.2,2.44,0
1040.1,1
1 ==σ kN/m2
< solo3,1 σ = 650 kN/m2
→ ok!
1,59591.10,014 4 −=−=σλ−=σ kN/m2
(fictícia)
°+°
°
+−=
α+α
α
σ−σ−σ=σ
36cos36sen
36sen
)1,59591(591
sensen
sen
)( 4112
σ2 = 317,4 kN/m2
°+°
°
+−=
α+α
α
σ−σ−σ=σ
36cos36sen
36sen
)1,59591(591
sensen
sen
)( 4113
σ3 = 214,5 kN/m2

215
591
-59
317
LN
Figura 62 – Tensões nos vértices da sapata.
c) Verificação do tombamento da sapata
111,0
9
1
9
1
B
e
A
e 2
y
2
x
2
y
2
x
≤≤η+η⇒≤





+





!ok111,0023,009,012,0 22
→<=+
Deve ainda ser verificada a equação:
6
1
B
e
A
e g,yg,x
≤+
d) Determinação da altura (sapata rígida)
Pelo critério do CEB-70:
cm120h405,1
80
h
5,05,1tg5,0 ≤≤→≤≤→≤β≤
Pela NBR 6118/03:
3,53
3
)60220(
3
)aA(
h
p
≥
−
≥
−
≥ cm
Para a armadura do pilar (22 φ 20 mm) será utilizado o gancho a fim de diminuir o
comprimento de ancoragem e a altura necessária para a sapata. Para φ 20, C20, boa aderência,
com gancho, resulta lb = 61 cm, e, considerando a distância do gancho à base da sapata = 7 cm:
h ≥ 61 + 7 cm ≥ 68 cm

Será adotado h = 75 cm, d = 75 – 5 = 70 cm.
cm35hadotado
cm20
cm25
3
75
3
h
h oo =→




==
≥
e) Determinação dos esforços solicitantes conforme o CEB-70
Verificação: 75280
2
75
h2c
2
h
⋅≤≤→≤≤
!okcm15080c5,37 →≤=≤
e1) Momentos fletores nas seções de referência S1 (Figura 63)
Para simplificação pode-se admitir uma tensão uniforme de referência como:




σ
σ
≥σ
méd
máx
ref 3
2
215
591
-59
317
403 439
E
F
G
H
D
B
C
A
454
x B
86
B = 200
165
xA
89
A = 220
473
97
S
1B
S1A
302
Figura 63 – Tensões na base da sapata e seções de referência S1 .
Como simplificação a favor da segurança será considerada a maior tensão entre aquelas
na metade dos lados A e B.
Dimensão A (S1A):
2
89,0
0,20,454
2
x
BpM
22
A
A ⋅=⋅⋅=

0,454
2
317591
p =
+
= kN/m2
MA = 359,61 kN.m = 35.961 kN.cm
MA,d = 1,4 . 35961 = 50.346 kN.cm
Dimensão B (S1B):
2
86,0
2,20,403
2
x
ApM
22
B
B ⋅⋅=⋅=
0,403
2
215591
p =
+
= kN/m2
MB = 327,86 kN.m = 32.786 kN.cm
MB,d = 1,4 . 32786 = 45.901 kN.cm
e2) Forças cortantes na seção S 2 (Figura 64)
215
591
-59
317
514
H
D
BC
C
45
B = 200
C
45
A = 220
240
S
2B
S2A
A
C2B
C
2A
153
F
G
E
529
Figura 64 – Seções de referência S2 .
cm45
2
7060220
2
daA
c
p
A2 =
−−
=
−−
=
cm45
2
7040200
2
dbB
c
p
B =
−−
=
−−
=
As forças cortantes nas direções A e B da sapata são os volumes mostrados na figura. A
força VA por exemplo é o volume da figura compreendida entre as áreas ABCD e EFGH.

0,3740,245,0
4
591514317240
VA =⋅
+++
= kN
3,3682,245,0
4
591529215153
VB =⋅
+++
= kN
Valores de cálculo:
VA,d = 1,4 . 374,0 = 523,6 kN
VB,d = 1,4 . 368,3 = 515,6 kN
Tarefa: Fazer os demais cálculos, verificações e o detalhamento final das armaduras.
2.13 SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA
Sapatas flexíveis são aquelas onde:
3
)a-(A
<h
p
− segundo o critério da NBR 6118/03;
tg β < 0,5 – segundo o critério do CEB-70.
São menos utilizadas que as sapatas rígidas, sendo indicadas para cargas baixas e solos
relativamente fracos (NBR 6118, item 22.4 2.3). A verificação da punção é obrigatória.
Os momentos fletores podem ser calculados em cada direção segundo quinhões de carga,
determinados geometricamente, repartindo-se a área da sapata em “áreas de influência”. O
mesmo critério é adotado para cálculo das forças cortantes. As áreas podem ser retangulares,
triangulares ou trapezoidais (Figura 65):
2 2
1
1
N
2
N
2
A2
A1 A1
A4
A3
A2
N
4
A1
A4
A3
A2
N
4
2 2
1
1
Figura 65 – Áreas relativas aos quinhões de carga: retangular, triangular e trapezoidal.
Os momentos fletores calculados com área triangular e trapezoidal são praticamente
idênticos, e com área retangular são exagerados.
a) Área triangular
3
a
4
N
-
3
A
4
N
=M
p
A 












)a-(A
12
N
=M pA
N
4
aap
bbp
B
A
A
3
Figura 66 – Quinhões de carga por área triangular.
)a-(A
2
1
)b+(B
2
1
p=V ppA






−





−
A
a
1
B
b
1
4
N
=V
pp
A
onde: N = força vertical aplicada pelo pilar na sapata;
p = reação do solo na base da sapata.
Na outra direção:
)b-(B
12
N
=M pB






−





−
A
a
1
B
b
1
4
N
=V
pp
B
b) Área de trapézio
2 2
1
1
aap
bbp
xxCG
B
A
2
ap
N
4
Figura 67 – Quinhões de carga por área trapezoidal.

