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NOME DO PROFESSOR : Marcelo Beneti

COORDENADOR DE GESTÃO: - Nelson Gerbelli

COORD.RESP. P/ NÚCLEO DE GESTÃO PED. E ACADÊMICA –




         Métodos Quantitativos Aplicados à
                  Administração




Aluno ___________________________________ Nº ___Turma ____ Habilitação _________
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                                      1.PORCENTAGEM

Denominamos razões percentuais as razões cujos conseqüentes sejam iguais a 100.

Exemplo : 30/100(trinta por cento) ; 20/100 (vinte por cento)

30/100 corresponde a 30% e 20/100 corresponde a 20%.

Exemplo:

1) Em uma classe de 30 alunos , 15 fora aprovados. Qual a taxa percentual de aprovação?

30 - 100             onde: 30x = 100 X 15

15 - X                     30x = 1500
                              x = 1500/30 = 50%

2) Ao comprar um livro , obtive um desconto de R$3,00. Qual o preço do livro sabendo que a
taxa de desconto foi de 5%?

3–5                        5x = 300

x - 100                     x = 300/5 = 60



Agora responda os testes a seguir:

            1.Eu uma classe de 50 alunos faltaram 15. Qual a quantidade de alunos presentes
            em porcentagem?


            a) 30%


            b) 70%


            c) 25%


            d) 35%


            2.Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 150, para ter um lucro de
            20% sobre o custo?


            a) R$ 170,00
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         b) R$ 180,00


         c) R$ 185,00


         d) R$ 190,00


         Resolva os problemas abaixo:

   1) De um exame para habilitação de motoristas participaram 380
      candidatos , sabe – se que a taxa de reprovação foi de 15%. Qual o
      número de aprovados e reprovados?
   2) Uma bolsa é vendida por R$ 32,00. Se o seu preço fosse aumentado em
      20% Quanto passaria a custar?
   3) O preço de venda de um compact disc é de R$ 22,00.Quanto passará a
      custar o compact disc se a loja anunciar:
         a) um desconto de 12%
         b) um acréscimo de 5%


   4) Um caderno teve seu preço reajustado de R$ 2,60 para R$ 2,90.Qual é
      a taxa percentual de aumento?
   5) Em certo país , a Paraisolândia , o salário mínimo, após sofrer um
      aumento de 4% , passou a ser de R$ 312,00. qual era o valor do salário
      mínimo nesse país?
   6) Certa mercadoria custava R$ 24,00 e passou a custar R$ 30,00. Qual a
      taxa percentual de aumento?
   7) Da 1ª fase de um concurso participaram 20 mil candidatos, dos quais
      74% não foram aprovados para a 2ª fase.Dos participantes da 2ª fase,
      64% não conseguiram aprovação.
          a) Quantos candidatos foram aprovados nesse concurso?
          b) Qual a taxa de reprovados?

8)A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda
efetuada.
a) um apartamento foi vendido por R$ 62.400,00.Determine a comissão
recebida pelo corretor.
b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ 79.800,00 , já
descontada a comissão do corretor , determine o valor da comissão.

9)O preço de um produto é de R$ 50,00 e um comerciante decide reajustá-lo
em 20%.Diante da insistência de um cliente , o comerciante concede , então
um desconto de 20% sobre o novo preço do produto. Ao final dessas
transações , haveria alteração no preço original do produto? Quem levaria
vantagem: o comerciante ou o cliente?
10) Uma mistura é formada por 120 ml de leite e 30 ml de água.
a) qual a taxa percentual de leite na mistura ? E de água?
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b) Adicionando-se 10 ml de água à mistura, qual será a participação percentual
de água na mistura?
c) Retirando-se 10 ml de água da mistura original ,qual será a participação
percentual de água na mistura?

11) O Sr. Mathias tem R$ 12.000,00 para investir pelo prazo de um ano. Ele
pretende investir parte numa aplicação A que tem um rendimento esperado de
15% ao ano sobre o valor investido , e o restante numa outra aplicação B, que
dá um rendimento de 20% sobre o valor investido. Qual o rendimento anual
esperado se ele aplicar R$ 7.000,00 em A e R$ 5.000,00 em B?


             2. TRANSAÇÕES COMERCIAIS – LUCRO E PREJUÍZO


Em qualquer transação comercial pode haver lucro ou prejuízo.
                                        FÓRMULAS
Para transações comerciais com lucro:
V = C + L onde V – Preço de venda ; C – Preço de custo ; L – Lucro.

Transações comerciais com prejuízo
V = C – P onde V – Preço de venda; C – Preço de custo ; P - Prejuízo
Exemplos práticos
   1) Um equipamento comprado por R$ 3.000,00 deverá ser vendido a que preço , para
       que proporcione o lucro de 25% sobre o preço de venda?
   Temos:
   C – R$ 3.0000,00
   L – 25% do preço de compra – ou seja L = 25/100 . 3000 = 750,00
    Portanto o equipamento deverá ser vendido por:
   V=C+L
   V = 3000 + 750
   V = 3750


   2) Mercedes vendeu uma bicicleta por R$ 300,00 tendo um lucro nessa transação de
       30% sobre a venda. Quanto pagou pela bicicleta?
   V – 300
   L – 30% sobre a venda , ou seja 30/100 . 300 = 90
   Como: V = C + L
   300 = C + 90
   C = 300 – 90
   C = 210
   Pagou R$ 210,00 pela bicicleta.
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3) Um comerciante vai vender seus produtos que custaram R$ 500,00 com um prejuízo
   de 15% do preço de custo. Nestas condições qual será o preço de venda de seus
   produtos?
C – 500
P – 15% do preço de custo – R$ 75,00
V=?


V=C-P
V = 500 – 75
V = 425
O preço de venda será R$ 425,00


4) Vendi um aparelho eletrônico por R$ 300,00 com prejuízo de 25% do preço de custo.
   Quanto eu havia pago por ele?
V = 300
P = 25% do custo ( que não temos) logo 25/100 de C = 0,25C
C=?
V=C–P
300 = C – 0,25C
300 = 0,75C
C = 300/0,75
C = 400


Paguei R$ 400,00 por ele.




                                   EXERCÍCIOS
1) Natália quer vender um apartamento que custou R$ 160.000,00 lucrando 30% do
   preço de custo. Qual será o preço de venda do apartamento de Natália?
2) Luís comprou um carro por R$ 25.000,00 e vendeu-o por R$ 30.000,00. Calcule qual a
   porcentagem de lucro em relação ao:
a) Preço de Custo
b) Preço de Venda


3) Nilva vendeu seu terreno por R$ 30.000,00 com um prejuízo de 20% em relação ao
   preço de custo. Quanto ela havia pago pelo terreno?
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                        Outros exercícios de aprendizagem


1) Paguei com multa R$ 18.450,00 por uma prestação cujo valor era de R$ 15.000,00.
   Qual a taxa percentual da multa?
2) Um investidor comprou um terreno por R$ 15.000,00 e vendeu-o um ano depois por
   R$ 18.750,00, qual o lucro em porcentagem do preço de custo?
3) Manuel compra 100 caixas de laranja por R$ 2.000,00. Havendo aumento de 25% no
   preço de cada caixa, quantas caixas ele poderá comprar com a mesma quantia?




                              Atividade para classe


 1) Efetue as porcentagens abaixo:

       c) 20% de 45
       d) 75% de 500

2) No Brasil os inúmeros problemas sociais pertencem a 80% da
população.Sabendo-se que 30 milhões de pessoas não sofrem com estas
questões sociais, quantos são os menos favorecidos?

3) Nas eleições de 07 de Outubro de 1990 em uma urna para 415 votantes
havia apenas 332 votos. Qual o percentual de eleitores que deixaram de
votar?

4) Numa indústria trabalham 323 homens. As mulheres representam 66%
   dos empregados.Quantos funcionários trabalham nessa indústria?

5) Segundo dados de 1995 , apenas 0,8% da população brasileira possuía
microcomputadores.Numa cidade com 3000 habitantes , onde se aplicou
este índice, o número de pessoas que possuía microcomputadores é:
(10%)² é igual a:

6) Num exame de seleção do CDT/ETEP na prova de matemática de 15
exercícios, com 4 perguntas cada um, um candidato acertou 48 itens.Qual
foi a porcentagem de erros desse candidato?

7) No primeiro dia de um certo mês, uma ação estava cotada em R$ 20,00
.Do dia 1º até o dia 10 deste mês sofreu um aumento de 10% e do dia 11
até o dia 20 sofreu novo aumento de 20%.A quanto foi cotada essa ação no
dia 20 deste mês?
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    8) Um investidor aplicou R$ 5.000,00 em caderneta de poupança no dia
    01/09, em 01/10 foi creditado o rendimento referente ao mês de Setembro,
    que foi de 3,5% . e em 01/11 foi creditado o rendimento do mês de
    Outubro.Se após esse último crédito o saldo passou a ser de R$ 5.392,35,
    determine o rendimento do mês de Outubro em %?

    9) Em um colégio estudam 750 alunos.Desses 52% estudam no período da
    tarde.Quantos estudam no período da tarde?

    10) No fim de uma temporada, uma equipe de basquete havia ganho 25
    jogos dos 40 disputados.Qual foi a porcentagem de partidas ganhas pelo
    clube no final da temporada?

11) calcule a quantia da qual:
a) 42 representa 5%
b) 33 representa 5,5%
c) 280 representa 8%
d) 320 representa 1,25%
e) meio representa quanto por cento de 5/8 ?


12) Uma nota promissória cujo valor era de R$ 5.000,00 foi paga com um desconto de R$ 250.
Qual a taxa de desconto?
13) Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em 3 prestações de 160 e
uma de 180. Qual o preço da mercadoria?
14) Em quanto por cento aumentou         o a população de uma cidade que era de 67.200
habitantes e agora é de 92.400 habitantes ?
15) Um comerciante comprou 120 bonés a R$ 8,00 cada um. Vendeu a metade a R$ 10,00 e o
restante a R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro?
16)Comprou-se um objeto por R$ 60,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual
deve ser o preço?
17) Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que esse
objeto custou R$ 30,00, qual foi o preço de venda?
18) Uma pessoa tendo adquirido um relógio por R$ 125,00 só conseguiu vendê-lo com um
prejuízo de 8% sobre o custo. Por quanto vendeu o relógio?
19) Um objeto que custou R$558,00 foi vendido com um prejuízo de 12% sobre o preço de
venda. Qual o valor apurado na venda?
20) Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei na venda 15% sobre o preço de custo. Quanto
custou o objeto?
21) Uma agência vendeu um carro por R$ 8.500,00 sabendo que na venda teve um prejuízo
de 15% sobre o preço de venda , quanto custou esse carro?
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22) Um terreno foi vendido por R$ 50.600,00 dando um prejuízo de 8% sobre o preço de
venda. Quanto havia custado?




A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas
alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste
em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação
financeira a um Fluxo de Caixa.
  Capital
   O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido
   como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present
   Value     (indicado      pela      tecla    PV     nas      calculadoras     financeiras).

  Juros
   Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva.
   Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.


   JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre
   o capital inicial emprestado ou aplicado.

   JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é
   calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo.
   Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital
   inicial e passa a render juros também.



   O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a
maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um
preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia
suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar
esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta
abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O
tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para
empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como
taxa de juros.



      Quando        usamos         juros      simples       e     juros      compostos?

   A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos.
Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de
crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como
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Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente
encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de
curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.



  Taxa de juros

  A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado,
para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma
percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

    8          %             a.a.          -       (a.a.    significa      ao         ano).
    10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
   Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual
dividida por 100, sem o símbolo %:
    0,15             a.m.             -        (a.m.     significa       ao          mês).
    0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)




                                 JUROS SIMPLES
  O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas
sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão
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novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial
emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em
fórmula temos:


                                  J=C.i.n


                                     Onde:
                             J = juros
                             C = Capital
                             i = taxa de juros
                             n = número de
                             períodos




   Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de
8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os
juros que pagarei serão:

                          J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

  Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

 Montante = Capital + Juros
 Montante = Capital + ( Capital x Taxa de juros x Número de períodos )


                             M=C.(1+ i.n )


                    Aí teríamos : M = 1000 + 160 = 1160

                                       Ou

                           M = 1000. (1+8/100.2)

                                   M = 1160




 Exercícios sobre juros simples:

  1) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200 pelo prazo de 2 anos, à
taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago?
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  2 – Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 , pelo prazo de 3 meses,à taxa
de 1,2% ao mês . Qual o valor do juro a receber?.

   3 – Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200, à taxa de
5% ao trimestre , durante 3 trimestres?

4 – Um capital de R$ 56.800 foi empregado , à taxa de 0,75% ao mês , durante
2,5 meses.Calcule o juro produzido.

5 – Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00 por um prazo de 8
meses no regime de juro simples à taxa de 1,5% ao mês.

6 – Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000 ,00
durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês?



                       TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção
com os tempos as elas referidos , reduzidos à mesma unidade.

Para resolvermos qualquer problema é necessária que tempo e taxa estejam
na mesma unidade por exemplo taxa ao mês e tempo em meses, taxa ao ano e
tempo também ao ano, taxa ao bimestre e tempo ao bimestre.

Exemplos:

1 – Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.

                                 Resolução

Em um ano temos 12 meses então : 30/12     = 2,5% ao mês

30% ao ano é proporcional a 2,5% ao mês.




2 – Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia.

                                 Resolução

Em um mês temos 30 dias logo:

0,08 x 30 = 2,4 % ao mês.
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3 – Calcule a taxa anual proporcional a 8 % ao trimestre.

                                   Resolução

Em um ano temos quatro trimestres – JAN/FEV/MAR; ABR/MAI/JUN;
JUL/AGO/SET; OUT/NOV/DEZ.

8 x 4 = 32% ao ano

                       Resolva os exercícios abaixo:

   1) Calcule a taxa mensal proporcional a:

          a) 9% a.t. (ao trimestre) b) 24% a.s.(ao semestre) c) 0,04%a.d.(ao
             dia)



   2) Calcule a taxa anual proporcional a:

   a) 1,5%a.m.(ao mês)      b) 8% a.t.(ao trimestre) c) 21%a.s.(ao semestre)

   d) 0,05% a.d. (ao dia)



   Agora resolva os problemas abaixo:

   1) Um capital de R$ 2.400 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao
      ano. Determine o juro obtido.

   2) Calcule o correspondente a um capital de R$ 18.500 , aplicado durante 2
      anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano.

   OBS: Transformar a taxa e o tempo ambos em dias. – Considerar o ano
   comercial que é de 360 dias)

   3) Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 32.500, à taxa de 18%
      ao ano , durante 3 meses.

   4) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000 , em regime de juro simples,
      durante 2 anos 4 meses,à taxa de 24% ao ano.

   5) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000
      durante 15 meses à taxa de 3% ao mês.
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   6) Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14.800
      daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juro
      simples.

   7) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000 , à taxa de 2,5 % ao
      mês, durante 2 anos.

   8) Uma pessoa aplicou R$ 90.000 no mercado financeiro e, após 5 anos,
      recebeu o montante de R$ 180.000 .Qual foi a taxa anual?




                            DESCONTO SIMPLES

Se uma pessoa deve uma quantia de dinheiro numa data futura, é normal que
se entregue ao devedor um título de crédito, que é o comprovante dessa
dívida. Todo título de crédito tem um data de vencimento, porém o devedor
pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com esse abatimento denominado
desconto.

Exemplos de títulos de crédito:

a) Nota promissória: é um comprovante de aplicação de um capital com
vencimento pré - determinado. È um título muito usado entre pessoas físicas
e uma instituição financeira.

b) Duplicata: é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seus clientes
(pessoa física ou jurídica) , para o qual ele vendeu mercadorias a prazo ou
prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.

c) Letra de Câmbio: Assim como a nota promissória , é um comprovante de
uma aplicação de capital com vencimento predeterminado ; porém, é um título
ao portador,emitido exclusivamente por uma instituição financeira.

d) Desconto: é a quantia a ser abatida ao valor nominal, isto é, a diferença
entre o valor nominal e o valor atual.



O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou o
valor atual. No primeiro caso, é denominado desconto comercial; no segundo,
desconto racional.

                          DESCONTO COMERCIAL

Chamamos de desconto comercial , bancário ou por fora o equivalente ao juro
simples, produzido pelo valor nominal do título no período de tempo
correspondente e a à taxa fixada.
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Termos que são usados no Valor do desconto comercial:

d – o valor do desconto comercial

N – o valor nominal do título

A – o valor atual comercial ou valor descontado comercial

n – o tempo (nº de períodos)

i – Taxa de desconto

Fórmula d = N . i . n

Valor atual comercial

O valor atual comercial ou valor descontado comercial é dado por:

A=N-d

Ou então substituindo d pelo seu valor obtido vem:

A = N (1 – i x n)

EXEMPLOS:

1 - Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1 % ao mês.
Faltando 45 dias para o vencimento do título ,determine:

a) O valor do desconto comercial

Resolução:

Temos : N = 6.000 ; n = 45 dias ; i = 2,1%ao mês fazemos a conversão para
taxa ao dia: em um mês temos 30 dias então: 2,1/30 = 0,07%ao dia

Usando a fórmula:

d=N.i.n

d = 6000. 0,07/100 . 45

d = 189 (desconto comercial)

b) O valor atual comercial

A=N–d

A = 6000 – 189

A = 5.811
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O valor atual comercial é de r$ 5.811

Obteríamos o mesmo resultado usando a formula abaixo:

A = N (1-i.n) e d = N-A

A = 6000 (1 – 0,0007 . 45) = 5811

d = N – A = 6000 – 5811 = 189

2 ) Uma duplicata de R$ 6.900 foi resgatado antes de seu vencimento por R$
6.072 . Calcule o tempo de antecipação , sabendo que a taxa de desconto
comercial foi de 4% ao mês.

Temos: N = 6.900; A = 6.072; i = 4% ao mês 4/100 = 0,04

A = N ( 1 –i .n)

6072 = 6900 (1- 0,04.n)

6072 = 6900 - 276n

276n = 6900-6072

276n = 828

n = 828/276

n = 3 meses

O problema poderia ser resolvido empregando a fórmula do desconto d = N.i.n
, lembrando que:

d=N–A

d = 6900 – 6072 = 828

d = N.i.n

828 = 6900 . 0,04. n

828 = 276n

n = 828/276

n = 3 meses

EXERCÍCIOS

1) Uma duplicata cujo valor nominal é de R$ 2.000 foi resgatado 2 meses
antes do vencimento à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial?
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2) Um título no valor nominal de R$ 8.400, com vencimento em 18/10 é
resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratado foi de 54%ao ano, qual o
valor comercial descontado?

3) Um título de R$ 4.800 foi resgatado antes do seu vencimento por R$ 4.476,
sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo
de antecipação do resgate?

4) Determine o desconto de uma promissória de R$ 3.000, à taxa de 40% ao
ano, resgatada 75 dias antes do vencimento.

