Ii lógica proposicional - formalização de proposições e argumentos (7)

O que é a
Lógica?
02
Argumentação e Lógica Formal

A lógica é uma ciência dedutiva criada por Aristóteles que permite distinguir
os argumentos válidos dos inválidos. Durante muitos séculos, a lógica usou a
linguagem natural como meio de se exprimir (lógica aristotélica), no entanto,
a partir do século XIX, desenvolveu-se a chamada Lógica Proposicional.
A Lógica Proposicional surge nos finais do séc. XIX e inícios do século XX, com
filósofos e matemáticos como Frege (1848-1925), Bertrand Russel (1872-1970),
entre outros, e desenvolveu-se aplicada ao estudo das linguagens formais ou
simbólicas.
A primeira inspiração foi a linguagem utilizada pela matemática. Uma
linguagem formal é uma linguagem artificial de natureza simbólica (a partir de
símbolos).
Esta lógica esteve na origem do desenvolvimento dos computadores, da
programação computacional.
Friedrich Frege
(1848-1925)

Para se conseguir determinar com rigor se um argumento é dedutivamente
válido ou inválido é importante estudar lógica proposicional clássica.
Na lógica proposicional ignora-se o conteúdo específico, ou seja, o que é dito
nas proposições e atende-se às operações lógicas existentes definidas pelas
conetivas. Cada proposição simples ou elementar que constitui um argumento é
representada por letras como P, Q, R, e assim sucessivamente, a que se chamam
variáveis proposicionais e por símbolos que são chamadas de conetivas ou
operadores verofuncionais (∨, ∧, →, ↔, entre outros.).
O seu significado de cada letra (P, Q, R..) é fixado por meio de um dicionário
(interpretação) que estabelece a correspondência (decompondo) entre cada letra
ou variável proposicional e a proposição simples ou elementar específica que
esta representa ou expõe.
As proposições simples ou elementares são aquelas proposições que não têm
qualquer conectiva proposicional (“se… então”, “e”, “ou”, “não”, entre outras).

Proposições
SIMPLES COMPOSTAS
Uma proposição é aquilo que se pode definir como verdadeiro ou falso expresso por
uma frase declarativa.
As proposições simples são aquelas que
não se podem decompor noutras
proposições mais simples. Na linguagem
da lógica proposicional estas
proposições não têm conetivas.
As proposições compostas ou complexas
são aquelas se podem decompor noutras
proposições mais simples. Na linguagem
proposicional são aquelas que possuem
pelo menos uma ou mais
conetiva/operadores.

Proposições simples
Ricardo é bombeiro. Ricardo é estudante de Filosofia.
O João é inteligente. O João é ignorante.
O Afonso sabe ler. O Afonso é analfabeto.
A Maria vai vencer a prova. A Maria vai treinar todos os dias.
O Lourenço consegue o bilhete. O Lourenço vai ao concerto.

Proposições compostas
Ricardo é bombeiro e estudante de Filosofia.
O João é inteligente ou ignorante.
Ou o Afonso sabe ler ou é analfabeto.
A Maria vai vencer a prova se e só se treinar todos os dias.
Se o Lourenço conseguir bilhete, então irá ao concerto.
«e», «ou», «ou…ou», «se e só se», «se… então»
As proposições compostas são aquelas em que duas proposições simples se encontram
interligadas por aquilo que chamámos de conetivas ou operadores verofuncionais.

O quadro seguinte mostra, com exemplos, como representar a forma lógica de proposições:
Designação Exemplo de Proposição Dicionário (interpretação)
Formalização
Forma lógica
Proposição simples Sócrates é filósofo. P: Sócrates é filósofo. P
Podemos referir esta
proposição a partir de
uma letra, por exemplo:
P ou Q ou R
(Normalmente utilizamos
consoantes)
O dicionário serve como
legenda, de forma a que
possa compreender o que
é expresso por cada letra
utilizada.
No dicionário as
proposições surgem
sempre na afirmativa.
Na formalização é a
substituição das frases
em linguagem corrente ou
natural por uma letra à
nossa escolha.
Em vez de P podemos
escolher outras como: Q,
R, S, T (…).
Uma proposição simples
ou elementar traduzem
uma unidade de sentido
sem recorrer a conetivas,
ou seja, não
necessitamos de utilizar
conetivas.