A carga N/4 é aplicada no centro de gravidade do trapézio, com:














p
pp
CG
b+B
b+2B
6
a-A
=x
Os momentos fletores no centro da sapata são:








+








+
+−
6
a
bB
bB2
6
aA
4
N
=M
p
p
pp
A








+








+
+−
6
b
aA
aA2
6
bB
4
N
=M
p
p
pp
B
As forças cortantes nas seções 1 e 2 são:






−





−
A
a
1
B
b
1
4
N
=V
pp
A






−





−
A
a
1
B
b
1
4
N
=V
pp
B
2.14 VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO
bW ≥≥≥≥ 5d
A força cortante nas sapatas pode ser verificada como nas lajes quando bw ≥ 5d (NBR
6118, item 19.4). As lajes não necessitam de armadura transversal à força cortante quando:
VSd ≤ VRd1
(bw = largura da sapata na direção considerada)
com:
db]0,15+)40+(1,2k[=V wcp1RdRd1 σρτ
onde: τRd = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento;
k = coeficiente igual a 1 para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o
apoio; para os demais casos k = | 1,6 – d | > 1, com d em metros;
0,02
db
A
=
w
s1
1 ≤ρ
c
Sd
cp
A
N
=σ
NSd = força longitudinal na seção derivada à protenção ou carregamento (compressão
positiva);

As1 = área da armadura de flexão que se estende pelo menos d + lb,nec além da seção
considerada.
2.15 EXEMPLO 5 – Sapata Flexível
Resolver a sapata do Exemplo 3 como sapata flexível.
Resolução
A sapata foi resolvida como rígida, com h = 60 cm. Pelo critério da NBR 6118 a sapata
será flexível se h < 60 cm. Como a armadura principal do pilar tem lb = 33 cm, deve-se atender
esse valor. A sapata será flexível adotando:
h = 55 cm e d = 50 cm > lb = 33 cm
a) Momentos fletores e forças cortantes
a.1) Área por triângulos (Figura 68)
As fórmulas desenvolvidas são para sapata com carga centrada. Para aplicação neste
exemplo, onde ocorre momento fletor e a pressão na base não é unifforme, é necessário adotar
um critério para uniformizar a pressão. Um critério é:




=
+
=
σ+σ
=⋅=σ
≥σ=
0188,0
2
0156,0022,0
2
0176,0022,08,08,0
p mínmáx
máx
base
p = σbase = 0,0188 kN/cm2
N
4a
60
ap
b
20
bp
B
200
A
240
A
3
0,022 KN
cm²
0,0156
p = 0,0188
Figura 68 – Área de um triangulo, dimensões da sapata e reação do solo.

Com p pode-se determinar N:
2002400,0188=BAp=N
BA
N
=p ⋅⋅⋅⋅→
⋅
N = 902,4 kN (já majorado em 1,1)
13.536=60)(240
12
902,4
=)aA(
12
N
=M pA −− kN.cm
Esse momento representa 65 % do momento fletor M1A calculado segundo o CEB-70.
536.13)20200(
12
4,902
)bB(
12
N
M pB =−=−= kN.cm
Tarefa: se para o cálculo de M1B (CEB-70) também foi utilizada a pressão média, por que os
momentos fletores tem uma diferença de 30 %?
Forças cortantes:






−⋅





−=





−⋅





−=
240
60
1
200
20
1
4
4,902
A
a
1
B
b
1
4
N
V
pp
A
VA = VB = 152,3 kN
a.2) Área por trapézios (Figura 69)
a
60
ap
b
20
bp
B
200
A
240
= 0,0188 KN
cm²pméd
B
Figura 69 – Área de um trapézio e reação do solo.
kN3,152
A
a
1
B
b
1
4
N
VV
pp
BA =





−⋅





−== (igual à área por triângulos)









+








+
+
⋅




 −
=
6
a
bB
bB2
6
aA
4
N
M
p
p
pp
A






+





+
+⋅
⋅




 −
=
6
60
20200
202002
6
60240
4
4,902
MA
MA = 15.177 kN.cm








+








+
+
⋅




 −
=
6
b
aA
aA2
6
bB
4
N
M
p
p
pp
A






+





+
+⋅
⋅




 −
=
6
20
60240
602402
6
20200
4
4,902
MA
MB = 12.934 kN.cm
MB
MA
B
A
Figura 70 – Indicação dos momentos fletores solicitantes.
b) Armadura de flexão
Adotando os momentos fletores calculados para as áreas de trapézios, tem-se:
2
yd
d
sA cm49,11
5,435085,0
151174,1
fd85,0
M
A =
⋅⋅
⋅
=
⋅
= → contra 14,26 cm2
do Exemplo 3
2
sB cm79,9
5,435085,0
129344,1
A =
⋅⋅
⋅
= → contra 13,43 cm2
do Exemplo 3
A NBR 6118/03 não prescreve armadura mínima para sapata, porém, para as sapatas
flexíveis pode-se considerar:
db%10,0A mín,s ⋅⋅=
2
mín,sA cm00,10502000010,0A =⋅⋅=
2
mín,sB cm00,12502400010,0A =⋅⋅=
Portanto:
2
sA cm49,11A = (5,75 cm2
/m → φ 10 mm c/14 cm = 5,71 cm2
/m)

2
sB cm00,12A = (5,00 cm2
/m → φ 10 mm c/16 cm = 5,00 cm2
/m)
00114,0
50100
71,5
A =
⋅
=ρ
00100,0
50100
00,5
B =
⋅
=ρ
c) Verificação da punção
c1)Verificação da superfície crítica C’ (Figura 71)
B
200
A
240
a*
a*
C
C'
Figura 71 – Superfície critica C’ e distância a*.
cB = cA = 90 cm
2d = 2 . 50 = 100 cm > cB e cA
Portanto a* = cB = cA = 90 cm
Adotar 2d para a*; se 2d > cA ou cB , adotar para a* o menor entre cA e cB .
Tensão de cisalhamento solicitante (τSd) para sapata com um momento fletor externo
solicitante:
dW
M
K
d*u
F
p
SdSd
Sd +=τ
Área limitada pelo contorno C’:
( )2
pppp'C,cont *ab*a2a*a2baA π+++⋅=
( )2
'C,cont 9020902609022060A π+⋅⋅+⋅⋅+⋅=
Acont, C’ = 41.046 cm2
Pressão média na base da sapata:

0188,0
2
022,00156,0
pméd =
+
= kN/cm2
Força na área Acont, C’ devido à reação do solo:






=⋅γ=∆ 41046
1,1
0188,0
4,1)Ap(F 'C,contmédiofSd
1,1 é para não considerar o solo sobre a sapata.
FSd = 982,0 kN
Força sobre a sapata reduzida da reação do solo:
FSd,red = FSd - FSd
kN9,1659828204,1F red,Sd =−⋅=
Perímetro u* do contorno C’:
cm5,725*u
902202602*u
*a2b2a2*u bp
=
⋅π+⋅+⋅=
π++=
Parâmetro K:
C
a
C1
ap
C
b
C1
bp
e
N
e1 Msd
Figura 72 – Parâmetros C1 e C2 .
C1 = ap = 60 cm 3
C
C
2
1
= → na Tabela 1, K = 0,80
C2 = bp = 20 cm
1
2
221
2
1
p Cd2+16dd4CCC
2
C
W ⋅⋅π+⋅+⋅+= (sapata retangular)
com d = a*:
06092+0916090240260
2
06
W 2
2
p ⋅⋅π⋅+⋅⋅+⋅+=

