Aula de aritmética

1. Divisibilidade, MMC e MDC
AULA 03 - ARITMÉTICA

2. ACHE O ERRO!

3. O que é?

4. Divisibilidade
Um número é divisível por outro, quando o resto da divisão por esse
número é zero.
10 é divisível por 2?
10 é divisível por 5?
10 é divisível por 3?

5. Divisibilidade
1258745854 é divisível por 3?
254785698147 é divisível por 2?
Qual foi, professor?
Aí o sinhô me
quebra!

6. Critério de Divisibilidade por 2
Regra: Um número é divisível por 2 se o algarismo das unidades
(último algarismo) for par (0, 2, 4, 6 e 8)
2000 é divisível por 2?
25478 é divisível por 2?
21587489 é divisível por 2?
254783 é divisível por 2?
SIM
NÃO
SIM
NÃO

7. Critério de Divisibilidade por 3
Regra: Um número é divisível por 3 quando a soma dos
algarismos das do número for divisível por 3.
2000 é divisível por 3?
25478 é divisível por 3?
21587487 é divisível por 3?
254784 é divisível por 3?
NÃO
SIM
NÃO
SIM

8. Critério de Divisibilidade por 4
Regra: Um número é divisível por 4 quando os dois últimos
algarismos do número formarem um número divisível por 4.
2000 é divisível por 4?
25478 é divisível por 4?
21587487 é divisível por 4?
254784 é divisível por 4?
NÃO
NÃO
SIM
SIM

9. Critério de Divisibilidade por 5
Regra: Um número é divisível por 5 quando o último algarismo for
zero ou cinco.
2000 é divisível por 5?
25471 é divisível por 5?
21587487 é divisível por 5?
254785 é divisível por 5?
NÃO
NÃO
SIM
SIM

10. Critério de Divisibilidade por 6
Regra: Um número é divisível por 6 quando o número é divisível
por 2 e por 3 simultaneamente.
3000 é divisível por 6?
25472 é divisível por 6?
33654 é divisível por 6?
254786 é divisível por 6?
NÃO
SIM
SIM
NÃO

11. Relembrando....
47864582
Classes e Ordens de um número
A2BC
2841

12. Critério de Divisibilidade por 7
Regra: Um número é divisível por 7 se o módulo da diferença entre a
soma dos números situados nas classes ímpares e a soma dos números
situados nas classes pares for divisível por 7.
1452577 é divisível por 7? 1254787 é divisível por 7?

13. Critério de Divisibilidade por 8
Regra: Um número é divisível por 8 quando os três últimos
algarismos formarem um número divisível por 8.
1452577 é divisível por 8?
254880 é divisível por 8?
NÃO
SIM

14. Critério de Divisibilidade por 9
Regra: Um número é divisível por 9 quando a soma dos
algarismos das do número for divisível por 9.
1457577 é divisível por 9?
254881 é divisível por 9?
SIM
NÃO

15. Critério de Divisibilidade por 10
Regra: Um número é divisível por 10 quando seu último algarismo
é zero.
145757715450 é divisível por 10?
254881 é divisível por 10?
SIM
NÃO

16. Critério de Divisibilidade por 11
Regra: Um número é divisível por 11 quando o módulo da
diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a
soma dos algarismos de posição par for divisível por 11.
1705 é divisível por 11?
1° posição –
2° posição –
3° posição –
21458 é divisível por 11?
1° posição –
2° posição –
3° posição –
4° posição -

17. Onde está o mais belo da foto?

18. Números primos
Números compostos
Números primos são aqueles que possuem somente dois
divisores naturais distintos: o número um e ele mesmo.
Números compostos são aqueles que possuem mais de dois
divisores naturais distintos.
29
31
12
15

19. Como identificar um número primo?
173
Regra: Um número natural será primo se as divisões sucessivas por números
primos derem resto diferente de zero até o divisor ser maior ou igual ao
quociente.

20. São números que possuem apenas o divisor 1 em comum.
Números primos entre si
12
25
Propriedades dos números primos entre si
1 – Dois números naturais sucessivos são sempre primos entre si
2 – Se dois números forem primos entre si, a soma e o produto entre eles serão também
primos entre si
3 – Se a soma de dois números é um número primo, é poque esses números são primos
entre si
4 – As potências de dois ou mais números primos entre si, também serão primos entre si

21. O Teorema fundamental da Aritmética propõe que todos os
números inteiros positivos maiores que 1 podem ser expressos em
um produto único de números primos com pelo menos 2 fatores.
Fatoração de números inteiros
15
0
88

22. Quantidade de divisores
1° passo: Fatore o número
2° passo: Soma uma unidade em cada expoente dos fatores e
multiplique o resultado
ATENÇÃO: Se a questão não especificar que deseja os divisores positivos, NÃO
se esqueçam de multiplicar por 2 o resultado para entrar também os divisores
negativos.
150

23. Encontrando os divisores
1° passo: Fatorar o número.
2° passo: Colocar uma nova barra ao lado e colocar o 1 em cima.
3° passo: Multiplique o primeiro fator por um e depois todos os outros
abaixo, sem necessidade de repetir resultados já encontrados.
150

24. MDC – Máximo Divisor Comum
Definição: O Máximo divisor comum - MDC entre dois ou mais números
inteiros é o maior número inteiro que é divisor de ambos os números.
MDC (10 , 20, 32) MDC (10 , 20, 32)
1° MÉTODO 2° MÉTODO

25. MDC – Máximo Divisor Comum
MDC (16 , 12)
3° MÉTODO (ALGORITMO DE EUCLIDES)
MDC (16 , 12)

26. Encontrando os divisores comuns
Encontre os divisores comuns positivos entre 280 e 450
1° passo: encontrar o MDC entre 280 e 450.
2° passo: descobrir os divisores do MDC encontrado

27. POPRIEDADES DO MDC
1 - O MDC entre dois ou mais números primos entre si será sempre 1
Exemplos:
2 – Se a é divisor de b, então MDC (a,b) = a
Exemplos:
3 - Se os números forem multiplicados ou divididos por uma constante k, então o
MDC entre esses números também será multiplicado ou dividido pela mesma
constante k.
Exemplos:
Se multiplicarmos todos os números por 2, por exemplo, o novo MDC também
será multiplicado.

