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Engenharia de Produção - 2 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
EMENTA:
Probabilidades e seus eventos. Probabilidade condicional. Eventos independentes. Teorema de Bayes.
Variáveis aleatórias: distribuição, esperança e variabilidade. Distribuições de probabilidades discretas e
contínuas. Inferência: População e amostra. Métodos de amostragem. Distribuição amostral. Intervalos
de confiança. Teste de hipóteses. Correlação e Regressão.
OBJETIVO:
Possibilitar aos estudantes o acesso a conceitos e procedimentos fundamentais da metodologia
estatística, como ferramenta de suporte à tomada de decisão e à abordagem cientifica de populações,
sistemas e processos, nas áreas de engenharia, indústria, comercio e serviços.
Engenharia de Produção
UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA
Mestrado em Engenharia de Produção pela UNESP
Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-
UFLA Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA
Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM
Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC
Técnico em Segurança, Saúde e Higiene do Trabalho-ETPC
Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC
Professor na UNIFOA para o curso de Pós graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho. Professor na
Associação Educacional Dom Bosco - AEDB para os cursos de Administração e Engenharia de Produção nas
disciplinas de Segurança do Trabalho e Estatística. Professor da Universidade Estácio de Sá - UNESA nas disciplinas
de Gestão Financeira de Empresas, Fundamentos da Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e
Estatística, Ergonomia, Higiene e Segurança do Trabalho, Gestão de Segurança e Análise de Processos Industriais,
Gestão da Qualidade: programa 5S (curso de férias). Ex-professor na Universidade Barra Mansa – UBM para os
cursos de Engenharia de Produção e de Petróleo na disciplina de Segurança do Trabalho. Ex-professor Conteudista
na UNESA (elaboração de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional). Ex - professor na Escola Técnica Bom Pastor
nas disciplinas de Estatística Aplicada, Estatística de Acidentes do Trabalho, Probabilidades, Contabilidade Básica de
Custos, Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na Engenharia de Construção Civil e Higiene do Trabalho.
Ex-professor do SENAI. Desenvolvedor e instrutor de diversos cursos corporativos na CSN, a níveis Estratégicos,
Táticos e Operacionais. Membro do IBS–Instituto Brasileiro de Siderurgia.
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Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira
Sumário
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Engenharia de Produção - 3 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
APRESENTAÇÃO
DA DISCIPLINA
Uma das ferramentas mais utilizadas hoje em dia
pelos cientistas, analistas financeiros, médicos, engenheiros,
jornalistas etc. é a Estatística, que descreve os dados observados e
desenvolve a metodologia para a tomada de decisão em presença
da incerteza. O verbete estatística foi introduzido no século XVIII,
tendo origem na palavra latina status (Estado), e serviu
inicialmente a objetivos ligados à organização político-social, como
o fornecimento de dados ao sistema de poder vigente. Hoje em dia,
os modelos de aplicação da Teoria Estatística se estendem por todas
as áreas do conhecimento, como testes educacionais, pesquisas
eleitorais, análise de riscos ambientais, finanças, controle de
qualidade, análises clínicas, índices de desenvolvimento,
modelagem de fenômenos atmosféricos etc. Podemos
informalmente dizer que a Teoria Estatística é uma ferramenta que
ajuda a tomar decisões com base na evidência disponível, decisões
essas afetadas por margens de erro, calculadas através de modelos
de probabilidade.
No entanto, a probabilidade se desenvolveu muito
antes de ser usada em aplicações da Teoria Estatística. Um dos
marcos consagrados na literatura probabilística foi a
correspondência entre B. Pascal (1623-1662) e P. Fermat (1601-
1665), onde o tema era a probabilidade de ganhar em um jogo
com dois jogadores, sob determinadas condições. Isso mostra que o
desenvolvimento da teoria de probabilidades começou com uma
paixão humana, que são os jogos de azar, mas evoluiu para uma
área fortemente teórica, em uma perspectiva de modelar a
incerteza, derivando probabilidades a partir de modelos
matemáticos.
A análise combinatória deve grande parte de seu
desenvolvimento à necessidade de resolver problemas
probabilísticos ligados à contagem, mas hoje há diversas áreas em
que seus resultados são fundamentais para o desenvolvimento de
teorias, como, por exemplo, a área de sistemas de informação.
Nesta apostila encontraremos as definições de
Probabilidades, esperança e variabilidade de probabilidades e
distribuições contínuas e discretas de probabilidades. Inferência:
Intervalos de confiança e muito mais.
Engenharia de Produção - 4 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Falou mais o Senhor a Moisés, no deserto de Sinai, na tenda da
congregação, no primeiro dia do mês segundo, no segundo ano da sua
saída da terra do Egito, dizendo:
Tomai a soma de toda a congregação dos filhos de Israel, segundo as
suas gerações, segundo a casa dos seus pais, conforme o número dos
nomes de todo o varão, cabeça por cabeça;
Da idade de vinte anos e para cima, todos os que saem à guerra em
Israel; a estes contareis segundo os seus exércitos, tu e Aarão.
Estará convosco, de cada tribo, um homem que seja cabeça da casa dos
seus pais.
Todos os contados, pois, foram seiscentos e três mil, quinhentos e
cinquenta.
Números 1: 1-4; 46
Engenharia de Produção - 5 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Sumário
1–INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE (REVISÃO)
PROBABILIDADE BÁSICA
Revisão de Contagem e Probabilidade, 7
Probabilidade com eventos complementares,8
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES
Probabilidade com eventos mutuamente exclusivos, 9
Probabilidade com eventos NÃO mutuamenteexclusivos, 9
PROBABILIDADE CONDICIONAL E MULTIPLICAÇÃO DE
PROBABILIDADES
Probabilidade com eventos dependentes, 10
Multiplicaçãode probabilidade com eventos dependentes, 12
Multiplicaçãode probabilidade com eventosindependentes, 13
Teorema de Bayes, 14
Apêndice A– Quadroresumo de probabilidades, 15
2–VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES,17
VALOR ESPERADO,19
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO,20
3–DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
Distribuição Binomial, 22
Distribuição Hipergeométrica,30
Distribuição Geométrica, 32
Distribuição dePascal, 32
Distribuição Multinomial, 33
Distribuição dePoisson, 34
Poisson como aproximaçãopara aBinomial, 38
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS
Distribuição Uniforme, 39
Distribuição Normal, 40
Normal comoaproximaçãopara aBinomial, 49
Normal comoaproximaçãopara aPoisson,51
Distribuição Exponencial,52
Distribuição deWeibull, 54
4–INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA INFERENCIAL
CONCEITOS BÁSICOS EM ESTATÍSTICA INFERENCIAL
Estatística inferencial, 56
Parâmetros e estatísticas, 56
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICAS
Amostragem aleatória simples, 57
Amostragem estratificada,58
Amostragempor conglomerado, 59
Amostragem sistemática, 61
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA,62
ESTIMATIVAS E TAMANHOS AMOSTRAIS
Estimativapontual e intervalar,64
Intervalos de confiança – IC,64
Intervalos de confiança para média (amostrasgrandes),64
Determinação do tamanho da amostra,66
Intervalos de confiança para média (amostraspequenas), 66
Intervalos de confiança para Proporções P, 68
Determinação do tamanho da amostra para P, 68
Intervalos de confiança para o Desvio padrão,69
5–TESTE DE HIPÓTESE
Conceitos introdutórios, 73
Teste de hipótese para média (amostras grandes),74
Teste de hipótese para média (amostras pequenas), 75
Teste de hipótese para proporção, 76
Teste de hipótese para o desviopadrão, 77
Teste para duas amostras – conceitos introdutórios, 80
Teste para diferença de duas médias (dependente),80
Teste para diferença de duas médias (independente), 82
6–CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES
Introdução e Diagrama de Dispersão, 84
CorrelaçãoLinear,84
Coeficiente de correlaçãode Pearson, 85
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
Introdução,87
Ajustamento da retaaos pontos grafados, 87
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS,89
ANEXO I–LIVROS RECOMENDADOS,89
ANEXO II– Software BIOESTAT,91
ANEXO III –ESTATÍSTICA NO EXCEL,92
Engenharia de Produção - 6 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
É possível quantificar o
acaso?
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO À
PROBABILIDADE
Engenharia de Produção - 7 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Revisão de Contagem e Probabilidade
Princípio Fundamental da Contagem
Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas seqüenciais: etapa 1
(projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6,7 ou 8 meses). Quais os resultados possíveis? Qual o
prazo mais provável para conclusão total do projeto?
Probabilidade
Naipes Observe o baralho abaixo (Total de 52 cartas) Valete Dama Reis Ás
(Paus)
13 cartas
(Ouros)
13 cartas
(Espadas)
13 cartas
(Copas)
13 cartas
Quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de o resultado:
Sair um Ás de Ouros: Como temos somente 1 Ás de Ouros no baralho, então:
A = {Ás}
S = {52 cartas}
→ A = 1
→ S = 52
Logo: P(A) = 1 = 0,019 = 1,9%
52
O resultado permite afirmar que existe a chance dela sair um “Ás de Ouros” em 1,9%.
Sair um Reis: Como temos 4 Reis no baralho (um de Paus, um de Ouros, um de Espadas e um de Copas). Então:
A = {R,R,R,R}
S = {52 cartas}
→ A = 4
→ S = 52
Logo: P(A) = 4 = 0,076 = 7,6%
52
O resultado permite afirmar que existe a chance de sair um Rei em 7,6%.
2 meses
(2,6) = 8 mesesEtapa 1-Projeto
Espaço amostral
Projeto
Etapa 2-Construção
3 meses
4 meses
6 meses
7 meses
8 meses
(2,7) = 9 meses
(2,8) = 10 meses
(3,6) = 9 meses6 meses
7 meses
8 meses
(3,7) = 10 meses
(3,8) = 11 meses
(4,6) = 10 meses6 meses
7 meses
8 meses
(4,7) = 11 meses
(4,8) = 12 meses
É mais provável que o projeto
seja concluído dentro de
prazo de 10 meses.
3 x 3 = 9
figuras
Engenharia de Produção - 8 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Interpretação de valores probabilísticos
Os valores probabilísticos sempre são atribuídos em uma escala de 0 a 1 (ou 0% a 100%)
Uma probabilidade próxima de 0 indica que é pouco provável que um evento ocorra, enquanto que próxima de 1 revela que um
evento é quase certo. Outras probabilidades entre 0 e 1 representam o grau de possibilidade de um evento vir a ocorrer. A figura
abaixo retrata a imagem da probabilidade como uma medida numérica da possibilidade de um evento ocorrer.
A probabilidade como uma medida numérica da possibilidade de ocorrência de um evento
Por exemplo, o meteorologista diz que a probabilidade de chover amanhã é de 0,4 (ou 40%). Assim, os 0,4 (ou 40%) de chances de
chover amanhã podem significar que se você observar os dados obtidos a partir de um grande número de dias semelhantes ao tipo
de dia esperado para amanhã, vai descobrir que choveu em 40% desses dias.
Probabilidade com Eventos complementares
É a probabilidade com todos os RESULTADOS que NÃO FAZEM PARTE DO EVENTO (A).
Eventualmente, queremos determinar a probabilidade de um EVENTO NÃO OCORRER. Portanto, é o evento
formado pelos resultados que não pertencem ao evento A. Sendo P( A ) a probabilidade de que ele não ocorra e P(A)
a probabilidade de que ele ocorra, para um mesmo evento existe sempre a relação:
Probabilidade com Evento complementar
P(A ) = 1 – P(A)
EXEMPLO
No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado:
Pela probabilidade clássica
ser o número 2
Probabilidade com evento complementar
NÃO ser o número 2
A={2}
S={1,2,3,4,5,6}
→ A = 1
→ S = 6
P(A) = 1 = 0,1666
6
P(A ) = 1 – P(A)
= 1 – 0,1666 → 0,8333 ou 83,33%
Aplicada para valores na forma unitária (ex.: 0,1666).
O diagrama e Venn abaixo ilustra a relação entre o espaço amostral, o evento A e seu complemento A :
0 0,5 1
Possibilidade crescente de ocorrência
Chance 50-50
0% 50% 100%
Impossível improvável provável Certo
Números que não
podem representar
probabilidade:
10
/5 120% -0,456
2
A 1
3
4
5
6
S
P(A) = 16,66% P( A ) = 83,33%
Probabilidade
Clássica
Probabilidade com
Evento
Complementar
A
Probabilidade do
evento não ocorrer Probabilidade clássica
AAA equação 1- P( A ) fundamenta-se na
interpretação dos valores probabilísticos:
0 1
0,1666 A = 0,8333
Engenharia de Produção - 9 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES
Probabilidade com Eventos mutuamente exclusivos
É a probabilidade com eventos que não ocorrem ao mesmo tempo. Ou ocorre A ou ocorre B (A ou B).
A ocorrência de um evento impossibilita a ocorrência do outro.
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um evento exclui a ocorrência de outro. É impossível ocorrer os eventos A
e B ao mesmo tempo. Então, o termo “ou” indicará “adição de probabilidades”. Para encontrar a probabilidade de um evento ou outro
ocorrer, adicionamos as probabilidades de cada evento: P(A ou B) = P(A) + P(B).
Exemplo 1. Ao lançar um dado, a probabilidade de se tirar o 2 ou 5 é:
Exemplo 2. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, a
probabilidade de sair um Rei ou uma Dama é:
A = {R,R,R,R }
B = {D,D,D,D}
S = {52 cartas
→ A = 4
→ B = 4
→ S = 52
P(AouB) = 4 + 4 = 8 = 0,1538
52 52 52
Exemplo 3. Numa urna estão 10 bolas, sendo 2 pretas
(P), 5 amarelas (A) e 3 verdes (V). Pegando-se uma bola,
qual a probabilidade de ela ser preta ou verde?
A = {P,P }
B= {V,V,V}
S = {10}
→ A = 2
→ B = 3
→ S = 10
P(AouB) = 2 + 3 = 5 = 0,5
10 10 10
Probabilidade com Eventos NÃO mutuamente exclusivos
É a probabilidade com Eventos que podem ocorrer ao mesmo tempo. Ou ocorre A ou B ou AMBOS (A e B).
A ocorrência de um NÃO impossibilita a ocorrência do outro.
Dois eventos NÂO são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um evento não exclui a ocorrência de outro. É possível ocorrer os
eventos A e B ao mesmo tempo. O termo “ou”, indicará “adição” e “e” indicará “ambos”
Exemplo 1 Ao lançar um dado, a probabilidade de obter um número ímpar ou menor que 3 é:
Os eventos A e B não são mutuamente exclusivos, pois “1” ocorre em A e B (ambos).
Se aplicarmos P(AouB) = P(A) + P(B) teremos:
3
/6 +
2
/6 =
5
/6. Observe no diagrama que
este resultado está incorreto, pois P(AouB) =
4
/6. Este erro foi provocado pela dupla
contagem de “1”.
Neste caso, ajustaremos a regra da soma para evitar a dupla contagem. A equação será:
P(AouB) = P(A) + P(B) – P(A e B)
Então, a probabilidade de lançar um número ímpar ou menor que 3 será:
A = {1,3,5}
B = {1,2}
A e B = {1}
S = {1,2,3,4,5,6}
→ A = 3
→ B = 2
→ A e B = 1
→ S = 6
P(AouB) = 3 + 2 - 1 = 4 = 0,6666
6 6 6 6
Exemplo 2 Numa pesquisa sobre a preferência de dois jornais, consultamos 470 pessoas, sendo que 250 lêem o jornal A, 180
lêem o jornal B e 60 lêem os jornais A e B. Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de que seja:
a) Leitor dos jornais A ou B?
A = {250}
B = {180}
A e B = {60}
S = {470}
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
250 + 180 – 60 = 370 = 0,7872
470 470 470 470
A = {2}
B = {5}
S = {1,2,3,4,5,6}
→ A = 1
→ B = 1
→ S = 6
P(A ou B) = 1 + 1 = 2 = 0,3333
6 6 6
“ou” indica Adição de probabilidades. P(A ou B) = P(A) + P(B)
B
60
Jornal
Jornal
A
A e B
* Regra da soma para três eventos: P(A ou B ou C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A e B) - P(B e C) + P(A e B e C)
A
1
3
4
6
S
B
5
ou2
4
6
SB
5 2
A e B (Ambos)
1
Menor que 3ímpar
3
A
Engenharia de Produção - 10 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
PROBABILIDADE CONDICIONAL E MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES
Probabilidade com Eventos dependentes
É a probabilidade do Evento B ocorrer, dado que o evento A já tenha ocorrido.
Diz-se probabilidade condicional quando a ocorrência de um evento está condicionada à ocorrência do outro.
Portanto, os eventos são dependentes. A probabilidade de um é alterada pela existência do outro.
A probabilidade condicional do Evento B, dado que A ocorreu é denotada por:
Ao calcular P(B|A) tudo se passa como se P(A) fosse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual, queremos
calcular a probabilidade de B. Não utilizamos o espaço amostral original.
P(B|A) = P(A e B)
P(A) → espaço amostral de A, “reduzido”
Exemplo 1. Ao lançar um dado, observou-se um número maior que 2 (evento A ocorreu). Qual a probabilidade de esse
número ser o “5” (evento B)?
Espaço amostral original S = {1,2,3,4,5,6}
O evento A ocorreu e queremos saber o B (dentro de A):
A = {3, 4, 5, 6}
P(B|A) será a probabilidade de ocorrer o número 5 no novo espaço
amostral reduzido de A. Então:
Observe que não usamos o espaço amostral original S.
A e B = {5} → 1
A = {3,4,5,6} → 4
P(B|A) = P(A e B) → 1 = 0,25
P(A) 4
EXEMPLO 2 Ao lançar um dado, observou-se um número maior que 1 (evento A ocorreu). Qual é a probabilidade de esse
número ser ímpar (Evento B)?
Espaço amostral original S = {1,2,3,4,5,6}
O evento A ocorreu e queremos saber o B (dentro de A):
A = {2, 3, 4, 5, 6}
P(B|A) será a probabilidade de ocorrer número ímpar no novo espaço
amostral reduzido de A. Então:
Observe que não usamos o espaço amostral original S
A e B = {3,5} → 2
A = {2,3,4,5,6} → 5
P(B|A) = P(A e B) → 2 = 0,40
P(A) 5
EXEMPLO 3 Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho. Qual a probabilidade de que a 2ª
carta seja uma dama, dado que a 1ª seja um rei. (assuma que o rei está sem reposição).
Solução. Em razão de a primeira carta ser um rei e não ser a resposta,
o baralho restante tem 51 cartas, 4 das quais são dama. Então:
P (B|A) = 4 = 0,078
51
EXEMPLO 4 Cinco cartas são selecionadas em sequência em um baralho. Qual a probabilidade de que a 5ª carta seja uma
dama. Dado que a 1ª = rei; 2ª = dama; 3ª = 8 ; 4ª = Ás. (assuma que não há reposição).
Solução. Em razão de a 1ª = rei; 2ª = dama; 3ª = 8 ; 4ª = Ás, o baralho
restante tem 48 (52-4) cartas, 3 das quais são dama. Então:
P (E|A,B,C,D) = 3 = 0,062
48
Note que o espaço amostral original foi reduzido
Maior que 1 ímpar
A
Novo espaço
amostral
4
6
1
2
Maior que 2 Ser o 5
A
Novo espaço
amostral
6 5
1
2
ocorreu (lê-se “probabilidade de B, dado que A ocorreu”)
4 3
B = {5}
3
5
B = {3, 5}
B
B
Engenharia de Produção - 11 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
EXEMPLO 5 Numa pesquisa sobre a preferência de dois jornais, consultamos 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250
lêem o jornal A, 180 lêem o jornal B, 60 lêem os jornais A e B. Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de:
a) Um leitor do jornal A, também ser leitor do B?
O evento A ocorreu e queremos saber o B. Então, denotamos
P(B|A). Dentre os leitores do Jornal A, devemos destacar os que
lêem B; logo, o espaço amostral desse evento é A (190+60=250).
Então, a probabilidade é:
A e B = {60} → 60
A= {190+60} → 250
P(B|A)=P(A e B) → 60 = 0,24
P(A) 250
b) Um leitor do jornal B, também ser leitor do A?
O evento B ocorreu e queremos saber o A. Então, denotamos
P(A|B). Dentre os leitores do Jornal B, devemos destacar os que
lêem A; logo, o espaço amostral desse evento é B (120+60=180).
Então, a probabilidade é:
A e B = {60} → 60
B= {120+60} → 180
P(A|B)=P(A e B) → 60 = 0,33
P(B) 180
EXEMPLO 6. O quadro abaixo mostra os resultados de um estudo no qual os pesquisadores examinaram o QI de uma criança
e a presença de um gene específico nela.
Gene
presente
Gene não
presente
QI alto
QI normal
33
39
19
11
52
50
72 30 102
A probabilidade de que a criança tenha um QI alto (Evento B), dado que
a criança tenha o gene (Evento A) é?
Solução. Há 72 crianças que têm o gene. Então, o espaço amostral consiste
dessas 72 crianças. Dessas, 33 tem QI alto. Então:
P (B|A) = 33 = 0,458
72
EXEMPLO 7 Em um lote de 12 peças, 8 são de “qualidade” e 4 são “defeituosas”. Ao selecionar duas peças em sequência, sem
reposição, qual a probabilidade de:
a 2ª peça ser “defeituosa”, dado que a 1ª é “defeituosa”.
Solução. Em razão de a 1ª peça ser defeituosa, o lote restante tem 11
peças, 3 das quais são defeituosas. Então:
P (B|A) = 3 = 0,2727
11
a 2ª peça ser “defeituosa”, dado que a 1ª é de “qualidade”.
Solução. Em razão de a 1ª peça ser de qualidade, o lote restante tem 11
peças, 4 das quais são defeituosas. Então:
P (B|A) = 4 = 0,3636
11
a 2ª peça ser de “qualidade”, dado que a 1ª é “defeituosa”.
Solução. Em razão de a 1ª peça ser defeituosa, o lote restante tem 11
peças, 8 das quais são de qualidade
P (B|A) = 8 = 0,7272
11
Jornal
Jornal
BJornal
Jornal
A
190
120
60Novo espaço
amostral 120
B
Novo espaço
amostral
60190
A
Engenharia de Produção - 12 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Multiplicação de probabilidade com eventos dependentes ...ache P(A e B) , dado P(B|A) e P(A)
Uma consequência matemática importante da definição de probabilidade condicional é a seguinte:
P(B|A) = P(A e B)
P(A)
se quero achar: P(B|A) = ? então →
P(A e B) P(A)
P(A e B) = P(A) x P(B|A)
Isto é, a probabilidade dos eventos (A e B) é o produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado o primeiro.
EXEMPLO 1 Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de
selecionar um Rei e uma Dama? (não há reposição).
A probabilidade de a 1ª carta ser um Rei é
4
/52. A
2ª carta ser uma Dama é
4
/51, pois o baralho
restante tem 51 cartas, 4 das quais são dama.
P(A e B) = ?
P(A) =
4
/52
P(B|A) =
4
/51
P(A e B) = P(A) x P(B|A)
4 x 4 → 16 = 0,006
52 51 2652
EXEMPLO 2 Em um lote de 12 peças, 8 são de “qualidade” e 4 são “defeituosas”. Sendo retiradas duas peças em sequência,
qual a probabilidade de que: (não há reposição)
a) Ambas sejam “defeituosas” b) Ambas sejam de “qualidade”
P(A e B) = ?
P(A) =
4
/12
P(B|A) =
3
/11
4 x 3 = 0,090
12 11
P(A e B) = ?
P(A) =
8
/12
P(B|A) =
7
/11
8 x 7 = 0,4242
12 11
A probabilidade de a 1ª peça ser defeituosa é
4
/12 e a 2ª é
3
/11, pois o
lote restante tem 11 peças, 3 das quais são defeituosas.
A probabilidade de a 1ª peça ser de qualidade é
8
/12 e a 2ª é
7
/11,
pois o lote restante tem 11 peças, 7 das quais são de qualidade.
EXEMPLO 3 Uma urna contém 7 bolas brancas (B) e 3 pretas (P). Extraindo-se três bolas em sequência, qual a probabilidade
de que: (não há reposição).
a) As duas primeiras sejam brancas e a terceira seja preta (ou seja, BBP)
A probabilidade de a 1ª bola ser branca é
7
/10 e a 2ª é
6
/9. A
probabilidade de a 3ª bola ser preta é
3
/8, pois a urna restante
tem 8 peças, 3 das quais são pretas.
P(A) =
7
/10
P(B|A) =
6
/9
P(C|B) =
3
/8
7 x 6 x 3 = 0,175
10 9 8
b) Duas sejam brancas e uma seja preta (ou seja: BBP, BPB ou PBB) = 3[BBP]
O evento sair “duas brancas e uma preta” pode ocorrer de três maneiras que
diferem apenas pela ordem de aparecimento das bolas: (BBP, BPB, PBB). Logo, a
probabilidade será a soma dessas maneiras. Então, basta calcular a probabilidade de
uma dessas maneiras (por exemplo, a primeira) e multiplicar por 3. Então: 3(BBP).
P(A) =
7
/10
P(B|A) =
6
/9
P(C|B) =
3
/8
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
8
3
x
9
6
x
10
7
3 = 0,525
c) Pelo menos duas sejam brancas (ou seja: 3[BBP] + [BBB])
2 brancas 3 brancas
“Pelo menos duas brancas“ é a mesma coisa que “no
mínimo duas brancas”, ou seja, duas ou três brancas.
Então, calculamos duas brancas + três brancas.
3[BBP]
P(A) =
7
/10
P(B|A) =
6
/9
P(C|B) =
3
/8
[BBB]
P(A) =
7
/10
P(B|A) =
6
/9
P(C|B) =
5
/8
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
8
3
x
9
6
x
10
7
3 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
8
5
x
9
6
x
10
7
= 0,8166
d) No máximo uma seja branca (ou seja: [PPP] + 3[PPB])
0 branca 1 branca
No máximo uma branca é a mesma coisa que “ou
nenhuma branca ou uma branca”. Então, calculamos
nenhuma branca (todas pretas) + uma branca.