Wp = 173.728 cm2
20173728
)62004,1(8,0
205,725
9,165
Sd
⋅
⋅
+
⋅
=τ
onde d = h0 – 5 = 25 – 5 = 20 cm (d é a altura útil em C’)
τSd = 0,0134 kN/cm2
= 0,134 MPa
Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’:
2cd
3
ck1Rd f5,0
*a
d2
f100
d
20
113,0 ≤ρ







+=τ
90
202
25001,0100
20
20
113,0 3
1Rd
⋅
⋅⋅







+=τ (utiliza-se o menor ρ1)
τRd1 = 0,157 MPa = 0,0157 kN/cm2
cd
ck
2cd f
250
f
16,05,0f5,0 











−=
4,1
5,2
250
25
16,05,0f5,0 2cd 











−=
0,5 fcd2 = 0,482 kN/cm2
= 4,82 MPa
τRd1 = 0,187 MPa < 0,5 fcd2 = 4,82 MPa → ok!
Não é necessário colocar armadura para punção, pois:
τSd = 0,134 MPa < τRd1 = 0,157 MPa
Quando ocorre a necessidade geralmente aumenta-se a altura da sapata para eliminar tal
necessidade a fim de simplificar a execução da sapata.
c2) Verificação da superfície crítica C
Não ocorrendo punção na superfície crítica C’, dificilmente ocorrerá problema na
superfície C.
3. SAPATA CORRIDA
Sapata corrida é aquela destinada a receber cargas lineares distribuídas, possuindo por
isso uma dimensão preponderante em relação às demais. Assim como as sapatas isoladas, as
sapatas corridas são classificadas em rígidas ou flexíveis, conforme o critério da NBR 6118/03 já
apresentado.
Como as bielas de compressão são íngremes, surgem tensões de aderência elevadas na
armadura principal As , que provocam o risco de ruptura da aderência e ruptura do concreto de

cobrimento por fendilhamento, que pode ser evitada com diâmetro menores para as barras e
espaçamentos menores.
Nas sapatas corridas flexíveis, especialmente, a ruptura por punção deve ser
obrigatoriamente verificada.
45°
fissura
A
(principal)
As
biela
comprida
armadura
secundária
Figura 73 – Armaduras, biela de compressão e fissuração na sapata corrida.
Recomenda-se adotar para a altura:
h ≥ 15 cm (nas sapatas retangulares)
ho ≥ 10 / 15 cm
hh
h0
Figura 74 – Altura h da sapata corrida.
A distribuição de pressão no solo depende principalmente da rigidez da sapata e do tipo
de solo. No cálculo prático são adotados diagramas simplificados, como os indicados na Figura
75:
N N NA) B) C)
Figura 75 – Distribuição de pressão no solo.
A indicação de Guerrin (1967) é:
a) solos rochosos
- sapata rígida: diagrama bi triangular (a);
- sapata flexível: diagrama retangular (b);

b) solos coesivos: diagrama retangular (b) em todos os casos;
c) solos arenosos
- sapata rígida: diagrama retangular (b);
- sapata flexível: diagrama triangular (c).
3.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME
As sapatas corridas rígidas são utilizadas geralmente sob muros ou paredes com cargas
relativamente altas e sobre solos com boa capacidade de suporte.
As sapatas corridas rígidas, quando
3
)a-(A
h
p
≥ e β < 45°, podem ter os esforços
solicitantes (M e V) calculados nas seções de referência S1 e S2, conforme o CEB-70. As
verificações necessárias e o dimensionamento das armaduras pode ser feito de modo semelhante
às sapatas isoladas rígidas, fazendo B = 1 m.
Quando β ≥ 45°, o “Método das bielas” pode ser utilizado, em opção ao CEB-70.
aap
A
h
β≥45º
Figura 76 – Sapata rígida de acordo com o Método das Bielas.
O fenômeno da punção não ocorre, mas conforme a NBR 6118, a tensão de compressão
na diagonal comprimida deve ser verificada na superfície crítica C (item 19.5.3.1), já estudado.
Segundo o “Método das bielas”, a armadura principal deve ser dimensionada para a força
Tx (Figura 77):
aap
A
d
β≥45º
Tx
N
dd0
ρ
Figura 77 – Força Tx conforme o Método das bielas.

p
0
aA
d.A
d
−
=
yd
xd
sAsx
xfxd
p
x
f
T
AA
TT
d
aA
8
N
T
==
γ=





 −
=
3.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME
O momento fletor principal, atuante na direção da largura da sapata, é considerado
máximo no centro da sapata. A força cortante é calculada na seção 1 (Figura 78), junto à face da
área carregada. Os esforços são calculados sobre faixas unitárias ao longo do comprimento da
sapata (B = 1 m).
hd
ØlØ , pilar
aap
N
50,00
AsA , princ.I
hh0
I
AsA , sec
ρ
M
V
Figura 78 – Sapata corrida flexível.
Pressão no solo:
A
N
p =

Pressão sob a parede:
p
par
a
N
p =
Força cortante na seção 1:
( )






−=
−=
A
a
1
2
N
V
paA
2
1
V
p
p
Momento fletor máximo no centro da sapata:
( )p
2
ppar
22
p
par
2
aA
8
N
M
8
a.p
8
pA
2
a
p
2
1
2
A
p
2
1
M
−=
−=





−





=
A armadura secundária (As,sec), também chamada armadura de distribuição, deve ter área:





≥
m/cm9,0
A
5
1
A
2
princ,s
sec,s
As bordas da sapata (balanço) podem ser reforçadas com barras construtivas, como
indicado na Figura 79.
Øl
Figura 79 – Reforço das bordas com barras adicionais.
A punção, conforme já estudada, deve ser sempre verificada nas sapatas corridas flexíveis
(Figura 80).
45°
45°
superfície de ruptura por
punção, segundo Leonhardt
Figura 80 – Superfície de ruptura por punção na sapata flexível.

