Aula de Matemática - Integrais Múltiplas.ppt

CÁLCULO IV
Profa. Ana Lucia de Sousa
Aula 1: Integrais Múltiplas

CÁLCULO IV
Conteúdo programático
• Integrais múltiplas
• Integral Dupla
• Definição
• Interpretação Geométrica da Integral Dupla
• Resolução da Integral Dupla
• Propriedades
• Teorema de Fubine
• Integrais Dupla sobre regiões mais gerais

CÁLCULO IV
Integrais Múltiplas
Objetivos da aula:
Conhecer e Calcular as Integrais Duplas
Interpretação geométrica da integral dupla
Conhecer suas propriedades
Conhecer o Teorema de Fubine

CÁLCULO IV
Integral Definida
Definição:
Seja f uma função definida ao menos no intervalo
fechado [a,b]. Então a área com sinal sob o gráfico
de f entre x=a e x=b é denotada por
( )
b
a
f x dx

Portanto, podemos escrever,
 

b
a
b
f
a
f
dx
x
f )
(
)
(
)
(

CÁLCULO IV
Acrescentando mais um símbolo de integral a
esta aprendida anteriormente. Agora ela recebe
o nome de integral dupla.
Integral dupla →
Vamos denotar f(x,y) por z = f(x,y)
dy
dx
y
x
f
b
a
d
c

 )
,
(
Exemplo:
  dy
dx
x
xy
y
y



2
0
2

CÁLCULO IV
Interpretação Geométrica da Integral Dupla
Considere uma função real z = f(x,y) definida e contínua no
retângulo R = [a,b] x [c,d].
O retângulo R pode ser escrito como:
R = { (x,y)  2
| a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d }
Ambas as notações podem ser usadas, pois estão
descrevendo a mesma região.

CÁLCULO IV
Integral definida →
Área da função y = f(x) no intervalo [a,b] e geometricamente
seria descrita por:
 

b
a
A
A
dx
x
f 2
1
)
(

CÁLCULO IV
dy
dx
y
x
f
b
a
d
c

 )
,
(
Agora vamos analisar a integral dupla.
z= f(x,y) é uma superfície situada acima do retângulo R.
A região que se formará no espaço chamaremos de W e será
definida pelo retângulo R e os quatro planos
x = a, x = b, y = c e y = d

CÁLCULO IV
A região W define um volume. Ele será chamado de volume
de integral dupla de f sobre R, denotado por:

 R
R
dA
y
x
f
ou
dxdy
y
x
f )
,
(
)
,
(

CÁLCULO IV
Exemplo
Se f(x,y) = 1 - x e R = [0,1] x [0,1].
A região R será definida pelos pontos:
f(x,y) no ponto x = 0, y = 0 será f(x,y) = 1. Então teremos
o ponto (0,0,1).
o ponto (0,1,0).
o ponto (1,0,0).
o ponto (1,1,0).

CÁLCULO IV
Observe nas figuras abaixo que a função f(x,y) é o plano
vermelho e a região R.

CÁLCULO IV
Cálculo da Integral Dupla
Resolvendo a primeira integral dupla
Seja f(x,y) = 1 – x e R = [0,1] x [0,1].


 

1
0
1
0
)
1
(
)
,
( dxdy
x
dxdy
y
x
f
b
a
d
c

CÁLCULO IV
 

 


1
0
1
0
1
0
1
0
)
1
(
)
1
( dy
dx
x
dxdy
x
Resolver primeiro a integral mais interna
 



























1
0
2
2
1
0
2
2
1
2
0
0
2
1
1
2
)
1
(
x
x
dx
x

CÁLCULO IV
Resolver agora a segunda integral a partir do resultado
da primeira.
 




















1
0
1
0 2
1
0
2
1
1
2
1
2
1
2
1
y
dy
Portanto,
2
1
)
1
(
1
0
1
0



 dxdy
x

CÁLCULO IV
Definição da integral dupla através do método das
somas de Riemann.
Seja z = f(x,y) definida numa região fechada e limitada R
do plano xy.

