Solução inédita para as equações do 3o grau, bem mais simples que o Método de Tartaglia e, ainda, não exige a eliminação do termo x2. Ademais, não envolve trigonometria, mesmo na extração da raiz cúbica de número complexo.

1. Método Luderiano Irracional para Equação Cúbica Completa
Neste documento, apresento uma solução inédita para as equações do 3o grau, bem mais simples
que o Método de Tartaglia e, ainda, não exige a eliminação do termo x2
. Ademais, não envolve
trigonometria, mesmo na extração da raiz cúbica de número complexo.
As fórmulas luderianas trabalham com a equação cúbica na forma:
x3
+ Ax2
+ Bx + C = 0
Portanto, se a equação não estiver na forma acima, ou seja, se apresentar-se na forma ...
a3x3
+ a2x2
+ a1x + a0 = 0
... então deve-se dividir todos os coeficientes por a3. Veja, abaixo.
1 =
a3
a3
A =
a2
a3
B =
a1
a3
C =
a0
a3
Método Luderiano, propriamente dito
Partindo da equação na forma ...
x3
+ Ax2
+ Bx + C = 0
Calcula-se, primeiramente, as variáveis auxiliares:
B = 2A3
− 9AB + 27C
C = (A2
− 3B)3
Estas fórmulas (acima), são as únicas que não deduzi. Portanto, não são de minha
autoria. Obtive-as a partir da equação quadrática resolvente (wikipédia).
Na verdade, cheguei nesta fórmula ...
x1 =
−A + −
B
2
+
B2
− 4C
4
3
+ −
B
2
−
B2
− 4C
4
3
3
1

2. ... e, após algumas transformações, tem-se ...
Fórmula Luderiana Irracional para Equação Cúbica (x1)
x1 =
−A +
−B ± B2
− 4C
2
3
3
... na prática, deve ser expandida como segue ...
x1 =
−A +
−B + B2
− 4C
√
2
3
+
−B − B2
− 4C
√
2
3
3
... sugerindo uma generalização (envolvendo as raízes da unidade) para equações de graus supe-
riores ... A fórmula para uma generalização que envolve-se este padrão é relativamente fácil de
deduzirmos. A parte, a princípio ditas “impossíveis” são as fórmulas das variáveis auxiliares, digo,
como as fórmulas das variáveis B e C.
A extração da raiz cúbica (de um número real e, principalmente, de um número complexo) deve
ser feita pela Fórmula Luderiana Racional para Extração da Raiz Cúbica (vide explicação
detalhada no slideshare). A saber:
c3
√
≈ k.
29z3
+ 261z2
+ 255z + 22
7z3 + 165z2 + 324z + 71
Finalmente, calcula-se as demais raízes ...
Fórmula Luderiana Irracional para Equação Cúbica (x2, x3)
x2,3 = −
x1 + A
2
±
(x1)3
+ 2A(x1)2
+ A2
x1 + 4C
4x1
Exemplos
1) Calcular as raízes da equação x3
+ 3x2
− x + 2 = 0
a) A = 3, B = −1 e C = 2
b) Calcula-se, B e C
B = 2A3
− 9AB + 27C
B = 2(3)3
− 9(3)(−1) + 27(2)
B = 135
C = (A2
− 3B)3
C = ((3)2
− 3(−1))3
C = 1728
2

3. c) Calcula-se x1
x1 =
−A +
−B ± B2
− 4C
2
3
3
x1 =
−3 +
−135 ± 1352
− 4(1728)
2
3
3
x1 =
−3 +
−135 ± 11313
√
2
3
3
x1 =
−3 + −67, 5 + 53, 1812937037075093
√
+ −67, 5 − 53, 1812937037075093
√
3
x1 =
−3 + −14, 31870629262924913
√
+ −120, 6812937037075093
√
3
x1 =
−3 − 2, 428293963955528 − 4, 941741065176804
3
x1 =
−10, 370035029132332
3
x1 = −3, 456678343044110
d) Calcula-se x2 e x3
x2,3 = −
x1 + A
2
±
(x1)3
+ 2A(x1)2
+ A2
x1 + 4C
4x1
x2,3
= −
(−3, 456678343044110) + 3
2
±
(−3, 456678343044110)3
+ 2(3)(−3, 456678343044110)2
+ 32
(−3, 456678343044110) + 4(2)
4(−3, 456678343044110)
x2,3 = 0, 228339171522055 ± −0, 52645136088647
√
x2,3 = 0, 228339171522055 ± 0.72556968024199i
x2 = 0, 228339171522055 + 0.72556968024199i
x3 = 0, 228339171522055 − 0.72556968024199i
3

