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“Liberdade é uma palavra que o sonho humano alimenta, não há ninguém que explique e ninguém que não entenda.”
Homenagem da OBMEP à grande poetisa brasileira Cecília Meireles.
INSTRUÇÕES
 9HUL¿TXHVHRVGDGRVGDHWLTXHWDGHVWDSURYDHVWmRFRUUHWRVDVRDVLQIRU
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 1mR HVFUHYD QRV HVSDoRV VRPEUHDGRV
ROH DTXL D HWLTXHWD FRP RV GDGRV GR DOXQR
Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos
agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja
um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática.
Um abraço da Equipe da OBMEP!
Ministério
da Educação
Ministério da
Ciência e Tecnologia
SOCIEDADE
BRASILEIRA
DE MATEMÁTICA
Assinatura
Nome completo do aluno
Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº)
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2
Nível
7ª e 8ª séries (8º e 9º anos) do Ensino Fundamental
2ª FASE – 11 de setembro de 2010
“Liberdade é uma palavra que o sonho humano alimenta, não há ninguém que explique e ninguém que não entenda.”
Homenagem da OBMEP à grande poetisa brasilei
INSTRUÇÕES
 9HUL¿TXHVHRVGDGRVGDHWLTXHWDGHVWDSURYDHVWmRFRUUHWRVDVRDVLQIRU
PDo}HV QmR HVWHMDP FRUUHWDV FRPXQLTXH R HUUR DR ¿VFDO LPHGLDWDPHQWH
 3UHHQFKD FXLGDGRVDPHQWH WRGRV RV VHXV GDGRV QR TXDGUR DFLPD
8WLOL]H OHWUD GH IRUPD FRORFDQGR XPD OHWUDGtJLWR HP FDGD TXDGUDGLQKR
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HOD GH PDQHLUD RUJDQL]DGD H OHJtYHO (YLWH HVFUHYHU DV VROXo}HV QD
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 1D FRUUHomR VHUmR FRQVLGHUDGRV WRGRV RV UDFLRFtQLRV TXH YRFr
DSUHVHQWDU 7HQWH UHVROYHU R PDLRU Q~PHUR SRVVtYHO GH LWHQV GH WRGDV
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 5HVSRVWDV VHP MXVWL¿FDWLYDV QmR VHUmR FRQVLGHUDGDV QD FRUUHomR
 1mR p SHUPLWLGR R XVR GH LQVWUXPHQWRV GH GHVHQKR FDOFXODGRUDV RX
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 1mR p SHUPLWLGR FRPXQLFDUVH FRP RXWUDV SHVVRDV DOpP GR DSOLFDGRU
 1mR HVFUHYD QRV HVSDoRV VRPEUHDGRV
ROH DTXL D HWLTXHWD FRP RV GDGRV GR DOXQR
Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos
agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja
um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática.
Um abraço da Equipe da OBMEP!
Ministério
da Educação
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Ciência e Tecnologia
SOCIEDADE
BRASILEIRA
DE MATEMÁTICAAA
Assinatura
Nome completo do alunoppp
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Nível
7ª e 8ª séries (8º e 9º anos) do Ensino Fundamental
2ª FASE – 11 de setembro de 2010
Preencha
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os dados
acima com
muita atenção!
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  • 1. “Liberdade é uma palavra que o sonho humano alimenta, não há ninguém que explique e ninguém que não entenda.” Homenagem da OBMEP à grande poetisa brasileira Cecília Meireles. INSTRUÇÕES 9HUL¿TXHVHRVGDGRVGDHWLTXHWDGHVWDSURYDHVWmRFRUUHWRVDVRDVLQIRU PDo}HV QmR HVWHMDP FRUUHWDV FRPXQLTXH R HUUR DR ¿VFDO LPHGLDWDPHQWH 3UHHQFKD FXLGDGRVDPHQWH WRGRV RV VHXV GDGRV QR TXDGUR DFLPD 8WLOL]H OHWUD GH IRUPD FRORFDQGR XPD OHWUDGtJLWR HP FDGD TXDGUDGLQKR H GHL[DQGR XP HVSDoR HP EUDQFR HQWUH FDGD SDODYUD /HPEUHVH GH DVVLQDU R TXDGUR DFLPD H D OLVWD GH SUHVHQoD $ SURYD SRGH VHU IHLWD D OiSLV RX D FDQHWD $ GXUDomR GD SURYD p GH KRUDV 9RFr Vy SRGHUi GHL[DU D VDOD GH SURYD PLQXWRV DSyV R LQtFLR GD SURYD $R WHUPLQDU D SURYD HQWUHJXHD DR DSOLFDGRU $ VROXomR GH FDGD TXHVWmR GHYH VHU HVFULWD QD SiJLQD