5) Um título de valor nominal de R$ 900,00com vencimento para 150 dias será
descontado em um banco que opera coma taxa de desconto de 6% ao mês:

Calcule:

   a) O prazo de antecipação é de 3 meses.Qual o desconto?

   b) Calcule o valor atual

   c) Se o resgate for feito 48 dias antes do vencimento , qual será o
      desconto?

   d) Qual o valor atual?

   6) Qual o desconto experimentado por um título de R$ 1.500, à taxa de
   desconto de 10% ao mês , se o resgate é feito:

   a) um mês antes do vencimento

   b) 60 dias antes do vencimento.

   7) Um título de R$ 420,00 é descontado 45 dias antes do vencimento à taxa
   de 3% ao mês.Qual é o valor do resgate?

   8) Sendo 48% a taxa anual de desconto utilizada por uma instituição ,qual
   seria o valor de um título de R$ 20.000,00 descontado 4 meses antes do
   vencimento?

   9) O valor nominal de uma duplicata a ser descontada à taxa de 2,5% ao
   mês é R$ 700,00 . Calcule o valor atual da duplicata, se for descontado:

   a) 12 dias antes do vencimento

   b) 53 dias antes do vencimento
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                          JUROS COMPOSTOS
   O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e
portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados
a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do
período seguinte.
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  Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados
ao principal. Após três meses de capitalização, temos:

   1º mês: M =C.(1 + i)
   2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1
+ i)
   3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)

  Simplificando, obtemos a fórmula:



                                 M =C . (1 + i)n




   Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de
n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

   Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao
final do período:



                                    J=M-C




  Exemplo:

  Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros
compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
 (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)




 Resolução:

 C = R$6.000,00
 t = 1 ano = 12 meses
 i = 3,5 % a.m. = 0,035
 M=?

 Usando a fórmula M=C.(1+i)n, obtemos:
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  M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12
  Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:

  log x = log 1,03512   => log x = 12 log 1,035     => log x = 0,1788     => x =
1,509

  Então M = 6000.1,509 = 9054.
  Portanto o montante é R$9.054,00



               EXERCÍCIOS DE JUROS COMPOSTOS


1- (fácil) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes
taxas efetivas e prazos:

a) 4% am    e 6 meses    b) 8% at   e   18 meses   c) 12% aa    e   18 meses

2 - (fácil) Em que prazo um capital de R$ 18.000,00 acumula um montante de R$
83.743,00 à taxa efetiva de 15% am?

3 - (fácil) Uma empresa pretende comprar um equipamento de R$ 100.000,00
daqui a 4 anos com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da
aplicação necessária se os juros efetivos ganhos forem de:

a) 13% at      b) 18% aa       c) 14% as     d) 12% am

4 - (fácil) Um capital de R$ 51.879,31 aplicado por 6 meses resultou em R$
120.000,00. Qual a taxa efetiva ganha?

5 - (fácil) Em quanto tempo triplica uma população que cresce à taxa de 3% aa?

6 - (fácil) A rentabilidade efetiva de um investimento è de 10% aa. Se os juros
ganhos forem de R$ 27.473,00, sobre um capital investido de R$ 83.000,00,
quanto tempo o capital ficará aplicado?

7 - (fácil) Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao
próprio capital, aplicando-se uma taxa efetiva de 5% am?

8 - (fácil) Quanto tempo deve transcorrer para que a relação entre um capital de
R$ 8.000,00, aplicado a juros efetivos de 4% am, e seu montante seja igual a
4/10?

9 - (fácil) Calcular o rendimento de um capital de R$ 7.000,00 aplicado à taxa
efetiva de 1% am no período compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do
mesmo ano. (considere ano civil entre as datas).

10 - (fácil) Qual a taxa anual efetiva que permite a duplicação de um capital no
prazo de 42 meses?
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11 - (média) Na compra de um Bem cujo valor à vista é de R$ 140,00, deve-se
pagar uma entrada mais duas prestações de R$ 80,00 no fim dos próximos 2
meses. Considerando uma taxa de juros de 20% am, qual o valor da entrada?

12 - (média) Por um equipamento de R$ 360.000,00 paga-se uma entrada de 20%
mais dois pagamentos mensais consecutivos. Se o primeiro pagamento for de R$
180.000,00 e a taxa de juros efetiva aplicada, de 10% am, calcular o valor do
segundo pagamento.

13 - (média) Um capital de R$ 50.000,00 rendeu R$ 1.000,00 em um determinado
prazo. Se o prazo fosse dois meses maior, o rendimento aumentaria em R$
2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela aplicação e o prazo
em meses.

14 - (média) Dois capitais foram aplicados durante 2 anos, o primeiro a juros
efetivos de 2% am e o segundo, a 1,5 am. O primeiro capital é R$ 10.000,00
maior que o segundo e seu rendimento excedeu em R$ 6.700,00 o rendimento do
segundo capital. Calcular o valor de cada um dos capitais.

15 - (média) Um certo capital após 4 meses transformou-se em R$ 850,85. Esse
capital, diminuído dos juros ganhos nesse prazo, reduz-se a R$ 549,15. Calcular o
capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na aplicação.

16 - (difícil) Um capital foi aplicado a juros efetivos de 30% aa. Após 3 anos,
resgatou-se a metade dos juros ganhos e, logo depois, o resto do montante foi
reaplicado à taxa efetiva de 32% aa, obtendo-se um rendimento de R$ 102,30 no
prazo de 1 ano. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado.

17 - (média) Determine o capital que aplicado durante 3 meses à taxa efetiva
composta de 4% am produz um montante que excede em R$ 500,00 ao montante
que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo mesmo prazo a juros
simples de 4% am.

18 -(média) Uma pessoa depositou R$ 1.000,00 em um fundo que paga juros
efetivos de 5% am, com o objetivo de dispor de R$ 1.102,50 dentro de 2 meses.
Passados 24 dias após a aplicação, a taxa efetiva baixou para 4% am. Quanto
tempo adicional terá de esperar para obter o capital requerido?

19 - (média) Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado dividido em duas parcelas, a
primeira à taxa efetiva de 6% at e a segunda a 2% am. Se após 8 meses os
montantes de ambas as parcelas se igualam, determinar o valor de cada parcela.

20 - (fácil) Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e
22 de dezembro do mesmo ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado?

21 - (fácil) Determinar o valor dos juros pagos por um empréstimo de R$ 2.000,00
contratado à taxa efetiva de 5% am pelo prazo de 25 dias.
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                          Introdução à Estatística

Temática: Conceitos básicos.




Iniciaremos nosso curso fazendo uma breve introdução do conceito estatístico.

O que é Estatística?
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É um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e
medir os fenômenos coletivos.

Estatística descritiva ou dedutiva : é aquela que tem por objeto por
descrever e analisar determinada população , sem pretender tirar conclusões
de caráter mais genérico.

Estatística Indutiva: é a parte da estatística que baseando-se em resultados
obtidos da análise de uma amostra da população procura inferir, induzir ou
estimar as leis de comportamento da população da qual a amostra foi retirada.

Fases do Método Estatístico

         a) Coleta de dados : características mensuráveis do fenômeno que
             desejamos pesquisar, pode ser contínua , periódica (exemplo: de
             10 em 10 anos) ou ocasional.

         b) Crítica de dados : é a conferência dos dados coletados , se
             ocorrer erros pode ser por motivos externos, ou seja erros por
             parte   do     informante   ou   motivos   internos   por   parte   do
             entrevistador ou da equipe de pesquisa.

         c) Apuração dos dados: soma e processamento dos dados
             obtidos e disposição mediante critérios de classificação.

         d) Exposição ou apresentação dos dados: pode ser feita
             mediante tabelas , gráficos ,relatórios da maneira mais clara
             possível que todos interessados possam compreender.

         e) Análise dos resultados : Conclusões sobre o trabalho realizado
             , análise e interpretação dos dados obtidos.



         População e Amostra

         População – é o todo pode ser finita ou infinita.

         Finita – possui um número determinado de elementos exemplo:
         número de alunos da classe.
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           Infinita – um grande número de elementos exemplo: a população da
           cidade de São Paulo.

           Amostra – é um subconjunto da população ou seja uma parte dela.

           Quando há um número muito grande de elementos , fica difícil a
           observação dos aspectos a serem estudados de cada um dos
           elementos devido ao alto custo , ao intenso trabalho e ao tempo
           despendido para levar a cabo uma exaustiva observação de todos
           os elementos da população , nesse caso fazemos a seleção de uma
           amostra (cerca de 10% da população a ser estudada) , e através
           dessa observação estaremos aptos a analisar os resultados da
           mesma forma que se estudássemos toda a população.




                                  QUESTIONÁRIO

1-) O que é Estatística?

2-) Quais as fases do método estatístico? Explique cada um deles.

3-) Analise as afirmativas a seguir:

I. Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve
para estudar e medir os fenômenos coletivos.

II. População finita é um grande número de indivíduos onde se torna difícil
quantificar e realizar os trabalhos de coleta de dados.

III. População finita é um determinado número de indivíduos como por
exemplo número de alunos em sala de aula.

Pode-se dizer que são corretas as afirmações:

a)     Somente I.

b)     Somente I e II.

c)     Somente II e III.

d)     I, II e III.
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4-) Qual dessas fases do método estatístico corresponde a pesquisa com
indivíduos.

a) Crítica de dados.

b) Coleta de dados.

c) Análise dos resultados.

d) Exposição ou apresentação dos dados.




Temática: Ferramentas de cálculos para o estudo da estatística .



Nessa aula iremos revisar alguns cálculos que serão de extrema importância
no estudo da Estatística e também para o estudo em física.

Fração

È uma parte do todo ou seja um par ordenado onde o segundo número é
diferente de zero.
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a/b , com a Є IN e b Є IN*. ( a pertence ao conjunto dos números naturais e b
pertence ao conjunto dos números naturais não nulos(com exclusão do zero).

Fração Própria – é aquela onde o
numerador é menor que o denominador
como por exemplo: 3/5 , 2/7 , 13/17 , etc.

Fração imprópria é aquela onde o numerador é igual ou maior que o
denominador. Exemplo: 7/2 , 4/4 , 12/4 etc.

Fração    aparente    é     a   fração   onde   o   numerado   é   múltiplo   do
denominador.Exemplo 12/4 representa o número 3 pois 12:4 = 3 ; se o
numerador é zero , a fração apresenta o número zero. Assim 0/5 = 0; todo
número natural pode ser apresentado por uma fração com denominador 1.
Assim 7 pode ser apresentado por 7/1.

Frações Equivalentes – duas frações são equivalentes quando os produtos
do numerador de um pelo denominador das outra são iguais.

Exemplo: para 1/2 e 2/4 onde temos: 1 X 4 = 2 X 2

Simplificação de frações

Basta dividir ambos os termos por um divisor comum.

Exemplo : 3/6 = 3:3 e 6:3 = 1/2

Fração irredutível é aquela que os números são primos entre si (isto é , não
possuem outro divisor comum a não ser o número 1).

Exemplo: 7/17 é uma fração irredutível , pois 7 e 17 são números primos entre
si.

Comparação de frações

Para compararmos duas ou mais frações devemos reduzi-la ao mesmo
denominador e lembrar que , de duas frações com o mesmo denominador, a
maior é aquela que contém o maior numerador.

Operações com frações

Adição e subtração
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          a) Frações homogêneas – conserva-se o denominador e adicionam-
                se ou subtraem os numeradores.

          Exemplo:

2/5 + 7/5 = 9/5 ou 7/3 – 2/3 = 5/3

          b) Frações heterogêneas – reduzem-se as frações ao mesmo
                denominador, obtendo-se dessa forma frações homogêneas.

          Exemplo:

          4/5 + 2/3 = 12+10/15 = 22/15

          Reduzindo ao mesmo denominador – vamos calcular o mínimo
          múltiplo comum dos denominadores como no exemplo acima:

          2,3 2

          1, 3 3

          1, 1     logo m.m.c de 2 e 3 = 2 X 3 = 6



          6/7 – 1/2 = 12-7/14 = 5/14

          Observe que reduzimos ao mesmo denominador 7 e 2 = 14



Nota: Sempre que possível simplificar o resultados como vimos no tópico de
simplificação de frações.




Multiplicação de frações

Produto    de     numeradores    por   numeradores     e      denominadores   por
denominadores.

Exemplo: 3/7 X 4/3 = 3 X 4 = 12 e 7 X 3 = 21 o que resulta em 12/21.
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O processo da multiplicação pode ser facilitado usando a simplificaçãopelo
cancelamento dos fatores comuns dos numeradores e dos denominadores.

Exemplo:

2/3 X 3/5 nesse caso é possível simplificar 3 por 3 ou seja 3:3 =1 ficando
dessa forma 2 X 1 = 2 e 1 X 5 = 5 o que resulta em 1/7.

Divisão de frações

Produto da primeira pelo inverso da segunda.

Exemplo : 1/2 : 3/7 = 1/2 X 7/3 = 7/6

Potenciação de Frações

Devemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente.

(2/5)² = 2²/5² = 4/25

Porcentagem ou Percentagem

Denominamos razões percentuais as razões cujos conseqüentes sejam iguais
a 100.

Exemplo : 30/100(trinta por cento) ; 20/100 (vinte por cento)

30/100 corresponde a 30% e 20/100 corresponde a 20%.

Exemplo:

1) Em uma classe de 30 alunos , 15 fora aprovados. Qual a taxa percentual de
aprovação?

30 - 100                onde: 30x = 100 X 15

15 - X                        30x = 1500
                                x = 1500/30 = 50%

2) Ao comprar um livro , obtive um desconto de R$. Qual o preço do livro
sabendo que a taxa de desconto foi de 5%?

3–5                          5x = 300

x - 100                       x = 300/5 = 60
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Agora responda os testes a seguir:

         1. Qual o resultado de 3/4 + 4/5 :

         a) 31/20
         b) 30/20
         c) 22/20
         d) 1/4

         2. Quanto é 6/12 X 2/9:

         a) 1/9
         b) 2/3
         c) 3/5
         d) 1/25

         3.Eu uma classe de 50 alunos faltaram 15. Qual a quantidade de
         alunos presentes em porcentagem?

         a) 30%

         b) 70%

         c) 25%

         d) 35%

         4.Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 150, para ter
         um lucro de 20% sobre o custo?

         a) R$ 170,00

         b) R$ 180,00

         c) R$ 185,00
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           d) R$ 190,00

Nessa   aula   podemos       revisar   cálculos   importantes   como   frações   e
porcentagens que serão de muita utilidade em Estatística, na próxima aula
aprenderemos sobre as regras de arredondamento de acordo com as normas
do IBGE.

           – Regras de arredondamento

           Resolução 886/66 IBGE

           Hoje iremos estudar arredondamentos que é de fundamental
           importância para nossos estudos, principalmente valores que tem
           muitas casas decimais.

           Muitas vezes, é conveniente suprimir unidades inferiores às de
           determinada ordem. Esta técnica é denominada arredondamento de
           dados ou valores.

           De acordo com a resolução 886/66 do IBGE:

                   1) < 5 (ou seja 0,1,2,3,4) – o último algarismo a permanecer
                      fica inalterado    exemplo: se quiser arredondar para o
                      mais próximo décimo (uma casa após a vírgula) o
                      seguinte número 53,24 , podemos observar que
                      abandonaremos o 4 que é menor que 5 portanto nosso
                      arredondamento ficará 53,2; se desejar arredondar para
                      o mais próximo centésimo 53,242 abandonaremos o dois
                      , logo 53,24; Obs: inteiro 53,2 - 53
                   2) >5 (ou seja 6,7,8,9)– o último número a permanecer
                      aumentará em uma unidade exemplo : 53,26               logo
                      abandonamos o 6 (>5) – 53,3 (quando décimo) ,
                      desejando arredondar para o centésimo mais próximo
                      53,267 – 53,27; obs: inteiro 53,6 - 54
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        3) = 5 – Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só
            seguirem zeros, o último algarismo a permanecer só
            será aumentado se for ímpar exemplo : arredondar para
            o mais próximo décimo 53,25 – abandonamos o cinco e
            o dois como número par permanecerá 53,2 , se caso
            fosse 53,35 – o três como número ímpar seria aumenta
            em uma unidade ou seja 53,4 e essa regra se sucede
            como centésimos.

Vamos fazer alguns exercícios para fixar o aprendizado.

      1. Arredondar de acordo com o que se pede:

      a) Para o inteiro mais próximo

      53,02            23,5       99,900           26,5

      98,49           108,5        1,008           49,98

      71,50002        739,5        40,900        128,53

      b) Para o centésimo mais próximo

      20,742           46,727       28,255

      205,2384         12,352       253,65

      5,385             45,097        39,49

      c) Para o décimo mais próximo

      0,061             23,40         120,4500

      0,223            234,7832        26,55

      7,7              129,98          12,235
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         2. Uma transportadora entregou em um mês:

         6,19655 toneladas de produtos eletrônicos;

         15,8561 toneladas de brinquedos;

         13,6455 toneladas de alimentos;

         09,7450 toneladas de papel;

         10,3400 toneladas de remédio;

         12,2350 toneladas de tecidos.

         Calcule quanto a transportadora entregou nesse mês, em
         toneladas:

a) sem arredondar;
b) arredondando para o centésimo mais próximo e o inteiro mais
   próximo.




                                Variáveis

   Significado de variável no dicionário – mutável, que muda ,que sofre
   transformações , flexível;

   Significado estatístico – característica que vamos estudar em
   determinada população.

   Quanto à classificação de variáveis temos:




   Qualitativas (nominal / ordinal)
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Variável qualitativa nominal – Quando os elementos dessa variável
são identificados por nome exemplo: cor do cabelo , cor dos
olhos(azuis, castanhos, verdes);

Variável qualitativa ordinal – quando os elementos entre elas indicam
uma ordem entre elas exemplo: ótimo , bom , regular , ruim ,
péssimo.

Quantitativas (contínua / discreta)

Variável quantitativa discreta – valor muda em saltos ou passos (não
existe continuidade) exemplo: número de filhos de um casal ,
número de carteiras da sala de aula , etc.

Variável quantitativa contínua – admite infinitos valores dentro de um
espaço ou intervalo exemplo: pesos das pessoas 75,2 (setenta e
cinco quilos e duzentos gramas) ou altura 1,72 (um metro e setenta
e dois centímetros) , notas de 0 a 10 – 7,5.

Resolva o exercício abaixo:

Classifique as em qualitativas ou quantitativas (contínuas ou
discretas):

a) alunos de uma escola
b) raça de cachorros
c) altura de determinada pessoa
d) peso de um bebê
e) número de filhos
f) cor de pele
g) os pontos obtidos na jogada de um dado
h) Valor do salário
i) Sexo
j) idade
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                             ESTATÍSTICA GRÁFICA

Temática: Tabulação

Antes de realizarmos qualquer relatório ou trabalho gráficos devemos
primeiramente efetuar a tabulação dos dados devidamente coletados evitando
dessa forma possíveis erros dentro do método estatístico.

a) Estrutura da tabela e do gráfico

Uma tabela e até mesmo um gráfico devem ser estruturados da seguinte
maneira – Cabeçalho , corpo e rodapé.