28. Problemas clássicos de MDC
Rodrigo e Uéliton resolveram presentear seus alunos com um kit de boas- vindas ao
curso Direto ao Ponto. Para isso, eles foram à papelaria e compraram 120
canetas , 80 lapiseiras e 400 blocos de papel.
Como o curso começará no mês que vem, eles resolveram guardar cada tipo de
presente em caixas específicas com a mesma quantidade de itens cada uma.
Sabendo-se que cada caixa deve conter a maior quantidade de itens possíveis,
calcule quantas caixas serão utilizadas de cada item comprado?
BIZU: sempre que a questão informa variáveis distintas e pergunta alguma coisa
no maior tempo possível /na maior quantidade possível/ no maior peso possível,
pensem em MDC .

29. MMC – Mínimo Múltiplo Comum
Definição: O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) corresponde ao menor
número inteiro positivo, diferente de zero, que é múltiplo ao mesmo tempo
de dois ou mais números.
Múltiplos de 10
Múltiplos de 24
MMC(10,24)

30. Como calcular o MMC?
MMC(10, 20,32)
1° MÉTODO 2° MÉTODO

31. PROPRIEDADES DO MMC
1 - O MMC entre dois ou mais números primos entre si será sempre o produto
entre eles.
Exemplos:
2 - O MMC entre dois ou mais números naturais, em que o maior deles é múltiplo
dos outros, então esse número é o MMC entre eles.
Exemplos:
3 - Se os números forem multiplicados ou divididos por uma constante k, então o
MMC entre esses números também será multiplicado ou dividido pela mesma
constante k.
Exemplos:
Se multiplicarmos todos os números por 2, por exemplo, o novo MMC também
será multiplicado.

32. Problemas clássicos de MMC
Rodrigo, treinando para o teste físico na EPCAR, dava uma volta completa na
pista de atletismo em 24 minutos. Uéliton, acima do peso, dava a mesma volta
em 30 minutos. Se eles saírem juntos da largada, quantas voltas cada um deles
terá dado quando cruzarem a linha de largada juntos novamente?
BIZU: sempre que a questão informa tempos distintos para determinada atividade
e pergunta sobre algum evento acontecer simultaneamente, pensem em MMC .

33. RELAÇÃO ENTRE MMC E MDC
MMC(a, b) · MDC(a, b)= a · b

34. VAMOS TREINAR!!!
01 – Um número é composto por 3 algarismos sendo que o algarismo da
centena é o 7 e o da unidade é o 4. A soma dos possíveis algarismos da dezena
desse número de modo que ele seja divisível por 3 é:
a) 15
b) 18
c) 12
d) 10
GABARITO: C

35. 02 – Assinale a alternativa que o número descrito NÃO seja divisível por 8.
a) 1328738478528
b) 47845784576
c) 398934894832
d) 2587485897
GABARITO: D

36. 03 – O número 61125ab é divisível por 9. O valor máximo da soma dos algarismos
a e b será:
a) 20
b) 12
c) 15
d)8
GABARITO: B

37. GABARITO: B
04 – A Câmara de Vereadores de um município é composta por 16 mulheres e 12
homens, que serão divididos no maior número possível de comissões de tal forma
que cada comissão tenha o mesmo número de membros. O número de membros
em cada comissão é igual a
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

38. Como cairá na sua prova?
(EPCAR 2021) - Considere as seguintes afirmações:
 x é o menor número natural de modo que o produto de 2520 por x seja um
quadrado perfeito.
 y é o número mínimo de dias para que ocorram novamente os eventos A, B e
C, que acontecem hoje, sendo que A repete-se de 63 em 63 dias, B de 60 em
60 dias e C de 90 em 90 dias.
A razão é equivalente a
a) 15
b) 16
c) 18
d) 17
GABARITO: C

39. GABARITO: C
(EPCAR 2022) As divisões exatas de a e b por 4 e 6, respectivamente, são
iguais.
Multiplicando-se o mínimo múltiplo comum (mmc) de a e b pelo máximo
divisor comum (mdc) de a e b, obtém-se 1536 A diferença (a – b) é igual a
a) –18
b) –16
c) –14
d) –12

40. GABARITO: B
(EPCAR 2022) - Considere todos os números naturais k de dois algarismos, tais que k é igual
ao triplo do produto de seus algarismos.
É correto afirmar que a soma desses números k é divisível por
a) 17
b) 13
c) 11
d) 7

41. GABARITO: A
(GOMES - RJ) - O mdc de dois inteiros positivos a e b é 8 e na sua determinação pelo
algoritmo de Euclides os quocientes sucessivamente obtidos foram 2, 1, 1 e 4. Portanto, (a
+b) é igual a :
a) 256
b) 128
c) 196
d) 221

42. 10 (DESAFIO) (AINNNN SENHOR, QUERO IR EMBORA)
Se K é a quantidade de pares inteiros positivos (A,B) cujo MMC(A,B) = 126 10³ , então:
∙
PARA EFEITOS DE CONTAGEM, CONSIDERE (A,B)=(B,A)
a) K > 475
b) 471<K<475
c) 475<K<500
d) 500<K<525

43. Muito obrigado, senhores!