Dimensionamento de pilares

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
PROCEDIMENTOS SIMPLIFICADOS PARA PRÉ-
DIMENSIONAMENTO DE PILARES PRÉ-MOLDADOS DE
CONCRETO
Fabrício André Nogueira dos Reis
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado ao Departamento de
Engenharia Civil da Universidade
Federal de São Carlos como parte dos
requisitos para a conclusão da
graduação em Engenharia Civil
Orientador: Prof. Dr. Marcelo de Araujo
Ferreira
São Carlos
2012

DEDICATÓRIA
Aos meus pais, José Carlos e Leda,
pelo suporte em todos momentos da minha vida.
Aos meus queridos irmãos, Lucas e Daniely.

AGRADECIMENTOS
Meus sinceros agradecimentos a Deus, por ter me dado proteção e me iluminado em mais
uma etapa da minha vida.
Aos meus pais, por terem me dado a educação necessária para conseguir alcançar meus
objetivos.
Aos meus amigos, pelo convívio e descontração nos momentos que precisei, e também por
terem contribuído, de uma forma ou outra, para a realização deste trabalho.

RESUMO
No presente trabalho foram estudados procedimentos simplificados para pré-
dimensionamento de pilares pré-moldados de concreto com diferentes números de
pavimentos e rigidez à flexão da ligação viga-pilar. Foram apresentados exemplos de pré-
dimensionamento tomando-se por base uma formulação simplificada proposta por Bacarji
(1993) e procedimentos de análise baseados na NBR 9062 (2006) – Projeto e Execução de
Estruturas de Concreto Pré-Moldado, respeitando os deslocamentos horizontais máximos
(estado limite de serviço) e realizando a análise da estabilidade por meio do coeficiente Z .
Na análise estrutural consideraram-se os efeitos de 2ª ordem global multiplicando os efeitos
de 1ªordem pelo coeficiente Z (simplificando a não-linearidade geométrica). Como
simplificação da não-linearidade física utilizou-se a redução da rigidez dos elementos
estruturais conforme NBR 6118 (2003) e para simplificação da resposta não-linear das
ligações viga-pilar utilizou-se a redução da rigidez da viga nos modelos estruturais com
ligação semi-rígida.
A formulação proposta por Bacarji (1993) resultou em dimensões inferiores (subestimadas)
para os pilares dos modelos com ligação articulada, não atendendo aos critérios de
verificação para a estabilidade no E.L.U. e para os deslocamentos horizontais máximos no
E.L.S.. No entanto, para os pilares centrais dos modelos com ligações semi-rígidas (com
engastamento parcial de 70%), a fórmula simplificada proposta por Bacarji (1993) resultou
em dimensões de pilares próximas às necessárias para que a estrutura atendesse aos
requisitos anteriores.
Os resultados mostraram que, em muitos casos, os requisitos de estabilidade global e
deslocamentos horizontais limites (E.L.S.) foram determinantes para a dimensão final dos
pilares, uma vez que, utilizando taxas de armadura próximas da mínima (ρ = 0,5%) foram
suficientes para atender ao requisito de resistência (E.L.U.). Este fato demonstra a
importância da consideração dos requisitos de estabilidade e deformação excessiva em
utilização já na fase de pré-dimensionamento dos pilares.
Palavras-chave: pré-dimensionamento, pilares, estrutura pré-moldada.

ABSTRACT
ABSTRACT
This research deals with simplified procedures for pre-dimensioning of precast concrete
column with different numbers of floors and flexural stiffness of the beam-column
connections. Numerical examples based on a simplified formulation for pre-dimensioning of
concrete columns and theoretical procedures for second order analysis at the Ultimate Limit
State – ULS and verification at the Serviceability Limit State – SLS according to NBR-9062
are presented. Additionally to the non-geometrical and physical non-linearity of the concrete
members, in the present work, the flexural stiffness of the beam-column connections has
been considered.
The results obtained from the numerical examples led to underestimation of the column
cross-section for the case wherein the beam-column connections were considered as
hinged, not meet the codes requirements for the ULS and SLS. However, for the case of
precast columns with semi-rigid connections (partial fixity of 70%), the simplified formula
proposed by Bacarji (1993) provided pre-dimensioned sections that met the requirements for
the second order analysis at the ULS and for the displacement limit at the SLS.
The conducted study demonstrated that the pre-determination of the column cross-section is
strongly related with the consideration of both the requirements for the second order analysis
at the ULS and the sway limits at the SLS, wherein considering a minimum reinforcement
ratio (ρ = 0,5%) it has been possible to meet the resistance requirements for the ULS.
Key-words: pre-dimensioning, columns, precast concrete structure.

SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO..................................................................................................................8
1.1 Justificativa ...............................................................................................................9
1.2 Objetivos....................................................................................................................9
1.2.1 Detalhamento dos objetivos ...................................................................................9
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................................................................11
2.1 Concepção estrutural .............................................................................................11
2.2 Não-linearidades.....................................................................................................12
2.3 Estabilidade global da estrutura ...........................................................................17
2.4 Avaliação dos efeitos globais e efeitos locais de 2° ordem...................................21
2.5 Consideração da rigidez das ligações....................................................................25
2.6 Formulação simplificada para pré-dimensionamento da seção.........................27
3. METODOLOGIA ............................................................................................................30
3.1 Classificação da pesquisa.......................................................................................30
3.2 Estudo de caso.........................................................................................................30
3.3 Planejamento da pesquisa......................................................................................32
3.4 Ferramentas utilizadas...........................................................................................32
3.5 Análise dos resultados ............................................................................................33
4. CARACTERÍSTICAS DOS MODELOS ESTRUTURAIS............................................34
4.1 Características geométricas...................................................................................34
4.2 Sistema estrutural...................................................................................................34
4.3 Especificação dos materiais estruturais................................................................34
4.4 Pré-dimensionamento dos pilares (expressão simplificada) ...............................35
5. AÇÕES ATUANTES NA ESTRUTURA........................................................................38
5.1 Ações verticais.........................................................................................................38
5.1.1 Carregamento permanente....................................................................................38
5.1.2 Sobrecarga de utilização.......................................................................................38
5.1.3 Carregamento sobre a viga ...................................................................................39
5.1.4 Reação da viga sobre os pilares............................................................................40
5.2 Ação horizontal.......................................................................................................41
5.2.1 Intensidade da ação do vento................................................................................41
5.3 Combinações das ações ..........................................................................................44
6. PROCESSO SIMPLIFICADO PARA PRÉ-DIMENSIONAMENTO DOS PILARES
47
6.1 Simplificações nos modelos estruturais ................................................................47
6.2 Estado Limite de Serviço .......................................................................................48

6.3 Estabilidade global dos modelos estruturais........................................................50
6.3.1 Modelo estrutural com 3 pavimentos e ligação articulada: ..................................51
6.3.2 Modelo estrutural com 4 pavimentos e ligação articulada: ..................................52
6.3.3 Modelo estrutural com 5 pavimentos e ligação semi-rígida (70%)......................53
6.3.4 Modelo estrutural com 7 pavimentos e ligação semi-rígida (70%)......................54
7. ESFORÇOS SOLICITANTES E TAXA DE ARMADURA DOS PILARES................58
7.1 Majoração da ação do vento nos modelos estruturais ........................................58
7.2 Esforço normal e momento fletor em cada pilar .................................................60
7.3 taxa de armadura para combinação mais desfavorável .....................................61
8. CONCLUSÕES................................................................................................................69
9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...........................................................................71
10. APÊNDICE..................................................................................................................74

8
1. INTRODUÇÃO
Os pilares são os elementos principais do sistema estrutural de uma edificação,
levando em conta que atuam diretamente para garantia da estabilidade global da mesma e
por isso, o engenheiro responsável por projetar tais elementos realiza uma tarefa de grande
responsabilidade.
Recentemente, com o avanço na tecnologia dos materiais e maior controle de
qualidade na produção dos elementos de concreto pré-moldado, é possível produzir
concreto com elevada resistência à compressão, denominados usualmente como concreto
de alto desempenho (CAD). Como resultado dessas mudanças surge uma tendência em se
projetar elementos estruturais mais esbeltos, ou seja, com seções transversais bem
reduzidas, sendo de grande importância a consideração dos efeitos de segunda ordem na
análise estrutural. Ocorre um acréscimo de esforços solicitantes e deslocamentos, que por
conseqüência aumenta o risco de instabilidade da estrutura ou mesmo o colapso, sendo,
portanto necessária a consideração do comportamento não-linear da estrutura (não-
linearidade física e geométrica) e os efeitos devido a rigidez da ligação entre os elementos
estruturais.
A rigidez da ligação de uma estrutura em concreto pré-moldado está diretamente
relacionada com a sua estabilidade global, já que a absorção dos esforços pela ligação
limita a deslocabilidade da estrutura. Levando em consideração estruturas em concreto pré-
moldado de múltiplos pavimentos com ligação viga-pilar semi-rígida ou articulada, a
deslocabilidade dessas estruturas é maior do que em estruturas monolíticas de concreto.
Assim, a ação do vento é preponderante para o dimensionamento, pois com o efeito de
primeira ordem significativo influenciará no efeito de segunda ordem.
O efeito de primeira ordem é obtido da análise da estrutura na sua configuração
geométrica inicial, ou seja, não deformada. Já os efeitos de segunda ordem são aqueles
obtidos da análise da estrutura considerando o equilíbrio na posição deformada.
No início de um projeto estrutural é necessário realizar uma estimativa das
dimensões das seções e taxas de armaduras dos elementos estruturais. No entanto não
existem normas técnicas para o pré-dimensionamento de tais elementos, por isso existe
uma necessidade de se criar procedimentos simplificados para avaliação das seções pré-
dimensionadas. Procedimentos que levam em consideração o comportamento real da

9
estrutura, mesmo que de forma simplificada, tem um grande potencial para resultar numa
boa estimativa da estrutura final (obtida após o dimensionamento estrutural).
1.1 JUSTIFICATIVA
Os principais motivos que justificam o estudo sobre o pré-dimensionamento de
pilares pré-moldados de concreto são:
• A carência de procedimentos simples e que considerem as principais variáveis do
dimensionamento de pilares, possibilitando a otimização da convergência para a melhor
solução em termos de dimensões e taxas de armaduras.
• Somente o pré-dimensionamento de pilares com base nas tensões (método da
tensão ideal) não é suficiente no caso de estruturas pré-moldadas.
• Um pré-dimensionamento eficiente das dimensões dos pilares tem grande potencial
para acelerar o processo de compatibilizações entre os projetos de outros sistemas do
edifício.
• O caráter obrigatório da consideração das ações do vento (com a atualização da
NBR 6118-2003), resultando em esforços adicionais nos pilares e afetando a estabilidade
global da estrutura.
1.2 OBJETIVOS
Neste trabalho foi realizado um estudo sobre procedimentos simplificados para pré-
dimensionamento de pilares pré-moldados de estruturas de múltiplos pavimentos
considerando de forma aproximada os efeitos da não-linearidade física (fissuração do
concreto), não-linearidade geométrica (efeitos de 2ª ordem) e os efeitos das ligações entre
os elementos estruturais.
1.2.1 DETALHAMENTO DOS OBJETIVOS
Neste trabalho foram estabelecidos os seguintes objetivos específicos:
 A partir da expressão para pré-dimensionamento da seção do pilar proposta
por Bacarji (1993) pretende-se verificar se a geometria inicial adotada atende
aos requisitos de estabilidade global (ELU) e de estado limite de serviço para
combinações freqüentes conforme disposto na NBR 9062:2006, considerando
de forma simplificada a não-linearidade física e geométrica, e os efeitos da

10
rigidez das ligações (articulada e semi-rígida) entre os elementos estruturais,
conforme se encontra em bibliografias.
 Apresentar os principais conceitos sobre o assunto aos alunos de graduação
e profissionais que estão iniciando seu trabalho na área de projetos
estruturais, especificamente no dimensionamento de pilares pré-moldados de
concreto.