3.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA
Dimensionar a sapata rígida sob uma parede de concreto de 20 cm de largura com carga
vertical N = 20 tf/m = 200 kN/m. Dados:
C20; soloσ = 1,1 kgf /cm2
= 1,1 tf /m2
= 0,011 kN /cm2
= 0,11 MPa
d = h – 5 cm ; CA-50 ; cnom = 4,5 cm
a = 20ap
A
d
β≥45º
N
h
ρ
hh0
C
90
Figura 81 – Sapata rígida conforme o Método das bielas.
Resolução
Cálculo da largura da sapata, considerando que B = 1 m = 100 cm:
011,0
0,21,1N1,1
A
solo
⋅
=
σ
=
A = 200 cm
Os balanços terão o valor:
90
2
20200
2
aA
c
p
=
−
=
−
= cm
Cálculo da altura h:
- pela NBR 6118: cm60
3
20)-(200
3
)a-(A
h
p
≥≥≥
- para aplicar o Método das Bielas no cálculo deve-se ter β ≥ 45º:
c
d
tg =β , com β = 45º ⇒ d = c = 90 cm → h = 95 cm
- pelo CEB-70: cm135h45905,1h905,05,1
c
h
5,0 ≤≤→⋅≤≤⋅→≤≤

Considerando o “Método das bielas”, h = 95 cm.
Força de tração na armadura principal:
55
90
20200
8
2001,1
d
aA
8
N
T
p
x =




 −⋅
=




 −
= kN/m
77,1
48,43
554,1
f
T
AA
yd
xd
ss AX
=
⋅
=== cm2
/m
para φ 8 mm (1 φ 8 = 0,50 cm2
):
2,28
77,1
5,0100
s =
⋅
= cm ≤ 20 ou 25 cm
O espaçamento deve ser diminuído. Adotando φ 6,3 mm (0,31 cm2
):
5,17
77,1
31,0100
s =
⋅
= cm ≤ 20 cm (ok!)
Portanto:
AsA = As,princ = φ 6,3 mm c/17 cm (1,82 cm2
/m)
Para a armadura de distribuição pode-se considerar:
m/cm9,0A
35,0
5
77,1
m/cm9,0
A
5
1
m/cm9,0
A 2
distr,s
2
princ,s
2
distr,s =∴





=
≥





≥
φ 5 mm c/22 cm ou φ 5 mm c/20 cm (1,00 cm2
/m)
sdistr ≤ 33 cm, mas na prática sdistr ≤ 20 ou 25 cm.
Notas:
a) o cálculo pelo Método das Bielas dispensa a verificação da força cortante, isto é, segundo
Montoya, no caso de sapata rígida a força cortante não precisa ser verificada;
b) conforme a NBR 6118, a superfície crítica C deve ter a tensão de compressão diagonal
verificada (item 19.5.3.1);
c) Guerrin (1967) aplica o Método das Bielas fazendo:
)cm50h(cm45
4
20200
4
aA
d
p
==
−
=
−
=
Detalhamento:

cm30h
cm20
cm7,31
3
95
3
h
h 00 =→




==
≥
d=90
h=95
h = 30h0
Ø6, 3 c/ 17 Ø5 c/ 20
Figura 82 – Esquema indicativo do detalhamento das armaduras.
A ancoragem da armadura principal pode ser feita estendendo-se as barras às bordas da
sapata, fazendo o gancho vertical com ho – 10 cm.
Considere:
1º) Resolver a sapata com h = 60 cm, pelo método do CEB-70;
2º) Comparar as armaduras e o volume de concreto das sapatas.
3.4 EXERCÍCIO PROPOSTO
Dimensionar a sapata corrida para uma parede de largura 20 cm, com:
cnom = 4,0 cm; N = 30 tf/m = 300 kN/m; 0,2solo =σ kgf/cm2
; C20; CA-50.
Fazer sapata rígida e como sapata flexível. Comparar os resultados.
3.5 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL
Dimensionar a sapata do Exemplo 6 como sapata flexível.
Dados:
ap = 20 cm ; N = 200 kN/m; C20; soloσ = 0,011 kN/cm2
Resolução
Para a sapata flexível, que tem peso próprio menor, tem-se:
cm191
011,0
0,205,1N05,1
A
solo
=
⋅
=
σ
=
adotado A = 190 cm.
Balanço da sapata:

cm85=
2
20190
2
aA
c
p −
=
−
=
Cálculo da altura da sapata (h):
- NBR 6118 – sapata rígida: cm7,56
3
)20190(
3
)aA(
h
p
≥
−
≥
−
≥ ;
- CEB-70: 0,5·85 ≤ h ≤ 1,5·85 → 42,5 ≤ h ≤ 127,5 cm → sapata rígida
Seguindo o critério da NBR 6118, para sapata flexível (h < 56,7 cm) será adotado h = 50
cm, considerando que esta altura seja suficiente para a ancoragem da armadura do pilar.
Esforços solicitantes:
9,93
190
20
1
2
20005,1
A
a
1
2
N
V
p
=





−
⋅
=





−= kN/m (V na face da parede)
463.4)20190(
8
20005,1
)aA(
8
N
M p =−
⋅
=−= kN.cm/m (M no centro da parede)
Os esforços V e M ocorrem em 1 m de de comprimento da sapata corrida:

h=50
d=45
a = 20ap
N
A = 190
h = 20h0
ρ
M
V
C
85
V
+
100
20
C
Figura 83 – Dimensões e diagramas de esforços solicitantes na sapata.





≥
princ,s
2
distr,s
A
5
1
m/cm9,0
A
64,0
5
19,3
A princ,s == cm2
/m
9,0A distr,s = cm2
/m
φ 5 c/20 cm (1,00 cm2
/m)
Dimensionamento à flexão, tomando bw = 1 m = 100 cm:
4,32
44634,1
45100
M
db
K
2
d
2
w
c =
⋅
⋅
==
Ks = 0,023 (dom. 2)

19,3
45
44634,1
023,0As =
⋅
= cm2
/m
φ 6,3 mm c/9 cm (3,50 cm2
/m)
φ 8 mm c/15 cm (3,33 cm2
/m)
s ≤ 20 ou 25 cm (valores da prática)
Verificação da diagonal comprimida na superfície crítica C, considerando 1 m de
comprimento da sapata:
uo = 2 (20 + 100) = 240 cm
2802004,1NF SdSd =⋅== kN/m
0259,0
45240
280
du
F
o
Sd
Sd =
⋅
=
⋅
=τ kN/cm2
/m
Nota: não foi considerada a redução de FSd proporcionada pela reação do solo.
τRd2 = 0,27αv fcd = 355,0
4,1
0,2
250
20
127,0 =





− kN/cm2
τSd = 0,259 MPa < τRd2 = 3,55 MPa → ok!
A força cortante pode ser verificada como laje, com bw ≥ 5d, onde bw é o comprimento da
sapata paralelo à parede. Deve-se ter VSd ≤ VRd1 para se dispensar a armadura transversal.
VRd1 = [τRd k (1,2 + 40ρ1) + 0,15σcp] bw d
00074,0
45100
33,3
1 =
⋅
=ρ
k = |1,6 – d| > 1 = |1,6 – 0,45| = 1,15 > 1
τRd = 0,25 fctd = 276,0
4,1
203,07,0
25,0
3 2
=
⋅
MPa
VRd1 = [0,0276 . 1,15 (1,2 + 40 . 0,00074)] 100 . 45
VRd1 = 175,6 kN/m
VSd = 1,4 . 93,9 = 131,5 kN/m < VRd1 = 175,6 kN/m
→ ok! não é necessário colocar armadura transversal.

