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Medições e Erros
Medições e Erros
Será possível obter o valor
verdadeiro pela medição?
NÃO.
Limitação das medições
experimentais: há sempre uma
incerteza associada
Medições e Erros
Erros de medição
Erros sistemáticos:
sempre e só no mesmo sentido; se forem
descobertos podem ser corrigidos ou
eliminados .
Ex: Balança mal calibrada, deficiência de
funcionamento, erros de operação, …
Medições e Erros
Erros de medição
Erros fortuitos ou aleatórios: sem qq
regularidade; inevitáveis; estimativas
dependem de pessoa para pessoa e de
medição para medição; tendem a anular-se
num elevado número de medições .
Ex: variações no ambiente do laboratório,
limitações dos instrumentos de medida,…
Medições e Erros
Erros de medição
Boa precisão: baixa dispersão de
resultados. Erros fortuitos pequenos.
Existência de erros sistemáticos:
resultado não exacto.
Fraca precisão: grande dispersão de
resultados. Erros fortuitos elevados.
Não existência de erros sistemáticos:
resultado exacto.
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resultados. Erros fortuitos elevados.
Existência de erros sistemáticos:
resultado não exacto.
Boa precisão: baixa dispersão de
resultados. Erros fortuitos pequenos.
Não existência de erros sistemáticos:
resultado exacto.
Medições e Erros
Distribuição normal dos erros fortuitos
- Os erros mais pequenos, isto é,
as medições mais próximas do
valor correcto são mais frequentes.
Histograma
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Medições e Erros
Distribuição normal dos erros fortuitos
Um histograma com número infinito de
medições e largura de coluna
infinitamente pequeno teria então esta
forma.
Ponto de
inflexão da
curva
s
1
)
(
1
2





n
x
x
s
n
i
i
s = estimativa do desvio padrão (s):
sm = desvio padrão da média :
sm = s / √n ( n é nº dados)
Medições e Erros
Distribuição normal dos erros fortuitos
Que significado tem então o desvio
padrão ?
- mede a precisão dos resultados
Desvio padrão relativo:
RSD = (s/m)x100%
-aproximadamente 68% dos valores
estão compreendidos no intervalo m±1s
-aproximadamente 95% dos valores
estão compreendidos no intervalo m±2s
Medições e Erros
Distribuição normal dos erros fortuitos
EXEMPLO: Calcular o desvio padrão e o desvio padrão relativo do seguinte
conjunto de medições:
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0,105
0,100
0,103
0,100
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m = (0,102+0,105+0,100+0,103+0,100)/5 = 0,102
2º- Calcular o desvio padrão:
s = [(0,102-0,102)2+(0,105-0,102)2+(0,100-0,102)2+
(0,103-0,102)2+(0,100-0,102)2/(5-1)]1/2 = 0,0021
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RSD = (s/m)x100% = (0,0021/0,102)x100% = 2,1%
Medições e Erros
Distribuição t de Student
Quando se determina o desvio padrão a partir de n finito, geralmente n <
30, a distribuição dos desvios em torno da média objectiva não segue
verdadeiramente uma distribuição normal.
É usual neste caso admitir que os desvios seguem a chamada lei de
distribuição t de Student . Assim, exprime-se o intervalo de confiança da
média através da expressão:
m = x ± t . s / √n
O valor de t pode ser encontrado em tabelas e depende de:
a) (n-1), o chamado graus de liberdade da amostra
b) o grau de confiança pretendido para a média (geralmente 95 ou 99%)
Medições e Erros
PROBLEMA ?
Para se determinar o pH de uma solução tampão foram efectuadas 7
medições que forneceram os seguintes resultados:
5,12 5,20 5,15 5,17 5,16 5,19 5,15
Calcule:
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Medições e Erros
PROBLEMA ?
A temperatura de fusão do nitrato de cálcio tetra-hidratado,
Ca(NO3)2.4H2O, foi medida 10 vezes, tendo-se obtido os seguintes
resultados:
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Calcule o valor médio da temperatura de fusão do composto e o
respectivo intervalo de confiança a 95%.
Medições e Erros
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Medições e Erros
Algarismos Significativos
0 1 2 3 4 5
cm
4,938 cm 5,0 cm 4,94 cm 4,93 cm
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Medições e Erros
Algarismos Significativos
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cm
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Algarismos Significativos
0 1 2 3 4 5
cm
5 cm 5,00 cm
Medições e Erros
Algarismos Significativos
Algarismos significativos: são
aqueles a que é possível atribuir um
significado físico concreto.