[PPP]
P(A) =
3
/10
P(B|A) =
2
/9
P(C|B) =
1
/8
3[PPB]
P(A) =
3
/10
P(B|A) =
2
/9
P(C|B) =
7
/8
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
8
1
x
9
2
x
10
3
+ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
8
7
x
9
2
x
10
3
3 = 0,1833
e) Pelo menos uma seja preta. (ou seja: 3[PBB] + 3[PPB] + [PPP])
1 preta 2 pretas 3 pretas
3[PBB]
P(A) =
3
/10
P(B|A) =
7
/9
P(C|B) =
6
/8
3[PPB]
P(A) =
3
/10
P(B|A) =
2
/9
P(C|B) =
7
/8
[PPP]
P(A) =
3
/10
P(B|A) =
2
/9
P(C|B) =
1
/8
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
8
6
x
9
7
x
10
3
3 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
8
7
x
9
2
x
10
3
3 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
8
1
x
9
2
x
10
3
= 0,7083
MÉTODO ALTERNATIVO:
É mais prático usar o
evento complementar:
1 – BBB (nenhuma preta)
[BBB]
P(A) =
7
/10
P(B|A) =
6
/9
P(C|B) =
5
/8
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
8
5
x
9
6
x
10
7
1 = 0,7083
f) Todas sejam da mesma cor:
[PPP]+[BBB] = 0,30
Engenharia de Produção - 13 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Multiplicação de Probabilidade com Eventos independentes
É quando a ocorrência do Evento A não afeta a probabilidade da ocorrência do B. Não existe dependência.
A e B podem ocorrer simultaneamente (ao mesmo tempo). São independentes.
A regra da multiplicação é usada para achar P(A e B) para eventos independentes. Aqui associaremos a palavra “e”
com “multiplicação”. O termo chave usado é “simultâneo”. A equação é : P(A e B) = P(A) x P(B). Existe reposição
Exemplo 1. Ao lançar dois dados simultaneamente, qual a
probabilidade de:
Obter o número 2 e ímpar ?
Pelo Diagrama de árvore:
(2,1), (2,3), (2,5)
Então, a probabilidade é:
3 = 8,33%
36
Se aplicarmos a regra da multiplicação, temos:
A={2}
B={1,3,5}
S={1,2,3,4,5,6}
→ A = 1
→ B = 3
→ S = 6
P(A e B) = P(A) x P(B)
1 x 3 = 3 = 8,33%
6 6 36
Obter um número par e ímpar ?
Pelo Diagrama de árvore
(2,1), (2,3), (2,5)
(4,1), (4,3), (4,5)
(6,1), (6,3), (6,5)
Então, a probabilidade é:
9 = 25%
36
Aplicando a regra da multiplicação, temos:
A={2,4,6}
B={1,3,5}
S={1,2,3,4,5,6}
→ A = 3
→ B = 3
→ S = 6
P(A e B) = P(A) x P(B)
3 x 3 = 9 = 25%
6 6 36
Esta regra pode ser estendida para qualquer número de eventos
independentes: P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C)...
O resultado do evento B independe do resultado de A.
“São independentes”
Exemplo 2. Cirurgias de microfraturas no joelho têm 75% de chance de Sucesso em pacientes com joelhos
degenerativos (25% é de fracasso). A cirurgia é realizada em 3 pacientes. Calcule a probabilidade de que:
Nota: A probabilidade de que cada cirurgia seja um sucesso é de 0,75. A chance de um sucesso para uma cirurgia é
independente das chances para as outras cirurgias. Portanto, os eventos são independentes.
a) As três cirurgias sejam um sucesso. ou seja:[SSS]
[SSS]
P(A) = 0,75
P(B) = 0,75
P(C) = 0,75
P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C)
0,75 x 0,75 x 0,75 = 0,4218
b) As três cirurgias sejam um fracasso. ou seja:[FFF]
[FFF]
P(A) = 0,25
P(B) = 0,25
P(C) = 0,25
P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C)
0,25 x 0,25 x 0,25 = 0,0156
c) Duas cirurgias sejam um sucesso (ou seja: SSF, SFS, FSS) = 3[SSF]
O evento “Duas cirurgias” pode ocorrer de três maneiras que diferem apenas pela
ordem dos resultados das cirurgias: (SSF, SFS, FSS). Logo, a probabilidade será a
soma dessas maneiras. Então, basta calcular a probabilidade de uma dessas
maneiras (por exemplo, a primeira) e multiplicar por 3. Então: 3(SSF).
P(A) = 0,75
P(B) = 0,75
P(C) = 0,25
3 * (0,75*0,75*0,25) = 0,4218
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
S = {36}Evento A e Evento B
Engenharia de Produção - 14 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Teorema de Bayes (THOMAZ BAYES – 1701-1761 – MATEMÁTICO)
É uma extensão da probabilidade condicional, que procura responder a pergunta: sabendo-se que o
evento A ocorreu, qual a probabilidade de que esse evento tenha provindo de X?
Usamos o Teorema de Bayes para rever probabilidades com base em informação adicional obtida posteriormente. Uma idéia-chave
para se entender a essência do teorema é reconhecer que estamos trabalhando com eventos sequenciais, pelos quais novas
informações são obtidas para se rever a probabilidade do evento inicial. Nesse contexto, os termos probabilidade a priori e
probabilidade a posteriori são comumente usados.
Uma probabilidade a priori é um valor de probabilidade inicial originalmente obtido antes que seja obtida qualquer informação
adicional. Uma probabilidade a posteriori é um valor de probabilidade que foi revisto usando-se informação adicional obtida
posteriormente. O teorema de Bayes pode ser obtido por meio de tabelas, diagrama de árvore e pela equação de Bayes.
Exemplo 1. Usando um Diagrama de Árvore e a Equação de Bayes
As máquinas A e B são responsáveis por 65% e 35%, respectivamente, da produção de uma empresa. Os índices de
peças defeituosas na produção destas respectivas máquinas valem 2% e 5%. Se uma peça defeituosa foi selecionada
da produção desta empresa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina A?
Resolução: Portanto, ao selecionar uma peça, atribuímos as probabilidades iniciais: P(A) = 0,65 e P(B) = 0,35, incluindo as peças
perfeitas e defeituosas. Denotamos P = peça perfeita e D = peça defeituosa
Pelo Diagrama de Árvore
A probabilidade da peça sair defeituosa,
seja da máquina A ou B, é 0,0305
(0,0130+0,0175), que é a probabilidade
total da peça sair defeituosa.
Se queremos saber a probabilidade de a
peça defeituosa ter sido produzida pela
máquina A, será:
0,0130 = 0,4262
0,0305
Enquanto que ter sido produzida pela
máquina B será:
0,0175 = 0,5738
0,0305
Pela equação de Bayes
A equação de Bayes é dada por
P(A1) . P(B|A1)
P(x) =
P(A1) . P(B|A1) + P(A2) . P(B|A2)
Sendo o numerador a probabilidade condicionada
procurada, o denominador a probabilidade total
condicionada, podendo estender a P(An) . P(B|An).
Usando a equação de Bayes e as probabilidades do exemplo 1,
referente ao cálculo da peça defeituosa ter sido produzida pela
máquina A, temos:
P(A1) = 0,65 (peça ser produzida pela máquina A)
P(B|A1) = 0,02 (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina A)
P(A2) = 0,35 (peça ser produzida pela máquina B)
P(B|A2) = 0,05 (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina B)
(0,65) . (0,02)
P(x) =
(0,65) . (0,02) + (0,35) . (0,05)
= 0,4262
Exemplo 2. As máquinas A e B são responsáveis por 400 e 150, respectivamente, da produção de peças de uma
empresa. A quantidade de peças defeituosas produzidas pelas respectivas máquinas são 10 e 20. Se uma peça
defeituosa foi selecionada da produção, qual a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina B?
O total de peças produzidas é igual a 550 (400+150), logo:
A
P(A1) = 0,727 (
400
/550) (peça ser produzida pela máquina A)
P(B|A1) = 0,025 (
10
/400) (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina A)
B
P(A2) = 0,272 (
150
/550) (peça ser produzida pela máquina B)
P(B|A2) = 0,133 (
20
/150) (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina B)
Logo, a probabilidade da peça ser defeituosa e ter sido produzida pela máquina B será:
P(A2) . P(B|A2)
P(x) =
P(A2) . P(B|A2) + P(A1) . P(B|A1)
(0,272) . (0,133)
P(x) =
(0,272) . (0,133) + (0,727) . (0,025)
= 0,6661
Peça
fabricada
0,65
0,35
máquina
A
máquina
B
Peça
perfeita
Peça
defeituosa
0,98
0,02
Peça
perfeita
Peça
defeituosa
0,95
0,05
P(A) * (P|A) = 0,6370
P(A) *(D|A) = 0,0130
P(B) * (P|B) = 0,3325
P(B) * (D|B) = 0,0175
+
Engenharia de Produção - 15 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
APÊNDICE A - QUADRO RESUMO DE PROBABILIDADES -
Probabilidade Clássica
P(A) = _n(A)_ →
S →
número de elementos no evento A___
espaço amostral
Probabilidade com Eventos complementares
É a probabilidade com todos os RESULTADOS que NÃO FAZEM PARTE DO EVENTO A.
P( A ) = 1 – P(A) P( A ) – Probabilidade do evento não ocorrer
P(A) – Probabilidade do evento ocorrer
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES
Probabilidade com Eventos mutuamente exclusivos
É a probabilidade com Eventos que não podem ocorrer ao mesmo tempo. A ocorrência de um impossibilita
a ocorrência do outro. Ou ocorre A ou ocorre B. (A ou B)
Probabilidade com Eventos NÃO mutuamente exclusivos
É a probabilidade com Eventos que podem ocorrer ao mesmo tempo. A ocorrência de um NÃO impossibilita a
ocorrência do outro. Ou ocorre A ou B ou ocorre AMBOS (A e B).
PROBABILIDADE CONDICIONAL E MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES
Probabilidade com Eventos dependentes
É a probabilidade do Evento B ocorrer, dado que o A já tenha ocorrido.
P(B|A) = P(A e B) Multiplicação: P(A e B) = P(A) x P(B|A)
P(A)
Probabilidade com Eventos independentes
É quando a ocorrência do Evento A não afeta a probabilidade da ocorrência do B.
Ocorre A e B. Os dois ocorrem simultaneamente. São independentes. P(A e B) = P(A) x P(B)
Ao lançar um dado, a probabilidade de se tirar o 3 ou 5 é:
A = {2}
B = {5}
S = {1,2,3,4,5,6}
→ A = 1
→ B = 1
→ S = 6
P(A ou B)= 1 + 1 = 2 = 33,33%
6 6 6
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
Lançar dois dados
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
Lançar dois dados
Ao lançar dois dados simultaneamente, qual a probabilidade de:
Obter o número 2 e ímpar?
Pelo Diagrama de árvore, temos:
(2,1), (2,3), (2,5)
Então, a probabilidade é:
3 = 16,66%
36
ao aplicarmos a regra da multiplicação o resultado é o mesmo!
A={2}
B={1,3,5}
S={1,2,3,4,5,6}
→ A = 1
→ B = 3
→ S = 6
P(AeB) = P(A) x P(B)
1 x 3 = 3 = 16,66%
6 6 36
Engenharia de Produção - 16 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Construindo modelos teóricos...
É possível criar um modelo teórico
que descreva como se espera que o
experimento se comporte?
CAPÍTULO 2
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
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Soma dos dados
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4
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2
/36
1
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“Atualmente, todos – estudantes e professores – procuram o Udemy porque é a
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Engenharia de Produção - 17 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Uma variável aleatória “X” representa um valor numérico associado a cada resultado de um
experimento de probabilidade.
Exemplo 1. A tabela e o gráfico abaixo representam um modelo de probabilidade para a soma de dois dados
lançados simultaneamente:
Soma dos
dados “X”
f
Probabilidade
“P(x)”
2 1 1
/36
3 2 2
/36
4 3 3
/36
5 4 4
/36
6 5 5
/36
7 6 6
/36
8 5 5
/36
9 4 4
/36
10 3 3
/36
11 2 2
/36
12 1 1
/36
- ∑=36 ∑=1
Notas e comentários
A palavra “aleatório” indica que “X” é determinado pelo acaso. A variável aleatória é uma regra que associa um valor
numérico a cada resultado experimental possível.
A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória descreve como as probabilidades estão distribuídas sobre os
valores da variável aleatória. Para uma variável “X”, a distribuição de probabilidade é definida por uma função probabilidade,
denotada por f(x). A função probabilidade fornece a probabilidade correspondente a cada um dos valores da variável aleatória.
A principal vantagem de definir uma variável aleatória “X” e sua distribuição de probabilidade é que, uma vez que a
distribuição seja conhecida, torna-se relativamente fácil determinar a probabilidade de uma série de eventos que podem ser
do interesse de um tomador de decisões.
É a lista de cada valor de
uma variável aleatória “X”
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
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Lançar dois dados
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( 1, 1 )
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( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
6
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( 6, 1 )
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( 6, 3 )
( 6, 4 )
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( 6, 6 )
Lançar dois dados
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5
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Soma dos dados
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/36
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/36
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/36
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/36
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/36
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Representação
gráfica da
distribuição
Distribuição de
probabilidades
Variáveis aleatórias(X)
Valor numérico de cada
experimento
frequências
Engenharia de Produção - 18 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Exemplo 2. Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas
seqüenciais: etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses).
Definindo a variável aleatória “X” como o prazo para
conclusão do projeto e, usando a Regra da Adição com as
probabilidades no diagrama de árvore, você poderá
determinar a probabilidade de ocorrência dos meses para
conclusão do projeto. Então, poderá usar essa informação
para estabelecer as distribuições de probabilidades:
Conclusão do projeto
(em meses) “X”
f
Probabilidade “P(x)”
8 1 1
/9 = 0,11
9 2 2
/9 = 0,22
10 3 3
/9 = 0,33
11 2 2
/9 = 0,22
12 1 1
/9 = 0,11
- ∑=9 ∑=1
Assim, podemos responder rapidamente alguns questionamentos:
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 8 meses? R.: 11%
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 9 meses? R.: 22%
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 10 meses? R.: 33%
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 10 ou 11 meses? R.: 55%
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído entre 9 e 11 meses? R.: 77%
Exemplo 3. Uma pesquisa entrevistou 200 casas de um bairro sobre quantas televisões possuem. Os dados mostram
que 3 casas não possuem televisão, 38 casas possuem 1 televisão, 95 casas possuem 2 televisões, 52 casas possuem 3
televisões e 12 casas possuem 4 televisões.
Definimos a variável aleatória de interesse como “X” o número de televisões. A partir dos dados, sabemos que X é uma variável
aleatória que pode assumir 0, 1, 2, 3, ou 4. Temos, então, a distribuição de probabilidades e o gráfico abaixo:
Assim, podemos responder rapidamente alguns questionamentos:
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela não possuir televisão? R.: 1,5%
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 1 televisão? R.: 19%
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 2 televisões? R.: 47,5%
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 2 ou 3 televisões? R.: 73,5%
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir televisão? R.: 98,5%
Nº de
televisões “X”
f
(casas)
Probabilidade
“P(x)”
0 3
3
/200 = 0,015
1 38
38
/200 = 0,190
2 95
95
/200 = 0,475
3 52
52
/200 = 0,260
4 12
12
/200 = 0,060
- ∑=200 ∑=1
0.11
0.22
0.33
0.22
0.11
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Probabilidade
8 9 10 11 12
meses
Prazo para conclusão do projeto
0.015
0.19
0.475
0.26
0.06
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Probabilidade
0 1 2 3 4
Númerode televisões
Casas com televisões em um bairro
Engenharia de Produção - 19 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
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( 2, 3 )
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Lançar dois dados
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6
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( 6, 1 )
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6
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( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
VALOR ESPERADO E(X)
O Valor esperado de variáveis aleatórias “X” é um valor que você esperaria acontecer em vários testes.
Podemos considerar o Valor esperado no sentido de que é o valor médio que esperaríamos se o experimento fosse feito diversas vezes.
Então, podemos dizer que o conceito de Valor esperado aplicado em uma variável aleatória é equivalente à Média ponderada dos
possíveis valores que “X” pode receber, onde os pesos são as probabilidades associadas. É semelhante ao cálculo da Média de uma
Distribuição de frequência. Obtemos, então, a seguinte fórmula:
EQUAÇÃO DO VALOR ESPERADO
Cada valor de X é multiplicado por sua probabilidade e os produtos são adicionados. O Valor esperado, representado por
E(X), também é chamado de Média de uma Variável Aleatória, Esperança matemática, Esperança ou Expectância.
E (X) = ∑ X . P(x)
Exemplo 1. Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas
seqüenciais: etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). Qual o prazo
esperado para conclusão do projeto?
Conclusão do projeto
(em meses) X
P(x) X . P(x)
8 0,11 0,88
9 0,22 1,98
10 0,33 3,30
11 0,22 2,42
12 0,11 1,32
- ∑=1 ∑ X.P(x) = 10
Valor esperado E(X)
Interpretação: Espera-se que o projeto seja concluído em 10 meses
NOTA: Posso fazer também da seguinte forma:
E(X) = 8(0,11) + 9(0,22) + 10(0,33) + 11(0,22) + 12(0,11) = 10 meses
Exemplo 2. A tabela abaixo representa um modelo de probabilidade para a soma de dois dados lançados
simultaneamente. Qual o valor esperado para a soma dos dados?
3
Soma dos
dados “X”
Probabilidade
“P(x)”
X . P(x)
2 0,0278 0,0556
3 0,0556 0,1667
4 0,0833 0,3333
5 0,1111 0,5556
6 0,1389 0,8333
7 0,1667 1,1667
8 0,1389 1,1111
9 0,1111 1,0000
10 0,0833 0,8333
11 0,0556 0,6111
12 0,0278 0,3333
- ∑=1 ∑ X.P(x) = 7
Valor esperado E(X)
Interpretação: Espera-se que a soma dos dados seja 7.
NOTA: Posso fazer também da seguinte forma:
E(X) = 2(0,0278) + 3(0,0556) + 4(0,0833) + 5(0,1111) 6(0,1389) + 7(0,1667) +
8(0,1389) + 9(0,1111) + 10(0,0833) + 11(0,0556) + 12(0,0278) = 7
Valor esperado de “X”
Variáveis Aleatórias
Probabilidades associadas
x =
x =
Engenharia de Produção - 20 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
Podemos aplicar os conceitos de Variância e Desvio Padrão para o Valor esperado E (X).
Embora o Valor esperado de uma distribuição de probabilidades da variável aleatória descreva um resultado
comum, ela não dá informações sobre a maneira que os resultados variam. Para estudar a variação dos resultados,
você pode usar a variância e o desvio padrão de uma distribuição de probabilidades da variável aleatória. Então:
FÓRMULA DA VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DO VALOR ESPERADO
VARIÂNCIA
S2 =
∑ (x – EX)2
. P(x)
DESVIO PADRÃO
S = 2s
Exemplo Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas seqüenciais:
etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). Qual o prazo esperado para
conclusão do projeto, a variância e o desvio padrão?
Então, a Variância é: S2
= 1,32 e o Desvio padrão é: S = 2s → S = 32,1 → 1,15 meses
Podemos calcular também, sem montagem de tabela, da seguinte forma:
S
2
= ∑ (x – EX)
2
.P(x) → (8-10)2
. (0,11) + (9-10)2
. (0,22) + (10-10)2
. (0,33) + (11-10)2
. (0,22) + (12-10)2
. (0,11) = 1,32
S = 32,1 → 1,15 meses
Interpretação do desvio padrão:
O Desvio padrão indica que a maioria dos valores de dados difere do Valor esperado não mais que 1,15 meses, para mais ou
para menos. Então, podemos afirmar que os valores esperados estão dentro dos limites de:
Conclusão do projeto
(em meses) X
P(x) X . P(x) (X – EX)
2
. P(x)
8 0,11 0,88 ( 8–10)
2
. (0,11) = 0,44
9 0,22 1,98 ( 9–10)
2
. (0,22) = 0,22
10 0,33 3,30 (10–10)
2 .
(0,33) = 0
11 0,22 2,42 (11–10)2 .
(0,22) = 0,22
12 0,11 1,32 (12–10)
2 .
(0,11) = 0,44
Total ∑=1 EX = 10 ∑ = 1,32
Variáveis Aleatórias
Valor esperado
Probabilidades associadas
Variância
8 meses 9 meses 10 meses 11 meses 12 meses
E(X)
8,85 11,15
Engenharia de Produção - 21 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas, conforme mostra o esquema abaixo.
Em Probabilidade, existem as chamadas “distribuições de probabilidades” criadas por diversos estudiosos no tema,
que podem ser discretas ou contínuas. As principais são listadas abaixo:
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
Distribuição Binomial
Distribuição Hipergeométrica
Distribuição de Poisson
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS
Distribuição Uniforme
Distribuição Normal
Distribuição Exponencial
Distribuição de Erlang
Distribuição de Weibull
Veremos cada uma delas adiante.
CAPÍTULO 3
DISTRIBUIÇÕES DE
PROBABILIDADES
Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira
Sumário
Uma mensagem do Prof. MSc Uanderson Rébula. CLIQUE NO VÍDEO
CLIQUE AQUI E INSCREVA-SE NO CURSO JÁ
Engenharia de Produção - 22 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (JAKOB BERNOULLI 1654-1705)
É um experimento de probabilidades para os quais os resultados de cada tentativa podem ser
reduzidos a dois resultados: SUCESSO ou FRACASSO.
Sucesso corresponde à probabilidade procurada enquanto que Fracasso à probabilidade não procurada, ou seja, o
evento complementar. A palavra sucesso como usada aqui é arbitrária e não representa, necessariamente, algo bom.
Qualquer uma das duas categorias pode ser chamada de sucesso, desde que seja a probabilidade procurada.
A probabilidade Binomial é aplicada para Eventos independentes. A amostra é feita com reposição.
Revisão de FATORIAL (O fatorial é usado na equação binomial, por isso a importância da revisão)
FATORIAL é um procedimento matemático utilizado para calcular o produto de uma multiplicação cujos
fatores são números naturais consecutivos, denotado por x!. Exemplos:
5! = 5.4.3.2.1 = 120
30! = 30.29.28 . ... .1
0! = 1
5! = 5.4.3! = 20
3! 3!
5! = 5.4.3! = 5
3! 4 3! 4
5! = 5.4.3! = 10
3! (5-3)! 3! (2)!
Para calcular 5! use a calculadora na tecla x! . Procedimento: Introduza 5 x! = 120
Há várias formas de encontrar probabilidade Binomial. Uma forma é usar um Diagrama de Árvore e a regra de multiplicação.
Outra forma é usar a equação de probabilidade Binomial, onde usamos Fatorial. Podemos também usar tabelas.
EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE BINOMIAL
P(x) = n! . S x
. F n - x
x! (n - x)!
Nota: p e q foram substituídos por S e F por fins didáticos.
Exemplo 1. Usando um Diagrama de Árvore (evento independente) e a equação da probabilidade Binomial
Cirurgias de microfaturas no joelho têm 75% de chance de sucesso em pacientes com joelhos degenerativos. A
cirurgia é realizada em 3 pacientes. Encontre a probabilidade de a cirurgia ser um sucesso em 2 pacientes.
Pelo Diagrama de Árvore ou Pela equação Binomial
A probabilidade de sucesso em 1 paciente será:
P(x)= 3! . 0,75 1
. 0,25 3 – 1
≈ 0,141
1! (3-1)!
Pelo Diagrama será (0,047+0,047+0,047)
A probabilidade de não ter sucesso será:
P(x)= 3! . 0,75 0
. 0,25 3 – 0
≈ 0,016
0! (3-0)!
Nota: x
0
= 1
1ª 2ª 3ª Resultado Sucessos Probabilidade (ev. indepen)
S (S,S,S) 3 0,75 . 0,75 . 0,75 = 0,422
0,75
0,75 S F (S,S,F) 2 0,75 . 0,75 . 0,25 = 0,141 +
S
0,25 S (S,F,S) 2 0,75 . 0,25 . 0,75 = 0,141 +
F
(S,F,F) 1 0,75 . 0,25 . 0,25 = 0,047
F
S (F,S,S) 2 0,25 . 0,75 . 0,75 = 0,141 +
0,25
0,75
S F (F,S,F) 1 0,25 . 0,75 . 0,25 = 0,047
F
0,25 S (F,F,S) 1 0,25 . 0,25 . 0,75 = 0,047
F
(F,F,F) 0 0,25 . 0,25 . 0,25 = 0,016F
P(x) = n! . S x
. F n - x
x! (n - x)!
n = 3
x = 2
S = 0,75
F = 0,25 (evento complementar)
P(x)= 3! . 0,75 2
. 0,25 3 - 2
2! (3-2)!
P(x)= 0,422
Há três resultados que têm dois sucessos e cada um tem uma probabilidade de
0,141. Aplicando a Regra da Adição, a probabilidade de a cirurgia ser um sucesso
com dois pacientes é 0,422. (0,141 + 0,141 + 0,141)
Usando a equação Binomial obtemos
o mesmo resultado pelo método do
Diagrama de árvore, de 0,422.
F = probabilidade de Fracasso
(evento complementar)
S = probabilidade de Sucesso
(evento procurado)
n tamanho da amostra
x nº sucessos na amostra
Engenharia de Produção - 23 -
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Exemplo 2. Um levantamento estatístico realizado pelo IBGE constatou que a taxa de desemprego na cidade de
Resende é da ordem de 13%. Ao tomarmos uma amostra de 30 pessoas, com reposição, qual a probabilidade de:
a) 5 estarem desempregados 13% desemprego(Sucesso) 87% emprego(Fracasso)
b) 28 estarem empregados
c) 27 estarem empregados
Para calcular 0,13
5
use a tecla X
y
ou ^. Introduza 0,13 X
y
5 = 3,7-05
que é o mesmo que 0,000037
Exemplo 3. Uma caixa contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Tirando-se 5 bolas, COM REPOSIÇÃO, qual a
probabilidade de saírem:
a) 2 bolas pretas
b) 4 bolas brancas
Você pode usar o software BIOESTAT para calcular probabilidades Binomiais. Siga o caminho abaixo
R resposta
Para usar o Bioestat, basta incluir “n” tamanho da amostra e “x” nº sucessos na amostra. Observe que não é necessário incluir os dados
do Fracasso. O próprio software já entende que o Fracasso será o valor restante. Ex.: Se Sucesso = 20%, então Fracasso = 80% (omitido no
software). A resposta será o valor que está destacada no quadro azul.
