O documento explora o conceito de logaritmos, definindo-os como o expoente ao qual uma base deve ser elevada para obter um número positivo. Além de discutir a história dos logaritmos e seus criadores, como John Napier, o texto também aborda suas propriedades, aplicações em equações exponenciais e sua importância na matemática moderna e na ciência. O documento ainda apresenta exercícios práticos e limites notáveis relacionados a funções logarítmicas.

1. LOGARITMO
de um número real
positivo

2. O que é um logaritmo de um número ????
Definição
O logaritmo de um número positivo b, numa dada base a (a>0 e a ≠1) é o expoente
a que é preciso elevar a base para obter esse número.
Simbolicamente:
= x , b
Sabemos que existe, e que é um número entre 2 e 3, mas qual o seu valor?
Resposta:

3. Exercícios
Manual, página 137, 14 ; página 138, 15 e página 139, 16
Os logaritmos também são úteis na resolução de equações exponenciais …
Exercício, Manual, página 140, 17 e 18

4. UM POUCO DE HISTÓRIA …

5. John Napier
( 1550 – 1617)
ou
John Nepper
Joost Bürgi um relojoeiro suíço a serviço do Duque de Hesse-Kassel, foi o
primeiro a formar uma concepção sobre logaritmos.
O método dos logaritmos de Napier contribuiu
para o avanço da ciência, e especialmente a
astronomia, fazendo com que cálculos muito
difíceis se tornassem possíveis. Anterior à
invenção de calculadoras e computadores, era
uma ferramenta constantemente usada em
observações, navegação e outros ramos da
matemática prática. Além de sua imensa
utilidade na realização de cálculos práticos, os
logaritmos também têm um papel muito
importante em matemática teórica.

6. Outros matemáticos, se envolveram com os
logaritmos:
Henry Briggs
(1561 – 1630) Johannes
Keppler
(1571 – 1630)
LOGOS = razão
ARITHOMOS = números
Significado da palavra logaritmo
William Oughtred
(1575 – 1660)

7. No início do século XVII, o escocês
John Napier inventou um dispositivo
chamado Ossos de Napier que são
tabelas de multiplicação gravadas em
bastão, o que evitava a memorização
da tabuada, e que trouxe um grande
auxílio em execução de operações
aritméticas como multiplicações e
divisões longas.
O dispositivo foi aperfeiçoado é
empregado pelos engenheiros,
através da régua de cálculo.

8. Uma Régua de Cálculo é um aparelho mecânico analógico que permite a
realização de cálculos por meio de guias graduadas deslizantes.
Foi criado pelo padre inglês William Oughtred, em 1638, baseando-se na
tábua de logaritmos que foi criada por John Napier, pouco antes, em 1614.
Apesar da semelhança com uma régua, a régua de cálculos é um dispositivo que
não tem nada a ver com medição de pequenas distâncias ou de traçar retas.
A régua de cálculo é a mãe das calculadoras eletrónicas modernas (até mesmo
porque os engenheiros que criaram as calculadoras electrónicas provavelmente
fizeram isso usando réguas de cálculo), tendo sido largamente usada até a década
de 1970 quando então a versão eletrónica foi largamente difundida e aceita em
função de sua simplicidade e precisão.
Quanto à precisão das réguas de cálculo, estas não fornecem valores exatos e sim
aproximados que são aceitos como viáveis dentro de uma certa aplicação.
Assim, um cálculo como 1345 x 3442= ? é resolvido em poucos segundos com uma
régua de cálculo mas o máximo que será possível dizer do resultado é que ele está
bem próximo de 4.650.000 e raramente o valor exato (4.629.490 neste caso).

10. Como o matemático Pierre Laplace se referiu à descoberta e aplicação dos
Logaritmos.
«Ao diminuírem os cálculos,
os logaritmos duplicaram a
vida dos astrónomos …»

11. Propriedades dos Logaritmos
Consequências da definição
log
log 1 0
log 1
log
a
a
a
k
a
k
a
a k
a k



 10
Logaritmosespeciais
Logaritmo Decimal
log log
Logaritmo Neperiano
log ln
e
a a
a a



12. Propriedades operatórias dos
Logaritmos
log ( ) log log , ,
log log log , ,
log ( ) log , ,
a a a
a a a
p
a a
x y x y x y IR
x
x y x y IR
y
x p x x IR p IR



   
 
  
 
 
   
