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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
Fundamentos Básicos da
MATEMÁTICA FINANCEIRA
% 
$ 
0,01%
R$ 5.000
juros 
TEMPO
Prof. Uanderson Rebula de Oliveira
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
EMENTA.
Capital, juros, montante, taxa de juros. Sistemas de juros simples. Operações de desconto
Sistemas de juros compostos. Taxa nominal, efetiva e equivalente. Valor do dinheiro no tempo.
Taxa mínima de atratividade versus inflação. Diagrama de fluxo de caixa. Análise do fluxo de
caixa através do Payback Simples e Descontado. Análise do fluxo de caixa através do Valor
Presente Líquido
OBJETIVO.
Compreender os conceitos e os princípios fundamentais da Matemática Financeira para resolver
problemas que envolvam juros simples, compostos, desconto de títulos; Compreender o que é e
para que serve um fluxo de caixa; Saber a diferença do dinheiro em deferentes épocas; Avaliar a
viabilidade de um investimento através do Valor Presente Líquido e Payback.
 
Produção Industrial e Automotiva
UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA
Mestrando em Engenharia (ênfase Engenharia de Produção)-Universidade Estado de São Paulo-FEG-UNESP
Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-UFLA
Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA
Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM
Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC
Técnico em Segurança, Saúde e Higiene do Trabalho-ETPC
Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC
Professor da Universidade Estácio de Sá nas disciplinas de Gestão Financeira de Empresas, Fundamentos da
Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e Estatística, Ergonomia, Higiene e Segurança do
Trabalho, Gestão de Segurança e Análise de Processos Industriais, Gestão da Qualidade: programa 5S (curso
de férias). Palestrante para Administradores (graduação). Ex-professor Conteudista na UNESA (elaboração
de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional). Professor em escolas técnicas nas disciplinas de Estatística
Aplicada, Estatística de Acidentes do Trabalho, Probabilidades, Contabilidade Básica de Custos,
Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na Engenharia de Construção Civil e Higiene do
Trabalho. Ex-professor do SENAI. Desenvolvedor e instrutor de diversos cursos corporativos na
CSN, a níveis Estratégicos, Táticos e Operacionais. Membro do IBS–Instituto Brasileiro de
Siderurgia.
Fundamentos Básicos da
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Campus Resende
2010
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
NOTA DO PROFESSOR
No mundo atual, extremamente complexo e globalizado, as questões financeiras surgem a todo o 
momento no nosso cotidiano. 
 
Precisamos  ficar  atentos,  pois  utilizamos  diariamente  inúmeras  operações  para  tomarmos 
algumas decisões em relação ao dinheiro. São empréstimos, compra e venda, pagamentos de tarifas de 
luz, água, impostos, aplicações em bancos, tudo isso relacionado com a economia do país. 
 
É possível citar, também, as decisões importantes que tomamos quanto aos financiamentos para 
a aquisição de carros, casas, terrenos etc e aos financiamentos que as empresas fazem para aquisição 
de máquinas, equipamentos etc. 
 
 A oscilação do preço do financiamento representado pela elevação ou queda das taxas de juros, 
o estabelecimento de prazos para a conclusão das operações de financiamento e de investimento, o 
risco inerente a cada decisão são problemas financeiros latentes de solução.  
 
A Matemática Financeira oferece o instrumental ideal para lidar com os fatos citados. Há extrema 
necessidade  das  pessoas  em  geral  e,  especificamente  da  classe  estudantil,  tomarem  conhecimento 
desse poderoso instrumental para auxiliá‐los no entendimento e nas respostas a tais questões. 
 
 O  conhecimento  básico  das  operações  de  financiamento  e  investimento  habilita  o  cidadão  a 
escolher caminhos racionais com nível de risco pré‐determinado. 
 
O objetivo desta apostila é apresentar de forma simples e objetiva os fundamentos básicos da 
Matemática  Financeira.  Trata‐se  de  um  estudo  introdutório  visando  principalmente  a  sua  utilização 
como  apoio  no  curso,  especialmente  a  disciplina  “Gestão  Financeira  de  Empresas”,  cujos  estudantes 
precisam no exercício de suas atividades dos conhecimentos básicos da matéria.  
Uanderson Rebula
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
“No mundo atual, complexo e globalizado,
as questões financeiras surgem a todo
instante no cotidiano da população”.
Bernardo Scisú 
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Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira
Sumário
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
SUMÁRIO
UNIDADE 1 – FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
1.1 CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA, 7 
1.2 CAPITAL, MONTANTE, JUROS, TAXA DE JUROS E PRAZO, 10 
1.3 REGIME DE JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS, 15 
1.3.1 Conceito de juros simples, 15 
1.3.2 Conceito de juros compostos, 15 
1.3.3 Cálculo dos juros simples, 16 
1.3.4 Cálculo dos juros compostos, 19 
1.4 OPERAÇÕES DE DESCONTO, 21 
1.4.1 Desconto simples, 21 
1.4.2 Desconto composto, 22 
1.5 TAXA NOMINAL, EFETIVA E EQUIVALENTE, 23 
UNIDADE 2 – FLUXO DE CAIXA                  
2.1. VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO, 26 
2.2. DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA, 27 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 28 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
“A  matemática  financeira  surge  como  um  método  para  avaliar 
alternativas  e  ajudar  os  cidadãos  nas  decisões.  O  conhecimento 
básico das operações de financiamentos e investimentos habilita o 
cidadão  a  escolher  caminhos  racionais  com  nível  de  risco  pré‐
determinado”. 
 
Bernardo Sicsú  
Economista, Especialista em Finanças e Mestre em Administração Financeira. 
Unidade 1
FUNDAMENTOS DA
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
1.1 CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
Segundo Halfeld (2008) os livros de Economia ensinam que há três fatores essenciais para a produção: 
 
• TRABALHO: A remuneração exigida por aquele que fornece trabalho é o SALÁRIO. 
• TERRA: Quem tem terra ou prédios exige um ALUGUEL para emprestá‐lo. 
• CAPITAL: A remuneração exigida por aquele que empresta dinheiro é o JURO.  
 
Os  fatores  de  produção  são  elementos  básicos  utilizados  na  produção  de  bens  (como  carros,  móveis,  aço, 
eletrodomésticos etc.), e serviços (como telefonia, comunicação, manutenção, etc.). Esses fatores têm influencia 
direta na produção, os quais são utilizados para satisfazer as nossas necessidades. 
 
Assim, podemos visualizar a remuneração dos fatores de produção na figura abaixo: 
Capital x JURO – surgimento
O conceito do fator de produção Capital x JURO surgiu com a criação de pequenas firmas que se comprometiam a 
guardar o dinheiro das pessoas. Nasciam, portanto, os primeiros “bancos”. Num espaço de tempo relativamente 
curto, acumulou‐se nos cofres dos bancos imensa quantidade de dinheiro.  
 
Uma vez que as pessoas que deixavam seu dinheiro guardado não a consumiam imediatamente, os banqueiros 
foram  se  ocupando  de  uma  nova  atividade:  guardar  e  emprestar  dinheiro.    Era  pouco  provável  que  todos  os 
proprietários, ao mesmo tempo e num mesmo dia, exigissem a devolução imediata de todo seu dinheiro.  
 
Assim, os bancos emprestavam parte deste dinheiro a quem pedisse, sob a condição de devolução num prazo 
determinado,  com  o  propósito  de  obter  alguma 
vantagem. Por isso, além do dinheiro emprestado, 
era entregue, no vencimento do prazo estipulado, 
uma soma adicional, denominada “juro”. 
 
Desta  forma,  o  homem  percebeu  existir  estreita 
relação entre o dinheiro e o tempo (prazo). Toda 
transação  financeira  previa  quando  (datas  de 
início e término da operação) e por quanto tempo 
(duração  da  operação)  se  dava  a  cessão  (o 
empréstimo) do capital (dinheiro). Este prazo era 
expresso em determinada unidade de tempo (dia, 
mês, bimestre, trimestre, semestre, ano, etc.). 
 
A instituição bancária foi o elemento propulsor do 
surgimento  de  um  tratamento  matemático  na 
Economia,  que  exigia  um  cálculo  específico, 
considerando  o  juro  e  o  tempo,  e  o 
desenvolvimento  de  um  aspecto  particular  da 
matemática: a Matemática Financeira. 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
MATEMÁTICA FINANCEIRA ESTUDA O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.
 
 
• Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira. 
 
• Não  é  necessário  esperar  o  tempo  passar  para  saber  o  resultado  de  uma  operação  financeira,  basta 
executar determinados cálculos matemáticos para antecipar o resultado! 
 
 
 
 
 
• O que se conhece como Matemática Financeira está muito mais próximo das pessoas do que se imagina. 
A Matemática Financeira faz parte do nosso dia a dia. 
 
Aplicações atuais da Matemática Financeira
 
Atualmente a Matemática Financeira possui diversas aplicações no sistema econômico, algumas situações estão 
presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa pela caixa econômica federal, financiamentos 
de carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações na caderneta de 
poupança, CDB’s, investimentos em bolsas de valores, cálculos das taxas de inflação (perda do poder de compra) 
entre outras situações.  
 
Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros, considerando o fato 
“tempo”. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas 
de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo, a essa diferença 
damos o nome de juros. 
A  matemática  financeira  também  é  utilizada  na  análise  de  investimentos  (Engenharia  Econômica),  pois  busca 
ajudar  na  decisão  de  onde  um  valor  deve  ser  aplicado,  considerando  estritamente  a  rentabilidade  que 
determinada operação resultará. Veremos este assunto em “Gestão Financeira de Empresas”. 
Fundamentos do uso da Matemática Financeira pelas empresas. Os conceitos abaixo são interessantes. 
 
PRÁTICA DAS PESSOAS FÍSICAS: 
APLICAR O DINHEIRO na aquisição de BENS que NÃO GERAM DINHEIRO; pelo contrário, 
tiram o dinheiro da conta bancária, como CARROS DE LUXO, CASA NA PRAIA etc. (ou 
seja: CRIAR DESPESAS); 
 
TOMAR DINHEIRO EMPRESTADO de um banco e pagá‐lo, ao LONGO do TEMPO, para 
“COBRIR” as DESPESAS ou contrair “MAIS DESPESAS”. 
 
COMPRAR ou VENDER a VISTA/a PRAZO SEM uma análise financeira de qual opção é 
mais vantajosa. 
Ex.: Se eu aplicar R$ 1.000 na caderneta de poupança por três anos, com juros de 7% ao ano, qual o 
valor total que receberei no final da aplicação? Eu não preciso esperar três anos para saber o valor 
total, basta efetuar simples cálculos oferecidos pela matemática financeira! 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
PRÁTICA DAS EMPRESAS: 
 
APLICAÇÕES FINANCEIRAS  
Ao invés de contrair despesas, APLICAR O DINHEIRO EM UM BANCO, por exemplo, 
para que, APÓS ALGUM TEMPO, obtenham rendimentos (juros); 
 
INVESTIMENTOS 
APLICAR  O  DINHEIRO  EM  IMÓVEIS  DE  RENDA,  SISTEMAS  PRODUTIVOS,  BOLSA  DE 
VALORES,  investirem  em  outras  empresas  etc.  para  que  APÓS  ALGUM  TEMPO 
obtenham rendimento; 
 
FINANCIAMENTOS  
COMPRAR MÁQUINAS, equipamentos etc. parcelado e pagar ao LONGO DO TEMPO. 
“Pagar com o próprio lucro” obtido na operação; 
 
EMPRÉSTIMOS  
Tomar dinheiro emprestado e aplicar na empresa e dar prosseguimento ou expansão 
das operações, e pagar ao LONGO DO TEMPO. 
 
Efetuar  compras  ou  vendas  a  vista/a  prazo  com  análise  financeira  da  opção  mais 
vantajosa. 
Como se vê, as empresas realizam a todo o momento operações financeiras que são as aplicações financeiras, os 
investimentos, financiamentos e empréstimos; e se envolvem com operações de compras e vendas a prazo/ a vista. 
Observe que todas essas operações envolvem tempo. A figura abaixo pode esclarecer as operações financeiras que 
envolvem as empresas: 
Considerações finais
No quesito “TEMPO” tanto as empresas como as pessoas físicas necessitam de uma ferramenta precisa e eficaz 
para auxiliá‐las nos cálculos para TOMADA DE DECISÕES. 
Todo investidor busca a melhor rentabilidade de seus recursos, e para que se possa medir o seu retorno faz‐se 
necessária a aplicação de cálculos financeiros que possibilitam a tomada de decisão e a gestão financeira das 
empresas. 
A  Matemática  Financeira  surge  como  um  MÉTODO  para  AVALIAR  ALTERNATIVAS  e  ajudar  na  TOMADA  DE 
DECISÃO.  
Diante  das  situações  acima,  podemos  observar  que  o  estudo  da  Matemática  Financeira,  com  todas  as  suas 
fórmulas e fatores, é feito em função do crescimento de urna certa quantia em dinheiro aplicada com o tempo, 
isto é, dos juros. Portanto: PALAVRA CHAVE DA MATEMÁTICA FINANCEIRA: “JUROS”. 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
1.2 CAPITAL, MONTANTE, JUROS, TAXA DE JUROS e PRAZO
O que estudaremos agora faz parte do nosso vocabulário habitual com as mais diversas 
instituições bancárias, seja na hora de abrir uma caderneta de poupança, ou solicitar um 
empréstimo; também no nosso dia a dia, seja na hora de comprar ou vender um carro, 
eletrodoméstico etc.  
 