CÁLCULO IV
Agora vamos considerar os retângulo Rk contidos na região R
e enumerados de 1 a n.
Em cada retângulo Rk vamos escolher um ponto (xk,yk).
(xk,yk)
Rk
A área de cada retângulo Rk
será dada por ∆Ak = ∆xk . ∆yk

CÁLCULO IV

CÁLCULO IV
Agora veja:
z = f(xk,yk)
(xk,yk)
A área do retângulo Rk : ∆Ak = ∆xk . ∆yk

CÁLCULO IV
k
k
n
k
k A
y
x
f 


).
(
1
,
Agora podemos formar a seguinte soma:
A partir dela temos:
k
k
n
k
k
n
A
y
x
f
Lim 




).
(
1
,
Se o limite existe, então chamamos integral dupla de f(x,y)
sobre a região R.

CÁLCULO IV
Quanto mais particionamos a região R mais próximos ao
volume real de f(x,y) chegaremos.
Observe as figuras abaixo:

CÁLCULO IV
Chamada de Soma de Riemann de z = f(x,y) sobre R.
k
k
n
k
k A
y
x
f 


).
(
1
,
Quando z = f(x,y) ≥ 0, a integral dupla é interpretada como um
volume.
A soma de Riemann representa uma aproximação do volume da
porção do espaço compreendido abaixo do gráfico de z = f(x,y) e
acima da região R do plano xy.

CÁLCULO IV
Portanto, quando f(x,y) ≥ 0,

R
dxdy
y
x
f )
,
(
Temos o volume do sólido delimitado superiormente
pelo gráfico de z = f(x,y), e inferiormente pela região R.
Teorema:
Toda função contínua definida num retângulo R é
integrável sobre R.

CÁLCULO IV
Propriedades
Linearidade
Seja f e g funções integráveis num retângulo R e c1, c2
constantes reais. Então c1 f + c2 g é integrável sobre R.
 









R
R
R
dxdy
y
x
g
c
dxdy
y
x
f
c
dxdy
y
x
g
c
y
x
f
c
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1

CÁLCULO IV
Monotonicidade
Seja f e g funções integráveis num retângulo R e f(x,y) ≥
g(x,y), (x,y) , então:


  R
R
dxdy
y
x
g
dxdy
y
x
f )
,
(
)
,
(
Ou seja, se conhecemos duas funções e uma é menor ou
igual a outra, então esta propriedade será preservada na
integral dupla.

CÁLCULO IV
Aditividade
Se o retângulo R é subdividido em n retângulos e se f é
integrável sobre cada Ri, i =1, ..., n, então f é integrável
sobre R, podemos escrever:





n
i
R
R i
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
1
)
,
(
)
,
(
Ou seja, se a função possui um conjunto de pontos de
descontinuidade poderemos descrever f como uma união
finita de gráficos de funções contínuas. A função f continuará
a ser integrável sobre R.

CÁLCULO IV
Se a região R é composta de duas sub-regiões R1 e R2 que
não têm pontos em comum, excetos os pontos de suas
fronteiras, então


 

2
1
)
,
(
)
,
(
)
,
( R
R
R
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f

CÁLCULO IV
Teorema de Fubine
Se z = f(x,y) é contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d],
então a integral dupla de f sobre R pode ser obtida
através de integrais iteradas, ou seja:
 
 



















d
c
b
a
b
a
d
c
R
dy
dx
y
x
f
dx
dy
y
x
f
dA
y
x
f )
,
(
)
,
(
)
,
(
O Teorema de Fubine é prático para o cálculo de integrais
duplas através de duas integrações sucessivas de funções de
uma variável.