P(x) = n! . S x
. F n - x
x! (n - x)!
a) 5 estarem desempregados
n = 30
x = 5
S = 0,13
F = 0,87
P(x)= 30! . 0,13
5
. 0,87
30 - 5
5! (30-5)!
P(x)= 142506 . 0,000037 . 0,0307
P(x) ≈ 0,1627
b) 28 estarem empregados
n = 30
x = 28
S = 0,87
F = 0,13
P(x)= 30! . 0,87
28
. 0,13
30-28
28! (30-28)!
P(x)= 435 . 0,0202 . 0,0169
P(x) ≈ 0,1489
c) 27 estarem empregados
n = 30
x = 27
S = 0,87
F = 0,13
P(x)= 30! . 0,87
27
. 0,13
30-27
27! (30-27)!
P(x)= 4060 . 0,0232 . 0,0021
P(x) ≈ 0,1978
a) 2 bolas pretas
n = 5
x = 2
S = 0,20 (
10
/50)
F = 0,80 (
40
/50)
P = 5! . 0,20
2
. 0,80
5–2
≈ 0,2048
2! (5-2)!
b) 4 bolas brancas
n = 5
x = 4
S = 0,80 (
40
/50)
F = 0,20 (
10
/50)
P = 5! . 0,80
4
. 0,20
5 –4
≈ 0,4096
4! (5-4)!
87% emprego(Sucesso) 13% desemprego(Fracasso)
Sucesso é o que se deseja estudar;
Fracasso é o que não se deseja estudar
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Exemplo 4. Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de obter “3 caras” nessas cinco provas?
Exemplo 5. Um dado é lançado 6 vezes. Qual a probabilidade de que a “face 4” apareça 2 vezes?
Exemplo 6. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Qual a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos?
* 1
/3 o time A pode ganhar, empatar ou perder. Logo, a probabilidade para cada evento é de
1
/3
Exemplo 7. Em uma fábrica, 3 em cada 10 peças são defeituosas. Uma remessa a um determinado cliente possui 5
peças. Determine a probabilidade de que, nessa remessa:
2 estejam defeituosas
n = 5 (tamanho da amostra)
x = 2 (nº sucessos da amostra)
S = 0,30 ( =
3
/10 a p peça ser defeituosa)
F = 0,70 (=
7
/10 a p peça ser perfeita)
P(x) = 5! __ . 0,30
2
. 0,70
5–2
≈ 0,3087
2! (5-2)!
4 estejam perfeitas
n = 5 (tamanho da amostra)
x = 4 (nº sucessos da amostra)
S = 0,70 ( =
7
/10 a p peça ser perfeita)
F = 0,30 (=
3
/10 a p peça ser defeituosa)
P(x) = 5! __ . 0,70
4
. 0,30
5–4
≈ 0,3602
4! (5-4)!
DIFICULTANDO UM POUCO
Exemplo 8. Uma máquina produz parafusos, dos quais 12% apresentam algum tipo de defeito. Calcular a
probabilidade de, em um lote de 40 parafusos produzidos por essa máquina:
a) Entre 3 e 5 parafusos estejam defeituosos, inclusive (ou seja: P3 + P4 + P5)
Neste caso, calcularemos a probabilidade de 3, 4 e 5 parafusos defeituosos. Depois somamos as probabilidades. (Adição de Prob.)
3 parafusos defeituosos
n = 40
x = 3
S = 0,12
F = 0,88
P = 40! . 0,12
3
. 0,88
40–3
≈ 0,1507
3! (40-3)!
4 parafusos defeituosos
n = 40
x = 4
S = 0,12
F = 0,88
P = 40!_ . 0,12
4
. 0,88
40–4
≈ 0,1901
4! (40-4)!
5 parafusos defeituosos
n = 40
x = 5
S = 0,12
F = 0,88
P = 40! _ . 0,12
5
. 0,88
40–5
≈ 0,1867
5! (40-5)!
P (3 e 5, inclusive) = 0,1507 + 0,1901 + 0,1867 = 0,5275
b) Pelo menos dois parafusos defeituosos (ou seja: P2 + P3 + P4 + . . . + P40) Neste caso use: 1 - (P0 + P1)
Ao invés de calcularmos P2 + P3 + P4 + . . . + P40 é mais conveniente usarmos o método do evento complementar (1 – p), pois dá menos
trabalho. Então, calculamos 1 – (P0 +P1 )
nenhum parafuso defeituoso
n = 40 (tamanho da amostra)
x = 0 (nº sucessos da amostra)
S = 0,12
F = 0,88
P0 = 40! . 0,12
0
. 0,88
40–0
≈ 0,0060
0! (40-0)!
1 parafuso defeituoso
n = 40 (tamanho da amostra)
x = 1 (nº sucessos da amostra)
S = 0,12
F = 0,88
P1 = 40! . 0,12
1
. 0,88
40–1
≈ 0,0328
1! (40-1)!
Evento complementar
P (x ≥ 2) = 1 – (P0 + P1)
P = 1 – (0,0060 + 0,0328)
P = 0,9612
n = 5 (tamanho da amostra)
x = 3 (nº sucessos da amostra)
S = 0,50 ( = ½ a p de obter cara)
F = 0,50 (= ½ a p de obter coroa)
P(x) = n! . S x
. F n - x
x! (n - x)!
P(x) = 5! __ . 0,50
3
. 0,50
5–3
≈ 0,3125
3! (5-3)!
n = 6 (tamanho da amostra)
x = 2 (nº sucessos da amostra)
S = 0,17 ( =
1
/6 a p de obter “4”)
F = 0,83 (=
5
/6 a p de não obter “4”)
P(x) = 6! __ . 0,17
2
. 0,83
6–2
≈ 0,2057
2! (6-2)!
n = 6 (tamanho da amostra)
x = 4 (nº sucessos da amostra)
S = 0,33 ( =
1
/3 a p de ganhar)*
F = 0,66 (=
2
/3 a p de não ganhar)
P(x) = 6! __ . 0,33
4
. 0,66
6–4
≈ 0,0774
4! (6-4)!
Engenharia de Produção - 25 -
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c) No máximo 3 parafusos defeituosos (ou seja: P0 + P1 + P2 + P3)
Neste caso, somamos as probabilidades de : P0 + P1 + P2 + P3, Ou seja, aplicamos o método de adição de probabilidades.
nenhum parafuso
defeituoso
P0 = 0,0060
1 parafuso
defeituoso
P1 = 0,0328
2 parafusos
defeituosos
P2 = 0,0872
3 parafusos
defeituosos
P3 = 0,1507
Adição
P (x ≤ 3) = 0,0060+0,0328+0,0872+0,1507 = 0,2768
d) Pelo menos 39 parafusos de qualidade (ou seja: ... P39 + P40)
Ou seja, no mínimo 39 parafusos de qualidade. Então, somamos P39 + P40
39 parafusos de qualidade
n = 40
x = 39
S = 0,88
F = 0,12
P39 = 40! . 0,88
39
. 0,12
40–39
≈ 0,0328
39! (40-39)!
40 parafusos de qualidade
n = 40
x = 40
S = 0,88
F = 0,12
P1 = 40! . 0,88
40
. 0,12
40–40
≈ 0,0060
40! (40-40)!
Adição
P = P39 + P40
P = (0,0328 + 0,0060)
P = 0,0388
e) No máximo 39 parafusos de qualidade (ou seja: ...P0 + P1 + P2 + ... + P39)
Neste caso, somaríamos as probabilidades de : P0 + P1 + P2 + ... + P39, Mas são muitos cálculos. Então, é mais conveniente usar o
método de evento complementar (1 – p). Então, calculamos 1 – P40
P (x ≤ 39) = 1 – P40 → P = 1 – 0,0060 = 0,9940
Encontrando probabilidades Binomiais por meio do Excel
Além do BIOESTAT, você pode encontrar probabilidades Binomiais pelo EXCEL, bastando inserir os dados, conforme
demonstrado abaixo. A figura abaixo se refere ao exemplo 8 que acabamos de ver.
Engenharia de Produção - 26 -
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Encontrando probabilidades Binomiais por meio de tabelas.
Repetindo o exemplo 1. Cirurgias de microfaturas no joelho têm 75% de chance de sucesso em pacientes com
joelhos degenerativos. A cirurgia é realizada em 3 pacientes. Encontre a probabilidade de a cirurgia
a) ser um sucesso em 2 pacientes.
b) Ser um sucesso em 1 paciente.
c) Não ter sucesso.
Resolução. Uma parte da tabela pode ser vista aqui. Usando o sucesso de 75% (ou 0,75), n do tamanho da amostra = 3 e com
número de sucessos 2, 1 e 0 das letras a), b) e c), respectivamente, você pode encontrar a probabilidade Binomial conforme
visto nas áreas destacadas na tabela abaixo.
Nota: Para Sucesso <= 0,50, considere as linhas e colunas verdes para a probabilidade e os sucessos e para Sucesso > 0,50
considere as linhas e colunas vermelhas para a probabilidade e os sucessos. Para valores de Sucessos "quebrados", use a
fórmula DISTRBINOM (sucessos;n;p;0) no Excel.
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DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
É um experimento de probabilidade para os quais os resultados de cada tentativa podem ser reduzidos a
dois resultados: SUCESSO ou FRACASSO, MAS SEM REPOSIÇÃO DA AMOSTRA.
Da mesma maneira que a distribuição Binomial, a distribuição Hipergeométrica tem dois resultados possíveis:
SUCESSO ou FRACASSO. A diferença é que ao experimento Binomial exige que a amostragem seja feita COM
REPOSIÇÃO, pois cada resultado deve ser independente dos outros, enquanto que o experimento Hipergeométrico
exige que a amostragem seja feita SEM REPOSIÇÃO, pois cada resultado deve ser dependente dos outros.
O experimento Hipergeométrico é aplicado para Eventos dependentes. A amostra é sem reposição.
EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE HIPERGEOMÉTRICA
S = nº sucessos da população
s = nº sucessos da amostra
Exemplo Binomial
Uma caixa contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Tirando-se 5 bolas, COM REPOSIÇÃO, qual P(x) de saírem:
a) 2 bolas pretas
b) 4 bolas brancas
COM REPOSIÇÃO. Se as bolas são extraídas com reposição, isto é, retira-se uma bola, verifica-se a cor, coloca-se novamente a
bola na caixa, retira-se novamente uma bola, verifica-se a cor, coloca-se de volta na caixa, até que se completem as 5 extrações.
Exemplo Hipergeométrico
Uma caixa contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Tirando-se 5 bolas, SEM REPOSIÇÃO, qual P(x) de saírem:
a) 2 bolas pretas
b) 4 bolas brancas
SEM REPOSIÇÃO. Se as bolas são extraídas sem reposição, isto é, extraem-se as 5 bolas sem que nenhuma delas retorne à caixa.
Os eventos – cor de cada bola – já não são mais independentes, pois a probabilidade de uma bola ser branca ou preta depende
de que cor tenham saído as demais bolas.
P(x) = n! . S x
. F n - x
x! (n - x)!
a) 2 bolas pretas
n = 5
x = 2
S = 0,20 (
10
/50)
F = 0,80 (
40
/50)
P(x) = 5! . 0,20
2
. 0,80
5–2
2! (5-2)!
≈ 0,2048
b) 4 bolas brancas
n = 5
x = 4
S = 0,80 (
40
/50)
F = 0,20 (
10
/50)
P(x) = 5! . 0,80
4
. 0,20
5 –4
4! (5-4)!
≈ 0,4096
a) 2 bolas pretas
S = 10
s = 2
F = 40
f = 3
N = 50
n = 5
5)!(505!
50!
3)!(403!
40!
x
2)!(102!
10!
−
−−
=P
P(x) ≈ 0,2098
b) 4 bolas brancas
S = 40
s = 4
F = 10
f = 1
N = 50
n = 5
5)!(505!
50!
1)!(101!
10!
x
4)!(404!
40!
−
−−
=P
P(x) ≈ 0,4313
N tamanho da população
n tamanho da amostra
F = nº fracassos da população
f = nº fracassos da amostra
Na científica --> ((10! : 2!(10-2)! x 40! : 3!(40-3)! : (50! : 5!(50-5)!)
Na TechCalc --> N=50 | n=5 | S=10 | s=2 |
Engenharia de Produção - 31 -
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Você pode usar o software BIOESTAT para calcular probabilidades Hipergeométricas. Siga o caminho abaixo
Uma caixa contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Tirando-se 5 bolas, SEM REPOSIÇÃO, qual P(x) de saírem:
a) 2 bolas pretas
f = 3
N = 50
n = 5
Observe que não é necessário incluir os dados do Fracasso. O próprio software já reconhece que o Fracasso será o valor restante. Ex.:
Se Sucesso = 10 e 2, então Fracasso = 40 e 3 (omitido), já que a população é 50 e 5. A resposta será o valor que está no quadro azul.
Você pode usar o software EXCEL para calcular probabilidades Hipergeométricas.
Demonstrando o exemplo anterior, temos:
S = 10
s = 2
F = 40
resposta
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DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
É um experimento de probabilidades para os quais os resultados de cada tentativa podem ser reduzidos
a dois resultados: SUCESSO ou FRACASSO, sendo realizado até que apareça o PRIMEIRO SUCESSO
Sucesso corresponde à probabilidade procurada enquanto que Fracasso à probabilidade não procurada, ou seja, o evento
complementar. A palavra sucesso como usada aqui é arbitrária e não representa, necessariamente, algo bom. Qualquer uma das duas
categorias pode ser chamada de sucesso, desde que seja a probabilidade procurada.
Da mesma maneira que a distribuição Binomial, a distribuição Geométrica tem dois resultados possíveis: SUCESSO ou FRACASSO. Uma
particularidade da distribuição Geométrica é que são necessárias inúmeras tentativas até o aparecimento do PRIMEIRO SUCESSO.
A distribuição Geométrica é aplicada para Eventos independentes. A amostra é feita com reposição.
EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE GEOMÉTRICA
P(x) = Fn - 1
. S
Nota: p e q foram substituídos
por S e F por fins didáticos.
Exemplo. Uma máquina produz parafusos dos quais 12% apresentam algum tipo de defeito. Um analista deseja
coletar uma amostra de 40 parafusos. Encontre a probabilidade de que:
a) na 6ª amostra apareça o primeiro parafuso defeituoso.
n = 6
S = 0,12
F = 0,88
P(x) = 0,88
6 –1
. 0,12 = 0,0633 ou 6,33%
...Que, pela lógica do evento independente é a mesma coisa
que FFFFFS, ou seja, 0,88
5
. 0,12 (É como se fosse PPPPPD)
b) na 4ª amostra apareça o primeiro parafuso perfeito.
n = 4
S = 0,88
F = 0,12
P(x) = 0,12
4 -1
. 0,88 = 0,0015 ou 0,15%
...Que, pela lógica do evento independente é a mesma coisa
que FFFS, ou seja, 0,12
3
. 0,88 (É como se fosse DDDP)
DISTRIBUIÇÃO DE PASCAL
É um experimento de probabilidades para os quais os resultados de cada tentativa podem ser reduzidos
a dois resultados: SUCESSO ou FRACASSO, sendo realizado até que apareça o K-ÉSIMO SUCESSO
Sucesso corresponde à probabilidade procurada enquanto que Fracasso à probabilidade não procurada, ou seja, o evento
complementar. A palavra sucesso como usada aqui é arbitrária e não representa, necessariamente, algo bom. Qualquer uma das duas
categorias pode ser chamada de sucesso, desde que seja a probabilidade procurada.
Da mesma maneira que a distribuição Binomial e Geométrica, a distribuição de Pascal tem dois resultados possíveis: SUCESSO ou
FRACASSO. Uma particularidade da distribuição de Pascal é que são necessárias inúmeras tentativas até o aparecimento do K-ÉSIMO
SUCESSO.
A distribuição de Pascal é aplicada para Eventos independentes. A amostra é feita com reposição.
Exemplo. Uma máquina produz parafusos dos quais 12% apresentam algum tipo de defeito. Um analista deseja
coletar uma amostra de 40 parafusos. Encontre a probabilidade de:
a) Na 9º amostra, apareça o terceiro parafuso defeituoso.
n = 9
k = 3
S = 0,12
F = 0,88
(9-1)! __ . 0,123
. 0,889-3
= 0,0224
(3-1)! . (9-3)!
...Como exemplo, é como se fosse FSFFFSFFS
b) na 25ª amostra apareça o 21º parafuso perfeito.
n = 25
k = 21
S = 0,88
F = 0,12
(25-1)! __ . 0,8821
. 0,1225-21
= 0,1503
(21-1)! . (25-21)!
...Como exemplo, é como se fosse FSFF...FSSFF...FS
EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE DE PASCAL
P(x) = (n -1)! __ . Sk
. Fn - k
(k - 1)! . (n - k)!
F probabilidade de Fracasso(evento complementar)
S probabilidade de Sucesso (evento procurado)
n tamanho da amostra
t
1º sucesso 1º sucesso
S probabilidade de Sucesso
F probabilidade de Fracasso
n tamanho da amostra
k k-ésimo sucesso da amostra
x nº sucessos na amostra
3º sucesso 21º sucesso
Também chamada de Binomial negativa. Na científica: Ex a) (9-1)! : ((3-1)! x (9-3)!) x 0,12^3 x 0,88^9-3
Na TechCalc --> procurar "Distribuição Binomial, negativo". Entradas: ex. a) 3|6|0,12| = 0,0225 ex b) 21|4|0,88| = 0,1503
Ou seja: entrada de | k | n-k, em que esta diferença é o numero de falhas | S
Engenharia de Produção - 33 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL (OU POLINOMIAL)
É um experimento de probabilidades para os quais os resultados de cada tentativa podem ter VÁRIOS
RESULTADOS POSSÍVEIS, e não só Sucesso ou Fracasso. É uma generalização da distribuição Binomial.
Na distribuição Multinomial, todos os resultados possíveis são independentes uns dos outros.
Exemplo 1. Uma máquina produz parafusos dos quais 12% apresentam algum tipo de defeito, sendo 4% do tipo A e
8% do tipo B. Um analista deseja coletar uma amostra de 40 parafusos. Encontre a probabilidade de:
a) Sair 35 parafusos perfeitos, 3 com defeitos tipo A e 2 com defeitos tipo B?
n = 40
x1= 35 ; p1= 0,88
x2= 3 ; p2= 0,04
x3= 2 ; p3= 0,08
P(x) = 40! . 0,8835
. 0,043
. 0,082
= 0,0307
35! 3! 2!
Exemplo 2. Um caixa tem 4 bolas vermelhas (V), 3 brancas (B) e 3 azuis. Retiram-se 5 bolas, com reposição. Qual a
probabilidade de saírem 2V, 1B e 2A?
n = 5
x1= 2 ; p1= 0,40 (4
/10)
x2= 1 ; p2= 0,30 (3
/10)
x3= 2 ; p3= 0,30 (3
/10)
P(x) = 5! . 0,402
. 0,301
. 0,302
= 0,1296
2! 1! 2!
EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE MULTINOMIAL
P(x) = n! _ . p1
x1
. p2
x2
. p3
x3
...
x1! x2! x3! ...
n tamanho da amostra
x tamanho de cada sucesso
P probabilidades associadas ao sucesso
Engenharia de Produção - 34 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON (DENIS POISSON 1781-1840) (LÊ-SE POASSÓN)
É um experimento de probabilidade que calcula o NÚMERO DE OCORRÊNCIAS de um evento em um
DADO INTERVALO de TEMPO, DISTÂNCIA, ÁREA, VOLUME ou unidade similar.
O esquema abaixo ajuda a melhor interpretar o experimento de Poisson.
Regras: É aplicada caso os eventos ocorram com uma MÉDIA conhecida e cada evento seja independente.
São exemplos: número de consultas a uma base de dados por minuto; número de falhas de um equipamento por hora;
número de erros de tipografia em um formulário; número de defeitos em um m2
de piso cerâmico; número de buracos
em um asfalto por km; número de acidentes por mês em uma rodovia etc.
EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE DE POISSON
P(x) = μ x *
e - μ
x !
μ = letra grega mi = Média
Nota: Algumas literaturas usam
λ (lambda) no lugar de μ
Exemplo 1. A Média do número de acidentes por mês na rodovia Barra Mansa-Angra é de 3 acidentes por mês.
Determine a probabilidade de que, em qualquer mês dado:
a) 4 acidentes ocorram na rodovia
b) 2 acidentes ocorram na rodovia
c) Nenhum acidente ocorra na rodovia
Para calcular e
- μ
use a mesma tecla X
y
ou ^. Introduza 2,7182 X
y
- 3 = 0,0497
Encontre e na calculadora
Você pode usar o microsoft Excel para calcular probabilidades de Poisson. Veja abaixo (do exemplo 1)
a) 4 acidentes ocorram na rodovia
μ = 3
e = 2,7182
x = 4
P(x) = 3
4 .
2,7182
-3
= 0,168
4!
b) 2 acidentes ocorram na rodovia
μ = 3
e = 2,7182
x = 2
P(x) = 3
2 .
2,7182
-3
= 0,224
2!
c) Nenhum acidente ocorra na rodovia
μ = 3
e = 2,7182
x = 0
P(x) = 3
0 .
2,7182
-3
= 0,0498
0!
Constante de Euler Venn 2,7182
Média do nº de ocorrências (baseada em histórico)
nº de ocorrências procurada
x x x x
← Intervalo de tempo, distância, área ou volume →
nº de ocorrências
do evento1 2 3 4...
Engenharia de Produção - 35 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Exemplo 2. Supondo que a Média do número de pessoas que acessam um caixa eletrônico de um banco durante
uma hora é 5. Determine a probabilidade de, no mesmo período, ocorrerem:
a) Menos de 2 acessos ao caixa eletrônico
b) Pelo menos 3 acessos ao caixa eletrônico
a) Menos de 2 acessos ao caixa eletrônico (ou seja nenhum acesso ou um acesso: P0 + P1 )
Neste caso, calcularemos a probabilidade de P0 e P1. Depois somamos as probabilidades. (Adição de Probabilidades)
Nenhum acesso ao caixa
μ = 5
e = 2,7182
x = 0
P0 = 5
0 .
2,7182
-5
= 0,0067
0!
1 acesso ao caixa eletrônico
μ = 5
e = 2,7182
x = 1
P1 = 5
1 .
2,7182
-5
= 0,0337
1!
Adição de Probabilidades
P(x < 2) = P0 + P1
P = 0,0067 + 0,0337 = 0,0404
b) Pelo menos 3 acessos ao caixa eletrônico (ou seja P3+P4+P5 +P6+P7+P8 ...)
“pelo menos 3 acessos ao caixa” é o mesmo que “no mínimo 3 acessos ao caixa”. Ao invés de calcularmos P3+P4+P5+... é mais
conveniente usarmos método do evento complementar (1 – p). Então, calculamos 1 – (P0 + P1 + P2)
Nenhum acesso
ao caixa
P0 = 0,0067
1 acesso ao caixa
eletrônico
P1= 0,0337
2 acessos ao caixa eletrônico
μ = 5
e = 2,7182
x = 2
P2 = 5
2 .
2,7182
-5
= 0,0842
2!
Evento complementar
P (x ≥ 3) = 1 – (P0 + P1 + P2)
P = 1 – (0,0067+0,0337+0,0842)
P = 0,8753
Exemplo 3. Numa central telefônica chegam em média 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que:
a) 2 telefonemas ocorram em dois minutos?
b) 3 telefonemas ocorram em quatro minutos?
c) Nenhum telefonema ocorra em um minuto?
Nota: São 300 telefonemas/hora, em média.
Então são em média 5 telefonemas/minuto. (
300
/60 = 5)
Encontrando probabilidades de Poisson por meio de tabelas
Repetindo o Exemplo 1. A Média do número de acidentes por mês na rodovia Barra Mansa-Angra é de 3
acidentes/mês. Determine a probabilidade de que, em qualquer mês dado:
a) 4 acidentes ocorram na rodovia
Resolução. Uma parte da tabela pode ser vista aqui. Usando a média µ=3 e x=4, você pode encontrar a probabilidade de
Poisson conforme visto nas áreas destacadas na tabela abaixo. (compare o resultado com a letra a) do exemplo1 ).
Tabela de Poisson (parcial)
P(x) = μ x .
e - μ
x!
a) 2 telefonemas ocorram em dois
minutos?
μ= 10 telefonemas (5+5 em dois min)
e= 2,7182
x= 2 telefonemas
P = 10
2 *
2,7182
-10
= 0,002270
2!
b) 3 telefonemas ocorram em quatro
minutos?
μ= 20 telefonemas (5*4 em quatro min)
e = 2,7182
x = 3
P = 20
3 .
2,7182
–20
= 0,0000274
3!
c) Nenhum telefonema ocorra em
um minuto?
μ = 5 telefonemas (em um min)
e = 2,7182
x = 0
P = 5
0 .
2,7182
-5
= 0,00673
0!
Engenharia de Produção - 36 -
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TABELA COMPLETA DE POISSON
Nota: Para valores não disponíveis na tabela, use POISSON(sucessos; λ ; 0) no Excel. ( λ é a mesma coisa que µ)
Engenharia de Produção - 37 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Engenharia de Produção - 38 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Poisson como aproximação para a distribuição Binomial
Você pode utilizar a Distribuição de Poisson para fazer uma aproximação da Distribuição Binomial
quando n (tamanho da amostra) é grande e S (sucesso) é pequeno.
Quando n é muito grande (acima de 100, por exemplo), as probabilidades binomiais ficam difíceis de serem calculadas,
como exemplo 0,12
100
. 0,88
100 - 5
. O cálculo direto é impraticável. Apelamos então para a aproximação de Poisson.
EQUAÇÃO DE POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL
P(x) = (n.s)
x *
e
- (n . s)
x !
