Este documento descreve dois processos para determinar o ângulo entre dois planos: 1) O primeiro processo envolve identificar a linha de interseção entre os planos, conduzir um plano auxiliar ortogonal, e medir o ângulo entre as linhas de interseção dos planos originais com o plano auxiliar. 2) O segundo processo envolve conduzir linhas ortogonais aos planos a partir de um ponto exterior, e medir o ângulo entre essas linhas. Este método é usado quando a linha de interseção é oblíqua.

1. PROBLEMAS MÉTRICOS
ÂNGULO (diedro) ENTRE PLANOS
GD – A / BLOCO II

2. GENERALIDADES
O ângulo entre dois planos é o retilíneo (ângulo formado entre duas retas
perpendiculares à aresta do diedro) do menor diedro formado entre os dois planos,
utilizando retas dos planos e perpendiculares à reta de interseção entre os
planos.
β
α
r
s
i
θº
A

3. 1.º PROCESSO
O 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica:
1 - Identificar a reta de interseção i entre os dois planos α e β;
2 – Conduzir um plano auxiliar δ ortogonal às arestas do diedro;
3 – Determinar as retas de interseção do plano auxiliar com os dois planos dados, as retas r e s;
4 – O ângulo entre as duas retas de interseção será o ângulo entre os dois planos.
β
α
r
s
i
θº
A
δ
O 1.º processo é
para ser utilizado
quando o plano
auxiliar ortogonal
às arestas do
diedro for um plano
projectante e tenha
determinação
imediata. Nos
outros casos, será
utilizado o 2.º
processo.

4. Ângulo entre um Plano Vertical e um Plano Frontal
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano vertical α e um plano
frontal φ.
x
fα
hα
(hφ)
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois
planos:
1 - Identificar a reta de interseção i entre
os dois planos α e φ, que será uma reta
vertical a passar pelo cruzamento de hα e
hφ;
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal
às arestas do diedro, que será o Plano
Horizontal de Projecção;
3 – Determinar as retas de interseção do
plano auxiliar com os dois planos dados,
que seram os traços horizontais dos dois
planos, ou seja hα e hφ;
4 – O ângulo entre as duas retas de
interseção, hα e hφ, será o ângulo entre
os dois planos α e φ.
θº
i2
(i1)

5. Um plano de topo θ intersecta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa e contém
o ponto A (-2; -1; 4). Um plano horizontal ν tem 2 cm de cota. Determina a V.G. do
ângulo entre os planos θ e ν.
x
y ≡ z
A1
A2
fθ
hθ
(fν)
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois
planos:
1 - Identificar a reta de interseção i
entre os dois planos θ e ν, que será
uma reta de topo a passar pelo
cruzamento de fθ e fν;
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal
às arestas do diedro, que será o Plano
Frontal de Projecção;
3 – Determinar as retas de interseção
do plano auxiliar com os dois planos
dados, que seram os traços frontais dos
dois planos, ou seja fθ e fν;
4 – O ângulo entre as duas retas de
interseção, fθ e fν, será o ângulo entre
os dois planos θ e ν.
≡ i1
(i2)
αº

6. x
xz
xy
α
Retas de maior declive - retas que fazem o maior ângulo com o Plano
Horizontal de Projecção);
fα
hα
dα
dα1
dα2
Ângulo entre um Plano Oblíquo e um Plano Horizontal
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e o Plano
Horizontal de Projecção.

7. Ângulo entre um Plano Oblíquo e um Plano Horizontal
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e o Plano
Horizontal de Projecção.
x
fα
hα
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois
planos:
1 - Identificar a reta de interseção entre
os dois planos, que será hα;
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal
às arestas do diedro, que será o plano
vertical γ;
3 – Determinar as retas de interseção do
plano auxiliar com os dois planos dados,
que seram os traços horizontais dos dois
planos, ou seja as retas d e hγ ;
4 – O ângulo entre as duas retas de
interseção, d e hγ , será o ângulo entre os
dois planos, obtido via o rebatimento do
plano γ para o Plano Frontal de
Projecção para determinar a sua V.G.. hγ
fγ
≡ d1
H2
H1
F2
F1
d2
≡ e2
≡ (e1)
≡ hγr
≡ fγr
≡ Fr
Hr
dr
θº

8. x
xz
xy
α
Retas de maior inclinação - retas que fazem o maior ângulo com o Plano
Frontal de Projecção.
fα
hα
iα
iα1
iα2
Ângulo entre um Plano Oblíquo e um Plano Frontal
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e o Plano
Frontal de Projecção.