A formalização de proposições requer a construção de um dicionário, a partir do qual se podem
interpretar os enunciados da linguagem natural e traduzi-los para a linguagem formalizada e vice-versa.
DICIONÁRIO
P
Q
R
S
Chove.
O linho é uma planta
herbácea.
Há um sapo no jardim.
Estamos no outono.
Exemplos de
proposições
simples:
A escolha da letra
(consoante) é aleatória,
em vez da proposição
«Estamos no outono.»
ser representada pela
letra S, podia ser por
outra letra aqui
apresentada ou outra
consoante como «T».
No dicionário faz-se corresponder a uma variável proposicional que permite representá-la. Note-se também que o
dicionário apenas inclui frases declarativas gramaticalmente completas e que estas surgem geralmente no presente do
indicativo, dado que a lógica proposicional clássica é insensível aos tempos verbais.

As conetivas proposicionais e os
respetivos símbolos
¬, ∧,∨,→, ↔

1
3
Conetivas Proposicionais Linguagem natural ou corrente Símbolos das Conetivas
Negação Não ¬ou ~
Conjunção e ∧
Disjunção (inclusiva) ou ∨
Disjunção (exclusiva) ou…ou ∨
Condicional se…então… →
Bicondicional … se e só se… ↔

A NEGAÇÃO DA PROPOSIÇÕES
Operação lógica
Exemplo de Proposição
(linguagem corrente/natural)
Dicionário (interpretação)
Formalização
Forma lógica
Negação
Sócrates não é filósofo. P: Sócrates é filósofo.
¬ P
ou
~P
Deus não existe. Q: Deus existe
¬ Q
ou
~Q
A Joana não é saudável. R: A Joana é saudável.
¬ R
ou
~R
No dicionário as proposições encontram-se
Tradução para linguagem
proposicional

A CONJUNÇÃO ENTRE PROPOSIÇÕES
Operação lógica
Formalização
Forma lógica
CONJUNÇÃO
Símbolo:
Sócrates é grego e
filósofo.
P: Sócrates é grego.
Q: Sócrates é filósofo.
(P ∧ Q)
Tanto Deus é omnipotente
como omnisciente.
P: Deus é omnipotente.
R: Deus é omnisciente.
(P ∧ R)
A Joana é saudável mas
também é inteligente.
P: A Joana é saudável.
S: A Joana é inteligente.
(P ∧ S)
ou complexas.
proposicional
∧
O dicionário de uma
proposição composta é a
representação da
decomposição da mesma em
proposições simples.

A DISJUNÇÃO (INCLUSIVA) ENTRE PROPOSIÇÕES
Operação lógica
Formalização
Forma lógica
DISJUNÇÃO
(inclusiva)
Símbolo:
Sócrates é grego ou
filósofo.
(P V Q)
Deus é omnipotente ou
omnisciente.
(P V R)
A Joana é saudável ou
inteligente.
S: A Joana é inteligente.
(P V S)
ou complexas.
proposicional
V
O dicionário de uma
proposição composta é a
representação da
decomposição da mesma em
proposições simples.

A DISJUNÇÃO (EXCLUSIVA) ENTRE PROPOSIÇÕES
Operação lógica
Formalização
Forma lógica
DISJUNÇÃO
(exclusiva)
Símbolo:
Ou Sócrates é grego ou
filósofo.
(P V Q)
Ou Deus é omnipotente ou
omnisciente.
(P V R)
Ou cuidamos no nosso
planeta ou estamos
condenados à extinção.
P: Cuidamos do nosso
planeta.
S: Estamos condenados à
extinção.
(P V S)
proposicional
V
Das duas uma: cuidamos do nosso planeta ou estamos condenados à
extinção. Cuidar do planeta ou extinção, só há uma opção.