Note que substituímos a média µ da equação de Poisson pela média da distribuição Binomial (n . s). Para melhor entender o
modelo de aproximação vamos ver os exemplos 1 e 2, que comparam os dois métodos:
Exemplo 1. Uma máquina produz parafusos, dos quais 12% apresentam algum tipo de defeito. Calcular a
probabilidade de, em um lote de 40 parafusos produzidos por essa máquina:
a) 3 parafusos estejam defeituosos
Pela distribuição Binomial
n = 40
x = 3
S = 0,12
F = 0,88
Pbin = 40! . 0,12
3
. 0,88
40–3
≈ 0,1507
3! (40-3)!
Poisson como aproximação da distribuição Binomial
n = 40
x = 3
S = 0,12
PPoisson ≈ bin = (40 * 0,12)
3
* 2,7182
–(40 * 0,12)
≈ 0,1517
3!
Análise dos resultados: Perceba pelo comparativo que a distribuição de Poisson pode ter uma boa aproximação da Distribuição
Binomial. A aproximação vai melhorando à medida que n vai se tornando maior e S vai se tornando menor.
Exemplo 2. Uma máquina produz parafusos, dos quais 1% apresentam algum tipo de defeito. Calcular a
probabilidade de, em um lote de 900 parafusos produzidos por essa máquina:
a) 9 parafusos estejam defeituosos
Pela distribuição Binomial
n = 900
x = 9
S = 0,01
F = 0,99
Pbin = 900! . 0,01
9
. 0,99
900 – 9
≈ ‘Math ERROR’
9! (900-9)! (0,1324 pelo Excel)
Poisson como aproximação da distribuição Binomial
n = 900
x = 9
S = 0,01
PPoisson ≈ bin = (900*0,01)
9
* 2,7182
–(900 * 0,01)
≈ 0,1317
9!
Análise dos resultados: Observe que o cálculo do exemplo 2 pelo método Binomial usando uma calculadora científica torna-se
impraticável. Pelo Excel o resultado Binomial é 0,1324, bem aproximado pelo método de Poisson. É importante ressaltar que
a variável aleatória de Poisson teoricamente se estende desde 0 até ∞ (infinito). No entanto, quando você utiliza a distribuição
de Poisson como uma aproximação para a distribuição binomial, a variável aleatória de Poisson — o número de sucessos dentre
n observações — não pode ser maior do qdue o tamanho da amostra, n.
n = tamanho da amostra
s = Probabilidade de sucesso
Constante de Euler
Venn 2,7182
x = nº de sucessos da amostra
Engenharia de Produção - 39 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
É aquela na qual as variáveis aleatórias se espalham uniformemente sobre a faixa de valores possíveis, ou
seja, todos os valores ocorrem com a mesma probabilidade.
Representa o análogo continuo dos resultados igualmente prováveis. É usada nas situações em que não há razão para
atribuir probabilidades diferentes a um conjunto possíveis de valores em um determinado intervalo.
A área sob o gráfico de uma distribuição uniforme é igual a 1. O gráfico resulta em uma forma retangular.
Há uma correspondência entre área e probabilidade. Se a probabilidade de x assumir valores num subintervalo é a
mesma para qualquer outro subintervalo de mesmo comprimento, então, esta variável tem distribuição uniforme.
A distribuição uniforme, embora apresentada como contínua, pode também abranger casos discretos. É o caso do
lançamento de um dado, como mostrado abaixo.
A distribuição de probabilidade do lançamento de um dado, por exemplo, tem distribuição uniforme pois seus
resultados são igualmente prováveis:
Probabilidade na distribuição uniforme
Para encontrar probabilidades na distribuição uniforme usamos a seguinte equação:
Exemplo 1. Com base em históricos, o tempo de vôo de Chicago - Nova York pode ter qualquer valor no intervalo de
120 a 140 minutos. Considerando que cada um dos intervalos de 1 minuto é igualmente provável, determine:
a) A P(x) do avião chegar entre 126 e 131 minutos
P(x) = b – a →
D – C
131 – 126
140 – 120
= 0,25
b) A P(x) do avião chegar em 136 minutos ou mais.
P(x) = b – a →
D – C
140 – 136
140 – 120
= 0,20
O Valor esperado (média) da
distribuição uniforme é:
Ex=D + C
2
Ex. O tempo esperado de vôo entre Chicago – Nova York é:
Ex = 140+120 = 130 minutos.
2
P(x) lançar um dado
“x” P(x)
1 1
/6
2 1
/6
3 1
/6
4 1
/6
5 1
/6
6 1
/6
∑=1 ou 100%
EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE UNIFORME ACUMULADA
P(x) = b – a
D – C
P(x), se D ≤ x ≤ C
0, caso contrário
Em que:
Área P(x) procurada
a – menor valor
b – maior valor
Área do intervalo definido
C – menor valor
D – maior valor
1 2 3 4 5 6
1
/6
1
/6
1
/6
1
/6
1
/6
1
/6
Faces do dado
Probabilidade
Probabilidades no
lançamento de um dado
DISTRIBUIÇÃO
UNIFORME
1
/6
Área = 1
Variável aleatória
Probabilidade
C D
a b
Gráfico da distribuição uniforme
Tempo de vôo em minutos
126 131
120 125 130 135 140
Probabilidade
Gráfico da distribuição do vôo
Tempo de vôo em minutos
136 140
120 125 130 135 140
Probabilidade
Gráfico da distribuição do vôo
Engenharia de Produção - 40 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (ABRAHAM DE MOIVRE 1667 - 1754 )
É usada para distribuições SIMÉTRICAS e possui diversas aplicações, como calcular as probabilidades de
PESOS e ALTURAS das pessoas, diâmetro e comprimento de peças em linhas de produção, tempo de vida
útil de produtos e diversas outras medições de pesquisas científicas.
Aplicado para distribuições SIMÉTRICAS (Média=Moda=Mediana). Possui como parâmetro a MÉDIA e DESVIO PADRÃO.
Também chamada de Curva Normal, Curva de Gauss e Curva em forma de Sino.
Para entender o conceito de uma Distribuição Normal, tomemos como exemplo a distribuição da vida útil de 340
lâmpadas produzidas pela PHILIPS:
Observe pela Distribuição Normal que o tempo de vida útil das lâmpadas:
Possui uma elevação em seu centro e pontas que vão tanto para direita quanto para a esquerda;
A Média, Mediana e Moda (1000 horas) encontram-se exatamente no meio da distribuição;
A distribuição de valores menores que a Média (700, 800, 900) e maiores que a Média (1100, 1200, 1300) é
simétrica, o que significa que se você dobrá-la ao meio, suas partes serão como imagens refletidas por um espelho;
Como a curva é simétrica em torno da Média, os valores maiores que a média e os valores menores do que a Média
ocorrem com igual probabilidade;
A maioria dos dados é centralizada ao redor da média, de modo que quanto mais longe da média você se mover,
cada vez menos pontos de dados você vai encontrar em ambos os lados.
Analisando a variabilidade
Analise a figura abaixo. Veja que a maior parte da vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS varia de 700
horas até 1300 horas, com uma boa parte das lâmpadas com vida útil de 900 a 1100 horas. Pensando como
consumidor, você gostaria de se deparar com tamanha variabilidade quando for comprar um pacote de lâmpadas?
Veja que uma concorrente (OSRAM) irá tentar fabricar lâmpadas com vida útil menos variável; a vida útil terá
uma média de 1000 horas, mas suas lâmpadas terão uma vida útil mais consistente, variando de 920 a 1080
horas, com boa parte das lâmpadas com duração entre 980 e 1020 horas.
10
40
70
100
70
40
10
0
20
40
60
80
100
120
Quantidade
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Horas
Distribuição da vida útil de 340 lâmpadas
produzidas pela PHILIPS Curva NORMAL ou
Curva de GAUSS ou
Curva em forma de SINOMédia =
Moda = 1000 horas
Mediana =
10
40
70
100
70
40
10
0
20
40
60
80
100
120
Quantidade
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Horas
Distribuição da vida útil de 340 lâmpadas
produzidas pela OSRAM
PHILIPS
OSRAM
PHILIPS
Maior variação
700 a 1300
OSRAM
Menor variação
920 a 1080 horas
Engenharia de Produção - 41 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Em uma distribuição Normal, o Desvio padrão tem um significado especial, pois determina a distância da Média
até um ponto dentro da distribuição, cada um com a mesma distância da Média. No caso abaixo, supomos (por
fins didáticos) que o Desvio padrão do tempo de vida útil das lâmpadas é s=100 horas.
ENCONTRANDO PROBABILIDADES NA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Quando se tem uma variável aleatória com distribuição normal pode-se obter a probabilidade de essa variável
assumir um valor em determinado intervalo, pela área sob a curva dentro dos limites do intervalo.
Exemplo 1. Seja X a variável aleatória que representa os tempos de vida útil das lâmpadas produzidas pela
PHILIPS Sendo a Média de vida útil das lâmpadas de 1000 horas com Desvio padrão de 100 horas, ache a
probabilidade de a lâmpada ter vida útil entre 1000 e 1150 horas, isto é, P(1000 < z < 1150).
PARA ACHAR A PROBABILIDADE, SIGA 2 PASSOS:
1º PASSO. Calcule o número de desvios padrão que o valor “1150” se distancia da média “1000”. Para isto,
utilizamos a equação abaixo, chamada “escore Z”.
EQUAÇÃO ESCORE Z
s
x
z x-
=
Calculando o escore Z, temos:
z = 1150 - 1000 = 1,50
100
O resultado indica que 1150 está distante 1,50 desvios
padrão da média. Use sempre 2 casas decimais. Veja
demonstração da área de Z no gráfico acima.
O escore Z é uma medida que indica o número de desvios padrão de um valor a partir da média.
10
40
70
100
70
40
10
0
20
40
60
80
100
120
Quantidade
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Horas
s=100
68,26%
95,44%
99,74%
S=100 S=100
-3S -2S -1S x 1S 2S 3S
A regra empírica
Na distribuição normal é possível determinar a posição
da maioria dos valores, usando as distâncias de 1, 2 ou 3
Desvios padrões da Média para estabelecer alguns
marcos. A regra que lhe permite fazer isso se chama
Regra empírica, que diz o seguinte:
Espera-se que cerca de 68,26% dos valores encontram-
se dentro de 1 desvio padrão da média;
(no exemplo, 240 lâmpadas (70+100+70).
Espera-se que 95,44% dos valores encontram-se dentro
de 2 desvios padrões da média;
(no exemplo, 320 lâmpadas: 40+70+100+70+40)
Espera-se que 99,74% dos valores encontram-se dentro
de 3 desvios padrões da média;
(no exemplo, 340 lâmpadas: 10+40+70+100+70+40+10)
Estes resultados são aproximações. A regra empírica
não pode ser aplicada às distribuições que não possuam
uma forma de montanha em seu centro.
Média
Variável aleatória procurada
Desvio padrão
Escore Z
Probabilidade procurada
P(1000 < Z < 1150)
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Z= 1,50
P= 0,4332
Engenharia de Produção - 42 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
2º PASSO. Com o escore Z de “1,50”, use a Tabela de Distribuição Normal Padrão para encontrar a
probabilidade, como explicado abaixo:
Na 1ª coluna encontramos “1,5”. Em seguida, encontramos na 1ª linha “0”, que é o último algarismo de “1,50”. Na intersecção
da linha e coluna encontramos 0,4332, o que indica que a probabilidade P(1000 < z < 1150) = 0,4332 ou 43,32%.
Interpretação: espera-se que 43,32% das lâmpadas tenham vida útil entre 1000 e 1150 horas.
A área constante na tabela corresponde a área à direita (sinal positivo):
motivo da qual desconsideramos o sinal negativo no z-escore nas áreas à esquerda, pois a curva é simétrica em torno da
Média, ou seja, os valores maiores que a média e os valores menores do que a Média ocorrem com igual probabilidade. . A
tabela não é de distribuição acumulada. Vamos ver alguns exemplos adiante.
Z Último dígito
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
-3S -2S -1S 0 1S 2S 3S
Área = 0,5
-z +z
Engenharia de Produção - 43 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Exemplo 2. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P(900 < z < 1000).
Quando partimos da média calculamos apenas um escore Z. Para lado esquerdo o escore Z sempre terá sinal
negativo, que não será considerado, pois os dois lados são iguais em termos de probabilidades.
Interpretação: Espera-se que 34,13% das lâmpadas tenham vida útil entre 1000 e 1100 horas.
Exemplo 3. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P(900 < z < 1050).
Neste caso, calculamos dois escores Z e somamos as probabilidades:
.
Interpretação: Espera-se que 53,28% das lâmpadas tenham vida útil entre 900 e 1050 horas.
Exemplo 4. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P(1050 < z < 1150).
Neste caso, calculamos dois escores Z (de 1000 a 1150; e de 1000 a 1050). Depois subtraímos as probabilidades:
SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADES
Z1 = 1150 - 1000 = 1,50
100 0,4332
--
Z2 = 1050 - 1000 = 0,50
100 0,1915
Subtração probabilidades = 0,2417
Interpretação: Espera-se que 24,17% das lâmpadas tenham vida útil entre 1050 e 1150 horas.
EQUAÇÃO ESCORE Z
s
x
z x-
=
Calculando, temos:
z = 900 - 1000 = -1,00 *
100
Probabilidade: na tabela temos: 0,3413
*Desconsidere o sinal negativo do escore Z
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES
z1 = 900 - 1000 = - 1,00*
00 0,3413
+
z2 = 1050 - 1000 = 0,50
100 0,1915
Soma de probabilidades = 0,5328
Z= -1,00
Probabilidade procurada
P(900 < Z < 1000)
700 800 900 1000 1100 1200 1300
P= 0,3413
Probabilidade procurada
P(900 < Z < 1050)
P= 0,5328
Z2
=0,50
Z1= -1,00
P1=0,3413 P2=0,1915
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Probabilidade procurada
P(1050 < Z < 1150)
P= 0,2417
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Z1=1,5 0
Z2= 0,50
PZ2=0,1915 PZ1=0,4332
Engenharia de Produção - 44 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Exemplo 5. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P( z < 850 horas)
Ou seja, ache a probabilidade de a vida útil da lâmpada ser menor que 850 horas. Neste caso, P1 = 0,5 (meia área). Daí,
calculamos Z2 e subtraímos as probabilidades:
SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADES
P1 = (meia área)
0,5
--
Z2 = 850 - 1000 = -1,50
100 0,4332
Subtração probabilidades = 0,0668
Interpretação: Espera-se que 6,68% das lâmpadas tenham vida útil abaixo de 850 horas.
Exemplo 6. Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com Desvio
padrão de 100 horas. O fabricante oferece uma garantia de 800 horas, isto é, trocar as lâmpadas que apresentem
falhas nesse período ou inferior. Fabrica 15.000 lâmpadas mensalmente. Quantas lâmpadas deverá trocar pelo uso da
garantia, mensalmente? (adaptado de Morettin, pág 143 e 144)
Interpretação: Constatamos que 2,28% (0,0228) das lâmpadas não atenderão a garantia. Então o fabricante deverá substituir
mensalmente: 15.000 x 0,0228 = 342 lâmpadas.
Z-ESCORE E VALOR DE “X” NA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Na seção anterior você encontrou a probabilidade que x pudesse estar em um dado intervalo ao calcular a área sob a curva
normal para um dado intervalo. Mas, e se lhe fosse dado uma probabilidade e você quisesse encontrar o valor de x?
Encontrando o Z-ESCORE dada uma PROBABILIDADE
Exemplo 7. Encontre o z- escore que corresponda à área de 0,2123 (21,23%) da área à direita?
Observando a Tabela de Distribuição Normal Padrão encontramos z-escore de 0,56 conforme destacado abaixo.
SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADES
P1 = (meia área)
0,5
--
Z2 = 800 - 1000 = - 2,00
00 0,4772
Subtração de probabilidades = 0,0228
Probabilidade procurada
P( Z < 850)
P= 0,0668
Z1= -1,50
Área = 0,5
700 800 900 1000 1100 1200 1300
PZ2=0,0668
P1=0,4332
Z Último dígito
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
Probabilidade procurada
P( Z < 800)
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Garantia de
800 horas
Engenharia de Produção - 45 -
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
Encontrando VALOR DE “X” que corresponda a um Z-ESCORE
Da equação do Z-ESCORE podemos formar a equação do VALOR DE “X”, conforme demonstrado abaixo:
Equação para encontrar valor de “x”
s
x
z x-
= ∴ xxzs −= ∴ xzsx =+ zsxx +=
x = variável procurada
x = média
z = escore Z
s = desvio padrão
Importante. Para encontrar valores de “x” vamos considerar os sinais dos Z-escore (negativo ou positivo)
Exemplo 8. Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com Desvio
padrão de 100 horas. Encontre o tempo de vida útil “x” que corresponda a:
a)Z-escore de 1,5
a) Z = 1,5: zsxx += → x = 1000 + 1,5 (100) = 1.150 horas.
Interpretação: Para z escore de 1,5 o tempo de vida útil das lâmpadas é de 1.150 horas. Você pode confirmar o
resultado consultando o exemplo 1.
b)Z-escore de -2
b) Z = -2: zsxx += → x = 1000 + (-2)(100) = 800 horas.
Interpretação: Para z escore de -2 o tempo de vida útil das lâmpadas é de 800 horas. Você pode confirmar o
resultado consultando o exemplo 6.
Encontrando VALOR DE “X” que corresponda a uma PROBABILIDADE
Exemplo 9. Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com Desvio
padrão de 100 horas. O fabricante deseja fixar prazo de garantia, em horas, de tal modo que, se a duração da
lâmpada for inferior à garantia, a lâmpada seja trocada. De quantas horas deve ser este prazo para que somente 4%
das lâmpadas sejam trocadas?
Z Último dígito
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
0,5
-Z
700 800 900 1000 1100 1200 1300
0,04
Passo 1 → 0,5 – 0,04 = 0,46
Passo 2 → Procurando na tabela P(x)=0,46 (0,4599 é mais
próximo), encontramos Z = -1,75. (negativo pois é à esquerda)
Passo 3. Logo:
zsxx += → x = 1000 + (-1,75)(100) = 825 horas.
Interpretação: O prazo de horas para que seja trocado 4% das lâmpadas
deve ser de 825 horas.
-1,75
Engenharia de Produção - 46 -
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Exemplo 10. As pontuações para um teste de Engenheiro em uma empresa são normalmente distribuídas, com uma
média de 7,5 com e um desvio padrão de 0,5. Para ser adequado ao emprego, você deve ter pontuação dentro dos
9% primeiros. Qual é a menor pontuação que você pode conseguir e ainda ser adequado ao emprego?
,
Exemplo 11 Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com Desvio
padrão de 100 horas. Dentro de que limite, de ambos os lados da média, ficará 95% das lâmpadas?
USANDO UMA TABELA DE
Resolução
Passo 1 →
0,95
/2 = 0,4750 (para cada lado da média).
Passo 2 → Procurar 0,4750 na tabela. Encontramos Z = 1,96 (neste
caso teremos Z1= -1,96 e Z2 = +1,96).
Passo 3. Logo:
X1 = 1000 + (-1,96)(100) = 804 horas.
zsxx += X2 = 1000 + (+1,96)(100) = 1.196 horas.
Interpretação: 95% das lâmpadas ficará entre 804 horas e 1196 horas, ou
seja, P 95% ( 804 < z < 1196)
0,95
- 0,4750 + 0,4750
z= - 1,96 z= + 1,96x̄
Z Último dígito
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
Passo 1 → 0,5 - 0,09 = 0,41
Passo 2 → Procurando na tabela P(x)=0,41 (0,4099 é mais próximo)
encontramos Z = 1,34 (positivo pois é à direita).
Passo 3
zsxx += → x = 7,5 + (1,34)(0,5) = 8,17.
Interpretação: A menor pontuação que você pode conseguir e ainda
assim ser adequado ao emprego é 8,17.
0,5
+Z
6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0
0,09
+1,34
Z Último dígito
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
Engenharia de Produção - 47 -
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
ACUMULADA
(Informativo)
Esta tabela que tem o seguinte princípio:
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
Distribuição acumulada de 0% a 100%
Engenharia de Produção - 48 -
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Exemplo de aplicação. Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com
Desvio padrão de 100 horas. Encontre P (900 < z < 1050) usando a tabela de distribuição normal padrão acumulada.
SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADE
Z1 = 900 - 1000 = -1,00*
100 0,1587
*Considere o sinal negativo
Z2 = 1050 - 1000 = 0,50
100 0,6915
P(x)= Z2 – Z1 → 0,6915 – 0,1587= 0,5328
Veja o Z-escore destacado na tabela acumulada acima. Confronte o resultado com o exemplo 3.
Probabilidade procurada
P(900 < Z < 1050) P= 0,5328
Z2 = 0,50 → 0,6915
Z1= -1,00 → 0,1587
700 800 900 1000 1100 1200 1300
-3z -2z -1z 0 +1z +2z +3z
Engenharia de Produção - 49 -
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Normal como aproximação para a distribuição Binomial
Na distribuição Binomial vimos que, se uma máquina produz parafusos dos quais 12% apresentam defeito, é fácil
calcular a probabilidade de, em um lote de 40 parafusos produzidos, 3 sejam defeituosos. Veja abaixo.
Distribuição Binomial
P(x) = n! . S x
. F n - x
x! (n - x)!
n = 40
x = 3
S = 0,12
F = 0,88
P = 40! . 0,12
3
. 0,88
40–3
≈ 0,15
3! (40-3)!
Mas e se coletarmos 150 parafusos e queremos encontrar a probabilidade que menos de 40 parafusos sejam
defeituosos? Teríamos que usar a equação binomial 40 vezes e encontrar a soma das probabilidades (P0+P1+P2+...+P39).
Esse método não é prático, claro. A solução é usarmos a distribuição normal para aproximar da distribuição binomial.
Regras para aproximar a Normal para Binomial:
Regra 1. AMOSTRAS GRANDES. À medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição Binomial é aproximada e
normalmente distribuída. Para ver que esse resultado é válido, veja as distribuições binomiais da produção de parafusos de
uma máquina, dos quais 12% apresentam defeito (Sucesso), com dois diferentes de tamanhos amostrais: n = 10 e n = 40.
n = 10
S = 0,12
X P(x)
0 0,27
1 0,37
2 0,23
3 0,08
4 0,003
n = 40
S = 0,12
X P(x)
0 0,006
1 0,03
2 0,08
3 0,15
4 0,19
5 0,18
6 0,14
7 0,09
8 0,05
9 0,02
10 0,01
Perceba que à medida que o tamanho da amostra aumenta, o histograma aproxima-se de uma curva normal. Então, para
amostras grandes podemos fazer uma aproximação da Normal para Binomial (desde que S não seja muito próximo de 0 ou 1).
Regra 2: CORREÇÃO DE CONTINUIDADE. Para obter aproximações mais precisas utilizamos um ajuste chamado correção de
continuidade. A razão para isto é que a distribuição Binomial é discreta e assume valores inteiros (0, 1, 2, 3...) enquanto que a
distribuição Normal é contínua, podendo assumir qualquer valor dentro de um intervalo (0,5, 1,5, 2,5...). Como exemplo,
suponha que dos 40 parafusos produzidos você queira saber a probabilidade de encontrar 3 defeituosos. Enquanto o modelo
Binomial apresenta somente um único valor (como exemplo 3), a distribuição normal pode assumir qualquer valor dentro dos
limites de um intervalo em torno daquele valor específico, como exemplo “2,5 e 3,5 parafusos”, conforme ilustrado abaixo.
A aplicação da correção da continuidade prevê o ajuste de -0,5 ou + 0,5 ao valor de x, conforme as situações listadas abaixo.
100,5
No máximo
100 (inclui)
99,5
Menor que
100
100,5
Maior que
100
99,5
Pelo menos/
no mínimo 100 (inclui)
99,5 100,5
Exatamente
100
parafusos parafusos parafusos
a) b)
c) d) e)
Normal
Binomial
0.27
0.37
0.23
0.08
0.003
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 1 2 3 4
Número de parafusos defeituosos
Produção da máquina
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de parafusos defeituosos
Produção da máquina
Probabilidade
Probabilidade
Curva
normal
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  • 1.