9. Um plano oblíquo ψ é ortogonal ao β1,3 e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º
(a.d.) com o eixo x. Um plano frontal φ tem 4 cm de afastamento. Determina a
V.G. do ângulo entre os planos ψ e φ.
x
fψ
hψ
(hφ)
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois planos:
1 - Identificar a reta de interseção entre os
dois planos, que será fψ, com o Plano
Frontal de Projecção a substituir o plano φ;
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às
arestas do diedro, que será o plano de topo
δ;
3 – Em vez de determinar as retas de
interseção do plano auxiliar com os dois
planos dados, optou-se pela obtenção de
uma reta de maior inclinação (a reta i) do
plano ψ, pois o ângulo que um plano
oblíquo faz com o Plano Frontal de
Projecção é igual ao ângulo que
qualquer das suas retas de maior
inclinação faz com o Plano Frontal de
Projecção;
4 – O ângulo entre a reta i e fδ, será o
ângulo entre os dois planos, obtido via o
rebatimento do plano δ para o Plano
Frontal de Projecção para determinar a sua
V.G..
fδ
hδ
H2
H1
F2
F1
i1
≡ i2 ≡ e2
≡ e1
≡ i2r ≡ Fr
Hr
≡ Fr
ir
αº

10. Ângulo entre um Plano de Rampa e um Plano Frontal
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano de rampa ρ e um plano
frontal φ.
x
fρ
hρ
(hφ)
Utilizar o 1.º processo para a determinação
do ângulo entre dois planos:
1 - Identificar a reta de interseção entre os
dois planos, que será uma reta fronto-
horizontal, embora não seja necessário a sua
determinação neste caso;
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às
arestas do diedro, que será o plano de perfil
π;
3 – Determinar as retas de interseção do
plano auxiliar com os dois planos dados, que
seram as retas p (reta de interseção do
plano π com o plano ρ) e v (reta de
interseção do plano π com o plano φ);
4 – O ângulo entre as duas retas de
interseção, p e v , será o ângulo entre os
dois planos, obtido pelo ângulo entre a reta p
e o Plano Frontal de Projecção, via o
rebatimento do plano π para o Plano Frontal
de Projecção para determinar a sua V.G..
fπ ≡ hπ
H1
H2
≡ F1
F2
≡ p1 ≡ p2
≡ (e1)
≡ e2
≡ hπr
≡ fπr
≡ Fr
Hr
pr
θº

11. Um plano de rampa ρ com um traço horizontal de 2 cm de afastamento e um
traço frontal de 5 cm de cota. Um plano horizontal ν tem 3 cm de cota. Determina
a V.G. do ângulo entre os planos ρ e ν.
x
hρ
fρ
(fν)
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois
planos:
1 - Identificar a reta de interseção entre
os dois planos, que será uma reta fronto-
horizontal, embora não seja necessário
a sua determinação neste caso;
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal
às arestas do diedro, que será o plano
de perfil π;
3 – Determinar as retas de interseção do
plano auxiliar com os dois planos dados,
que seram as retas p (reta de interseção
do plano π com o plano ρ) e v (reta de
interseção do plano π com o plano ν);
4 – O ângulo entre as duas retas de
interseção, p e v , será o ângulo entre os
dois planos, obtido pelo ângulo entre a
reta p e o Plano Frontal de Projecção,
via o rebatimento do plano π para o
Plano Frontal de Projecção para
determinar a sua V.G..
fπ ≡ hπ
H1
H2 ≡ F1
F2
≡ p1 ≡ p2
≡ (e1)
≡ e2
≡ hπr
≡ fπr
Hr
≡ Fr
pr
αº

12. 2.º PROCESSO (método do ângulo suplementar)
O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica:
1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas retas ortogonais aos dois planos, as retas p e
p’;
2 – O ângulo entre as duas retas p e p’ é o ângulo entre os dois planos.
β
α
r
s
i
θº
A
δ
p
p’
P
C
B
θº
180º - θº