CÁLCULO IV
Exemplo
Seja f(x,y) em R = [-1,1] x [0, π/2].
Podemos escrever:
 
 




1
1
2
0
2
0
1
1
)
,
(
)
,
(


dydx
y
x
f
dxdy
y
x
f

CÁLCULO IV
Exemplo
 dxdy
y
x

 
1
0
1
0
2
2
 
3
2
3
1
3
1
3
1
1
.
3
1
3
3
1
3
1
1
.
3
1
3
3
1
0
3
1
0
2
1
0
1
0
2
3
1
0
1
0
2
3
1
0
1
0
2
2











































y
y
dy
y
dy
y
dy
x
y
x
dxdy
y
x

CÁLCULO IV
 dydx
y
x

 
1
0
1
0
2
2
 
3
2
3
1
3
1
1
.
3
1
3
1
.
3
1
3
3
1
3
1
1
.
3
3
1
0
3
1
0
2
1
0
1
0
3
2
1
0
1
0
3
2
1
0
1
0
2
2











































x
x
dx
x
dx
x
dx
y
y
x
dydx
y
x

CÁLCULO IV
Observação
As integrais duplas surgiram para cálculo de volume,
mas também podem ser usadas para calcular áreas.
A integral dupla será escrita da seguinte forma:

 
 R
R
dA
dA
R
de
Área 1

CÁLCULO IV
Integrais dupla sobre regiões mais gerais
Vamos definir dois tipos de regiões:
Região do tipo I
b
x
a
e
x
g
y
x
f 


 )
(
)
(
y = f(x)
y = g(x)
dx
dy
y
x
f
b
a
x
g
x
f
 







 )
(
)
(
)
,
(

CÁLCULO IV
Exemplo
Use a integral dupla para calcular a área da região R
limitada por y = x2
, y = 0 e x = 2.
2
4
0
y = x2
x
y

CÁLCULO IV
2
4
0
y = x2
x
y
Região do tipo I

















2
0
0
:
)
(
)
(
:
2
x
x
y
R
b
x
a
x
g
y
x
f
R
 

 


2
0 0
2
1
x
R
R
dydx
dydx
dA
R
de
Área

CÁLCULO IV


2
0 0
2
x
dx
dy
R
de
Área
  2
2
0 0
2
x
x
y x



a
u
x
dx
x
R
de
Área .
3
8
3
0
3
2
3
3
3
2
0
3
2
0
2










CÁLCULO IV
Região do tipo II
d
y
c
e
y
g
x
y
f 


 )
(
)
(
y = f(x)
y = g(x)
dy
dx
y
x
f
d
c
x
g
x
f
 







 )
(
)
(
)
,
(

CÁLCULO IV
Exemplo
Use a integral dupla para calcular a área da região R
limitada por y = x2
, y = 0 e x = 2.
2
4
0
y = x2
x
y
y
x 















4
0
2
:
)
(
)
(
:
y
x
y
R
d
x
c
x
g
x
x
f
R

CÁLCULO IV
 

4
0
2
y
dy
dx
R
de
Área
  y
x y 
2
2
 
a
u
y
y
dy
y
R
de
Área
.
3
8
3
16
8
8
.
3
2
8
64
3
2
8
4
3
2
4
.
2
3
2
2
2
3
4
0
3
4
0
























CÁLCULO IV
Exercício 1
Calcule onde R é a região do triângulo de
vértices (0,0), (1,0) e (0,1).

R
xydA
a
u
resposta
dxdy
xy
xydA
R
.
24
1
:

 

R
(1,0)
(0,1)
y = -x + 1

















1
0
1
0
:
1
0
1
0
:
y
y
x
R
ou
x
x
y
R

CÁLCULO IV
Exercício 2
Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo
gráfico de z = 4 – x – y, inferiormente pela região R
delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e
e lateralmente pelo cilindro vertical cuja
base é o contorno de R.
Vamos desenhar a região R, de acordo com as informações
dadas.
2
1
4
1

 x
y

CÁLCULO IV
 

 R
dxdy
y
x
V )
4
(

CÁLCULO IV










2
0
2
1
4
1
0
:
x
x
y
R
 

 R
dxdy
y
x
V )
4
(
v
u
dx
dy
y
x
V
x
.
4
15
)
4
(
2
0
2
1
4
1
0















 


CÁLCULO IV
Nesta Aula, você:
Estudou as integrais duplas:
definição e interpretação geométrica
Conheceu suas propriedades
Conheceu o Teorema de Fubine
Aprendeu a resolver as integrais duplas

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