UHVHUYDGD SDUD HOD GH PDQHLUD RUJDQL]DGD H OHJtYHO (YLWH HVFUHYHU DV VROXo}HV QD IROKD GH UDVFXQKR 1D FRUUHomR VHUmR FRQVLGHUDGRV WRGRV RV UDFLRFtQLRV TXH YRFr DSUHVHQWDU 7HQWH UHVROYHU R PDLRU Q~PHUR SRVVtYHO GH LWHQV GH WRGDV DV TXHVW}HV 5HVSRVWDV VHP MXVWL¿FDWLYDV QmR VHUmR FRQVLGHUDGDV QD FRUUHomR 1mR p SHUPLWLGR R XVR GH LQVWUXPHQWRV GH GHVHQKR FDOFXODGRUDV RX TXDOTXHU IRQWH GH FRQVXOWD 1mR p SHUPLWLGR FRPXQLFDUVH FRP RXWUDV SHVVRDV DOpP GR DSOLFDGRU 1mR HVFUHYD QRV HVSDoRV VRPEUHDGRV ROH DTXL D HWLTXHWD FRP RV GDGRV GR DOXQR Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática. Um abraço da Equipe da OBMEP! Ministério da Educação Ministério da Ciência e Tecnologia SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Assinatura Nome completo do aluno Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº) Complemento CEPCidade UF TelefoneDDD Bairro Telefone (outro)DDD Endereço eletrônico (email) Correção Regional 1 Correção Regional 2 Correção Regional 3 Correção Regional 4 Correção Regional 5 6 Correção Regional 7RWDO Correção Nacional 1 Correção Nacional 2 Correção Nacional 3 Correção Nacional 4 Correção Nacional 5 Correção Nacional 6 Correção Nacional 7RWDO Correção Regional Correção Nacional Correção Regional 2 Nível 7ª e 8ª séries (8º e 9º anos) do Ensino Fundamental 2ª FASE – 11 de setembro de 2010 “Liberdade é uma palavra que o sonho humano alimenta, não há ninguém que explique e ninguém que não entenda.” Homenagem da OBMEP à grande poetisa brasilei INSTRUÇÕES 9HUL¿TXHVHRVGDGRVGDHWLTXHWDGHVWDSURYDHVWmRFRUUHWRVDVRDVLQIRU PDo}HV QmR HVWHMDP FRUUHWDV FRPXQLTXH R HUUR DR ¿VFDO LPHGLDWDPHQWH 3UHHQFKD FXLGDGRVDPHQWH WRGRV RV VHXV GDGRV QR TXDGUR DFLPD 8WLOL]H OHWUD GH IRUPD FRORFDQGR XPD OHWUDGtJLWR HP FDGD TXDGUDGLQKR H GHL[DQGR XP HVSDoR HP EUDQFR HQWUH FDGD SDODYUD /HPEUHVH GH DVVLQDU R TXDGUR DFLPD H D OLVWD GH SUHVHQoD $ SURYD SRGH VHU IHLWD D OiSLV RX D FDQHWD $ GXUDomR GD SURYD p GH KRUDV 9RFr Vy SRGHUi GHL[DU D VDOD GH SURYD PLQXWRV DSyV R LQtFLR GD SURYD $R WHUPLQDU D SURYD HQWUHJXHD DR DSOLFDGRU $ VROXomR GH FDGD TXHVWmR GHYH VHU HVFULWD QD SiJLQD UHVHUYDGD SDUD HOD GH PDQHLUD RUJDQL]DGD H OHJtYHO (YLWH HVFUHYHU DV VROXo}HV QD IROKD GH UDVFXQKR 1D FRUUHomR VHUmR FRQVLGHUDGRV WRGRV RV UDFLRFtQLRV TXH YRFr DSUHVHQWDU 7HQWH UHVROYHU R PDLRU Q~PHUR SRVVtYHO GH LWHQV GH WRGDV DV TXHVW}HV 5HVSRVWDV VHP MXVWL¿FDWLYDV QmR VHUmR FRQVLGHUDGDV QD FRUUHomR 1mR p SHUPLWLGR R XVR GH LQVWUXPHQWRV GH GHVHQKR FDOFXODGRUDV RX TXDOTXHU IRQWH GH FRQVXOWD 1mR p SHUPLWLGR FRPXQLFDUVH FRP RXWUDV SHVVRDV DOpP GR DSOLFDGRU 1mR HVFUHYD QRV HVSDoRV VRPEUHDGRV ROH DTXL D HWLTXHWD FRP RV GDGRV GR DOXQR Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática. Um abraço da Equipe da OBMEP! Ministério da Educação Ministério da Ciência e Tecnologia SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICAAA Assinatura Nome completo do alunoppp Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº)ççç ppp ((( ))) Complementoppp CEPCidade UF TelefoneDDD Bairro Telefone (outro)((( )))DDD Endereço eletrônico (email)ç ( )ç ( )ç ( ) Correção Regional 1 Correção Regional 2 Correção Regional 3 Correção Regional 4 Correção Regional 5 6 Correção Regional 7RWDO Correção Nacional 1 Correção Nacional 2 Correção Nacional 3 Correção Nacional 4 Correção Nacional 5 Correção Nacional 6 Correção Nacional 7RWDO Correção Regional Correção Nacional Correção Regional 2 Nível 7ª e 8ª séries (8º e 9º anos) do Ensino Fundamental 2ª FASE – 11 de setembro de 2010 Preencha H FRQ¿UD os dados acima com muita atenção!