Para aplicação da Matemática Financeira precisamos entender algumas definições 
importantes, tais como: capital, montante, juros, taxas de juros e prazo. Mencionamos aqui 
para alinharmos estes conceitos. Para isto, vamos utilizar três exemplos práticos com situações 
diferentes, como segue: 
 
EXEMPLO 1 – CASO DE INVESTIMENTO
 
UM INVESTIMENTO DE R$100 RETORNOU R$140 AO SEU INVESTIDOR APÓS 6 MESES. 
 
 
CAPITAL1 
é o VALOR NO INICIO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$100.  
 
MONTANTE2
 é o VALOR NO FINAL DA OPERAÇÃO.  No exemplo seria R$140 
 
JUROS é o VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$40 ($140–$100). 
 
TAXA DE JUROS é a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO, obtido pela divisão JUROS.  
                              No exemplo seria $40 = 0,40 ou 40% em 6 meses.                                                     CAPITAL                            
                                       $100 
 
PRAZO é o PERÍODO DA OPERAÇÃO. No exemplo seriam 6 meses. 
 
 
O EXEMPLO 1 PODE SER FACILMENTE VISUALIZADO ATRAVÉS DA FIGURA ABAIXO: 
 
 
 
Esses são os conceitos básicos em Matemática Financeira. 
 
___________________ 
1 Alguns autores definem capital como “valor presente”, “valor inicial”, “capital inicial”, “valor atual” ou “principal”. 
2 Alguns autores definem montante como “valor futuro” ou “valor final”, “capital final”.  
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
EXEMPLO 2 – CASO DE EMPRÉSTIMO
EMPRÉSTIMO BANCÁRIO DE R$10, COM DEVOLUÇÃO DE R$15 APÓS 1 ANO. 
 
 
CAPITAL é o VALOR NO INICIO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$10.  
 
MONTANTE é o VALOR NO FINAL DA OPERAÇÃO.  No exemplo seria R$15 
 
JUROS é o VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$5 (R$15–R$10). 
 
TAXA DE JUROS é a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO, obtido pela divisão JUROS.  
                              No exemplo seria $5 = 0,50 ou 50% em 1 ano.                                                              CAPITAL                                               
                                     $10 
 
PRAZO é o PERÍODO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria 1 ano 
 
 
EXEMPLO 3 – CASO DE COMPRA A PRAZO
Um PEN DRIVE custa à vista R$100 ou a prazo em 6x de R$20, totalizando R$120. 
 
 
CAPITAL é o VALOR NO INICIO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria $100.  
 
 MONTANTE é o VALOR NO FINAL DA OPERAÇÃO.  No exemplo seria $120 ($100+$20) 
 
JUROS é o VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria $20 ($120–$100). 
 
TAXA DE JUROS  é a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO, obtido pela divisão JUROS.  
                               No exemplo seria $20 = 0,20 ou 20% em 6 meses.                                                       CAPITAL.                                             
                                      $100 
PRAZO é o PERÍODO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria 6 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES – JUROS E TAXAS DE JUROS
 
JUROS
JURO É O VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. Também conceituado por diversos autores como o 
“ALUGUEL QUE DEVE SER PAGO PELO USO DO DINHEIRO”; “REMUNERAÇÃO DO CAPITAL APLICADO”; 
“RENDIMENTO DE UMA OPERAÇÃO”. 
 
 
JUROS  = MONTANTE – CAPITAL 
JUROS    =        $120         –     $100 
JUROS    =        $20 
 
 
TAXA DE JUROS
É a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO. Portanto, uma taxa de juros revela o acréscimo de valor do 
dinheiro em certo tempo, devido a concessão do uso deste dinheiro. 
 
ABREVIATURAS PARA PRAZOS E TAXAS DE JUROS 
Para facilitar a representação é usual no mercado a abreviatura dos prazos e taxas, a saber: 
 
Taxa e abreviatura  SIGNIFICADO 
5% a.d.  Significa uma taxa de juros de 5% ao dia. 
5% a.m.  Significa uma taxa de juros de 5% ao mês. 
5% a.s.  Significa uma taxa de juros de 5% ao semestre. 
5% a.a.  Significa uma taxa de juros de 5% ao ano. 
 
FORMA PERCENTUAL e UNITÁRIA DAS TAXAS DE JUROS: 
 
O  MERCADO  financeiro  APRESENTA  as  taxas  na  FORMA  PERCENTUAL  (0,3%  a.d.;  20%  a.a.). 
Porém, para efetuar os CÁLCULOS, opera‐se na FORMA UNITÁRIA (0,003, 0,20) Veja abaixo: 
 
APRESENTADA  CALCULADA 
FORMA PERCENTUAL 
TRANSFORMAÇÃO
FORMA UNITÁRIA 
0,3% a.d.  0,3
/100  0,003  
0,45% a.m.  0,45
/100  0,0045  
2% a.s.  2
/100  0,02  
20% a.a.  20
/100  0,20  
 
ALTERAÇÃO PRÁTICA entre FORMA PERCENTUAL e UNITÁRIA: 
 
Forma percentual para UNITÁRIA 
FORMA PERCENTUAL  TRANSFORMAÇÃO  FORMA UNITÁRIA 
0,3%  0,3
/100  0,003 
Ou pular duas casas decimais para 
ESQUERDA  
 
Forma unitária para PERCENTUAL 
FORMA UNITÁRIA  TRANSFORMAÇÃO  FORMA PERCENTUAL 
0,02  0,02
x 100  2% 
Ou pular duas casas decimais para 
DIREITA 
 
 
 
 
DO EXEMPLO 3 (pág. 11) 
EXEMPLO 
O juro de um capital de $1.000 
aplicado a taxa de 20% a.a. será: 
 
$1.000 x 0,20 = $200 
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EXERCÍCIO 1 - EXERCITANDO OS CONCEITOS...
1. Observe a propaganda ao lado e informe: 
 
Qual o capital?___________________________________________  
Qual o valor do montante? _________________________________ 
Qual o valor do juro cobrado?_______________________________  
Qual a taxa de juro?_______________________________________ 
Qual o prazo?____________________________________________
2. Observe a propaganda ao lado e informe: 
 
Qual o capital?___________________________________________  
Qual o valor do montante? _________________________________ 
Qual o valor do juro cobrado?_______________________________  
Qual a taxa de juro?_______________________________________ 
Qual o prazo?____________________________________________
3.  Um  Fusca  estava  sendo  vendido  à  vista  pelo  valor  de  R$8.000.  Robervaldo  comprou  a  prazo 
pagando um valor total de $ 9.500, após 12 meses. 
 
Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________ 
Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________ 
Qual o prazo?_________________ 
 
4. Para um empréstimo de $500 foram pagos, além do valor do empréstimo, mais $70 de acréscimo, 
após 6 meses. 
 
Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________ 
Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________ 
Qual o prazo?_________________ 
 
5. A quantia de $2.000 foi aplicada em um banco e, após 1 mês, retornou ao investidor $2.040: 
 
Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________ 
Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________ 
Qual o prazo?_________________ 
 
 
R$718,80 
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6. Numa aplicação na caderneta de poupança obtive um rendimento de $200 em 6 meses. Sabendo‐se 
que o valor aplicado foi de $1.600, informe: 
 
Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________ 
Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________ 
Qual o prazo?_________________ 
 
7. Qual foi o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de $1.225 e 
que gerou um montante de $1.487? 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 
8.  Qual  o  valor  do  investimento  em  um  banco  que  gerou  um  resgate  de  $1.500,  sabendo‐se  que  o 
rendimento desta aplicação foi de $378? 
_____________________________________________________________________________________ 
 
 
9. Converta as taxas a seguir da forma percentual para a forma unitária, e vice‐versa:   
 
a) 25%___________ b) 5%___________ c) 1,5%___________ d) 0,5%__________ e) 0,18%___________           
f) 0,16___________ g) 0,0034___________ h) 0,07___________ i) 0,5__________ j) 0,65____________           
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3 REGIME DE JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS
A partir de agora passaremos a explorar o tema “JURO” com mais profundidade. No Mercado 
Financeiro existem 2 tipos de juros: os juros “simples” e “compostos”.  
 
1.3.1 CONCEITO DE JURO SIMPLES
 
É AQUELE CALCULADO SOMENTE SOBRE O CAPITAL NO INÍCIO EMPREGADO. 
 
EXEMPLO A: 
JOÃO TOMA EMPRESTADO DE UM BANCO $10.000 PELO PRAZO DE 3 MESES, À 
TAXA DE JUROS SIMPLES DE 5% AO MÊS. QUAL O MONTANTE A PAGAR? 
 
Mês  CAPITAL INÍCIO EMPREGADO  JUROS  MONTANTE (ou valor futuro) 
1º   10.000  500 (10.000 x 0,05)  10.500 (10.000+500) 
2º     500 (10.000 x 0,05)  11.000 (10.500+500) 
3º     500 (10.000 x 0,05)  11.500 (11.000+500)  
 
Observe  que  os  juros  foram  calculados  somente  sobre  o  CAPITAL  NO  INÍCIO  EMPREGADO 
($10.000); isso quer dizer que os JUROS SERÃO SEMPRE CALCULADOS SOBRE UM ÚNICO VALOR. 
Nesse caso, os juros são simples e que o valor a ser pago no final do 3º mês é de $11.500. 
 
Juros simples são largamente usados em países em que a inflação (perda do poder de compra) é muito baixa, ou 
em contextos em que as taxas de juros anuais são muito pequenas, pois nestes casos, a perda ao longo dos tempos 
é relativamente insignificante. (SANTOS, 2001, p. 14). 
1.3.2 CONCEITO DE JUROS COMPOSTOS
 
É AQUELE CALCULADO SEMPRE SOBRE O MONTANTE DO PERÍODO ANTERIOR. 
 
EXEMPLO B: 
JOÃO TOMA EMPRESTADO DE UM BANCO $10.000 PELO PRAZO DE 3 MESES, À 
TAXA DE JURO COMPOSTO DE 5% AO MÊS. QUAL O MONTANTE A PAGAR? 
 
Mês  CAPITAL   JUROS  MONTANTE (ou valor futuro) 
1º   10.000  500 (10.000 x 0,05)   10.500 (10.000 + 500)  
2º   10.500  525 (10.500 x 0,05)   11.025 (10.500 + 525)  
3º   11.025  551 (11.025 x 0,05)  11.576 (11.025 + 551) 
 
Observe que os juros dos meses 2º e 3º ($525 e $551) foram calculados sobre o MONTANTE DO 
PERÍODO ANTERIOR ($10.500 e $11.025, respectivamente). Daí afirmamos que neste regime são 
calculados  “JUROS  SOBRE  JUROS”.  Nesse  caso,  o  valor  a  ser  pago  no  3º  mês  é  de  $11.576, 
superior ao calculado pelos juros simples. 
 
Juros compostos são largamente usados no Mercado Financeiro. Um exemplo é a caderneta de poupança, em 
que você aplica seu dinheiro e, após um mês, já apresente o capital acrescido de juros. Observe que a partir do 1º 
mês, mesmo que você não aplique nada mais, continuará rendendo juros sobre o montante do período anterior. 
NOTAS: 
O crescimento do dinheiro ao longo do tempo é denominado CAPITALIZAÇÃO. 
Chamamos de REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO a maneira como os juros evoluem ao longo do 
tempo, podendo ser REGIME de JUROS SIMPLES e REGIME de JUROS COMPOSTOS. 
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EXERCÍCIO 2 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE SISTEMAS DE JUROS.
 
1. Apliquei $1.000 no banco a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Determine o montante no final 
de cada período pelos sistemas de juros simples e compostos.
 
1.a. Sistema de Juros Simples: 
 
Mês  CAPITAL no INÍCIO  JUROS   MONTANTE (ou valor futuro) 
1       
2       
3       
 
1.b. Sistema de Juros Compostos: 
 
Mês  CAPITAL   JUROS   MONTANTE (ou valor futuro) 
1       
2       
3       
1.3.3 CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES:
A Matemática Financeira utiliza determinadas “FÓRMULAS PADRÃO” para cálculo de juros. A 
forma de cálculo que estudamos foi apenas para entendimento do conceito.  
 
Os elementos a serem considerados para efetuarmos o CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES são: 
 
ELEMENTOS    FÓRMULAS 
c  = capital     
M  = montante    J = c.n.i 
J  = juros    e/ou 
i  = taxa de juro unitária    M = c(1 +  i.n)
n  = prazo     
 
EXEMPLO – CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO A (pág. 15)
João toma emprestado de um banco $10.000 pelo prazo de 3 meses, à taxa de juros simples de 5% ao 
mês. Qual o MONTANTE a pagar? 
    CÁLCULO DETALHADO 
C  = 10.000    M = c(1 +  i.n) 
M  = ?    M = 10.000 (1  +  0,05.3) 
i  = 5% → 0,05    M = 10.000 (1  +  0,15)
n  = 3 meses    M = 10.000 (1,15)
      M = 11.500  
Observe que M=11.500 é o mesmo resultado do exemplo A, da página 15, quando fizemos passo a passo. 
 
