O documento discute conjuntos numéricos e dízimas periódicas. Ele define conjuntos numéricos como agrupamentos de números com características semelhantes e descreve os cinco conjuntos numéricos fundamentais: números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Também define e classifica dízimas periódicas em simples e compostas, e explica como determinar a geratriz de uma dízima periódica.

1. Conjuntos numéricos
Por Débora Silva
Conjunto pode ser definido como o agrupamento de elementos que
possuem características semelhantes e, quando esses elementos são
números, tais conjuntos são chamados de conjuntos numéricos.
Foto: Reprodução

2. Os cinco conjuntos numéricos fundamentais
Os conjuntos numéricos fundamentais são os conjuntos mais
amplamente utilizados. São eles:
Conjunto dos Números Naturais
Representado pela letra maiúscula N, este conjunto abrange todos os
números inteiros positivos, incluindo o zero.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}
Para representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o
zero), deve-se colocar um asterisco ao lado do N:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
As chaves são usadas para dar ideia de conjunto e os pontos de
reticência dão a ideia de infinidade, pois os conjuntos numéricos são
infinitos.
O conjunto numérico dos números naturais começa no zero e é infinito,
porém, podemos ter a representação de apenas um subconjunto dele.
Veja a seguir um subconjunto do conjunto dos números naturais formado
pelos quatro primeiros múltiplos de 7:
{0, 7, 14, 21}
Conjunto dos Números Inteiros
Representado pela letra Z, o conjunto dos números inteiros é formado
por todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os
seus respectivos opostos negativos.
Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

3. O conjunto dos Inteiros possui alguns subconjuntos, a saber:
– Inteiros não negativos: Representado por Z+., este subconjunto dos
inteiros é composto por todos os números inteiros que não são
negativos. Podemos perceber que este conjunto é igual ao conjunto dos
números naturais.
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ,8, …}
– Inteiros não positivos: Representado por Z-, os inteiros não positivos são
todos os números inteiros que não são positivos.
Z– = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
– Inteiros não negativos e não-nulos: Representado por Z*+, este
subconjunto é conjunto Z+ excluindo o zero.
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}
Z*+, = N*
– Inteiros não positivos e não nulos: Representado por Z*-, são todos os
números do conjunto Z-, excluindo o zero.
Z*– = {… -4, -3, -2, -1}
Conjunto dos Números Racionais
Representado pela letra Q, o conjunto dos números racionais engloba os
números inteiros (Z), números decimais finitos e os números decimais
infinitos periódicos (aqueles que repetem uma sequência de algarismos
da parte decimal infinitamente, também conhecidos como dízimas
periódicas).
Conjunto dos Números Irracionais
Formado pelos números decimais infinitos não-periódicos.
Exemplos: o número PI (= 3,14159265…), resultado da divisão do
perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro) e todas as raízes
não exatas, como a raiz quadrada de 2.
Conjunto dos Números Reais
Representado pela letra R, o conjunto dos números reais é formado por
todos os conjuntos descritos anteriormente, sendo a união do conjunto
dos racionais com os irracionais.

4. Dízimas periódicas
Por Débora Silva
As dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos números racionais,
representado pela letra Q e que engloba os números inteiros (Z), os
números decimais finitos e os números decimais infinitos periódicos.
Estes últimos são aqueles que repetem uma sequência de algarismos da
parte decimal infinitamente, isto é, as dízimas periódicas. Em uma
dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem
infinitamente constituem o período dessa dízima. Os números racionais
hora são apresentados na forma de fração, hora na forma decimal.
Foto: Reprodução
Classificação das dízimas
As dízimas periódicas podem ser classificadas em:
 Dízimas periódicas simples: Quando o período apresenta-se
logo após a vírgula.
Observe os exemplos a seguir:

5. 4/13 = 0, 307692307692… (Período: 307692)
2/3 = 0, 666666 … (Período: 6)
31/33 = 0, 93939393 … (Período: 93)
 Dízimas periódicas compostas: Quando há uma parte não
periódica (não repetitiva) entre o período e a vírgula.
Observe os exemplos a seguir:
44/45 = 0, 9777777 … (Período: 7; parte não periódica: 9)
35/36 = 0, 972222 … (Período: 2 ; parte não periódica: 97)
35/42 = 0, 833333 … (Período: 3 ; parte não periódica: 8)
Geratriz de uma dízima periódica
A geratriz da dízima periódica é a fração (número racional) que deu
origem a essa dízima periódica.
Exemplos:
1) 1/3 é a geratriz da dízima periódica simples 0,333…
2) 23/30 é a geratriz da dízima periódica composta 0, 7666 …
Determinação da geratriz de uma dízima periódica
1) Geratriz de uma dízima periódica simples
A geratriz de uma dízima periódica simples é uma fração cujo numerador
é o período e o denominador é formado por tantos “noves” quantos
forem os algarismos do período. Caso a dízima possua parte inteira, ela
deve ser incluída à frente dessa fração, formando um número misto.
Exemplos:
0, 7777 … = 7/9
0, 2323… = 23/99

6. 2) Geratriz de uma dízima periódica composta
A geratriz de uma dízima periódica composta é uma fração de forma n/d,
onde tem-se que:
 O numerador “n” é a parte não periódica seguida do período,
menos a parte não periódica;
 O denominador “d” é formado por tantos “noves” quantos forem
os algarismos do período, seguidos de tantos “zeros” quantos forem
os algarismos da parte não periódica.
Exemplos:
0, 1252525 … = 125 – 1/990 = 124/990
0, 03666 … = 036 – 03/900 = 33/900 = 11/300