As abelhas europeias constroem colméias hexagonais porque o formato hexagonal permite armazenar mais mel com a mesma quantidade de cera, maximizando o volume. O hexágono tem a maior área de três polígonos (triângulo, quadrado e hexágono) com o mesmo perímetro, e consequentemente o prisma hexagonal tem o maior volume.

1. Seu Tartaruga LOGO responde: Por quê as abelhas preferem o hexágonos?

2. Segue-se agora, um projeto elaborado na linguagem computacional LOGO, em que o conceito mais diretamente envolvido é de isoperimetria. Além deste conceito, envolve-se implicitamente o conceito de divisibilidade. Abaixo, podemos observar os únicos polígonos que permitem o ladrilhamento (justamente pelos ângulos internos deles serem divisores de 360º). Ladrilhamento do triângulo eqüilátero, em que o ângulo interno é 60º, por isso, o ladrilhamento com seis triângulos 6 . 60º = 360º

3. Ladrilhamento do quadrado, em que o ângulo interno é 90º, por isso, o ladrilhamento com quatro quadrados 4 . 90º = 360º

4. Ladrilhamento do hexágono, nesse caso, foi feito de uma forma mais completa, pois já teríamos tal ladrilhamento com apenas 3 hexágonos, já que o ângulo interno é 120º, logo: 3 . 120º = 360º

5. Perguntamos, então, por que as abelhas européias utilizam o hexágono e não o triângulo ou o quadrado? A esta pergunta, respondemos com os conceitos de Isoperimetria. As abelhas utilizam a mesma quantidade de cera para construir a colméia com prismas triangulares, quadráticos e hexagonais, mas elas armazenam mais mel, utilizando o hexagonal. Verificando a área dos três polígonos, verifica-se que os três possuem uma área comum, mas o hexágono possui além desta área comum, uma área restante do quadrado. Logo, o hexágono possui a maior área e, conseqüentemente o prisma hexagonal tem o maior volume. Por isso, as abelhas européias escolhem os prismas hexagonais, para que possam armazenar um volume maior de mel.

6. Verificando, matematicamente, o resultado acima e considerando o perímetro igual p, temos que: - o triângulo terá lados com a medida (p/3) e conseqüentemente sua área será p2 / 12 . 3(1/2) ; - o quadrado terá lados com a medida (p/4) e conseqüentemente sua área será p2/16; - o hexágono terá lados com a medida (p/6) e conseqüentemente sua área será p2 / 8 . 3(1/2) . Temos então, que: p2 / 12 . 3(1/2) < p2/16 < p2 / 8 . 3(1/2) . Portanto, a figura com maior área, sendo que o perímetro é o mesmo, é o hexágono.

7. E, analisando o volume dos prismas de altura h, temos: - volume do prisma triangular: h . p2 / 12 . 3(1/2) ; - volume do prisma quadrangular: h . p2/16 ; - volume do prisma hexagonal: h . p2 / 8 . 3(1/2) . Podemos ver, que o prisma hexagonal é o de maior volume, pois comparando os volumes, temos: h . p2 / 12 . 3(1/2) < h . p2/16 < h . p2 / 8 . 3(1/2)

8. Assim sendo, as abelhas européias constróem colméias hexagonais, pois dessa forma otimizam a quantidade de cera. Ou seja, com uma mesma quantidade de cera, as abelhas constróem favos que comportam uma maior quantidade de mel (maior volume).

9. ABELHAS GEÔMETRAS