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EXEMPLO 2– CONTINUAÇÃO DO EXERCÍCIO 1.a. (pág. 16)
Apliquei $1.000 no banco a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Determine o MONTANTE no final 
do período pelo sistema de juros simples.
    CÁLCULO  
C  = 1.000    M = c(1 +  i.n) 
M  = ?    M = 1.000 (1  +  0,1.3) 
i  = 10% → 0,10     M = 1.000 (1,3)
n  = 3 meses    M = 1.300
EXEMPLO 3
Apliquei $2.000 à taxa de juros simples de 6 % a.a. por 2 anos. Quanto de JUROS recebi? 
 
    CÁLCULO  
C  = 2.000     
J  = ?    J = c.n.i 
i  = 6% → 0,06    J = 2.000 . 2 . 0,06
n  = 2 anos    J = 240
 
EXEMPLO 4
A que TAXA DE JUROS simples foi empregado o capital de $2.000 que rendeu em 2 anos $240 de juro? 
 
    CÁLCULO  
C  = 2.000    J = c.n.i 
J  = 240    240 = 2.000 . 2 . i
i  = ?    240 = 4000i
n  = 2 anos        i  = 0,06 ou 6% 
 
EXEMPLO 5
Qual o CAPITAL necessário para se ter um montante de $15.000 daqui a 3 anos, a uma taxa de 8% a.a.  
no regime de juro simples? 
 
    CÁLCULO 
C  = ?    M = c(1 +  i.n) 
M  = 15.000    15.000 = c(1  +  0,08.3) 
i  = 8% → 0,08    15.000 = 1,24c
n  = 3 anos     C = 12.096
 
EXEMPLO 6
Um  comerciante,  após  uma  consulta  de  preços  para  a  aquisição  de  um  carro,  recebeu  a  seguinte 
proposta: pagamento à vista de $15.000 ou 18.000, após 2 meses. Qual é a TAXA DE JUROS simples? 
 
    CÁLCULO 
C  = 15.000    M = c(1 +  i.n) 
M  = 18.000    18.000 = 15.000(1  +  i.2) 
i  = ?    18.000 = 15.000  +  30.000i
n  = 2 meses     18.000 ‐ 15.000 = 30.000i
      3.000 = 30.000i  
      i= 0,10 ou 10% 
EXEMPLO 7
A papelaria Risque e Rabisque investiu um capital de $6.000 à taxa de juros simples de 5% a.m. 
Quantos MESES serão necessários para que ela tenha $7.800? 
    CÁLCULO  
C  = 6.000    M = c(1 +  i.n) 
M  = 7.800    7.800 = 6.000 (1  +  0,05.n) 
i  = 5% → 0,05     7.800 = 6.000  +  300n)
n  = ?    7.800 ‐ 6.000 = 300n
      1.800 = 300n 
      n = 6 meses 
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EXERCÍCIO 3 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE JUROS SIMPLES  
1 ‐ Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses à taxa de 1,5% a.m., para obtermos $441 de juro? (CRESPO, p88) 
C= $9.800 
2 ‐ Tomou‐se emprestada a importância de $1.200, pelo prazo de 2 anos, à taxa de juros simples de 30% a.a. 
Qual será o valor do juro a ser pago? (CRESPO, p81). 
j=$720 
3 ‐ Calcule o Capital que deve ser depositado numa aplicação sob o regime de juros simples, durante 8 meses, à 
taxa de 3,5% a.m. para se conseguir um Montante de $190. (SICSÚ, p9). 
C = $148 
4 ‐ Temos um capital de $12.000 e o aplicamos a uma taxa de juros de simples de 2,4% a.m. Qual o valor a ser 
resgatado ao final de 10 meses? (SENAC, p21). 
M = 14.480 
 
 
 
 
 
5 ‐ Qual o capital que, aplicado por 1 ano e 6 meses (18 meses), à taxa 1,2% a.m., rendeu $19.008? (CRESPO, p88). 
C=$88.000 
6 ‐ Um investidor aplicou $200 por 4 meses à taxa de juros simples 1% a.m. Qual o montante? (Adapt. SICSÚ, p.15). 
M = $208 
7 ‐ Se, ao final de 4 meses, Luís deve pagar $ 1.200 por um empréstimo, à taxa de juros simples de 3% a.m., qual 
foi o valor do seu empréstimo? (SENAC, p13). 
C = 1.071 
8 ‐ Quantos meses são necessários para se obter um montante de $7.000, sabendo‐se que o capital investido foi 
de $5.000 à taxa de juros simples de 4% a.m. (PROFESSOR).
n = 10 meses
 
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1.3.4 CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS:
Os elementos a serem considerados para efetuarmos o CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS são: 
 
ELEMENTOS    FÓRMULAS  Usadas para: 
c  = capital       
M  = montante    M = c (1 + i)n
  M, c, j 
J  = juros    * i = (M
/c) 1/n
  ‐ 1  i 
i  = taxa de juro unitária  * n = log(M
/c) ÷ log(1+i)  n 
n  = prazo       
EXEMPLO 1– CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO B (pág. 15)
João toma emprestado de um banco $10.000 pelo prazo de 3 meses, à taxa de juro composto de 5% ao 
mês. Qual o MONTANTE a pagar? 
    CÁLCULO DETALHADO 
C  = 10.000    M = c (1 + i)n
 
M  = ?    M = 10.000 (1  +  0,05)3
 
i  = 5% → 0,05    M = 10.000 (1,05)3
n  = 3 meses    M = 10.000 (1,1576)
      M = 11.576  
Observe que M=11.576 é o mesmo resultado do exemplo B, da página 15, quando fizemos passo a passo. 
EXEMPLO 2– CONTINUAÇÃO DO EXERCÍCIO 1.b. (pág. 16)
Apliquei $1.000 no banco a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Determine o MONTANTE no final 
do período pelo sistema de juros compostos.
    CÁLCULO  
C  = 1.000    M = c (1 + i)n
 
M  = ?    M = 1.000 (1  +  0,1)3
 
i  = 10% → 0,10     M = 1.000 (1,1)3
n  = 3 meses    M = 1.331
EXEMPLO 3
Qual o CAPITAL necessário para se ter um montante de $15.000 daqui a 3 anos, a uma taxa de 8% a.a.  
no regime de juro composto? 
 
    CÁLCULO 
c  = ?    M = c (1 + i)n
 
M  = 15.000    15.000 = c(1  +  0,08)3
 
i  = 8% → 0,08    15.000 = 1,2597c
n  = 3 anos     C = 11.907
 
EXEMPLO 4
Apliquei $2.000 à taxa de juros composta de 6 % a.a. por 2 anos. Quanto de JUROS recebi? 
 
    CÁLCULO  
c  = 2.000    M = c (1 + i)n
 
J  = ?    M = 2000 (1 + 0,06)2
 
i  = 6% → 0,06    M = 2000 (1,06)2
n  = 2 anos    M = 2247
      J=M‐C  →  2247‐2000  → J=247 
 
____________ 
*SENAC, 2008, p.18 
Para calcular (1,05)3
 basta dispor
de  uma  calculadora  eletrônica 
que apresente a tecla Xy 
 ou ^.  
 
Procedimento: 
Introduza 1,05 Xy 
 3 = 1,1576 
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EXEMPLO 5
A que TAXA DE JUROS composta foi empregado o capital de $2.000 que rendeu em 2 anos $240 de 
juro? 
 
    CÁLCULO  
c  = 2.000    i = (M
/c) 1/n
  ‐ 1 
M  = 2240    i = (2240
/2000) 1/2
  ‐ 1
i  = ?    i = (1,12) 1/2
  ‐ 1
n  = 2 anos    i = (1,12) 0,5
  ‐ 1 
      i = 1,0583 – 1   →  0,058 ou 5,8% 
 
 
EXEMPLO 6
A papelaria Risque e Rabisque investiu um capital de $6.000 à taxa de juros composto de 5% a.m. 
Quantos MESES serão necessários para que ela tenha $7.800? 
    CÁLCULO  
      n = log(M
/c) ÷ log(1+i) 
c  = 6.000    n = log(7800
/6000) ÷ log(1+0,05) 
M  = 7.800    n = log(1,3) ÷ log(1,05)
i  = 5% → 0,05     n = 0,1139 ÷ 0,0211
n  = ?    n = 5,4 meses 
      0,4 x 30 = 12 dias 
      5 meses e 12 dias 
 
Usamos o logaritmo “log” para calcular períodos. No exemplo acima basta clicar 
na calculadora eletrônica Log  1,3 = 0,1139  e  Log  1,05 = 0,211   
___________________________________________________________________________________
EXERCÍCIO 4 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS 
1‐ Luis Inácio toma emprestado do Banco Real $15.000 pelo prazo de 6 meses, à taxa de juro composto de 3% ao 
mês. Qual o MONTANTE a pagar? 
 
2‐  Apliquei  $3.000  no  banco  a  uma  taxa  de  5%  a.m.  durante  8  meses.  Determine  o  MONTANTE  no  final  do 
período pelo sistema de juros compostos. 
 
3‐ Qual o CAPITAL necessário para se ter um montante de $30.000 daqui a 5 anos, a uma taxa de 12% a.a.  no 
regime de juro composto? 
 
4 ‐ Apliquei $25.000 à taxa de juros composta de 14 % a.a. por 7 anos. Quanto de JUROS recebi? 
 
5‐A que taxa de juros composta foi empregado o capital de $5.000 que rendeu em 4 anos $1.000 de juro? 
 
6‐ Fiz um empréstimo bancário de $55.000 pelo prazo de 7 anos, à taxa de juro composto de 3% a.a. Qual o 
montante a pagar? 
 
7‐ Apliquei $100.000 em títulos do governo federal a uma taxa de 0,9% a.m. durante 11 meses. Determine o 
montante no final do período pelo sistema de juros compostos. 
 
8‐ Quanto preciso hoje para ter um montante de $90.000 daqui a 3 anos, a uma taxa de 9% a.a.  no regime de 
juro composto? 
-21-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
1.4 OPERAÇÕES DE DESCONTO
A QUANTIA A SER ABATIDA DO MONTANTE, QUANDO O PAGAMENTO É FEITO ANTES DO DIA DO 
VENCIMENTO É DENOMINADA DESCONTO. 
• Todo título de crédito (duplicatas, notas promissórias, cheques etc.) tem uma data de vencimento; porém, 
o devedor pode realizar o pagamento antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado 
desconto. Portanto, quando o devedor efetua o pagamento antes do dia predeterminado, ele se beneficia 
(tem uma recompensa) com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro 
durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.  
 
• A operação consiste na aplicação de uma taxa de juros, denominada taxa de desconto, sobre o montante, 
durante um determinado período, reduzindo‐lhe o valor. 
 
• Ora, o credor pode precisar do dinheiro antes da data de vencimento do título e para isso ele concede um 
desconto sobre o valor que ele tenha a receber. 
 
• Regra fundamental: A TAXA DE DESCONTO INCIDE SOBRE O MONTANTE. 
Basicamente, existem dois sistemas de descontos: Desconto simples e Desconto composto.  
1.4.1 Desconto Simples
O desconto comercial simples pode ser calculado aplicando a seguinte expressão matemática: 
ELEMENTOS    FÓRMULA BÁSICA 
D  = valor do desconto     
M  = Montante (ou valor nominal)    D = M * i *n 
i  = taxa de desconto unitária     
n  = prazo ou tempo     
 
Exemplo  1.  Qual  o  desconto  simples  de  um  título  no  valor  de  R$  50.000  se  ele  for  pago  2  meses  antes  do 
vencimento à uma taxa de 5 % a.m.? Qual será o valor atual? 
 
D  = ?    D = M * i *n 
M  = 50.000    D = 50.000 * 0,05 * 2 
i  = 5% → 0,05    D = 5.000 
n  = 2 meses     
 
Valor atual = M‐D 
Valor atual = 50.000 – 5.000 = 45.000 
 
-22-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
Exemplo 2. Um título de $10.000 vence daqui a 3 meses. Se quiser pagar hoje, a instituição financeira oferece um 
desconto simples com uma taxa de desconto de 3,5% ao mês. Qual o valor de desconto? Qual o valor atual? 
 
D  = ?    D = M * i *n 
M  = 10.000    D = 10.000 * 0,035 * 3 
i  = 3,5% → 0,035    D = 1.050 
n  = 3 meses     
 
Valor atual = M‐D   |    Valor atual = 10.000 – 1.050 = 8.950 
 
1.4.2 Desconto Composto 
O desconto racional composto é utilizado basicamente em operações de longo prazo. Pode ser calculado 
aplicando a seguinte expressão matemática: 
ELEMENTOS    FÓRMULA BÁSICA 
Va  = valor atual     
M  = Montante (ou valor nominal)    Va =     M 
i  = taxa de desconto unitária                (1+ i)n
 
n  = prazo ou tempo     
 
Exemplo  1.  Qual  o  desconto  composto  de  um  título  no  valor  de  R$  50.000  se  ele  for  pago  2  meses  antes  do 
vencimento à uma taxa de 5 % a.m.? Qual será o valor atual? 
 