4,94 cm
O algarismo obtido por estimativa também se
considera significativo
Medições e Erros
Algarismos Significativos
Algarismos significativos: ao efectuar
mudanças de unidades o número de
alg.significativos não se altera:
4,94 cm = 0,0494 m
Os zeros posicionados à esquerda do número
não são contados como algarismos significativos
Medições e Erros
Algarismos Significativos
Algarismos significativos: ao efectuar
mudanças de unidades o número de
alg.significativos não se altera:
494 m = 494x103 mm
A mudança para uma unidade menor não pode
aumentar o número de alg. significativos. Uso de
potências de 10.
Medições e Erros
Algarismos Significativos
EXERCÍCIO: Qual o número de algarismos
significativos das seguintes medições?:
0,0056 g
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2
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3
4
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Medições e Erros
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Soma ou subtracção de duas medições:
4,32 cm + 2,1 cm3 = ?
4,32 cm + 2,1 cm = ?
4,32 cm
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Resultado:
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Medições e Erros
Algarismos Significativos
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Como o algarismo que o precede é impar,
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Algarismos Significativos
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Soma ou subtracção de duas medições:
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1,0 m ?
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4,32 cm x 2,1 s = ?
4,32 cm
x 2,1 s
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0,0247 mol
÷2,1 dm3
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mol/dm3
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algarismos significativos)
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E se tivermos de somar 100 parcelas de 0,10 m ?
0,10 + 0,10 + 0,10 …… = 100 x 0,10 = ?
(método mais simples,
mas não esquecer que se
trata de somas, regra da
menor casa decimal,
centésimas)
= 10,00 m
Medições e Erros
Algarismos Significativos
E se tivermos de multiplicar 0,10 m 100 vezes ?
0,10 x 0,10 x 0,10 …… = (0,10)100 = ?
(método mais simples,
mas não esquecer que se
trata de multiplicações,
regra do menor nº de alg.
significativos, 2)
= 1,0x10-100 m
Medições e Erros
Algarismos Significativos
Diferentes operações com valores de medições,
na mesma expressão.
(0,58 dm3 – 0,05 dm3) x 0,112 mol/dm3 = ?
Método 1: fazer uma operação de cada vez,
tendo em conta os alg.signif.:
(0,58 dm3 – 0,05 dm3) x 0,112 mol/dm3 = 0,53 dm3 x 0,112
mol/dm3 =
= 0,059 mol
Medições e Erros
Algarismos Significativos
(0,58 dm3 – 0,05 dm3) x 0,112 mol/dm3 = ?
Método 2 (PREFERÍVEL!): analisar a expressão e determinar
qual o nº de algarismos significativos final; depois calcular o
resultado sem arredondamentos intermédios, fazendo-se só o
arredondamento final atendendo ao nº de algarismos
significativos:
(0,58 dm3 – 0,05 dm3) x 0,112 mol/dm3 =
(2 alg.sign.) 3 alg.sign. (2 alg.sign.)
R: 0,05936 mol R: 0,059 mol
Medições e Erros
Algarismos Significativos
Problemas:
m = 2,5401 g + 0,57 g + 253,1 g
C = (0,55g / 231,22 g mol-1) / (25,00x10-3 dm3)
pH = -log [H+], [H+]=0,0876 M
Medições e Erros
Propagação de erros aleatórios
No caso de uma combinação linear:
Y = k + kaa + kbb + ….
eY = [(kaea)2 + (kbeb)2 + …]1/2
Por exemplo: volume gasto na bureta:
volume inicial: 5,44 ± 0,02 cm3
volume final: 22,04 ± 0,02 cm3
volume gasto = vol.final – vol.inicial = 22,04 – 5,44 = 16,60 cm3
e(volume gasto) = (0,022 + 0,022)1/2 = 0,028 cm3
Medições e Erros
Propagação de erros aleatórios
Considere a preparação de uma solução:
m(NaCl)= 0,4587 ± 0,0002 g (erro padrão)
V(balão) = 50,00 ± 0,06 cm3 “
|NaCl| = m/V = 0,08416 ± ?? g/dm3
Medições e Erros
Propagação de erros aleatórios
No caso de uma expressão multiplicativa:
Y = k.ab/cd
eY = Y. [(ea/a)2 + (eb/b)2 + (ec/c)2 + (ed/d)2]1/2
Então para o caso da solução de NaCl:
e|NaCl| = |NaCl|. [(emassa/massa)2 + (eVol/Vol)2]1/2
= 0,08416. [(0,0002/0,4587)2 + (0,06/50)2]1/2 =
= 0,08416. (1,98987e-7 + 0,00000144)1/2 = 0,000108 g/dm3
Medições e Erros
Propagação de erros aleatórios
Como apresentar o resultado final ?