CONDICIONAL
Operação lógica
Formalização
Forma lógica
CONDICIONAL
Símbolo:
Se Sócrates é grego então
é filósofo.
(P Q)
Deus é omnipotente desde
que seja omnisciente.
(P R)
A Joana é saudável só se é
inteligente.
P: Joana é saudável.
S: Joana é inteligente.
(P S)
proposicional
→
→
→
→

BICONDICIONAL
Operação lógica
Formalização
Forma lógica
BICONDICIONAL
Símbolo:
Sócrates é grego se e
somente se é filósofo.
(P Q)
Deus é omnipotente se e
só se for omnisciente.
(P R)
A Joana é saudável só e
somente se é inteligente.
P: Joana é saudável.
S: Joana é inteligente.
(P S)
proposicional
↔
↔
↔
↔
Formada por duas
condições

A formalização é então a representação da forma lógica de uma proposição ou, quando é o caso,
de um argumento. A formalização é, assim, uma espécie de radiografia da estrutura lógica da
proposição ou do argumento, revelando apenas o que interessa. Ou seja, exercícios de
formalização é a passagem da linguagem natural/corrente para a forma lógica. Ao processo
inverso de partir de uma fórmula/forma lógica para reconstruímos a proposição expressa na
linguagem natural chama-se interpretação de fórmulas. Ou seja, a passagem da forma lógica para
a linguagem corrente.
Formalização

Algumas normas para a formalização:
1.º Representar canonicamente a proposição ou o argumento em análise.
2.º Construir um dicionário que torne claro quais são as variáveis proposicionais que
abreviam as proposições simples ou elementares.
3.º Uma vez feito o dicionário, formalizar em linguagem lógica (isto é, com as
conectivas e as variáveis proposicionais) a proposição ou argumento.
Formalização

Exercícios de formalização
Tendo em conta o significado de P, Q, R, formaliza as seguintes proposições complexas.
P: O amor é desejo.
Q: O desejo é falta.
R: O amor é possível.
DICIONÁRIO
1. O amor é desejo e o desejo é falta.
R: P ∧ Q
2. Se o desejo é falta então o amor é possível.
R: Q -> R
3. Ou o amor é desejo ou o amor é impossível.
R: P ˅ ¬R
4. O desejo é falta se e somente se o amor é desejo.
R: Q <-> P
5. O amor é impossível ou o amor não é desejo.
R: ¬ R ˅ ¬ P
6. O amor é desejo e o desejo é falta, se o amor é impossível.
R: ¬ R → (P ˄ Q)
P, Q e R são chamadas de variáveis.
Se… então (Forma canónica)
Se/Caso expressa o (antecedente) então expressa
o (consequente)

• Formalize as seguintes proposições complexas:
P: A Terra é um planeta.
Q: A Terra gira em torno do Sol.
DICIONÁRIO
1. Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol.
R: P -> Q
2. A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um
planeta.
R: Q <-> ¬ P
3. A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.
R: ¬ P ∧ ¬Q
4. Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol.
R: ¬(P V Q)
5. É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol.
R: ¬ (P V ¬Q)
Nestas proposições (4. e 5.)
podemos ver que a negação surge
no início do argumento, «Não é
verdade que», «É falso que»,
significa está a negar toda a
fórmula lógica (tem alcance sobre
toda a fórmula).

• Tendo em conta o significado de P, Q, R, passa as seguintes formas lógicas em linguagem
corrente.
P: A Joana ouve Rock.
Q: A Joana ouve Pop.
R: A Joana ouve música clássica.
DICIONÁRIO
1. P V Q
R: A Joana ouve Rock ou ouve Pop.
2. P -> R
R: Se a Joana ouve Rock, então ouve música clássica.
3. R ∧ P
R: A Joana ouve música clássica e ouve Rock.
4. Q ↔ R
R: A Joana ouve Pop se e só se ouve música clássica.
5. Q ∨ P
R: Ou a Joana ouve Pop ou ouve rock.
6. ¬Q
R: A Joana não ouve Pop.
7. P → ¬ (Q ˄ R)
R: Se a Joana ouve Rock, então é falso que ouve Pop e música clássica.