Va  = ?    Va =     M 
M  = 50.000                (1+ i)n
 
i  = 5% → 0,05         Va =  50.000    =   45.351 
n  = 2 meses                 (1+0,05)2
 
 
Valor atual = 45.351      |      Desconto = 50.000 – 45.351 = 4.649, 
Exemplo 2. Um título de $10.000 vence daqui a 3 meses. Se quiser pagar hoje, a instituição financeira oferece um 
desconto composto com uma taxa de desconto de 3,5% ao mês. Qual o valor de desconto? Qual o valor atual? 
Va  = ?    Va =     M 
M  = 50.000                (1+ i)n
 
i  = 3,5% → 0,035         Va =  10.000    =   9.019, 
n  = 3 meses                 (1+0,035)3
 
Valor atual = 9.019    |    Desconto = 10.000 – 9.019   =  981, 
_____________________________________________________________________________________
EXERCÍCIO 5 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE DESCONTOS 
 
1. Qual o desconto simples e composto de um título no valor de R$ 40.000 se ele for pago 4 meses antes do 
vencimento à uma taxa de 4 % a.m.? Quais  os valores atuais? 
2. Um título de $80.000 vence daqui a 6 meses. Se quiser pagar hoje, a instituição financeira oferece um desconto 
com taxa de 2% ao mês. Qual o valor de desconto simples e composto? Quais os valores atuais? 
3. Determine o valor atual de um título de $800, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto de 
2% a.m.. Considerar simples e composto. (Crespo, p.128). 
4. Qual o desconto que um título de $5.000 sofre ao ser descontado 3 meses antes de seu vencimento, à taxa de 
2,5% a.m. Considerar simples e composto. (Crespo, p. 128) 
-23-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
1.5 TAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTE
Taxa efetiva
 
É aquela em que a unidade de tempo de referência coincide com a unidade de tempo dos períodos de 
capitalização. 
 
Exemplos: 
 
1% ao mês com capitalização mensal  7% ao ano com capitalização anual 
 
Taxa Nominal
 
É aquela em que a unidade de tempo de referência não coincide com a unidade de tempo dos períodos 
de capitalização. 
 
Exemplos: 
 
3% ao mês com capitalização anual  12% ao ano com capitalização mensal 
 
Taxa Equivalente
 
É aquela que, no regime de juros compostos, ao ser aplicada ao mesmo capital, num mesmo intervalo 
de tempo, produzem montantes iguais. Exemplo: 
 
 
1% ao mês é equivalente a 12,68% ao ano. 
 
Informar a um poupador que um título rende 12% a.a. ou 1% a.m. não está correto. Na realidade, 1% 
a.m. equivale a 12,68% a.a, em função dos juros compostos. 
Informar ao poupador que um título rende 36% a.a. ou 3% a.m. também não procede. Na realidade, 
36% a.a. é o mesmo que 2,6% a.m. 
O comerciante quando diz ao prestamista que a taxa de juros será 4% ao mês ou 48% ao ano, está 
dando uma falsa informação. Na verdade, 4% ao mês equivale a 60,1% ao ano. 
 
A equivalência das taxas indica uma simples mudança na unidade de contagem do tempo da operação. 
Expressões matemáticas básicas e de fácil manuseio que nos fornece a equivalência de duas taxas são: 
 
ELEMENTOS    FÓRMULAS RELACIONADAS 
ia    tx anual  Ib tx bimestral     
is  tx semestral  im  tx mensal    (1+ia)1
  => (1+is)2
  => (1+it)4
  => (1+ib)6
  => (1+im)12
  => (1+id)360
   
it  tx trimestral  id Tx dária     
 
 
(1+ia)1
 → Um ano  (1+ib)6 
→ Um ano têm 6 bimestres 
(1+is)2
 → Um ano têm 2 semestres  (1+im)12
→ Um ano têm 12 meses Considerando que: 
(1+it)4
 → Um ano têm 4 trimestres  (1+id)360
 → Um ano têm 360 dias 
 
Observe que essas fórmulas se relacionam. Assim, se eu quero saber a taxa anual e tenho a taxa mensal, usarei a 
seguinte expressão: (1+ia)1
 => (1+im)12
.  Caso eu tenha a taxa anual e queira saber a taxa mensal, usarei a mesma 
expressão. 
 
Portanto, podemos montar uma tabela orientativa, com as seguintes fórmulas relacionadas: 
 
Ano para mês → (1+ia)1
 => (1+im)12
   Ano para bimestre → (1+ia)1
 => (1+ib)6 
 
Ano para semestre →  (1+ia)1
 => (1+is)2  
  Ano para dia → (1+ia)1
 => (1+id)360 
 
Ano para trimestre → (1+ia)1
 => (1+it)4 
   
-24-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
Exemplo 1. Qual a taxa anual de juros equivalente a 1% 
ao mês? 
 
      (1+ia)1
  => (1+im)12
 
ia  = ?    (1+ia) = (1+0,01)12
   
im  = 1% → 0,01    ia  =  1,0112
 ‐ 1 
      ia = 0,1268 ou 12,68% 
Exemplo 2. Qual a taxa mensal de juros equivalente a 
12,68% ao ano?   
(1+ia)1
  => (1+im)12
 
ia  = 12,68% → 0,1268    (1+0,1268)1
 = (1+im)12
 
im  = ?    (1,1268) 
1/12 
– 1 
= 
im   
      im = 0,0099 ou 1% 
       
 
Exemplo 3. Qual a taxa anual de juros equivalente a 3% 
ao mês? 
      (1+ia)1
  => (1+im)12
 
ia  = ?     (1+ia) = (1+0,03)12
   
im  = 3% → 0,03    ia  =  1,0312
 ‐ 1 
      ia = 0,4257 ou 42,57% 
Exemplo 4. Qual a taxa mensal de juros equivalente a 
36% ao ano? 
(1+ia)1
  => (1+im)12
 
ia  = 36% →0,36    (1+0,36)1
 = (1+im)12
  
im  = ?    (1,36) 
1/12 
– 1 
= 
im   
      im = 0,026 ou 2,6% 
Exemplo 5. Qual a taxa semestral de juros equivalente 
a 12% ao ano? 
      (1+ia)1
  => (1+is)2
 
ia  = 12% → 0,12     (1+0,12)1
 = (1+is)2
   
is  = ?    1,12 1/2
 – 1 = is 
      is = 0,0583 ou 5,83% 
Exemplo 6. Qual a taxa trimestral de juros equivalente 
a 30% ao ano? 
(1+ia)1
  => (1+it)4
 
ia  = 30% → 0,30    (1+0,3)1
 = (1+it)4
  
it  = ?    (1,3) 
1/4 
– 1 
= 
im   
      it = 0,0677 ou 6,77% 
       
Exemplo 7. Qual a taxa mensal de juros equivalente a 
40% ao semestre? 
    (1+is)2
  => (1+im)12
im  = ?     (1+0,4)2
  = (1+im)12
 
is  = 40% →0,40    (1,4)2/12 
‐ 1 =  im 
      im = 0,0576 ou 5,75% 
Nota:  A  taxa  equivalente  também  pode  ser  obtida  pela 
fórmula abaixo, desde que partindo de uma taxa maior para 
uma menor (por exemplo, ano para mês ou mês para dia): 
 
ieq = (1+i)
n/360
 ‐ 1 
 
ieq = taxa equivalente procurada. 
i = taxa dada. 
n = quant. dias da taxa procurada. 
 
Ex.Qual a taxa mensal de juros equivalente a 36% ao ano? 
ieq = (1+i)
n/360
 – 1  
ieq = (1+0,36)
30/360
 – 1        
ieq = 2,6% a.m. 
EXERCÍCIO 6 - EXERCITANDO CONCEITOS DE TAXAS EQUIVALENTES 
1. Qual a taxa anual de juros equivalente a 4% ao mês? 
 
 
2. Qual a taxa mensal de juros equivalente a 47% ao ano? 
 
 
3. Qual a taxa semestral de juros equivalente a 18% ao ano? 
 
 
4. Qual a taxa trimestral de juros equivalente a 25% ao ano? 
 
 
5. Qual a taxa mensal de juros equivalente a 35% ao semestre?
-25-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
Em Finanças, o fluxo de caixa (designado em inglês por "cash
flow"), refere-se ao montante de caixa recebido e gasto por
uma empresa durante um período de tempo definido, algumas
vezes ligado a um projeto específico.
Unidade 2
FLUXO DE CAIXA
-26-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
2.1 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
“Tempo é dinheiro”. Sem sombra de dúvida, o dinheiro tem valor no tempo.  
 
Deve‐se ter em mente que o capital (dinheiro, no caso presente) assume valores diferentes em datas 
diversas. Esta idéia é de fundamental importância.  
 
Inflação 
A disponibilidade de R$100,00 hoje não é equivalente a se ter R$100,00 daqui a 
um ano. Pois o que se compra hoje com este valor, pode não ser mais adquirido 
daqui a um ano com a mesma quantia, em decorrência da inflação (perda do 
poder de compra) 
 
Para  países  com  economias  inflacionárias  históricas,  como  é  o  caso  brasileiro,  este  fato  é  de  fácil 
aceitação. Mesmo que se desconsiderem os efeitos da inflação, a concepção permanece.  
 
Aplicações no mercado financeiro 
 
Imagine a questão por outra ótica: R$100,00 hoje, podem ser aplicados no 
mercado financeiro a uma taxa de juros de 10% a.a., por exemplo. Daqui a 
um  ano,  a  pessoa  terá  um  saldo  de  R$110,00.  Portanto,  diferente  de 
R$100,00 iniciais. Pela mesma razão, um empresário investe um determinado 
capital numa oportunidade de negócio, esperando que, após algum tempo, 
haja um montante de capital superior ao inicialmente investido 
 
No mercado financeiro, R$100,00 hoje será igual R$100,00 daqui a um ano, somente se permanecer 
guardado num cofre ou depositado em conta corrente não remunerada de um banco comercial. Nesta 
segunda  situação,  é  ignorar  a  possibilidade  de  se  aplicar  o  valor  em  operações  financeiras,  como: 
caderneta de poupança, certificado de depósito bancário, fundo de renda fixa, entre outras, pelo prazo 
de um ano.  
 
Portanto, um capital numa data terá o mesmo valor em outra data somente não havendo alternativa de 
investimento. Em países com escassez de recursos financeiros e uma infra‐estrutura deficiente, isso é 
particularmente mais verdadeiro. Em outras palavras, nessa situação, haverá uma demanda superior à 
oferta  de  capital.  Em  conseqüência,  geralmente  ocorre  uma  disposição  para  tomar  dinheiro  por 
empréstimo, mediante o pagamento de juro.  
 
De outra forma: uma pessoa dispõe de um dado capital: 
 
 
 
 
 
 
 
Numa data futura, espera ter: 
 
-27-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
2.2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA
Na verdade, de uma forma ligeira já vimos alguns fluxos de caixa nesta apostila, mas não conforme as 
regras da Matemática Financeira. O conceito de fluxos de caixa é muito ilustrativo e vale a pena estudá‐
lo,  já  que  todas  as  operações  financeiras  podem  ser  representadas  por  eles  de  uma  forma  simples, 
elegante e sintética.  
 
A palavra fluxo nos dá a idéia de movimento. A palavra caixa contém a idéia de capital, de dinheiro. 
Assim,  uma  possível  expressão  sinônima  para  fluxo  de  caixa  seria  MOVIMENTO  DE  CAPITAL.  O 
movimento de capital a cada período, então, é considerado um fluxo de caixa. Assim, ao longo de um 
certo prazo, poderemos ter vários fluxos de caixa, o que representaremos através de um diagrama de 
fluxos de caixa.  
 
Vamos ilustrar um diagrama de fluxo de caixa com exemplo de um investimento de $100, que retornou 
$150, após 6 meses: 
 
Observe que, de uma forma geral, um diagrama é composto de uma linha horizontal ‐ a linha do tempo ‐ que 
mostra os períodos relevantes para o mesmo. Nestes períodos, temos flechas verticais que sinalizam os fluxos, 
respeitando‐se a seguinte convenção: 
 
evento  que  significa  saída  de  caixa  (investimento)  arbitrar‐se  negativo  e  o  representa  por  seta 
descendente (para baixo ↓); 
evento que significa entrada de caixa (direito) são representados por setas ascendentes (para cima ↑). 
 