11
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 CONCEPÇÃO ESTRUTURAL
Com a versão da NBR 6118:2003- Projeto de estruturas de concreto, a consideração
da ação do vento sobre as estruturas passou a ser obrigatório, de forma que o projetista
deve garantir à estrutura estabilidade e segurança (Estado Limite Último), e em utilização,
assegurar que não ocorram deslocamentos horizontais excessivos (Estado Limite de
Serviço) danificando assim a estrutura e, causando aos usuários desconforto e problemas
de manutenção.
A escolha da modelagem estrutural para análise da ação do vento é uma
preocupação para engenheiros calculistas devido ao fato de que essa escolha determina o
grau de complexidade do seu trabalho analítico. Além dessa preocupação existe ainda a
questão da compatibilização da estrutura com as exigências arquitetônicas.
De acordo com Sussekind (1984), na concepção estrutural devem ser consideradas
as ações verticais e horizontais que possam atuar ao longo da existência das estruturas,
além disso, independente do número de pavimentos e das dimensões em planta, o projeto
estrutural deve contar com sistemas de contraventamento estudados e calculados
adequadamente.
Recentemente, com a evolução dos programas computacionais, é possível elaborar
modelos estruturais complexos, sem limitações quanto sua caracterização geométrica,
comportamento dos materiais e quanto ao tipo de carregamento, tomando os devidos
cuidados com a interpretação dos resultados obtidos (BARROS, 2003).
No princípio de um projeto estrutural o engenheiro encontra um problema para o
dimensionamento das estruturas: a geometria dos elementos (seções transversais) depende
dos esforços solicitantes, porém tais esforços somente são determinados após a definição
da geometria da estrutura, possibilitando determinar o peso próprio e a análise da
estabilidade global da mesma. Por isso, é necessário realizar o pré-dimensionamento da
estrutura na fase de concepção estrutural, ou seja, é preciso determinar, de forma
aproximada, as dimensões das seções transversais para uma análise preliminar.
(NEUMANN, 2008).
Com a utilização de ferramentas como os programas de dimensionamento e
detalhamento estrutural torna-se possível a criação de modelos estruturais mais sofisticados

12
e a obtenção dos resultados em menor tempo, permitindo uma redução significativa do
trabalho numérico para o projetista de estruturas que poderá dedicar mais seu tempo à
concepção estrutural. Dessa forma, pode-se dizer que um bom pré-dimensionamento é
aquele que resulta em dimensões das seções e em taxas de armaduras finais (depois de
dimensionada a estrutura) próxima ao que se adotou inicialmente. Sendo assim, o pré-
dimensionamento da estrutura tem um grande potencial para acelerar o processo de projeto,
reduzindo o número de tentativas e o tempo gasto para se atingir o projeto estrutural final.
Para se obter uma estrutura pré-dimensionada mais próxima possível da estrutura
real podem ser utilizados processos simplificados para estimativas da geometrias dos
elementos (lajes, vigas, pilares) baseados em modelos que levam em consideração o
comportamento real da estrutura, os requisitos de resistência do estado limite último e as
verificações do estado limite de serviço e de estabilidade. Tais processos são chamados de
simplificados porque permitem realizar a análise da estrutura pré-dimensionada,
considerando de maneira simplificada o comportamento real da estrutura (não-linearidades)
e verificando, assim, se a geometria pré-dimensionada atende à alguns requisitos.
No caso dos pilares, que são elementos estruturais dispostos na vertical submetidos
predominantemente à flexo-compressão, um dos aspectos relevantes para o
dimensionamento desses elementos é a estabilidade global, ou seja, a estrutura da
edificação deve apresentar estabilidade necessária às ações verticais e horizontais.
O fenômeno da instabilidade se caracteriza por ocorrer de forma repentina, podendo
ter conseqüências desastrosas. Outra característica é o fato de que as ações que causam a
instabilidade da estrutura não são necessariamente ações que apresentam acréscimo
brusco. A instabilidade se enquadra como um estado limite último pelo motivo de que, para
uma situação de carregamento, acréscimos de carga ou de deformação podem ser
relevantes para causar a ruína da estrutura, se estes acréscimos não estiverem respeitando
certos limites. A ruína causada por este tipo de estado limite último, em geral, não é avisada,
sendo assim, este é um aspecto que deve ser considerado na elaboração do projeto
estrutural para a garantia da segurança da edificação.
2.2 NÃO-LINEARIDADES
Para o melhor estudo da estabilidade de pilares é importante que se tenha
conhecimento sobre as definições de não-linearidades que influenciam no comportamento
das estruturas. Com isso, a seguir são apresentadas essas definições:
Não-linearidade Geométrica: Devido aos efeitos da mudança de geometria da
estrutura, a relação força-deslocamento deixa de ser linear. Os efeitos causados por essa

13
não-linearidade são chamados de efeitos de 2° ordem, e nos casos de deslocamentos
relativamente significativos ou mesmo com deslocamentos relativamente pequenos
combinados com disposições de cargas verticais elevadas, os problemas de instabilidade da
estrutura podem causar a ruína da mesma.
Não-linearidade Física: O material tem comportamento linear quando obedece à Lei
de Hooke, ou seja, quando a tensão é proporcional à deformação. Do contrário, diz-se que o
material se comporta não-linear.
É importante notar que mesmo quando o comportamento do material é elástico-
linear, a não-linearidade geométrica da estrutura demonstra não haver proporcionalidade
entre causa e efeito. No entanto, quando o próprio material se caracteriza pela não-
linearidade física, o problema se agrava mais ainda.
A interferência das não-linearidades é verificada através da relação entre momento e
curvatura. Essa relação pode ser compreendida considerando uma seção genérica de uma
barra (com rigidez EI) supostamente de comportamento elástico-linear submetida à flexão,
na qual através da Lei de Hooke, o momento fletor atuante (M) pode ser expresso:
r
EI
M  (2.1)
onde:
r = raio de curvatura do eixo da barra na configuração deformada
A expressão (4.1) pode ser escrita:
EI
M
r

1
(2.2)
O membro
r
1
representa a curvatura do eixo da barra na configuração deformada,
onde cada seção da barra terá um valor de curvatura, já que o momento fletor (M) varia ao
longo da barra.
Seja a Figura 2-1, na qual apresenta a configuração fletida de equilíbrio de uma barra
submetida à flexo-compressão:

14
Figura 2-1-Configuração fletida de equilíbrio na Flexo-compressão
Fonte: BACARJI (1993)
Considerando que a barra tenha uma reserva, denominada de momento interno ( M
i ), contra a ação do momento fletor externo atuante, pode-se dizer que para materiais que
tenham comportamento elástico-linear, o momento interno da barra varia linearmente em
função da curvatura (uma vez que a rigidez EI do material permanece constante para todas
seções da barra).
Como a cada configuração da linha elástica corresponde uma certa distribuição de
momentos fletores da barra, em cada seção atua o seguinte momento (variando de acordo
com a curvatura de cada seção):
EI
r
M
SEÇÃO







1
int (2.3)
No entanto, para materiais que tenham comportamento não-linear, assim como o
concreto, não existe mais proporcionalidade entre tensões e deformações, e o momento
interno não varia linearmente em função da curvatura. Assim, o momento interno para cada
seção é obtido do cálculo direto da resultante das tensões.
Na Figura 2-2 são mostrados os diagramas
r
M
1
int  para os casos de linearidade
física e não-linearidade física.

15
Figura 2-2-Diagramas Momento interno-curvatura
Fonte: SCADELAI (2004)
Para o caso de flexo-compressão de uma barra, o momento externo ( extM ) pode ser
expresso em função da linha elástica ( y ), da excentricidade inicial ( ie ) e da força normal de
compressão (N), da seguinte forma:
).( yeNM iext  (2.4)
É possível fazer relação entre momento externo ( extM ) e curvatura  r
1 pelo motivo
da curvatura ter relação com a linha elástica (y). Essa relação geralmente resulta numa não-
linearidade do diagrama momento externo- curvatura. Em princípio, o equilíbrio da barra
será estável se, aumentando o momento externo ocorrer um aumento do momento interno,
de tal forma que a condição de equilíbrio seja satisfeita ( extMM int ). Para que esse
equilíbrio possa realmente acontecer, as funções intM e extM devem necessariamente se
cruzar antes que ocorra o colapso do material (FUSCO, 1981).
Segundo Borges (1999), os efeitos de 2ª ordem devem ser considerados para a
análise de pilares de concreto armado submetidos à flexo-compressão, necessitando a
definição de uma relação entre a curvatura e os esforços. Tal relação é feita através de
diagramas força normal- momento fletor- curvatura, sendo que esses diagramas formam a
ferramenta básica de qualquer cálculo de verificação da estabilidade.
Mesmo que a elaboração do diagrama (M, N, 1/r) não seja facilmente executada, o
raciocínio se baseia na idéia de que a curvatura está relacionada com as deformações, e
estas ligam-se às tensões através de equações constitutivas. Conhecendo-se as tensões, a
deformação c e a curvatura 1/r, tem-se todos dados para se calcular o esforço normal e
momento fletor.

16
Considerando um pilar esbelto de concreto armado submetida a uma força de
compressão excêntrica N, conhecendo-se as dimensões, quantidade e distribuição de
armadura, tipo de aço e concreto e vinculações. Em termos de estabilidade de um elemento
estrutural, pode-se concluir que é fundamental determinar o máximo momento interno que a
seção pode desenvolver, em função da curvatura da deformada nessa mesma seção.
Figura 2-3-Seção submetida a Flexão Composta
Fonte: BORGES (1999)
Seja a seção fletida da Figura 2-3, com armadura conhecida. Por semelhança de
triângulos, pode ser escrito:
%35,00 
r
yc
c  (2.5)
%10 
r
ys
s  (2.6)
Para uma dada curvatura (1/r), a seção do pilar não esgotará sua capacidade
resistente enquanto não se atingir um valor de deformação máxima ( máx0 ) de forma que no
concreto ou no aço se alcance suas deformações específicas limites. Desse modo,
estabelece-se para cada curvatura arbitrada (1/r )i ), os vários pares de valores (M d ,N d )
correspondentes a essa curvatura, ou seja, obtém-se para uma dada curvatura, o grupo de
valores intercalados (1/r i , M d ,N d ) referentes à variação da deformação 0 , até se atingir
máx0 . Adotando outros valores para a curvatura e mantendo fixo os demais dados é obtido o
diagrama (M,N,1/r).

17
2.3 ESTABILIDADE GLOBAL DA ESTRUTURA
Para Bacarji (1993), antes do dimensionamento da estrutura deve ser feito um
estudo sobre a estabilidade global da edificação, com a finalidade de se obter uma avaliação
da sensibilidade da estrutura aos efeitos de segunda ordem globais causados pelos
deslocamentos horizontais dos nós e uma avaliação da rigidez que os elementos devem ter,
em função dos seus posicionamentos dentro dos sistemas estruturais. A partir destas
avaliações serão definidas os pilares contraventados e os elementos de contraventamento,
como serão definidas a seguir.
Para edifícios de múltiplos pavimentos, a estabilidade global da estrutura geralmente
é garantida pelos pilares, que são elementos destinados à estabilidade vertical (transmitindo
ações verticais ao solo através das fundações), e por outros elementos de maior rigidez, que
além de transmitirem as ações verticais, são responsáveis pela estabilidade horizontal do
edifício diante da ação do vento e de sismos (onde existirem). Esses elementos mais rígidos
garantem a indeslocabilidade dos nós dos pilares menos rígidos.
Partindo dessas premissas, os elementos verticais da edificação são classificados
em elementos de contraventamento e elementos (pilares) contraventados. Sendo assim, o
sistema de contraventamento é definido como o conjunto de elementos que proporcionarão
a estabilidade horizontal da estrutura e a indeslocabilidade ou quase indeslocabilidade dos
pilares contraventados (FUSCO,1981).
Os sistemas estruturais de contraventamento são compostos por paredes estruturais,
pórticos planos treliçados e núcleos estruturais. As paredes estruturais são empregadas
geralmente nas laterais, já os núcleos estruturais são mais utilizados nas caixas de
elevadores ou caixas de escadas.
De acordo com NBR 6118/2003 (item 15.4.3) dentro de uma estrutura existem
subestruturas de contraventamento com grande rigidez às ações horizontais, resistindo à
maior parte dos esforços decorrentes dessas ações. As lajes dos pavimentos do edifício
podem participar da estabilidade horizontal, ao atuarem como elemento de rigidez infinita no
seu próprio plano (denominado diafragma rígido), fazendo ligação e distribuindo as ações
horizontais entre os elementos de contraventamento, conforme a rigidez de cada um.