  • 2. 2 NÍVEL 2 5HVSRVWDV VHP MXVWL¿FDWLYD QmR VHUmR FRQVLGHUDGDV Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional TOTAL 1. 8P ³PDWHPiJLFR´ ID] PiJLFDV FRP FDUW}HV YHUGHV DPDUHORV D]XLV H YHUPHOKRV QXPHUDGRV GH D SDUD FDGD FRU (OH PLVWXUD RV FDUW}HV H GL] SDUD XPD FULDQoD “6HP TXH HX YHMD HVFROKD XP FDUWmR FDOFXOH R GREUR GR Q~PHUR GHVVH FDUWmR VRPH H PXOWLSOLTXH R UHVXOWDGR SRU 'HSRLV ‡ VRPH VH R FDUWmR IRU YHUGH ‡ VRPH VH R FDUWmR IRU DPDUHOR ‡ VRPH VH R FDUWmR IRU D]XO ‡ VRPH VH R FDUWmR IRU YHUPHOKR 'LJDPH R UHVXOWDGR ¿QDO H HX OKH GLUHL D FRU H R Q~PHUR GR FDUWmR TXH YRFr HVFROKHX´ D
  • 3. -RmR]LQKR HVFROKHX R FDUWmR YHUPHOKR FRP R Q~PHUR 4XDO p R Q~PHUR TXH HOH GHYH GL]HU DR PDWHPiJLFR Correção Regional Correção Nacional E
  • 4. 0DULD]LQKD GLVVH ³6HWHQWD H VHLV´ SDUD R PDWHPiJLFR 4XDO p R Q~PHUR H D FRU GR FDUWmR TXH HOD HVFROKHX Correção Regional Correção Nacional F
  • 5. $SyV HVFROKHU XP FDUWmR 3HGULQKR GLVVH ³6HVVHQWD H XP´ H R PDWHPiJLFR UHVSRQGHX ³9RFr HUURX DOJXPD FRQWD´ ([SOLTXH FRPR R PDWHPiJLFR S{GH VDEHU LVVR
  • 6. 3 NÍVEL 25HVSRVWDV VHP MXVWL¿FDWLYD QmR VHUmR FRQVLGHUDGDV Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional TOTAL 2. DWDULQD WHP FDUW}HV QXPHUDGRV GH D D
  • 7. 4XDQWRV GHVVHV FDUW}HV WrP XP Q~PHUR TXH p P~OWLSOR GH Correção Regional Correção Nacional E
  • 8. 4XDQWRV GHVVHV FDUW}HV WrP XP Q~PHUR SDU TXH QmR p P~OWLSOR GH Correção Regional Correção Nacional F
  • 9. 4XDO p R PHQRU Q~PHUR GH FDUW}HV TXH DWDULQD GHYH SHJDU DR DFDVR SDUD WHU FHUWH]D GH TXH RX VHMD GLYLVRU FRPXP GRV Q~PHURV HVFULWRV HP SHOR PHQRV GRLV GRV FDUW}HV VHOHFLRQDGRV
  • 10. 4 NÍVEL 2 5HVSRVWDV VHP MXVWL¿FDWLYD QmR VHUmR FRQVLGHUDGDV Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional TOTAL 3. $ ¿JXUD PRVWUD XP GRGHFiJRQR UHJXODU GHFRPSRVWR HP VHLV WULkQJXORV HTXLOiWHURV VHLV TXDGUDGRV H XP KH[iJRQR UHJXODU WRGRV FRP ODGRV GH PHVPD PHGLGD D
  • 11. 6H FDGD WULkQJXOR GD ¿JXUD WHP iUHD LJXDO D FP2 TXDO p D iUHD GR hexágono Correção Regional Correção Nacional F
  • 12. $ ¿JXUD DEDL[R IRL REWLGD UHWLUDQGR GRLV KH[iJRQRV UHJXODUHV GH XP GRGHFiJRQR UHJXODU FXMR ODGR PHGH FP 4XDO p D iUHD GHVVD ¿JXUD Correção Regional Correção Nacional E
  • 13. $ ¿JXUD DEDL[R IRL REWLGD UHWLUDQGR GR]H WULkQJXORV HTXLOiWHURV GH XP GRGHFiJRQR UHJXODU FXMR ODGR PHGH FP 4XDO p D iUHD GHVVD ¿JXUD