O fluxo de caixa também pode ser representado da seguinte forma: 
Período  Saídas  Entradas 
JAN  $100   
FEV    ‐ 
MAR    ‐ 
ABR    ‐ 
MAI    ‐ 
JUN    ‐ 
JUL    $150 
-28-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
COLI, Luis Eurico Junqueira. Textos acadêmicos: Matemática financeira.
Lavras: MG. UFLA/FAEPE, 2004. 213p.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Comercial e Financeira fácil. 11 ed.
São Paulo: Saraiva, 1996. 238 p.
HALFELD, Mauro. Investimentos: como administrar melhor seu dinheiro.
3 ed. São Paulo: Fundamento, 2008. 167p.
MARTINS, José Pio. Educação financeira ao alcance de todos. São Paulo:
Fundamento, 2004. 104 p.
MINELLO, Roberto; RODRIGUES, Marcelo. Matemática financeira e
comercial. Rio de Janeiro: Ferreira, 2009. 280 p.
NETO, Alexandre Assaf. Matemática financeira e suas aplicações. 5 ed. São Paulo: Atlas, 2000. 427 p.
SANTOS, João Carlos dos. Matemática financeira com a calculadora HP12. São Paulo: Villipress, 2001. 135p
SENAC. Matemática Financeira. Rio de Janeiro: SENAC Nacional, 2008. 88p.
SICSÚ, Bernardo. Fundamentos da Matemática Financeira. Rio de Janeiro: Fundo de cultura, 2004. 88 p.
LIVROS PUBLICADOS POR
Uanderson Rébula de Oliveira
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  • 1. -1- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira Fundamentos Básicos da MATEMÁTICA FINANCEIRA %  $  0,01% R$ 5.000 juros  TEMPO Prof. Uanderson Rebula de Oliveira
  • 2. -2- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira                      EMENTA. Capital, juros, montante, taxa de juros. Sistemas de juros simples. Operações de desconto Sistemas de juros compostos. Taxa nominal, efetiva e equivalente. Valor do dinheiro no tempo. Taxa mínima de atratividade versus inflação. Diagrama de fluxo de caixa. Análise do fluxo de caixa através do Payback Simples e Descontado. Análise do fluxo de caixa através do Valor Presente Líquido OBJETIVO. Compreender os conceitos e os princípios fundamentais da Matemática Financeira para resolver problemas que envolvam juros simples, compostos, desconto de títulos; Compreender o que é e para que serve um fluxo de caixa; Saber a diferença do dinheiro em deferentes épocas; Avaliar a viabilidade de um investimento através do Valor Presente Líquido e Payback.   Produção Industrial e Automotiva UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA Mestrando em Engenharia (ênfase Engenharia de Produção)-Universidade Estado de São Paulo-FEG-UNESP Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-UFLA Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC Técnico em Segurança, Saúde e Higiene do Trabalho-ETPC Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC Professor da Universidade Estácio de Sá nas disciplinas de Gestão Financeira de Empresas, Fundamentos da Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e Estatística, Ergonomia, Higiene e Segurança do Trabalho, Gestão de Segurança e Análise de Processos Industriais, Gestão da Qualidade: programa 5S (curso de férias). Palestrante para Administradores (graduação). Ex-professor Conteudista na UNESA (elaboração de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional). Professor em escolas técnicas nas disciplinas de Estatística Aplicada, Estatística de Acidentes do Trabalho, Probabilidades, Contabilidade Básica de Custos, Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na Engenharia de Construção Civil e Higiene do Trabalho. Ex-professor do SENAI. Desenvolvedor e instrutor de diversos cursos corporativos na CSN, a níveis Estratégicos, Táticos e Operacionais. Membro do IBS–Instituto Brasileiro de Siderurgia. Fundamentos Básicos da MATEMÁTICA FINANCEIRA Campus Resende 2010
  • 3. -3- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira NOTA DO PROFESSOR No mundo atual, extremamente complexo e globalizado, as questões financeiras surgem a todo o  momento no nosso cotidiano.    Precisamos  ficar  atentos,  pois  utilizamos  diariamente  inúmeras  operações  para  tomarmos  algumas decisões em relação ao dinheiro. São empréstimos, compra e venda, pagamentos de tarifas de  luz, água, impostos, aplicações em bancos, tudo isso relacionado com a economia do país.    É possível citar, também, as decisões importantes que tomamos quanto aos financiamentos para  a aquisição de carros, casas, terrenos etc e aos financiamentos que as empresas fazem para aquisição  de máquinas, equipamentos etc.     A oscilação do preço do financiamento representado pela elevação ou queda das taxas de juros,  o estabelecimento de prazos para a conclusão das operações de financiamento e de investimento, o  risco inerente a cada decisão são problemas financeiros latentes de solução.     A Matemática Financeira oferece o instrumental ideal para lidar com os fatos citados. Há extrema  necessidade  das  pessoas  em  geral  e,  especificamente  da  classe  estudantil,  tomarem  conhecimento  desse poderoso instrumental para auxiliá‐los no entendimento e nas respostas a tais questões.     O  conhecimento  básico  das  operações  de  financiamento  e  investimento  habilita  o  cidadão  a  escolher caminhos racionais com nível de risco pré‐determinado.    O objetivo desta apostila é apresentar de forma simples e objetiva os fundamentos básicos da  Matemática  Financeira.  Trata‐se  de  um  estudo  introdutório  visando  principalmente  a  sua  utilização  como  apoio  no  curso,  especialmente  a  disciplina  “Gestão  Financeira  de  Empresas”,  cujos  estudantes  precisam no exercício de suas atividades dos conhecimentos básicos da matéria.   Uanderson Rebula
  • 4. -4- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira “No mundo atual, complexo e globalizado, as questões financeiras surgem a todo instante no cotidiano da população”. Bernardo Scisú 
  • 5. “Atualmente, todos – estudantes e professores – procuram o Udemy porque é a plataforma onde todos estão”. Fonte: Jornal do Brasil www.udemy.com Junte-se a milhões de estudantes na maior plataforma on-line de cursos curtos e práticos do mundo. Com mais de 45.000 cursos virtuais disponíveis, o Udemy é uma plataforma global de ensino on-line onde 15 milhões de alunos estão dominando novas habilidades. O foco do Udemy são os conhecimentos práticos e úteis para o mercado de trabalho. Há cursos gratuitos e pagos. São cursos curtos e com valores bem acessíveis. Faça o curso online na Udemy Estatística I (para leigos): aprenda fácil e rápido! Com o Prof. MSc. Uanderson Rébula Saiba mais Clique aqui "O livro digital Estatística I para leigos possui uma linguagem fácil e ao mesmo tempo dinâmica. O conteúdo do livro está ordenado de forma a facilitar a aprendizagem dos alunos, mesmo aquelas pessoas que não tenham noção nenhuma de estatística aprenderão com esse livro. Você pode estudar sozinho para concursos pois o livro é auto explicativo ou até mesmo em grupos, no meu caso faço isso com meus alunos. Eu super recomendo esse livro!!! NOTA 1000" Maria Eunice Souza Madriz Professora de estatística da rede estadual de ensino da Bahia Avaliação do livro pelo cliente na amazon.com.br
  • 6. Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira Sumário Uma mensagem do Prof. MSc Uanderson Rébula. CLIQUE NO VÍDEO CLIQUE AQUI E INSCREVA-SE NO CURSO JÁ
  • 7. -5- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira SUMÁRIO UNIDADE 1 – FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA  1.1 CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA, 7  1.2 CAPITAL, MONTANTE, JUROS, TAXA DE JUROS E PRAZO, 10  1.3 REGIME DE JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS, 15  1.3.1 Conceito de juros simples, 15  1.3.2 Conceito de juros compostos, 15  1.3.3 Cálculo dos juros simples, 16  1.3.4 Cálculo dos juros compostos, 19  1.4 OPERAÇÕES DE DESCONTO, 21  1.4.1 Desconto simples, 21  1.4.2 Desconto composto, 22  1.5 TAXA NOMINAL, EFETIVA E EQUIVALENTE, 23  UNIDADE 2 – FLUXO DE CAIXA                   2.1. VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO, 26  2.2. DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA, 27  REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 28 
  • 8. -6- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira “A  matemática  financeira  surge  como  um  método  para  avaliar  alternativas  e  ajudar  os  cidadãos  nas  decisões.  O  conhecimento  básico das operações de financiamentos e investimentos habilita o  cidadão  a  escolher  caminhos  racionais  com  nível  de  risco  pré‐ determinado”.    Bernardo Sicsú   Economista, Especialista em Finanças e Mestre em Administração Financeira.  Unidade 1 FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
  • 9. -7- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira 1.1 CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA Segundo Halfeld (2008) os livros de Economia ensinam que há três fatores essenciais para a produção:    • TRABALHO: A remuneração exigida por aquele que fornece trabalho é o SALÁRIO.  • TERRA: Quem tem terra ou prédios exige um ALUGUEL para emprestá‐lo.  • CAPITAL: A remuneração exigida por aquele que empresta dinheiro é o JURO.     Os  fatores  de  produção  são  elementos  básicos  utilizados  na  produção  de  bens  (como  carros,  móveis,  aço,  eletrodomésticos etc.), e serviços (como telefonia, comunicação, manutenção, etc.). Esses fatores têm influencia  direta na produção, os quais são utilizados para satisfazer as nossas necessidades.    Assim, podemos visualizar a remuneração dos fatores de produção na figura abaixo:  Capital x JURO – surgimento O conceito do fator de produção Capital x JURO surgiu com a criação de pequenas firmas que se comprometiam a  guardar o dinheiro das pessoas. Nasciam, portanto, os primeiros “bancos”. Num espaço de tempo relativamente  curto, acumulou‐se nos cofres dos bancos imensa quantidade de dinheiro.     Uma vez que as pessoas que deixavam seu dinheiro guardado não a consumiam imediatamente, os banqueiros  foram  se  ocupando  de  uma  nova  atividade:  guardar  e  emprestar  dinheiro.    Era  pouco  provável  que  todos  os  proprietários, ao mesmo tempo e num mesmo dia, exigissem a devolução imediata de todo seu dinheiro.     Assim, os bancos emprestavam parte deste dinheiro a quem pedisse, sob a condição de devolução num prazo  determinado,  com  o  propósito  de  obter  alguma  vantagem. Por isso, além do dinheiro emprestado,  era entregue, no vencimento do prazo estipulado,  uma soma adicional, denominada “juro”.    Desta  forma,  o  homem  percebeu  existir  estreita  relação entre o dinheiro e o tempo (prazo). Toda  transação  financeira  previa  quando  (datas  de  início e término da operação) e por quanto tempo  (duração  da  operação)  se  dava  a  cessão  (o  empréstimo) do capital (dinheiro). Este prazo era  expresso em determinada unidade de tempo (dia,  mês, bimestre, trimestre, semestre, ano, etc.).    A instituição bancária foi o elemento propulsor do  surgimento  de  um  tratamento  matemático  na  Economia,  que  exigia  um  cálculo  específico,  considerando  o  juro  e  o  tempo,  e  o  desenvolvimento  de  um  aspecto  particular  da  matemática: a Matemática Financeira. 
  • 10. -8- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira MATEMÁTICA FINANCEIRA ESTUDA O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.     • Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira.    • Não  é  necessário  esperar  o  tempo  passar  para  saber  o  resultado  de  uma  operação  financeira,  basta  executar determinados cálculos matemáticos para antecipar o resultado!            • O que se conhece como Matemática Financeira está muito mais próximo das pessoas do que se imagina.  A Matemática Financeira faz parte do nosso dia a dia.    Aplicações atuais da Matemática Financeira   Atualmente a Matemática Financeira possui diversas aplicações no sistema econômico, algumas situações estão  presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa pela caixa econômica federal, financiamentos  de carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações na caderneta de  poupança, CDB’s, investimentos em bolsas de valores, cálculos das taxas de inflação (perda do poder de compra)  entre outras situações.     Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros, considerando o fato  “tempo”. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas  de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo, a essa diferença  damos o nome de juros.  A  matemática  financeira  também  é  utilizada  na  análise  de  investimentos  (Engenharia  Econômica),  pois  busca  ajudar  na  decisão  de  onde  um  valor  deve  ser  aplicado,  considerando  estritamente  a  rentabilidade  que  determinada operação resultará. Veremos este assunto em “Gestão Financeira de Empresas”.  Fundamentos do uso da Matemática Financeira pelas empresas. Os conceitos abaixo são interessantes.    PRÁTICA DAS PESSOAS FÍSICAS:  APLICAR O DINHEIRO na aquisição de BENS que NÃO GERAM DINHEIRO; pelo contrário,  tiram o dinheiro da conta bancária, como CARROS DE LUXO, CASA NA PRAIA etc. (ou  seja: CRIAR DESPESAS);    TOMAR DINHEIRO EMPRESTADO de um banco e pagá‐lo, ao LONGO do TEMPO, para  “COBRIR” as DESPESAS ou contrair “MAIS DESPESAS”.    COMPRAR ou VENDER a VISTA/a PRAZO SEM uma análise financeira de qual opção é  mais vantajosa.  Ex.: Se eu aplicar R$ 1.000 na caderneta de poupança por três anos, com juros de 7% ao ano, qual o  valor total que receberei no final da aplicação? Eu não preciso esperar três anos para saber o valor  total, basta efetuar simples cálculos oferecidos pela matemática financeira! 