18
Figura 2-4-Pilares contraventados e elementos de contraventamento
Fonte: FUSCO (1981)
A NBR 6118/2003 (item 15.4.2) caracteriza a deslocabilidade dos nós das estruturas
de contraventamento da seguinte forma:
Estruturas de nós fixos
São as estruturas em que os deslocamentos horizontais dos nós são
pequenos e, com isso, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos
respectivos esforços de 1° ordem). Neste tipo de estrutura é suficiente considerar apenas os
efeitos locais e localizados de 2ªordem.
Estruturas de nós deslocáveis
São as estruturas em que os deslocamentos horizontais dos nós não são
pequenos, e sendo assim, devem ser considerados os efeitos globais de 2ª ordem
(superiores a 10% dos respectivos esforços de 1º ordem). Neste tipo de estrutura devem
considerar os efeitos globais, locais e localizados de 2° ordem.
É importante esclarecer que os efeitos de 2°ordem são aqueles que se somam aos
obtidos numa análise de 1° ordem, quando a análise do equilíbrio passa a ser realizada
considerando a estrutura na sua configuração deformada. Tais efeitos podem ser
desprezados quando não atingem 10% das reações e solicitações relevantes da estrutura.

19
Figura 2-5- Estrutura de nós fixos e nós deslocáveis
Fonte: FUSCO (1981)
Quando uma estrutura está sujeita a ações verticais e horizontais, seus nós
deslocam horizontalmente. Os efeitos globais de 2°ordem são os esforços causados por
esses deslocamentos. Nas barras da estrutura, os respectivos eixos não se mantêm
retilíneos, surgindo os efeitos locais de 2°ordem, que afetam principalmente os esforços
solicitantes ao longo dessas barras. Em princípio, todas as estruturas são deslocáveis, no
entanto, para convenção de análise, elas são classificadas em estruturas de nós fixos e
estruturas de nós móveis (SCADELAI, 2004).
Para o caso de estruturas de concreto pré-moldado com ligações viga-pilar
articulada, os efeitos globais de 2° ordem são de grande relevância. As estruturas pré-
moldadas em concreto que se enquadram nessa tipologia são aquelas em que os pilares
são engastados nas fundações por meio de ligações resistentes à flexão, atuando como
uma haste em balanço quando submetidas às ações horizontais.
Conforme a NBR 9062/2006 (item 5.1.2.1) as estruturas cuja estabilidade é
proporcionada por ação de pilares engastados na fundação (podendo estar associados a
vigas articuladas) está entre os sistemas estruturais possíveis usados nas estruturas pré-
moldadas visando garantir a estabilidade global, podendo atuar isoladamente.
Dessa forma, nessas estruturas os pilares são os únicos elementos que mantém a
estabilidade global da estrutura, ou seja, não atuam em combinação com outros sistemas de
contraventamento, citando como exemplo: galpão em estrutura de concreto pré-moldado

20
com sobrecarga devido à ponte rolante e edifícios de pequeno porte. Considerando nos dois
casos ligações viga-pilar articuladas e combinação entre as ações horizontais provenientes
do vento e relevantes valores de cargas verticais, pode-se afirmar que o pré-
dimensionamento adequado para os pilares dessas estruturas deve ser baseado nesses
aspectos.
Os pilares pré-moldados de concreto componentes dessas estruturas são
classificados como não contraventados, ou seja, são estruturas flexíveis e em sua análise
deve ser levado em consideração tanto a não-linearidade geométrica (efeitos globais de 2°
ordem) quanto a não-linearidade física (devido à fissuração do concreto) e os efeitos de
ligações. Para esses pilares devem ser assegurados que não ocorra a perda de estabilidade
nem esgotamento da capacidade resistente de cálculo.
O cálculo de estruturas de concreto se divide em duas etapas interligadas, que são o
dimensionamento e a análise. A partir do pré-dimensionamento da geometria geral da
estrutura e o estabelecimento das ações atuantes na mesma, o dimensionamento é
realizado com a fixação das resistências dos materiais, as dimensões das seções
transversais dos diferentes elementos, as correspondentes armaduras e suas distribuições,
de forma que seja garantido os estados limites últimos e de serviço, com a devida
segurança estrutural. Na posterior etapa de análise serão determinadas as solicitações que
permitem verificar as exigências dos estados limites (BUCHAIM, 1979).
De acordo com o comportamento da estrutura, a análise estrutural pode ser linear ou
não-linear. A análise linear é adequada quando há manutenção da geometria inicial como
referência de equilíbrio (linearidade geométrica) e da manutenção das propriedades físicas
específicas do material (linearidade física).
Segundo Buchaim (1979), na análise linear, o diagrama momento-curvatura é linear
sem qualquer limitação de deformação e resistência na análise, no entanto, mesmo que
sejam garantidas as condições de resistência no dimensionamento, a estrutura pode não ter
capacidade portante, se não houver ductibilidade suficiente (capacidade de rotação plástica)
de forma que se distribuam as solicitações.
Partindo da premissa de que na análise linear o comportamento do material obedece
à Lei de Hooke, então é válida a relação 






EI
M
r
1
e possibilitando traçar a reta que
representa a relação entre o momento-curvatura de cada seção do elemento, sendo a
rigidez (EI) do elemento estrutural definida como o coeficiente angular dessa reta.
No entanto, na NBR 9062/ 2006 (item 5.1.2.2) é recomendado que a análise da
estabilidade das estruturas pré-moldadas de concreto seja tratada conforme os aspectos

21
dispostos na NBR 6118/2003, respeitando as particularidades do sistema. Entre as
particularidades da estrutura de concreto pré-moldado está a obrigatoriedade da verificação
dos efeitos de 2° ordem, considerando a não- linearidade física dos materiais no caso de
sistemas estruturais onde a estabilidade é proporcionada pela ação de pilares engastados
na fundação com vigas articuladas, onde o fator de restrição à rotação é menor ou igual a
0,15. Neste caso, a não-linearidade física dos pilares pode ser considerada por meio de uma
aproximação linear do problema com o uso da rigidez secante da relação momento-
curvatura dos pilares conforme ABNT NBR 6118. Além disso, deve ser verificado a
capacidade rotacional da ligação para as situações de estado limite de serviço (ELS) e
estado último (ELU) buscando evitar o surgimento de esforços não previstos na região da
ligação.
Resumindo, para o tipo de estrutura pré-moldada cuja estabilidade é garantida
somente pelos pilares engastados na base, deve ser realizada a análise estrutural não-linear
proveniente da alteração da geometria e alteração das propriedades físicas do material
estrutural e efeitos da ligação entre os elementos estruturais.
A análise não-linear contempla o comportamento não-linear dos materiais concreto e
aço (onde a fissuração e a plastificação são incluídas) e os efeitos de 2° ordem. Neste tipo
de análise, o princípio da superposição de efeitos perde a validade.
2.4 AVALIAÇÃO DOS EFEITOS GLOBAIS E EFEITOS LOCAIS DE 2°
ORDEM
Para avaliar os efeitos globais de 2°ordem, a NBR 6118 recomenda a utilização do
coeficiente z , podendo ser desprezados tais efeitos para 1,1z e para valores no
intervalo 3,11,1  z as forças horizontais na combinação última devem ser majoradas por
z95,0 para se estimar os deslocamentos e esforços de 2° ordem. Este procedimento é
válido para estruturas com mais de 4 pavimentos. No entanto, para estruturas pré-moldadas
com ligações articuladas este procedimento pode ser utilizado diretamente e a
deslocabilidade da estrutura depende da somatória das rigidezes dos pilares isolados em
balanço. A expressão do z é dada:
dTOT
dTOT
z
M
M
,,1
,
1
1


 (2.7)

22
Onde:
dTOTM , é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura,
na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais
de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1° ordem.
dTOTM ,,1 é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as
forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à
base da estrutura.
Ao contrário da não-linearidade geométrica, a não-linearidade física é uma
propriedade intrínseca do material. A não-linearidade física resulta na não proporcionalidade
entre causa e efeito (tensão aplicada e deformação do material) mesmo na teoria de 1°
ordem. Portanto, se tratando de estruturas de concreto armado, a não-linearidade física
resulta da resposta não linear do aço e do concreto nos respectivos diagramas de tensão-
deformação, sendo que o concreto é sensível a fatores como a fissuração.
Conforme é expresso na NBR 6118 (item 15.3.1), o efeito da não-linearidade física
para barras submetidas à flexão composta, em geral, pode ser considerado através da
elaboração da relação momento-curvatura para cada seção, sendo supostamente
conhecidos os valores da taxa de armadura e da força normal atuante. Como o
comportamento do material é não-linear, o diagrama Mx1/r não apresenta proporcionalidade
não permanecendo constante o valor do módulo de elasticidade (E). Os valores de
momentos de inércia (I) das seções transversais das barras variam com a intensidade das
solicitações, em virtude do aparecimento de fissuras nos elementos estruturais. Nesse caso,
pode ser utilizada em processos simplificados para flexão composta normal ou oblíqua a
rigidez secante (EI SEC ) obtida através do diagrama momento-curvatura (Figura 2-6).
De acordo com o item 15.7.3 da NBR 6118, para a análise dos esforços globais de 2°
ordem pode ser considerada a não-linearidade física de modo aproximado:
IEEI CISEC 4,0)(  para vigas com ss AA ' e IEEI CISEC 8,0)(  para pilares, onde I é o
momento de inércia da seção transversal de concreto e CIE é o módulo de elasticidade
longitudinal inicial do concreto.