• Tendo em conta o significado de P, Q, R, traduza as seguintes formas lógicas em linguagem corrente.
P: Está frio.
Q: Está a chover.
DICIONÁRIO
1. P V ¬Q
R: Está frio ou não está a chover
2. P -> Q
R: Se está frio, então está a chover.
3. ¬P ∧ ¬Q
R: Não está a frio e não está a chover.
4. P ↔ ¬ Q
R: Está frio se e só se não está a chover.
5. (P ∨ ¬Q) ↔ (Q ˄ ¬P)
R: Está frio ou não está a chover se e só se está a chover e não está frio.

É importante realçar que as conectivas não representam apenas aquelas palavras exatas
(“canónicas”), destacadas no quadro seguinte, mas qualquer palavra ou expressão que operem
do mesmo modo.
Assim, uma conjunção tanto pode ser expressa na linguagem natural pela palavra “e” como pela
palavra “mas” ou por expressões como “tanto... como...” e outras. Vejamos, de seguida, alguns
exemplos.
Negação: não
Conjunção: e
Disjunção: ou
Disjunção exclusiva: ou…ou
Condicional: Se… então
Bicondicional: …se e apenas se…

2
7
Conetivas Proposicionais Linguagem natural ou corrente Símbolos das Conetivas
Negação
• “não…”;
• “não é verdade que…”;
• “é falso que…”
¬ou ~
Conjunção
• “…e…”;
• “…tanto… como…”
• “…mas… também…”
∧
Disjunção (inclusiva)
• “…ou…”
• “…a não ser que…”
• “… a menos que…”
∨
Disjunção (exclusiva)
• “…ou…ou…”
• “…ou…mas não ambos” ∨
Condicional
• “se…então…”
• “…desde que…”
• “…só se…”
→
Bicondicional
• “… se e só se…”
• “…se e somente se…”
• “…condição necessária e
suficiente…”
↔

Operador: Negação
Proposição Dicionário Formalização
• A arte não tem utilidade. *
• Não é verdade que a arte tem
utilidade.
• É falso que a arte tem utilidade.
P: A arte tem utilidade. ¬P
No dicionário identifica-
se a variável escolhida
(P ou Q ou R).
E a proposição fica
Forma lógica – passagem
da linguagem corrente para
a simbólica ou
proposicional.
“não” *
=
forma canónica

Operador: Conjunção
• Platão e Aristóteles são filósofos. *
• Tanto Platão como Aristóteles são filósofos.
• Quer Platão quer Aristóteles são filósofos.
• Platão é filósofo, mas Aristóteles também.
• Platão é filósofo, embora Aristóteles também
o seja.
• Embora Platão seja filósofo, Aristóteles
também é.
P: Platão é filósofo.
Q: Aristóteles é filósofo.
P ∧ Q
“e” *
=
forma canónica
Operador: Conjunção

Operador: Disjunção
(Inclusiva)
• O José ou a Vera ganharam o Euromilhões.*
• O José ganhou o Euromilhões a não ser que a
Vera o tenha ganho.
• O José ganhou o Euromilhões a menos que a
Vera o tenha ganho”.
P: A Vera ganhou o
Euromilhões.
Q: O José ganhou o
Euromilhões.
P V Q
“ou” *
=
forma canónica

Operador: Disjunção
exclusiva
• Ou foste ao restaurante ou jantaste em casa.*
• Foste jantar ou ao restaurante ou a casa.
• Foste jantar ou ao restaurante, mas não em
ambos.
P: Fui ao restaurante.
Q: Jantei em casa.
P V Q
“ou…ou” *
=
forma canónica

Operador: Condicional
• Se Sócrates era filósofo, então era grego. *
• Se Sócrates era filósofo, era grego.
• Sócrates era grego, se era filósofo.
• Sócrates era grego só se era filósofo.
P: Sócrates era filósofo.
Q: Sócrates era grego.
P → Q
“se…então” *
=
forma canónica

Operador:
Bicondicional
• Deus perdoa se e só se for bom. *
• Deus perdoa se e apenas se for bom.
• Deus perdoa se for bom, e vice-versa.
• Deus perdoa se e somente se for bom.
• Uma condição necessária e suficiente para
Deus perdoar é ser bom.
P: Deus perdoa.
Q: Deus é bom.
P Q
“…se e só se…” *
=
forma canónica
↔