  • 11. -9- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira PRÁTICA DAS EMPRESAS:    APLICAÇÕES FINANCEIRAS   Ao invés de contrair despesas, APLICAR O DINHEIRO EM UM BANCO, por exemplo,  para que, APÓS ALGUM TEMPO, obtenham rendimentos (juros);    INVESTIMENTOS  APLICAR  O  DINHEIRO  EM  IMÓVEIS  DE  RENDA,  SISTEMAS  PRODUTIVOS,  BOLSA  DE  VALORES,  investirem  em  outras  empresas  etc.  para  que  APÓS  ALGUM  TEMPO  obtenham rendimento;    FINANCIAMENTOS   COMPRAR MÁQUINAS, equipamentos etc. parcelado e pagar ao LONGO DO TEMPO.  “Pagar com o próprio lucro” obtido na operação;    EMPRÉSTIMOS   Tomar dinheiro emprestado e aplicar na empresa e dar prosseguimento ou expansão  das operações, e pagar ao LONGO DO TEMPO.    Efetuar  compras  ou  vendas  a  vista/a  prazo  com  análise  financeira  da  opção  mais  vantajosa.  Como se vê, as empresas realizam a todo o momento operações financeiras que são as aplicações financeiras, os  investimentos, financiamentos e empréstimos; e se envolvem com operações de compras e vendas a prazo/ a vista.  Observe que todas essas operações envolvem tempo. A figura abaixo pode esclarecer as operações financeiras que  envolvem as empresas:  Considerações finais No quesito “TEMPO” tanto as empresas como as pessoas físicas necessitam de uma ferramenta precisa e eficaz  para auxiliá‐las nos cálculos para TOMADA DE DECISÕES.  Todo investidor busca a melhor rentabilidade de seus recursos, e para que se possa medir o seu retorno faz‐se  necessária a aplicação de cálculos financeiros que possibilitam a tomada de decisão e a gestão financeira das  empresas.  A  Matemática  Financeira  surge  como  um  MÉTODO  para  AVALIAR  ALTERNATIVAS  e  ajudar  na  TOMADA  DE  DECISÃO.   Diante  das  situações  acima,  podemos  observar  que  o  estudo  da  Matemática  Financeira,  com  todas  as  suas  fórmulas e fatores, é feito em função do crescimento de urna certa quantia em dinheiro aplicada com o tempo,  isto é, dos juros. Portanto: PALAVRA CHAVE DA MATEMÁTICA FINANCEIRA: “JUROS”. 
  • 12. -10- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira 1.2 CAPITAL, MONTANTE, JUROS, TAXA DE JUROS e PRAZO O que estudaremos agora faz parte do nosso vocabulário habitual com as mais diversas  instituições bancárias, seja na hora de abrir uma caderneta de poupança, ou solicitar um  empréstimo; também no nosso dia a dia, seja na hora de comprar ou vender um carro,  eletrodoméstico etc.     Para aplicação da Matemática Financeira precisamos entender algumas definições  importantes, tais como: capital, montante, juros, taxas de juros e prazo. Mencionamos aqui  para alinharmos estes conceitos. Para isto, vamos utilizar três exemplos práticos com situações  diferentes, como segue:    EXEMPLO 1 – CASO DE INVESTIMENTO   UM INVESTIMENTO DE R$100 RETORNOU R$140 AO SEU INVESTIDOR APÓS 6 MESES.      CAPITAL1  é o VALOR NO INICIO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$100.     MONTANTE2  é o VALOR NO FINAL DA OPERAÇÃO.  No exemplo seria R$140    JUROS é o VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$40 ($140–$100).    TAXA DE JUROS é a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO, obtido pela divisão JUROS.                                 No exemplo seria $40 = 0,40 ou 40% em 6 meses.                                                     CAPITAL                                                                    $100    PRAZO é o PERÍODO DA OPERAÇÃO. No exemplo seriam 6 meses.      O EXEMPLO 1 PODE SER FACILMENTE VISUALIZADO ATRAVÉS DA FIGURA ABAIXO:        Esses são os conceitos básicos em Matemática Financeira.    ___________________  1 Alguns autores definem capital como “valor presente”, “valor inicial”, “capital inicial”, “valor atual” ou “principal”.  2 Alguns autores definem montante como “valor futuro” ou “valor final”, “capital final”.  
  • 13. -11- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira EXEMPLO 2 – CASO DE EMPRÉSTIMO EMPRÉSTIMO BANCÁRIO DE R$10, COM DEVOLUÇÃO DE R$15 APÓS 1 ANO.      CAPITAL é o VALOR NO INICIO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$10.     MONTANTE é o VALOR NO FINAL DA OPERAÇÃO.  No exemplo seria R$15    JUROS é o VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$5 (R$15–R$10).    TAXA DE JUROS é a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO, obtido pela divisão JUROS.                                 No exemplo seria $5 = 0,50 ou 50% em 1 ano.                                                              CAPITAL                                                                                     $10    PRAZO é o PERÍODO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria 1 ano      EXEMPLO 3 – CASO DE COMPRA A PRAZO Um PEN DRIVE custa à vista R$100 ou a prazo em 6x de R$20, totalizando R$120.      CAPITAL é o VALOR NO INICIO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria $100.      MONTANTE é o VALOR NO FINAL DA OPERAÇÃO.  No exemplo seria $120 ($100+$20)    JUROS é o VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria $20 ($120–$100).    TAXA DE JUROS  é a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO, obtido pela divisão JUROS.                                  No exemplo seria $20 = 0,20 ou 20% em 6 meses.                                                       CAPITAL.                                                                                    $100  PRAZO é o PERÍODO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria 6 meses.                       
  • 14. -12- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES – JUROS E TAXAS DE JUROS   JUROS JURO É O VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. Também conceituado por diversos autores como o  “ALUGUEL QUE DEVE SER PAGO PELO USO DO DINHEIRO”; “REMUNERAÇÃO DO CAPITAL APLICADO”;  “RENDIMENTO DE UMA OPERAÇÃO”.      JUROS  = MONTANTE – CAPITAL  JUROS    =        $120         –     $100  JUROS    =        $20      TAXA DE JUROS É a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO. Portanto, uma taxa de juros revela o acréscimo de valor do  dinheiro em certo tempo, devido a concessão do uso deste dinheiro.    ABREVIATURAS PARA PRAZOS E TAXAS DE JUROS  Para facilitar a representação é usual no mercado a abreviatura dos prazos e taxas, a saber:    Taxa e abreviatura  SIGNIFICADO  5% a.d.  Significa uma taxa de juros de 5% ao dia.  5% a.m.  Significa uma taxa de juros de 5% ao mês.  5% a.s.  Significa uma taxa de juros de 5% ao semestre.  5% a.a.  Significa uma taxa de juros de 5% ao ano.    FORMA PERCENTUAL e UNITÁRIA DAS TAXAS DE JUROS:    O  MERCADO  financeiro  APRESENTA  as  taxas  na  FORMA  PERCENTUAL  (0,3%  a.d.;  20%  a.a.).  Porém, para efetuar os CÁLCULOS, opera‐se na FORMA UNITÁRIA (0,003, 0,20) Veja abaixo:    APRESENTADA  CALCULADA  FORMA PERCENTUAL  TRANSFORMAÇÃO FORMA UNITÁRIA  0,3% a.d.  0,3 /100  0,003   0,45% a.m.  0,45 /100  0,0045   2% a.s.  2 /100  0,02   20% a.a.  20 /100  0,20     ALTERAÇÃO PRÁTICA entre FORMA PERCENTUAL e UNITÁRIA:    Forma percentual para UNITÁRIA  FORMA PERCENTUAL  TRANSFORMAÇÃO  FORMA UNITÁRIA  0,3%  0,3 /100  0,003  Ou pular duas casas decimais para  ESQUERDA     Forma unitária para PERCENTUAL  FORMA UNITÁRIA  TRANSFORMAÇÃO  FORMA PERCENTUAL  0,02  0,02 x 100  2%  Ou pular duas casas decimais para  DIREITA          DO EXEMPLO 3 (pág. 11)  EXEMPLO  O juro de um capital de $1.000  aplicado a taxa de 20% a.a. será:    $1.000 x 0,20 = $200 
  • 15. -13- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira EXERCÍCIO 1 - EXERCITANDO OS CONCEITOS... 1. Observe a propaganda ao lado e informe:    Qual o capital?___________________________________________   Qual o valor do montante? _________________________________  Qual o valor do juro cobrado?_______________________________   Qual a taxa de juro?_______________________________________  Qual o prazo?____________________________________________ 2. Observe a propaganda ao lado e informe:    Qual o capital?___________________________________________   Qual o valor do montante? _________________________________  Qual o valor do juro cobrado?_______________________________   Qual a taxa de juro?_______________________________________  Qual o prazo?____________________________________________ 3.  Um  Fusca  estava  sendo  vendido  à  vista  pelo  valor  de  R$8.000.  Robervaldo  comprou  a  prazo  pagando um valor total de $ 9.500, após 12 meses.    Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________  Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________  Qual o prazo?_________________    4. Para um empréstimo de $500 foram pagos, além do valor do empréstimo, mais $70 de acréscimo,  após 6 meses.    Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________  Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________  Qual o prazo?_________________    5. A quantia de $2.000 foi aplicada em um banco e, após 1 mês, retornou ao investidor $2.040:    Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________  Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________  Qual o prazo?_________________      R$718,80 
  • 16. -14- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira 6. Numa aplicação na caderneta de poupança obtive um rendimento de $200 em 6 meses. Sabendo‐se  que o valor aplicado foi de $1.600, informe:    Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________  Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________  Qual o prazo?_________________    7. Qual foi o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de $1.225 e  que gerou um montante de $1.487?    _____________________________________________________________________________________    8.  Qual  o  valor  do  investimento  em  um  banco  que  gerou  um  resgate  de  $1.500,  sabendo‐se  que  o  rendimento desta aplicação foi de $378?  _____________________________________________________________________________________      9. Converta as taxas a seguir da forma percentual para a forma unitária, e vice‐versa:      a) 25%___________ b) 5%___________ c) 1,5%___________ d) 0,5%__________ e) 0,18%___________            f) 0,16___________ g) 0,0034___________ h) 0,07___________ i) 0,5__________ j) 0,65____________                                                                   
  • 17. -15- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira 1.3 REGIME DE JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS A partir de agora passaremos a explorar o tema “JURO” com mais profundidade. No Mercado  Financeiro existem 2 tipos de juros: os juros “simples” e “compostos”.     1.3.1 CONCEITO DE JURO SIMPLES   É AQUELE CALCULADO SOMENTE SOBRE O CAPITAL NO INÍCIO EMPREGADO.    EXEMPLO A:  JOÃO TOMA EMPRESTADO DE UM BANCO $10.000 PELO PRAZO DE 3 MESES, À  TAXA DE JUROS SIMPLES DE 5% AO MÊS. QUAL O MONTANTE A PAGAR?    Mês  CAPITAL INÍCIO EMPREGADO  JUROS  MONTANTE (ou valor futuro)  1º   10.000  500 (10.000 x 0,05)  10.500 (10.000+500)  2º     500 (10.000 x 0,05)  11.000 (10.500+500)  3º     500 (10.000 x 0,05)  11.500 (11.000+500)     Observe  que  os  juros  foram  calculados  somente  sobre  o  CAPITAL  NO  INÍCIO  EMPREGADO  ($10.000); isso quer dizer que os JUROS SERÃO SEMPRE CALCULADOS SOBRE UM ÚNICO VALOR.  Nesse caso, os juros são simples e que o valor a ser pago no final do 3º mês é de $11.500.    Juros simples são largamente usados em países em que a inflação (perda do poder de compra) é muito baixa, ou  em contextos em que as taxas de juros anuais são muito pequenas, pois nestes casos, a perda ao longo dos tempos  é relativamente insignificante. (SANTOS, 2001, p. 14).  1.3.2 CONCEITO DE JUROS COMPOSTOS   É AQUELE CALCULADO SEMPRE SOBRE O MONTANTE DO PERÍODO ANTERIOR.    EXEMPLO B:  JOÃO TOMA EMPRESTADO DE UM BANCO $10.000 PELO PRAZO DE 3 MESES, À  TAXA DE JURO COMPOSTO DE 5% AO MÊS. QUAL O MONTANTE A PAGAR?    Mês  CAPITAL   JUROS  MONTANTE (ou valor futuro)  1º   10.000  500 (10.000 x 0,05)   10.500 (10.000 + 500)   2º   10.500  525 (10.500 x 0,05)   11.025 (10.500 + 525)   3º   11.025  551 (11.025 x 0,05)  11.576 (11.025 + 551)    Observe que os juros dos meses 2º e 3º ($525 e $551) foram calculados sobre o MONTANTE DO  PERÍODO ANTERIOR ($10.500 e $11.025, respectivamente). Daí afirmamos que neste regime são  calculados  “JUROS  SOBRE  JUROS”.  Nesse  caso,  o  valor  a  ser  pago  no  3º  mês  é  de  $11.576,  superior ao calculado pelos juros simples.    Juros compostos são largamente usados no Mercado Financeiro. Um exemplo é a caderneta de poupança, em  que você aplica seu dinheiro e, após um mês, já apresente o capital acrescido de juros. Observe que a partir do 1º  mês, mesmo que você não aplique nada mais, continuará rendendo juros sobre o montante do período anterior.  NOTAS:  O crescimento do dinheiro ao longo do tempo é denominado CAPITALIZAÇÃO.  Chamamos de REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO a maneira como os juros evoluem ao longo do  tempo, podendo ser REGIME de JUROS SIMPLES e REGIME de JUROS COMPOSTOS. 