23
Figura 2-6- Rigidez secante
(Fonte: Figura 15.1, NBR 6118:2003)
Para a determinação dos efeitos locais de 2°ordem pode ser utilizado o Método Geral
ou métodos aproximados. O método geral apresenta resultados próximos do
comportamento real da estrutura para análise da estabilidade de peças comprimidas, na
flexão normal composta, pois considera a não-linearidade física do material e a não-
linearidade geométrica da estrutura. No entanto, essa aproximação requer cálculos
refinados baseados na equação diferencial da curvatura. Os efeitos da alteração da
geometria são agregados nas equações diferenciais que regem o comportamento de barra e
a dependência entre curvatura e cargas são consideradas (BACARJI, 1993).
O princípio do Método Geral se faz pela consideração de um pilar engastado na base
e livre no topo, sujeito a uma força excêntrica de compressão. O método, que é obrigatório
para 140 , consiste na análise da 2° ordem efetuada com a discretização adequada da
barra, considerando a não-linearidade física através da relação momento-curvatura real para
cada seção, e a considerando a não-linearidade geométrica de maneira não aproximada
calculando a curvatura a partir dos deslocamentos reais da estrutura. O processo se resume
em soluções iterativas das equações diferenciais, até que o equilíbrio entre esforços
internos e externos seja verificado para todas seções da barra, ou seja, estuda-se o
comportamento das estruturas de concreto armado à medida que se dá o aumento do
carregamento ou da excentricidade do carregamento.
Com a aplicação da carga de compressão excêntrica o pilar se deforma aparecendo
novos momentos, que por sua vez provocam novas deformações e novos momentos. Se
esses efeitos externos (compressão e flexão) não forem superiores à capacidade de suporte
da barra, o processo continua até que seja encontrado um estado de equilíbrio para todas

24
seções. No entanto, se a capacidade de suporte da barra for menor que os efeitos externos,
o pilar perde estabilidade. A estabilidade do pilar será verificada quando o mesmo parar
numa deformada estável e sem haver, na seção crítica, deformação convencional de ruptura
do concreto ou deformação plástica excessiva do aço. O método geral é aplicável a
qualquer tipo de pilar, inclusive nos casos em que a dimensão da peça, a armadura ou a
força aplicada, são variáveis ao longo do seu comprimento, mas devido sua aplicação ser
trabalhosa, exige-se a utilização de processos numéricos.
Além do método geral para verificação da estabilidade, a NBR 6118 (item15.8.3.3)
apresenta métodos aproximados, cujas aproximações se referem à não-linearidade
geométrica (supondo a deformada da barra como senoidal) e à não-linearidade física. No
caso do “Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada”, a não-linearidade física é
considerada por uma expressão aproximada para a curvatura na seção crítica, já no
“Método do Pilar-Padrão acoplado a diagramas (M,N,1/r)” a aproximação da não-
linearidade física é melhorada considerando como valor para a curvatura da seção crítica
aqueles obtidos de diagramas (M,N,1/r). Existe também o método do pilar-padrão
considerando a não-linearidade física através de uma rigidez  aproximada.
Esses métodos aproximados se baseiam no processo do pilar-padrão, considerando
uma barra engastada na base e livre no topo (Figura 2-1), com uma curvatura senoidal
conhecida. A verificação da segurança é feita arbitrando-se valores de deformações S e c
de forma que não ocorra o estado limite último de ruptura ou alongamento plástico
excessivo na seção mais solicitada da peça (FUSCO, 1981).
A desvantagem do processo do pilar-padrão está no fato de que seus resultados são
precisos apenas no caso em que o pilar tem seção constante, armadura constante, e o
carregamento não é composto por forças tranversais, e dessa forma, os resultados são bons
somente quando a linha elástica for muito próxima da senoidal. Para os casos em que isso
não ocorre, pode-se optar pelo processo do pilar-padrão melhorado, no qual através de uma
correção do método pode-se aplicar o mesmo para barras submetidas a carregamento
transversal (BORGES, 1999).
Além da verificação da estabilidade da estrutura no estado limite último, deve ser
feita a verificação quanto ao estado limite de serviço para estrutura em concreto pré-
moldado, considerando as fases que os elementos podem passar (podendo ser
desfavoráveis ao ELU e ELS). Geralmente as fases de fabricação, manuseio,
armazenamento, transporte e de montagem exigem o dimensionamento e verificação dos
elementos. Conforme exposto na NBR 9062/2006 (item 5.4.3) a verificação do estado limite
de deformação excessiva da estrutura deve ser sempre realizada para estruturas pré-

25
fabricadas, utilizando as combinações de serviço. Esta verificação é feita através de
deslocamentos limites para a estrutura.
2.5 CONSIDERAÇÃO DA RIGIDEZ DAS LIGAÇÕES
Entre as propriedades das ligações dos elementos pré-moldados de concreto,
destacam-se: a resistência e a rigidez. A resistência da ligação é função da resistência dos
materiais que compõem a ligação. No entanto, no caso da ligação ser superdimensionada, a
geometria passa a ter uma maior influência na resistência. As ligações são caracterizadas
em relação à rigidez à flexão em função do comportamento momento versus rotação, onde
a rigidez da ligação é obtida através do coeficiente angular da curva M E - E , sendo M E o
momento fletor interno à ligação e E a rotação da ligação (Figura 2-7).
Figura 2-7- Exemplo ilustrativo da relação momento-rotação
Fonte: Figura 5.2, NBR 9062:2006
Segundo Queiros (2007), a rigidez da ligação influencia na estabilidade das
estruturas, e sendo assim, a consideração das ligações causa uma modificação nos efeitos
de segunda ordem sobre a estrutura (Figura 2-8). A região da ligação se concentra elevadas
tensões e as deformações e deslocamentos podem não ser desprezíveis.

26
Figura 2-8- Consideração da ligação semi-rígida entre pilar-fundação
Fonte: FERREIRA (2003)
A NBR 9062/2006 (item 5.1.2.3) define o fator de restrição à rotação R que
determina a rigidez relativa de cada ligação da extremidade do elemento conectado, através
da seguinte expressão:
efSEC
SEC
R
LR
EI)(3
1
1

 (2.8)
Sendo que a rigidez secante da viga ( SECEI) é a mesma definida pela NBR 6118,
efL é o vão efetivo entre os apoios e SECR é a rigidez secante ao momento fletor da ligação,
obtido através do diagrama M versus  . A rigidez secante SECR é utilizada para representar
a resposta não-linear das ligações, ou seja, transforma um problema não-linear em um
problema linear através da utilização de uma reta secante.
Figura 2-9- Consideração da ligação semi-rígida entre viga- pilar.
Fonte: FERREIRA ( 2003)

27
O fator de restrição R é um parâmetro que relaciona a rigidez da ligação em
relação à rigidez da viga conectada adjacente, variando entre 0 (para articulação) e 1 (para
o engaste). A partir do fator de restrição R , Ferreira et al (2002) apresenta uma proposta
de classificação das ligações semi-rígidas de estruturas pré-moldadas em cinco zonas
distintas. De acordo com essa classificação, o comportamento semi-rígido das ligações deve
ser considerado na análise estrutural, com valores de engastamentos parciais entre 20% e
90%. Estruturas com ligações perfeitamente rígidas ou com ligações semi-rígidas com
restrição alta podem ser consideradas com nós fixos ou indeslocáveis, enquanto as
estruturas com ligações semi-rígidas de menor restrição normalmente são consideradas de
nós móveis.
2.6 FORMULAÇÃO SIMPLIFICADA PARA PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA
SEÇÃO
Bacarji (1993) propôs uma formulação simplificada para o pré-dimensionamento de
pilares, considerando a força normal decorrente das cargas verticais e os efeitos dos
momentos fletores. O conceito envolvido nessa formulação é que, para efeito de pré-
dimensionamento, imagina-se que a flexão composta nas seções dos pilares possa ser
transformada numa compressão centrada equivalente. Sendo assim, a força normal
centrada equivalente na seção do pilar é expressa da seguinte forma:
kd γ.N*N  (2.9)
Onde:
kN é a força normal nominal no pilar, a qual pode ser estimada a partir do processo
das áreas de influência. Deve-se interpretar este valor como a carga que chega à seção do
pilar na fundação, ou seja, a carga resultante de todos pavimentos.
 é um coeficiente adimensional que considera o efeito dos momentos fletores, no
qual já estão embutidos os coeficientes de majoração das ações do Estado Limite Último.Os
valores do coeficiente  variam de acordo com o posicionamento dos pilares na edificação,
conforme a Tabela 1.

28
Tabela 1: Coeficiente adimensional  proposto por BACARJI (1993)
Fonte: BACARJI (1993)
O cálculo da seção transversal do pilar (supostamente submetido à compressão
centrada) considerando a fase de pré-dimensionamento é realizado, no estado limite último,
igualando-se a solicitação de cálculo ( *dN ) com a somatória das resistências à compressão
de cálculo do concreto e do aço da armadura:
S2S.Ccdd .σA).A(0,85.f*N  (2.10)
Dessa forma, a área bruta da seção transversal do pilar pode ser expresso por:
S2cd
d
C
ρ.σ0,85.f
*N
A

 (2.11)
Sendo:
 a taxa de armadura longitudinal total no pilar, devendo ser adotada inicialmente na
fase de pré-dimensionamento. São recomendados valores entre 2% e 2,5% (GIONGO,
1994).
cdf é a resistência à compressão de cálculo do concreto.
2s é a tensão de compressão nas barras das armaduras para a deformação de
0,2%. Para o aço CA-50, essa tensão corresponde a 42 kN/cm².
Neumann (2008) ressalta que essa formulação proposta por Bacarji (1993) se baseia
em resultados de dimensionamento de pilares segundo os procedimentos da versão da NBR
6118 de 1978. No entanto, com a versão atual de 2003 surgiram mudanças no
dimensionamento, como por exemplo, modelos mais refinados para consideração dos
efeitos de 2°ordem locais, as alterações na consideração dos efeitos das imperfeições
geométricas e as alterações nas taxas de armadura máxima e mínima e cobrimentos
mínimos. Entre as modificações que a NBR 6118/2003 trouxe, o autor destaca como
principal mudança para o dimensionamento a obrigatoriedade da consideração das ações
do vento, que refletem no consumo das armaduras nos pilares.

29
Conforme essas alterações de normalização apresentadas, Neumann (2008) realizou
simulações numéricas que permitiram ajustar os coeficientes adimensionais  para pilares,
tendo como base uma estrutura de edifício comercial hipotético destinado a escritórios, com
vãos máximos de 6,0 m, pé-direito de 2,80 m. Para obtenção de um intervalo de valores
para os coeficientes de pré-dimensionamento, a mesma edificação foi analisada
considerando 6, 8, 10 e 12 pavimentos.
Com base no que foi apresentado, este trabalho propõe um estudo sobre
procedimentos de pré-dimensionamento da seção de pilares pré-moldados de concreto em
duas tipologias de edificações: edifício de médio porte com ligação viga-pilar articulada e
edifício de múltiplos pavimentos com ligação viga-pilar semi-rígida, considerando de modo
simplificado, na análise estrutural, a não-linearidade física e geométrica e os efeitos das
ligações, verificando o atendimento aos requisitos de estabilidade global da estrutura no
Estado Limite Último e as verificações do Estado Limite de Serviço (deslocamentos limites).

30
3. METODOLOGIA
3.1 CLASSIFICAÇÃO DA PESQUISA
Esta pesquisa pode ser classificada como uma revisão bibliográfica, levando em
conta que faz um levantamento sobre as diferentes maneiras de se considerar as não-
linearidades físicas e geométricas e os efeitos das ligações na análise estrutural. A presente
pesquisa ainda pode ser classificada como aplicada, tendo em vista que serão realizados
exemplos práticos pretendendo utilizar as considerações feitas em diferentes bibliografias.
3.2 ESTUDO DE CASO
No presente trabalho serão analisados os seguintes casos:
 Estrutura pré-moldada em concreto com ligação viga-pilar articulada (Figura
3-1) com 3 e 4 pavimentos.
 Estrutura pré-moldada em concreto com ligação viga-pilar semi-rígida (Figura
3-2) com 5 e 7 pavimentos.
Figura 3-1- Ligação viga-pilar articulada
Fonte: ELLIOTT (2002)

31
Figura 3-2 Ligação viga-pilar semi-rígida
Fonte: FERREIRA (2010)
A Figura 3-3 mostra a planta que será utilizada para o desenvolvimento deste
trabalho, com tramos de vão L=750cm e alterando somente o número de pavimentos.
Figura 3-3-Planta base para desenvolvimento da pesquisa
Fonte: Acervo do autor