Cabeçalho : é a apresentação do que a tabela está procurando estudar e
representar , deve conter o necessário para que sejam respondidas as
seguintes questões: O QUÊ ? (referente ao fato), ONDE? (relativo ao lugar),
QUANDO? (correspondente ao tempo – anos , meses , dias). Exemplo:
acidentes na Rodovia Castelo Branco em 1994.

Exemplo:

O que? – (fato): Acidentes

Onde? – (lugar): Rodovia Castelo Branco

Quando? – (tempo): 1994

Estatística Indutiva: é a parte da estatística que baseando-se em resultados
obtidos da análise de uma amostra da população procura inferir, induzir ou
estimar as leis de comportamento da população da qual a amostra foi retirada.

Corpo : o corpo de uma tabela é representado por uma série de colunas e
subcolunas onde ficam alocados os dados apurados.Segundo o corpo, as
tabelas podem ser de entradas simples, de dupla entrada e de múltipla
entrada.
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Exemplo: Entrada simples

Previsão da população para a cidade de São Paulo 1990-2019

                 ANOS                           População (1.000 Hab.)

                  1990                                   11.170

                  1994                                   12.226

                  2001                                   13.415

                  2009                                   14.913

                  2019                                   15.533




           Exemplo: Entrada dupla

           Contingente da empresa Estatísticos y em 2006

   Sexo/ Tipo               Homens            Mulheres                Total
      Maiores                 50                 35                    85
      Menores                 30                 15                    45
        Total                 80                 50                   130


Existe também entradas múltiplas onde envolve mais colunas, linhas e muito
mais dados , regiões.

Exemplo: entrada múltipla

População presente nas regiões sul e sudeste – 1940 /1980

Regiões         01/09/1940   01/07/1950   01/09/1960     01/09/1970    01/09/1980

SUL             5.735.305    7.840.870    11.753.075     16.496.493    19.038.95

Paraná          1.236.276    2.115.547    4.268.239      6.929.868     7.629.405

Santa           1.178.340    1.560.502    2.118.116      2.901.734     3.631.368
Catarina
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R.Grande        3.320.689      4.164.821    5.366.720    6.664.891    7.778.162
do sul

SUDESTE         18.345.831     22.548.494   30.630.728   39.853.498   51.746.318

Minas           6.763.368      7.782.188    9.657.738    11.487.414   13.389.605
Gerais

Espírito        790.149        957.238      1.170.858    1.599.333    2.019.877
Santo

Rio        de   1.847.857      2.297.194    3.363.038    4.742.884    11.300.665
Janeiro

Guanabara       1.764.141      2.377.451    3.247.710    4.251.918    -

São Paulo       7.180.316      9.134.423    12.809.231   17.771.948   25.036.171



Fonte: IBGE.Diretoria técnica, Departamento de Censo Demográfico

      1. População residente

      2. resultados preliminares da publicação “Tabulações Avançadas do censo
         Demográfico” baseados em uma amostra probabilística,de fração um
         pouco inferior a 1% da população e dos domicílios recenseados.



Rodapé: Nessa parte da tabela devemos colocar a legenda e todas as
observações que venham esclarecer a interpretação da tabela, também é no
rodapé que se coloca a fonte dos dados , em alguns casos ela pode ser
colocada também no cabeçalho. A fonte serve para dar maio autenticidade à
tabela.



 Agora resolva o seguinte exercício.

Calcule a porcentagem de crescimento populacional da seguinte tabela: de
1990 a 1994; de 1994 a 2001; de 2001 a 2009 e 2009 a 2019.
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               ANOS                            População (1.000 Hab.)

                1990                                     11.170

                1994                                     12.226

                2001                                     13.415

                2009                                     14.913

                2019                                     15.533




Nessa aula estudamos como elaborar uma tabela e seus elementos e também
reforçamos o estudo de porcentagem com o exercício solicitado.

Temática: Gráficos Estatísticos

O gráfico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, com o objetivo
de produzir no investigador ou no público em questão uma impressão mais
rápida e compreensível do fenômeno estudado , através dos gráficos podemos
entender melhor as séries estatísticas.

O gráfico deve ser composto de simplicidade, clareza e veracidade , ou seja
deve expressar a verdade e possibilitar um claro entendimento ao público
interessado.

          Diagramas: são gráficos geométricos de no máximo, duas
          dimensões;para sua construção,em geral, fazemos uso do sistema
          cartesiano.

          Vamos apresentar os gráficos mais utilizados

          Gráfico em linha: constitui uma aplicação do processo de
          representação de funções num sistema de coordenadas cartesianas.
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Fazemos uso de duas retas perpendiculares; as retas são o eixo x
(eixo das abcissas) e o eixo y (eixo das ordenadas).

Para o melhor entendimento vamos consideremos a seguinte série:

PRODUÇÃO BRASILEIRA DE ÓLEO DE SOJA 1987-1992

            ANOS                  QUANTIDADE (1.000 t)

               1987                          39,3

               1988                          39,1

               1989                          53,9

               1990                          65,1

               1991                          69,1

               1992                          59,5




                             Volume de X (em 1000t)



  80
  70                                                       69,1
                                                 65,1
  60                                                                 59,5
                                     53,9
  50
  40        39,3         39,1
  30
  20
  10
   0
        1987          1988        1989       1990       1991      1992



Vamos considerar os anos como eixo x (abcissas) e as quantidades
como ordenadas (eixo y).Assim um ano dado e sua respectiva
quantidade formam um par ordenado.

Veja a construção do gráfico:
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Gráfico em colunas ou em barras

É a representação de uma série por meio de retângulas, dispostos
verticalmente(gráfico em colunas) ou na forma horizontal (gráfico em
barras).

Exemplos:



PRODUÇÃO BRASILEIRA DE CARVÃO MINERAL BRUTO 1989-
1992

       ANOS                              QUANTIDADE PRODUZIDA
                                                    (1.000t)

       1989                                         18.196

       1990                                         11.168

       1991                                         10.468

       1992                                          9.241



Veja abaixo as representações gráficas em colunas e barras:


  20000     18.196
  15000                                      ANOS
                     11.168 10.468
  10000                              9.241
                                             QUANTIDADE
   5000                                      PRODUZIDA
           1989   1990    1991   1992        (1.000t)
       0
            1        2      3        4
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                                9.241
             4       1992
                                                             QUANTIDADE
                                  10.468
             3       1991                                    PRODUZIDA
                                                             (1.000t)
                                   11.168
             2       1990                                    ANOS
                                               18.196
             1       1989

                 0      5000     10000     15000   20000



        GRÁFICO EM COLUNAS OU EM BARRAS MÚLTIPLAS

        Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos
        representar dois ou mais fenômenos estudados com a finalidade de
        comparação.




        Exemplo:

        Balanço Comercial do Brasil

                                        Valor US$

 Especificações

                               1989        1990      1991     1992        1993

Exportação (FOB)            34.383       31.414     31.620   35.793   38.783

Importação                  18.263       20.661     21.041   20.554   25.711

        FONTE: Ministério da Fazenda
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            40000
            30000                                 ANOS
                                        38.783
            20000   34.383    3 2 35.793 25.711
                         31.4141.620 20.554
                           20.6611.041            Especificações
                      18.263
            10000                                 Importação
                 0 1989 1990 1991 1992 1993
                    1    2    3    4    5




          Gráficos em Setores

          Gráfico construído com base em um círculo, e é empregado sempre
          que desejamos ressaltar a participação do dado no total.

          O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos
          setores quantas são as partes.

          Obtemos cada setor por meio de uma regra de três simples e direta,
          lembrando que o total da série corresponde a 360º.




          Exemplo:

          Dada a série:

   ESTADOS           QUANTIDADE (1.000 cabeças)

Minas Gerais         3.363,7

Espírito Santo         430,4

Rio de Janeiro         308,5

São Paulo            2.035,9

Total                6.138,5
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Utilizando a regra de três:

6.138 ____ 360º

3.363,7___      X

X 1 = 197º

X 2 = 25º

X3 =     18º

X4 = 120º

Com esses dados (valores em graus) , marcamos num círculo de
raio arbitrário, com um transferidor , os arcos correspondentes ,
obtendo o gráfico abaixo:

                    QUANTIDADE (1.000 cabeças)


                                                 Minas Gerais
                             3.363,70
                                                 Espírito Santo
         6.138,50                                Rio de Janeiro
                              430,4
                                                 São Paulo
                              308,5
                                                 Total
                            2.035,90




Notas:

O gráfico em setores só deve ser empregado , quando há, no
máximo sete dados;
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           Se a série já é apresentada de forma percentual, obteremos os
           seguintes valores em graus multiplicando por 3,6.

           Resolva os exercícios abaixo:

           1) utilizar um gráfico de setores para representar a tabela:

Especificação                              Quantidade

Norte                                       301

Nordeste                                   2.937

Sudeste                                    7.071

Sul                                        4.542

Centro Oeste                                 979

TOTAL                                      15.830



2)Represente a série abaixo usando o gráfico em linhas

Comércio exterior Brasil 1984-1993

                          ANOS             Exportação

                          1984             141.737

                          1985             146.351

                          1986             133.832

                          1987             142.378

                          1988             169.666

                          1989             177.033

                          1990             168.095

                          1991             165.974

                          1992             167.295
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                          1993          182.561




           3) Usando o gráfico em barras, represente a tabela:

           Produção de ovos de galinha Brasil – 1992

Regiões         Quantidade (1.000 dúzias)

   Norte                   57.297

  Nordeste                414.804

  Sudeste                 984.659

    Sul                   615.978

Centro-Oeste              126.345




           Na aula de hoje estudamos os gráficos mais utilizados e que dão
           melhor entendimento a população para interpretar os fatos e os
           fenômenos coletivos.



Tabela de freqüência e medidas de tendência central
Temática: Tabela de Frequência.
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Tanto os dados qualitativos como os quantitativos, podem e devem ser
agrupados em freqüências para se construir uma tabela. As freqüências
associadas aos dados constituem a distribuição de freqüência.

Uma tabela é constituída por dados organizados em linhas e colunas. A
freqüência de um dado é o número de ocorrências ou repetições de um dado.

 Elementos de uma distribuição de freqüência

   1) Tabela Primitiva: conjunto de elementos que não foram organizados.

   2) Rol: é a tabela obtida após a ordenação dos dados.

   3) Classe: são intervalos de variação da variável.

   4) Limites de classe: são os extremos de cada classe. O menor é o limite
       inferior (li) e o maior número, o limite superior da classe (Li).

   5) Amplitude de um intervalo de classe: ou simplesmente intervalo de
       classe é a medida do intervalo que define a classe. Esta medida é
       obtida pela diferença entre os limites superior e inferior. A amplitude é
       indicada por h. Assim:

   H = Li – li

   4) Ponto médio: Como o próprio nome indica, é o ponto que divide o
   intervalo de classe em duas partes iguais. Será representado por Xi.

   Para obtermos o ponto médio de uma classe, calculamos a soma dos
   limites e dividimos por 2, ou seja, só existe o ponto médio se existir o
   intervalo de classe. A fórmula utilizada será:

   Xi = li + Li /2




                              Tipos de Frequências
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   1) Freqüência simples ou absoluta (fi): são os valores que realmente
       representam o número de dados de cada classe, ou seja, o número de
       vezes que se repetiram.

   2) Freqüência absoluta acumulada (fac): é o total de frequências de todos
       os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.

   3) Freqüência Relativa (fr): são os valores das razões entre a freqüência
       absoluta e a freqüência total (fr (%) = fi/n) sendo n = número total de
       elementos de uma amostra ou tabela.

   4) Freqüência        relativa   acumulada      (fr.acum.):   é   o   acúmulo   das
       porcentagens de uma tabela.

Amplitude de um intervalo de classe

             A primeira preocupação que temos, na construção de uma
             distribuição de freqüência com intervalo de classe, é a determinação
             das amplitudes do intervalo. O nosso intervalo de classe sempre
             começará pelo menor elemento da amostra e a sua amplitude será
             determinada pela fórmula:

             h = nº > - nº </√n

             O resultado da amplitude sempre deverá ser arredondado para o
             inteiro mais próximo.

             Exemplo de tabela de freqüência:

             Para a variável estado civil, construímos a seguinte tabela de
             freqüência:

Estado Civil     Freqüência        absoluta   Freqüência            Porcentagem
                 (fi)                         Relativa (fr)

  Solteiro                   9                   9/20 = 0,45              45%

  Casado                     8                   8/20 = 0,40              40%

 Separado                    3                   3/20 = 0,15              15%
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     Total                     20                            1,00                   100%



Exemplo de tabela de freqüência com intervalo de classe

Utilizando 5 classes de intervalo, todas com o mesmo comprimento, é possível
reunir os dados referentes à renda mensal da tabela seguinte:

Classes            de    Freqüência         Freqüência relativa          Porcentagem
Valores                  absoluta(fi)       (fr)

       [5 ; 8[                  2                  2/20 = 0,1                  10%

      [8 ; 11[                  5                  5/20 = 0,25                 25%

      [11 ; 14[                 7                  7/20 = 0,35                 35%

      [14 ; 17[                 4                  4/20 = 0,2                  20%

      [17 ; 20[                 2                  2/20 = 0,1                  10%

       Total                   20                     1,00                     100%



Exemplo utilizando a tabela primitiva e o rol:

             Um dentista anotou o número de clientes atendidos por dia, durante
             um período de 30 dias, e obteve os seguintes dados:

             4;6;7;4;4;5;4;6;5;5;4;5;7;5;5;4;7;5;6;5;4;5;
             5;6;5;7;4;6;6;7

             Rol: 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 5; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ;
             6 ; 6 ; 6 ; 6 ;7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7.

             Organize esses dados em forma de uma tabela total de freqüência.

Xi           Freqüência        Frequência             Freqüência relativa        Porcentagem
             absoluta (fi)     acumulada              (fr)
                               (fac)

4            08                 8                     8/30 = 0,267               26,7%
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5        11              19                  11/30=0,366              36,6%

6        06              25                  6/30 = 0,20              20,0%

7        05              30                  5/30 = 0,167             16,7%

Totais   30                                  1,00                     100%



         Resolva os exercícios abaixo :

         1) conhecidas as notas de 40 alunos de uma classe, obtenha uma
              tabela total de distribuição de freqüência com intervalo de
              classe(com      freqüência   individual,   freqüência     acumulada,
              freqüência relativa, porcentagem).

         1;2;3;4;5;6;6;7;7;8

         2;3;3;4;5;6;6;7;8;8

         2;3;4;4;5;6;6;7;8;9

         2;3;4;5;5;6;6;7;8;9

         2;3;4;5;5;6;7;7;8;9
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            2) complete a tabela abaixo:

Idade       Freqüência         Freqüência   Freqüência    Porcentagem
            absoluta (fi)      acumulada    relativa

[0 ; 8[     04

[8 ; 16[    10

[16 ; 24[   14

[24 ; 32[   09

[32 ; 40[   03




            Na aula de hoje podemos aprender como elaborar uma tabela de
            freqüência a partir de um conjunto de dados.



TEMÁTICA – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Começaremos estudar as medidas de tendência central média , mediana e
moda dividiremos em 3 aulas e começaremos hoje por média.

Média aritmética / ponderada

    a) Para amostra
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     A média aritmética , ou simplesmente média , e a soma de todos elementos
     de uma amostra e dividida pelo número de elementos,vamos representar a
     média com o símbolo X . Para calcularmos a média usaremos:

     X = ∑xi/n

     Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira diária de uma cabra’, durante
     uma semana foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18, e 12 litros ,sendo assim , quanto
     foi a produção média da semana?

     X = 10+14+13+15+16+18+12/7 = 68/12 = 14

     b) Para dados agrupados sem classe

     A coluna de freqüência de uma tabela de indica a repetição de um
     elementos. Neste caso , a média será calculada através do produto entre o
     valor da variável e sua respectiva freqüência e o resultado dividido pelo
     número total de elementos da tabela. A fórmula usada para este cálculo é

     X = ∑xifi/n

     Ex: de acordo com dados apresentados na tabela abaixo calcule a média.

Idade                       Número de pessoas          Xi.Fi

21                          02                         21 x 2 = 42

22                          05                         22 x 5 = 110

23                          08                         23 x 8 = 184

24                          06                         24 x 6 = 144

25                          05                         25 x 5 = 125

26                          04                         26 x 4 = 104

∑                           30                         709



X = 709/30 = 23,63

c) Para dados agrupados em classes
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É muito parecida com o cálculo dos dados agrupados sem classe. O que difere
é a presença do ponto médio, sendo assim, o X, não é mais a variável e sim o
seu ponto médio e sua respectiva freqüência e o resultado dividido pelo
número total de elementos da tabela. A fórmula será:

X = ∑xifi / n

Exemplo: Considerando os dados da tabela abaixo calcule a média.

Classes              Fi                      Xi (ponto médio)   Xi.Fi

[4 ; 5[              01                      4,5                4,5 x 1 = 4,5

[5 ; 6[              04                      5,5                5,5 x 4 = 22,0

[6 ; 7[              11                      6,5                6,5 x 11 = 71,5

[7 ; 8[              07                      7,5                7,5 x 7 = 52,5

[8 ; 9[              02                      8,5                8,5 x 2 = 17,0

∑                    25                                         167,5



X = 167,5/25 = 6,7

Resolva os exercícios de média abaixo:

1)Na série abaixo, composta de notas de matemática:

6,2,8,6,3,0,4,2,6,7,10,3,6 a média é :

a) 4,85 b) 5,33 c) 5,16 d) 4,75 e)6,3



    1) Calcule a média ponderada dos dados abaixo:

                                        Xi   Fi

                                        4    2

                                        5    3

                                        7    4
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                                    9   1




   2) Determine a média aritmética da distribuição abaixo

Estaturas (cm)                          Nº de pessoas

[120 ; 126[                             06

[126 ; 132[                             12

[132 ; 138[                             16

[138; 144[                              15

[144 ; 150[                             07

[150; 156[                              04




   3) Numa avaliação 6 alunos obtiveram nota 5 ; 8 alunos obtiveram nota 7 ;
      5 alunos obtiveram nota 9 e um aluno obteve nota 10.Qual a média
      desses alunos? Assinale a correta:

   a) 7,05 b) 6,5   c) 7,5 d) 7,0
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   Nessa aula aprendemos um pouco de média que usamos muito no nosso
   dia a dia por exemplo: as empresas calculam a média salarial de sua folha
   de pagamento , o professor calcula a média de seus alunos e vários outros
   usos.



TEMÁTICA: MEDIANA

A mediana é o valor que divide um conjunto de dados ordenados ao meio, ou
seja, ela nos fornece o elemento central desse conjunto de dados.

a) para amostra para com número de elementos impar

Md = n+1/2

Exemplo:

Se considerarmos 2,3,3,6,7 – temos 5 elementos logo Md = n+1/2 = 5+1/2 = 3º
elemento que é justamente o 3( que é o termo central da amostra).