  • 2. Engenharia de Produção - 2 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada EMENTA: Probabilidades e seus eventos. Probabilidade condicional. Eventos independentes. Teorema de Bayes. Variáveis aleatórias: distribuição, esperança e variabilidade. Distribuições de probabilidades discretas e contínuas. Inferência: População e amostra. Métodos de amostragem. Distribuição amostral. Intervalos de confiança. Teste de hipóteses. Correlação e Regressão. OBJETIVO: Possibilitar aos estudantes o acesso a conceitos e procedimentos fundamentais da metodologia estatística, como ferramenta de suporte à tomada de decisão e à abordagem cientifica de populações, sistemas e processos, nas áreas de engenharia, indústria, comercio e serviços. Engenharia de Produção UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA Mestrado em Engenharia de Produção pela UNESP Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras- UFLA Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC Técnico em Segurança, Saúde e Higiene do Trabalho-ETPC Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC Professor na UNIFOA para o curso de Pós graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho. Professor na Associação Educacional Dom Bosco - AEDB para os cursos de Administração e Engenharia de Produção nas disciplinas de Segurança do Trabalho e Estatística. Professor da Universidade Estácio de Sá - UNESA nas disciplinas de Gestão Financeira de Empresas, Fundamentos da Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e Estatística, Ergonomia, Higiene e Segurança do Trabalho, Gestão de Segurança e Análise de Processos Industriais, Gestão da Qualidade: programa 5S (curso de férias). Ex-professor na Universidade Barra Mansa – UBM para os cursos de Engenharia de Produção e de Petróleo na disciplina de Segurança do Trabalho. Ex-professor Conteudista na UNESA (elaboração de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional). Ex - professor na Escola Técnica Bom Pastor nas disciplinas de Estatística Aplicada, Estatística de Acidentes do Trabalho, Probabilidades, Contabilidade Básica de Custos, Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na Engenharia de Construção Civil e Higiene do Trabalho. Ex-professor do SENAI. Desenvolvedor e instrutor de diversos cursos corporativos na CSN, a níveis Estratégicos, Táticos e Operacionais. Membro do IBS–Instituto Brasileiro de Siderurgia. ESTATÍSTICA APLICADA - 2017
  • 3. “Atualmente, todos – estudantes e professores – procuram o Udemy porque é a plataforma onde todos estão”. Fonte: Jornal do Brasil www.udemy.com Junte-se a milhões de estudantes na maior plataforma on-line de cursos curtos e práticos do mundo. Com mais de 45.000 cursos virtuais disponíveis, o Udemy é uma plataforma global de ensino on-line onde 15 milhões de alunos estão dominando novas habilidades. O foco do Udemy são os conhecimentos práticos e úteis para o mercado de trabalho. Há cursos gratuitos e pagos. São cursos curtos e com valores bem acessíveis. Faça o curso online na Udemy Estatística I (para leigos): aprenda fácil e rápido! Com o Prof. MSc. Uanderson Rébula Saiba mais Clique aqui "O livro digital Estatística I para leigos possui uma linguagem fácil e ao mesmo tempo dinâmica. O conteúdo do livro está ordenado de forma a facilitar a aprendizagem dos alunos, mesmo aquelas pessoas que não tenham noção nenhuma de estatística aprenderão com esse livro. Você pode estudar sozinho para concursos pois o livro é auto explicativo ou até mesmo em grupos, no meu caso faço isso com meus alunos. Eu super recomendo esse livro!!! NOTA 1000" Maria Eunice Souza Madriz Professora de estatística da rede estadual de ensino da Bahia Avaliação do livro pelo cliente na amazon.com.br
  • 4. Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira Sumário Uma mensagem do Prof. MSc Uanderson Rébula. CLIQUE NO VÍDEO CLIQUE AQUI E INSCREVA-SE NO CURSO JÁ
  • 5. Engenharia de Produção - 3 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA Uma das ferramentas mais utilizadas hoje em dia pelos cientistas, analistas financeiros, médicos, engenheiros, jornalistas etc. é a Estatística, que descreve os dados observados e desenvolve a metodologia para a tomada de decisão em presença da incerteza. O verbete estatística foi introduzido no século XVIII, tendo origem na palavra latina status (Estado), e serviu inicialmente a objetivos ligados à organização político-social, como o fornecimento de dados ao sistema de poder vigente. Hoje em dia, os modelos de aplicação da Teoria Estatística se estendem por todas as áreas do conhecimento, como testes educacionais, pesquisas eleitorais, análise de riscos ambientais, finanças, controle de qualidade, análises clínicas, índices de desenvolvimento, modelagem de fenômenos atmosféricos etc. Podemos informalmente dizer que a Teoria Estatística é uma ferramenta que ajuda a tomar decisões com base na evidência disponível, decisões essas afetadas por margens de erro, calculadas através de modelos de probabilidade. No entanto, a probabilidade se desenvolveu muito antes de ser usada em aplicações da Teoria Estatística. Um dos marcos consagrados na literatura probabilística foi a correspondência entre B. Pascal (1623-1662) e P. Fermat (1601- 1665), onde o tema era a probabilidade de ganhar em um jogo com dois jogadores, sob determinadas condições. Isso mostra que o desenvolvimento da teoria de probabilidades começou com uma paixão humana, que são os jogos de azar, mas evoluiu para uma área fortemente teórica, em uma perspectiva de modelar a incerteza, derivando probabilidades a partir de modelos matemáticos. A análise combinatória deve grande parte de seu desenvolvimento à necessidade de resolver problemas probabilísticos ligados à contagem, mas hoje há diversas áreas em que seus resultados são fundamentais para o desenvolvimento de teorias, como, por exemplo, a área de sistemas de informação. Nesta apostila encontraremos as definições de Probabilidades, esperança e variabilidade de probabilidades e distribuições contínuas e discretas de probabilidades. Inferência: Intervalos de confiança e muito mais.
  • 6. Engenharia de Produção - 4 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Falou mais o Senhor a Moisés, no deserto de Sinai, na tenda da congregação, no primeiro dia do mês segundo, no segundo ano da sua saída da terra do Egito, dizendo: Tomai a soma de toda a congregação dos filhos de Israel, segundo as suas gerações, segundo a casa dos seus pais, conforme o número dos nomes de todo o varão, cabeça por cabeça; Da idade de vinte anos e para cima, todos os que saem à guerra em Israel; a estes contareis segundo os seus exércitos, tu e Aarão. Estará convosco, de cada tribo, um homem que seja cabeça da casa dos seus pais. Todos os contados, pois, foram seiscentos e três mil, quinhentos e cinquenta. Números 1: 1-4; 46
  • 7. Engenharia de Produção - 5 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Sumário 1–INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE (REVISÃO) PROBABILIDADE BÁSICA Revisão de Contagem e Probabilidade, 7 Probabilidade com eventos complementares,8 ADIÇÃO DE PROBABILIDADES Probabilidade com eventos mutuamente exclusivos, 9 Probabilidade com eventos NÃO mutuamenteexclusivos, 9 PROBABILIDADE CONDICIONAL E MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES Probabilidade com eventos dependentes, 10 Multiplicaçãode probabilidade com eventos dependentes, 12 Multiplicaçãode probabilidade com eventosindependentes, 13 Teorema de Bayes, 14 Apêndice A– Quadroresumo de probabilidades, 15 2–VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES,17 VALOR ESPERADO,19 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO,20 3–DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Distribuição Binomial, 22 Distribuição Hipergeométrica,30 Distribuição Geométrica, 32 Distribuição dePascal, 32 Distribuição Multinomial, 33 Distribuição dePoisson, 34 Poisson como aproximaçãopara aBinomial, 38 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS Distribuição Uniforme, 39 Distribuição Normal, 40 Normal comoaproximaçãopara aBinomial, 49 Normal comoaproximaçãopara aPoisson,51 Distribuição Exponencial,52 Distribuição deWeibull, 54 4–INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA INFERENCIAL CONCEITOS BÁSICOS EM ESTATÍSTICA INFERENCIAL Estatística inferencial, 56 Parâmetros e estatísticas, 56 TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICAS Amostragem aleatória simples, 57 Amostragem estratificada,58 Amostragempor conglomerado, 59 Amostragem sistemática, 61 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA,62 ESTIMATIVAS E TAMANHOS AMOSTRAIS Estimativapontual e intervalar,64 Intervalos de confiança – IC,64 Intervalos de confiança para média (amostrasgrandes),64 Determinação do tamanho da amostra,66 Intervalos de confiança para média (amostraspequenas), 66 Intervalos de confiança para Proporções P, 68 Determinação do tamanho da amostra para P, 68 Intervalos de confiança para o Desvio padrão,69 5–TESTE DE HIPÓTESE Conceitos introdutórios, 73 Teste de hipótese para média (amostras grandes),74 Teste de hipótese para média (amostras pequenas), 75 Teste de hipótese para proporção, 76 Teste de hipótese para o desviopadrão, 77 Teste para duas amostras – conceitos introdutórios, 80 Teste para diferença de duas médias (dependente),80 Teste para diferença de duas médias (independente), 82 6–CORRELAÇÃO E REGRESSÃO CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES Introdução e Diagrama de Dispersão, 84 CorrelaçãoLinear,84 Coeficiente de correlaçãode Pearson, 85 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES Introdução,87 Ajustamento da retaaos pontos grafados, 87 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS,89 ANEXO I–LIVROS RECOMENDADOS,89 ANEXO II– Software BIOESTAT,91 ANEXO III –ESTATÍSTICA NO EXCEL,92
  • 8. Engenharia de Produção - 6 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada É possível quantificar o acaso? CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
  • 9. Engenharia de Produção - 7 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Revisão de Contagem e Probabilidade Princípio Fundamental da Contagem Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas seqüenciais: etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6,7 ou 8 meses). Quais os resultados possíveis? Qual o prazo mais provável para conclusão total do projeto? Probabilidade Naipes Observe o baralho abaixo (Total de 52 cartas) Valete Dama Reis Ás (Paus) 13 cartas (Ouros) 13 cartas (Espadas) 13 cartas (Copas) 13 cartas Quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de o resultado: Sair um Ás de Ouros: Como temos somente 1 Ás de Ouros no baralho, então: A = {Ás} S = {52 cartas} → A = 1 → S = 52 Logo: P(A) = 1 = 0,019 = 1,9% 52 O resultado permite afirmar que existe a chance dela sair um “Ás de Ouros” em 1,9%. Sair um Reis: Como temos 4 Reis no baralho (um de Paus, um de Ouros, um de Espadas e um de Copas). Então: A = {R,R,R,R} S = {52 cartas} → A = 4 → S = 52 Logo: P(A) = 4 = 0,076 = 7,6% 52 O resultado permite afirmar que existe a chance de sair um Rei em 7,6%. 2 meses (2,6) = 8 mesesEtapa 1-Projeto Espaço amostral Projeto Etapa 2-Construção 3 meses 4 meses 6 meses 7 meses 8 meses (2,7) = 9 meses (2,8) = 10 meses (3,6) = 9 meses6 meses 7 meses 8 meses (3,7) = 10 meses (3,8) = 11 meses (4,6) = 10 meses6 meses 7 meses 8 meses (4,7) = 11 meses (4,8) = 12 meses É mais provável que o projeto seja concluído dentro de prazo de 10 meses. 3 x 3 = 9 figuras
  • 10. Engenharia de Produção - 8 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Interpretação de valores probabilísticos Os valores probabilísticos sempre são atribuídos em uma escala de 0 a 1 (ou 0% a 100%) Uma probabilidade próxima de 0 indica que é pouco provável que um evento ocorra, enquanto que próxima de 1 revela que um evento é quase certo. Outras probabilidades entre 0 e 1 representam o grau de possibilidade de um evento vir a ocorrer. A figura abaixo retrata a imagem da probabilidade como uma medida numérica da possibilidade de um evento ocorrer. A probabilidade como uma medida numérica da possibilidade de ocorrência de um evento Por exemplo, o meteorologista diz que a probabilidade de chover amanhã é de 0,4 (ou 40%). Assim, os 0,4 (ou 40%) de chances de chover amanhã podem significar que se você observar os dados obtidos a partir de um grande número de dias semelhantes ao tipo de dia esperado para amanhã, vai descobrir que choveu em 40% desses dias. Probabilidade com Eventos complementares É a probabilidade com todos os RESULTADOS que NÃO FAZEM PARTE DO EVENTO (A). Eventualmente, queremos determinar a probabilidade de um EVENTO NÃO OCORRER. Portanto, é o evento formado pelos resultados que não pertencem ao evento A. Sendo P( A ) a probabilidade de que ele não ocorra e P(A) a probabilidade de que ele ocorra, para um mesmo evento existe sempre a relação: Probabilidade com Evento complementar P(A ) = 1 – P(A) EXEMPLO No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado: Pela probabilidade clássica ser o número 2 Probabilidade com evento complementar NÃO ser o número 2 A={2} S={1,2,3,4,5,6} → A = 1 → S = 6 P(A) = 1 = 0,1666 6 P(A ) = 1 – P(A) = 1 – 0,1666 → 0,8333 ou 83,33% Aplicada para valores na forma unitária (ex.: 0,1666). O diagrama e Venn abaixo ilustra a relação entre o espaço amostral, o evento A e seu complemento A : 0 0,5 1 Possibilidade crescente de ocorrência Chance 50-50 0% 50% 100% Impossível improvável provável Certo Números que não podem representar probabilidade: 10 /5 120% -0,456 2 A 1 3 4 5 6 S P(A) = 16,66% P( A ) = 83,33% Probabilidade Clássica Probabilidade com Evento Complementar A Probabilidade do evento não ocorrer Probabilidade clássica AAA equação 1- P( A ) fundamenta-se na interpretação dos valores probabilísticos: 0 1 0,1666 A = 0,8333
  • 11. Engenharia de Produção - 9 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada ADIÇÃO DE PROBABILIDADES Probabilidade com Eventos mutuamente exclusivos É a probabilidade com eventos que não ocorrem ao mesmo tempo. Ou ocorre A ou ocorre B (A ou B). A ocorrência de um evento impossibilita a ocorrência do outro. Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um evento exclui a ocorrência de outro. É impossível ocorrer os eventos A e B ao mesmo tempo. Então, o termo “ou” indicará “adição de probabilidades”. Para encontrar a probabilidade de um evento ou outro ocorrer, adicionamos as probabilidades de cada evento: P(A ou B) = P(A) + P(B). Exemplo 1. Ao lançar um dado, a probabilidade de se tirar o 2 ou 5 é: Exemplo 2. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, a probabilidade de sair um Rei ou uma Dama é: A = {R,R,R,R } B = {D,D,D,D} S = {52 cartas → A = 4 → B = 4 → S = 52 P(AouB) = 4 + 4 = 8 = 0,1538 52 52 52 Exemplo 3. Numa urna estão 10 bolas, sendo 2 pretas (P), 5 amarelas (A) e 3 verdes (V). Pegando-se uma bola, qual a probabilidade de ela ser preta ou verde? A = {P,P } B= {V,V,V} S = {10} → A = 2 → B = 3 → S = 10 P(AouB) = 2 + 3 = 5 = 0,5 10 10 10 Probabilidade com Eventos NÃO mutuamente exclusivos É a probabilidade com Eventos que podem ocorrer ao mesmo tempo. Ou ocorre A ou B ou AMBOS (A e B). A ocorrência de um NÃO impossibilita a ocorrência do outro. Dois eventos NÂO são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um evento não exclui a ocorrência de outro. É possível ocorrer os eventos A e B ao mesmo tempo. O termo “ou”, indicará “adição” e “e” indicará “ambos” Exemplo 1 Ao lançar um dado, a probabilidade de obter um número ímpar ou menor que 3 é: Os eventos A e B não são mutuamente exclusivos, pois “1” ocorre em A e B (ambos). Se aplicarmos P(AouB) = P(A) + P(B) teremos: 3 /6 + 2 /6 = 5 /6. Observe no diagrama que este resultado está incorreto, pois P(AouB) = 4 /6. Este erro foi provocado pela dupla contagem de “1”. Neste caso, ajustaremos a regra da soma para evitar a dupla contagem. A equação será: P(AouB) = P(A) + P(B) – P(A e B) Então, a probabilidade de lançar um número ímpar ou menor que 3 será: A = {1,3,5} B = {1,2} A e B = {1} S = {1,2,3,4,5,6} → A = 3 → B = 2 → A e B = 1 → S = 6 P(AouB) = 3 + 2 - 1 = 4 = 0,6666 6 6 6 6 Exemplo 2 Numa pesquisa sobre a preferência de dois jornais, consultamos 470 pessoas, sendo que 250 lêem o jornal A, 180 lêem o jornal B e 60 lêem os jornais A e B. Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de que seja: a) Leitor dos jornais A ou B? A = {250} B = {180} A e B = {60} S = {470} P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 250 + 180 – 60 = 370 = 0,7872 470 470 470 470 A = {2} B = {5} S = {1,2,3,4,5,6} → A = 1 → B = 1 → S = 6 P(A ou B) = 1 + 1 = 2 = 0,3333 6 6 6 “ou” indica Adição de probabilidades. P(A ou B) = P(A) + P(B) B 60 Jornal Jornal A A e B * Regra da soma para três eventos: P(A ou B ou C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A e B) - P(B e C) + P(A e B e C) A 1 3 4 6 S B 5 ou2 4 6 SB 5 2 A e B (Ambos) 1 Menor que 3ímpar 3 A
  • 12. Engenharia de Produção - 10 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada PROBABILIDADE CONDICIONAL E MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES Probabilidade com Eventos dependentes É a probabilidade do Evento B ocorrer, dado que o evento A já tenha ocorrido. Diz-se probabilidade condicional quando a ocorrência de um evento está condicionada à ocorrência do outro. Portanto, os eventos são dependentes. A probabilidade de um é alterada pela existência do outro. A probabilidade condicional do Evento B, dado que A ocorreu é denotada por: Ao calcular P(B|A) tudo se passa como se P(A) fosse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual, queremos calcular a probabilidade de B. Não utilizamos o espaço amostral original. P(B|A) = P(A e B) P(A) → espaço amostral de A, “reduzido” Exemplo 1. Ao lançar um dado, observou-se um número maior que 2 (evento A ocorreu). Qual a probabilidade de esse número ser o “5” (evento B)? Espaço amostral original S = {1,2,3,4,5,6} O evento A ocorreu e queremos saber o B (dentro de A): A = {3, 4, 5, 6} P(B|A) será a probabilidade de ocorrer o número 5 no novo espaço amostral reduzido de A. Então: Observe que não usamos o espaço amostral original S. A e B = {5} → 1 A = {3,4,5,6} → 4 P(B|A) = P(A e B) → 1 = 0,25 P(A) 4 EXEMPLO 2 Ao lançar um dado, observou-se um número maior que 1 (evento A ocorreu). Qual é a probabilidade de esse número ser ímpar (Evento B)? Espaço amostral original S = {1,2,3,4,5,6} O evento A ocorreu e queremos saber o B (dentro de A): A = {2, 3, 4, 5, 6} P(B|A) será a probabilidade de ocorrer número ímpar no novo espaço amostral reduzido de A. Então: Observe que não usamos o espaço amostral original S A e B = {3,5} → 2 A = {2,3,4,5,6} → 5 P(B|A) = P(A e B) → 2 = 0,40 P(A) 5 EXEMPLO 3 Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho. Qual a probabilidade de que a 2ª carta seja uma dama, dado que a 1ª seja um rei. (assuma que o rei está sem reposição). Solução. Em razão de a primeira carta ser um rei e não ser a resposta, o baralho restante tem 51 cartas, 4 das quais são dama. Então: P (B|A) = 4 = 0,078 51 EXEMPLO 4 Cinco cartas são selecionadas em sequência em um baralho. Qual a probabilidade de que a 5ª carta seja uma dama. Dado que a 1ª = rei; 2ª = dama; 3ª = 8 ; 4ª = Ás. (assuma que não há reposição). Solução. Em razão de a 1ª = rei; 2ª = dama; 3ª = 8 ; 4ª = Ás, o baralho restante tem 48 (52-4) cartas, 3 das quais são dama. Então: P (E|A,B,C,D) = 3 = 0,062 48 Note que o espaço amostral original foi reduzido Maior que 1 ímpar A Novo espaço amostral 4 6 1 2 Maior que 2 Ser o 5 A Novo espaço amostral 6 5 1 2 ocorreu (lê-se “probabilidade de B, dado que A ocorreu”) 4 3 B = {5} 3 5 B = {3, 5} B B
  • 13. Engenharia de Produção - 11 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada EXEMPLO 5 Numa pesquisa sobre a preferência de dois jornais, consultamos 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 lêem o jornal A, 180 lêem o jornal B, 60 lêem os jornais A e B. Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de: a) Um leitor do jornal A, também ser leitor do B? O evento A ocorreu e queremos saber o B. Então, denotamos P(B|A). Dentre os leitores do Jornal A, devemos destacar os que lêem B; logo, o espaço amostral desse evento é A (190+60=250). Então, a probabilidade é: A e B = {60} → 60 A= {190+60} → 250 P(B|A)=P(A e B) → 60 = 0,24 P(A) 250 b) Um leitor do jornal B, também ser leitor do A? O evento B ocorreu e queremos saber o A. Então, denotamos P(A|B). Dentre os leitores do Jornal B, devemos destacar os que lêem A; logo, o espaço amostral desse evento é B (120+60=180). Então, a probabilidade é: A e B = {60} → 60 B= {120+60} → 180 P(A|B)=P(A e B) → 60 = 0,33 P(B) 180 EXEMPLO 6. O quadro abaixo mostra os resultados de um estudo no qual os pesquisadores examinaram o QI de uma criança e a presença de um gene específico nela. Gene presente Gene não presente QI alto QI normal 33 39 19 11 52 50 72 30 102 A probabilidade de que a criança tenha um QI alto (Evento B), dado que a criança tenha o gene (Evento A) é? Solução. Há 72 crianças que têm o gene. Então, o espaço amostral consiste dessas 72 crianças. Dessas, 33 tem QI alto. Então: P (B|A) = 33 = 0,458 72 EXEMPLO 7 Em um lote de 12 peças, 8 são de “qualidade” e 4 são “defeituosas”. Ao selecionar duas peças em sequência, sem reposição, qual a probabilidade de: a 2ª peça ser “defeituosa”, dado que a 1ª é “defeituosa”. Solução. Em razão de a 1ª peça ser defeituosa, o lote restante tem 11 peças, 3 das quais são defeituosas. Então: P (B|A) = 3 = 0,2727 11 a 2ª peça ser “defeituosa”, dado que a 1ª é de “qualidade”. Solução. Em razão de a 1ª peça ser de qualidade, o lote restante tem 11 peças, 4 das quais são defeituosas. Então: P (B|A) = 4 = 0,3636 11 a 2ª peça ser de “qualidade”, dado que a 1ª é “defeituosa”. Solução. Em razão de a 1ª peça ser defeituosa, o lote restante tem 11 peças, 8 das quais são de qualidade P (B|A) = 8 = 0,7272 11 Jornal Jornal BJornal Jornal A 190 120 60Novo espaço amostral 120 B Novo espaço amostral 60190 A
  • 14. Engenharia de Produção - 12 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Multiplicação de probabilidade com eventos dependentes ...ache P(A e B) , dado P(B|A) e P(A) Uma consequência matemática importante da definição de probabilidade condicional é a seguinte: P(B|A) = P(A e B) P(A) se quero achar: P(B|A) = ? então → P(A e B) P(A) P(A e B) = P(A) x P(B|A) Isto é, a probabilidade dos eventos (A e B) é o produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado o primeiro. EXEMPLO 1 Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de selecionar um Rei e uma Dama? (não há reposição). A probabilidade de a 1ª carta ser um Rei é 4 /52. A 2ª carta ser uma Dama é 4 /51, pois o baralho restante tem 51 cartas, 4 das quais são dama. P(A e B) = ? P(A) = 4 /52 P(B|A) = 4 /51 P(A e B) = P(A) x P(B|A) 4 x 4 → 16 = 0,006 52 51 2652 EXEMPLO 2 Em um lote de 12 peças, 8 são de “qualidade” e 4 são “defeituosas”. Sendo retiradas duas peças em sequência, qual a probabilidade de que: (não há reposição) a) Ambas sejam “defeituosas” b) Ambas sejam de “qualidade” P(A e B) = ? P(A) = 4 /12 P(B|A) = 3 /11 4 x 3 = 0,090 12 11 P(A e B) = ? P(A) = 8 /12 P(B|A) = 7 /11 8 x 7 = 0,4242 12 11 A probabilidade de a 1ª peça ser defeituosa é 4 /12 e a 2ª é 3 /11, pois o lote restante tem 11 peças, 3 das quais são defeituosas. A probabilidade de a 1ª peça ser de qualidade é 8 /12 e a 2ª é 7 /11, pois o lote restante tem 11 peças, 7 das quais são de qualidade. EXEMPLO 3 Uma urna contém 7 bolas brancas (B) e 3 pretas (P). Extraindo-se três bolas em sequência, qual a probabilidade de que: (não há reposição). a) As duas primeiras sejam brancas e a terceira seja preta (ou seja, BBP) A probabilidade de a 1ª bola ser branca é 7 /10 e a 2ª é 6 /9. A probabilidade de a 3ª bola ser preta é 3 /8, pois a urna restante tem 8 peças, 3 das quais são pretas. P(A) = 7 /10 P(B|A) = 6 /9 P(C|B) = 3 /8 7 x 6 x 3 = 0,175 10 9 8 b) Duas sejam brancas e uma seja preta (ou seja: BBP, BPB ou PBB) = 3[BBP] O evento sair “duas brancas e uma preta” pode ocorrer de três maneiras que diferem apenas pela ordem de aparecimento das bolas: (BBP, BPB, PBB). Logo, a probabilidade será a soma dessas maneiras. Então, basta calcular a probabilidade de uma dessas maneiras (por exemplo, a primeira) e multiplicar por 3. Então: 3(BBP). P(A) = 7 /10 P(B|A) = 6 /9 P(C|B) = 3 /8 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • 8 3 x 9 6 x 10 7 3 = 0,525 c) Pelo menos duas sejam brancas (ou seja: 3[BBP] + [BBB]) 2 brancas 3 brancas “Pelo menos duas brancas“ é a mesma coisa que “no mínimo duas brancas”, ou seja, duas ou três brancas. Então, calculamos duas brancas + três brancas. 3[BBP] P(A) = 7 /10 P(B|A) = 6 /9 P(C|B) = 3 /8 [BBB] P(A) = 7 /10 P(B|A) = 6 /9 P(C|B) = 5 /8 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • 8 3 x 9 6 x 10 7 3 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 8 5 x 9 6 x 10 7 = 0,8166 d) No máximo uma seja branca (ou seja: [PPP] + 3[PPB]) 0 branca 1 branca No máximo uma branca é a mesma coisa que “ou nenhuma branca ou uma branca”. Então, calculamos nenhuma branca (todas pretas) + uma branca. [PPP] P(A) = 3 /10 P(B|A) = 2 /9 P(C|B) = 1 /8 3[PPB] P(A) = 3 /10 P(B|A) = 2 /9 P(C|B) = 7 /8 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 8 1 x 9 2 x 10 3 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • 8 7 x 9 2 x 10 3 3 = 0,1833 e) Pelo menos uma seja preta. (ou seja: 3[PBB] + 3[PPB] + [PPP]) 1 preta 2 pretas 3 pretas 3[PBB] P(A) = 3 /10 P(B|A) = 7 /9 P(C|B) = 6 /8 3[PPB] P(A) = 3 /10 P(B|A) = 2 /9 P(C|B) = 7 /8 [PPP] P(A) = 3 /10 P(B|A) = 2 /9 P(C|B) = 1 /8 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • 8 6 x 9 7 x 10 3 3 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • 8 7 x 9 2 x 10 3 3 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 8 1 x 9 2 x 10 3 = 0,7083 MÉTODO ALTERNATIVO: É mais prático usar o evento complementar: 1 – BBB (nenhuma preta) [BBB] P(A) = 7 /10 P(B|A) = 6 /9 P(C|B) = 5 /8 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 8 5 x 9 6 x 10 7 1 = 0,7083 f) Todas sejam da mesma cor: [PPP]+[BBB] = 0,30