• Formaliza as seguintes proposições complexas que se seguem:
DICIONÁRIO
1. “Sócrates nasceu em Atenas ou em Roma, mas não em ambos”.
R: Disjunção Exclusiva
2. “Não é verdade que o conhecimento seja sensação”.
R: Negação
P: Sócrates nasceu em Atenas.
Q: Sócrates nasceu em Roma.
P V Q
Formalização:
P: O conhecimento é uma sensação.
¬ P
Formalização:

DICIONÁRIO
4. “Tanto a vida tem sentido como Deus existe.”
R: Conjunção
5. “Os porcos têm conhecimento desde que o conhecimento seja sensação”.
6. “Se uma coisa é ouro, então tem o número atómico 79 e vice-versa”.
R: Bicondicional
P: A vida tem sentido.
Q: Deus existe.
P ∧ Q
Formalização:
P: Os porcos têm conhecimento.
Q: O conhecimento é uma sensação.
P: Uma coisa é ouro.
Q: O ouro tem o número atómico 79.
P → Q
Formalização:
P Q
Formalização: ↔
R: Condicional

DICIONÁRIO
1. A Beatriz vai à praia se e só se não estiver a chover nem fizer vento.
2. Se não estiver a chover nem fizer vento, a Beatriz vai à praia.
3. Se não fizer vento mas estiver a chover, então a Beatriz não vai à praia.
4. Não é verdade que a Beatriz vá à praia se e só se não estiver a chover ou
não fizer vento.
P: Está a fazer vento.
Q: Está a chover.
R: A Beatriz vai à praia.
R ↔ (¬Q ˄ ¬P)
Formalização:
(¬Q ˄ ¬P) →R
Formalização:
(¬P ˄ Q) → ¬R
Formalização:
• Formaliza as seguintes proposições complexas que se seguem:
Formalização:
¬[R ↔ (¬Q ˅ ¬P)]

• Tendo em conta o significado de P,Q, R e S, formaliza as seguintes proposições.
DICIONÁRIO
a) Se nem o ser humano é perfeito nem a ciência consegue alcançar a
verdade, então, no caso de Deus não existir, o ceticismo é a
corrente filosófica mais correta.
b) Se a ciência alcançar a verdade se e só se Deus existir, então não é
verdade que o ser humano seja perfeito ou a ciência alcance a
verdade, no caso de Deus não existir.
P: A ciência alcança a verdade.
Q: Deus existe.
R: O ser humano é perfeito.
S: O ceticismo é a corrente filosófica
mais correta.
Formalização:
Formalização:
(P ↔ Q) → ¬[ ¬Q → (R ˅ P)]
(¬ R ˄ ¬P) → (¬Q → S)
Neste caso, o consequente pode ler-se “não
é verdade que se Deus não existir, o ser
humano seja perfeito ou a ciência alcance a
verdade”.

• Tendo em conta o significado de P,Q, R e S, formaliza as seguintes proposições.
DICIONÁRIO
c) Ou o ser humano é imperfeito e a ciência pode alcançar a verdade se
e só se Deus existir ou Deus não existe mas a ciência alcança a verdade
se e só se o ser humano for perfeito.
Q: Deus existe.
S: O ceticismo é a corrente filosófica
mais correta.
Formalização:
[(¬R ˄ P) ↔ Q] V [(¬Q ˄ P) ↔ R]
Ou o ser humano é imperfeito e a ciência pode alcançar a verdade
se e só se Deus existir ou Deus não existe mas a ciência alcança
a verdade se e só se o ser humano for perfeito.

Uso de Parêntesis
Os parêntesis são usados de forma semelhante à da matemática: servem para indicar a
prioridade pela qual as proposições devem ser abordadas e evitar que a simbolização da
proposição transmita uma mensagem diferente da proposição inicial.
Deste modo, a proposição “Vou praticar natação e almoçar fora, ou fico em casa a ver
televisão” simbolizar-se-ia de seguinte forma:
(P ∧ Q) ∨ R
A simbolização correta é esta, pois exprime a alternativa dada na proposição original,
entre (1) “praticar natação e almoçar fora” e (2) “Ficar em casa a ver televisão”.
Dicionário:
P: Pratico natação
Q: Almoço fora
R: Fico em casa a ver televisão.