Nota: os dados devem ser colocados em ordem crescente.

   b) para amostra com número de elementos par:

Md = n/2 e n/2 + 1

Exemplo:

Se considerarmos 2,3,3,6,7,8

Temos 6 elementos logo – Md = n/2 = 6/2 = 3º elemento e n/2+1 = 6/2+1 = 4º
elemento , daí tiramos a média entre o 3º e 4º elemento logo: 3 + 6 / 2 (3 + 6

dividido por 2) = 4,5 portanto Md = 4,5

   c) para dados agrupados sem classe

   Uma vez que os dados da tabela encontram-se ordenados, podemos obter
   a mediana através da freqüência acumulada. O cálculo ocorrerá da mesma
   maneira dos resultados obtidos na amostra.

   De acordo com a tabela abaixo calcule a mediana.
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                               Idade   Fi     Fac

                               11      02     02

                               12      05     07

                               13      08     15

                               14      06     21

                               15      05     26

                               16      04     30

                               ∑       30




Podemos observar que o número de elementos é par, logo:

n/2 = 30/2 = 15º elemento e n/2 +1 = 30/2 + 1= 15 + 1 = 16º elemento

Pela coluna da freqüência acumulada identificamos que o 15º elemento
encontra-se na classe dos 13 anos enquanto o 16º encontra-se na classe dos
14 anos encontraremos a média entre 13 e 14 = 13+14/2 = 13,5 Md=13,5 ou
seja, idade mediana é 13,5

   d) Para dados agrupados em classes

   Para calcular a mediana, devemos primeiramente, identificar na tabela
   através da coluna de freqüência acumulada, a classe da mediana através
   da fórmula:

   Md = lmd +[n/2 - ∑fant]x h/fmd

Onde:

Lmd = limite inferior da classe da mediana.

Fant é a freqüência acumulada anterior a classe da mediana

Fmd é a freqüência absoluta da classe da mediana

h é a amplitude da classe da mediana
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n é o número de elementos da tabela

Exemplo:

De acordo com a distribuição abaixo, calcule a mediana.




                          Altura (cm)     Fi     Fac

                          [155 ; 160[     05     05

                          [160 ; 165[     09     14

                          [165 ; 170[     10     24

                          [170 ; 175[     12     36

                          [175 ; 180[     05     41

                          ∑               41



Classe da mediana = n/2 = 41/2 = 21,5º elemento = 21º elemento

Md = 165 + [ 20,5 – 14] x 5 / 10 = 165 + 3,25 = 168,25



Resolva os exercícios abaixo:

1) Calcule a mediana das séries abaixo:

a) 5,6,8,10 e 15

b) 27,10,28,31 e 27

c) 10,11,17,15,18,21,27 e 30

d) 31,20,7,16,30,42,9,27,12 e 34

2) Calcule a mediana das distribuições abaixo:
Escola Técnica Estadual de Diadema


                                    Xi    Fi

                                    07    02

                                    08    05

                                    10    07

                                    15    06

                                    20    01




3) Calcule a mediana das distribuições abaixo:

                                Classes        Fi

                                [12;16[        10

                                [16;20[        18

                                [20;24[        20

                                [24;28[        12

                                [28;32[        08

                                [32;36[        02

                                ∑              70



4) Em um projeto foi pesquisado o número de anos de estuda de uma
população. Uma amostra de 5 pessoas apresentou as seguintes respostas:
6,4,11,6,8 a mediana dessa amostra é:

a) 11 b)8 c) 6 d) 4



Nessa aula estudamos a mediana que também faz parte das medidas de
tendência central.
Escola Técnica Estadual de Diadema




Temática : Moda

A moda de um conjunto de dados é o valor que se repete mais, isto é, aquele
com maior freqüência . Existem casos que ocorrem mais de uma moda, e
outros em que a moda não existe. Iremos representá-la por Mo.

a) Para amostra

Exemplo: o número de livros vendidos a cada hora foi coletado, em três
livrarias ( A, B e C). Os dados em um período de oito horas foram:

Livraria A : 0,1,2,2,2,2,3,4 a moda é 2

Livraria B : 1,2,2,2,3,3,3,5 as modas são 2 e 3 (bimodal)

Livraria C : 0,0,1,1,2,2,3,3 não existe moda

b) Para dados agrupados sem classe

Ex: A tabela abaixo mostra as horas de atraso em 30 vôos, de uma companhia
aérea , determine a moda:

                              Horas       Freqüência

                                0            15

                                1            08

                                2            04

                                3            02

                                4            01



Sendo assim M = 0 horas

c) Para dados agrupados em classes
Escola Técnica Estadual de Diadema


Neste caso precisaremos inicialmente achar a classe de maior freqüência, a
qual chamamos de classe modal. Através desta classe é que iremos calcular a
moda através da fórmula:

Mo = lmo + ∆1 / ∆1+∆2 x h

Sendo:

Lmo – limite inferior da classe modal

∆1 – fi da classe modal – fi anterior

∆2 – fi da classe modal – fi posterior

h – amplitude da classe modal (intervalo)

Exemplo:

De acordo com a tabela abaixo calcule a moda:

                           Altura        Nº        de
                           (cm)          pessoas

                           [155;160[          05

                           [160;165[          09

                           [165;170[          10

                           [170;175[          12

                           [175;180[          05

                                ∑             41



∆1 = 12 – 10 = 2          Mo = 170 + 2x5/2+7 = 170 + 10/9 = 171,11

∆2 = 12 – 5 = 7           Mo = 171,11

h=5
Escola Técnica Estadual de Diadema


Resolva os exercícios abaixo:

     1) Obtenha a moda das seguintes séries:

     a) 2,3,4,4,5,2,3 e 2

     b) 10,9,8,10,5,9 e 7

     c) 2,3,3,3,4,5,7,7,7,9,9 e 9

     d) 16,15,14,11,12 e 18

     2) Determine a moda das distribuições abaixo:

Nº de acidentes      Nº de dias

          0                 12

          1                 08

          2                 05

          3                 04

          4                 01

          ∑                 30



     3) Determine a moda da tabela com intervalo de classes abaixo:

Peso (Kg)     Nº de alunos

    [40;45[         03

    [45;50[         08

    [50;55[         12

    [55;60[         08

    [60;65[         06

    [65;70[         03

∑
Escola Técnica Estadual de Diadema




Nessa aula estudamos moda também pertencente as medidas de tendência
central.



                                 Exercícios

           1) Calcule média , mediana e moda das séries abaixo:

           a) 5,6,8,10 e 15

           b) 27,10,28,31 e 27

           c) 10,11,17,15,18,21,27 e 30

           d) 31,20,7,16,30,42,9,27,12 e 34

           2) Calcule a média , mediana e moda das distribuições abaixo:

           a)

                                  Xi      Fi

                                  120     03

                                  123     10

                                  126     12

                                  129     09

                                  130     11

                                  145     05




b)
Escola Técnica Estadual de Diadema


              Xi       Fi

              1,4      12

              1,7      10

              2,1      08

              3,3      05




c)

           Nº de    Freqüência
           filhos

             0           08

             1           10

             2           14

             3           09

             4           04

             5           02

             6           03




d)
Escola Técnica Estadual de Diadema


Salário (R$)          Nº           de
                      funcionários

  [500;700[                11

  [700;900[                23

 [900;1100[                18

 [1100;1300[               06

 [1300;1500[               03

 [1500;1700[               02




Temática: Desvio médio


Chamamos de desvio a diferença entre um valor e a média dos dados, ou seja, a diferença
entre cada elemento de uma série de dados e a média aritmética dos elementos dessa série.

                                                  l xi − x l
                                           DM =
                                                       fi


Desvio em relação à média (di)
Desvio em relação à média é a diferença entre cada elemento da série e a média que o
representa.

                                            di = x i − x
Exemplo:
Seja o rol: 11; 46; 56; 62; 65; 80; 104; 130; 166.

                                              x = 80

x1 = 11                         x2 = 46                        x3 = 56
x4 = 62                         x5 = 65                        x6 = 80
x7 = 104                        x8 = 130                       x9 = 166


d1 = 11 – 80 = – 69        d2 = 46 – 80 = – 34        d3 = 56 – 80 = – 24
d4 = 62 – 80 = – 18        d5 = 65 – 80 = – 15        d6 = 80 – 80 = 0
Escola Técnica Estadual de Diadema


d7=104 – 80 = 24              d8=130 – 80 = 50          d9 = 166 – 80 = 86


Desvio médio


Exemplo:
Consideremos os seguintes dados:
10; 11; 11; 12; 12; 13; 13; 14.
A média dos dados será:
Média:
         10 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14 96
(x) =                                         =   = 12
                           8                    8

Desvio médio:
                   l10 - 12l + l11 - 12l + l11 - 12l + ... + l13 - 12l + l14 - 12l
                                                 8
                   + 2 + 1+ 1+ 0 + 0 + 1+ 1+ 2 8
                                                   = =1
                                 8                   8

O desvio médio avalia a variabilidade ou a dispersão dos dados em torno da média aritmética,
isto é, elas indicam a representatividade da média.


a) Para dados agrupados sem intervalo de classe.
                                                          .
                                            xi    fi    xi fi
                                             05   02      10
                                             07   03      21
                                             08   05      40
                                             09   04      36
                                             11   02      22
                                             ∑    16     129



Média →    x=
                ∑x fi i
                          =
                              129
                                  = 8,06
                ∑f  i          16
Logo:


                                    │xi –   x │= │di│           │di│. fi

                                   │5 – 8,06│ = 3,06             6,12
                                   │7 – 8,06│ = 1,06             3,18
                                   │8 – 8,06│ = 0,06             0,30
                                   │9 – 8,06│ = 0,94             3,76
Escola Técnica Estadual de Diadema


                                 │11 – 8,06│ = 2,94      5,88
                                         ∑               19,24


                   l di l ⋅ fi 19,24
Portanto:   DM =              =      = 1,2
                     ∑ fi       16




Temática: Variância e desvio padrão


De todas as medidas de dispersão, a mais utilizada é o desvio padrão. Esta medida se baseia
nos desvios de cada valor de uma série em relação à média, considerando (xi – x)², pois
sabemos que a soma desses desvios é igual a zero.


O desvio padrão resultará da raiz quadrada da variância (S²). Como vimos, a amplitude total é
instável por se deixar influenciar pelos valores extremos que são, em sua maioria, devidos ao
acaso. A variância e o desvio padrão são medidas que fogem a essa falha, pois leva em conta
a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices de variabilidade
bastante estáveis.


Mostraremos as seguintes fórmulas para o cálculo do desvio padrão:


Desvio padrão – dados não agrupados


Exemplo:
De acordo com a amostra 5; 7; 9; 11; 13, calcule o desvio padrão.
A fórmula utilizada é:
Escola Técnica Estadual de Diadema



                                                        ∑x               ∑ xi
                                                                   2                 2
                                                                                 
                                                      =                −        
                                                  2            i
                                              S
                                                          n              n      
                                                                                
Lembrando que ∑fi é igual a n.


Para facilitar este cálculo iremos transportar esta amostra para uma tabela.
                                                        xi                  xi²
                                                        5                   25
                                                        7                   49
                                                        9                   81
                                                        11                 121
                                                        13                 169
                                                      ∑ = 45             ∑ = 445
Como n é igual a 5 temos:

          ∑x             ∑ xi
                   2                 2
                                 
        =              −        
    2          i
S
          n              n      
                                
                           2
         445  45 
S2 =        −   = 89 − 81 = 8 ⇒ S 2 = 8 (Variância)
          5    5 


S = 8 = 2,83 (Desvio padrão )



Desvio padrão – dados agrupados


● Sem intervalos de classe


Exemplo:
De acordo com a tabela abaixo calcule o desvio padrão
                                                                          .                .
                                 Nº de filhos              fi           xi fi            xi² fi
                                         0                 02              00                00
                                         1                 06              06                06
                                         2                 12              24                48
                                         3                 07              21                63
                                         4                 03              12                48
                                      Total                30              63               165
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          ∑f x             ∑ fi x i
                     2                     2
                                       
        =                −            
    2       i    i
S
            n              n          
                                      
                             2
    165  63 
S = 2
       −   = 5,5 − 4,41 = 1,09 ⇒ S 2 = 1,09
     30  30 


S = 1,09 = 1,04 (Desvio padrão )


● Com intervalo de classe


A única diferença é que o xi neste caso se refere ao ponto médio de cada classe, ou seja,
temos de abrir uma nova coluna para o ponto médio (xi).


Exemplo:


De acordo com a tabela a seguir calcular o desvio padrão.

                                                                   .            .
                         Estaturas (cm)            fi     xi     xi fi         xi² fi
                          150 ı− 154              04     152      608         92.416
                          154 ı− 158              09     156     1.404       219.024
                          158 ı− 162              11     160     1.760       281.600
                          162 ı− 166              08     164     1.312       215.168
                          166 ı− 170              05     168      840        141.120
                          170 ı− 174              03     172      516         88.752
                                  ∑               40             6.440      1.038.080


          ∑f x             ∑ fi x i
                                           2
                                       
                     2

        =                −            
    2       i    i
S
            n              n          
                                      
                                           2
    1038080  6440 
S = 2
           −       = 25952 − 25921 = 31 ⇒ S = 31
                                             2

       40    40 


S = 31 = 5,56
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Temática: Coeficiente de variação


O desvio padrão, por si somente, não produz muita coerência. Para contornar algumas
dificuldades ou limitações, podemos caracterizar a dispersão ou variabilidade dos dados em
termos relativos ao seu valor médio, ou seja, podemos caracterizar por meio de uma
porcentagem.


Essa medida em forma de porcentagem é denominada coeficiente de variação:
                                              S
                                       CV =       ⋅ 100
                                              x
Onde CV é o coeficiente de variação e S é o desvio padrão.
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A tabela abaixo se refere às estaturas, onde:   x = 161 cm e S = 5,56.
                                                                .
   Estaturas (cm)               fi               xi          xi fi              xi² . fi
     150 ı− 154                04               152           608              92.416
     154 ı− 158                09               156          1.404            219.024
     158 ı− 162                11               160          1.760            281.600
     162 ı− 166                08               164          1.312            215.168
     166 ı− 170                05               168           840             141.120
     170 ı− 174                03               172           516              88.752
          ∑                    40                            6.440           1.038.080
                           S             5,56
Temos, então:       CV =       ⋅ 100 =        ⋅ 100 = 0,0345 ⋅ 100 = 3,45%
                           x             161
Esse resultado significa que existe uma variação em torno da média de 3,46%.




Temática: Assimetria - Introdução


Como vimos na unidade III, numa distribuição simétrica, as medidas de tendência central
coincidem, ou seja, a média, a moda e a mediana. Sendo a distribuição assimétrica à esquerda
ou negativa, a média é menor que a moda; sendo assimétrica à direita ou positiva, a média é
maior que a moda.
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Baseando-se nessas relações entre a média e a moda, podemos empregá-las para determinar
o tipo de assimetria.

                                           x − Mo
Assim, calculamos o valor da diferença: Média – Moda, se:


Média – Moda = 0 → Assimetria nula ou distribuição simétrica;
Média – Moda < 0 → Assimetria negativa ou à esquerda;
Média – Moda > 0 → Assimetria positiva ou à direita.




Exemplo:


Distribuição A
                                           xi           fi
                                        02 ı− 06       06
                                        06 ı− 10       12
                                        10 ı− 14       24
                                        14 ı− 18       12
                                        18 ı− 22       06
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                                              Σ                 60

Temos:
Média = 12;        Mediana = 12;         Moda = 12;             S = 4,42.


Distribuição B
                                           xi                    fi
                                        02 ı− 06                06
                                        06 ı− 10                12
                                        10 ı− 14                24
                                        14 ı− 18                30
                                        18 ı− 22                06
                                           Σ                    78



Temos:
Média = 12,9       Mediana = 13,5         Moda = 16             S = 4,2


Distribuição C
                                            xi             fi
                                         02 ı− 06               06
                                         06 ı− 10               30
                                         10 ı− 14               24
                                         14 ı− 18               12
                                         18 ı− 22               06
                                            Σ                   78
Temos:
Média = 11,1 Kg        Mediana = 10,5 Kg           Moda = 8 Kg              S = 4,20Kg


Portanto, temos a seguinte situação em cada distribuição:
Distribuição A: 12 – 12 = 0; a distribuição é simétrica.
Distribuição B: 12,9 – 16 = – 3,1; a distribuição é assimétrica negativa.
Distribuição C: 11,1 – 8 = 3,1; a distribuição é assimétrica positiva.




Temática: Coeficiente de assimetria


A medida anterior, por ser absoluta, apresenta a mesma deficiência do desvio padrão, isto é,
não permite a possibilidade de comparação entre as medidas de duas distribuições. Por este
motivo, é viável usarmos o coeficiente de assimetria de Pearson, dado por:
Escola Técnica Estadual de Diadema


                       3 ⋅ (média − mediana )        3 ⋅ ( x − Md)
                                              ⇒ AS =
                                  s                         S
Se 0,15 < │AS│< 1, a assimetria é considerada moderada: se │AS│>1, é forte.


Exemplo:
Considerando as distribuições A, B, e C dadas na aula anterior, temos:
         3 ⋅ (12 − 12)
AS A =                 = 0 ⇒ simetria
              4,42
         3 ⋅ (12,9 − 13,5)
AS B =                     = −0,429 ⇒ assimetria negativa
                4,20
         3 ⋅ (11,1 − 10,5)
AS C =                     = 0,429 ⇒ assimetria positiva
               4,20




Temática: Quartil e percentil
Escola Técnica Estadual de Diadema


Antes de entrarmos em medidas de curtose devemos ter noções sobre Quartil e Percentil, que
são medidas de posição.


Quartil
São valores que dividem um conjunto de elementos ordenados em quatro partes iguais, ou
seja, cada parte contém 25% desses elementos.
Há, portanto, três quartis: Q1, Q2 e Q3.
Q1 – é chamado de primeiro quartil, ou seja, valor que deixa 25% dos elementos à sua
esquerda e 75% dos elementos à sua direita.
Q2 – é chamado de segundo quartil e coincide com a mediana (Q2 = Md), ou seja, 50% dos
elementos estão à sua esquerda e 50% à sua direita.
Q3 – é chamado de terceiro quartil, ou seja, valor que deixa 75% dos elementos à sua
esquerda e 25% à sua direita.


Quando os dados são agrupados para determinar os quartis, usamos a mesma técnica do

cálculo da mediana, bastando substituir na fórmula da mediana,
                                                                    ∑f    i
                                                                              por
                                                                                    k ∑ fi
                                                                                             ; sendo k o
                                                                      2               4
número de ordem do quartil.


No primeiro quartil (Q1), utiliza-se:

                                             n             
                                              4 − ∑ F(ant )h Q1
                                 Q1 = λQ1   +              
                                                     fQ1

Onde, ℓQ1 é o limite inferior da classe do primeiro quartil,   hQ1 é a amplitude do intervalo da
classe mediana, n é o número de elementos da tabela (Σfi) e ∑F(ant) é a freqüência
acumulada do primeiro quartil.


No segundo quartil (Q2), utiliza-se a mesma fórmula da mediana.