32
3.3 PLANEJAMENTO DA PESQUISA
O desenvolvimento deste trabalho ocorrerá conforme as seguintes etapas:
 Utilização do processo das áreas de influência para a estimativa das cargas
verticais nos pilares;
 Pré-dimensionamento das seções transversais dos pilares através da
formulação simplificada proposta por Bacarji (1993), considerando o
posicionamento dos pilares na planta;
 Determinação da intensidade da ação do vento sobre a edificação conforme
NBR 6123:1988;
 Análise da estabilidade das diferentes estruturas por meio do processo
aproximado com o coeficiente z com combinações no E.L.U. , levando em
conta os efeitos de segunda ordem e considerando de forma simplificada a
não-linearidade física através da redução da rigidez EI dos elementos
estruturais (conforme encontrado no levantamento bibliográfico), para se
considerar o efeito da fissuração do concreto, da fluência e a presença de
armadura. Para a consideração dos efeitos das ligações semi-rígidas será
utilizado o fator de restrição R , calculado através de dados disponíveis de
uma ligação típica que já foi estudada experimentalmente no NETPRE-
UFSCar.
 Determinação da armadura da seção transversal do pilar através dos esforços
solicitantes (M e N) e o diagrama de interação Momento-Normal utilizando o
programa Normal versão 1.3;
 Verificação dos deslocamentos horizontais da estrutura, respeitando os
limites de deslocamentos conforme a NBR9062:2006 para a combinação
freqüente no Estado Limite de Serviço;
 Análise dos resultados.
3.4 FERRAMENTAS UTILIZADAS
Para a determinação dos deslocamentos horizontais da estrutura para a análise
global no Estado Limite Último e verificação dos deslocamentos horizontais no Estado Limite
de Serviço será utilizado o Ftool (Versão 2.12) que se trata de um programa gratuito e um
dos mais conhecidos para análise estrutural bidimensional. Para verificação da envoltória de

33
resistência da seção dos pilares para uma dada disposição das barras de aço será utilizado
o programa livre Normal (Versão 1.3), que permite o dimensionamento de seções
submetidas a flexão normal composta.
3.5 ANÁLISE DOS RESULTADOS
Será feita uma análise comparativa entre os resultados obtidos pela formulação
proposta por Bacarji, pela estabilidade global ( z ) e pelos deslocamentos limites (E.L.S.)
conforme a NBR 9062-2006. Essa comparação será realizada com base nas dimensões da
seção (largura e altura) encontradas por cada método de pré-dimensionamento, levando em
consideração dois tipos de ligações entre os elementos estruturais (articulada e semi-rígida)
e edificações com 3, 4, 5 e 7 pavimentos.

34
4. CARACTERÍSTICAS DOS
MODELOS ESTRUTURAIS
Para o desenvolvimento do trabalho proposto, primeiramente devem ser definidos os
parâmetros relevantes para análise estrutural.
4.1 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS
As estruturas que serão analisadas neste trabalho têm características geométricas
semelhantes, as quais serão adotadas inicialmente para que seja realizado o pré-
dimensionamento dos pilares e a posterior análise da estabilidade global. A estrutura-base
trata-se de uma edificação comercial, composta por peças de concreto pré-moldado. O vão
das vigas é de 7,50m e a estrutura tem pé-direito de 3,50m. O peso dos revestimentos e
pisos será de 1,0 kN/m² de laje e, no levantamento das cargas verticais, não serão
diferenciados os carregamentos dos pavimentos e da cobertura.
4.2 SISTEMA ESTRUTURAL
As estruturas analisadas são compostas por lajes, vigas e pilares. Será adotado a
laje alveolar pré-moldada, com espessura de 20,0 cm e capa de concreto com 5,0 cm de
espessura. Todas as vigas possuem seção de 20,0 x 50,0 cm e conforme locadas em
planta, estão alinhadas com os pilares formando os pórticos. Considerando a análise
estrutural na fase em que os elementos pré-moldados estão consolidados, então a altura da
viga será a somada com a espessura da laje e a capa de concreto, ou seja, 75cm.
4.3 ESPECIFICAÇÃO DOS MATERIAIS ESTRUTURAIS
O concreto utilizado tem resistência de 25 MPa para vigas e pilares. O módulo de
elasticidade adotado foi de 30.000 Mpa. A classe de agressividade ambiental será a classe
II, com agressividade moderada, típico de ambiente urbano de acordo com a NBR 6118
(2003). O aço que compõe as armaduras longitudinais dos pilares é o CA-50.

35
4.4 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DOS PILARES (EXPRESSÃO
SIMPLIFICADA)
O pórtico central que será analisado neste trabalho é o pórtico formado pelo eixo 2
(destacado na planta da edificação). Os pilares de extremidade serão denominados P1 e
P4, enquanto os pilares centrais, P2 e P3. A Figura 4-1 o esquema do pórtico central:
Figura 4-1- Esquema do pórtico a ser analisado
Inicialmente é realizada uma estimativa do carregamento por pavimento, a partir da
análise das cargas permanente e acidentais sobre a estrutura. Para o pavimento do edifício
deste trabalho, estima-se que a carga distribuída na laje do pavimento seja de 12 kN/m².
Assim, tem-se:
²/0,12 mkNqg 
Multiplicado este valor pela área de influência da laje sobre cada pilar e pelo número
de pavimentos é encontrado o valor do carregamento que solicita a seção mais carregada
do pilar (no térreo):
nAqgN ik  )( (4.1)
Onde:

36
kN Carga normal estimada para pré-dimensionar o pilar ;
 )( qg carregamento estimado sobre o pavimento ;
iA Área de influencia sobre o pilar ;
n número de pavimentos.
Para os pilares extremos (P1 e P4), a área de influência é:
²13,28
2
50,750,7
mAi 


Para os pilares centrais (P2 e P3), a área de influência é:
²3,565,75,7 mAi 
Assim, a carga normal para o pilar P1, para o modelo estrutural de 4 pavimentos
será:
kNnAqgN ik 351.1413,2812)( 
De acordo com a formulação proposta por Bacarji (1993), para se transformar uma
flexão composta em compressão centrada equivalente deve-se multiplicar o valor da carga
normal na base do pilar por um coeficiente  que varia em função da posição do pilar na
planta da edificação.
Conforme a Tabela 1, para o caso de pilar de extremidade, o valor desse coeficiente
é de 2,2. Então obtem-se:
kNNN kd 972.2351.12,2
*
 
Utilizando a expressão 4.11, com o valor de taxa de armadura para o pilar %2 ,
resistência à compressão de cálculo (
4,1
25
cdf ) e tensão de compressão nas barras das
armaduras ²/422 cmkNs  é possível encontrar o valor da área de concreto da seção do
pilar ( cA ). Considerando que serão utilizados pilares com geometria quadrada, a seguir é
mostrada a Erro! Fonte de referência não encontrada. com as dimensões dos pilares de
xtremidade (P1) e pilares centrais (P2) calculadas através da expressão 4.11.

37
Tabela 2-Dimensões dos pilares do pórtico analisado
n° PAV Pilar Nk(KN) ϒ Nd(KN) Ac(cm²) h(cm)
bxh adotado
(cm)
3
P01 1014 2,2 2230,8 838,20 29 30x30
P02 2027 1,8 3648,6 1370,92 37 40x40
4
P01 1351 2,2 2972,2 1116,77 33 35x35
P02 2702 1,8 4863,6 1827,44 43 40x40
5
P01 1689 2,2 3715,8 1396,17 37 40x40
P02 3378 1,8 6080,4 2284,64 48 50x50
7
P01 2365 2,2 5203 1954,97 44 45x45
P02 4730 1,8 8514 3199,03 57 60x60

38
5. AÇÕES ATUANTES NA
ESTRUTURA
Após o pré-dimensionamento dos pilares pelo processo da área de influência é
preciso encontrar os valores dos carregamentos verticais atuantes na estrutura, os quais
serão separados em ações permanentes e acidentais para facilitar a combinação de ações,
e também determinar as ações do vento sobre a edificação (ação horizontal). Parte-se do
levantamento dos carregamentos sobre as lajes, e então encontra-se a reação das lajes
sobre as vigas. O próximo passo é encontrar a reação das vigas sobre os pilares.
5.1 AÇÕES VERTICAIS
5.1.1 CARREGAMENTO PERMANENTE
Peso próprio da laje alveolar:
5,370,020,0257,0,1  pavimentoconcretoLAJE Aeg 
²m
kN
Capa de concreto:
25,105,025inf,1  luenciaconcretocapa Leg 
²m
kN
Peso próprio da alvenaria de vedação distribuído na viga:
3,815,03,318,1  paredealvalv Ag 
m
kN
Carregamento devido a regularização do piso e revestimento:
0,12 g
²m
kN
Peso próprio da viga:
50,220,050,025,1  LAg ConcretoViga 
m
kN
5.1.2 SOBRECARGA DE UTILIZAÇÃO

39
Devido ao uso da edificação, a NBR 6120 (1980) indica valores mínimos das ações
variáveis normais em função do ambiente arquitetônico. Supondo que a edificação analisada
neste trabalho será utilizada para abrigar escritórios comerciais, a ordem das ações
variáveis é de 2,0 kN/m².A partir do levantamento das ações atuantes por m² da laje no
pavimento é possível encontrar a reação das lajes sobre as vigas. Para se realizar este
passo é preciso determinar a área de influência da laje sobre cada viga. Tais áreas de
influência dependem da vinculação das lajes, que neste caso, por se tratar de lajes pré-
moldadas apoiadas em uma única direção, considera-se que metade da laje apoia sobre
uma viga e a outra metade sobre a vida da outra extremidade, como demonstra a Figura
5-1.
Figura 5-1 Áreas de influência sobre a viga
5.1.3 CARREGAMENTO SOBRE A VIGA
Como a finalidade é encontrar a reação das lajes sobre a viga central, e
considerando que os carregamentos atuantes na laje estão distribuídos por unidade de área
(m²), então basta multiplicar esses carregamentos pela largura de influência da laje sobre a
viga, que neste caso é 7,50m. Assim, pode-se calcular o carregamento permanente e
acidental por unidade de comprimento da viga:

40
 Carregamento permanente da laje:
0,4350,7)0,125,150,3(50,7)( 21  gggLaje
m
kN
 Peso próprio da alvenaria:
3,8alvg
m
kN
 Peso próprio da viga:
m
kN
 Somatório das cargas permanentes na viga:
80,53_  VigaalvLajevigaTotal gggg
m
kN
 Carregamento acidental da laje:
1550,7250,7  qqLaje
m
kN
5.1.4 REAÇÃO DA VIGA SOBRE OS PILARES
Utilizando o modelo de viga contínua é possível encontrar o valor da reação da viga
sobre os pilares. A viga central tem 3 tramos e se apoia nos pilares P1, P2, P3 e P4. Para
encontrar o valor das reações de apoio foi necessário utilizar o programa Ftool, e o esquema
estrutural é mostrado na Figura 5-2:
Figura 5-2-Modelo de viga contínua
A somatória das reações nos pilares foi dividida em reações permanentes e reações
acidentais.
1687gR kN
338qR kN
50,2Vigag

41
Os valores das reações de apoio mostrados anteriormente correspondem às reações
do pórtico central. Os pórticos das extremidades recebem metade do carregamento do
pórtico central. Sendo assim, o carregamento total no pavimento pode ser encontrado,
considerando que há 4 pórticos centrais e 2 pórticos extremos (equivalentes à 1 pórtico
central), ou seja, 5 vezes os valores das reações do pórtico central:
843516875 pavimentog PavimentokN /
16903385 pavimentoq PavimentokN /
5.2 AÇÃO HORIZONTAL
5.2.1 INTENSIDADE DA AÇÃO DO VENTO
Para a análise da estabilidade global no Estado Limite Último e dos deslocamentos
horizontais globais no Estado Limite de Serviço é necessário determinar a intensidade da
ação do vento sobre a edificação. Para os modelos estruturais a serem analisados neste
trabalho será considerado a ação do vento na direção da menor dimensão em planta da
edificação, ou seja, o vento à 90°. Nesta direção a ação do vento tem maior intensidade,
pois é proporcional a área da fachada na qual o vento incide e além disso se trata da menor
dimensão da edificação em planta, ou seja, onde a rigidez dos pórticos são menores e este
fato afeta a estabilidade global da estrutura.
 Velocidade característica
A velocidade característica para cada uma das alturas é encontrada em função da
velocidade básica e os fatores S1 , S2 e S 3 .
(5.1)
 Velocidade básica do vento (V 0 )
Utilizando o mapa de isopletas do vento no Brasil (NBR 6123:1988), verifica-se que
na região de São Carlos, a velocidade básica do vento pode ser tomada aproximadamente
como V .
 Fator topográfico (S1 )
Como esse caso se trata de terrenos planos e fracamente acidentados, o fator
topográfico a considerar é S1 =1,0.
)/(321 0 smVSSSVk 
0 sm/40