No caso da concentração de NaCl:
|NaCl| = 0,08416 g/dm3 (atendendo aos alg.signif.)
erro = 0,000107 g/dm3
Esta casa decimal contém incerteza, logo a
seguinte deixa de ter significado.
Assim: |NaCl| = 0,0842 ± 0,0001 g/dm3
Medições e Erros
Propagação de erros aleatórios
Como apresentar o resultado final ?
No caso do volume gasto:
Vgasto = 16,60 cm3 (atendendo aos alg.signif.)
erro = 0,028 cm3
Neste caso não há perda de alg. signif. Arredondar
o erro.
Assim: Vgasto = 16,60 ± 0,03 cm3
Medições e Erros
Propagação de erros aleatórios
Como proceder em casos (pouco prováveis)
como o seguinte?
densidade = 2,15 g/cm3 (atendendo aos alg.signif.)
erro = 0,003 g/cm3
Será o erro nulo ? Não. Arredondar sempre para
cima.
Assim: densidade = 2,15 ± 0,01 g/cm3
Medições e Erros
Propagação de erros aleatórios
y = ak ey = y.[k.ea/a]
y = ln a ey = [ea / a]
y = log a ey = [ea.log e / a] = [ea 0,4343 / a]
Medições e Erros
Propagação de erros aleatórios
PROBLEMA ?
Determinou-se a seguinte concentração rigorosa
para uma solução de HCl: 0,0940 ± 0,0004 M
Calcular o pH da solução com o respectivo erro
associado.
Medições e Erros
Propagação de erros aleatórios
RESOLUÇÃO
Sendo pH = - log [H+], e atendendo à expressão do
cálculo de erro apresentada anteriormente, o erro
de precisão no pH é de:
(0.0004 x 0,4343) / 0,0940 = 0,001(8) = 0,002
Resultado final: pH = 1,027 ± 0,002
Medições e Erros
Expressões globais
Que volume, em cm3, de uma solução 0,244 mol/dm3 NaCl é
necessário para obter 4,9 mg do sal?
MM(NaCl)=58,442 g/mol
4,9 mg em mol?
=4,9x10-3 (g) /MM (g/mol)
=8,384x10-5 mol
V= n/C =8,384x10-5 (mol)/
0,244 (mol/dm3 )=3,436 x10-4
dm3
=3,4x10-1 cm3 = 0,34 cm3
Expressão global:
V(cm3) = m(mg)/(MM.Cmol/dm3)
=4,9/(58,442x0,244)
=0,34 cm3
Torna mais fácil uma sucessão
de cálculos semelhantes e o
estudo da propagação dos
erros
Medições e Erros
Erros e Tratamento de Dados
Consultar Bibliografia: Algarismos Significativos, Erros e
Tratamento de Dados – Uma Introdução (Eduardo
Marques).
Resolver Exercícios: Erros e Tratamento de Dados –
Problemas (Laboratório de Química I 2004/05).
Disponíveis na PACIENCIAS a partir de 6ª Feira, 8/10/2004.

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  • 2. Medições e Erros Será possível obter o valor verdadeiro pela medição? NÃO. Limitação das medições experimentais: há sempre uma incerteza associada
  • 3. Medições e Erros Erros de medição Erros sistemáticos: sempre e só no mesmo sentido; se forem descobertos podem ser corrigidos ou eliminados . Ex: Balança mal calibrada, deficiência de funcionamento, erros de operação, …
  • 4. Medições e Erros Erros de medição Erros fortuitos ou aleatórios: sem qq regularidade; inevitáveis; estimativas dependem de pessoa para pessoa e de medição para medição; tendem a anular-se num elevado número de medições . Ex: variações no ambiente do laboratório, limitações dos instrumentos de medida,…
  • 5. Medições e Erros Erros de medição Boa precisão: baixa dispersão de resultados. Erros fortuitos pequenos. Existência de erros sistemáticos: resultado não exacto. Fraca precisão: grande dispersão de resultados. Erros fortuitos elevados. Não existência de erros sistemáticos: resultado exacto. Fraca precisão: grande dispersão de resultados. Erros fortuitos elevados. Existência de erros sistemáticos: resultado não exacto. Boa precisão: baixa dispersão de resultados. Erros fortuitos pequenos. Não existência de erros sistemáticos: resultado exacto.