                                             Q2 =
                                                    ∑f   i

                                                    2
No terceiro quartil (Q3), utiliza-se:

                                              3n           
                                              4 − ∑ F(ant )h Q3
                               Q 3 = λQ 3   +              
                                                    f Q3
Escola Técnica Estadual de Diadema


Exemplo: com os dados apresentados na tabela abaixo, calcule o primeiro e terceiro quartil:

                                Classes              fi           Fac
                                 0 ı− 2             03            03
                                 2 ı− 4             06            09
                                 4 ı− 6             12            21
                                 6 ı− 8             09            30
                                 8 ı−10             06            36
                                    ∑               36


Primeiro quartil
1º) Achar a classe do primeiro quartil:
                                             n 36
                                               =   =9
                                             4   4
O 9º elemento olhando no Fac se encontra na segunda classe.


2º) Depois de localizada a classe do primeiro quartil, utilizaremos a expressão abaixo para
obter o valor desejado.

                           Q1 = 2 +
                                      [9 − 3] ⋅ 2 = 2 + 12 = 2 + 2 = 4
                                            6             6

Terceiro quartil
1º) Achar a classe do terceiro quartil:
                                          3n 3 × 36
                                             =      = 27
                                           4    4
O vigésimo sétimo elemento olhando na Fac está na quarta classe. Logo:

                            Q3 = 6 +
                                          [27 − 21]⋅ 2 = 6 + 12 = 7,33
                                                9             9

Isto é:              4 deixa 25 % dos elementos (1º quartil)
                     7,33 deixa 75% dos elementos (2º quartil)
Percentil
Denominamos percentis aos noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes
iguais. A notação que usaremos para os percentis será Pi, onde o índice i indica a ordem do
percentil considerado.
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Exemplo:
P10 indica que 10% dos dados estão ordenados à sua esquerda e 90% à direita de P10.




Cálculo de um percentil
Para calcularmos os percentis dos dados em uma tabela de freqüência, devemos identificar,
                                                                             i⋅n
na freqüência acumulada, a classe do percentil desejado através da fórmula       , que é a
                                                                             100
posição do percentil em estudo. Para obtermos a posição da classe do percentil usaremos a
expressão:

                                          i⋅n           
                                         100 − ∑ F(ant ) ⋅ hPi
                                Pi = λPi                
                                                 fPi


Observação: P10 também pode ter a denominação de 1º decil (Di), assim como P20 é igual ao
2º decil (D2) e assim por diante.


Exemplo:
Calcular o 15º percentil referente à tabela abaixo.
                                  Classes              fi   Fac
                                4,85 ı− 4,90          03    03
                                4,90 ı− 4,95          06    09
                                4,95 ı− 5,00          12    21
                                5,00 ı− 5,05          09    30
                                5,05 ı− 5,10          06    36
                                   Total              36

1º) Achar a classe de P15.
                         i ⋅ n 15 ⋅ 36 540
                              =       =     = 5,40 (5,4º elemento)
                         100    100     100

Observando na Fac, podemos afirmar que o 15º percentil se encontra na segunda classe.


2º) Após encontrarmos a classe, iremos obter o valor do 15º percentil através da fórmula a
seguir:
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                   i⋅n           
                  100 − ∑ F(ant ) ⋅ hPi
         Pi = λPi                
                          fPi

P15 = 4,90 +
               [5,40 − 3]⋅ 0,05 = 4,90 + 0,02 = 4,92
                      6
                     P15 = 4,92