42
 Fator S2
A edificação se enquadra com as características da categoria IV, considerando que a
edificação está em região densamente construída. Como a maior dimensão da edificação
está entre 20m e 50m, ela pertence à classe B.
Sendo o fator encontrado em função da altura acima do terreno (H), da classe e
categoria da edificação.
 Fator S3
Se tratando de uma edificação para comércio, de acordo com a norma, considera-se
o fator estatístico S 3 =1,0.
 Pressão de obstrução (q)
Com base nos valores da velocidade característica do vento (Vk) é possível
determinar o valor da pressão dinâmica do vento que atua na altura de cada laje.
(5.2)
 Coeficiente de arrasto (C )
Considerando uma situação de vento de baixa turbulência, o coeficiente de arrasto é
obtido em função das relações entre a altura da edificação (h), e as dimensões em planta do
pavimento.
Para o vento a 90°, utilizando o ábaco para baixa turbulência e variando somente a
altura da edificação, foi encontrado os valores do coeficiente de arrasto para cada modelo
estrutural, como demonstra a Tabela 3.
Tabela 3-Coeficiente de arrasto
N° Pavimentos Coeficiente arrasto(90°)
3 1,15
4 1,15
5 1,15
7 1,17
2S
2
613,0 kvento Vq 
a

43
Com os dados de pressão de obstrução, área de influência e coeficiente de arrasto é
possível determinar os valores da força de arrasto atuante no nível de cada laje. A área de
influência por pavimento é igual à largura da fachada (37,5m) multiplicado pelo pé-direito
(3,50m). No entanto, na laje do último pavimento a área de influência é menor, pois não
existe parede acima desta última laje, e o vento incide na metade da área do pavimento. A
laje por ter uma elevada rigidez na direção da força do vento (plano horizontal) é
considerada como um diafragma rígido e tem a função de distribuir a força de arrasto entre
os pórticos. Na direção em que o vento atua há 6 pórticos de mesma rigidez, por isso cada
pórtico recebe o mesmo valor de ação horizontal do vento.
aF Força de arrasto que atua na laje do pavimento considerado;
PórticoaF Força de arrasto que atua no pórtico, equivalente a
6
1
de aF
Tabela 4- Força de arrasto para modelo com 3 pavimentos.
3 Pavimentos - Força de arrasto Fa
Pav. zacum. (m) S1 S2 Vk (m/s) q (kN/m²) A (m²) Fa (kN) FaPórtico (kN)
1 3,50 1,00 0,76 30,4 0,57 131,25 93,7 15,6
2 7,00 1,00 0,83 33,2 0,68 131,25 104,5 17,4
3 10,50 1,00 0,85 34,0 0,71 65,63 53,5 8,9
1 3,50 1,00 0,76 30,4 0,57 131,25 93,7 15,6
2 7,00 1,00 0,83 33,2 0,68 131,25 104,5 17,4
3 10,50 1,00 0,85 34,0 0,71 131,25 109,5 18,3
4 14,00 1,00 0,87 34,8 0,74 65,63 56,0 9,3

44
1 3,50 1,00 0,76 30,4 0,57 131,25 93,7 15,6
2 7,00 1,00 0,83 33,2 0,68 131,25 104,5 17,4
3 10,50 1,00 0,85 34,0 0,71 131,25 109,5 18,3
4 14,00 1,00 0,87 34,8 0,74 131,25 116,0 19,3
5 17,50 1,00 0,90 36,0 0,79 65,63 60,0 10,0
Tabela 7-- Força de arrasto para modelo com 7 pavimentos.
1 3,50 1,00 0,76 30,4 0,57 131,25 93,7 15,6
2 7,00 1,00 0,83 33,2 0,68 131,25 104,5 17,4
3 10,50 1,00 0,85 34,0 0,71 131,25 109,5 18,3
4 14,00 1,00 0,87 34,8 0,74 131,25 116,0 19,3
5 17,50 1,00 0,90 36,0 0,79 131,25 122,6 20,4
6 21,00 1,00 0,92 36,8 0,83 131,25 130,9 21,8
7 24,50 1,00 0,96 38,4 0,90 65,63 68,2 11,4
5.3 COMBINAÇÕES DAS AÇÕES
Com posse dos valores das ações atuantes nos modelos estruturais, o próximo
passo é utilizá-los nas combinações das ações ( no E.L.U. e no E.L.S.) dispostas na NBR
8681 (2003).
A fórmula simplificada para combinações últimas normais é:
E.L.U )..(. 2 .01 Qjk
n
j jKQqGKgd FFFF  
  (5.3)
Onde
dF Força nominal para o dimensionamento após a combinação das ações.
GKg F. Parcela da carga permanente com o coeficiente de majoração dos
esforços ( )40,1g .

45
  
)..( 2 .01 Qjk
n
j jKQq FF  Parcela da carga acidental com o coeficiente de
majoração 40,1q , onde KQF 1 é a ação variável principal (que não sofre a influência de
coeficientes redutores 0 devido à probabilidade de ocorrência simultânea das duas ações),
e QjkF. é a ação variável secundária que sofre a redução do fator de combinação 0 .
De acordo com a NBR 6118 (2003), o valor do coeficiente redutor para o vento é
60,00  e para sobrecarga de utilização em edifícios comerciais 70,00  . Sendo assim,
as duas combinações últimas serão ( 1dF combinação 1 e 2dF combinação 2):
aPavimentoPavimentoaPavimentoPavimentod FQGFQGF  84,04,14,1)60,0.(40,140,11
aPavimentoPavimentoaPavimentoPavimentod FQGFQGF  4,198,04,1)70,0.(40,140,12
Para a realização do Estado Limite de Serviço será verificado, na verdade, os
deslocamentos horizontais globais, já que a preocupação maior é o pré-dimensionamento
dos pilares. Segundo o item 5.4.3.3 da NBR 9062 (2006) os deslocamentos horizontais
globais da estrutura de elementos pré-moldados em combinação frequente devem obedecer
às prescrições da Tabela 2 do mesmo item.
Figura 5-3- Deslocamentos horizontais globais máximos
Fonte: Tabela 2, NBR 9062 (2006)

46
Figura 5-4 Limites para deslocamentos globais (múltiplos pavimentos)
Fonte: Figura 5.3, NBR 9062 (2006)
A combinação frequente considerando somente a ação horizontal do vento é:
E.L.S. kqserd FF ,11,
. (5.4)
Onde:
serdF ,
Força utilizada para verificar o deslocamento horizontal;
.1 Fator de combinação frequente do estado limite de serviço;
kqF ,1. Força horizontal do vento.
De acordo com a NBR 6118 (2003), o valor do coeficiente redutor 1 é de 0,30 para
ação do vento, assim:
Pórticoaserd FF _,
30,0 

47
6. PROCESSO SIMPLIFICADO PARA
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DOS
PILARES
6.1 SIMPLIFICAÇÕES NOS MODELOS ESTRUTURAIS
Para o pré-dimensionamento dos pilares será necessário a consideração aproximada
da não-linearidade física, simplificação da rigidez da ligação viga-pilar e a não-linearidade
geométrica.
A princípio, a simplificação da não-linearidade física será feita conforme determina a
NBR 6118 (2003), ou seja, para a viga será considerada uma redução de 60% da rigidez,
IEEI CISEC 4,0)(  e para o pilar será considerado uma redução de 20% da rigidez,
IEEI CISEC 8,0)(  . Nos modelos estruturais utilizados neste trabalho será feito uma redução
no módulo de elasticidade (E) dos elementos viga e pilar.
Para a consideração da rigidez da ligação viga-pilar nos modelos de ligação semi-
rígida será utilizado o fator de restrição à rotação R , conforme prescreve a NBR 9062
(2006). O valor do fator R é encontrado a partir da determinação do grau de engastamento
da ligação. O grau de engastamento é a relação entre o momento fletor absorvido pela
ligação semi-rígida e o momento fletor absorvido pela ligação rígida. Através de ensaios
realizados no laboratório de estruturas pré-moldadas NETPRE-UFSCar, foi obtido como
resultado grau de engastamento da ligação de 70% para ligações típicas em estruturas pré-
moldadas. Sendo assim, pode-se determinar o valor do fator R .
Grau de engastamento
70,0.. 
R
SR
M
M
EG (6.1)
onde:
SRM é o momento fletor absorvido pela ligação semi-rígida

48
RM é o momento fletor absorvido pela ligação rígida
Fator de restrição R
70,0
2
3
.. 



R
R
R
SR
M
M
EG


, dessa forma:
60,0R
Uma forma de considerar a rigidez da ligação viga-pilar é a colocação de uma mola
entre os elementos com rigidez ao momento fletor igual ao da ligação semi-rígida. No
entanto, como neste trabalho está sendo usado o programa Ftool, uma forma simplificada
de considerar a rigidez da ligação é a redução do módulo de elasticidade (E) da viga.
Conforme proposto por Ferreira (2005), essa correção pode ser escrita da seguinte forma:
)2(
_
R
R
VigaCORRIGIDOViga EE



 (6.2)
O valor do módulo de elasticidade do concreto utilizado nos modelos estruturais será
de 30.000 MPa. Considerando a redução de 60% do módulo de elasticidade da viga pela
não-linearidade física, então o módulo de elasticidade corrigido para os modelos de 5 e 7
pavimentos será:
MPaE CORRIGIDOViga 143.5
)60,02(
60,0
000.3040,0_ 


Para os pilares o valor do módulo de elasticidade será:
MPaEPilar 000.24000.3080,0 
6.2 ESTADO LIMITE DE SERVIÇO
Uma forma de pré-dimensionar a geometria dos pilares pode ser feita através da
verificação dos deslocamentos horizontais dos modelos estruturais, de modo que tais
deslocamentos sejam inferiores ao máximo deslocamento horizontal global conforme
prescrito na NBR 9062 (2006).
O deslocamento horizontal global limite para os modelos estruturais é igual ao menor
entre os 3 valores:
)
600
;
750
;
200.1
( 2
lim_
HHH i
iteH  (6.3)
Onde:

49
H Altura total da edificação;
iH Desnível entre dois pisos consecutivos, ou seja, 3,50m;
2H = Desnível entre o último piso e a face inferior da cobertura, ou seja, 3,40m.
Com a finalidade de encontrar o valor do deslocamento limite para o modelo de 3
pavimentos, considerando a altura total da edificação de 10,50m, obtem-se:
)
600
3400
;
750
3500
;
1200
10500
(_ LimiteH
mmmmmmmmLimiteH 5)7.5;5;8.8(_ 
Considerando que a menor altura total da edificação é 10,50m (modelo com 3
pavimentos), e que o pé-direito é o mesmo para todos os modelos, então o valor do
deslocamento horizontal global limite é igual para todos os modelos, com valor de 5mm.
Para encontrar o valor do deslocamento horizontal da estrutura de todos os modelos
no E.L.S., utilizou-se a combinação frequente da ação do vento e a consideração
simplificada da não-linearidade física dos materiais estruturais, ou seja, reduziu-se o módulo
de elasticidade dos elementos estruturais ( 20% para o pilar e 60% para a viga) atribuídos
no programa Ftool. Na Tabela 8 é mostrado os valores do deslocamento horizontal máximo
de todos modelos estruturais (3 e 4 pavimentos com ligação articulada; 5 e 7 pavimentos
com ligação semi-rígida), considerando dimensão mínima de 40cm para os pilares.
Tabela 8- Deslocamentos horizontais
N° Pavim.
E.L.S.
Pilar (cm) δh(mm)
3
40x50 5,8
50x50 4,7
4
50x60 8,8
60x70 4,8
5
40x40 4,0
- -
7
50x50 6,6
60x70 4,9
Nota-se que para a edificação com 3 pavimentos, o pilar com geometria quadrada de
50cm de lado resultou no deslocamento horizontal global inferior ao deslocamento horizontal
limite (5mm), enquanto o pilar com dimensões 40x50cm resultou no deslocamento horizontal