13. Ângulo entre um Plano Vertical e um Plano Oblíquo
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano vertical γ e um plano
oblíquo α.
x
fα
hα
hγ
fγ
Como a reta de interseção será uma reta
oblíqua, qualquer plano auxiliar ortogonal
será oblíquo e não projectante, o que
implica a utilização do 2.º processo.
O 2.º processo para a determinação do
ângulo entre dois planos implica:
1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois
planos, duas retas ortogonais aos dois
planos, as retas p e p’;
2 – O ângulo entre as duas retas p e p’ é o
ângulo entre os dois planos, via o
rebatimento para um plano horizontal
auxiliar ν.
P2
P1
p1
p2
p’1
p’2 ≡(fν)
≡ e1
≡ e2
≡ Pr
≡ p’r
A2
A1
Ar1
Ar
pr
θº

14. Um plano de topo θ corta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa e faz um
ângulo de 30º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Um plano oblíquo α
corta o eixo x num ponto com -4 cm de abcissa, o seu traço horizontal faz um
ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x e o seu traço frontal faz um ângulo de 45º (a.e.)
com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre os planos θ e α.
x
y ≡ z
hθ
fθ
hα
fα
Como a reta de interseção será uma reta
oblíqua, qualquer plano auxiliar ortogonal
será oblíquo e não projectante, o que
implica a utilização do 2.º processo.
O 2.º processo para a determinação do
ângulo entre dois planos implica:
1 – Conduzir por ponto P exterior aos
dois planos, duas retas ortogonais aos
dois planos, as retas p e p’;
2 – O ângulo entre as duas retas p e p’ é
o ângulo entre os dois planos, via o
rebatimento para um plano frontal
auxiliar φ.
P2
P1
p1
p2
p’1
p’2
≡ (hφ)≡ e1
≡ e2 ≡ p’r
≡ Pr
A2
A1
Ar1
Ar
pr
βº

15. Ângulo entre dois Planos Oblíquos
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e um plano
oblíquo δ.
x
fα
hα
fδ
hδ
Como a reta de interseção será uma
reta oblíqua, qualquer plano auxiliar
ortogonal será oblíquo e não
projectante, o que implica a utilização
do 2.º processo.
O 2.º processo para a determinação
do ângulo entre dois planos implica:
1 – Conduzir por ponto P exterior aos
dois planos, duas retas ortogonais
aos dois planos, as retas p e p’;
2 – O ângulo entre as duas retas p e
p’ é o ângulo entre os dois planos, via
o rebatimento para um plano
horizontal auxiliar ν.
P2
P1
p1
p2
p’1
p’2
(fν) ≡ e2 A2
A1
B2
B1
e1
≡ Br
≡ Ar
Pr1
Pr
pr
p’r
θº

16. Um plano oblíquo α é ortogonal ao β1,3 e corta o eixo x num ponto com 0 cm de abcissa,
sendo que o seu traço horizontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Um plano
oblíquo δ tem o seu traço horizontal a fazer um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x, o seu
traço frontal a fazer um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x, sendo ambos os traços
concorrentes num ponto com 0 cm de abcissa.Determina a V.G. do ângulo entre os planos
α e δ.
x
y ≡ z
hα
fα
hδ
fδ
Como a reta de interseção será
uma reta oblíqua, qualquer
plano auxiliar ortogonal será
oblíquo e não projectante, o que
implica a utilização do 2.º
processo.
O 2.º processo para a
determinação do ângulo entre
dois planos implica:
1 – Conduzir por ponto P
exterior aos dois planos, duas
retas ortogonais aos dois
planos, as retas p e p’;
2 – O ângulo entre as duas retas
p e p’ é o ângulo entre os dois
planos, via o rebatimento para
um plano horizontal auxiliar ν.
P2
P1
p1
p2
p’1
p’2
(fν) ≡ e2 A2
A1
B2
B1
e1
≡ Ar
≡ Br
Pr1
Pr
pr
p’r
βº

17. Ângulo entre um Plano Oblíquo e um Plano de Rampa
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e um plano de
rampa ρ.
x
hρ
fρ
hα
fα
Como a reta de interseção será uma
reta oblíqua, qualquer plano auxiliar
ortogonal será oblíquo e não
projectante, o que implica a utilização
do 2.º processo.
O 2.º processo para a determinação
do ângulo entre dois planos implica:
1 – Conduzir por ponto P exterior aos
dois planos, duas retas ortogonais
aos dois planos, as retas p e p’,
rebatida com uso de um plano auxiliar
π e a reta de interseção i entre o
plano π e o plano ρ;
2 – O ângulo entre as duas retas p e
p’ é o ângulo entre os dois planos, via
o rebatimento para um plano
horizontal auxiliar ν.
P2
P1
p1
p2
p’1 ≡ p’2 ≡ fπ ≡ hπ
H1
H2≡ F1
F2
≡ i1 ≡ i2 ≡ e1
≡ (e2)
≡ hπr
≡ fπr
≡ Hr
Fr
ir
Pr
p’r
Ar
A1
A2
(fν) ≡ e’2 B2
B1
e’1
≡ Ar1
≡ Br
Pr1
Pr2
pr
p’r1
θº