Comparação:
Sapata rígida Sapata flexível
As 1,77 3,19
h 95 50
Detalhamento
Ø8 c/ 15 Ø5 c/ 20
h=50
d=45
h = 20h0
Figura 84 – Detalhamento indicativo das armaduras.
Projetar a sapata corrida para a fundação de um muro. São conhecidos:
- C20 ; CA-50 ; hmuro = 3,0 m ; soloσ = 2,0 kgf/cm2
- emuro = largura do bloco de concreto de vedação = 19 cm (aparente, sem revestimento de
argamassa);
- muro em alvenaria de blocos de concreto;
- blocos enrijecedores a cada 5 m, perpendiculares ao muro;
- considerar ação do vento para a cidade de São Paulo;
- fazer verificações da estabilidade da sapata;
- tipo de solo = argila rija.
3,0m
muro
Figura 85 – Sapata corrida sob muro.

4. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS
Nas sapatas submetidas a forças horizontais e/ou momentos fletores é importante
verificar as possibilidades de escorregamento e tombamento.
a) Segurança ao tombamento
A verificação ao tombamento é feita comparando-se os momentos fletores, em torno de
um ponto 1 (Figura 86).
P
N
M
FH
h
A
2
A
2
1
Figura 86 – Forças atuantes na sapata.
Momento de tombamento:
Mtomb = M + FH . h
Momento estabilizador:
Mestab = (N + P) A/2
O peso do solo sobre a sapata pode também ser considerado no Mestab . O coeficiente de
segurança deve ser ≥ 1,5:
5,1
M
M
tomb
estab
tomb ≥=γ
b) Segurança ao escorregamento (deslizamento)
A segurança é garantida quando a força de atrito entre a base da sapata e o solo supera a
ação das forças horizontais aplicadas.
O efeito favorável do empuxo passivo pode ser desprezado, por não se ter garantia de sua
atuação permanente. Da Figura 86 tem-se:
escHFtg)PN( γ⋅=ϕ+
onde: =tg µϕ = coeficiente de atrito;
φ = ângulo de atrito entre os dois materiais em contato (concreto x solo), não maior que
o ângulo de atrito interno do solo.

Um outro modelo que pode ser adotado é:
Festab = atrito + coesão = 





+





φ⋅+ c
3
2
A
3
2
tg)PN(
onde: φ = ângulo de atrito interno do solo;
c = coesão do solo;
A = dimensão da base em contato com o solo.
5,1
F
F
H
estab
esc ≥=γ
5. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO
EM SAPATAS
No caso de armadura, com barras de diâmetro 20 mm ou superior, e de feixes de barras, é
importante verificar a aderência com o concreto, a fim de evitar o escorregamento.
O esquema de forças entre a armadura e o concreto é como indicado na Figura 87:
∆x
Rc
Rs
V
M z
d
ØØl
Rc + Rc∆
Rs + Rs∆
C
M + ∆M
Figura 87 – Esforços atuantes no elemento de comprimento ∆x.
Tem-se que: M = Rs · z = Rc · z, daí:
z
M
Rs
∆
=∆
∆Rs = fb · u ·∆x
onde: fb = resistência de aderência;
u = perímetro de φl
{
zuf
x
M
xuf
z
M
b
v
b ⋅⋅=
∆
∆
→∆⋅⋅=
∆
V = fb . u . z
tomando d87,0z ≅ e fazendo valores de cálculo:
cuf87,0V bdd ⋅⋅≅
fazendo o perímetro como u = n π φl d, com n sendo o número de barras da armadura de flexão:
dnf87,0V lbdd ⋅φ⋅π⋅⋅≅

com: Vd = força cortante de cálculo nas seções de referência S1A e S1B, por unidade de largura.
Vd = V1dA na seção de referência S1A ;
Vd = V1dB na seção de referência S1B .
Se Vd for maior haverá o escorregamento.
6. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO
A viga de equilíbrio também é comumente chamada “viga alavanca” (Figura 88).
Os pilares posicionados na divisa dos terrenos ficam excêntricos em relação ao centro da
sapata, o que faz surgir um momento fletor, que pode ser absorvido por uma “viga de equilíbrio”,
vinculada à sapate de um outro pilar, interno à construção. A viga também atua transferindo a
carga do pilar para o centro da sapata (Figura 89).
divisa
V. E.
Figura 88 – Sapata sob pilar de divisa e com viga de equilíbrio.

2,5cm
b
a
A
b
B
A
b
a
A1
bw
ap1
bp1
bp2
ap2
A2
B2
N1
N2
VE
BB1
VE
R1
R2
p1
p2
h
h
h
h0
h1
hv
ee1
z
divisa
N1
N2
R2
R1
ee1
z
Figura 89 – Notações da sapata com viga de equilíbrio.
Área da sapata sob P1:
111 BAS ⋅=
solo
1
1
R
1,1S
σ
=
Excentricidade e1 e reação R1:
)ez(RzN0)z(M 111 −=⋅→=∑
1
1
1
ez
zN
R
−
⋅
=
2
b
2
B
e
1p1
1 −=

6.1 ROTEIRO DE CÁLCULO
1) Assumir um valor para R1’:
R1’ = 1,2 N1
2) Calcular a área de apoio da sapata 1 (divisa):
solo
1
1
'R
1,1'S
σ
=
3) Escolher as dimensões da sapata 1:
3
B
A
1
1
≤
11 B2A = (adotando-se) → S1’ = A1’ . B1’
2
'S
'B'B'B2'S 1
1111 =→⋅= → inteiro múltiplo de 5 cm.
4) Cálculo da excentricidade e1 :
2
b
2
'B
'e
1p1
1 −=
5) Cálculo do R1’’ :
'ez
z
N''R
1
11
−
=
6) Comparar R1’ e R1’’
6.1) Se
1
1
111111
B
'S
A,'BBR''R'R ==→==
6.2) Se ''R05,1'R''R95,0 111 ≤≤
1
1
1
solo
1
111
B
S
A
''R
1,1S'BB =→
σ
=→=
6.3) Se R1’ ≠ R1”
Retornar ao item 2 fazendo R1’ = R1” .
6.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO
Esquema estático (Figura 90):

N2
R2
p1
q1 (pilar 1)
bbp1
(1)
BB1
(2) (3)
-
V1L
M1L Vmáx
-
M2L
V2L
M
V
x
Figura 90 – Diagramas de esforços solicitantes na viga de equilíbrio.
1p
1
1
b
N
q =
1
1
1
B
R
p =
1
1p1
p
bq
x =
a) Seção 1 )bx0( 1p≤≤ - Figura 91
p1
q1
V1
M1
q1x
x
ρ1x
Figura 91 – Seção 1.