50
maior que o limite. Para a edificação com 4 pavimentos, as dimensões do pilar deve ser de
60x70cm para atender ao critério do E.L.S.
Para os modelos estruturais com ligação viga-pilar semi-rígida (70% de
engastamento parcial) as dimensões dos pilares que atenderam ao E.L.S. foram de
40x40cm para 5 pavimentos e 60x70cm para 7 pavimentos. Cabe enfatizar que as
geometrias utilizadas nos modelos estruturais foram as mesmas tanto para pilares centrais
quanto para pilares extremos, considerando neste caso a facilidade para a fabricação das
peças pré-moldadas e a compatibilidade geométrica com as demais peças que compõe o
sistema estrutural.
6.3 ESTABILIDADE GLOBAL DOS MODELOS ESTRUTURAIS
A maneira simplificada para se considerar a não-linearidade geométrica da estrutura
é utilizando o Z , que se trata de um coeficiente de majoração dos esforços globais de 1°
ordem para obtenção dos esforços finais de 2°ordem. Além de ser um modo de avaliação da
importância dos efeitos globais de 2° ordem, classificando a estrutura em nós fixos ou
deslocáveis, o coeficiente Z pode ser utilizado para o pré-dimensionamento da geometria
dos pilares da edificação. Essa simplificação de se majorar os esforços de 1°ordem através
do Z não é válida para qualquer estrutura de nós deslocáveis ( )1,1Z , pois para isto, o
valor deste coeficiente deve ser menor que 1,3.
No entanto, com a finalidade de se utilizar o Z como parâmetro para o pré-
dimensionamento dos pilares, será considerado como critério que o valor deste coeficiente
não pode ser superior à 1,20 para os modelos estruturais analisados neste trabalho.
Para o cálculo do coeficiente Z é necessário determinar os deslocamentos
horizontais na análise de 1° ordem e combinação última normal das ações atuantes na
estrutura. Como a laje atua como um diafragma rígido, os deslocamento de todos os
pórticos são iguais e o deslocamento horizontal de um dos pórticos é igual ao deslocamento
horizontal do pavimento. Vale ressaltar que tanto os pilares extremos quanto os centrais
foram adotados com mesmas dimensões.
Com a finalidade de encontrar o deslocamento horizontal, foi utilizado as
combinações últimas 1 e 2 para a força de arrasto do vento sobre o pórtico.
O cálculo do coeficiente Z foi realizado considerando as duas combinações últimas
para as ações permanentes e acidentais no pavimento e a ação total do vento (Fa).

51
Ação vertical no pavimento:
175.141690.40,1843540,11_
VerticalP kN
466.131690.98,0843540,12_
VerticalP kN
Ação horizontal:
aHorizontal FP  84,01_
aHorizontal FP  40,12_
6.3.1 MODELO ESTRUTURAL COM 3 PAVIMENTOS E LIGAÇÃO ARTICULADA:
A tabela a seguir mostra o valor da força de arrasto total atuante na laje de cada
pavimento (Fa) e o valor dessa ação nas combinações últimas do E.L.U.:
Tabela 9- Combinações E.L.U. para força de arrasto
Pav. Fa (kN) Comb. 1 (kN) Comb. 2(kN)
1 93,7 78,7 131,2
2 104,5 87,8 146,3
3 53,5 44,9 74,9
A seguir são mostrados os valores do coeficiente Z , para as combinações no
E.L.U., e dimensão dos pilares de 50x60cm:
Tabela 10- Coeficiente Z para combinação 1 (E.L.U.)
Cálculo do Z -3 PAV Estrutura ARTICULADA
Pav. Desl. (cm) Nypav. (kN) M (kN.m) FHpav. (kN) H (m) M (kN.m) γz
1 0,13 14175 18,4 78,7 3,50 275,5
1,162 0,42 14175 59,5 87,8 7,00 614,6
3 0,76 14175 107,7 45,0 10,50 472,5
1 0,22 13466 29,6 131,2 3,50 459,2
1,152 0,70 13466 94,3 146,2 7,00 1023,4
3 1,27 13466 171,0 75,0 10,50 787,5

52
6.3.2 MODELO ESTRUTURAL COM 4 PAVIMENTOS E LIGAÇÃO ARTICULADA:
Tabela 12-- Combinações E.L.U. para força de arrasto
Pav. Fa (kN) Comb. 1 (kN) Comb. 2 (kN)
1 93,7 78,7 131,2
2 104,5 87,8 146,3
3 109,5 92,0 153,3
4 56,0 47,1 78,4
Valores do coeficiente Z para combinações das ações no E.L.U. e pilares com
dimensão 60x70cm:
1 0,13 14175 18,4 78,7 3,50 275,5
1,182 0,46 14175 65,2 87,8 7,00 614,6
3 0,86 14175 121,9 92,0 10,50 966,0
4 1,30 14175 184,3 47,0 14,00 658,0
1 0,22 13466 29,6 131,2 3,50 459,2
1,172 0,76 13466 102,3 146,2 7,00 1023,4
3 1,42 13466 191,2 153,3 10,50 1609,7
4 2,15 13466 289,5 78,4 14,00 1097,6

53
6.3.3 MODELO ESTRUTURAL COM 5 PAVIMENTOS E LIGAÇÃO SEMI-RÍGIDA (70%)
Pav. Fa (kN) Comb. 1 Comb. 2
1 93,7 78,7 131,2
2 104,5 87,8 146,3
3 109,5 92,0 153,3
4 116,0 97,4 162,4
5 60,0 50,4 83,9
dimensão 40x40cm:
Cálculo do Z -5 PAV Estrutura SEMI-RÍGIDA
1 0,25 14175 35,4 78,7 3,50 275,5
1,152 0,57 14175 80,8 87,8 7,00 614,6
3 0,82 14175 116,2 92,0 10,50 966,0
4 1,00 14175 141,8 97,4 14,00 1363,6
5 1,07 14175 151,7 50,4 17,50 882,0
Tabela 17-- Coeficiente Z para combinação 2 (E.L.U.)
1 0,40 13466 53,9 131,2 3,50 459,2
1,142 0,95 13466 127,9 146,2 7,00 1023,4
3 1,38 13466 185,8 153,3 10,50 1609,7
4 1,66 13466 223,5 162,4 14,00 2273,6
5 1,78 13466 239,7 83,9 17,50 1468,3

54
6.3.4 MODELO ESTRUTURAL COM 7 PAVIMENTOS E LIGAÇÃO SEMI-RÍGIDA (70%)
Pav. Fa (kN) Comb. 1 Comb. 2
1 93,7 78,7 131,2
2 104,5 87,8 146,3
3 109,5 92,0 153,3
4 116,0 97,4 162,4
5 122,6 103,0 171,6
6 130,9 110,0 183,3
7 68,2 57,3 95,5
dimensão 60x70cm:
1 0,13 14175 18,4 78,7 3,50 275,5
1,112 0,40 14175 56,7 87,8 7,00 614,6
3 0,69 14175 97,8 92,0 10,50 966,0
4 0,95 14175 134,7 97,4 14,00 1363,6
5 1,15 14175 163,0 103,0 17,50 1802,5
6 1,30 14175 184,3 110,0 21,00 2310,0
7 1,40 14175 198,5 57,3 24,50 1403,9
1 0,22 13466 29,6 131,2 3,50 459,2
1,102 0,66 13466 88,9 146,2 7,00 1023,4
3 1,13 13466 152,2 153,3 10,50 1609,7
4 1,56 13466 210,1 162,4 14,00 2273,6
5 1,90 13466 255,9 171,6 17,50 3003,0
6 2,17 13466 292,2 183,4 21,00 3851,4
7 2,40 13466 323,2 95,5 24,50 2339,8

55
Comparando as dimensões dos pilares obtidos pelos dois critérios (E.L.S. e Z )
nota-se que apenas para o modelo estrutural com 3 pavimentos a dimensão do pilar obtida
pelo E.L.S. não atendeu ao critério de 20,1Z . A Tabela 21 mostra um resumo das
dimensões dos pilares obtidas pelos critérios:
Tabela 21-Dimensões dos pilares para cada modelo estrutural.
n° PAV Pilar
Critério
Fórmula (cm) ϒz (cm) E.L.S. (cm)
3
Central 40x40 50x60 50x50
Extremo 30x30 50x60 50x50
4
5
7
Iniciando a análise dos resultados pelos modelos com ligação articulada (3 e 4
pavimentos), pode-se notar que a fórmula simplificada de pré-dimensionamento dos pilares
proposta por Bacarji (1993) demonstrou resultados com discrepância relevante comparado
com os resultados dos requisitos da NBR 9062 (2006), de estabilidade global e
deslocamento horizontal global. Deve-se salientar que a expressão leva em consideração a
posição dos pilares (extremidade, canto ou central), a taxa de armadura da seção, a
resistência à compressão de cálculo do concreto, tensão de escoamento do aço e a força
normal atuante na seção mais solicitada do pilar.
Entre tais fatores, a carga normal tem uma grande influência nas dimensões
resultantes da fórmula, no entanto, esta carga não é estimada com muita precisão,
simplismente atribui-se um valor inicial de carga por unidade de área da laje e então
encontra a solicitação normal dos pilares. Além disso, a expressão de pré-dimensionamento
dos pilares não leva em conta um fator muito importante para estruturas pré-moldadas de
concreto: a rigidez das ligações entre os elementos viga-pilar.
Tanto para o modelo de 3 quanto para o de 4 pavimentos, devido a não
consideração de fatores importantes como a rigidez da ligação e a imprecisão na estimativa
da carga normal, as dimensões dos pilares encontradas pela expressão simplificada ficaram
subestimadas comparando com as dimensões encontradas pelo critério do 20,1Z e
deslocamento horizontal global em utilização.