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  • 1. Escola Técnica Estadual de Diadema NOME DO PROFESSOR : Marcelo Beneti COORDENADOR DE GESTÃO: - Nelson Gerbelli COORD.RESP. P/ NÚCLEO DE GESTÃO PED. E ACADÊMICA – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração Aluno ___________________________________ Nº ___Turma ____ Habilitação _________
  • 2. Escola Técnica Estadual de Diadema 1.PORCENTAGEM Denominamos razões percentuais as razões cujos conseqüentes sejam iguais a 100. Exemplo : 30/100(trinta por cento) ; 20/100 (vinte por cento) 30/100 corresponde a 30% e 20/100 corresponde a 20%. Exemplo: 1) Em uma classe de 30 alunos , 15 fora aprovados. Qual a taxa percentual de aprovação? 30 - 100 onde: 30x = 100 X 15 15 - X 30x = 1500 x = 1500/30 = 50% 2) Ao comprar um livro , obtive um desconto de R$3,00. Qual o preço do livro sabendo que a taxa de desconto foi de 5%? 3–5 5x = 300 x - 100 x = 300/5 = 60 Agora responda os testes a seguir: 1.Eu uma classe de 50 alunos faltaram 15. Qual a quantidade de alunos presentes em porcentagem? a) 30% b) 70% c) 25% d) 35% 2.Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 150, para ter um lucro de 20% sobre o custo? a) R$ 170,00
  • 3. Escola Técnica Estadual de Diadema b) R$ 180,00 c) R$ 185,00 d) R$ 190,00 Resolva os problemas abaixo: 1) De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos , sabe – se que a taxa de reprovação foi de 15%. Qual o número de aprovados e reprovados? 2) Uma bolsa é vendida por R$ 32,00. Se o seu preço fosse aumentado em 20% Quanto passaria a custar? 3) O preço de venda de um compact disc é de R$ 22,00.Quanto passará a custar o compact disc se a loja anunciar: a) um desconto de 12% b) um acréscimo de 5% 4) Um caderno teve seu preço reajustado de R$ 2,60 para R$ 2,90.Qual é a taxa percentual de aumento? 5) Em certo país , a Paraisolândia , o salário mínimo, após sofrer um aumento de 4% , passou a ser de R$ 312,00. qual era o valor do salário mínimo nesse país? 6) Certa mercadoria custava R$ 24,00 e passou a custar R$ 30,00. Qual a taxa percentual de aumento? 7) Da 1ª fase de um concurso participaram 20 mil candidatos, dos quais 74% não foram aprovados para a 2ª fase.Dos participantes da 2ª fase, 64% não conseguiram aprovação. a) Quantos candidatos foram aprovados nesse concurso? b) Qual a taxa de reprovados? 8)A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada. a) um apartamento foi vendido por R$ 62.400,00.Determine a comissão recebida pelo corretor. b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ 79.800,00 , já descontada a comissão do corretor , determine o valor da comissão. 9)O preço de um produto é de R$ 50,00 e um comerciante decide reajustá-lo em 20%.Diante da insistência de um cliente , o comerciante concede , então um desconto de 20% sobre o novo preço do produto. Ao final dessas transações , haveria alteração no preço original do produto? Quem levaria vantagem: o comerciante ou o cliente? 10) Uma mistura é formada por 120 ml de leite e 30 ml de água. a) qual a taxa percentual de leite na mistura ? E de água?
  • 4. Escola Técnica Estadual de Diadema b) Adicionando-se 10 ml de água à mistura, qual será a participação percentual de água na mistura? c) Retirando-se 10 ml de água da mistura original ,qual será a participação percentual de água na mistura? 11) O Sr. Mathias tem R$ 12.000,00 para investir pelo prazo de um ano. Ele pretende investir parte numa aplicação A que tem um rendimento esperado de 15% ao ano sobre o valor investido , e o restante numa outra aplicação B, que dá um rendimento de 20% sobre o valor investido. Qual o rendimento anual esperado se ele aplicar R$ 7.000,00 em A e R$ 5.000,00 em B? 2. TRANSAÇÕES COMERCIAIS – LUCRO E PREJUÍZO Em qualquer transação comercial pode haver lucro ou prejuízo. FÓRMULAS Para transações comerciais com lucro: V = C + L onde V – Preço de venda ; C – Preço de custo ; L – Lucro. Transações comerciais com prejuízo V = C – P onde V – Preço de venda; C – Preço de custo ; P - Prejuízo Exemplos práticos 1) Um equipamento comprado por R$ 3.000,00 deverá ser vendido a que preço , para que proporcione o lucro de 25% sobre o preço de venda? Temos: C – R$ 3.0000,00 L – 25% do preço de compra – ou seja L = 25/100 . 3000 = 750,00 Portanto o equipamento deverá ser vendido por: V=C+L V = 3000 + 750 V = 3750 2) Mercedes vendeu uma bicicleta por R$ 300,00 tendo um lucro nessa transação de 30% sobre a venda. Quanto pagou pela bicicleta? V – 300 L – 30% sobre a venda , ou seja 30/100 . 300 = 90 Como: V = C + L 300 = C + 90 C = 300 – 90 C = 210 Pagou R$ 210,00 pela bicicleta.
  • 5. Escola Técnica Estadual de Diadema 3) Um comerciante vai vender seus produtos que custaram R$ 500,00 com um prejuízo de 15% do preço de custo. Nestas condições qual será o preço de venda de seus produtos? C – 500 P – 15% do preço de custo – R$ 75,00 V=? V=C-P V = 500 – 75 V = 425 O preço de venda será R$ 425,00 4) Vendi um aparelho eletrônico por R$ 300,00 com prejuízo de 25% do preço de custo. Quanto eu havia pago por ele? V = 300 P = 25% do custo ( que não temos) logo 25/100 de C = 0,25C C=? V=C–P 300 = C – 0,25C 300 = 0,75C C = 300/0,75 C = 400 Paguei R$ 400,00 por ele. EXERCÍCIOS 1) Natália quer vender um apartamento que custou R$ 160.000,00 lucrando 30% do preço de custo. Qual será o preço de venda do apartamento de Natália? 2) Luís comprou um carro por R$ 25.000,00 e vendeu-o por R$ 30.000,00. Calcule qual a porcentagem de lucro em relação ao: a) Preço de Custo b) Preço de Venda 3) Nilva vendeu seu terreno por R$ 30.000,00 com um prejuízo de 20% em relação ao preço de custo. Quanto ela havia pago pelo terreno?
  • 6. Escola Técnica Estadual de Diadema Outros exercícios de aprendizagem 1) Paguei com multa R$ 18.450,00 por uma prestação cujo valor era de R$ 15.000,00. Qual a taxa percentual da multa? 2) Um investidor comprou um terreno por R$ 15.000,00 e vendeu-o um ano depois por R$ 18.750,00, qual o lucro em porcentagem do preço de custo? 3) Manuel compra 100 caixas de laranja por R$ 2.000,00. Havendo aumento de 25% no preço de cada caixa, quantas caixas ele poderá comprar com a mesma quantia? Atividade para classe 1) Efetue as porcentagens abaixo: c) 20% de 45 d) 75% de 500 2) No Brasil os inúmeros problemas sociais pertencem a 80% da população.Sabendo-se que 30 milhões de pessoas não sofrem com estas questões sociais, quantos são os menos favorecidos? 3) Nas eleições de 07 de Outubro de 1990 em uma urna para 415 votantes havia apenas 332 votos. Qual o percentual de eleitores que deixaram de votar? 4) Numa indústria trabalham 323 homens. As mulheres representam 66% dos empregados.Quantos funcionários trabalham nessa indústria? 5) Segundo dados de 1995 , apenas 0,8% da população brasileira possuía microcomputadores.Numa cidade com 3000 habitantes , onde se aplicou este índice, o número de pessoas que possuía microcomputadores é: (10%)² é igual a: 6) Num exame de seleção do CDT/ETEP na prova de matemática de 15 exercícios, com 4 perguntas cada um, um candidato acertou 48 itens.Qual foi a porcentagem de erros desse candidato? 7) No primeiro dia de um certo mês, uma ação estava cotada em R$ 20,00 .Do dia 1º até o dia 10 deste mês sofreu um aumento de 10% e do dia 11 até o dia 20 sofreu novo aumento de 20%.A quanto foi cotada essa ação no dia 20 deste mês?
  • 7. Escola Técnica Estadual de Diadema 8) Um investidor aplicou R$ 5.000,00 em caderneta de poupança no dia 01/09, em 01/10 foi creditado o rendimento referente ao mês de Setembro, que foi de 3,5% . e em 01/11 foi creditado o rendimento do mês de Outubro.Se após esse último crédito o saldo passou a ser de R$ 5.392,35, determine o rendimento do mês de Outubro em %? 9) Em um colégio estudam 750 alunos.Desses 52% estudam no período da tarde.Quantos estudam no período da tarde? 10) No fim de uma temporada, uma equipe de basquete havia ganho 25 jogos dos 40 disputados.Qual foi a porcentagem de partidas ganhas pelo clube no final da temporada? 11) calcule a quantia da qual: a) 42 representa 5% b) 33 representa 5,5% c) 280 representa 8% d) 320 representa 1,25% e) meio representa quanto por cento de 5/8 ? 12) Uma nota promissória cujo valor era de R$ 5.000,00 foi paga com um desconto de R$ 250. Qual a taxa de desconto? 13) Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em 3 prestações de 160 e uma de 180. Qual o preço da mercadoria? 14) Em quanto por cento aumentou o a população de uma cidade que era de 67.200 habitantes e agora é de 92.400 habitantes ? 15) Um comerciante comprou 120 bonés a R$ 8,00 cada um. Vendeu a metade a R$ 10,00 e o restante a R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro? 16)Comprou-se um objeto por R$ 60,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual deve ser o preço? 17) Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que esse objeto custou R$ 30,00, qual foi o preço de venda? 18) Uma pessoa tendo adquirido um relógio por R$ 125,00 só conseguiu vendê-lo com um prejuízo de 8% sobre o custo. Por quanto vendeu o relógio? 19) Um objeto que custou R$558,00 foi vendido com um prejuízo de 12% sobre o preço de venda. Qual o valor apurado na venda? 20) Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei na venda 15% sobre o preço de custo. Quanto custou o objeto? 21) Uma agência vendeu um carro por R$ 8.500,00 sabendo que na venda teve um prejuízo de 15% sobre o preço de venda , quanto custou esse carro?
  • 8. Escola Técnica Estadual de Diadema 22) Um terreno foi vendido por R$ 50.600,00 dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto havia custado? A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como
  • 9. Escola Técnica Estadual de Diadema Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. Taxa de juros A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) JUROS SIMPLES O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão
  • 10. Escola Técnica Estadual de Diadema novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J=C.i.n Onde: J = juros C = Capital i = taxa de juros n = número de períodos Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Capital + Juros Montante = Capital + ( Capital x Taxa de juros x Número de períodos ) M=C.(1+ i.n ) Aí teríamos : M = 1000 + 160 = 1160 Ou M = 1000. (1+8/100.2) M = 1160 Exercícios sobre juros simples: 1) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200 pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago?
  • 11. Escola Técnica Estadual de Diadema 2 – Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 , pelo prazo de 3 meses,à taxa de 1,2% ao mês . Qual o valor do juro a receber?. 3 – Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200, à taxa de 5% ao trimestre , durante 3 trimestres? 4 – Um capital de R$ 56.800 foi empregado , à taxa de 0,75% ao mês , durante 2,5 meses.Calcule o juro produzido. 5 – Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00 por um prazo de 8 meses no regime de juro simples à taxa de 1,5% ao mês. 6 – Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000 ,00 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês? TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos as elas referidos , reduzidos à mesma unidade. Para resolvermos qualquer problema é necessária que tempo e taxa estejam na mesma unidade por exemplo taxa ao mês e tempo em meses, taxa ao ano e tempo também ao ano, taxa ao bimestre e tempo ao bimestre. Exemplos: 1 – Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano. Resolução Em um ano temos 12 meses então : 30/12 = 2,5% ao mês 30% ao ano é proporcional a 2,5% ao mês. 2 – Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia. Resolução Em um mês temos 30 dias logo: 0,08 x 30 = 2,4 % ao mês.
  • 12. Escola Técnica Estadual de Diadema 3 – Calcule a taxa anual proporcional a 8 % ao trimestre. Resolução Em um ano temos quatro trimestres – JAN/FEV/MAR; ABR/MAI/JUN; JUL/AGO/SET; OUT/NOV/DEZ. 8 x 4 = 32% ao ano Resolva os exercícios abaixo: 1) Calcule a taxa mensal proporcional a: a) 9% a.t. (ao trimestre) b) 24% a.s.(ao semestre) c) 0,04%a.d.(ao dia) 2) Calcule a taxa anual proporcional a: a) 1,5%a.m.(ao mês) b) 8% a.t.(ao trimestre) c) 21%a.s.(ao semestre) d) 0,05% a.d. (ao dia) Agora resolva os problemas abaixo: 1) Um capital de R$ 2.400 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido. 2) Calcule o correspondente a um capital de R$ 18.500 , aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. OBS: Transformar a taxa e o tempo ambos em dias. – Considerar o ano comercial que é de 360 dias) 3) Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 32.500, à taxa de 18% ao ano , durante 3 meses. 4) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000 , em regime de juro simples, durante 2 anos 4 meses,à taxa de 24% ao ano. 5) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000 durante 15 meses à taxa de 3% ao mês.
  • 13. Escola Técnica Estadual de Diadema 6) Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14.800 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juro simples. 7) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000 , à taxa de 2,5 % ao mês, durante 2 anos. 8) Uma pessoa aplicou R$ 90.000 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 180.000 .Qual foi a taxa anual? DESCONTO SIMPLES Se uma pessoa deve uma quantia de dinheiro numa data futura, é normal que se entregue ao devedor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Todo título de crédito tem um data de vencimento, porém o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com esse abatimento denominado desconto. Exemplos de títulos de crédito: a) Nota promissória: é um comprovante de aplicação de um capital com vencimento pré - determinado. È um título muito usado entre pessoas físicas e uma instituição financeira. b) Duplicata: é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seus clientes (pessoa física ou jurídica) , para o qual ele vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato. c) Letra de Câmbio: Assim como a nota promissória , é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado ; porém, é um título ao portador,emitido exclusivamente por uma instituição financeira. d) Desconto: é a quantia a ser abatida ao valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual. O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou o valor atual. No primeiro caso, é denominado desconto comercial; no segundo, desconto racional. DESCONTO COMERCIAL Chamamos de desconto comercial , bancário ou por fora o equivalente ao juro simples, produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e a à taxa fixada.
  • 14. Escola Técnica Estadual de Diadema Termos que são usados no Valor do desconto comercial: d – o valor do desconto comercial N – o valor nominal do título A – o valor atual comercial ou valor descontado comercial n – o tempo (nº de períodos) i – Taxa de desconto Fórmula d = N . i . n Valor atual comercial O valor atual comercial ou valor descontado comercial é dado por: A=N-d Ou então substituindo d pelo seu valor obtido vem: A = N (1 – i x n) EXEMPLOS: 1 - Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1 % ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título ,determine: a) O valor do desconto comercial Resolução: Temos : N = 6.000 ; n = 45 dias ; i = 2,1%ao mês fazemos a conversão para taxa ao dia: em um mês temos 30 dias então: 2,1/30 = 0,07%ao dia Usando a fórmula: d=N.i.n d = 6000. 0,07/100 . 45 d = 189 (desconto comercial) b) O valor atual comercial A=N–d A = 6000 – 189 A = 5.811
  • 15. Escola Técnica Estadual de Diadema O valor atual comercial é de r$ 5.811 Obteríamos o mesmo resultado usando a formula abaixo: A = N (1-i.n) e d = N-A A = 6000 (1 – 0,0007 . 45) = 5811 d = N – A = 6000 – 5811 = 189 2 ) Uma duplicata de R$ 6.900 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 6.072 . Calcule o tempo de antecipação , sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. Temos: N = 6.900; A = 6.072; i = 4% ao mês 4/100 = 0,04 A = N ( 1 –i .n) 6072 = 6900 (1- 0,04.n) 6072 = 6900 - 276n 276n = 6900-6072 276n = 828 n = 828/276 n = 3 meses O problema poderia ser resolvido empregando a fórmula do desconto d = N.i.n , lembrando que: d=N–A d = 6900 – 6072 = 828 d = N.i.n 828 = 6900 . 0,04. n 828 = 276n n = 828/276 n = 3 meses EXERCÍCIOS 1) Uma duplicata cujo valor nominal é de R$ 2.000 foi resgatado 2 meses antes do vencimento à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial?
  • 16. Escola Técnica Estadual de Diadema 2) Um título no valor nominal de R$ 8.400, com vencimento em 18/10 é resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratado foi de 54%ao ano, qual o valor comercial descontado? 3) Um título de R$ 4.800 foi resgatado antes do seu vencimento por R$ 4.476, sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate? 4) Determine o desconto de uma promissória de R$ 3.000, à taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias antes do vencimento. 5) Um título de valor nominal de R$ 900,00com vencimento para 150 dias será descontado em um banco que opera coma taxa de desconto de 6% ao mês: Calcule: a) O prazo de antecipação é de 3 meses.Qual o desconto? b) Calcule o valor atual c) Se o resgate for feito 48 dias antes do vencimento , qual será o desconto? d) Qual o valor atual? 6) Qual o desconto experimentado por um título de R$ 1.500, à taxa de desconto de 10% ao mês , se o resgate é feito: a) um mês antes do vencimento b) 60 dias antes do vencimento. 7) Um título de R$ 420,00 é descontado 45 dias antes do vencimento à taxa de 3% ao mês.Qual é o valor do resgate? 8) Sendo 48% a taxa anual de desconto utilizada por uma instituição ,qual seria o valor de um título de R$ 20.000,00 descontado 4 meses antes do vencimento? 9) O valor nominal de uma duplicata a ser descontada à taxa de 2,5% ao mês é R$ 700,00 . Calcule o valor atual da duplicata, se for descontado: a) 12 dias antes do vencimento b) 53 dias antes do vencimento
  • 17. Escola Técnica Estadual de Diadema JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
  • 18. Escola Técnica Estadual de Diadema Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M =C.(1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula: M =C . (1 + i)n Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J=M-C Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) Resolução: C = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M=? Usando a fórmula M=C.(1+i)n, obtemos:
  • 19. Escola Técnica Estadual de Diadema M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos: log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509 Então M = 6000.1,509 = 9054. Portanto o montante é R$9.054,00 EXERCÍCIOS DE JUROS COMPOSTOS 1- (fácil) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes taxas efetivas e prazos: a) 4% am e 6 meses b) 8% at e 18 meses c) 12% aa e 18 meses 2 - (fácil) Em que prazo um capital de R$ 18.000,00 acumula um montante de R$ 83.743,00 à taxa efetiva de 15% am? 3 - (fácil) Uma empresa pretende comprar um equipamento de R$ 100.000,00 daqui a 4 anos com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se os juros efetivos ganhos forem de: a) 13% at b) 18% aa c) 14% as d) 12% am 4 - (fácil) Um capital de R$ 51.879,31 aplicado por 6 meses resultou em R$ 120.000,00. Qual a taxa efetiva ganha? 5 - (fácil) Em quanto tempo triplica uma população que cresce à taxa de 3% aa? 6 - (fácil) A rentabilidade efetiva de um investimento è de 10% aa. Se os juros ganhos forem de R$ 27.473,00, sobre um capital investido de R$ 83.000,00, quanto tempo o capital ficará aplicado? 7 - (fácil) Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao próprio capital, aplicando-se uma taxa efetiva de 5% am? 8 - (fácil) Quanto tempo deve transcorrer para que a relação entre um capital de R$ 8.000,00, aplicado a juros efetivos de 4% am, e seu montante seja igual a 4/10? 9 - (fácil) Calcular o rendimento de um capital de R$ 7.000,00 aplicado à taxa efetiva de 1% am no período compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do mesmo ano. (considere ano civil entre as datas). 10 - (fácil) Qual a taxa anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses?
  • 20. Escola Técnica Estadual de Diadema 11 - (média) Na compra de um Bem cujo valor à vista é de R$ 140,00, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações de R$ 80,00 no fim dos próximos 2 meses. Considerando uma taxa de juros de 20% am, qual o valor da entrada? 12 - (média) Por um equipamento de R$ 360.000,00 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais consecutivos. Se o primeiro pagamento for de R$ 180.000,00 e a taxa de juros efetiva aplicada, de 10% am, calcular o valor do segundo pagamento. 13 - (média) Um capital de R$ 50.000,00 rendeu R$ 1.000,00 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois meses maior, o rendimento aumentaria em R$ 2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela aplicação e o prazo em meses. 14 - (média) Dois capitais foram aplicados durante 2 anos, o primeiro a juros efetivos de 2% am e o segundo, a 1,5 am. O primeiro capital é R$ 10.000,00 maior que o segundo e seu rendimento excedeu em R$ 6.700,00 o rendimento do segundo capital. Calcular o valor de cada um dos capitais. 15 - (média) Um certo capital após 4 meses transformou-se em R$ 850,85. Esse capital, diminuído dos juros ganhos nesse prazo, reduz-se a R$ 549,15. Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na aplicação. 16 - (difícil) Um capital foi aplicado a juros efetivos de 30% aa. Após 3 anos, resgatou-se a metade dos juros ganhos e, logo depois, o resto do montante foi reaplicado à taxa efetiva de 32% aa, obtendo-se um rendimento de R$ 102,30 no prazo de 1 ano. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado. 17 - (média) Determine o capital que aplicado durante 3 meses à taxa efetiva composta de 4% am produz um montante que excede em R$ 500,00 ao montante que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo mesmo prazo a juros simples de 4% am. 18 -(média) Uma pessoa depositou R$ 1.000,00 em um fundo que paga juros efetivos de 5% am, com o objetivo de dispor de R$ 1.102,50 dentro de 2 meses. Passados 24 dias após a aplicação, a taxa efetiva baixou para 4% am. Quanto tempo adicional terá de esperar para obter o capital requerido? 19 - (média) Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado dividido em duas parcelas, a primeira à taxa efetiva de 6% at e a segunda a 2% am. Se após 8 meses os montantes de ambas as parcelas se igualam, determinar o valor de cada parcela. 20 - (fácil) Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e 22 de dezembro do mesmo ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado? 21 - (fácil) Determinar o valor dos juros pagos por um empréstimo de R$ 2.000,00 contratado à taxa efetiva de 5% am pelo prazo de 25 dias.