Proposições complexas com mais do
que uma conectiva.
¬, ∧,∨,→, ↔
Âmbito das conectivas

Esta linguagem proposicional tem a vantagem de permitir representar proposições bastante mais
complexas. Apenas é preciso recorrer aos parêntesis para representar adequadamente proposições
com duas ou mais conectivas.
Os parêntesis indicam qual o âmbito (ou alcance) da conectiva que imediatamente os antecede.
O âmbito de uma conetiva numa determinada fórmula lógica é a parte sobre a qual ela opera. Por
exemplo, na fórmula (p ∧ ¬p) a negação aplica-se apenas à variável proposicional “q”, enquanto que
a conetiva da conjunção é a conetiva com maior âmbito – porque se aplica a toda a proposição.
(p v ¬q) -> (q ∧ ¬p)
(p v ¬q) -> (q ∧ ¬p)
Qual é a conetiva com
maior âmbito?
A conetiva condicional, porque
é aquela que se aplica a toda a
proposição.

∧ abrange P ∧ (Q → ¬R)
A conjunção domina sobre
a variável P e (Q → ¬R).
Exemplos/Exercícios
¬ (P → Q)
(P → ¬ Q)
P ∧ (Q → ¬R)
Não é verdade que, se a Ana
estuda, tem boa nota no teste.
Proposição Formalização
Dicionário
P: A Ana estuda.
Q: A Ana tem boa nota no teste.
P: A Ana estuda.
Q: A Ana terá problemas.
P: A Ana estuda.
Q: A Ana está com atenção.
R: A Ana tem problemas com o
teste.
Se a Ana estuda, não terá
problemas.
A Ana estuda e, se estiver com
atenção, não terá problemas com
o teste.
¬ abrange ¬ (P → Q)
A negação domina
sobre o restante.
Qual a conectiva
com maior âmbito?
→ abrange (P → ¬ Q)
A condicional domina
sobre o restante.
A negação apenas
domina Q.

(P ∨ Q) ∧ (R → S)
(¬P → Q)
¬ (P → Q)
Trabalhas muito ou tens talento
e, se tiveres sorte, terás sucesso.
Dicionário
P: Trabalhas muito.
Q: Tens talento.
R: Tens sorte.
S: Tens sucesso.
P: A vida tem sentido.
Q: Deus existe.
P: O sonho tem sentido.
Q: A realidade existe.
Se não é verdade que a vida tem
sentido, então Deus existe.
Não é verdade que se o sonho
tem sentido, então a realidade
exista.
∧
A conjunção abrange toda a
fórmula lógica, visto que
une os dois blocos.
Qual a conectiva com maior
âmbito?
A conectiva da negação não
opera apenas sobre a
antecedente mas sobre toda
a condicional.
A negação só afeta a antecedente
da condicional, operando a
conectiva da condicional sobre toda
a proposição. Por isso, neste caso,
a condicional é a conectiva de maior
âmbito.

[P ∧ (Q → R)]
[(P ∧ Q) → R]
Deus existe, e se a vida tem
sentido, então há entrega ativa
a projetos de valor.
Dicionário
P: Deus existe.
Q: A vida tem sentido.
R: Existe entrega ativa a
projetos de valor.
P: Deus existe.
Q: A vida tem sentido.
R: Existe entrega ativa a
projetos.
Se Deus existe e a vida tem
sentido, então há entrega ativa a
projetos.
A conjunção abrange
toda a fórmula
proposicional.
Qual a conetiva com maior
âmbito?
A conectiva com maior
âmbito é a condicional. A
conjunção apenas abrange
a relação entre as variáveis:
P e Q.
Q: Deus existe.
S: O ceticismo é a corrente
filosófica mais correta.
(¬ R ∧ ¬ P) → (¬ Q → S)
A conectiva com maior
âmbito é a condicional.
Se nem o ser humano é perfeito
nem a ciência consegue alcançar
a verdade, então, no caso de Deus
não existir, o ceticismo é a
corrente filosófica mais correta.