( )
( )11
2
1
2
1
2
11
111111
v
qp
2
x
M
0
2
x
p
2
x
qM0M
qpxV0xpVxq
0F
−=
=−++→=
−=→=⋅−+⋅
=
∑
∑
para x = bp1 ( limite da seção):
( )
( )11
2
1p
L1
111pL1
qp
2
b
M
qpbV
−=
−=
b) Seção 2 ( )Bxb( 11p ≤≤ - Figura 92
p1
q1
bp1q1
M2
x
p1x
1
1p1
2
1p11211p12
V
p
bq
x0V:para
bqxpV0xpbqV
0F
⋅
=→=
⋅−⋅=→=⋅−⋅+
=∑
0
2
x
p
2
b
xbqM0M
2
1
1p
1p12 =−





−⋅+→=∑






−⋅−=
2
b
xbq
2
x
pM
1p
1p1
2
12
Para 1p111L21 bqBpVBx −−⋅=→=







−⋅−=
2
b
xbq
2
B
pM
1p
1p1
2
1
1L2
c) Seção 3 





+≤≤
2
b
zxB
1p
1 - Figura 93
p1
q1
bbp1
B
x
B1
V3
M3






−⋅−





−⋅=
=





−⋅−





−⋅+→=
=∆=⋅−⋅=
=⋅−⋅+→=
∑
∑
2
b
xbq
2
B
xBpM
0
2
B
xBp
2
b
xbqM0)3(M
cteNbqBpV
0BpbqV0F
1p
1p1
1
113
1
11
1p
1p13
1p1113
111p13V
6.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO
a) Largura: cm5ab 1pw +≥ (pode ser alterado);
b) Altura: 1V hh ≥ (h1 = altura da sapata 1);
bV ld > (lb = comprimento de ancoragem da armadura do pilar).
Podem também serem deduzidas equações para bw em função de V1L e Mmáx (tarefa).
6.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA
Um modelo para cálculo dos esforços solicitantes na sapata é aquele proposto pelo CEB-
70, já apresentado.
a) Momento fletor na seção de referência S1A - Figura 94

b
a
A
b
A1
bw
ap1
bp1
d
20,15bbw
S2A
S1A
BB1
A
A
d
2
0,15bbw
CC2A
dd2A
S1A
S2A
bbw
aap1
h
h
h
h0
h1
hv
A1
xxA
p
CORTE AA
Figura 94 – Sapata sob o pilar da divisa. Seções de referência S1 e S2 .
Resultante da reação do solo na sapata (F1A):
A1A1 xBpF ⋅⋅=
sendo:
11
1
BA
R
p
⋅
=
w
w1
A b15,0
2
bA
x +
−
=
Momento fletor:
2
x
BpM
2
x
FM
2
A
1A1
A
A1A1 ⋅=→=
b) Cálculo da altura da sapata
Pode ser definida em função do critério da NBR 6118:
3
bA
h w1
1
−
≥ → para sapata rígida; d1 = h1 – 5 cm (pode ser mais)
c) Verificação da força cortante na seção S2A
Força cortante de referência (ou atuante):
A21fdA cBpV ⋅⋅⋅γ=
2
d
2
bA
c 1w1
A2 −
−
=

Força cortante resistente (ou limite):
ckA2A2
c
lim,d fdb
474,0
V ⋅ρ⋅⋅
γ
= (fck em MPa)
com: b2A = B1
3
h
h;c5,1
bA
hh
1dd 1
0A2
w1
01
1A2 ≥≤





−
−
−= (inteiro e múltiplo de 5cm) ou cm30h0 ≥
Se dAlim,d VV ≥ → dispensa–se a armadura transversal;
Se dAlim,d VV < → recomenda-se aumentar a altura útil da sapata;
lim,d
dA
1n
V
V
dd =
d) Armadura à flexão
Armadura principal:
A1f
2
11
c
M
dB
K
γ
⋅
= →





βx
sK
domínio
:tabelana
1
A1f
sA1,s
d
M
KA
γ
= ou
yd1
A1f
A1,s
fd85,0
M
A
⋅
γ
=
As,mín = 0,10 % B1 d1
A armadura é disposta uniformemente distribuída na dimensão B1 .
Armadura de distribuição (paralela à B1):





≥
m/cm9,0
A
5
1
A
2
A1,s
distr,s , com s ≤ 33 cm.
6.5 EXEMPLO 8
(Exemplo de Ferro, N.C.P., Notas de Aula, 2005)
Dimensionar uma sapata para o pilar da divisa, fazendo a viga alavanca (Figura 95).
Dados: C20; CA-50; N1 = 550 kN; N2 = 850 kN;
02,0solo =σ kN/cm2
;
Armadura pilar = 10 φ 12,5 mm ; c = 4,0 cm.

30
20
2,5
400cm
30
30
divisa
Figura 95 – Esquema dos pilares.
Resolução
1) Dimensionamento da sapata
1.1) Assumir um valor para R’1
kN6605502,1N2,1'R 11 =⋅==
1.2) Área de apoio da sapata – S1
2
solo
1
1 cm300.36
02,0
660
1,1
'R
1,1'S ==
σ
=
1.3) Cálculo da dimensão B1
cm7,134
2
36300
2
'S
'B 1
1 ===
Portanto, cm135'B1 =
1.4) Excentricidade e1
cm505,2
2
30
2
135
f
2
b
2
'B
'e
1p1
1 =−−=−−=
f = distância da face do pilar à linha de divisa.
1.5) Cálculo de R’’1
kN6,628
50400
400
550
'ez
z
N''R
1
11 =
−
=
−
=
1.6) Comparação entre R’1 e R’’1
111 ''R05,1'R''R95,0 ≤≤
!ok6606,62805,16601,5976,62895,0 →=⋅≤≤=⋅

cm260Acm1,256
135
34573
B
S
A
cm135'BB
cm573.34
02,0
6,628
1,1
''R
1,1S
1
1
1
1
11
2
solo
1
1
=→===
==
==
σ
=
2) Esforços máximos na viga alavanca
2.1) Esforços solicitantes na seção x = bp1
cm30b;)qp(
2
b
M;)qp(bV 1p11
2
1p
L1111pL1 =−=−=
656,4
135
6,628
B
R
p
1
1
1 === kN/cm
333,18
30
550
b
N
q
1p
1
1 === kN/cm
( ) 155.6333,18656,4
2
30
M
2
L1 −=−= kN.cm
( ) 3,410333,18656,430V L1 −=−= kN
2.2) Momento fletor máximo, V2L e M2L (seção x = B1)
cmkN234.24M
2
30
1,11830333,18
2
1,118
656,4
2
b
xbq
2
x
pM
cm1,118
656,4
30333,18
p
bq
x
máx
2
1p
máx1p1
2
máx
1máx
1
1p1
máx
⋅−=