  • 15. Engenharia de Produção - 13 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Multiplicação de Probabilidade com Eventos independentes É quando a ocorrência do Evento A não afeta a probabilidade da ocorrência do B. Não existe dependência. A e B podem ocorrer simultaneamente (ao mesmo tempo). São independentes. A regra da multiplicação é usada para achar P(A e B) para eventos independentes. Aqui associaremos a palavra “e” com “multiplicação”. O termo chave usado é “simultâneo”. A equação é : P(A e B) = P(A) x P(B). Existe reposição Exemplo 1. Ao lançar dois dados simultaneamente, qual a probabilidade de: Obter o número 2 e ímpar ? Pelo Diagrama de árvore: (2,1), (2,3), (2,5) Então, a probabilidade é: 3 = 8,33% 36 Se aplicarmos a regra da multiplicação, temos: A={2} B={1,3,5} S={1,2,3,4,5,6} → A = 1 → B = 3 → S = 6 P(A e B) = P(A) x P(B) 1 x 3 = 3 = 8,33% 6 6 36 Obter um número par e ímpar ? Pelo Diagrama de árvore (2,1), (2,3), (2,5) (4,1), (4,3), (4,5) (6,1), (6,3), (6,5) Então, a probabilidade é: 9 = 25% 36 Aplicando a regra da multiplicação, temos: A={2,4,6} B={1,3,5} S={1,2,3,4,5,6} → A = 3 → B = 3 → S = 6 P(A e B) = P(A) x P(B) 3 x 3 = 9 = 25% 6 6 36 Esta regra pode ser estendida para qualquer número de eventos independentes: P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C)... O resultado do evento B independe do resultado de A. “São independentes” Exemplo 2. Cirurgias de microfraturas no joelho têm 75% de chance de Sucesso em pacientes com joelhos degenerativos (25% é de fracasso). A cirurgia é realizada em 3 pacientes. Calcule a probabilidade de que: Nota: A probabilidade de que cada cirurgia seja um sucesso é de 0,75. A chance de um sucesso para uma cirurgia é independente das chances para as outras cirurgias. Portanto, os eventos são independentes. a) As três cirurgias sejam um sucesso. ou seja:[SSS] [SSS] P(A) = 0,75 P(B) = 0,75 P(C) = 0,75 P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C) 0,75 x 0,75 x 0,75 = 0,4218 b) As três cirurgias sejam um fracasso. ou seja:[FFF] [FFF] P(A) = 0,25 P(B) = 0,25 P(C) = 0,25 P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C) 0,25 x 0,25 x 0,25 = 0,0156 c) Duas cirurgias sejam um sucesso (ou seja: SSF, SFS, FSS) = 3[SSF] O evento “Duas cirurgias” pode ocorrer de três maneiras que diferem apenas pela ordem dos resultados das cirurgias: (SSF, SFS, FSS). Logo, a probabilidade será a soma dessas maneiras. Então, basta calcular a probabilidade de uma dessas maneiras (por exemplo, a primeira) e multiplicar por 3. Então: 3(SSF). P(A) = 0,75 P(B) = 0,75 P(C) = 0,25 3 * (0,75*0,75*0,25) = 0,4218 1 1 2 3 4 5 6 ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 2 1 2 3 4 5 6 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 3 1 2 3 4 5 6 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 4 1 2 3 4 5 6 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 5 1 2 3 4 5 6 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 6 1 2 3 4 5 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) Lançar dois dados 1 1 2 3 4 5 6 ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 1 1 2 3 4 5 6 ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 2 1 2 3 4 5 6 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 2 1 2 3 4 5 6 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 3 1 2 3 4 5 6 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 3 1 2 3 4 5 6 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 4 1 2 3 4 5 6 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 4 1 2 3 4 5 6 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 5 1 2 3 4 5 6 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 5 1 2 3 4 5 6 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 6 1 2 3 4 5 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) 6 1 2 3 4 5 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) Lançar dois dados S = {36}Evento A e Evento B
  • 16. Engenharia de Produção - 14 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Teorema de Bayes (THOMAZ BAYES – 1701-1761 – MATEMÁTICO) É uma extensão da probabilidade condicional, que procura responder a pergunta: sabendo-se que o evento A ocorreu, qual a probabilidade de que esse evento tenha provindo de X? Usamos o Teorema de Bayes para rever probabilidades com base em informação adicional obtida posteriormente. Uma idéia-chave para se entender a essência do teorema é reconhecer que estamos trabalhando com eventos sequenciais, pelos quais novas informações são obtidas para se rever a probabilidade do evento inicial. Nesse contexto, os termos probabilidade a priori e probabilidade a posteriori são comumente usados. Uma probabilidade a priori é um valor de probabilidade inicial originalmente obtido antes que seja obtida qualquer informação adicional. Uma probabilidade a posteriori é um valor de probabilidade que foi revisto usando-se informação adicional obtida posteriormente. O teorema de Bayes pode ser obtido por meio de tabelas, diagrama de árvore e pela equação de Bayes. Exemplo 1. Usando um Diagrama de Árvore e a Equação de Bayes As máquinas A e B são responsáveis por 65% e 35%, respectivamente, da produção de uma empresa. Os índices de peças defeituosas na produção destas respectivas máquinas valem 2% e 5%. Se uma peça defeituosa foi selecionada da produção desta empresa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina A? Resolução: Portanto, ao selecionar uma peça, atribuímos as probabilidades iniciais: P(A) = 0,65 e P(B) = 0,35, incluindo as peças perfeitas e defeituosas. Denotamos P = peça perfeita e D = peça defeituosa Pelo Diagrama de Árvore A probabilidade da peça sair defeituosa, seja da máquina A ou B, é 0,0305 (0,0130+0,0175), que é a probabilidade total da peça sair defeituosa. Se queremos saber a probabilidade de a peça defeituosa ter sido produzida pela máquina A, será: 0,0130 = 0,4262 0,0305 Enquanto que ter sido produzida pela máquina B será: 0,0175 = 0,5738 0,0305 Pela equação de Bayes A equação de Bayes é dada por P(A1) . P(B|A1) P(x) = P(A1) . P(B|A1) + P(A2) . P(B|A2) Sendo o numerador a probabilidade condicionada procurada, o denominador a probabilidade total condicionada, podendo estender a P(An) . P(B|An). Usando a equação de Bayes e as probabilidades do exemplo 1, referente ao cálculo da peça defeituosa ter sido produzida pela máquina A, temos: P(A1) = 0,65 (peça ser produzida pela máquina A) P(B|A1) = 0,02 (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina A) P(A2) = 0,35 (peça ser produzida pela máquina B) P(B|A2) = 0,05 (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina B) (0,65) . (0,02) P(x) = (0,65) . (0,02) + (0,35) . (0,05) = 0,4262 Exemplo 2. As máquinas A e B são responsáveis por 400 e 150, respectivamente, da produção de peças de uma empresa. A quantidade de peças defeituosas produzidas pelas respectivas máquinas são 10 e 20. Se uma peça defeituosa foi selecionada da produção, qual a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina B? O total de peças produzidas é igual a 550 (400+150), logo: A P(A1) = 0,727 ( 400 /550) (peça ser produzida pela máquina A) P(B|A1) = 0,025 ( 10 /400) (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina A) B P(A2) = 0,272 ( 150 /550) (peça ser produzida pela máquina B) P(B|A2) = 0,133 ( 20 /150) (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina B) Logo, a probabilidade da peça ser defeituosa e ter sido produzida pela máquina B será: P(A2) . P(B|A2) P(x) = P(A2) . P(B|A2) + P(A1) . P(B|A1) (0,272) . (0,133) P(x) = (0,272) . (0,133) + (0,727) . (0,025) = 0,6661 Peça fabricada 0,65 0,35 máquina A máquina B Peça perfeita Peça defeituosa 0,98 0,02 Peça perfeita Peça defeituosa 0,95 0,05 P(A) * (P|A) = 0,6370 P(A) *(D|A) = 0,0130 P(B) * (P|B) = 0,3325 P(B) * (D|B) = 0,0175 +
  • 17. Engenharia de Produção - 15 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada APÊNDICE A - QUADRO RESUMO DE PROBABILIDADES - Probabilidade Clássica P(A) = _n(A)_ → S → número de elementos no evento A___ espaço amostral Probabilidade com Eventos complementares É a probabilidade com todos os RESULTADOS que NÃO FAZEM PARTE DO EVENTO A. P( A ) = 1 – P(A) P( A ) – Probabilidade do evento não ocorrer P(A) – Probabilidade do evento ocorrer ADIÇÃO DE PROBABILIDADES Probabilidade com Eventos mutuamente exclusivos É a probabilidade com Eventos que não podem ocorrer ao mesmo tempo. A ocorrência de um impossibilita a ocorrência do outro. Ou ocorre A ou ocorre B. (A ou B) Probabilidade com Eventos NÃO mutuamente exclusivos É a probabilidade com Eventos que podem ocorrer ao mesmo tempo. A ocorrência de um NÃO impossibilita a ocorrência do outro. Ou ocorre A ou B ou ocorre AMBOS (A e B). PROBABILIDADE CONDICIONAL E MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES Probabilidade com Eventos dependentes É a probabilidade do Evento B ocorrer, dado que o A já tenha ocorrido. P(B|A) = P(A e B) Multiplicação: P(A e B) = P(A) x P(B|A) P(A) Probabilidade com Eventos independentes É quando a ocorrência do Evento A não afeta a probabilidade da ocorrência do B. Ocorre A e B. Os dois ocorrem simultaneamente. São independentes. P(A e B) = P(A) x P(B) Ao lançar um dado, a probabilidade de se tirar o 3 ou 5 é: A = {2} B = {5} S = {1,2,3,4,5,6} → A = 1 → B = 1 → S = 6 P(A ou B)= 1 + 1 = 2 = 33,33% 6 6 6 1 1 2 3 4 5 6 ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 2 1 2 3 4 5 6 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 3 1 2 3 4 5 6 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 4 1 2 3 4 5 6 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) Lançar dois dados 1 1 2 3 4 5 6 ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 1 1 2 3 4 5 6 ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 2 1 2 3 4 5 6 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 2 1 2 3 4 5 6 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 3 1 2 3 4 5 6 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 3 1 2 3 4 5 6 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 4 1 2 3 4 5 6 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 4 1 2 3 4 5 6 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) Lançar dois dados Ao lançar dois dados simultaneamente, qual a probabilidade de: Obter o número 2 e ímpar? Pelo Diagrama de árvore, temos: (2,1), (2,3), (2,5) Então, a probabilidade é: 3 = 16,66% 36 ao aplicarmos a regra da multiplicação o resultado é o mesmo! A={2} B={1,3,5} S={1,2,3,4,5,6} → A = 1 → B = 3 → S = 6 P(AeB) = P(A) x P(B) 1 x 3 = 3 = 16,66% 6 6 36
  • 18. Engenharia de Produção - 16 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Construindo modelos teóricos... É possível criar um modelo teórico que descreva como se espera que o experimento se comporte? CAPÍTULO 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1 1 2 3 4 5 6 ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 2 1 2 3 4 5 6 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 3 1 2 3 4 5 6 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 4 1 2 3 4 5 6 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 5 1 2 3 4 5 6 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 6 1 2 3 4 5 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) Lançar dois dados 1 1 2 3 4 5 6 ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 1 1 2 3 4 5 6 ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 2 1 2 3 4 5 6 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 2 1 2 3 4 5 6 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 3 1 2 3 4 5 6 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 3 1 2 3 4 5 6 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 4 1 2 3 4 5 6 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 4 1 2 3 4 5 6 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 5 1 2 3 4 5 6 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 5 1 2 3 4 5 6 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 6 1 2 3 4 5 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) 6 1 2 3 4 5 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) Lançar dois dados 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Soma dos dados 6 /36 5 /36 4 /36 3 /36 2 /36 1 /36
  • 19. “Atualmente, todos – estudantes e professores – procuram o Udemy porque é a plataforma onde todos estão”. Fonte: Jornal do Brasil www.udemy.com Junte-se a milhões de estudantes na maior plataforma on-line de cursos curtos e práticos do mundo. Com mais de 45.000 cursos virtuais disponíveis, o Udemy é uma plataforma global de ensino on-line onde 15 milhões de alunos estão dominando novas habilidades. O foco do Udemy são os conhecimentos práticos e úteis para o mercado de trabalho. Há cursos gratuitos e pagos. São cursos curtos e com valores bem acessíveis. Faça o curso online na Udemy Estatística I (para leigos): aprenda fácil e rápido! Com o Prof. MSc. Uanderson Rébula Saiba mais Clique aqui "O livro digital Estatística I para leigos possui uma linguagem fácil e ao mesmo tempo dinâmica. O conteúdo do livro está ordenado de forma a facilitar a aprendizagem dos alunos, mesmo aquelas pessoas que não tenham noção nenhuma de estatística aprenderão com esse livro. Você pode estudar sozinho para concursos pois o livro é auto explicativo ou até mesmo em grupos, no meu caso faço isso com meus alunos. Eu super recomendo esse livro!!! NOTA 1000" Maria Eunice Souza Madriz Professora de estatística da rede estadual de ensino da Bahia Avaliação do livro pelo cliente na amazon.com.br
  • 20. Engenharia de Produção - 17 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Uma variável aleatória “X” representa um valor numérico associado a cada resultado de um experimento de probabilidade. Exemplo 1. A tabela e o gráfico abaixo representam um modelo de probabilidade para a soma de dois dados lançados simultaneamente: Soma dos dados “X” f Probabilidade “P(x)” 2 1 1 /36 3 2 2 /36 4 3 3 /36 5 4 4 /36 6 5 5 /36 7 6 6 /36 8 5 5 /36 9 4 4 /36 10 3 3 /36 11 2 2 /36 12 1 1 /36 - ∑=36 ∑=1 Notas e comentários A palavra “aleatório” indica que “X” é determinado pelo acaso. A variável aleatória é uma regra que associa um valor numérico a cada resultado experimental possível. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória descreve como as probabilidades estão distribuídas sobre os valores da variável aleatória. Para uma variável “X”, a distribuição de probabilidade é definida por uma função probabilidade, denotada por f(x). A função probabilidade fornece a probabilidade correspondente a cada um dos valores da variável aleatória. A principal vantagem de definir uma variável aleatória “X” e sua distribuição de probabilidade é que, uma vez que a distribuição seja conhecida, torna-se relativamente fácil determinar a probabilidade de uma série de eventos que podem ser do interesse de um tomador de decisões. É a lista de cada valor de uma variável aleatória “X” 1 1 2 3 4 5 6 ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 2 1 2 3 4 5 6 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 3 1 2 3 4 5 6 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 4 1 2 3 4 5 6 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 5 1 2 3 4 5 6 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 6 1 2 3 4 5 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) Lançar dois dados 1 1 2 3 4 5 6 ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 1 1 2 3 4 5 6 ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 2 1 2 3 4 5 6 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 2 1 2 3 4 5 6 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 3 1 2 3 4 5 6 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 3 1 2 3 4 5 6 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 4 1 2 3 4 5 6 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 4 1 2 3 4 5 6 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 5 1 2 3 4 5 6 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 5 1 2 3 4 5 6 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 6 1 2 3 4 5 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) 6 1 2 3 4 5 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) Lançar dois dados 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Soma dos dados 6 /36 5 /36 4 /36 3 /36 2 /36 1 /36 Representação gráfica da distribuição Distribuição de probabilidades Variáveis aleatórias(X) Valor numérico de cada experimento frequências
  • 21. Engenharia de Produção - 18 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Exemplo 2. Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas seqüenciais: etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). Definindo a variável aleatória “X” como o prazo para conclusão do projeto e, usando a Regra da Adição com as probabilidades no diagrama de árvore, você poderá determinar a probabilidade de ocorrência dos meses para conclusão do projeto. Então, poderá usar essa informação para estabelecer as distribuições de probabilidades: Conclusão do projeto (em meses) “X” f Probabilidade “P(x)” 8 1 1 /9 = 0,11 9 2 2 /9 = 0,22 10 3 3 /9 = 0,33 11 2 2 /9 = 0,22 12 1 1 /9 = 0,11 - ∑=9 ∑=1 Assim, podemos responder rapidamente alguns questionamentos: Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 8 meses? R.: 11% Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 9 meses? R.: 22% Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 10 meses? R.: 33% Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 10 ou 11 meses? R.: 55% Qual a probabilidade de o projeto ser concluído entre 9 e 11 meses? R.: 77% Exemplo 3. Uma pesquisa entrevistou 200 casas de um bairro sobre quantas televisões possuem. Os dados mostram que 3 casas não possuem televisão, 38 casas possuem 1 televisão, 95 casas possuem 2 televisões, 52 casas possuem 3 televisões e 12 casas possuem 4 televisões. Definimos a variável aleatória de interesse como “X” o número de televisões. A partir dos dados, sabemos que X é uma variável aleatória que pode assumir 0, 1, 2, 3, ou 4. Temos, então, a distribuição de probabilidades e o gráfico abaixo: Assim, podemos responder rapidamente alguns questionamentos: Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela não possuir televisão? R.: 1,5% Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 1 televisão? R.: 19% Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 2 televisões? R.: 47,5% Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 2 ou 3 televisões? R.: 73,5% Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir televisão? R.: 98,5% Nº de televisões “X” f (casas) Probabilidade “P(x)” 0 3 3 /200 = 0,015 1 38 38 /200 = 0,190 2 95 95 /200 = 0,475 3 52 52 /200 = 0,260 4 12 12 /200 = 0,060 - ∑=200 ∑=1 0.11 0.22 0.33 0.22 0.11 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Probabilidade 8 9 10 11 12 meses Prazo para conclusão do projeto 0.015 0.19 0.475 0.26 0.06 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Probabilidade 0 1 2 3 4 Númerode televisões Casas com televisões em um bairro
  • 22. Engenharia de Produção - 19 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada 1 1 2 3 4 5 6 ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 2 1 2 3 4 5 6 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 3 1 2 3 4 5 6 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 4 1 2 3 4 5 6 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 5 1 2 3 4 5 6 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 6 1 2 3 4 5 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) Lançar dois dados 1 1 2 3 4 5 6 ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 1 1 2 3 4 5 6 ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 2 1 2 3 4 5 6 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 2 1 2 3 4 5 6 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 3 1 2 3 4 5 6 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 3 1 2 3 4 5 6 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 4 1 2 3 4 5 6 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 4 1 2 3 4 5 6 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 5 1 2 3 4 5 6 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 5 1 2 3 4 5 6 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 6 1 2 3 4 5 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) 6 1 2 3 4 5 6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) Lançar dois dados VALOR ESPERADO E(X) O Valor esperado de variáveis aleatórias “X” é um valor que você esperaria acontecer em vários testes. Podemos considerar o Valor esperado no sentido de que é o valor médio que esperaríamos se o experimento fosse feito diversas vezes. Então, podemos dizer que o conceito de Valor esperado aplicado em uma variável aleatória é equivalente à Média ponderada dos possíveis valores que “X” pode receber, onde os pesos são as probabilidades associadas. É semelhante ao cálculo da Média de uma Distribuição de frequência. Obtemos, então, a seguinte fórmula: EQUAÇÃO DO VALOR ESPERADO Cada valor de X é multiplicado por sua probabilidade e os produtos são adicionados. O Valor esperado, representado por E(X), também é chamado de Média de uma Variável Aleatória, Esperança matemática, Esperança ou Expectância. E (X) = ∑ X . P(x) Exemplo 1. Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas seqüenciais: etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). Qual o prazo esperado para conclusão do projeto? Conclusão do projeto (em meses) X P(x) X . P(x) 8 0,11 0,88 9 0,22 1,98 10 0,33 3,30 11 0,22 2,42 12 0,11 1,32 - ∑=1 ∑ X.P(x) = 10 Valor esperado E(X) Interpretação: Espera-se que o projeto seja concluído em 10 meses NOTA: Posso fazer também da seguinte forma: E(X) = 8(0,11) + 9(0,22) + 10(0,33) + 11(0,22) + 12(0,11) = 10 meses Exemplo 2. A tabela abaixo representa um modelo de probabilidade para a soma de dois dados lançados simultaneamente. Qual o valor esperado para a soma dos dados? 3 Soma dos dados “X” Probabilidade “P(x)” X . P(x) 2 0,0278 0,0556 3 0,0556 0,1667 4 0,0833 0,3333 5 0,1111 0,5556 6 0,1389 0,8333 7 0,1667 1,1667 8 0,1389 1,1111 9 0,1111 1,0000 10 0,0833 0,8333 11 0,0556 0,6111 12 0,0278 0,3333 - ∑=1 ∑ X.P(x) = 7 Valor esperado E(X) Interpretação: Espera-se que a soma dos dados seja 7. NOTA: Posso fazer também da seguinte forma: E(X) = 2(0,0278) + 3(0,0556) + 4(0,0833) + 5(0,1111) 6(0,1389) + 7(0,1667) + 8(0,1389) + 9(0,1111) + 10(0,0833) + 11(0,0556) + 12(0,0278) = 7 Valor esperado de “X” Variáveis Aleatórias Probabilidades associadas x = x =
  • 23. Engenharia de Produção - 20 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Podemos aplicar os conceitos de Variância e Desvio Padrão para o Valor esperado E (X). Embora o Valor esperado de uma distribuição de probabilidades da variável aleatória descreva um resultado comum, ela não dá informações sobre a maneira que os resultados variam. Para estudar a variação dos resultados, você pode usar a variância e o desvio padrão de uma distribuição de probabilidades da variável aleatória. Então: FÓRMULA DA VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DO VALOR ESPERADO VARIÂNCIA S2 = ∑ (x – EX)2 . P(x) DESVIO PADRÃO S = 2s Exemplo Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas seqüenciais: etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). Qual o prazo esperado para conclusão do projeto, a variância e o desvio padrão? Então, a Variância é: S2 = 1,32 e o Desvio padrão é: S = 2s → S = 32,1 → 1,15 meses Podemos calcular também, sem montagem de tabela, da seguinte forma: S 2 = ∑ (x – EX) 2 .P(x) → (8-10)2 . (0,11) + (9-10)2 . (0,22) + (10-10)2 . (0,33) + (11-10)2 . (0,22) + (12-10)2 . (0,11) = 1,32 S = 32,1 → 1,15 meses Interpretação do desvio padrão: O Desvio padrão indica que a maioria dos valores de dados difere do Valor esperado não mais que 1,15 meses, para mais ou para menos. Então, podemos afirmar que os valores esperados estão dentro dos limites de: Conclusão do projeto (em meses) X P(x) X . P(x) (X – EX) 2 . P(x) 8 0,11 0,88 ( 8–10) 2 . (0,11) = 0,44 9 0,22 1,98 ( 9–10) 2 . (0,22) = 0,22 10 0,33 3,30 (10–10) 2 . (0,33) = 0 11 0,22 2,42 (11–10)2 . (0,22) = 0,22 12 0,11 1,32 (12–10) 2 . (0,11) = 0,44 Total ∑=1 EX = 10 ∑ = 1,32 Variáveis Aleatórias Valor esperado Probabilidades associadas Variância 8 meses 9 meses 10 meses 11 meses 12 meses E(X) 8,85 11,15