18. Um plano vertical γ faz um diedro de 60º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção.
Um plano de rampa ρ tem um traço horizontal com 3 cm de afastamento e um
traço frontal com 5 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo entre os planos γ e ρ.
x
hγ
fγ
hρ
fρ
Como a reta de interseção será uma
reta oblíqua, qualquer plano auxiliar
ortogonal será oblíquo e não
projectante, o que implica a utilização
do 2.º processo.
O 2.º processo para a determinação
do ângulo entre dois planos implica:
1 – Conduzir por ponto P exterior aos
dois planos, duas retas ortogonais
aos dois planos, as retas p e p’,
rebatida com uso de um plano
auxiliar π e a reta de interseção i
entre o plano π e o plano ρ;
2 – O ângulo entre as duas retas p e
p’ é o ângulo entre os dois planos, via
o rebatimento para um plano
horizontal auxiliar ν.
P2
P1
p1
p2
p’1 ≡ p’2≡ fπ ≡ hπ
H1
H2 ≡ F1
F2
≡ i1 ≡ i2
≡ (e1)
≡ e2≡ fπr
≡ hπr
≡ Fr
Hr
ir
Pr
p’r
Ar
A1
A2
≡ (fν) ≡ e’2
≡ e’1≡ pr
≡ Pr1
Ar1
Ar2
p’r1
αº

19. Ângulo entre dois Planos de Rampa
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre dois planos de rampa ρ e σ.
x
hρ
fρ
fσ
hσ
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois
planos:
1 - Identificar a reta de interseção entre
os dois planos, que será uma reta fronto-
horizontal, embora não seja necessário a
sua determinação neste caso;
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal
às arestas do diedro, que será o plano de
perfil π;
3 – Determinar as retas de interseção do
plano auxiliar com os dois planos dados,
que seram as retas i (reta de interseção
do plano π com o plano ρ) e i’ (reta de
interseção do plano π com o plano σ);
4 – O ângulo entre as duas retas de
interseção, i e i’ , será o ângulo entre os
dois planos, obtido via o rebatimento do
plano π para o Plano Frontal de
Projecção para determinar a sua V.G..
fπ ≡ hπ
H1
H2
≡ F1
F2
H’1
≡ H’2
F’2
≡ i1 ≡ i2 ≡ i’1 ≡ i’2
≡ F’1
≡ e2
≡ (e1)
≡ hπr
≡ fπr
Hr
≡ Fr
ir
H’r
≡ F’r
i’r
θº

20. Um plano de rampa ρ tem um traço horizontal com 3 cm de afastamento e é
ortogonal ao β1,3. Um plano de rampa σ é passante e está definido pelo ponto P
(2; 5). Determina a V.G. do ângulo entre os planos ρ e σ.
x
hρ
fρ
≡ fσ ≡ hσ
P2
P1
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois planos:
1 - Identificar a reta de interseção entre os
dois planos, que será uma reta fronto-
horizontal, embora não seja necessário a
sua determinação neste caso;
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal
às arestas do diedro, que será o plano de
perfil π;
3 – Determinar as retas de interseção do
plano auxiliar com os dois planos dados,
que seram as retas i (reta de interseção
do plano π com o plano ρ) e i’ (reta de
interseção do plano π com o plano σ);
4 – O ângulo entre as duas retas de
interseção, i e i’ , será o ângulo entre os
dois planos, obtido via o rebatimento do
plano π para o Plano Frontal de Projecção
para determinar a sua V.G..
fπ ≡ hπ
H1
H2 ≡ F1
F2
≡ i1 ≡ i2
≡ H’1≡ H’2 ≡ F’1≡ F’2
≡ i’1 ≡ i’2
≡ (e1)
≡ e2 ≡ fπr
≡ hπr
Hr
≡ Fr
ir
≡ F’r
Pr
i’r
αº