  • 6. Medições e Erros Distribuição normal dos erros fortuitos - Os erros mais pequenos, isto é, as medições mais próximas do valor correcto são mais frequentes. Histograma - Os erros tendem a anular-se. - O valor médio é então o mais digno de confiança
  • 7. Medições e Erros Distribuição normal dos erros fortuitos Um histograma com número infinito de medições e largura de coluna infinitamente pequeno teria então esta forma. Ponto de inflexão da curva s 1 ) ( 1 2      n x x s n i i s = estimativa do desvio padrão (s): sm = desvio padrão da média : sm = s / √n ( n é nº dados)
  • 8. Medições e Erros Distribuição normal dos erros fortuitos Que significado tem então o desvio padrão ? - mede a precisão dos resultados Desvio padrão relativo: RSD = (s/m)x100% -aproximadamente 68% dos valores estão compreendidos no intervalo m±1s -aproximadamente 95% dos valores estão compreendidos no intervalo m±2s
  • 9. Medições e Erros Distribuição normal dos erros fortuitos EXEMPLO: Calcular o desvio padrão e o desvio padrão relativo do seguinte conjunto de medições: 0,102 0,105 0,100 0,103 0,100 1º- Calcular a média: m = (0,102+0,105+0,100+0,103+0,100)/5 = 0,102 2º- Calcular o desvio padrão: s = [(0,102-0,102)2+(0,105-0,102)2+(0,100-0,102)2+ (0,103-0,102)2+(0,100-0,102)2/(5-1)]1/2 = 0,0021 3º- Calcular o desvio padrão relativo: RSD = (s/m)x100% = (0,0021/0,102)x100% = 2,1%
  • 10. Medições e Erros Distribuição t de Student Quando se determina o desvio padrão a partir de n finito, geralmente n < 30, a distribuição dos desvios em torno da média objectiva não segue verdadeiramente uma distribuição normal. É usual neste caso admitir que os desvios seguem a chamada lei de distribuição t de Student . Assim, exprime-se o intervalo de confiança da média através da expressão: m = x ± t . s / √n O valor de t pode ser encontrado em tabelas e depende de: a) (n-1), o chamado graus de liberdade da amostra b) o grau de confiança pretendido para a média (geralmente 95 ou 99%)
  • 11. Medições e Erros PROBLEMA ? Para se determinar o pH de uma solução tampão foram efectuadas 7 medições que forneceram os seguintes resultados: 5,12 5,20 5,15 5,17 5,16 5,19 5,15 Calcule: a) a média b) o desvio padrão c) o desvio padrão da média d) o intervalo de confiança da média, a 95% e) o intervalo de confiança da média, a 99%
  • 12. Medições e Erros PROBLEMA ? A temperatura de fusão do nitrato de cálcio tetra-hidratado, Ca(NO3)2.4H2O, foi medida 10 vezes, tendo-se obtido os seguintes resultados: 42,70 42,60 42,78 42,83 42,58 42,68 42,65 42,76 42,73 42,71 Calcule o valor médio da temperatura de fusão do composto e o respectivo intervalo de confiança a 95%.
  • 13. Medições e Erros Algarismos Significativos 0 1 2 3 4 5 cm Quanto mede a barra cinzenta?
  • 14. Medições e Erros Algarismos Significativos 0 1 2 3 4 5 cm 4,938 cm 5,0 cm 4,94 cm 4,93 cm Leituras correctas entre outras possíveis
  • 15. Medições e Erros Algarismos Significativos 0 1 2 3 4 5 cm 4,9 cm 4,90 cm
  • 16. Medições e Erros Algarismos Significativos 0 1 2 3 4 5 cm 5 cm 5,00 cm
  • 17. Medições e Erros Algarismos Significativos Algarismos significativos: são aqueles a que é possível atribuir um significado físico concreto. 4,94 cm O algarismo obtido por estimativa também se considera significativo
  • 18. Medições e Erros Algarismos Significativos Algarismos significativos: ao efectuar mudanças de unidades o número de alg.significativos não se altera: 4,94 cm = 0,0494 m Os zeros posicionados à esquerda do número não são contados como algarismos significativos
  • 19. Medições e Erros Algarismos Significativos Algarismos significativos: ao efectuar mudanças de unidades o número de alg.significativos não se altera: 494 m = 494x103 mm A mudança para uma unidade menor não pode aumentar o número de alg. significativos. Uso de potências de 10.