−⋅−=





−⋅−=
=
⋅
=
⋅
=
30333,18135656,4bqBpV 1p111L2 ⋅−⋅=⋅−⋅=
kN6,78V L2 =






−⋅−=
2
b
Bbq
2
B
pM
1p
11p1
2
1
1L2
571.23
2
30
13530333,18
2
135
656,4M
2
L2 −=





−⋅−= kN.cm

Diagrama de esforços (Figura 96):
N2
R2
p1
q1
30
bp1
= 135B1
(3)
-
-
V (KN)
x = 118,1
= 18,333 KN
cm
= 4,656
410,3
78,6
6.155 24.234 23.571 M ( KN
cm )
Figura 96 – Diagramas e esforços solicitantes na viga de equilíbrio.
3) Largura da viga alavanca
bw = ap1 + 5 cm = 20 + 5 = 25 cm
Por outra forma, estimando que dv = 2bw :
( )
máx
3
w
máx
3
w
máx
2
ww
c
M
b
86,2
M4,1
b4
M4,1
b2b
K ===
3
máxcw MK35,0b =
Kc pode ser adotado 6/fck para o domínio 3:
( ) 4,29242340,2/635,0b 3
w == cm → adotaremos bw = 35 cm
4) Altura da sapata da divisa
Para sapata rígida:
NBR 6118 → h1 ≥ (A1 – bw)/3 ≥ (260 – 35)/3 ≥ 75 cm
Pelo CEB-70 → 0,5 ≤ h1/c ≤ 1,5

5,112
2
35260
2
bA
c w1
=
−
=
−
= → 0,5 ≤
5,112
h1
≤ 1,5
56,3 cm ≤ h1 ≤ 168,8 cm → adotado h1 = 75 cm = hv
d1 = 75 – 5 = 70 cm = dv
O pilar tem armadura φ 12,5 mm, com lb = 38 cm (com gancho), e:
d1 = 70 cm > lb = 38 cm → ok!
5) Dimensionamento da viga alavanca
A armadura longitudinal superior da viga alavanca na região da sapata 1 pode ser
calculada fazendo-se a analogia da viga com um consolo curto, ou segundo a teoria de viga
fletida.
5.1) Armadura de flexão no trecho da sapata 1 (B1)
=260A1
P1 P2
= 135B1
VE
h
=
75
h0
h1
C=1125
C=1125
sapata 2
sapata 1
hv
= 35bw
Figura 97 – Dimensões da sapata sob o pilar de divisa.
bw = 35 cm ; hv = h1 = 75 cm ; dv = d1 = 70 cm ; Md = 1,4 . 24234 = 33.928 kN.cm
1,5
33928
7035
M
db
K
2
d
2
c =
⋅
== → βx = 0,22 (domínio 2), Ks = 0,025
12,12
70
33928
025,0As == cm2
→ 6 φ 16 mm (12,00 cm2
)

Como esta armadura não é muito alta, ela pode ser estendida até o pilar P2, sem corte.
Armadura mínima: As,mín = 0,15 % bw hv = 0,0015 . 35 . 75 = 3,94 cm2
Para a armadura longitudinal inferior pode-se adotar a armadura mínima (2 φ 16 ou 5 φ
10).
5.2) Armadura transversal
No trecho da sapata: Vk = 410,3 kN → VSd = 1,4 . 410,3 = 574,4 kN
Para cálculo de Asw , conforme as equações simplificadas do Modelo de Cálculo I,
apresentadas na apostila de Dimensinamento de Vigas à Força Cortante, com concreto C20 e dv
= 70 cm:
VRd2 = 0,35bw d = 0,35 . 35 . 70 = 857,5 kN > VSd → ok!
VSd,mín = 0,101bw d = 0,101 . 35 . 70 = 247,5 kN < VSd
97,143517,0
70
4,574
55,2b17,0
d
V
55,2A w
Sd
sw =⋅−=−= cm2
/m
( ) 09,335
5010
203,020
b
f
f20
A
3 2
w
ywk
ctm
mín,sw =
⋅
== cm2
/m
Com Asw = 14,97 cm2
/m, fazendo estribo com quarto ramos tem-se Asw1ramo = 14,97/4 =
3,74 cm2
/m, e na Tabela A-1 da apostila citada, encontra-se: φ 8 mm c/13 cm (3,85 cm2
/m).
Espaçamento máximo: 0,67VRd2 = 574,5 kN, por coincidência igual a VSd .
s ≤ 0,6d ≤ 30 cm → s ≤ 0,6 . 70 = 42 cm ≤ 30 cm
∴ s ≤ 30 cm
0,2 VRd2 = 171,5 kN < VSd → st ≤ 0,6d ≤ 35 cm
st ≤ 0,6 . 70 ≤ 42 cm ≤ 35 cm → ok!
No trecho da viga coincidente com a sapata (B1) convém colocar a armadura calculada
para a força cortante máxima. No trecho fora da sapata 1, a armadura deve ser calculada para a
menor seção transversal, 35 x 40 na união com a sapata 2 (pilar interno):
kN1106,784,1VSd =⋅=
!okVkN8,428353535,0V Sd2Rd →>=⋅⋅=
mín,swSdmín,Sd AVkN7,1233535101,0V →>=⋅⋅=
mcm09,3
5010
35)203,0(20
A 2
3 2
mín,sw =
⋅
⋅
=

Estribo φ 6,3 mm c/20 cm (1,58 cm2
/m) com 2 ramos:
Sd2Rd VkN3,287V67,0 >= → s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm
s ≤ 0,6 · 35 ≤ 21 cm ≤ 30 → s ≤ 21 cm
2RdSd2Rd V2,0VkN8,85V2,0 >→=
cm21scm35d6,0s tt ≤→≤≤
Para a viga com bw = 35 cm a largura do estribo com 2 ramos resulta 26,4cm (35-4,3-
4,3), maior que o valor st = 21 cm. Portanto, o estribo deve ter mais de 2 ramos. Por exemplo,
estribo com 4 ramos φ 5 mm:
cm21scm9,25s0309,0
s
20,04
máx =>=→=
⋅
Então: estribo φ 5 mm c/21 cm 4 ramos (3,81 cm2
/m)
5.3 Armadura de pele
Asp quando h > 60 cm
faceporcm63,275350010,0hb%10,0A 2
wsp =⋅⋅=⋅=
5 φ 8 mm = 2,50 cm2
por face
5.4 Armadura de costura
A armadura de costura é colocada abaixo da armadura longitudinal negativa e serve para
aumentar a resistência e ductilidade da viga.
Pode ser adotada como: stcos,s A4,0A =
→=⋅= 2
tcos,s cm85,412,124,0A 10 φ 8 mm = 5,00 cm2
6. Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca)