  • 21. Escola Técnica Estadual de Diadema Introdução à Estatística Temática: Conceitos básicos. Iniciaremos nosso curso fazendo uma breve introdução do conceito estatístico. O que é Estatística?
  • 22. Escola Técnica Estadual de Diadema É um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os fenômenos coletivos. Estatística descritiva ou dedutiva : é aquela que tem por objeto por descrever e analisar determinada população , sem pretender tirar conclusões de caráter mais genérico. Estatística Indutiva: é a parte da estatística que baseando-se em resultados obtidos da análise de uma amostra da população procura inferir, induzir ou estimar as leis de comportamento da população da qual a amostra foi retirada. Fases do Método Estatístico a) Coleta de dados : características mensuráveis do fenômeno que desejamos pesquisar, pode ser contínua , periódica (exemplo: de 10 em 10 anos) ou ocasional. b) Crítica de dados : é a conferência dos dados coletados , se ocorrer erros pode ser por motivos externos, ou seja erros por parte do informante ou motivos internos por parte do entrevistador ou da equipe de pesquisa. c) Apuração dos dados: soma e processamento dos dados obtidos e disposição mediante critérios de classificação. d) Exposição ou apresentação dos dados: pode ser feita mediante tabelas , gráficos ,relatórios da maneira mais clara possível que todos interessados possam compreender. e) Análise dos resultados : Conclusões sobre o trabalho realizado , análise e interpretação dos dados obtidos. População e Amostra População – é o todo pode ser finita ou infinita. Finita – possui um número determinado de elementos exemplo: número de alunos da classe.
  • 23. Escola Técnica Estadual de Diadema Infinita – um grande número de elementos exemplo: a população da cidade de São Paulo. Amostra – é um subconjunto da população ou seja uma parte dela. Quando há um número muito grande de elementos , fica difícil a observação dos aspectos a serem estudados de cada um dos elementos devido ao alto custo , ao intenso trabalho e ao tempo despendido para levar a cabo uma exaustiva observação de todos os elementos da população , nesse caso fazemos a seleção de uma amostra (cerca de 10% da população a ser estudada) , e através dessa observação estaremos aptos a analisar os resultados da mesma forma que se estudássemos toda a população. QUESTIONÁRIO 1-) O que é Estatística? 2-) Quais as fases do método estatístico? Explique cada um deles. 3-) Analise as afirmativas a seguir: I. Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os fenômenos coletivos. II. População finita é um grande número de indivíduos onde se torna difícil quantificar e realizar os trabalhos de coleta de dados. III. População finita é um determinado número de indivíduos como por exemplo número de alunos em sala de aula. Pode-se dizer que são corretas as afirmações: a) Somente I. b) Somente I e II. c) Somente II e III. d) I, II e III.
  • 24. Escola Técnica Estadual de Diadema 4-) Qual dessas fases do método estatístico corresponde a pesquisa com indivíduos. a) Crítica de dados. b) Coleta de dados. c) Análise dos resultados. d) Exposição ou apresentação dos dados. Temática: Ferramentas de cálculos para o estudo da estatística . Nessa aula iremos revisar alguns cálculos que serão de extrema importância no estudo da Estatística e também para o estudo em física. Fração È uma parte do todo ou seja um par ordenado onde o segundo número é diferente de zero.
  • 25. Escola Técnica Estadual de Diadema a/b , com a Є IN e b Є IN*. ( a pertence ao conjunto dos números naturais e b pertence ao conjunto dos números naturais não nulos(com exclusão do zero). Fração Própria – é aquela onde o numerador é menor que o denominador como por exemplo: 3/5 , 2/7 , 13/17 , etc. Fração imprópria é aquela onde o numerador é igual ou maior que o denominador. Exemplo: 7/2 , 4/4 , 12/4 etc. Fração aparente é a fração onde o numerado é múltiplo do denominador.Exemplo 12/4 representa o número 3 pois 12:4 = 3 ; se o numerador é zero , a fração apresenta o número zero. Assim 0/5 = 0; todo número natural pode ser apresentado por uma fração com denominador 1. Assim 7 pode ser apresentado por 7/1. Frações Equivalentes – duas frações são equivalentes quando os produtos do numerador de um pelo denominador das outra são iguais. Exemplo: para 1/2 e 2/4 onde temos: 1 X 4 = 2 X 2 Simplificação de frações Basta dividir ambos os termos por um divisor comum. Exemplo : 3/6 = 3:3 e 6:3 = 1/2 Fração irredutível é aquela que os números são primos entre si (isto é , não possuem outro divisor comum a não ser o número 1). Exemplo: 7/17 é uma fração irredutível , pois 7 e 17 são números primos entre si. Comparação de frações Para compararmos duas ou mais frações devemos reduzi-la ao mesmo denominador e lembrar que , de duas frações com o mesmo denominador, a maior é aquela que contém o maior numerador. Operações com frações Adição e subtração
  • 26. Escola Técnica Estadual de Diadema a) Frações homogêneas – conserva-se o denominador e adicionam- se ou subtraem os numeradores. Exemplo: 2/5 + 7/5 = 9/5 ou 7/3 – 2/3 = 5/3 b) Frações heterogêneas – reduzem-se as frações ao mesmo denominador, obtendo-se dessa forma frações homogêneas. Exemplo: 4/5 + 2/3 = 12+10/15 = 22/15 Reduzindo ao mesmo denominador – vamos calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores como no exemplo acima: 2,3 2 1, 3 3 1, 1 logo m.m.c de 2 e 3 = 2 X 3 = 6 6/7 – 1/2 = 12-7/14 = 5/14 Observe que reduzimos ao mesmo denominador 7 e 2 = 14 Nota: Sempre que possível simplificar o resultados como vimos no tópico de simplificação de frações. Multiplicação de frações Produto de numeradores por numeradores e denominadores por denominadores. Exemplo: 3/7 X 4/3 = 3 X 4 = 12 e 7 X 3 = 21 o que resulta em 12/21.
  • 27. Escola Técnica Estadual de Diadema O processo da multiplicação pode ser facilitado usando a simplificaçãopelo cancelamento dos fatores comuns dos numeradores e dos denominadores. Exemplo: 2/3 X 3/5 nesse caso é possível simplificar 3 por 3 ou seja 3:3 =1 ficando dessa forma 2 X 1 = 2 e 1 X 5 = 5 o que resulta em 1/7. Divisão de frações Produto da primeira pelo inverso da segunda. Exemplo : 1/2 : 3/7 = 1/2 X 7/3 = 7/6 Potenciação de Frações Devemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente. (2/5)² = 2²/5² = 4/25 Porcentagem ou Percentagem Denominamos razões percentuais as razões cujos conseqüentes sejam iguais a 100. Exemplo : 30/100(trinta por cento) ; 20/100 (vinte por cento) 30/100 corresponde a 30% e 20/100 corresponde a 20%. Exemplo: 1) Em uma classe de 30 alunos , 15 fora aprovados. Qual a taxa percentual de aprovação? 30 - 100 onde: 30x = 100 X 15 15 - X 30x = 1500 x = 1500/30 = 50% 2) Ao comprar um livro , obtive um desconto de R$. Qual o preço do livro sabendo que a taxa de desconto foi de 5%? 3–5 5x = 300 x - 100 x = 300/5 = 60
  • 28. Escola Técnica Estadual de Diadema Agora responda os testes a seguir: 1. Qual o resultado de 3/4 + 4/5 : a) 31/20 b) 30/20 c) 22/20 d) 1/4 2. Quanto é 6/12 X 2/9: a) 1/9 b) 2/3 c) 3/5 d) 1/25 3.Eu uma classe de 50 alunos faltaram 15. Qual a quantidade de alunos presentes em porcentagem? a) 30% b) 70% c) 25% d) 35% 4.Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 150, para ter um lucro de 20% sobre o custo? a) R$ 170,00 b) R$ 180,00 c) R$ 185,00
  • 29. Escola Técnica Estadual de Diadema d) R$ 190,00 Nessa aula podemos revisar cálculos importantes como frações e porcentagens que serão de muita utilidade em Estatística, na próxima aula aprenderemos sobre as regras de arredondamento de acordo com as normas do IBGE. – Regras de arredondamento Resolução 886/66 IBGE Hoje iremos estudar arredondamentos que é de fundamental importância para nossos estudos, principalmente valores que tem muitas casas decimais. Muitas vezes, é conveniente suprimir unidades inferiores às de determinada ordem. Esta técnica é denominada arredondamento de dados ou valores. De acordo com a resolução 886/66 do IBGE: 1) < 5 (ou seja 0,1,2,3,4) – o último algarismo a permanecer fica inalterado exemplo: se quiser arredondar para o mais próximo décimo (uma casa após a vírgula) o seguinte número 53,24 , podemos observar que abandonaremos o 4 que é menor que 5 portanto nosso arredondamento ficará 53,2; se desejar arredondar para o mais próximo centésimo 53,242 abandonaremos o dois , logo 53,24; Obs: inteiro 53,2 - 53 2) >5 (ou seja 6,7,8,9)– o último número a permanecer aumentará em uma unidade exemplo : 53,26 logo abandonamos o 6 (>5) – 53,3 (quando décimo) , desejando arredondar para o centésimo mais próximo 53,267 – 53,27; obs: inteiro 53,6 - 54
  • 30. Escola Técnica Estadual de Diadema 3) = 5 – Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a permanecer só será aumentado se for ímpar exemplo : arredondar para o mais próximo décimo 53,25 – abandonamos o cinco e o dois como número par permanecerá 53,2 , se caso fosse 53,35 – o três como número ímpar seria aumenta em uma unidade ou seja 53,4 e essa regra se sucede como centésimos. Vamos fazer alguns exercícios para fixar o aprendizado. 1. Arredondar de acordo com o que se pede: a) Para o inteiro mais próximo 53,02 23,5 99,900 26,5 98,49 108,5 1,008 49,98 71,50002 739,5 40,900 128,53 b) Para o centésimo mais próximo 20,742 46,727 28,255 205,2384 12,352 253,65 5,385 45,097 39,49 c) Para o décimo mais próximo 0,061 23,40 120,4500 0,223 234,7832 26,55 7,7 129,98 12,235
  • 31. Escola Técnica Estadual de Diadema 2. Uma transportadora entregou em um mês: 6,19655 toneladas de produtos eletrônicos; 15,8561 toneladas de brinquedos; 13,6455 toneladas de alimentos; 09,7450 toneladas de papel; 10,3400 toneladas de remédio; 12,2350 toneladas de tecidos. Calcule quanto a transportadora entregou nesse mês, em toneladas: a) sem arredondar; b) arredondando para o centésimo mais próximo e o inteiro mais próximo. Variáveis Significado de variável no dicionário – mutável, que muda ,que sofre transformações , flexível; Significado estatístico – característica que vamos estudar em determinada população. Quanto à classificação de variáveis temos: Qualitativas (nominal / ordinal)
  • 32. Escola Técnica Estadual de Diadema Variável qualitativa nominal – Quando os elementos dessa variável são identificados por nome exemplo: cor do cabelo , cor dos olhos(azuis, castanhos, verdes); Variável qualitativa ordinal – quando os elementos entre elas indicam uma ordem entre elas exemplo: ótimo , bom , regular , ruim , péssimo. Quantitativas (contínua / discreta) Variável quantitativa discreta – valor muda em saltos ou passos (não existe continuidade) exemplo: número de filhos de um casal , número de carteiras da sala de aula , etc. Variável quantitativa contínua – admite infinitos valores dentro de um espaço ou intervalo exemplo: pesos das pessoas 75,2 (setenta e cinco quilos e duzentos gramas) ou altura 1,72 (um metro e setenta e dois centímetros) , notas de 0 a 10 – 7,5. Resolva o exercício abaixo: Classifique as em qualitativas ou quantitativas (contínuas ou discretas): a) alunos de uma escola b) raça de cachorros c) altura de determinada pessoa d) peso de um bebê e) número de filhos f) cor de pele g) os pontos obtidos na jogada de um dado h) Valor do salário i) Sexo j) idade
  • 33. Escola Técnica Estadual de Diadema ESTATÍSTICA GRÁFICA Temática: Tabulação Antes de realizarmos qualquer relatório ou trabalho gráficos devemos primeiramente efetuar a tabulação dos dados devidamente coletados evitando dessa forma possíveis erros dentro do método estatístico. a) Estrutura da tabela e do gráfico Uma tabela e até mesmo um gráfico devem ser estruturados da seguinte maneira – Cabeçalho , corpo e rodapé. Cabeçalho : é a apresentação do que a tabela está procurando estudar e representar , deve conter o necessário para que sejam respondidas as seguintes questões: O QUÊ ? (referente ao fato), ONDE? (relativo ao lugar), QUANDO? (correspondente ao tempo – anos , meses , dias). Exemplo: acidentes na Rodovia Castelo Branco em 1994. Exemplo: O que? – (fato): Acidentes Onde? – (lugar): Rodovia Castelo Branco Quando? – (tempo): 1994 Estatística Indutiva: é a parte da estatística que baseando-se em resultados obtidos da análise de uma amostra da população procura inferir, induzir ou estimar as leis de comportamento da população da qual a amostra foi retirada. Corpo : o corpo de uma tabela é representado por uma série de colunas e subcolunas onde ficam alocados os dados apurados.Segundo o corpo, as tabelas podem ser de entradas simples, de dupla entrada e de múltipla entrada.
  • 34. Escola Técnica Estadual de Diadema Exemplo: Entrada simples Previsão da população para a cidade de São Paulo 1990-2019 ANOS População (1.000 Hab.) 1990 11.170 1994 12.226 2001 13.415 2009 14.913 2019 15.533 Exemplo: Entrada dupla Contingente da empresa Estatísticos y em 2006 Sexo/ Tipo Homens Mulheres Total Maiores 50 35 85 Menores 30 15 45 Total 80 50 130 Existe também entradas múltiplas onde envolve mais colunas, linhas e muito mais dados , regiões. Exemplo: entrada múltipla População presente nas regiões sul e sudeste – 1940 /1980 Regiões 01/09/1940 01/07/1950 01/09/1960 01/09/1970 01/09/1980 SUL 5.735.305 7.840.870 11.753.075 16.496.493 19.038.95 Paraná 1.236.276 2.115.547 4.268.239 6.929.868 7.629.405 Santa 1.178.340 1.560.502 2.118.116 2.901.734 3.631.368 Catarina
  • 35. Escola Técnica Estadual de Diadema R.Grande 3.320.689 4.164.821 5.366.720 6.664.891 7.778.162 do sul SUDESTE 18.345.831 22.548.494 30.630.728 39.853.498 51.746.318 Minas 6.763.368 7.782.188 9.657.738 11.487.414 13.389.605 Gerais Espírito 790.149 957.238 1.170.858 1.599.333 2.019.877 Santo Rio de 1.847.857 2.297.194 3.363.038 4.742.884 11.300.665 Janeiro Guanabara 1.764.141 2.377.451 3.247.710 4.251.918 - São Paulo 7.180.316 9.134.423 12.809.231 17.771.948 25.036.171 Fonte: IBGE.Diretoria técnica, Departamento de Censo Demográfico 1. População residente 2. resultados preliminares da publicação “Tabulações Avançadas do censo Demográfico” baseados em uma amostra probabilística,de fração um pouco inferior a 1% da população e dos domicílios recenseados. Rodapé: Nessa parte da tabela devemos colocar a legenda e todas as observações que venham esclarecer a interpretação da tabela, também é no rodapé que se coloca a fonte dos dados , em alguns casos ela pode ser colocada também no cabeçalho. A fonte serve para dar maio autenticidade à tabela. Agora resolva o seguinte exercício. Calcule a porcentagem de crescimento populacional da seguinte tabela: de 1990 a 1994; de 1994 a 2001; de 2001 a 2009 e 2009 a 2019.
  • 36. Escola Técnica Estadual de Diadema ANOS População (1.000 Hab.) 1990 11.170 1994 12.226 2001 13.415 2009 14.913 2019 15.533 Nessa aula estudamos como elaborar uma tabela e seus elementos e também reforçamos o estudo de porcentagem com o exercício solicitado. Temática: Gráficos Estatísticos O gráfico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, com o objetivo de produzir no investigador ou no público em questão uma impressão mais rápida e compreensível do fenômeno estudado , através dos gráficos podemos entender melhor as séries estatísticas. O gráfico deve ser composto de simplicidade, clareza e veracidade , ou seja deve expressar a verdade e possibilitar um claro entendimento ao público interessado. Diagramas: são gráficos geométricos de no máximo, duas dimensões;para sua construção,em geral, fazemos uso do sistema cartesiano. Vamos apresentar os gráficos mais utilizados Gráfico em linha: constitui uma aplicação do processo de representação de funções num sistema de coordenadas cartesianas.
  • 37. Escola Técnica Estadual de Diadema Fazemos uso de duas retas perpendiculares; as retas são o eixo x (eixo das abcissas) e o eixo y (eixo das ordenadas). Para o melhor entendimento vamos consideremos a seguinte série: PRODUÇÃO BRASILEIRA DE ÓLEO DE SOJA 1987-1992 ANOS QUANTIDADE (1.000 t) 1987 39,3 1988 39,1 1989 53,9 1990 65,1 1991 69,1 1992 59,5 Volume de X (em 1000t) 80 70 69,1 65,1 60 59,5 53,9 50 40 39,3 39,1 30 20 10 0 1987 1988 1989 1990 1991 1992 Vamos considerar os anos como eixo x (abcissas) e as quantidades como ordenadas (eixo y).Assim um ano dado e sua respectiva quantidade formam um par ordenado. Veja a construção do gráfico:
  • 38. Escola Técnica Estadual de Diadema Gráfico em colunas ou em barras É a representação de uma série por meio de retângulas, dispostos verticalmente(gráfico em colunas) ou na forma horizontal (gráfico em barras). Exemplos: PRODUÇÃO BRASILEIRA DE CARVÃO MINERAL BRUTO 1989- 1992 ANOS QUANTIDADE PRODUZIDA (1.000t) 1989 18.196 1990 11.168 1991 10.468 1992 9.241 Veja abaixo as representações gráficas em colunas e barras: 20000 18.196 15000 ANOS 11.168 10.468 10000 9.241 QUANTIDADE 5000 PRODUZIDA 1989 1990 1991 1992 (1.000t) 0 1 2 3 4
  • 39. Escola Técnica Estadual de Diadema 9.241 4 1992 QUANTIDADE 10.468 3 1991 PRODUZIDA (1.000t) 11.168 2 1990 ANOS 18.196 1 1989 0 5000 10000 15000 20000 GRÁFICO EM COLUNAS OU EM BARRAS MÚLTIPLAS Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos representar dois ou mais fenômenos estudados com a finalidade de comparação. Exemplo: Balanço Comercial do Brasil Valor US$ Especificações 1989 1990 1991 1992 1993 Exportação (FOB) 34.383 31.414 31.620 35.793 38.783 Importação 18.263 20.661 21.041 20.554 25.711 FONTE: Ministério da Fazenda
  • 40. Escola Técnica Estadual de Diadema 40000 30000 ANOS 38.783 20000 34.383 3 2 35.793 25.711 31.4141.620 20.554 20.6611.041 Especificações 18.263 10000 Importação 0 1989 1990 1991 1992 1993 1 2 3 4 5 Gráficos em Setores Gráfico construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do dado no total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Obtemos cada setor por meio de uma regra de três simples e direta, lembrando que o total da série corresponde a 360º. Exemplo: Dada a série: ESTADOS QUANTIDADE (1.000 cabeças) Minas Gerais 3.363,7 Espírito Santo 430,4 Rio de Janeiro 308,5 São Paulo 2.035,9 Total 6.138,5
  • 41. Escola Técnica Estadual de Diadema Utilizando a regra de três: 6.138 ____ 360º 3.363,7___ X X 1 = 197º X 2 = 25º X3 = 18º X4 = 120º Com esses dados (valores em graus) , marcamos num círculo de raio arbitrário, com um transferidor , os arcos correspondentes , obtendo o gráfico abaixo: QUANTIDADE (1.000 cabeças) Minas Gerais 3.363,70 Espírito Santo 6.138,50 Rio de Janeiro 430,4 São Paulo 308,5 Total 2.035,90 Notas: O gráfico em setores só deve ser empregado , quando há, no máximo sete dados;
  • 42. Escola Técnica Estadual de Diadema Se a série já é apresentada de forma percentual, obteremos os seguintes valores em graus multiplicando por 3,6. Resolva os exercícios abaixo: 1) utilizar um gráfico de setores para representar a tabela: Especificação Quantidade Norte 301 Nordeste 2.937 Sudeste 7.071 Sul 4.542 Centro Oeste 979 TOTAL 15.830 2)Represente a série abaixo usando o gráfico em linhas Comércio exterior Brasil 1984-1993 ANOS Exportação 1984 141.737 1985 146.351 1986 133.832 1987 142.378 1988 169.666 1989 177.033 1990 168.095 1991 165.974 1992 167.295
  • 43. Escola Técnica Estadual de Diadema 1993 182.561 3) Usando o gráfico em barras, represente a tabela: Produção de ovos de galinha Brasil – 1992 Regiões Quantidade (1.000 dúzias) Norte 57.297 Nordeste 414.804 Sudeste 984.659 Sul 615.978 Centro-Oeste 126.345 Na aula de hoje estudamos os gráficos mais utilizados e que dão melhor entendimento a população para interpretar os fatos e os fenômenos coletivos. Tabela de freqüência e medidas de tendência central Temática: Tabela de Frequência.
  • 44. Escola Técnica Estadual de Diadema Tanto os dados qualitativos como os quantitativos, podem e devem ser agrupados em freqüências para se construir uma tabela. As freqüências associadas aos dados constituem a distribuição de freqüência. Uma tabela é constituída por dados organizados em linhas e colunas. A freqüência de um dado é o número de ocorrências ou repetições de um dado. Elementos de uma distribuição de freqüência 1) Tabela Primitiva: conjunto de elementos que não foram organizados. 2) Rol: é a tabela obtida após a ordenação dos dados. 3) Classe: são intervalos de variação da variável. 4) Limites de classe: são os extremos de cada classe. O menor é o limite inferior (li) e o maior número, o limite superior da classe (Li). 5) Amplitude de um intervalo de classe: ou simplesmente intervalo de classe é a medida do intervalo que define a classe. Esta medida é obtida pela diferença entre os limites superior e inferior. A amplitude é indicada por h. Assim: H = Li – li 4) Ponto médio: Como o próprio nome indica, é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. Será representado por Xi. Para obtermos o ponto médio de uma classe, calculamos a soma dos limites e dividimos por 2, ou seja, só existe o ponto médio se existir o intervalo de classe. A fórmula utilizada será: Xi = li + Li /2 Tipos de Frequências