Mudança de base
 
log
log , , , 1
log
Por exemplo:
log ln
log
log ln
b
a
b
a
x
x x IR a b IR
a
x x
x
a a
 
  
 

13. Logaritmo do inverso
Sendo x um número positivo:
1
log log , 0 1
a a x a e a
x
 
  
 
 
Propriedad
e:
ln
0 , : x x a
Se x e a então a e
  

Exercícios
Manual, página 145, 19, 20 e 21
Manual, página 159, 39 e 40

14. Definição de Função Logarítmica
Chama-se Função Logarítmica a uma função do tipo :
( ) log ( ) ( 0, 1, )
Muito importante:
O cálculo do Domínio
a
f x x a a x IR
   
2
1
2
1
( ) log
( ) ln
( ) log
( ) log
( ) log
e
f x x
g x x
h x x
p x x
i x x





NOTA:
A função logarítmica é a função inversa
da função exponencial e vice-versa.

15. Propriedades gráficas e analíticas da Função Logarítmica, com base maior que 1

16.    
1 2 1 2
1 2 1 2
: ( ) ( )
: ( ) ( )
, 1
: 1, ; : 0,1
, 0
lim l
x
Domínio IR
Contradomínio IR
Contínuaemtodoo seu domínio
Estritamentecrescente x x f x f x
Injetiva x x f x f x
Temum zero em x
Positiva Negativa
Temapenasuma assimptotavertical x

 


  
  



0
og log ( )
lim log log (0 )
a a
a a
x
x
x



  
  

17. Propriedades gráficas e analíticas da Função Logarítmica com base entre 0 e 1

18.    
1 2 1 2
1 2 1 2
: ( ) ( )
: ( ) ( )
, 1
: 0,1 ; : 1,
, 0
lim
x
Domínio IR
Contradomínio IR
Contínuaemtodoo seu domínio
Estritamentedecrescente x x f x f x
Injetiva x x f x f x
Temum zero em x
Positiva Negativa
Temapenasuma assimptota vertical x

 


  
  



0
log log ( )
lim log log (0 )
a a
a a
x
x
x




   
 

19. Nota:
Podemos sempre passar uma função Logarítmica com base entre 0 e 1, para
uma função Logarítmica com base maior do que 1.
Basta fazer:
1 1
log log log
( ) log log
1 log 1
log
a a a
a
a
a
a
x x x
f x x x
a
a

    

 
 
 

20. Equações com
Logaritmos
log ( ( )) log ( ( )) ( ) ( )
a a
p x q x p x q x
  
or vezes, teremos que recorrer a outras técnicas de resolução de equações:
Definição de Logaritmo
Lei do anulamento do produto
Fórmula resolvente
Importante:
Cálculo do Domínio.
As soluções têm que pertencer ao DOMÍNIO.

21. Inequações com
Logaritmos
Se a > 1
log ( ( )) log ( ( )) ( ) ( )
log ( ( )) log ( ( )) ( ) ( )
a a
a a
p x q x p x q x
p x q x p x q x
  
  
Se 0 < a < 1
log ( ( )) log ( ( )) ( ) ( )
log ( ( )) log ( ( )) ( ) ( )
a a
a a
p x q x p x q x
p x q x p x q x
  
  
Por vezes, teremos que recorrer a outras técnicas de resolução de
inequações:
- Quadros de sinais
- resolução de inequações do 2.º grau (recurso ao gráfico)
Importante:
Cálculo do Domínio.
As soluções têm que pertencer ao DOMÍNIO.
No final, interseta-se o conjunto solução com o conjunto do DOMÍN

22. Exercícios
Manual, página 146 e 147, 22; página 147 e 148, 23

23. Mais limites notáveis …
Recorda que:
0
1
1
lim
x
x
e
x



Temos agora, ainda estes:
lim ,
x
k
x
e
k
x
 
 
ln
lim 0
x
x
x
 


24. Exercícios
Manual
página 150, 24
Página 151, 25
Página 153, 26

25. Para calcular limites de funções do tipo
Atenderemos a que:
( )
( ) , ( ) 0
g x
f x para f x 
( )
( ) ln ( ) ( ) ln ( )
( )
g x
g x f x g x f x
f x e e 
 
Como a função exponencial é contínua:
 
lim ( ) ln ( )
( )
lim ( ) x a
g x f x
g x
x a
f x e 



Exercícios
Manual, página 153, 27; página 154, 28 e página 155, 29