  • 20. Medições e Erros Algarismos Significativos EXERCÍCIO: Qual o número de algarismos significativos das seguintes medições?: 0,0056 g 10,2 ºC 5,600 x 10-4 g 1,2300 g/cm3 2 Núm. Alg. Significativos 3 4 5
  • 21. Medições e Erros Algarismos Significativos Soma ou subtracção de duas medições: 4,32 cm + 2,1 cm3 = ? 4,32 cm + 2,1 cm = ? 4,32 cm + 2,1 cm 6,42 cm Resultado: 6,4 cm (6,42 arredonda para 6,4) (regra da menor casa decimal)
  • 22. Medições e Erros Algarismos Significativos Arredondamentos: 4,56 arredondado às décimas: 4,6 4,54 arredondado às décimas: 4,5 4,55 arredondado às décimas: (depende do critério) Como o algarismo que o precede é impar, o valor deste aumenta uma unidade: 4,6
  • 23. Medições e Erros Algarismos Significativos Arredondamentos: 4,555 arredondado às centésimas: 4,56 4,551 arredondado às décimas: 4,6 4,549 arredondado às décimas: 4,5
  • 24. Medições e Erros Algarismos Significativos Soma ou subtracção de duas medições: 1,0 m - 0,05 m = ? 1,0 m -0,05 m 0,95 m 0,9 m ou 1,0 m ?
  • 25. Medições e Erros Algarismos Significativos Multiplicação ou divisão de duas medições 4,32 cm x 2,1 s = ? 4,32 cm x 2,1 s 9,072 cm.s 9,1 cm.s (Regra do menor nº de algarismos significativos)
  • 26. Medições e Erros Algarismos Significativos Multiplicação ou divisão de duas medições 0,0247 mol ÷ 2,1 dm3 = ? 0,0247 mol ÷2,1 dm3 0,0117619…mol/dm3 0,012 mol/dm3 (Regra do menor nº de algarismos significativos)
  • 27. Medições e Erros Algarismos Significativos E se tivermos de somar 100 parcelas de 0,10 m ? 0,10 + 0,10 + 0,10 …… = 100 x 0,10 = ? (método mais simples, mas não esquecer que se trata de somas, regra da menor casa decimal, centésimas) = 10,00 m
  • 28. Medições e Erros Algarismos Significativos E se tivermos de multiplicar 0,10 m 100 vezes ? 0,10 x 0,10 x 0,10 …… = (0,10)100 = ? (método mais simples, mas não esquecer que se trata de multiplicações, regra do menor nº de alg. significativos, 2) = 1,0x10-100 m
  • 29. Medições e Erros Algarismos Significativos Diferentes operações com valores de medições, na mesma expressão. (0,58 dm3 – 0,05 dm3) x 0,112 mol/dm3 = ? Método 1: fazer uma operação de cada vez, tendo em conta os alg.signif.: (0,58 dm3 – 0,05 dm3) x 0,112 mol/dm3 = 0,53 dm3 x 0,112 mol/dm3 = = 0,059 mol
  • 30. Medições e Erros Algarismos Significativos (0,58 dm3 – 0,05 dm3) x 0,112 mol/dm3 = ? Método 2 (PREFERÍVEL!): analisar a expressão e determinar qual o nº de algarismos significativos final; depois calcular o resultado sem arredondamentos intermédios, fazendo-se só o arredondamento final atendendo ao nº de algarismos significativos: (0,58 dm3 – 0,05 dm3) x 0,112 mol/dm3 = (2 alg.sign.) 3 alg.sign. (2 alg.sign.) R: 0,05936 mol R: 0,059 mol
  • 31. Medições e Erros Algarismos Significativos Problemas: m = 2,5401 g + 0,57 g + 253,1 g C = (0,55g / 231,22 g mol-1) / (25,00x10-3 dm3) pH = -log [H+], [H+]=0,0876 M