  • 24. Engenharia de Produção - 21 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas, conforme mostra o esquema abaixo. Em Probabilidade, existem as chamadas “distribuições de probabilidades” criadas por diversos estudiosos no tema, que podem ser discretas ou contínuas. As principais são listadas abaixo: DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Distribuição Binomial Distribuição Hipergeométrica Distribuição de Poisson DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS Distribuição Uniforme Distribuição Normal Distribuição Exponencial Distribuição de Erlang Distribuição de Weibull Veremos cada uma delas adiante. CAPÍTULO 3 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
  • 25. Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira Sumário Uma mensagem do Prof. MSc Uanderson Rébula. CLIQUE NO VÍDEO CLIQUE AQUI E INSCREVA-SE NO CURSO JÁ
  • 26. Engenharia de Produção - 22 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (JAKOB BERNOULLI 1654-1705) É um experimento de probabilidades para os quais os resultados de cada tentativa podem ser reduzidos a dois resultados: SUCESSO ou FRACASSO. Sucesso corresponde à probabilidade procurada enquanto que Fracasso à probabilidade não procurada, ou seja, o evento complementar. A palavra sucesso como usada aqui é arbitrária e não representa, necessariamente, algo bom. Qualquer uma das duas categorias pode ser chamada de sucesso, desde que seja a probabilidade procurada. A probabilidade Binomial é aplicada para Eventos independentes. A amostra é feita com reposição. Revisão de FATORIAL (O fatorial é usado na equação binomial, por isso a importância da revisão) FATORIAL é um procedimento matemático utilizado para calcular o produto de uma multiplicação cujos fatores são números naturais consecutivos, denotado por x!. Exemplos: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 30! = 30.29.28 . ... .1 0! = 1 5! = 5.4.3! = 20 3! 3! 5! = 5.4.3! = 5 3! 4 3! 4 5! = 5.4.3! = 10 3! (5-3)! 3! (2)! Para calcular 5! use a calculadora na tecla x! . Procedimento: Introduza 5 x! = 120 Há várias formas de encontrar probabilidade Binomial. Uma forma é usar um Diagrama de Árvore e a regra de multiplicação. Outra forma é usar a equação de probabilidade Binomial, onde usamos Fatorial. Podemos também usar tabelas. EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE BINOMIAL P(x) = n! . S x . F n - x x! (n - x)! Nota: p e q foram substituídos por S e F por fins didáticos. Exemplo 1. Usando um Diagrama de Árvore (evento independente) e a equação da probabilidade Binomial Cirurgias de microfaturas no joelho têm 75% de chance de sucesso em pacientes com joelhos degenerativos. A cirurgia é realizada em 3 pacientes. Encontre a probabilidade de a cirurgia ser um sucesso em 2 pacientes. Pelo Diagrama de Árvore ou Pela equação Binomial A probabilidade de sucesso em 1 paciente será: P(x)= 3! . 0,75 1 . 0,25 3 – 1 ≈ 0,141 1! (3-1)! Pelo Diagrama será (0,047+0,047+0,047) A probabilidade de não ter sucesso será: P(x)= 3! . 0,75 0 . 0,25 3 – 0 ≈ 0,016 0! (3-0)! Nota: x 0 = 1 1ª 2ª 3ª Resultado Sucessos Probabilidade (ev. indepen) S (S,S,S) 3 0,75 . 0,75 . 0,75 = 0,422 0,75 0,75 S F (S,S,F) 2 0,75 . 0,75 . 0,25 = 0,141 + S 0,25 S (S,F,S) 2 0,75 . 0,25 . 0,75 = 0,141 + F (S,F,F) 1 0,75 . 0,25 . 0,25 = 0,047 F S (F,S,S) 2 0,25 . 0,75 . 0,75 = 0,141 + 0,25 0,75 S F (F,S,F) 1 0,25 . 0,75 . 0,25 = 0,047 F 0,25 S (F,F,S) 1 0,25 . 0,25 . 0,75 = 0,047 F (F,F,F) 0 0,25 . 0,25 . 0,25 = 0,016F P(x) = n! . S x . F n - x x! (n - x)! n = 3 x = 2 S = 0,75 F = 0,25 (evento complementar) P(x)= 3! . 0,75 2 . 0,25 3 - 2 2! (3-2)! P(x)= 0,422 Há três resultados que têm dois sucessos e cada um tem uma probabilidade de 0,141. Aplicando a Regra da Adição, a probabilidade de a cirurgia ser um sucesso com dois pacientes é 0,422. (0,141 + 0,141 + 0,141) Usando a equação Binomial obtemos o mesmo resultado pelo método do Diagrama de árvore, de 0,422. F = probabilidade de Fracasso (evento complementar) S = probabilidade de Sucesso (evento procurado) n tamanho da amostra x nº sucessos na amostra
  • 27. Engenharia de Produção - 23 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Exemplo 2. Um levantamento estatístico realizado pelo IBGE constatou que a taxa de desemprego na cidade de Resende é da ordem de 13%. Ao tomarmos uma amostra de 30 pessoas, com reposição, qual a probabilidade de: a) 5 estarem desempregados 13% desemprego(Sucesso) 87% emprego(Fracasso) b) 28 estarem empregados c) 27 estarem empregados Para calcular 0,13 5 use a tecla X y ou ^. Introduza 0,13 X y 5 = 3,7-05 que é o mesmo que 0,000037 Exemplo 3. Uma caixa contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Tirando-se 5 bolas, COM REPOSIÇÃO, qual a probabilidade de saírem: a) 2 bolas pretas b) 4 bolas brancas Você pode usar o software BIOESTAT para calcular probabilidades Binomiais. Siga o caminho abaixo R resposta Para usar o Bioestat, basta incluir “n” tamanho da amostra e “x” nº sucessos na amostra. Observe que não é necessário incluir os dados do Fracasso. O próprio software já entende que o Fracasso será o valor restante. Ex.: Se Sucesso = 20%, então Fracasso = 80% (omitido no software). A resposta será o valor que está destacada no quadro azul. P(x) = n! . S x . F n - x x! (n - x)! a) 5 estarem desempregados n = 30 x = 5 S = 0,13 F = 0,87 P(x)= 30! . 0,13 5 . 0,87 30 - 5 5! (30-5)! P(x)= 142506 . 0,000037 . 0,0307 P(x) ≈ 0,1627 b) 28 estarem empregados n = 30 x = 28 S = 0,87 F = 0,13 P(x)= 30! . 0,87 28 . 0,13 30-28 28! (30-28)! P(x)= 435 . 0,0202 . 0,0169 P(x) ≈ 0,1489 c) 27 estarem empregados n = 30 x = 27 S = 0,87 F = 0,13 P(x)= 30! . 0,87 27 . 0,13 30-27 27! (30-27)! P(x)= 4060 . 0,0232 . 0,0021 P(x) ≈ 0,1978 a) 2 bolas pretas n = 5 x = 2 S = 0,20 ( 10 /50) F = 0,80 ( 40 /50) P = 5! . 0,20 2 . 0,80 5–2 ≈ 0,2048 2! (5-2)! b) 4 bolas brancas n = 5 x = 4 S = 0,80 ( 40 /50) F = 0,20 ( 10 /50) P = 5! . 0,80 4 . 0,20 5 –4 ≈ 0,4096 4! (5-4)! 87% emprego(Sucesso) 13% desemprego(Fracasso) Sucesso é o que se deseja estudar; Fracasso é o que não se deseja estudar
  • 28. Engenharia de Produção - 24 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Exemplo 4. Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de obter “3 caras” nessas cinco provas? Exemplo 5. Um dado é lançado 6 vezes. Qual a probabilidade de que a “face 4” apareça 2 vezes? Exemplo 6. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Qual a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos? * 1 /3 o time A pode ganhar, empatar ou perder. Logo, a probabilidade para cada evento é de 1 /3 Exemplo 7. Em uma fábrica, 3 em cada 10 peças são defeituosas. Uma remessa a um determinado cliente possui 5 peças. Determine a probabilidade de que, nessa remessa: 2 estejam defeituosas n = 5 (tamanho da amostra) x = 2 (nº sucessos da amostra) S = 0,30 ( = 3 /10 a p peça ser defeituosa) F = 0,70 (= 7 /10 a p peça ser perfeita) P(x) = 5! __ . 0,30 2 . 0,70 5–2 ≈ 0,3087 2! (5-2)! 4 estejam perfeitas n = 5 (tamanho da amostra) x = 4 (nº sucessos da amostra) S = 0,70 ( = 7 /10 a p peça ser perfeita) F = 0,30 (= 3 /10 a p peça ser defeituosa) P(x) = 5! __ . 0,70 4 . 0,30 5–4 ≈ 0,3602 4! (5-4)! DIFICULTANDO UM POUCO Exemplo 8. Uma máquina produz parafusos, dos quais 12% apresentam algum tipo de defeito. Calcular a probabilidade de, em um lote de 40 parafusos produzidos por essa máquina: a) Entre 3 e 5 parafusos estejam defeituosos, inclusive (ou seja: P3 + P4 + P5) Neste caso, calcularemos a probabilidade de 3, 4 e 5 parafusos defeituosos. Depois somamos as probabilidades. (Adição de Prob.) 3 parafusos defeituosos n = 40 x = 3 S = 0,12 F = 0,88 P = 40! . 0,12 3 . 0,88 40–3 ≈ 0,1507 3! (40-3)! 4 parafusos defeituosos n = 40 x = 4 S = 0,12 F = 0,88 P = 40!_ . 0,12 4 . 0,88 40–4 ≈ 0,1901 4! (40-4)! 5 parafusos defeituosos n = 40 x = 5 S = 0,12 F = 0,88 P = 40! _ . 0,12 5 . 0,88 40–5 ≈ 0,1867 5! (40-5)! P (3 e 5, inclusive) = 0,1507 + 0,1901 + 0,1867 = 0,5275 b) Pelo menos dois parafusos defeituosos (ou seja: P2 + P3 + P4 + . . . + P40) Neste caso use: 1 - (P0 + P1) Ao invés de calcularmos P2 + P3 + P4 + . . . + P40 é mais conveniente usarmos o método do evento complementar (1 – p), pois dá menos trabalho. Então, calculamos 1 – (P0 +P1 ) nenhum parafuso defeituoso n = 40 (tamanho da amostra) x = 0 (nº sucessos da amostra) S = 0,12 F = 0,88 P0 = 40! . 0,12 0 . 0,88 40–0 ≈ 0,0060 0! (40-0)! 1 parafuso defeituoso n = 40 (tamanho da amostra) x = 1 (nº sucessos da amostra) S = 0,12 F = 0,88 P1 = 40! . 0,12 1 . 0,88 40–1 ≈ 0,0328 1! (40-1)! Evento complementar P (x ≥ 2) = 1 – (P0 + P1) P = 1 – (0,0060 + 0,0328) P = 0,9612 n = 5 (tamanho da amostra) x = 3 (nº sucessos da amostra) S = 0,50 ( = ½ a p de obter cara) F = 0,50 (= ½ a p de obter coroa) P(x) = n! . S x . F n - x x! (n - x)! P(x) = 5! __ . 0,50 3 . 0,50 5–3 ≈ 0,3125 3! (5-3)! n = 6 (tamanho da amostra) x = 2 (nº sucessos da amostra) S = 0,17 ( = 1 /6 a p de obter “4”) F = 0,83 (= 5 /6 a p de não obter “4”) P(x) = 6! __ . 0,17 2 . 0,83 6–2 ≈ 0,2057 2! (6-2)! n = 6 (tamanho da amostra) x = 4 (nº sucessos da amostra) S = 0,33 ( = 1 /3 a p de ganhar)* F = 0,66 (= 2 /3 a p de não ganhar) P(x) = 6! __ . 0,33 4 . 0,66 6–4 ≈ 0,0774 4! (6-4)!
  • 29. Engenharia de Produção - 25 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada c) No máximo 3 parafusos defeituosos (ou seja: P0 + P1 + P2 + P3) Neste caso, somamos as probabilidades de : P0 + P1 + P2 + P3, Ou seja, aplicamos o método de adição de probabilidades. nenhum parafuso defeituoso P0 = 0,0060 1 parafuso defeituoso P1 = 0,0328 2 parafusos defeituosos P2 = 0,0872 3 parafusos defeituosos P3 = 0,1507 Adição P (x ≤ 3) = 0,0060+0,0328+0,0872+0,1507 = 0,2768 d) Pelo menos 39 parafusos de qualidade (ou seja: ... P39 + P40) Ou seja, no mínimo 39 parafusos de qualidade. Então, somamos P39 + P40 39 parafusos de qualidade n = 40 x = 39 S = 0,88 F = 0,12 P39 = 40! . 0,88 39 . 0,12 40–39 ≈ 0,0328 39! (40-39)! 40 parafusos de qualidade n = 40 x = 40 S = 0,88 F = 0,12 P1 = 40! . 0,88 40 . 0,12 40–40 ≈ 0,0060 40! (40-40)! Adição P = P39 + P40 P = (0,0328 + 0,0060) P = 0,0388 e) No máximo 39 parafusos de qualidade (ou seja: ...P0 + P1 + P2 + ... + P39) Neste caso, somaríamos as probabilidades de : P0 + P1 + P2 + ... + P39, Mas são muitos cálculos. Então, é mais conveniente usar o método de evento complementar (1 – p). Então, calculamos 1 – P40 P (x ≤ 39) = 1 – P40 → P = 1 – 0,0060 = 0,9940 Encontrando probabilidades Binomiais por meio do Excel Além do BIOESTAT, você pode encontrar probabilidades Binomiais pelo EXCEL, bastando inserir os dados, conforme demonstrado abaixo. A figura abaixo se refere ao exemplo 8 que acabamos de ver.
  • 30. Engenharia de Produção - 26 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Encontrando probabilidades Binomiais por meio de tabelas. Repetindo o exemplo 1. Cirurgias de microfaturas no joelho têm 75% de chance de sucesso em pacientes com joelhos degenerativos. A cirurgia é realizada em 3 pacientes. Encontre a probabilidade de a cirurgia a) ser um sucesso em 2 pacientes. b) Ser um sucesso em 1 paciente. c) Não ter sucesso. Resolução. Uma parte da tabela pode ser vista aqui. Usando o sucesso de 75% (ou 0,75), n do tamanho da amostra = 3 e com número de sucessos 2, 1 e 0 das letras a), b) e c), respectivamente, você pode encontrar a probabilidade Binomial conforme visto nas áreas destacadas na tabela abaixo. Nota: Para Sucesso <= 0,50, considere as linhas e colunas verdes para a probabilidade e os sucessos e para Sucesso > 0,50 considere as linhas e colunas vermelhas para a probabilidade e os sucessos. Para valores de Sucessos "quebrados", use a fórmula DISTRBINOM (sucessos;n;p;0) no Excel.
  • 31. Engenharia de Produção - 27 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
  • 32. Engenharia de Produção - 28 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
  • 33. Engenharia de Produção - 29 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
  • 34. Engenharia de Produção - 30 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA É um experimento de probabilidade para os quais os resultados de cada tentativa podem ser reduzidos a dois resultados: SUCESSO ou FRACASSO, MAS SEM REPOSIÇÃO DA AMOSTRA. Da mesma maneira que a distribuição Binomial, a distribuição Hipergeométrica tem dois resultados possíveis: SUCESSO ou FRACASSO. A diferença é que ao experimento Binomial exige que a amostragem seja feita COM REPOSIÇÃO, pois cada resultado deve ser independente dos outros, enquanto que o experimento Hipergeométrico exige que a amostragem seja feita SEM REPOSIÇÃO, pois cada resultado deve ser dependente dos outros. O experimento Hipergeométrico é aplicado para Eventos dependentes. A amostra é sem reposição. EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE HIPERGEOMÉTRICA S = nº sucessos da população s = nº sucessos da amostra Exemplo Binomial Uma caixa contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Tirando-se 5 bolas, COM REPOSIÇÃO, qual P(x) de saírem: a) 2 bolas pretas b) 4 bolas brancas COM REPOSIÇÃO. Se as bolas são extraídas com reposição, isto é, retira-se uma bola, verifica-se a cor, coloca-se novamente a bola na caixa, retira-se novamente uma bola, verifica-se a cor, coloca-se de volta na caixa, até que se completem as 5 extrações. Exemplo Hipergeométrico Uma caixa contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Tirando-se 5 bolas, SEM REPOSIÇÃO, qual P(x) de saírem: a) 2 bolas pretas b) 4 bolas brancas SEM REPOSIÇÃO. Se as bolas são extraídas sem reposição, isto é, extraem-se as 5 bolas sem que nenhuma delas retorne à caixa. Os eventos – cor de cada bola – já não são mais independentes, pois a probabilidade de uma bola ser branca ou preta depende de que cor tenham saído as demais bolas. P(x) = n! . S x . F n - x x! (n - x)! a) 2 bolas pretas n = 5 x = 2 S = 0,20 ( 10 /50) F = 0,80 ( 40 /50) P(x) = 5! . 0,20 2 . 0,80 5–2 2! (5-2)! ≈ 0,2048 b) 4 bolas brancas n = 5 x = 4 S = 0,80 ( 40 /50) F = 0,20 ( 10 /50) P(x) = 5! . 0,80 4 . 0,20 5 –4 4! (5-4)! ≈ 0,4096 a) 2 bolas pretas S = 10 s = 2 F = 40 f = 3 N = 50 n = 5 5)!(505! 50! 3)!(403! 40! x 2)!(102! 10! − −− =P P(x) ≈ 0,2098 b) 4 bolas brancas S = 40 s = 4 F = 10 f = 1 N = 50 n = 5 5)!(505! 50! 1)!(101! 10! x 4)!(404! 40! − −− =P P(x) ≈ 0,4313 N tamanho da população n tamanho da amostra F = nº fracassos da população f = nº fracassos da amostra Na científica --> ((10! : 2!(10-2)! x 40! : 3!(40-3)! : (50! : 5!(50-5)!) Na TechCalc --> N=50 | n=5 | S=10 | s=2 |
  • 35. Engenharia de Produção - 31 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Você pode usar o software BIOESTAT para calcular probabilidades Hipergeométricas. Siga o caminho abaixo Uma caixa contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Tirando-se 5 bolas, SEM REPOSIÇÃO, qual P(x) de saírem: a) 2 bolas pretas f = 3 N = 50 n = 5 Observe que não é necessário incluir os dados do Fracasso. O próprio software já reconhece que o Fracasso será o valor restante. Ex.: Se Sucesso = 10 e 2, então Fracasso = 40 e 3 (omitido), já que a população é 50 e 5. A resposta será o valor que está no quadro azul. Você pode usar o software EXCEL para calcular probabilidades Hipergeométricas. Demonstrando o exemplo anterior, temos: S = 10 s = 2 F = 40 resposta
  • 36. Engenharia de Produção - 32 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA É um experimento de probabilidades para os quais os resultados de cada tentativa podem ser reduzidos a dois resultados: SUCESSO ou FRACASSO, sendo realizado até que apareça o PRIMEIRO SUCESSO Sucesso corresponde à probabilidade procurada enquanto que Fracasso à probabilidade não procurada, ou seja, o evento complementar. A palavra sucesso como usada aqui é arbitrária e não representa, necessariamente, algo bom. Qualquer uma das duas categorias pode ser chamada de sucesso, desde que seja a probabilidade procurada. Da mesma maneira que a distribuição Binomial, a distribuição Geométrica tem dois resultados possíveis: SUCESSO ou FRACASSO. Uma particularidade da distribuição Geométrica é que são necessárias inúmeras tentativas até o aparecimento do PRIMEIRO SUCESSO. A distribuição Geométrica é aplicada para Eventos independentes. A amostra é feita com reposição. EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE GEOMÉTRICA P(x) = Fn - 1 . S Nota: p e q foram substituídos por S e F por fins didáticos. Exemplo. Uma máquina produz parafusos dos quais 12% apresentam algum tipo de defeito. Um analista deseja coletar uma amostra de 40 parafusos. Encontre a probabilidade de que: a) na 6ª amostra apareça o primeiro parafuso defeituoso. n = 6 S = 0,12 F = 0,88 P(x) = 0,88 6 –1 . 0,12 = 0,0633 ou 6,33% ...Que, pela lógica do evento independente é a mesma coisa que FFFFFS, ou seja, 0,88 5 . 0,12 (É como se fosse PPPPPD) b) na 4ª amostra apareça o primeiro parafuso perfeito. n = 4 S = 0,88 F = 0,12 P(x) = 0,12 4 -1 . 0,88 = 0,0015 ou 0,15% ...Que, pela lógica do evento independente é a mesma coisa que FFFS, ou seja, 0,12 3 . 0,88 (É como se fosse DDDP) DISTRIBUIÇÃO DE PASCAL É um experimento de probabilidades para os quais os resultados de cada tentativa podem ser reduzidos a dois resultados: SUCESSO ou FRACASSO, sendo realizado até que apareça o K-ÉSIMO SUCESSO Sucesso corresponde à probabilidade procurada enquanto que Fracasso à probabilidade não procurada, ou seja, o evento complementar. A palavra sucesso como usada aqui é arbitrária e não representa, necessariamente, algo bom. Qualquer uma das duas categorias pode ser chamada de sucesso, desde que seja a probabilidade procurada. Da mesma maneira que a distribuição Binomial e Geométrica, a distribuição de Pascal tem dois resultados possíveis: SUCESSO ou FRACASSO. Uma particularidade da distribuição de Pascal é que são necessárias inúmeras tentativas até o aparecimento do K-ÉSIMO SUCESSO. A distribuição de Pascal é aplicada para Eventos independentes. A amostra é feita com reposição. Exemplo. Uma máquina produz parafusos dos quais 12% apresentam algum tipo de defeito. Um analista deseja coletar uma amostra de 40 parafusos. Encontre a probabilidade de: a) Na 9º amostra, apareça o terceiro parafuso defeituoso. n = 9 k = 3 S = 0,12 F = 0,88 (9-1)! __ . 0,123 . 0,889-3 = 0,0224 (3-1)! . (9-3)! ...Como exemplo, é como se fosse FSFFFSFFS b) na 25ª amostra apareça o 21º parafuso perfeito. n = 25 k = 21 S = 0,88 F = 0,12 (25-1)! __ . 0,8821 . 0,1225-21 = 0,1503 (21-1)! . (25-21)! ...Como exemplo, é como se fosse FSFF...FSSFF...FS EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE DE PASCAL P(x) = (n -1)! __ . Sk . Fn - k (k - 1)! . (n - k)! F probabilidade de Fracasso(evento complementar) S probabilidade de Sucesso (evento procurado) n tamanho da amostra t 1º sucesso 1º sucesso S probabilidade de Sucesso F probabilidade de Fracasso n tamanho da amostra k k-ésimo sucesso da amostra x nº sucessos na amostra 3º sucesso 21º sucesso Também chamada de Binomial negativa. Na científica: Ex a) (9-1)! : ((3-1)! x (9-3)!) x 0,12^3 x 0,88^9-3 Na TechCalc --> procurar "Distribuição Binomial, negativo". Entradas: ex. a) 3|6|0,12| = 0,0225 ex b) 21|4|0,88| = 0,1503 Ou seja: entrada de | k | n-k, em que esta diferença é o numero de falhas | S
  • 37. Engenharia de Produção - 33 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL (OU POLINOMIAL) É um experimento de probabilidades para os quais os resultados de cada tentativa podem ter VÁRIOS RESULTADOS POSSÍVEIS, e não só Sucesso ou Fracasso. É uma generalização da distribuição Binomial. Na distribuição Multinomial, todos os resultados possíveis são independentes uns dos outros. Exemplo 1. Uma máquina produz parafusos dos quais 12% apresentam algum tipo de defeito, sendo 4% do tipo A e 8% do tipo B. Um analista deseja coletar uma amostra de 40 parafusos. Encontre a probabilidade de: a) Sair 35 parafusos perfeitos, 3 com defeitos tipo A e 2 com defeitos tipo B? n = 40 x1= 35 ; p1= 0,88 x2= 3 ; p2= 0,04 x3= 2 ; p3= 0,08 P(x) = 40! . 0,8835 . 0,043 . 0,082 = 0,0307 35! 3! 2! Exemplo 2. Um caixa tem 4 bolas vermelhas (V), 3 brancas (B) e 3 azuis. Retiram-se 5 bolas, com reposição. Qual a probabilidade de saírem 2V, 1B e 2A? n = 5 x1= 2 ; p1= 0,40 (4 /10) x2= 1 ; p2= 0,30 (3 /10) x3= 2 ; p3= 0,30 (3 /10) P(x) = 5! . 0,402 . 0,301 . 0,302 = 0,1296 2! 1! 2! EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE MULTINOMIAL P(x) = n! _ . p1 x1 . p2 x2 . p3 x3 ... x1! x2! x3! ... n tamanho da amostra x tamanho de cada sucesso P probabilidades associadas ao sucesso
  • 38. Engenharia de Produção - 34 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada DISTRIBUIÇÃO DE POISSON (DENIS POISSON 1781-1840) (LÊ-SE POASSÓN) É um experimento de probabilidade que calcula o NÚMERO DE OCORRÊNCIAS de um evento em um DADO INTERVALO de TEMPO, DISTÂNCIA, ÁREA, VOLUME ou unidade similar. O esquema abaixo ajuda a melhor interpretar o experimento de Poisson. Regras: É aplicada caso os eventos ocorram com uma MÉDIA conhecida e cada evento seja independente. São exemplos: número de consultas a uma base de dados por minuto; número de falhas de um equipamento por hora; número de erros de tipografia em um formulário; número de defeitos em um m2 de piso cerâmico; número de buracos em um asfalto por km; número de acidentes por mês em uma rodovia etc. EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE DE POISSON P(x) = μ x * e - μ x ! μ = letra grega mi = Média Nota: Algumas literaturas usam λ (lambda) no lugar de μ Exemplo 1. A Média do número de acidentes por mês na rodovia Barra Mansa-Angra é de 3 acidentes por mês. Determine a probabilidade de que, em qualquer mês dado: a) 4 acidentes ocorram na rodovia b) 2 acidentes ocorram na rodovia c) Nenhum acidente ocorra na rodovia Para calcular e - μ use a mesma tecla X y ou ^. Introduza 2,7182 X y - 3 = 0,0497 Encontre e na calculadora Você pode usar o microsoft Excel para calcular probabilidades de Poisson. Veja abaixo (do exemplo 1) a) 4 acidentes ocorram na rodovia μ = 3 e = 2,7182 x = 4 P(x) = 3 4 . 2,7182 -3 = 0,168 4! b) 2 acidentes ocorram na rodovia μ = 3 e = 2,7182 x = 2 P(x) = 3 2 . 2,7182 -3 = 0,224 2! c) Nenhum acidente ocorra na rodovia μ = 3 e = 2,7182 x = 0 P(x) = 3 0 . 2,7182 -3 = 0,0498 0! Constante de Euler Venn 2,7182 Média do nº de ocorrências (baseada em histórico) nº de ocorrências procurada x x x x ← Intervalo de tempo, distância, área ou volume → nº de ocorrências do evento1 2 3 4...
  • 39. Engenharia de Produção - 35 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Exemplo 2. Supondo que a Média do número de pessoas que acessam um caixa eletrônico de um banco durante uma hora é 5. Determine a probabilidade de, no mesmo período, ocorrerem: a) Menos de 2 acessos ao caixa eletrônico b) Pelo menos 3 acessos ao caixa eletrônico a) Menos de 2 acessos ao caixa eletrônico (ou seja nenhum acesso ou um acesso: P0 + P1 ) Neste caso, calcularemos a probabilidade de P0 e P1. Depois somamos as probabilidades. (Adição de Probabilidades) Nenhum acesso ao caixa μ = 5 e = 2,7182 x = 0 P0 = 5 0 . 2,7182 -5 = 0,0067 0! 1 acesso ao caixa eletrônico μ = 5 e = 2,7182 x = 1 P1 = 5 1 . 2,7182 -5 = 0,0337 1! Adição de Probabilidades P(x < 2) = P0 + P1 P = 0,0067 + 0,0337 = 0,0404 b) Pelo menos 3 acessos ao caixa eletrônico (ou seja P3+P4+P5 +P6+P7+P8 ...) “pelo menos 3 acessos ao caixa” é o mesmo que “no mínimo 3 acessos ao caixa”. Ao invés de calcularmos P3+P4+P5+... é mais conveniente usarmos método do evento complementar (1 – p). Então, calculamos 1 – (P0 + P1 + P2) Nenhum acesso ao caixa P0 = 0,0067 1 acesso ao caixa eletrônico P1= 0,0337 2 acessos ao caixa eletrônico μ = 5 e = 2,7182 x = 2 P2 = 5 2 . 2,7182 -5 = 0,0842 2! Evento complementar P (x ≥ 3) = 1 – (P0 + P1 + P2) P = 1 – (0,0067+0,0337+0,0842) P = 0,8753 Exemplo 3. Numa central telefônica chegam em média 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que: a) 2 telefonemas ocorram em dois minutos? b) 3 telefonemas ocorram em quatro minutos? c) Nenhum telefonema ocorra em um minuto? Nota: São 300 telefonemas/hora, em média. Então são em média 5 telefonemas/minuto. ( 300 /60 = 5) Encontrando probabilidades de Poisson por meio de tabelas Repetindo o Exemplo 1. A Média do número de acidentes por mês na rodovia Barra Mansa-Angra é de 3 acidentes/mês. Determine a probabilidade de que, em qualquer mês dado: a) 4 acidentes ocorram na rodovia Resolução. Uma parte da tabela pode ser vista aqui. Usando a média µ=3 e x=4, você pode encontrar a probabilidade de Poisson conforme visto nas áreas destacadas na tabela abaixo. (compare o resultado com a letra a) do exemplo1 ). Tabela de Poisson (parcial) P(x) = μ x . e - μ x! a) 2 telefonemas ocorram em dois minutos? μ= 10 telefonemas (5+5 em dois min) e= 2,7182 x= 2 telefonemas P = 10 2 * 2,7182 -10 = 0,002270 2! b) 3 telefonemas ocorram em quatro minutos? μ= 20 telefonemas (5*4 em quatro min) e = 2,7182 x = 3 P = 20 3 . 2,7182 –20 = 0,0000274 3! c) Nenhum telefonema ocorra em um minuto? μ = 5 telefonemas (em um min) e = 2,7182 x = 0 P = 5 0 . 2,7182 -5 = 0,00673 0!
