1) O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo numérico para alunos de engenharia civil. Os exercícios envolvem zerar funções, sistemas lineares, e interpolação polinomial. 2) O primeiro exercício pede para encontrar a raiz de uma equação usando o método de Newton-Raphson para modelar o aquecimento de uma caldeira. 3) O segundo exercício pede para encontrar um intervalo onde uma função é zero usando o teorema de Bolzano e refinar o intervalo com Newton-Raphson.

1. FUNDAÇÃO ALAGOANA DE PESQUISA, EDUCAÇÃO E CULTURA
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ALAGOAS
CURSO:ENG. CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO
PROFESSOR:GREGORIO TOMAS Turma: DATA:20/09/2016
LISTA 2 CÁLCULO NUMÉRICO – ZEROS DE FUNÇÕES REAIS, SISTEMAS
LINEARES, INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
1) O aquecimento de uma caldeira, em °C, obedece a equação 𝑇(𝑥) = ln(𝑥 + 1) + 5𝑥, sendo 𝑥
medido em minutos. Sabe-se que o tempo para atingir a temperatura 𝑇(𝑥) = 30 °C. Refine o
intervalo (5, 6), pelo método de Newton-Raphson para determinar a raiz aproximada 𝑥 𝑛 da
equação ln(𝑥 + 1) + 5𝑥 − 30 = 0, tal que 𝜀 ≤ 10−4
. Utilize 4 casas decimais arredondadas.
Lembre-se de decidir o melhor extremo para início das iterações. (Utilize a tabela vista em sala para
facilitar seu trabalho)
2) A trajetória de uma partícula subatômica é modelada pela função 𝑆(𝑡) = 𝑡2
− 8𝑡 + 𝑒 𝑡−5
+ 14,
em que 𝑆 é medido em cm e 𝑡 em segundos. Um físico investiga o modelo para o intervalo 0 ≤
𝑡 ≤ 4, e descobre que há um intervalo (𝑎, 𝑏), tal que |𝑏 − 𝑎| = 1, onde 𝑆(𝑡) = 0.
a) Determine esse intervalo utilizando o teorema de Bolzano.
b) Refine, pelo método de Newton-Raphson com 𝜀 ≤ 5 × 10−3
, o intervalo encontrado.
Arredonde em 4 casas decimais.
3) Determine o vetor solução 𝑆(𝑇)
do sistema abaixo pelo método de Gauss-Jacobi retendo 4 casas
decimais, com aproximação inicial 𝑆(0)
= (0 0 0) 𝑇
𝜀 ≤ 10−3
.
{
10𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 10
𝑥1 + 10𝑥2 + 𝑥3 = 12
2𝑥1 − 𝑥2 + 10𝑥3 = 11
4) Dado o sistema
{
5𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 7
−𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 3
2𝑥1 − 3𝑥2 + 10𝑥3 = −1
determine o vetor solução 𝑆(𝑇)
do sistema abaixo pelo método de Gauss-Seidel, retendo 4 casas
decimais, com aproximação inicial 𝑆(0)
= (0 0 0) 𝑇
𝜀 ≤ 10−3
.

2. FUNDAÇÃO ALAGOANA DE PESQUISA, EDUCAÇÃO E CULTURA
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ALAGOAS
5) Considere a tabela abaixo:
Altura (cm) 163 173 178 183 188
Peso (kg) 63 69 73 79 82
a) Utilizando o polinômio interpolador linear de Lagrange, determine a altura de uma pessoa de
70 kg.
b) Através do polinômio encontrado na questão anterior, determine o peso de uma pessoa com
175 cm de altura.
c) Utilizando o polinômio interpolador quadrático de Lagrange, determine a altura de uma
pessoa de 81 kg.
6) Uma barra de metal encontra-se devidamente presa em duas paredes separadas pela distância de
12 m. A 5 m da parede A (ver figura), um corpo apoiado sobre a barra faz com que esta toque no
solo. Os pontos de engate nas duas paredes estão a 8 m (parede A) e 3 m (parede B) do solo,
respectivamente, conforme mostra a figura abaixo. Pede-se:
a) Determine a altura, em relação ao solo, de
um ponto da barra localizado a 2 m da
parede A, utilizando interpolação linear
através da fórmula de Lagrange.
b) Considerando-se as mesmas condições descritas, qual deveria ser a altura da barra no ponto
localizado a 2 m da parede A, para que o trecho compreendido até 5 m da parede A fosse
perfeitamente representado por um polinômio de grau 2? Utilize a interpolação quadrática
de Lagrange.
Referências bibliográficas:
 HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; Walker, J. Fundamentos de Física I, Rio de Janeiro: LTC., 2002.
 PAZ, Alvaro Puga; PUGA, Leila Zardo; TARCIA, José H. M. Cálculo Numérico. 1ª edição. Editora LTC,
2009.
 RUGGIERO, Márcia; LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e
Computacionais. 2ª edição. Editora Pearson Makron, 1996.