  • 14. 5 NÍVEL 25HVSRVWDV VHP MXVWL¿FDWLYD QmR VHUmR FRQVLGHUDGDV Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional TOTAL 4. *DEULHO GHVHQKD TXDGUDGRV GLYLGLGRV HP QRYH FDVDV H HVFUHYH RV Q~PHURV QDWXUDLV GH D XP HP FDGD FDVD (P VHJXLGD HOH FDOFXOD D VRPD GRV Q~PHURV GH FDGD OLQKD H GH FDGD FROXQD $ ¿JXUD PRVWUD XP GRV TXDGUDGRV GR *DEULHO REVHUYH TXH D VRPD GRV Q~PHURV GD WHUFHLUD OLQKD p 15285 =++ H D VRPD GRV Q~PHURV GD VHJXQGD FROXQD p 24879 =++ 1HVVH H[HPSOR DV VHLV VRPDV VmR H D
  • 15. *DEULHO SUHHQFKHX XP TXDGUDGR H IH] DSHQDV FLQFR VRPDV H 4XDO p D VRPD TXH HVWi IDOWDQGR Correção Regional Correção Nacional E
  • 16. ([SOLTXH SRU TXH QmR p SRVVtYHO TXH HP XP TXDGUDGR GR *DEULHO WRGDV DV VRPDV VHMDP Q~PHURV SDUHV Correção Regional Correção Nacional F
  • 17. 3UHHQFKD R TXDGUDGR GH PRGR TXH DV VRPDV VHMDP H 6 9 3 18 4 7 1 12 5 15 8 24 2 6 15
  • 18. 6 NÍVEL 2 5HVSRVWDV VHP MXVWL¿FDWLYD QmR VHUmR FRQVLGHUDGDV Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional TOTAL 5. -XOLDQD TXHU GDU D FDGD XPD GDV OHWUDV A, B, C, D,..., W, X, Y, Z GR DOIDEHWR XP YDORU QXPpULFR GLIHUHQWH GH ]HUR GH WDO PRGR TXH A C Bu B D Cu C E Du H DVVLP SRU GLDQWH DWp X Z Yu . D
  • 19. 6H -XOLDQD GHU D A e B RV YDORUHV H UHVSHFWLYDPHQWH TXDLV VHUmR RV YDORUHV GH C D e E Correção Regional Correção Nacional E
  • 20. 0RVWUH TXH G A TXDLVTXHU TXH VHMDP RV YDORUHV TXH -XOLDQD GHU SDUD A e B. Correção Regional Correção Nacional F
  • 21. 6H -XOLDQD GHU YDORUHV SDUD A e B WDLV TXH 2010A Bu TXDO VHUi R YDORU GR SURGXWR B C D YA W X Zu u u u}u u u u
  • 22. n n 7 NÍVEL 25HVSRVWDV VHP MXVWL¿FDWLYD QmR VHUmR FRQVLGHUDGDV Correção Regional Correção Nacional Correção Regional Correção Nacional TOTAL 6. 1R MRJR Arrasta Um XVDVH XP WDEXOHLUR TXDGULFXODGR H SHoDV UHGRQGDV XPD SUHWD H DV RXWUDV EUDQFDV RORFDVH XPD SHoD HP FDGD FDVD GR WDEXOHLUR H[FHWR HP XPD TXH p GHL[DGD YD]LD 8P movimento FRQVLVWH HP GHVORFDU SDUD D FDVD YD]LD D SHoD GH XPD FDVD DGMDFHQWH 2 MRJR WHUPLQD TXDQGR D SHoD SUHWD FKHJD DR FDQWR VXSHULRU GLUHLWR GR WDEXOHLUR 9HMD XP H[HPSOR GH FRPR WHUPLQDU R Arrasta Um HP TXDWUR PRYLPHQWRV HP XP WDEXOHLUR 3 3´2 2 . (VWD VHTXrQFLD GH PRYLPHQWRV SRGH VHU GHVFULWD SRU n mpo
  • 23. D
  • 24. 'HVFUHYD FRPR WHUPLQDU R Arrasta Um HP VHLV PRYLPHQWRV QR WDEXOHLUR 3 3´ DEDL[R Correção Regional Correção Nacional E
  • 25. 'HVFUHYD FRPR WHUPLQDU R Arrasta Um HP GH] PRYLPHQWRV QR WDEXOHLUR 3 3´ DEDL[R Correção Regional Correção Nacional F
  • 26. 0RVWUH TXH HP XP WDEXOHLUR n n´ FRPR QD ¿JXUD p SRVVtYHO WHUPLQDU R Arrasta Um em 6 8n - PRYLPHQWRV