O que é uma tabela de verdade? Como construir?
Exemplo
Platão e Aristóteles são filósofos.
Dicionário:
P: Platão é filósofo.
Q: Aristóteles é filósofo.
P ∧ Q
Formalização:
Construir a Tabela de Verdade
Duas:
P e Q
P Q
- Vamos colocar os valores
de verdade (Verdade e
Falsidade) esgotar as
circunstância de valor de
verdade - a disposição é
sempre a mesma.
V
V
V
V
F
F
F
F
- 1.º quantas variáveis temos?
- 2.º Quais são as
conectivas?
Conjunção
P ∧ Q
V
V
F
F
F
F
V
V
Basta verificar qual o valor de
verdade que está
anteriormente. (1.ª COLUNA)
verdade que está
Para saber o valor de verdade da
conjunção temos de saber a
regra inerente à conectiva
CONJUNÇÃO.
Regra da conjunção:
A proposição só é verdadeira
quando as duas variáveis são
verdadeiras.
V
F
F
F

Regras das Conectivas
Para cada conectiva proposicional temos as seguintes funções de verdade:
Negação
- Inverte o valor de verdade. Se o valor de verdade é verdadeiro, passa para falsa. Se for falsa passa para
verdadeiro.
Conjunção
Disjunção
inclusiva
Disjunção
exclusiva
Condicional
Bicondicional
- Só é verdadeira se as proposições que a compõem forem ambas verdadeiras.
- Só é falsa se as proposições que a compõem forem ambas falsas.
- Só é verdadeira quando uma proposição for verdadeira e a outra falsa e vice-versa.
- Só é falsa se a antecedente for verdadeira e a consequente falsa.
- Só é verdadeira se os seus dois lados tiverem o mesmo valor de verdade (as duas falsas ou duas
verdadeiras).
Regras:
Conectivas:

Regra da
NEGAÇÃO
¬
O valor de verdade de uma negação é sempre o oposto ao da proposição negada. Se a
proposição original é verdadeira, a sua negação será falsa (e vice-versa).

Entre as conetivas da lógica proposicional, só a negação é unária. Todas as restantes conectivas são binárias. A negação
é unária porque opera sobre apenas uma variável ou frase. Por exemplo, obtemos a frase “Não está a chover” tomando
como ponto de partida uma única frase: “Está a chover”. As restantes conectivas são binárias porque operam sobre duas
frases.
• O valor de verdade de uma negação é sempre o oposto ao da proposição negada. Se a
proposição original é verdadeira, a sua negação será falsa e vice-versa.
P ¬ P
A tabela de verdade da
negação é a seguinte:
Regra:
Exemplo:
• O ataque não é a melhor defesa.
Dicionário:
- O ataque é a melhor defesa.
Formalização: ¬ P
- 1.º quantas variáveis
temos?
Uma - «P»
- 2.º Só temos duas
possibilidades de valor de
verdade – ou é verdadeira
ou falsa.
- 3º Qual a regra da
conectiva presente?
Negação
V
F
F
V

A tabela (tabela de verdade) seguinte apresenta todas as circunstâncias possíveis na coluna da esquerda e que, neste
caso, são apenas duas: P é verdadeira ou P é falsa. Assim, quando P é verdadeira, a sua negação, ¬P, é falsa; e quando P
é falsa, a sua negação, ¬P, é verdadeira, como se verifica na coluna.
A tabela mostra-nos, então, que a negação de uma proposição altera o valor de verdade da proposição de partida: se esta
é verdadeira, a sua negação é falsa e vice-versa.
Proposição: “Portugal não é uma monarquia.”
Dicionário: P = “Portugal é uma monarquia.” Formalização: ¬P
Em que condições a fórmula ¬P é verdadeira e em que condições é falsa?
P ¬ P
V F
F V
As circunstâncias possíveis:
(valor de verdade ou falsidade)
Aplicando a regra da negação: os
resultados possíveis da negação
da variável a ser analisada,
neste caso de P.