  • 32. Medições e Erros Propagação de erros aleatórios No caso de uma combinação linear: Y = k + kaa + kbb + …. eY = [(kaea)2 + (kbeb)2 + …]1/2 Por exemplo: volume gasto na bureta: volume inicial: 5,44 ± 0,02 cm3 volume final: 22,04 ± 0,02 cm3 volume gasto = vol.final – vol.inicial = 22,04 – 5,44 = 16,60 cm3 e(volume gasto) = (0,022 + 0,022)1/2 = 0,028 cm3
  • 33. Medições e Erros Propagação de erros aleatórios Considere a preparação de uma solução: m(NaCl)= 0,4587 ± 0,0002 g (erro padrão) V(balão) = 50,00 ± 0,06 cm3 “ |NaCl| = m/V = 0,08416 ± ?? g/dm3
  • 34. Medições e Erros Propagação de erros aleatórios No caso de uma expressão multiplicativa: Y = k.ab/cd eY = Y. [(ea/a)2 + (eb/b)2 + (ec/c)2 + (ed/d)2]1/2 Então para o caso da solução de NaCl: e|NaCl| = |NaCl|. [(emassa/massa)2 + (eVol/Vol)2]1/2 = 0,08416. [(0,0002/0,4587)2 + (0,06/50)2]1/2 = = 0,08416. (1,98987e-7 + 0,00000144)1/2 = 0,000108 g/dm3
  • 35. Medições e Erros Propagação de erros aleatórios Como apresentar o resultado final ? No caso da concentração de NaCl: |NaCl| = 0,08416 g/dm3 (atendendo aos alg.signif.) erro = 0,000107 g/dm3 Esta casa decimal contém incerteza, logo a seguinte deixa de ter significado. Assim: |NaCl| = 0,0842 ± 0,0001 g/dm3
  • 36. Medições e Erros Propagação de erros aleatórios Como apresentar o resultado final ? No caso do volume gasto: Vgasto = 16,60 cm3 (atendendo aos alg.signif.) erro = 0,028 cm3 Neste caso não há perda de alg. signif. Arredondar o erro. Assim: Vgasto = 16,60 ± 0,03 cm3
  • 37. Medições e Erros Propagação de erros aleatórios Como proceder em casos (pouco prováveis) como o seguinte? densidade = 2,15 g/cm3 (atendendo aos alg.signif.) erro = 0,003 g/cm3 Será o erro nulo ? Não. Arredondar sempre para cima. Assim: densidade = 2,15 ± 0,01 g/cm3
  • 38. Medições e Erros Propagação de erros aleatórios y = ak ey = y.[k.ea/a] y = ln a ey = [ea / a] y = log a ey = [ea.log e / a] = [ea 0,4343 / a]
  • 39. Medições e Erros Propagação de erros aleatórios PROBLEMA ? Determinou-se a seguinte concentração rigorosa para uma solução de HCl: 0,0940 ± 0,0004 M Calcular o pH da solução com o respectivo erro associado.
  • 40. Medições e Erros Propagação de erros aleatórios RESOLUÇÃO Sendo pH = - log [H+], e atendendo à expressão do cálculo de erro apresentada anteriormente, o erro de precisão no pH é de: (0.0004 x 0,4343) / 0,0940 = 0,001(8) = 0,002 Resultado final: pH = 1,027 ± 0,002
  • 41. Medições e Erros Expressões globais Que volume, em cm3, de uma solução 0,244 mol/dm3 NaCl é necessário para obter 4,9 mg do sal? MM(NaCl)=58,442 g/mol 4,9 mg em mol? =4,9x10-3 (g) /MM (g/mol) =8,384x10-5 mol V= n/C =8,384x10-5 (mol)/ 0,244 (mol/dm3 )=3,436 x10-4 dm3 =3,4x10-1 cm3 = 0,34 cm3 Expressão global: V(cm3) = m(mg)/(MM.Cmol/dm3) =4,9/(58,442x0,244) =0,34 cm3 Torna mais fácil uma sucessão de cálculos semelhantes e o estudo da propagação dos erros
  • 42. Medições e Erros Erros e Tratamento de Dados Consultar Bibliografia: Algarismos Significativos, Erros e Tratamento de Dados – Uma Introdução (Eduardo Marques). Resolver Exercícios: Erros e Tratamento de Dados – Problemas (Laboratório de Química I 2004/05). Disponíveis na PACIENCIAS a partir de 6ª Feira, 8/10/2004.