  • 45. Escola Técnica Estadual de Diadema 1) Freqüência simples ou absoluta (fi): são os valores que realmente representam o número de dados de cada classe, ou seja, o número de vezes que se repetiram. 2) Freqüência absoluta acumulada (fac): é o total de frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe. 3) Freqüência Relativa (fr): são os valores das razões entre a freqüência absoluta e a freqüência total (fr (%) = fi/n) sendo n = número total de elementos de uma amostra ou tabela. 4) Freqüência relativa acumulada (fr.acum.): é o acúmulo das porcentagens de uma tabela. Amplitude de um intervalo de classe A primeira preocupação que temos, na construção de uma distribuição de freqüência com intervalo de classe, é a determinação das amplitudes do intervalo. O nosso intervalo de classe sempre começará pelo menor elemento da amostra e a sua amplitude será determinada pela fórmula: h = nº > - nº </√n O resultado da amplitude sempre deverá ser arredondado para o inteiro mais próximo. Exemplo de tabela de freqüência: Para a variável estado civil, construímos a seguinte tabela de freqüência: Estado Civil Freqüência absoluta Freqüência Porcentagem (fi) Relativa (fr) Solteiro 9 9/20 = 0,45 45% Casado 8 8/20 = 0,40 40% Separado 3 3/20 = 0,15 15%
  • 46. Escola Técnica Estadual de Diadema Total 20 1,00 100% Exemplo de tabela de freqüência com intervalo de classe Utilizando 5 classes de intervalo, todas com o mesmo comprimento, é possível reunir os dados referentes à renda mensal da tabela seguinte: Classes de Freqüência Freqüência relativa Porcentagem Valores absoluta(fi) (fr) [5 ; 8[ 2 2/20 = 0,1 10% [8 ; 11[ 5 5/20 = 0,25 25% [11 ; 14[ 7 7/20 = 0,35 35% [14 ; 17[ 4 4/20 = 0,2 20% [17 ; 20[ 2 2/20 = 0,1 10% Total 20 1,00 100% Exemplo utilizando a tabela primitiva e o rol: Um dentista anotou o número de clientes atendidos por dia, durante um período de 30 dias, e obteve os seguintes dados: 4;6;7;4;4;5;4;6;5;5;4;5;7;5;5;4;7;5;6;5;4;5; 5;6;5;7;4;6;6;7 Rol: 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 5; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ;7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7. Organize esses dados em forma de uma tabela total de freqüência. Xi Freqüência Frequência Freqüência relativa Porcentagem absoluta (fi) acumulada (fr) (fac) 4 08 8 8/30 = 0,267 26,7%
  • 47. Escola Técnica Estadual de Diadema 5 11 19 11/30=0,366 36,6% 6 06 25 6/30 = 0,20 20,0% 7 05 30 5/30 = 0,167 16,7% Totais 30 1,00 100% Resolva os exercícios abaixo : 1) conhecidas as notas de 40 alunos de uma classe, obtenha uma tabela total de distribuição de freqüência com intervalo de classe(com freqüência individual, freqüência acumulada, freqüência relativa, porcentagem). 1;2;3;4;5;6;6;7;7;8 2;3;3;4;5;6;6;7;8;8 2;3;4;4;5;6;6;7;8;9 2;3;4;5;5;6;6;7;8;9 2;3;4;5;5;6;7;7;8;9
  • 48. Escola Técnica Estadual de Diadema 2) complete a tabela abaixo: Idade Freqüência Freqüência Freqüência Porcentagem absoluta (fi) acumulada relativa [0 ; 8[ 04 [8 ; 16[ 10 [16 ; 24[ 14 [24 ; 32[ 09 [32 ; 40[ 03 Na aula de hoje podemos aprender como elaborar uma tabela de freqüência a partir de um conjunto de dados. TEMÁTICA – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Começaremos estudar as medidas de tendência central média , mediana e moda dividiremos em 3 aulas e começaremos hoje por média. Média aritmética / ponderada a) Para amostra
  • 49. Escola Técnica Estadual de Diadema A média aritmética , ou simplesmente média , e a soma de todos elementos de uma amostra e dividida pelo número de elementos,vamos representar a média com o símbolo X . Para calcularmos a média usaremos: X = ∑xi/n Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira diária de uma cabra’, durante uma semana foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18, e 12 litros ,sendo assim , quanto foi a produção média da semana? X = 10+14+13+15+16+18+12/7 = 68/12 = 14 b) Para dados agrupados sem classe A coluna de freqüência de uma tabela de indica a repetição de um elementos. Neste caso , a média será calculada através do produto entre o valor da variável e sua respectiva freqüência e o resultado dividido pelo número total de elementos da tabela. A fórmula usada para este cálculo é X = ∑xifi/n Ex: de acordo com dados apresentados na tabela abaixo calcule a média. Idade Número de pessoas Xi.Fi 21 02 21 x 2 = 42 22 05 22 x 5 = 110 23 08 23 x 8 = 184 24 06 24 x 6 = 144 25 05 25 x 5 = 125 26 04 26 x 4 = 104 ∑ 30 709 X = 709/30 = 23,63 c) Para dados agrupados em classes
  • 50. Escola Técnica Estadual de Diadema É muito parecida com o cálculo dos dados agrupados sem classe. O que difere é a presença do ponto médio, sendo assim, o X, não é mais a variável e sim o seu ponto médio e sua respectiva freqüência e o resultado dividido pelo número total de elementos da tabela. A fórmula será: X = ∑xifi / n Exemplo: Considerando os dados da tabela abaixo calcule a média. Classes Fi Xi (ponto médio) Xi.Fi [4 ; 5[ 01 4,5 4,5 x 1 = 4,5 [5 ; 6[ 04 5,5 5,5 x 4 = 22,0 [6 ; 7[ 11 6,5 6,5 x 11 = 71,5 [7 ; 8[ 07 7,5 7,5 x 7 = 52,5 [8 ; 9[ 02 8,5 8,5 x 2 = 17,0 ∑ 25 167,5 X = 167,5/25 = 6,7 Resolva os exercícios de média abaixo: 1)Na série abaixo, composta de notas de matemática: 6,2,8,6,3,0,4,2,6,7,10,3,6 a média é : a) 4,85 b) 5,33 c) 5,16 d) 4,75 e)6,3 1) Calcule a média ponderada dos dados abaixo: Xi Fi 4 2 5 3 7 4
  • 51. Escola Técnica Estadual de Diadema 9 1 2) Determine a média aritmética da distribuição abaixo Estaturas (cm) Nº de pessoas [120 ; 126[ 06 [126 ; 132[ 12 [132 ; 138[ 16 [138; 144[ 15 [144 ; 150[ 07 [150; 156[ 04 3) Numa avaliação 6 alunos obtiveram nota 5 ; 8 alunos obtiveram nota 7 ; 5 alunos obtiveram nota 9 e um aluno obteve nota 10.Qual a média desses alunos? Assinale a correta: a) 7,05 b) 6,5 c) 7,5 d) 7,0
  • 52. Escola Técnica Estadual de Diadema Nessa aula aprendemos um pouco de média que usamos muito no nosso dia a dia por exemplo: as empresas calculam a média salarial de sua folha de pagamento , o professor calcula a média de seus alunos e vários outros usos. TEMÁTICA: MEDIANA A mediana é o valor que divide um conjunto de dados ordenados ao meio, ou seja, ela nos fornece o elemento central desse conjunto de dados. a) para amostra para com número de elementos impar Md = n+1/2 Exemplo: Se considerarmos 2,3,3,6,7 – temos 5 elementos logo Md = n+1/2 = 5+1/2 = 3º elemento que é justamente o 3( que é o termo central da amostra). Nota: os dados devem ser colocados em ordem crescente. b) para amostra com número de elementos par: Md = n/2 e n/2 + 1 Exemplo: Se considerarmos 2,3,3,6,7,8 Temos 6 elementos logo – Md = n/2 = 6/2 = 3º elemento e n/2+1 = 6/2+1 = 4º elemento , daí tiramos a média entre o 3º e 4º elemento logo: 3 + 6 / 2 (3 + 6 dividido por 2) = 4,5 portanto Md = 4,5 c) para dados agrupados sem classe Uma vez que os dados da tabela encontram-se ordenados, podemos obter a mediana através da freqüência acumulada. O cálculo ocorrerá da mesma maneira dos resultados obtidos na amostra. De acordo com a tabela abaixo calcule a mediana.
  • 53. Escola Técnica Estadual de Diadema Idade Fi Fac 11 02 02 12 05 07 13 08 15 14 06 21 15 05 26 16 04 30 ∑ 30 Podemos observar que o número de elementos é par, logo: n/2 = 30/2 = 15º elemento e n/2 +1 = 30/2 + 1= 15 + 1 = 16º elemento Pela coluna da freqüência acumulada identificamos que o 15º elemento encontra-se na classe dos 13 anos enquanto o 16º encontra-se na classe dos 14 anos encontraremos a média entre 13 e 14 = 13+14/2 = 13,5 Md=13,5 ou seja, idade mediana é 13,5 d) Para dados agrupados em classes Para calcular a mediana, devemos primeiramente, identificar na tabela através da coluna de freqüência acumulada, a classe da mediana através da fórmula: Md = lmd +[n/2 - ∑fant]x h/fmd Onde: Lmd = limite inferior da classe da mediana. Fant é a freqüência acumulada anterior a classe da mediana Fmd é a freqüência absoluta da classe da mediana h é a amplitude da classe da mediana
  • 54. Escola Técnica Estadual de Diadema n é o número de elementos da tabela Exemplo: De acordo com a distribuição abaixo, calcule a mediana. Altura (cm) Fi Fac [155 ; 160[ 05 05 [160 ; 165[ 09 14 [165 ; 170[ 10 24 [170 ; 175[ 12 36 [175 ; 180[ 05 41 ∑ 41 Classe da mediana = n/2 = 41/2 = 21,5º elemento = 21º elemento Md = 165 + [ 20,5 – 14] x 5 / 10 = 165 + 3,25 = 168,25 Resolva os exercícios abaixo: 1) Calcule a mediana das séries abaixo: a) 5,6,8,10 e 15 b) 27,10,28,31 e 27 c) 10,11,17,15,18,21,27 e 30 d) 31,20,7,16,30,42,9,27,12 e 34 2) Calcule a mediana das distribuições abaixo:
  • 55. Escola Técnica Estadual de Diadema Xi Fi 07 02 08 05 10 07 15 06 20 01 3) Calcule a mediana das distribuições abaixo: Classes Fi [12;16[ 10 [16;20[ 18 [20;24[ 20 [24;28[ 12 [28;32[ 08 [32;36[ 02 ∑ 70 4) Em um projeto foi pesquisado o número de anos de estuda de uma população. Uma amostra de 5 pessoas apresentou as seguintes respostas: 6,4,11,6,8 a mediana dessa amostra é: a) 11 b)8 c) 6 d) 4 Nessa aula estudamos a mediana que também faz parte das medidas de tendência central.
  • 56. Escola Técnica Estadual de Diadema Temática : Moda A moda de um conjunto de dados é o valor que se repete mais, isto é, aquele com maior freqüência . Existem casos que ocorrem mais de uma moda, e outros em que a moda não existe. Iremos representá-la por Mo. a) Para amostra Exemplo: o número de livros vendidos a cada hora foi coletado, em três livrarias ( A, B e C). Os dados em um período de oito horas foram: Livraria A : 0,1,2,2,2,2,3,4 a moda é 2 Livraria B : 1,2,2,2,3,3,3,5 as modas são 2 e 3 (bimodal) Livraria C : 0,0,1,1,2,2,3,3 não existe moda b) Para dados agrupados sem classe Ex: A tabela abaixo mostra as horas de atraso em 30 vôos, de uma companhia aérea , determine a moda: Horas Freqüência 0 15 1 08 2 04 3 02 4 01 Sendo assim M = 0 horas c) Para dados agrupados em classes
  • 57. Escola Técnica Estadual de Diadema Neste caso precisaremos inicialmente achar a classe de maior freqüência, a qual chamamos de classe modal. Através desta classe é que iremos calcular a moda através da fórmula: Mo = lmo + ∆1 / ∆1+∆2 x h Sendo: Lmo – limite inferior da classe modal ∆1 – fi da classe modal – fi anterior ∆2 – fi da classe modal – fi posterior h – amplitude da classe modal (intervalo) Exemplo: De acordo com a tabela abaixo calcule a moda: Altura Nº de (cm) pessoas [155;160[ 05 [160;165[ 09 [165;170[ 10 [170;175[ 12 [175;180[ 05 ∑ 41 ∆1 = 12 – 10 = 2 Mo = 170 + 2x5/2+7 = 170 + 10/9 = 171,11 ∆2 = 12 – 5 = 7 Mo = 171,11 h=5
  • 58. Escola Técnica Estadual de Diadema Resolva os exercícios abaixo: 1) Obtenha a moda das seguintes séries: a) 2,3,4,4,5,2,3 e 2 b) 10,9,8,10,5,9 e 7 c) 2,3,3,3,4,5,7,7,7,9,9 e 9 d) 16,15,14,11,12 e 18 2) Determine a moda das distribuições abaixo: Nº de acidentes Nº de dias 0 12 1 08 2 05 3 04 4 01 ∑ 30 3) Determine a moda da tabela com intervalo de classes abaixo: Peso (Kg) Nº de alunos [40;45[ 03 [45;50[ 08 [50;55[ 12 [55;60[ 08 [60;65[ 06 [65;70[ 03 ∑
  • 59. Escola Técnica Estadual de Diadema Nessa aula estudamos moda também pertencente as medidas de tendência central. Exercícios 1) Calcule média , mediana e moda das séries abaixo: a) 5,6,8,10 e 15 b) 27,10,28,31 e 27 c) 10,11,17,15,18,21,27 e 30 d) 31,20,7,16,30,42,9,27,12 e 34 2) Calcule a média , mediana e moda das distribuições abaixo: a) Xi Fi 120 03 123 10 126 12 129 09 130 11 145 05 b)
  • 60. Escola Técnica Estadual de Diadema Xi Fi 1,4 12 1,7 10 2,1 08 3,3 05 c) Nº de Freqüência filhos 0 08 1 10 2 14 3 09 4 04 5 02 6 03 d)
  • 61. Escola Técnica Estadual de Diadema Salário (R$) Nº de funcionários [500;700[ 11 [700;900[ 23 [900;1100[ 18 [1100;1300[ 06 [1300;1500[ 03 [1500;1700[ 02 Temática: Desvio médio Chamamos de desvio a diferença entre um valor e a média dos dados, ou seja, a diferença entre cada elemento de uma série de dados e a média aritmética dos elementos dessa série. l xi − x l DM = fi Desvio em relação à média (di) Desvio em relação à média é a diferença entre cada elemento da série e a média que o representa. di = x i − x Exemplo: Seja o rol: 11; 46; 56; 62; 65; 80; 104; 130; 166. x = 80 x1 = 11 x2 = 46 x3 = 56 x4 = 62 x5 = 65 x6 = 80 x7 = 104 x8 = 130 x9 = 166 d1 = 11 – 80 = – 69 d2 = 46 – 80 = – 34 d3 = 56 – 80 = – 24 d4 = 62 – 80 = – 18 d5 = 65 – 80 = – 15 d6 = 80 – 80 = 0
  • 62. Escola Técnica Estadual de Diadema d7=104 – 80 = 24 d8=130 – 80 = 50 d9 = 166 – 80 = 86 Desvio médio Exemplo: Consideremos os seguintes dados: 10; 11; 11; 12; 12; 13; 13; 14. A média dos dados será: Média: 10 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14 96 (x) = = = 12 8 8 Desvio médio: l10 - 12l + l11 - 12l + l11 - 12l + ... + l13 - 12l + l14 - 12l 8 + 2 + 1+ 1+ 0 + 0 + 1+ 1+ 2 8 = =1 8 8 O desvio médio avalia a variabilidade ou a dispersão dos dados em torno da média aritmética, isto é, elas indicam a representatividade da média. a) Para dados agrupados sem intervalo de classe. . xi fi xi fi 05 02 10 07 03 21 08 05 40 09 04 36 11 02 22 ∑ 16 129 Média → x= ∑x fi i = 129 = 8,06 ∑f i 16 Logo: │xi – x │= │di│ │di│. fi │5 – 8,06│ = 3,06 6,12 │7 – 8,06│ = 1,06 3,18 │8 – 8,06│ = 0,06 0,30 │9 – 8,06│ = 0,94 3,76
  • 63. Escola Técnica Estadual de Diadema │11 – 8,06│ = 2,94 5,88 ∑ 19,24 l di l ⋅ fi 19,24 Portanto: DM = = = 1,2 ∑ fi 16 Temática: Variância e desvio padrão De todas as medidas de dispersão, a mais utilizada é o desvio padrão. Esta medida se baseia nos desvios de cada valor de uma série em relação à média, considerando (xi – x)², pois sabemos que a soma desses desvios é igual a zero. O desvio padrão resultará da raiz quadrada da variância (S²). Como vimos, a amplitude total é instável por se deixar influenciar pelos valores extremos que são, em sua maioria, devidos ao acaso. A variância e o desvio padrão são medidas que fogem a essa falha, pois leva em conta a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis. Mostraremos as seguintes fórmulas para o cálculo do desvio padrão: Desvio padrão – dados não agrupados Exemplo: De acordo com a amostra 5; 7; 9; 11; 13, calcule o desvio padrão. A fórmula utilizada é:
  • 64. Escola Técnica Estadual de Diadema ∑x  ∑ xi 2 2  = −  2 i S n  n    Lembrando que ∑fi é igual a n. Para facilitar este cálculo iremos transportar esta amostra para uma tabela. xi xi² 5 25 7 49 9 81 11 121 13 169 ∑ = 45 ∑ = 445 Como n é igual a 5 temos: ∑x  ∑ xi 2 2  = −  2 i S n  n    2 445  45  S2 = −   = 89 − 81 = 8 ⇒ S 2 = 8 (Variância) 5  5  S = 8 = 2,83 (Desvio padrão ) Desvio padrão – dados agrupados ● Sem intervalos de classe Exemplo: De acordo com a tabela abaixo calcule o desvio padrão . . Nº de filhos fi xi fi xi² fi 0 02 00 00 1 06 06 06 2 12 24 48 3 07 21 63 4 03 12 48 Total 30 63 165
  • 65. Escola Técnica Estadual de Diadema ∑f x  ∑ fi x i 2 2  = −  2 i i S n  n    2 165  63  S = 2 −   = 5,5 − 4,41 = 1,09 ⇒ S 2 = 1,09 30  30  S = 1,09 = 1,04 (Desvio padrão ) ● Com intervalo de classe A única diferença é que o xi neste caso se refere ao ponto médio de cada classe, ou seja, temos de abrir uma nova coluna para o ponto médio (xi). Exemplo: De acordo com a tabela a seguir calcular o desvio padrão. . . Estaturas (cm) fi xi xi fi xi² fi 150 ı− 154 04 152 608 92.416 154 ı− 158 09 156 1.404 219.024 158 ı− 162 11 160 1.760 281.600 162 ı− 166 08 164 1.312 215.168 166 ı− 170 05 168 840 141.120 170 ı− 174 03 172 516 88.752 ∑ 40 6.440 1.038.080 ∑f x  ∑ fi x i 2  2 = −  2 i i S n  n    2 1038080  6440  S = 2 −  = 25952 − 25921 = 31 ⇒ S = 31 2 40  40  S = 31 = 5,56
  • 66. Escola Técnica Estadual de Diadema Temática: Coeficiente de variação O desvio padrão, por si somente, não produz muita coerência. Para contornar algumas dificuldades ou limitações, podemos caracterizar a dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos ao seu valor médio, ou seja, podemos caracterizar por meio de uma porcentagem. Essa medida em forma de porcentagem é denominada coeficiente de variação: S CV = ⋅ 100 x Onde CV é o coeficiente de variação e S é o desvio padrão.
  • 67. Escola Técnica Estadual de Diadema A tabela abaixo se refere às estaturas, onde: x = 161 cm e S = 5,56. . Estaturas (cm) fi xi xi fi xi² . fi 150 ı− 154 04 152 608 92.416 154 ı− 158 09 156 1.404 219.024 158 ı− 162 11 160 1.760 281.600 162 ı− 166 08 164 1.312 215.168 166 ı− 170 05 168 840 141.120 170 ı− 174 03 172 516 88.752 ∑ 40 6.440 1.038.080 S 5,56 Temos, então: CV = ⋅ 100 = ⋅ 100 = 0,0345 ⋅ 100 = 3,45% x 161 Esse resultado significa que existe uma variação em torno da média de 3,46%. Temática: Assimetria - Introdução Como vimos na unidade III, numa distribuição simétrica, as medidas de tendência central coincidem, ou seja, a média, a moda e a mediana. Sendo a distribuição assimétrica à esquerda ou negativa, a média é menor que a moda; sendo assimétrica à direita ou positiva, a média é maior que a moda.
  • 68. Escola Técnica Estadual de Diadema Baseando-se nessas relações entre a média e a moda, podemos empregá-las para determinar o tipo de assimetria. x − Mo Assim, calculamos o valor da diferença: Média – Moda, se: Média – Moda = 0 → Assimetria nula ou distribuição simétrica; Média – Moda < 0 → Assimetria negativa ou à esquerda; Média – Moda > 0 → Assimetria positiva ou à direita. Exemplo: Distribuição A xi fi 02 ı− 06 06 06 ı− 10 12 10 ı− 14 24 14 ı− 18 12 18 ı− 22 06
  • 69. Escola Técnica Estadual de Diadema Σ 60 Temos: Média = 12; Mediana = 12; Moda = 12; S = 4,42. Distribuição B xi fi 02 ı− 06 06 06 ı− 10 12 10 ı− 14 24 14 ı− 18 30 18 ı− 22 06 Σ 78 Temos: Média = 12,9 Mediana = 13,5 Moda = 16 S = 4,2 Distribuição C xi fi 02 ı− 06 06 06 ı− 10 30 10 ı− 14 24 14 ı− 18 12 18 ı− 22 06 Σ 78 Temos: Média = 11,1 Kg Mediana = 10,5 Kg Moda = 8 Kg S = 4,20Kg Portanto, temos a seguinte situação em cada distribuição: Distribuição A: 12 – 12 = 0; a distribuição é simétrica. Distribuição B: 12,9 – 16 = – 3,1; a distribuição é assimétrica negativa. Distribuição C: 11,1 – 8 = 3,1; a distribuição é assimétrica positiva. Temática: Coeficiente de assimetria A medida anterior, por ser absoluta, apresenta a mesma deficiência do desvio padrão, isto é, não permite a possibilidade de comparação entre as medidas de duas distribuições. Por este motivo, é viável usarmos o coeficiente de assimetria de Pearson, dado por:
  • 70. Escola Técnica Estadual de Diadema 3 ⋅ (média − mediana ) 3 ⋅ ( x − Md) ⇒ AS = s S Se 0,15 < │AS│< 1, a assimetria é considerada moderada: se │AS│>1, é forte. Exemplo: Considerando as distribuições A, B, e C dadas na aula anterior, temos: 3 ⋅ (12 − 12) AS A = = 0 ⇒ simetria 4,42 3 ⋅ (12,9 − 13,5) AS B = = −0,429 ⇒ assimetria negativa 4,20 3 ⋅ (11,1 − 10,5) AS C = = 0,429 ⇒ assimetria positiva 4,20 Temática: Quartil e percentil
  • 71. Escola Técnica Estadual de Diadema Antes de entrarmos em medidas de curtose devemos ter noções sobre Quartil e Percentil, que são medidas de posição. Quartil São valores que dividem um conjunto de elementos ordenados em quatro partes iguais, ou seja, cada parte contém 25% desses elementos. Há, portanto, três quartis: Q1, Q2 e Q3. Q1 – é chamado de primeiro quartil, ou seja, valor que deixa 25% dos elementos à sua esquerda e 75% dos elementos à sua direita. Q2 – é chamado de segundo quartil e coincide com a mediana (Q2 = Md), ou seja, 50% dos elementos estão à sua esquerda e 50% à sua direita. Q3 – é chamado de terceiro quartil, ou seja, valor que deixa 75% dos elementos à sua esquerda e 25% à sua direita. Quando os dados são agrupados para determinar os quartis, usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir na fórmula da mediana, ∑f i por k ∑ fi ; sendo k o 2 4 número de ordem do quartil. No primeiro quartil (Q1), utiliza-se: n   4 − ∑ F(ant )h Q1 Q1 = λQ1 +  fQ1 Onde, ℓQ1 é o limite inferior da classe do primeiro quartil, hQ1 é a amplitude do intervalo da classe mediana, n é o número de elementos da tabela (Σfi) e ∑F(ant) é a freqüência acumulada do primeiro quartil. No segundo quartil (Q2), utiliza-se a mesma fórmula da mediana. Q2 = ∑f i 2 No terceiro quartil (Q3), utiliza-se:  3n   4 − ∑ F(ant )h Q3 Q 3 = λQ 3 +  f Q3
  • 72. Escola Técnica Estadual de Diadema Exemplo: com os dados apresentados na tabela abaixo, calcule o primeiro e terceiro quartil: Classes fi Fac 0 ı− 2 03 03 2 ı− 4 06 09 4 ı− 6 12 21 6 ı− 8 09 30 8 ı−10 06 36 ∑ 36 Primeiro quartil 1º) Achar a classe do primeiro quartil: n 36 = =9 4 4 O 9º elemento olhando no Fac se encontra na segunda classe. 2º) Depois de localizada a classe do primeiro quartil, utilizaremos a expressão abaixo para obter o valor desejado. Q1 = 2 + [9 − 3] ⋅ 2 = 2 + 12 = 2 + 2 = 4 6 6 Terceiro quartil 1º) Achar a classe do terceiro quartil: 3n 3 × 36 = = 27 4 4 O vigésimo sétimo elemento olhando na Fac está na quarta classe. Logo: Q3 = 6 + [27 − 21]⋅ 2 = 6 + 12 = 7,33 9 9 Isto é: 4 deixa 25 % dos elementos (1º quartil) 7,33 deixa 75% dos elementos (2º quartil) Percentil Denominamos percentis aos noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais. A notação que usaremos para os percentis será Pi, onde o índice i indica a ordem do percentil considerado.
  • 73. Escola Técnica Estadual de Diadema Exemplo: P10 indica que 10% dos dados estão ordenados à sua esquerda e 90% à direita de P10. Cálculo de um percentil Para calcularmos os percentis dos dados em uma tabela de freqüência, devemos identificar, i⋅n na freqüência acumulada, a classe do percentil desejado através da fórmula , que é a 100 posição do percentil em estudo. Para obtermos a posição da classe do percentil usaremos a expressão:  i⋅n  100 − ∑ F(ant ) ⋅ hPi Pi = λPi   fPi Observação: P10 também pode ter a denominação de 1º decil (Di), assim como P20 é igual ao 2º decil (D2) e assim por diante. Exemplo: Calcular o 15º percentil referente à tabela abaixo. Classes fi Fac 4,85 ı− 4,90 03 03 4,90 ı− 4,95 06 09 4,95 ı− 5,00 12 21 5,00 ı− 5,05 09 30 5,05 ı− 5,10 06 36 Total 36 1º) Achar a classe de P15. i ⋅ n 15 ⋅ 36 540 = = = 5,40 (5,4º elemento) 100 100 100 Observando na Fac, podemos afirmar que o 15º percentil se encontra na segunda classe. 2º) Após encontrarmos a classe, iremos obter o valor do 15º percentil através da fórmula a seguir:
  • 74. Escola Técnica Estadual de Diadema  i⋅n  100 − ∑ F(ant ) ⋅ hPi Pi = λPi   fPi P15 = 4,90 + [5,40 − 3]⋅ 0,05 = 4,90 + 0,02 = 4,92 6 P15 = 4,92