  • 18. -16- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira EXERCÍCIO 2 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE SISTEMAS DE JUROS.   1. Apliquei $1.000 no banco a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Determine o montante no final  de cada período pelos sistemas de juros simples e compostos.   1.a. Sistema de Juros Simples:    Mês  CAPITAL no INÍCIO  JUROS   MONTANTE (ou valor futuro)  1        2        3          1.b. Sistema de Juros Compostos:    Mês  CAPITAL   JUROS   MONTANTE (ou valor futuro)  1        2        3        1.3.3 CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES: A Matemática Financeira utiliza determinadas “FÓRMULAS PADRÃO” para cálculo de juros. A  forma de cálculo que estudamos foi apenas para entendimento do conceito.     Os elementos a serem considerados para efetuarmos o CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES são:    ELEMENTOS    FÓRMULAS  c  = capital      M  = montante    J = c.n.i  J  = juros    e/ou  i  = taxa de juro unitária    M = c(1 +  i.n) n  = prazo        EXEMPLO – CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO A (pág. 15) João toma emprestado de um banco $10.000 pelo prazo de 3 meses, à taxa de juros simples de 5% ao  mês. Qual o MONTANTE a pagar?      CÁLCULO DETALHADO  C  = 10.000    M = c(1 +  i.n)  M  = ?    M = 10.000 (1  +  0,05.3)  i  = 5% → 0,05    M = 10.000 (1  +  0,15) n  = 3 meses    M = 10.000 (1,15)       M = 11.500   Observe que M=11.500 é o mesmo resultado do exemplo A, da página 15, quando fizemos passo a passo.   
  • 19. -17- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira EXEMPLO 2– CONTINUAÇÃO DO EXERCÍCIO 1.a. (pág. 16) Apliquei $1.000 no banco a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Determine o MONTANTE no final  do período pelo sistema de juros simples.     CÁLCULO   C  = 1.000    M = c(1 +  i.n)  M  = ?    M = 1.000 (1  +  0,1.3)  i  = 10% → 0,10     M = 1.000 (1,3) n  = 3 meses    M = 1.300 EXEMPLO 3 Apliquei $2.000 à taxa de juros simples de 6 % a.a. por 2 anos. Quanto de JUROS recebi?        CÁLCULO   C  = 2.000      J  = ?    J = c.n.i  i  = 6% → 0,06    J = 2.000 . 2 . 0,06 n  = 2 anos    J = 240   EXEMPLO 4 A que TAXA DE JUROS simples foi empregado o capital de $2.000 que rendeu em 2 anos $240 de juro?        CÁLCULO   C  = 2.000    J = c.n.i  J  = 240    240 = 2.000 . 2 . i i  = ?    240 = 4000i n  = 2 anos        i  = 0,06 ou 6%    EXEMPLO 5 Qual o CAPITAL necessário para se ter um montante de $15.000 daqui a 3 anos, a uma taxa de 8% a.a.   no regime de juro simples?        CÁLCULO  C  = ?    M = c(1 +  i.n)  M  = 15.000    15.000 = c(1  +  0,08.3)  i  = 8% → 0,08    15.000 = 1,24c n  = 3 anos     C = 12.096   EXEMPLO 6 Um  comerciante,  após  uma  consulta  de  preços  para  a  aquisição  de  um  carro,  recebeu  a  seguinte  proposta: pagamento à vista de $15.000 ou 18.000, após 2 meses. Qual é a TAXA DE JUROS simples?        CÁLCULO  C  = 15.000    M = c(1 +  i.n)  M  = 18.000    18.000 = 15.000(1  +  i.2)  i  = ?    18.000 = 15.000  +  30.000i n  = 2 meses     18.000 ‐ 15.000 = 30.000i       3.000 = 30.000i         i= 0,10 ou 10%  EXEMPLO 7 A papelaria Risque e Rabisque investiu um capital de $6.000 à taxa de juros simples de 5% a.m.  Quantos MESES serão necessários para que ela tenha $7.800?      CÁLCULO   C  = 6.000    M = c(1 +  i.n)  M  = 7.800    7.800 = 6.000 (1  +  0,05.n)  i  = 5% → 0,05     7.800 = 6.000  +  300n) n  = ?    7.800 ‐ 6.000 = 300n       1.800 = 300n        n = 6 meses 
  • 20. -18- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira EXERCÍCIO 3 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE JUROS SIMPLES   1 ‐ Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses à taxa de 1,5% a.m., para obtermos $441 de juro? (CRESPO, p88)  C= $9.800  2 ‐ Tomou‐se emprestada a importância de $1.200, pelo prazo de 2 anos, à taxa de juros simples de 30% a.a.  Qual será o valor do juro a ser pago? (CRESPO, p81).  j=$720  3 ‐ Calcule o Capital que deve ser depositado numa aplicação sob o regime de juros simples, durante 8 meses, à  taxa de 3,5% a.m. para se conseguir um Montante de $190. (SICSÚ, p9).  C = $148  4 ‐ Temos um capital de $12.000 e o aplicamos a uma taxa de juros de simples de 2,4% a.m. Qual o valor a ser  resgatado ao final de 10 meses? (SENAC, p21).  M = 14.480            5 ‐ Qual o capital que, aplicado por 1 ano e 6 meses (18 meses), à taxa 1,2% a.m., rendeu $19.008? (CRESPO, p88).  C=$88.000  6 ‐ Um investidor aplicou $200 por 4 meses à taxa de juros simples 1% a.m. Qual o montante? (Adapt. SICSÚ, p.15).  M = $208  7 ‐ Se, ao final de 4 meses, Luís deve pagar $ 1.200 por um empréstimo, à taxa de juros simples de 3% a.m., qual  foi o valor do seu empréstimo? (SENAC, p13).  C = 1.071  8 ‐ Quantos meses são necessários para se obter um montante de $7.000, sabendo‐se que o capital investido foi  de $5.000 à taxa de juros simples de 4% a.m. (PROFESSOR). n = 10 meses  
  • 21. -19- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira 1.3.4 CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS: Os elementos a serem considerados para efetuarmos o CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS são:    ELEMENTOS    FÓRMULAS  Usadas para:  c  = capital        M  = montante    M = c (1 + i)n   M, c, j  J  = juros    * i = (M /c) 1/n   ‐ 1  i  i  = taxa de juro unitária  * n = log(M /c) ÷ log(1+i)  n  n  = prazo        EXEMPLO 1– CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO B (pág. 15) João toma emprestado de um banco $10.000 pelo prazo de 3 meses, à taxa de juro composto de 5% ao  mês. Qual o MONTANTE a pagar?      CÁLCULO DETALHADO  C  = 10.000    M = c (1 + i)n   M  = ?    M = 10.000 (1  +  0,05)3   i  = 5% → 0,05    M = 10.000 (1,05)3 n  = 3 meses    M = 10.000 (1,1576)       M = 11.576   Observe que M=11.576 é o mesmo resultado do exemplo B, da página 15, quando fizemos passo a passo.  EXEMPLO 2– CONTINUAÇÃO DO EXERCÍCIO 1.b. (pág. 16) Apliquei $1.000 no banco a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Determine o MONTANTE no final  do período pelo sistema de juros compostos.     CÁLCULO   C  = 1.000    M = c (1 + i)n   M  = ?    M = 1.000 (1  +  0,1)3   i  = 10% → 0,10     M = 1.000 (1,1)3 n  = 3 meses    M = 1.331 EXEMPLO 3 Qual o CAPITAL necessário para se ter um montante de $15.000 daqui a 3 anos, a uma taxa de 8% a.a.   no regime de juro composto?        CÁLCULO  c  = ?    M = c (1 + i)n   M  = 15.000    15.000 = c(1  +  0,08)3   i  = 8% → 0,08    15.000 = 1,2597c n  = 3 anos     C = 11.907   EXEMPLO 4 Apliquei $2.000 à taxa de juros composta de 6 % a.a. por 2 anos. Quanto de JUROS recebi?        CÁLCULO   c  = 2.000    M = c (1 + i)n   J  = ?    M = 2000 (1 + 0,06)2   i  = 6% → 0,06    M = 2000 (1,06)2 n  = 2 anos    M = 2247       J=M‐C  →  2247‐2000  → J=247    ____________  *SENAC, 2008, p.18  Para calcular (1,05)3  basta dispor de  uma  calculadora  eletrônica  que apresente a tecla Xy   ou ^.     Procedimento:  Introduza 1,05 Xy   3 = 1,1576 
  • 22. -20- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira EXEMPLO 5 A que TAXA DE JUROS composta foi empregado o capital de $2.000 que rendeu em 2 anos $240 de  juro?        CÁLCULO   c  = 2.000    i = (M /c) 1/n   ‐ 1  M  = 2240    i = (2240 /2000) 1/2   ‐ 1 i  = ?    i = (1,12) 1/2   ‐ 1 n  = 2 anos    i = (1,12) 0,5   ‐ 1        i = 1,0583 – 1   →  0,058 ou 5,8%      EXEMPLO 6 A papelaria Risque e Rabisque investiu um capital de $6.000 à taxa de juros composto de 5% a.m.  Quantos MESES serão necessários para que ela tenha $7.800?      CÁLCULO         n = log(M /c) ÷ log(1+i)  c  = 6.000    n = log(7800 /6000) ÷ log(1+0,05)  M  = 7.800    n = log(1,3) ÷ log(1,05) i  = 5% → 0,05     n = 0,1139 ÷ 0,0211 n  = ?    n = 5,4 meses        0,4 x 30 = 12 dias        5 meses e 12 dias    Usamos o logaritmo “log” para calcular períodos. No exemplo acima basta clicar  na calculadora eletrônica Log  1,3 = 0,1139  e  Log  1,05 = 0,211    ___________________________________________________________________________________ EXERCÍCIO 4 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS  1‐ Luis Inácio toma emprestado do Banco Real $15.000 pelo prazo de 6 meses, à taxa de juro composto de 3% ao  mês. Qual o MONTANTE a pagar?    2‐  Apliquei  $3.000  no  banco  a  uma  taxa  de  5%  a.m.  durante  8  meses.  Determine  o  MONTANTE  no  final  do  período pelo sistema de juros compostos.    3‐ Qual o CAPITAL necessário para se ter um montante de $30.000 daqui a 5 anos, a uma taxa de 12% a.a.  no  regime de juro composto?    4 ‐ Apliquei $25.000 à taxa de juros composta de 14 % a.a. por 7 anos. Quanto de JUROS recebi?    5‐A que taxa de juros composta foi empregado o capital de $5.000 que rendeu em 4 anos $1.000 de juro?    6‐ Fiz um empréstimo bancário de $55.000 pelo prazo de 7 anos, à taxa de juro composto de 3% a.a. Qual o  montante a pagar?    7‐ Apliquei $100.000 em títulos do governo federal a uma taxa de 0,9% a.m. durante 11 meses. Determine o  montante no final do período pelo sistema de juros compostos.    8‐ Quanto preciso hoje para ter um montante de $90.000 daqui a 3 anos, a uma taxa de 9% a.a.  no regime de  juro composto? 
  • 23. -21- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira 1.4 OPERAÇÕES DE DESCONTO A QUANTIA A SER ABATIDA DO MONTANTE, QUANDO O PAGAMENTO É FEITO ANTES DO DIA DO  VENCIMENTO É DENOMINADA DESCONTO.  • Todo título de crédito (duplicatas, notas promissórias, cheques etc.) tem uma data de vencimento; porém,  o devedor pode realizar o pagamento antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado  desconto. Portanto, quando o devedor efetua o pagamento antes do dia predeterminado, ele se beneficia  (tem uma recompensa) com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro  durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.     • A operação consiste na aplicação de uma taxa de juros, denominada taxa de desconto, sobre o montante,  durante um determinado período, reduzindo‐lhe o valor.    • Ora, o credor pode precisar do dinheiro antes da data de vencimento do título e para isso ele concede um  desconto sobre o valor que ele tenha a receber.    • Regra fundamental: A TAXA DE DESCONTO INCIDE SOBRE O MONTANTE.  Basicamente, existem dois sistemas de descontos: Desconto simples e Desconto composto.   1.4.1 Desconto Simples O desconto comercial simples pode ser calculado aplicando a seguinte expressão matemática:  ELEMENTOS    FÓRMULA BÁSICA  D  = valor do desconto      M  = Montante (ou valor nominal)    D = M * i *n  i  = taxa de desconto unitária      n  = prazo ou tempo        Exemplo  1.  Qual  o  desconto  simples  de  um  título  no  valor  de  R$  50.000  se  ele  for  pago  2  meses  antes  do  vencimento à uma taxa de 5 % a.m.? Qual será o valor atual?    D  = ?    D = M * i *n  M  = 50.000    D = 50.000 * 0,05 * 2  i  = 5% → 0,05    D = 5.000  n  = 2 meses        Valor atual = M‐D  Valor atual = 50.000 – 5.000 = 45.000   