N5 - 10 c/ 13 N6 - c/20
N1 - 6 Ø16A
A
N3
N2
N3
5N4
6N1
CORTE AA
N1 - 2 x 3 Ø16 C = (em laço)
N2 - 2 x 5 Ø8 C = (arm. costura - em laço)
N3 - 2 x 5 Ø8 C = VAR (arm. pele)
N4 - 5 Ø10 C =
3 laços (6N1)
N5 - 10 x 2 Ø8 C =
N6 - x 2 Ø5 C = VAR.
Detalhe dos laços sob
o pilar P1
Figura 98 – Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca).
Notas: a) em distâncias pequenas entre os pilares a viga alavanca pode ser feita com altura
constante;
b) a armadura N1 pode ter parte interrompida antes do pilar P2, conforme o diagrama de
momentos fletores.
6.6 TAREFA
a) Dimensionar e detalhar as armaduras da sapata sob o pilar P1;
b) Idem para a sapata isolada sob o pilar P2 ;
c) Se a sapata sob o pilar da divisa (P1) tiver a largura B1 diminuída e o comprimento A,
aumentado, quais as implicações que essas alterações resultam para a viga alavanca?
6.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA
a) O centro geométrico da sapata 1 deve estar sobre o eixo da viga alavanca;
b) As faces laterais da sapata devem ser paralelas ao eixo da viga alavanca para minimizar o
efeito do momento de torção;
c) Recomenda-se que as cotas sejam tomadas nas projeções (direção normal à divisa).

B1
e1
P1
P2
CGsap
e1h
B1R
divisa
eixo da viga alavanca
Figura 99 – Viga alavanca não normal à divisa.
Área da Sapata Sob o Pilar Interno (P2)
Pode ser considerado parte do alívio proporcionado pelo pilar da divisa.
N1 N2
R2R1
P1
pilar P2
Figura 100 – Forças atuantes na viga alavanca não normal à divisa.
N1 + N2 = R1 + R2 → N2 – R2 = R1 – N1
R1 – N1 = N
Ssap = 1,1 (N2 - N/2)
Dimensionar e detalhar as armaduras das sapatas e da viga alavanca dos pilares P1 e P2,
sendo conhecidos: soloσ = 0,018 kN/cm2
; C20 ; CA-50; NP1 = 520 KN; NP2 = 970 KN ; φl,pil =
12,5 mm.
40
20
80
P1
P2
2,5 285
40
20
divisa
Figura 101 – Dimensões a serem consideradas.

7. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA
Quando a sapata de divisa não tem vinculação com um pilar interno, com viga de
equilíbrio por exemplo, a flexão devido à excentricidade do pilar deve ser combatida pela própria
sapata em conjunto com o solo. São encontradas em muros de arrimo, pontes, pontes rolantes,
etc.
A reação do solo não é linear, mas por simplicidade pode-se adotar a distribuição linear
na maioria dos casos.
bp
B
Divisa
não linear
N
Figura 102 – Sapata excêntrica sob pilar de divisa.
Para não ocorrer tração na base da sapata, a largura B deve ser escolhida de tal forma
que: B ≤ 1,5bp . Recomenda-se também que A ≤ 2B.
Em função do valor da excentricidade da força N, os seguintes casos são considerados:
a) pb5,1B < (e < B/6) - Figura 103
bp
A
6
B
6e
A
B
pmín.
pmáx.
N
Figura 103 – Caso onde pb5,1B < (e < B/6).
solomáx 3,1
B
e6
1
BA
N
p σ≤





+
⋅
=






−
⋅
=
B
e6
1
BA
N
pmín
b) 





==
6
B
e,b5,1B p
- Figura 104

B
6e
A
B
pmáx.
N
Figura 104 – Caso onde 





==
6
B
e,b5,1B p
solomáx 3,1
BA
N2
p σ≤
⋅
=
c) 





>>
6
B
e,b5,1B p
- Figura 105
B
6e
A
B
pmáx.
N
3 ( B
2 - e )
Figura 105 – Caso onde 





>>
6
B
e,b5,1B p
solomáx 3,1
e
2
B
A3
N2
p σ≤






−
=
A sapata de divisa pode ter altura constante (geralmente para alturas baixas e cargas
pequenas) ou variável.

N
divisa
divisa
viga
enrijecedora
Figura 106 – Sapata isolada sob pilar de divisa.
Para casas onde resulte A > 2B pode-se criar viga associada à sapata excêntrica de divisa,
como ilustrado nos exemplos.
Para não ocorrer torção na viga convém coincidir o centro da viga com o centro do pilar.
A viga pode ser projetada na direção perpendicular à divisa.
h
viga
Figura 107 – Sapata excêntrica na divisa com viga de reforço.

A estrutura deve oferecer uma reação horizontal, para equilibrar a excentricidade do
pilar/sapata.
H
H
lP
pilar
flexível
e
R
M H
H
P pilar
rígido
M
e R
Figura 108 – Estrutura para absorver forças horizontais.
8. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)
No Projeto de fundações de um edifício com sapatas, o projeto mais econômico é aquele
com sapatas isoladas. Porém, quando as sapatas de dois ou mais pilares superpõem-se, é
necessário fazer a sapata associada. A NBR 6122 chama “viga de fundação” quando os pilares
têm os centros alinhados.
Há várias possibilidades para a sapata associada, que pode receber carga de dois ou mais
pilares, de pilares alinhados ou não, com cargas iguais ou não, com um pilar na divisa, com
desenho em planta retangular, trapezoidal, etc.
Dependendo da capacidade de carga do solo e das cargas dos pilares, a sapata associada
pode ter uma viga unindo os pilares (viga de rigidez). Essa é a sapata mais comum no Brasil.
8.1 SAPATA RETANGULAR
O centro geométrico da sapata deve coincidir com o centro de carga dos pilares, e deste
modo a pressão no solo pode simplificadamente ser considerada uniforme.
A sapata pode ter a altura determinada segundo os critérios já mostrados e resultar
flexível ou rígida.
Os seguintes casos podem ser considerados:

C1
C2
P1 P2
B
2
B
2
A
B
N1 N2
C1 C2ap2ap1
l1 l2
x
lcc
R
ρ ≅ σsolo
q1 N1
ap1
= ____ q2 N2
ap2
= ____
ρ = R
A.B.
V
M
Figura 109 – Sapata conjunta.
a) N1 ≠ N2 e largura B previamente fixada
R = (N1 + N2)1,05 (ou 1,1)
∑ M (N1) = 0
0xRlN cc2 =⋅−⋅
cc
2
l
R
N
x =
solo
R
BA
σ
=⋅

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