56
Para o modelo de 3 pavimentos, utilizando como critério de pré-dimensionamento o
deslocamento horizontal limite da estrutura em serviço, de acordo com NBR 9062 (2006),
foram necessários utilizar pilares com dimensões 50cmx 50cm (extremos e centrais),
enquanto a expressão proposta por Bacarji resultou em pilares extremos com 30cmx30cm e
pilares centrais com 40cmx40cm. No entanto, para ser atendido o critério de 20,1Z ,
devido a estabilidade global da estrutura, foi necessário utilizar dimensões 50cmx60cm para
os pilares de extremidades e centrais. Pode-se considerar que esta é a dimensão mínima
para os pilares no modelo de 3 pavimentos, já que a estabilidade global da estrutura é um
requisito muito importante, até mesmo porque neste caso se trata de estrutura com ligação
viga-pilar articulada, na qual a rigidez dos pilares engastados na fundação compõe o
sistema de contraventamento da estrutura.
Quanto ao modelo com 4 pavimentos, nota-se que a dimensão 60cmx70cm atendeu
tanto ao critério de 20,1Z e deslocamento horizontal limite em serviço, com valores
próximos aos limites estabelecidos ( Z próximo de 1,20 e deslocamento horizontal próximo
de 5mm no E.L.S). Este fato leva a crer que esta dimensão tem grande potencial para ser o
resultado mais próximo do ideal, ou seja, resulte em seções não superdimensionadas.
Como já foi analisado anteriormente, a expressão simplificada para pré-dimensionamento
mostrou-se ineficiente para este caso, já que não leva em consideração que nesta situação
de ligação articulada a deslocabilidade da estrutura é elevada e, além disso, os requisitos de
estabilidade global e deslocamento horizontal limite em utilização devem ser criteriosamente
atendidos.
No pré-dimensionamento dos pilares do modelo com 5 pavimentos, considerando
ligação semi-rígida com 70% de engastamento parcial, a formulação proposta por Bacarji
mostrou-se uma boa aproximação em relação às seções pré-dimensionadas pelos critérios
de 20,1Z e deslocamento horizontal limite. Deve-se notar neste caso que utilizando a
expressão para pré-dimensionamento resultou em pilares centrais com dimensões
superiores aos demais critérios ( Z e E.L.S.), já que para atender à estes a utilização de
pilares com dimensões 40cmx40cm foi suficiente. Uma melhor análise será realizada assim
que for encontrada a taxa de armadura da seção para que sejam resistidos os esforços
solicitantes da mesma. Neste trabalho estes esforços solicitantes serão encontrados através
da análise linear da estrutura, considerando a simplificação de todas não-linearidades
envolvidas (geométrica, física e da rigidez da ligação viga-pilar).
Para o modelo com 7 pavimentos, o pré-dimensionamento dos pilares através da
fórmula simplificada resultou em pilares centrais com dimensão próximo das dimensões
obtidas com os outros dois critérios. No entanto, para os pilares extremos a diferença entre

57
as dimensões obtidas pela fórmula e os demais resultados é grande. Deve-se notar que
para a dimensão 60cmx70cm a estabilidade global é garantida com folga, pois o valor do
coeficiente Z é relativamente baixo, porém o deslocamento horizontal global é elevado
neste modelo. Devido ao conforto dos usuários da edificação na sua utilização, ou seja, para
que a edificação mantenha sua boa utilização funcional é necessário que os pilares tenham
dimensões mínimas de 60cmx70cm para o modelo com 7 pavimentos tratado nesta
pesquisa.

58
7. ESFORÇOS SOLICITANTES E
TAXA DE ARMADURA DOS PILARES
7.1 MAJORAÇÃO DA AÇÃO DO VENTO NOS MODELOS ESTRUTURAIS
Com a finalidade de se obter os esforços solicitantes atuantes na seção da base dos pilares,
deve ser considerado os efeitos globais de 2ª ordem , já que estes são superiores a 10%
dos respectivos esforços de primeira ordem, ou seja, 10,1Z para todos modelos
estruturais.
Dessa forma, os modelos estruturais devem ser analisados como estruturas de nós móveis, e
de acordo com a NBR 6118:2003 a análise deve levar obrigatoriamente em conta os efeitos da
não-linearidade geométrica e da não-linearidade física. No dimensionamento, considera-se
obrigatoriamente os efeitos globais e locais de 2ª ordem.
Uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de segunda ordem, válida
para casos que 3,1Z , consiste na avaliação dos esforços finais (primeira ordem mais os de
segunda ordem) pela multiplicação dos esforços horizontais por 0,95 Z . No entanto, de
acordo com Ferreira (2005), no estudo sobre os efeitos de 2ª ordem em estruturas pré-
moldadas, os esforços obtidos por meio da majoração das ações horizontais diretamente pelo
coeficiente Z , sem a redução do fator de 0,95 apresenta uma melhor aproximação em relação
a análise com NLG.
A consideração aproximada da não-linearidade física para análise dos esforços globais de
segunda ordem em estruturas reticuladas é feita através da redução da rigidez das peças
estruturais como já foi explicitado anteriormente (0,4EI para vigas e 0,8EI para os pilares).
Como no Estado Limite Último foram utilizadas 2 combinações de ações para cada modelo
estrutural, uma combinação com a ação do vento como principal e a outra com a sobrecarga
acidental como principal, então resultou em dois coeficientes Z para cada modelo.
Multiplicando estes coeficientes Z pela respectiva ação do vento atuante no pórtico,
resultam nos valores de ação horizontal expostos a seguir:

59
Tabela 22- Ação do vento majorada pelo coeficiente ϒz (3 Pavimentos).
3PAV. Pav. Fa1 (kN) ϒz(1) ϒz(1)xFa Fa2 (kN) ϒz(2) ϒz(2)xFa
1 13,1 1,16 15,2 21,8 1,15 25,1
2 14,6 1,16 17,0 24,4 1,15 28,0
3 7,5 1,16 8,7 12,5 1,15 14,3
4PAV.
Pav. Fa1 (kN) ϒz(1) ϒz(1)xFa Fa2 (kN) ϒz(2) ϒz(2)xFa
1 13,1 1,18 15,5 21,8 1,17 25,6
2 14,6 1,18 17,2 24,4 1,17 28,5
3 15,4 1,18 18,1 25,6 1,17 30,0
4 7,8 1,18 9,2 13,0 1,17 15,2
5PAV.
1 13,1 1,15 15,1 21,8 1,14 24,9
2 14,6 1,15 16,8 24,4 1,14 27,8
3 15,4 1,15 17,7 25,6 1,14 29,2
4 16,2 1,15 18,6 27,0 1,14 30,8
5 8,4 1,15 9,7 14,0 1,14 16,0
7PAV.
1 13,1 1,11 14,5 21,8 1,10 24,0
2 14,6 1,11 16,2 24,4 1,10 26,8
3 15,4 1,11 17,1 25,6 1,10 28,2
4 16,2 1,11 18,0 27,0 1,10 29,7
5 17,1 1,11 19,0 28,6 1,10 31,4
6 18,3 1,11 20,3 30,5 1,10 33,6
7 9,6 1,11 10,6 16,0 1,10 17,6

60
7.2 ESFORÇO NORMAL E MOMENTO FLETOR EM CADA PILAR
Para finalizar a modelagem estrutural e realizar a análise estrutural considerando os efeitos de
2ªordem de modo simplificado deve ser incluída a ação vertical no pórtico. Como já se possui
2 combinações de ações verticais no pavimento (E.L.U.), é possível encontrar a ação atuante
no pórtico central considerando que 1/5 da ação total do pavimento atua no neste pórtico.
Combinação 1: 1,dF 835.2
5
175.14
 kN
Combinação 2: 2,dF 2,693.2
5
13466
 kN
A partir da ação horizontal e da ação vertical combinadas no Estado Limite Último, e
considerando a redução da rigidez EI dos elementos estruturais pode se determinar os valores
das solicitações na base dos pilares. Utilizando o software Ftool, atribuindo os dados
anteriores e repetindo o processo para todos os modelos estruturais com diferentes pavimentos
é possível montar a seguinte tabela:
Tabela 26- Esforços solicitantes nos pilares (3 Pavimentos)
3 Pavimentos
Pilar M(KN.m) N(KN)
Comb.1
Central 66,5 -2835
Extremo 68,6 -1417,5
Comb.2
Central 108,9 -2693,4
Extremo 112,2 -1346,3
4 Pavimentos
Pilar M(KN.m) N(KN)
Comb.1
Central 122,1 -3780
Extremo 126 -1890
Comb.2
Central 205,8 -3591
Extremo 208,5 -1795,8

61
5 Pavimentos
Pilar M(KN.m) N(KN)
Comb.1
Central 47 -4700,8
Extremo 41,9 -2361,7
Comb.2
Central 79 -4467,9
Extremo 70,7 -2222,8
7 Pavimentos
Pilar M(KN.m) N(KN)
Comb.1
Central 129,6 -6582,8
Extremo 128,2 -3291,1
Comb.2
Central 215,7 -6254,1
Extremo 213,6 -3092
7.3 TAXA DE ARMADURA PARA COMBINAÇÃO MAIS DESFAVORÁVEL
Os pilares dos 4 modelos estão submetidos à flexão normal composta, que se caracteriza
pela ação simultânea de uma força normal e um momento fletor, cujo plano de ação é
perpendicular (vetor seta dupla) a um eixo de simetria da seção.
Considerando uma seção transversal retangular e com armaduras dispostas
simetricamente, e além disso, levando em conta os possíveis valores das deformações
específicas do concreto ( c ) e do aço ( s ), relativos aos diversos domínios de deformação,
podem ser encontrados os valores dos esforços resistentes de cálculo dN e dM . Com
estes dados é possível elaborar um gráfico de dN x dM . Para uma quantidade de armadura,
cada par ( c , s ) corresponde à um único par de esforços resistentes ( dN , dM ). Os
conjuntos de pontos dN , dM ou adimensionais (ν,µ) formam um diagrama de interação que
representa o critério de resistência da seção (qualquer ponto desse diagrama representa o
estado limite último).
Mantendo a geometria da seção fixa e alterando a quantidade de armadura, ocorrerá uma
mudança na curva dN x dM , porém a forma da curva será semelhante à da anterior. Para

62
uma determinada seção, variando-se a quantidade de armadura, pode ser elaborado um
conjunto de diagramas de interação (ν,µ).
O dimensionamento da armadura no estado limite último depende diretamente dos
seguintes fatores:
 Forma da seção transversal;
 Equações constitutivas do concreto e do aço (diagramas tensão-deformação)
 Equações de compatibilidade das deformações (domínios)
 Equações de equilíbrio de forças e de momentos
 Distribuição da armadura na seção transversal
É importante destacar que a distribuição da armadura deve ser feita de maneira que
conduza ao menor consumo de aço (taxa de armadura). Para que isso seja possível, deve-
se levar em consideração a direção que está atuando o momento e sua intensidade em
relação à força normal.
Neste trabalho será estudado somente pilares com seções retangulares submetidos à flexão
normal composta, considerando ainda que a armadura seja distribuída simetricamente. Esta
consideração de armadura simétrica é importante pois os pilares dos 4 modelos estão
sujeitos à ação do vento, ou seja, uma ação que resulta na flexão dos pilares em sentidos
não determinados (pode ocorrer tração em qualquer um dos lados do pilar na direção do
vento). A figura Figura 7-1 mostra uma seção retangular com armadura simétrica submetida
a flexão normal composta.
Figura 7-1 Seção retangular com armadura simétrica

63
Com a finalidade de se calcular a armadura necessária no estado limite último em uma
seção transversal em que os esforços normais produzem flexão composta normal ou
oblíqua, pode-se usar programas ou ábacos.
No presente trabalho será utilizado o programa Normal versão 1.3, desenvolvido pela
Universidade Federal do Paraná. A utilização de programas é uma boa alternativa, pois
permitem o uso de qualquer valor de cobrimento. Entrando com os dados da geometria da
seção (altura h e largura b), as características do concreto (fck) e o tipo de aço e a
distribuição das barras, é elaborado o diagrama de interação dN x dM que correlaciona
força normal, momento fletor e quantidade de armadura para uma determinada seção. Para
verificar se a quantidade de armadura atribuída é suficiente para resistir aos esforços
solicitantes, o programa permite entrar com os valores de M e N e visualizar se o ponto de
coordenadas (N,M) está compreendido dentro da envoltória de resistência.
Utilizando como entrada de dados os esforços para o dimensionamento dos pilares no
programa Normal 1.3 é possível determinar as taxas de armadura necessárias para que não
ocorra ruptura do pilar, atribuindo uma disposição inicial das barras.
A seguir são mostradas as telas do software com os resultados para as combinações mais
desfavoráveis atuantes sobre os pilares centrais e extremos de cada modelo estrutural.

64
Figura 7-2 Verificação da envoltória de resistência e disposição das barras para
combinação mais desfavorável. (Pilar Extremo – 3 Pavimentos)
combinação mais desfavorável. (Pilar Central – 3 Pavimentos)

65

66

67
combinação mais desfavorável. (Pilar Central – 7Pavimentos)

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