  • 40. Engenharia de Produção - 36 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada TABELA COMPLETA DE POISSON Nota: Para valores não disponíveis na tabela, use POISSON(sucessos; λ ; 0) no Excel. ( λ é a mesma coisa que µ)
  • 41. Engenharia de Produção - 37 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
  • 42. Engenharia de Produção - 38 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Poisson como aproximação para a distribuição Binomial Você pode utilizar a Distribuição de Poisson para fazer uma aproximação da Distribuição Binomial quando n (tamanho da amostra) é grande e S (sucesso) é pequeno. Quando n é muito grande (acima de 100, por exemplo), as probabilidades binomiais ficam difíceis de serem calculadas, como exemplo 0,12 100 . 0,88 100 - 5 . O cálculo direto é impraticável. Apelamos então para a aproximação de Poisson. EQUAÇÃO DE POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL P(x) = (n.s) x * e - (n . s) x ! Note que substituímos a média µ da equação de Poisson pela média da distribuição Binomial (n . s). Para melhor entender o modelo de aproximação vamos ver os exemplos 1 e 2, que comparam os dois métodos: Exemplo 1. Uma máquina produz parafusos, dos quais 12% apresentam algum tipo de defeito. Calcular a probabilidade de, em um lote de 40 parafusos produzidos por essa máquina: a) 3 parafusos estejam defeituosos Pela distribuição Binomial n = 40 x = 3 S = 0,12 F = 0,88 Pbin = 40! . 0,12 3 . 0,88 40–3 ≈ 0,1507 3! (40-3)! Poisson como aproximação da distribuição Binomial n = 40 x = 3 S = 0,12 PPoisson ≈ bin = (40 * 0,12) 3 * 2,7182 –(40 * 0,12) ≈ 0,1517 3! Análise dos resultados: Perceba pelo comparativo que a distribuição de Poisson pode ter uma boa aproximação da Distribuição Binomial. A aproximação vai melhorando à medida que n vai se tornando maior e S vai se tornando menor. Exemplo 2. Uma máquina produz parafusos, dos quais 1% apresentam algum tipo de defeito. Calcular a probabilidade de, em um lote de 900 parafusos produzidos por essa máquina: a) 9 parafusos estejam defeituosos Pela distribuição Binomial n = 900 x = 9 S = 0,01 F = 0,99 Pbin = 900! . 0,01 9 . 0,99 900 – 9 ≈ ‘Math ERROR’ 9! (900-9)! (0,1324 pelo Excel) Poisson como aproximação da distribuição Binomial n = 900 x = 9 S = 0,01 PPoisson ≈ bin = (900*0,01) 9 * 2,7182 –(900 * 0,01) ≈ 0,1317 9! Análise dos resultados: Observe que o cálculo do exemplo 2 pelo método Binomial usando uma calculadora científica torna-se impraticável. Pelo Excel o resultado Binomial é 0,1324, bem aproximado pelo método de Poisson. É importante ressaltar que a variável aleatória de Poisson teoricamente se estende desde 0 até ∞ (infinito). No entanto, quando você utiliza a distribuição de Poisson como uma aproximação para a distribuição binomial, a variável aleatória de Poisson — o número de sucessos dentre n observações — não pode ser maior do qdue o tamanho da amostra, n. n = tamanho da amostra s = Probabilidade de sucesso Constante de Euler Venn 2,7182 x = nº de sucessos da amostra
  • 43. Engenharia de Produção - 39 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada DISTRIBUIÇÃO UNIFORME É aquela na qual as variáveis aleatórias se espalham uniformemente sobre a faixa de valores possíveis, ou seja, todos os valores ocorrem com a mesma probabilidade. Representa o análogo continuo dos resultados igualmente prováveis. É usada nas situações em que não há razão para atribuir probabilidades diferentes a um conjunto possíveis de valores em um determinado intervalo. A área sob o gráfico de uma distribuição uniforme é igual a 1. O gráfico resulta em uma forma retangular. Há uma correspondência entre área e probabilidade. Se a probabilidade de x assumir valores num subintervalo é a mesma para qualquer outro subintervalo de mesmo comprimento, então, esta variável tem distribuição uniforme. A distribuição uniforme, embora apresentada como contínua, pode também abranger casos discretos. É o caso do lançamento de um dado, como mostrado abaixo. A distribuição de probabilidade do lançamento de um dado, por exemplo, tem distribuição uniforme pois seus resultados são igualmente prováveis: Probabilidade na distribuição uniforme Para encontrar probabilidades na distribuição uniforme usamos a seguinte equação: Exemplo 1. Com base em históricos, o tempo de vôo de Chicago - Nova York pode ter qualquer valor no intervalo de 120 a 140 minutos. Considerando que cada um dos intervalos de 1 minuto é igualmente provável, determine: a) A P(x) do avião chegar entre 126 e 131 minutos P(x) = b – a → D – C 131 – 126 140 – 120 = 0,25 b) A P(x) do avião chegar em 136 minutos ou mais. P(x) = b – a → D – C 140 – 136 140 – 120 = 0,20 O Valor esperado (média) da distribuição uniforme é: Ex=D + C 2 Ex. O tempo esperado de vôo entre Chicago – Nova York é: Ex = 140+120 = 130 minutos. 2 P(x) lançar um dado “x” P(x) 1 1 /6 2 1 /6 3 1 /6 4 1 /6 5 1 /6 6 1 /6 ∑=1 ou 100% EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE UNIFORME ACUMULADA P(x) = b – a D – C P(x), se D ≤ x ≤ C 0, caso contrário Em que: Área P(x) procurada a – menor valor b – maior valor Área do intervalo definido C – menor valor D – maior valor 1 2 3 4 5 6 1 /6 1 /6 1 /6 1 /6 1 /6 1 /6 Faces do dado Probabilidade Probabilidades no lançamento de um dado DISTRIBUIÇÃO UNIFORME 1 /6 Área = 1 Variável aleatória Probabilidade C D a b Gráfico da distribuição uniforme Tempo de vôo em minutos 126 131 120 125 130 135 140 Probabilidade Gráfico da distribuição do vôo Tempo de vôo em minutos 136 140 120 125 130 135 140 Probabilidade Gráfico da distribuição do vôo
  • 44. Engenharia de Produção - 40 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada DISTRIBUIÇÃO NORMAL (ABRAHAM DE MOIVRE 1667 - 1754 ) É usada para distribuições SIMÉTRICAS e possui diversas aplicações, como calcular as probabilidades de PESOS e ALTURAS das pessoas, diâmetro e comprimento de peças em linhas de produção, tempo de vida útil de produtos e diversas outras medições de pesquisas científicas. Aplicado para distribuições SIMÉTRICAS (Média=Moda=Mediana). Possui como parâmetro a MÉDIA e DESVIO PADRÃO. Também chamada de Curva Normal, Curva de Gauss e Curva em forma de Sino. Para entender o conceito de uma Distribuição Normal, tomemos como exemplo a distribuição da vida útil de 340 lâmpadas produzidas pela PHILIPS: Observe pela Distribuição Normal que o tempo de vida útil das lâmpadas: Possui uma elevação em seu centro e pontas que vão tanto para direita quanto para a esquerda; A Média, Mediana e Moda (1000 horas) encontram-se exatamente no meio da distribuição; A distribuição de valores menores que a Média (700, 800, 900) e maiores que a Média (1100, 1200, 1300) é simétrica, o que significa que se você dobrá-la ao meio, suas partes serão como imagens refletidas por um espelho; Como a curva é simétrica em torno da Média, os valores maiores que a média e os valores menores do que a Média ocorrem com igual probabilidade; A maioria dos dados é centralizada ao redor da média, de modo que quanto mais longe da média você se mover, cada vez menos pontos de dados você vai encontrar em ambos os lados. Analisando a variabilidade Analise a figura abaixo. Veja que a maior parte da vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS varia de 700 horas até 1300 horas, com uma boa parte das lâmpadas com vida útil de 900 a 1100 horas. Pensando como consumidor, você gostaria de se deparar com tamanha variabilidade quando for comprar um pacote de lâmpadas? Veja que uma concorrente (OSRAM) irá tentar fabricar lâmpadas com vida útil menos variável; a vida útil terá uma média de 1000 horas, mas suas lâmpadas terão uma vida útil mais consistente, variando de 920 a 1080 horas, com boa parte das lâmpadas com duração entre 980 e 1020 horas. 10 40 70 100 70 40 10 0 20 40 60 80 100 120 Quantidade 700 800 900 1000 1100 1200 1300 Horas Distribuição da vida útil de 340 lâmpadas produzidas pela PHILIPS Curva NORMAL ou Curva de GAUSS ou Curva em forma de SINOMédia = Moda = 1000 horas Mediana = 10 40 70 100 70 40 10 0 20 40 60 80 100 120 Quantidade 700 800 900 1000 1100 1200 1300 Horas Distribuição da vida útil de 340 lâmpadas produzidas pela OSRAM PHILIPS OSRAM PHILIPS Maior variação 700 a 1300 OSRAM Menor variação 920 a 1080 horas
  • 45. Engenharia de Produção - 41 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Em uma distribuição Normal, o Desvio padrão tem um significado especial, pois determina a distância da Média até um ponto dentro da distribuição, cada um com a mesma distância da Média. No caso abaixo, supomos (por fins didáticos) que o Desvio padrão do tempo de vida útil das lâmpadas é s=100 horas. ENCONTRANDO PROBABILIDADES NA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Quando se tem uma variável aleatória com distribuição normal pode-se obter a probabilidade de essa variável assumir um valor em determinado intervalo, pela área sob a curva dentro dos limites do intervalo. Exemplo 1. Seja X a variável aleatória que representa os tempos de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS Sendo a Média de vida útil das lâmpadas de 1000 horas com Desvio padrão de 100 horas, ache a probabilidade de a lâmpada ter vida útil entre 1000 e 1150 horas, isto é, P(1000 < z < 1150). PARA ACHAR A PROBABILIDADE, SIGA 2 PASSOS: 1º PASSO. Calcule o número de desvios padrão que o valor “1150” se distancia da média “1000”. Para isto, utilizamos a equação abaixo, chamada “escore Z”. EQUAÇÃO ESCORE Z s x z x- = Calculando o escore Z, temos: z = 1150 - 1000 = 1,50 100 O resultado indica que 1150 está distante 1,50 desvios padrão da média. Use sempre 2 casas decimais. Veja demonstração da área de Z no gráfico acima. O escore Z é uma medida que indica o número de desvios padrão de um valor a partir da média. 10 40 70 100 70 40 10 0 20 40 60 80 100 120 Quantidade 700 800 900 1000 1100 1200 1300 Horas s=100 68,26% 95,44% 99,74% S=100 S=100 -3S -2S -1S x 1S 2S 3S A regra empírica Na distribuição normal é possível determinar a posição da maioria dos valores, usando as distâncias de 1, 2 ou 3 Desvios padrões da Média para estabelecer alguns marcos. A regra que lhe permite fazer isso se chama Regra empírica, que diz o seguinte: Espera-se que cerca de 68,26% dos valores encontram- se dentro de 1 desvio padrão da média; (no exemplo, 240 lâmpadas (70+100+70). Espera-se que 95,44% dos valores encontram-se dentro de 2 desvios padrões da média; (no exemplo, 320 lâmpadas: 40+70+100+70+40) Espera-se que 99,74% dos valores encontram-se dentro de 3 desvios padrões da média; (no exemplo, 340 lâmpadas: 10+40+70+100+70+40+10) Estes resultados são aproximações. A regra empírica não pode ser aplicada às distribuições que não possuam uma forma de montanha em seu centro. Média Variável aleatória procurada Desvio padrão Escore Z Probabilidade procurada P(1000 < Z < 1150) 700 800 900 1000 1100 1200 1300 Z= 1,50 P= 0,4332
  • 46. Engenharia de Produção - 42 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada 2º PASSO. Com o escore Z de “1,50”, use a Tabela de Distribuição Normal Padrão para encontrar a probabilidade, como explicado abaixo: Na 1ª coluna encontramos “1,5”. Em seguida, encontramos na 1ª linha “0”, que é o último algarismo de “1,50”. Na intersecção da linha e coluna encontramos 0,4332, o que indica que a probabilidade P(1000 < z < 1150) = 0,4332 ou 43,32%. Interpretação: espera-se que 43,32% das lâmpadas tenham vida útil entre 1000 e 1150 horas. A área constante na tabela corresponde a área à direita (sinal positivo): motivo da qual desconsideramos o sinal negativo no z-escore nas áreas à esquerda, pois a curva é simétrica em torno da Média, ou seja, os valores maiores que a média e os valores menores do que a Média ocorrem com igual probabilidade. . A tabela não é de distribuição acumulada. Vamos ver alguns exemplos adiante. Z Último dígito 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO -3S -2S -1S 0 1S 2S 3S Área = 0,5 -z +z
  • 47. Engenharia de Produção - 43 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Exemplo 2. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P(900 < z < 1000). Quando partimos da média calculamos apenas um escore Z. Para lado esquerdo o escore Z sempre terá sinal negativo, que não será considerado, pois os dois lados são iguais em termos de probabilidades. Interpretação: Espera-se que 34,13% das lâmpadas tenham vida útil entre 1000 e 1100 horas. Exemplo 3. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P(900 < z < 1050). Neste caso, calculamos dois escores Z e somamos as probabilidades: . Interpretação: Espera-se que 53,28% das lâmpadas tenham vida útil entre 900 e 1050 horas. Exemplo 4. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P(1050 < z < 1150). Neste caso, calculamos dois escores Z (de 1000 a 1150; e de 1000 a 1050). Depois subtraímos as probabilidades: SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADES Z1 = 1150 - 1000 = 1,50 100 0,4332 -- Z2 = 1050 - 1000 = 0,50 100 0,1915 Subtração probabilidades = 0,2417 Interpretação: Espera-se que 24,17% das lâmpadas tenham vida útil entre 1050 e 1150 horas. EQUAÇÃO ESCORE Z s x z x- = Calculando, temos: z = 900 - 1000 = -1,00 * 100 Probabilidade: na tabela temos: 0,3413 *Desconsidere o sinal negativo do escore Z ADIÇÃO DE PROBABILIDADES z1 = 900 - 1000 = - 1,00* 00 0,3413 + z2 = 1050 - 1000 = 0,50 100 0,1915 Soma de probabilidades = 0,5328 Z= -1,00 Probabilidade procurada P(900 < Z < 1000) 700 800 900 1000 1100 1200 1300 P= 0,3413 Probabilidade procurada P(900 < Z < 1050) P= 0,5328 Z2 =0,50 Z1= -1,00 P1=0,3413 P2=0,1915 700 800 900 1000 1100 1200 1300 Probabilidade procurada P(1050 < Z < 1150) P= 0,2417 700 800 900 1000 1100 1200 1300 Z1=1,5 0 Z2= 0,50 PZ2=0,1915 PZ1=0,4332
  • 48. Engenharia de Produção - 44 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Exemplo 5. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P( z < 850 horas) Ou seja, ache a probabilidade de a vida útil da lâmpada ser menor que 850 horas. Neste caso, P1 = 0,5 (meia área). Daí, calculamos Z2 e subtraímos as probabilidades: SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADES P1 = (meia área) 0,5 -- Z2 = 850 - 1000 = -1,50 100 0,4332 Subtração probabilidades = 0,0668 Interpretação: Espera-se que 6,68% das lâmpadas tenham vida útil abaixo de 850 horas. Exemplo 6. Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com Desvio padrão de 100 horas. O fabricante oferece uma garantia de 800 horas, isto é, trocar as lâmpadas que apresentem falhas nesse período ou inferior. Fabrica 15.000 lâmpadas mensalmente. Quantas lâmpadas deverá trocar pelo uso da garantia, mensalmente? (adaptado de Morettin, pág 143 e 144) Interpretação: Constatamos que 2,28% (0,0228) das lâmpadas não atenderão a garantia. Então o fabricante deverá substituir mensalmente: 15.000 x 0,0228 = 342 lâmpadas. Z-ESCORE E VALOR DE “X” NA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Na seção anterior você encontrou a probabilidade que x pudesse estar em um dado intervalo ao calcular a área sob a curva normal para um dado intervalo. Mas, e se lhe fosse dado uma probabilidade e você quisesse encontrar o valor de x? Encontrando o Z-ESCORE dada uma PROBABILIDADE Exemplo 7. Encontre o z- escore que corresponda à área de 0,2123 (21,23%) da área à direita? Observando a Tabela de Distribuição Normal Padrão encontramos z-escore de 0,56 conforme destacado abaixo. SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADES P1 = (meia área) 0,5 -- Z2 = 800 - 1000 = - 2,00 00 0,4772 Subtração de probabilidades = 0,0228 Probabilidade procurada P( Z < 850) P= 0,0668 Z1= -1,50 Área = 0,5 700 800 900 1000 1100 1200 1300 PZ2=0,0668 P1=0,4332 Z Último dígito 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO Probabilidade procurada P( Z < 800) 700 800 900 1000 1100 1200 1300 Garantia de 800 horas
  • 49. Engenharia de Produção - 45 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Encontrando VALOR DE “X” que corresponda a um Z-ESCORE Da equação do Z-ESCORE podemos formar a equação do VALOR DE “X”, conforme demonstrado abaixo: Equação para encontrar valor de “x” s x z x- = ∴ xxzs −= ∴ xzsx =+ zsxx += x = variável procurada x = média z = escore Z s = desvio padrão Importante. Para encontrar valores de “x” vamos considerar os sinais dos Z-escore (negativo ou positivo) Exemplo 8. Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com Desvio padrão de 100 horas. Encontre o tempo de vida útil “x” que corresponda a: a)Z-escore de 1,5 a) Z = 1,5: zsxx += → x = 1000 + 1,5 (100) = 1.150 horas. Interpretação: Para z escore de 1,5 o tempo de vida útil das lâmpadas é de 1.150 horas. Você pode confirmar o resultado consultando o exemplo 1. b)Z-escore de -2 b) Z = -2: zsxx += → x = 1000 + (-2)(100) = 800 horas. Interpretação: Para z escore de -2 o tempo de vida útil das lâmpadas é de 800 horas. Você pode confirmar o resultado consultando o exemplo 6. Encontrando VALOR DE “X” que corresponda a uma PROBABILIDADE Exemplo 9. Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com Desvio padrão de 100 horas. O fabricante deseja fixar prazo de garantia, em horas, de tal modo que, se a duração da lâmpada for inferior à garantia, a lâmpada seja trocada. De quantas horas deve ser este prazo para que somente 4% das lâmpadas sejam trocadas? Z Último dígito 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO 0,5 -Z 700 800 900 1000 1100 1200 1300 0,04 Passo 1 → 0,5 – 0,04 = 0,46 Passo 2 → Procurando na tabela P(x)=0,46 (0,4599 é mais próximo), encontramos Z = -1,75. (negativo pois é à esquerda) Passo 3. Logo: zsxx += → x = 1000 + (-1,75)(100) = 825 horas. Interpretação: O prazo de horas para que seja trocado 4% das lâmpadas deve ser de 825 horas. -1,75
  • 50. Engenharia de Produção - 46 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Exemplo 10. As pontuações para um teste de Engenheiro em uma empresa são normalmente distribuídas, com uma média de 7,5 com e um desvio padrão de 0,5. Para ser adequado ao emprego, você deve ter pontuação dentro dos 9% primeiros. Qual é a menor pontuação que você pode conseguir e ainda ser adequado ao emprego? , Exemplo 11 Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com Desvio padrão de 100 horas. Dentro de que limite, de ambos os lados da média, ficará 95% das lâmpadas? USANDO UMA TABELA DE Resolução Passo 1 → 0,95 /2 = 0,4750 (para cada lado da média). Passo 2 → Procurar 0,4750 na tabela. Encontramos Z = 1,96 (neste caso teremos Z1= -1,96 e Z2 = +1,96). Passo 3. Logo: X1 = 1000 + (-1,96)(100) = 804 horas. zsxx += X2 = 1000 + (+1,96)(100) = 1.196 horas. Interpretação: 95% das lâmpadas ficará entre 804 horas e 1196 horas, ou seja, P 95% ( 804 < z < 1196) 0,95 - 0,4750 + 0,4750 z= - 1,96 z= + 1,96x̄ Z Último dígito 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO Passo 1 → 0,5 - 0,09 = 0,41 Passo 2 → Procurando na tabela P(x)=0,41 (0,4099 é mais próximo) encontramos Z = 1,34 (positivo pois é à direita). Passo 3 zsxx += → x = 7,5 + (1,34)(0,5) = 8,17. Interpretação: A menor pontuação que você pode conseguir e ainda assim ser adequado ao emprego é 8,17. 0,5 +Z 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 0,09 +1,34 Z Último dígito 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
  • 51. Engenharia de Produção - 47 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO ACUMULADA (Informativo) Esta tabela que tem o seguinte princípio: 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Distribuição acumulada de 0% a 100%
  • 52. Engenharia de Produção - 48 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Exemplo de aplicação. Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com Desvio padrão de 100 horas. Encontre P (900 < z < 1050) usando a tabela de distribuição normal padrão acumulada. SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADE Z1 = 900 - 1000 = -1,00* 100 0,1587 *Considere o sinal negativo Z2 = 1050 - 1000 = 0,50 100 0,6915 P(x)= Z2 – Z1 → 0,6915 – 0,1587= 0,5328 Veja o Z-escore destacado na tabela acumulada acima. Confronte o resultado com o exemplo 3. Probabilidade procurada P(900 < Z < 1050) P= 0,5328 Z2 = 0,50 → 0,6915 Z1= -1,00 → 0,1587 700 800 900 1000 1100 1200 1300 -3z -2z -1z 0 +1z +2z +3z
  • 53. Engenharia de Produção - 49 - Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada Normal como aproximação para a distribuição Binomial Na distribuição Binomial vimos que, se uma máquina produz parafusos dos quais 12% apresentam defeito, é fácil calcular a probabilidade de, em um lote de 40 parafusos produzidos, 3 sejam defeituosos. Veja abaixo. Distribuição Binomial P(x) = n! . S x . F n - x x! (n - x)! n = 40 x = 3 S = 0,12 F = 0,88 P = 40! . 0,12 3 . 0,88 40–3 ≈ 0,15 3! (40-3)! Mas e se coletarmos 150 parafusos e queremos encontrar a probabilidade que menos de 40 parafusos sejam defeituosos? Teríamos que usar a equação binomial 40 vezes e encontrar a soma das probabilidades (P0+P1+P2+...+P39). Esse método não é prático, claro. A solução é usarmos a distribuição normal para aproximar da distribuição binomial. Regras para aproximar a Normal para Binomial: Regra 1. AMOSTRAS GRANDES. À medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição Binomial é aproximada e normalmente distribuída. Para ver que esse resultado é válido, veja as distribuições binomiais da produção de parafusos de uma máquina, dos quais 12% apresentam defeito (Sucesso), com dois diferentes de tamanhos amostrais: n = 10 e n = 40. n = 10 S = 0,12 X P(x) 0 0,27 1 0,37 2 0,23 3 0,08 4 0,003 n = 40 S = 0,12 X P(x) 0 0,006 1 0,03 2 0,08 3 0,15 4 0,19 5 0,18 6 0,14 7 0,09 8 0,05 9 0,02 10 0,01 Perceba que à medida que o tamanho da amostra aumenta, o histograma aproxima-se de uma curva normal. Então, para amostras grandes podemos fazer uma aproximação da Normal para Binomial (desde que S não seja muito próximo de 0 ou 1). Regra 2: CORREÇÃO DE CONTINUIDADE. Para obter aproximações mais precisas utilizamos um ajuste chamado correção de continuidade. A razão para isto é que a distribuição Binomial é discreta e assume valores inteiros (0, 1, 2, 3...) enquanto que a distribuição Normal é contínua, podendo assumir qualquer valor dentro de um intervalo (0,5, 1,5, 2,5...). Como exemplo, suponha que dos 40 parafusos produzidos você queira saber a probabilidade de encontrar 3 defeituosos. Enquanto o modelo Binomial apresenta somente um único valor (como exemplo 3), a distribuição normal pode assumir qualquer valor dentro dos limites de um intervalo em torno daquele valor específico, como exemplo “2,5 e 3,5 parafusos”, conforme ilustrado abaixo. A aplicação da correção da continuidade prevê o ajuste de -0,5 ou + 0,5 ao valor de x, conforme as situações listadas abaixo. 100,5 No máximo 100 (inclui) 99,5 Menor que 100 100,5 Maior que 100 99,5 Pelo menos/ no mínimo 100 (inclui) 99,5 100,5 Exatamente 100 parafusos parafusos parafusos a) b) c) d) e) Normal Binomial 0.27 0.37 0.23 0.08 0.003 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 1 2 3 4 Número de parafusos defeituosos Produção da máquina 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Número de parafusos defeituosos Produção da máquina Probabilidade Probabilidade Curva normal