4. 2) Calcular as raízes da equação x3
− 13x2
+ 46x − 28 = 0
a) A = −13, B = 46 e C = −28
b) Calcula-se, B e C
B = 2A3
− 9AB + 27C
B = 2(−13)3
− 9(−13)(46) + 27(−28)
B = 232
C = (A2
− 3B)3
C = ((−13)2
− 3(46))3
B = 29791
c) Calcula-se x1
x1 =
−A +
−B ± B2
− 4C
2
3
3
x1 =
13 +
−232 ± 2322
− 4(29791)
2
3
3
x1 =
13 +
−232 ± −65340
√
2
3
3
x1 =
13 +
−232 + 255, 616900849689i
2
3
+
−232 − 255, 616900849689i
2
3
3
x1 =
13 + −116 + 127, 808450424845i3
√
+ −116 − 127, 808450424845i3
√
3
Resolve-se −116 + 127, 808450424845i3
√
através da Fórmula Luderiana Racional para Extração de
Raízes Cúbicas (vide documento explicativo no slideshare).
c3
√
≈ k.
29z3
+ 261z2
+ 255z + 22
7z3 + 165z2 + 324z + 71
Esta fórmula permite-nos calcular ...
−116 + 127, 808450424845i3
√
≈ 1.3541019662 − 5.4005932882i
A partir do calculo acima, concluímos que ...
−116 − 127, 808450424845i3
√
≈ 1.3541019662 + 5.4005932882i
4

5. Agora, iremos substituir os valores acima e encontrar x1
x1 =
13 + −116 + 127, 808450424845i3
√
+ −116 − 127, 808450424845i3
√
3
x1 =
13 + 1.3541019662 − 5.4005932882i + 1.3541019662 + 5.4005932882i
3
x1 =
13 + 1.3541019662 + 1.3541019662
3
x1 =
15, 7082039324
3
x1 = 5, 2360679775
d-1) Primeira opção para calcular x2 e x3
Pela Fórmula Luderiana Racional para Raízes Cúbicas calculamos uma das raízes de
−116 + 127, 808450424845i3
√
≈ 1.3541019662 − 5.4005932882i
Obtem-se as três raízes quando multiplicamos a raiz encontrada pelas raízes da unidade.
A saber, 1 =3
√
{1, -0.5-0.866025403784439i, -0.5+0.866025403784439i}
Portanto, as três raízes de −116 + 127, 808450424845i3
√
são {1.3541019662497-5.4005932882415i,
4.0000000000000+3.8729833462074i, -5.3541019662497+1.5276099420340i}
Substituindo as demais raizes, tem-se:
x2 =
13 + −116 + 127, 808450424845i3
√
+ −116 − 127, 808450424845i3
√
3
x2 =
13 + 4.0000000000000 + 3.8729833462074i + 4.0000000000000 − 3.8729833462074i
3
x2 = 7
x3 =
13 + −116 + 127, 808450424845i3
√
+ −116 − 127, 808450424845i3
√
3
x3 =
13 − 5.3541019662497 + 1.5276099420340i − 5.3541019662497 − 1.5276099420340i
3
x3 = 0, 7639320225
5

6. d-2) Segunda opção para calcular x2 e x3
x2,3 = −
x1 + A
2
±
(x1)3
+ 2A(x1)2
+ A2
x1 + 4C
4x1
x2,3 = −
(5, 2360679775) − 13
2
±
(5, 2360679775)3 + 2(−13)(5, 2360679775)2 + (−13)2(5, 2360679775) + 4(−28)
4(5, 2360679775)
x2,3 = 3, 8819660113 ± 9, 7221359551
√
x2,3 = 3, 8819660113 ± 3, 1180339888
x2 = 3, 8819660113 + 3, 1180339888
x2 = 7
x3 = 3, 8819660113 − 3, 1180339888
x3 = 0, 7639320225
O Método Luderiano Irracional para Equação Cúbica Completa, apresen-
tado neste documento, é de autoria de Ludenir Santos, Rio Grande - RS (Brazil),
Junho/2016.
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