  • 24. -22- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira Exemplo 2. Um título de $10.000 vence daqui a 3 meses. Se quiser pagar hoje, a instituição financeira oferece um  desconto simples com uma taxa de desconto de 3,5% ao mês. Qual o valor de desconto? Qual o valor atual?    D  = ?    D = M * i *n  M  = 10.000    D = 10.000 * 0,035 * 3  i  = 3,5% → 0,035    D = 1.050  n  = 3 meses        Valor atual = M‐D   |    Valor atual = 10.000 – 1.050 = 8.950    1.4.2 Desconto Composto  O desconto racional composto é utilizado basicamente em operações de longo prazo. Pode ser calculado  aplicando a seguinte expressão matemática:  ELEMENTOS    FÓRMULA BÁSICA  Va  = valor atual      M  = Montante (ou valor nominal)    Va =     M  i  = taxa de desconto unitária                (1+ i)n   n  = prazo ou tempo        Exemplo  1.  Qual  o  desconto  composto  de  um  título  no  valor  de  R$  50.000  se  ele  for  pago  2  meses  antes  do  vencimento à uma taxa de 5 % a.m.? Qual será o valor atual?    Va  = ?    Va =     M  M  = 50.000                (1+ i)n   i  = 5% → 0,05         Va =  50.000    =   45.351  n  = 2 meses                 (1+0,05)2     Valor atual = 45.351      |      Desconto = 50.000 – 45.351 = 4.649,  Exemplo 2. Um título de $10.000 vence daqui a 3 meses. Se quiser pagar hoje, a instituição financeira oferece um  desconto composto com uma taxa de desconto de 3,5% ao mês. Qual o valor de desconto? Qual o valor atual?  Va  = ?    Va =     M  M  = 50.000                (1+ i)n   i  = 3,5% → 0,035         Va =  10.000    =   9.019,  n  = 3 meses                 (1+0,035)3   Valor atual = 9.019    |    Desconto = 10.000 – 9.019   =  981,  _____________________________________________________________________________________ EXERCÍCIO 5 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE DESCONTOS    1. Qual o desconto simples e composto de um título no valor de R$ 40.000 se ele for pago 4 meses antes do  vencimento à uma taxa de 4 % a.m.? Quais  os valores atuais?  2. Um título de $80.000 vence daqui a 6 meses. Se quiser pagar hoje, a instituição financeira oferece um desconto  com taxa de 2% ao mês. Qual o valor de desconto simples e composto? Quais os valores atuais?  3. Determine o valor atual de um título de $800, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto de  2% a.m.. Considerar simples e composto. (Crespo, p.128).  4. Qual o desconto que um título de $5.000 sofre ao ser descontado 3 meses antes de seu vencimento, à taxa de  2,5% a.m. Considerar simples e composto. (Crespo, p. 128) 
  • 25. -23- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira 1.5 TAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTE Taxa efetiva   É aquela em que a unidade de tempo de referência coincide com a unidade de tempo dos períodos de  capitalização.    Exemplos:    1% ao mês com capitalização mensal  7% ao ano com capitalização anual    Taxa Nominal   É aquela em que a unidade de tempo de referência não coincide com a unidade de tempo dos períodos  de capitalização.    Exemplos:    3% ao mês com capitalização anual  12% ao ano com capitalização mensal    Taxa Equivalente   É aquela que, no regime de juros compostos, ao ser aplicada ao mesmo capital, num mesmo intervalo  de tempo, produzem montantes iguais. Exemplo:      1% ao mês é equivalente a 12,68% ao ano.    Informar a um poupador que um título rende 12% a.a. ou 1% a.m. não está correto. Na realidade, 1%  a.m. equivale a 12,68% a.a, em função dos juros compostos.  Informar ao poupador que um título rende 36% a.a. ou 3% a.m. também não procede. Na realidade,  36% a.a. é o mesmo que 2,6% a.m.  O comerciante quando diz ao prestamista que a taxa de juros será 4% ao mês ou 48% ao ano, está  dando uma falsa informação. Na verdade, 4% ao mês equivale a 60,1% ao ano.    A equivalência das taxas indica uma simples mudança na unidade de contagem do tempo da operação.  Expressões matemáticas básicas e de fácil manuseio que nos fornece a equivalência de duas taxas são:    ELEMENTOS    FÓRMULAS RELACIONADAS  ia    tx anual  Ib tx bimestral      is  tx semestral  im  tx mensal    (1+ia)1   => (1+is)2   => (1+it)4   => (1+ib)6   => (1+im)12   => (1+id)360     it  tx trimestral  id Tx dária          (1+ia)1  → Um ano  (1+ib)6  → Um ano têm 6 bimestres  (1+is)2  → Um ano têm 2 semestres  (1+im)12 → Um ano têm 12 meses Considerando que:  (1+it)4  → Um ano têm 4 trimestres  (1+id)360  → Um ano têm 360 dias    Observe que essas fórmulas se relacionam. Assim, se eu quero saber a taxa anual e tenho a taxa mensal, usarei a  seguinte expressão: (1+ia)1  => (1+im)12 .  Caso eu tenha a taxa anual e queira saber a taxa mensal, usarei a mesma  expressão.    Portanto, podemos montar uma tabela orientativa, com as seguintes fórmulas relacionadas:    Ano para mês → (1+ia)1  => (1+im)12    Ano para bimestre → (1+ia)1  => (1+ib)6    Ano para semestre →  (1+ia)1  => (1+is)2     Ano para dia → (1+ia)1  => (1+id)360    Ano para trimestre → (1+ia)1  => (1+it)4     
  • 26. -24- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira Exemplo 1. Qual a taxa anual de juros equivalente a 1%  ao mês?          (1+ia)1   => (1+im)12   ia  = ?    (1+ia) = (1+0,01)12     im  = 1% → 0,01    ia  =  1,0112  ‐ 1        ia = 0,1268 ou 12,68%  Exemplo 2. Qual a taxa mensal de juros equivalente a  12,68% ao ano?    (1+ia)1   => (1+im)12   ia  = 12,68% → 0,1268    (1+0,1268)1  = (1+im)12   im  = ?    (1,1268)  1/12  – 1  =  im          im = 0,0099 ou 1%            Exemplo 3. Qual a taxa anual de juros equivalente a 3%  ao mês?        (1+ia)1   => (1+im)12   ia  = ?     (1+ia) = (1+0,03)12     im  = 3% → 0,03    ia  =  1,0312  ‐ 1        ia = 0,4257 ou 42,57%  Exemplo 4. Qual a taxa mensal de juros equivalente a  36% ao ano?  (1+ia)1   => (1+im)12   ia  = 36% →0,36    (1+0,36)1  = (1+im)12    im  = ?    (1,36)  1/12  – 1  =  im          im = 0,026 ou 2,6%  Exemplo 5. Qual a taxa semestral de juros equivalente  a 12% ao ano?        (1+ia)1   => (1+is)2   ia  = 12% → 0,12     (1+0,12)1  = (1+is)2     is  = ?    1,12 1/2  – 1 = is        is = 0,0583 ou 5,83%  Exemplo 6. Qual a taxa trimestral de juros equivalente  a 30% ao ano?  (1+ia)1   => (1+it)4   ia  = 30% → 0,30    (1+0,3)1  = (1+it)4    it  = ?    (1,3)  1/4  – 1  =  im          it = 0,0677 ou 6,77%          Exemplo 7. Qual a taxa mensal de juros equivalente a  40% ao semestre?      (1+is)2   => (1+im)12 im  = ?     (1+0,4)2   = (1+im)12   is  = 40% →0,40    (1,4)2/12  ‐ 1 =  im        im = 0,0576 ou 5,75%  Nota:  A  taxa  equivalente  também  pode  ser  obtida  pela  fórmula abaixo, desde que partindo de uma taxa maior para  uma menor (por exemplo, ano para mês ou mês para dia):    ieq = (1+i) n/360  ‐ 1    ieq = taxa equivalente procurada.  i = taxa dada.  n = quant. dias da taxa procurada.    Ex.Qual a taxa mensal de juros equivalente a 36% ao ano?  ieq = (1+i) n/360  – 1   ieq = (1+0,36) 30/360  – 1         ieq = 2,6% a.m.  EXERCÍCIO 6 - EXERCITANDO CONCEITOS DE TAXAS EQUIVALENTES  1. Qual a taxa anual de juros equivalente a 4% ao mês?      2. Qual a taxa mensal de juros equivalente a 47% ao ano?      3. Qual a taxa semestral de juros equivalente a 18% ao ano?      4. Qual a taxa trimestral de juros equivalente a 25% ao ano?      5. Qual a taxa mensal de juros equivalente a 35% ao semestre?
  • 27. -25- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira Em Finanças, o fluxo de caixa (designado em inglês por "cash flow"), refere-se ao montante de caixa recebido e gasto por uma empresa durante um período de tempo definido, algumas vezes ligado a um projeto específico. Unidade 2 FLUXO DE CAIXA
  • 28. -26- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira 2.1 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO “Tempo é dinheiro”. Sem sombra de dúvida, o dinheiro tem valor no tempo.     Deve‐se ter em mente que o capital (dinheiro, no caso presente) assume valores diferentes em datas  diversas. Esta idéia é de fundamental importância.     Inflação  A disponibilidade de R$100,00 hoje não é equivalente a se ter R$100,00 daqui a  um ano. Pois o que se compra hoje com este valor, pode não ser mais adquirido  daqui a um ano com a mesma quantia, em decorrência da inflação (perda do  poder de compra)    Para  países  com  economias  inflacionárias  históricas,  como  é  o  caso  brasileiro,  este  fato  é  de  fácil  aceitação. Mesmo que se desconsiderem os efeitos da inflação, a concepção permanece.     Aplicações no mercado financeiro    Imagine a questão por outra ótica: R$100,00 hoje, podem ser aplicados no  mercado financeiro a uma taxa de juros de 10% a.a., por exemplo. Daqui a  um  ano,  a  pessoa  terá  um  saldo  de  R$110,00.  Portanto,  diferente  de  R$100,00 iniciais. Pela mesma razão, um empresário investe um determinado  capital numa oportunidade de negócio, esperando que, após algum tempo,  haja um montante de capital superior ao inicialmente investido    No mercado financeiro, R$100,00 hoje será igual R$100,00 daqui a um ano, somente se permanecer  guardado num cofre ou depositado em conta corrente não remunerada de um banco comercial. Nesta  segunda  situação,  é  ignorar  a  possibilidade  de  se  aplicar  o  valor  em  operações  financeiras,  como:  caderneta de poupança, certificado de depósito bancário, fundo de renda fixa, entre outras, pelo prazo  de um ano.     Portanto, um capital numa data terá o mesmo valor em outra data somente não havendo alternativa de  investimento. Em países com escassez de recursos financeiros e uma infra‐estrutura deficiente, isso é  particularmente mais verdadeiro. Em outras palavras, nessa situação, haverá uma demanda superior à  oferta  de  capital.  Em  conseqüência,  geralmente  ocorre  uma  disposição  para  tomar  dinheiro  por  empréstimo, mediante o pagamento de juro.     De outra forma: uma pessoa dispõe de um dado capital:                Numa data futura, espera ter:   
  • 29. -27- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira 2.2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA Na verdade, de uma forma ligeira já vimos alguns fluxos de caixa nesta apostila, mas não conforme as  regras da Matemática Financeira. O conceito de fluxos de caixa é muito ilustrativo e vale a pena estudá‐ lo,  já  que  todas  as  operações  financeiras  podem  ser  representadas  por  eles  de  uma  forma  simples,  elegante e sintética.     A palavra fluxo nos dá a idéia de movimento. A palavra caixa contém a idéia de capital, de dinheiro.  Assim,  uma  possível  expressão  sinônima  para  fluxo  de  caixa  seria  MOVIMENTO  DE  CAPITAL.  O  movimento de capital a cada período, então, é considerado um fluxo de caixa. Assim, ao longo de um  certo prazo, poderemos ter vários fluxos de caixa, o que representaremos através de um diagrama de  fluxos de caixa.     Vamos ilustrar um diagrama de fluxo de caixa com exemplo de um investimento de $100, que retornou  $150, após 6 meses:    Observe que, de uma forma geral, um diagrama é composto de uma linha horizontal ‐ a linha do tempo ‐ que  mostra os períodos relevantes para o mesmo. Nestes períodos, temos flechas verticais que sinalizam os fluxos,  respeitando‐se a seguinte convenção:    evento  que  significa  saída  de  caixa  (investimento)  arbitrar‐se  negativo  e  o  representa  por  seta  descendente (para baixo ↓);  evento que significa entrada de caixa (direito) são representados por setas ascendentes (para cima ↑).    O fluxo de caixa também pode ser representado da seguinte forma:  Período  Saídas  Entradas  JAN  $100    FEV    ‐  MAR    ‐  ABR    ‐  MAI    ‐  JUN    ‐  JUL    $150 
  • 30. -28- Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COLI, Luis Eurico Junqueira. Textos acadêmicos: Matemática financeira. Lavras: MG. UFLA/FAEPE, 2004. 213p. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Comercial e Financeira fácil. 11 ed. São Paulo: Saraiva, 1996. 238 p. HALFELD, Mauro. Investimentos: como administrar melhor seu dinheiro. 3 ed. São Paulo: Fundamento, 2008. 167p. MARTINS, José Pio. Educação financeira ao alcance de todos. São Paulo: Fundamento, 2004. 104 p. MINELLO, Roberto; RODRIGUES, Marcelo. Matemática financeira e comercial. Rio de Janeiro: Ferreira, 2009. 280 p. NETO, Alexandre Assaf. Matemática financeira e suas aplicações. 5 ed. São Paulo: Atlas, 2000. 427 p. SANTOS, João Carlos dos. Matemática financeira com a calculadora HP12. São Paulo: Villipress, 2001. 135p SENAC. Matemática Financeira. Rio de Janeiro: SENAC Nacional, 2008. 88p. SICSÚ, Bernardo. Fundamentos da Matemática Financeira. Rio de Janeiro: Fundo de cultura, 2004. 88 p.
  • 31. LIVROS PUBLICADOS POR Uanderson Rébula de Oliveira
  • 32. Prof. Uanderson Rébula. Doutorando em Engenharia. Professor universitário. Vivência de 21 anos em ambiente industrial. Além disso, você pode imprimir, desenhar, esquematizar ou usar qualquer leitor pdf, pois a maioria deles encontra-se desbloqueado. Esses ebooks estão disponíveis na livraria Saraiva por preços bem acessíveis. QUERO COMPRAR OS LIVROS uanderson.rebula@yahoo.com.br http://lattes.cnpq.br/1039175956271626 https://br.linkedin.com/in/uandersonrebula Ver amostras dos livros