Regra da
CONJUNÇÃO
∧
Uma conjunção só é verdadeira se as duas proposições conectadas forem verdadeiras.
Basta que uma das proposições conectadas seja falsa para que a frase composta seja
falsa.

Vejamos a seguinte conjunção:
«Sara gosta de lógica e o Miguel gosta de literatura.»
Formalização: P ∧ Q
• Uma conjunção só é verdadeira se as duas proposições conectadas forem também
verdadeiras. Basta que uma das proposições conectadas seja falsa para que a proposição
composta seja falsa.
Regra:
Dicionário:
P: Sara gosta de lógica.
Q: Manuel gosta de literatura.
Para sabermos se a conjunção «P ∧ Q» é verdadeira, basta que conheçamos os valores de verdade de P e Q.
Suponhamos, então que P é falsa e que Q é falsa. Neste caso, «P ∧ Q» será falsa. E se P for falsa, mas Q
verdadeira? Nesse caso «P ∧ Q» também será falsa. Uma 3ª possibilidade, P é verdadeira e Q ser falsa –
nesse caso, uma vez mais «P ∧ Q» será falsa. Ora, resta a possibilidade de P ser verdadeira e Q ser também
verdadeira. Só neste caso «P ∧ Q» será verdadeira.

A disposição da coluna
primeira e segunda coluna
é sempre a mesma.
Basta memorizar.
P Q P ∧ Q
V V V V V
V F V F F
F V F F V
F F F F F
Tabela de verdade =
Nesta 4ª coluna o valor
de verdade ou
falsidade é
inferido/resulta da
regra que é aplicada.
Neste caso, tendo em
conta o valor de
verdade de P e Q, a
proposição só é
verdadeira quando as
duas variáveis são
verdadeiras (regra da
conjunção).
1.º colocamos as
variáveis que
identificamos.
A regra é a conjunção
Para inferir o
valor de P
basta ver na
1ª coluna –
fica igual.
Para inferir o
valor de Q
basta ver na
1ª coluna –
fica igual.

Exemplo de Proposição:
• Gosto de Mozart, mas também gosto de Metallica.
(ou: Gosto de Mozart e gosto de Metallica.
Gosto de Mozart e de Metallica.
Embora goste de Mozart, gosto de Metallica.
Apesar de gostar de Mozart, também gosto de Metallica.)
P Q P ∧ Q
V V V
V F F
F V F
F F F
Construção da
Tabela de verdade
Nesta 3ª coluna o valor
de verdade ou
falsidade é
inferido/resulta da
regra que é aplicada.
Neste caso, tendo em
conta o valor de
verdade de P e Q, a
proposição só é
verdadeira quando as
duas variáveis são
verdadeiras (regra da
conjunção).
Dicionário:
P: Gosto de Mozart.
Q: Gosto de Metallica.
Formalização:
P ∧ Q

Regra da
DISJUNÇÃO
INCLUSIVA
V
Uma disjunção inclusiva só é falsa se as proposições simples que a compõem forem
ambas falsas.

Vejamos a seguinte disjunção inclusiva:
«Sócrates é mortal ou é eterno.»
Formalização: P V Q
• Uma disjunção inclusiva é falsa apenas no caso de ambas as disjuntas serem falsas.
Regra:
Dicionário:
P: Deus é mortal.
Q: Deus é eterno.
Outros exemplos de proposições disjuntivas:
- Sócrates é mortal a não ser que seja eterno.
- Sócrates é mortal a menos que seja eterno.
- Sócrates é mortal ou Sócrates é eterno.
P Q PVQ
V V V
V F V
F V V
F F F

TABELA DE VERDADE
Exemplo
Deus é omnipotente ou omnisciente.
Dicionário:
Q: Deus é omnisciente.
P V Q
Formalização:
Duas:
P e Q
P Q
Falsidade) - a disposição é
sempre a mesma.
V
V
V
V
F
F
F
F
conectivas?
Disjunção
P V Q
V
V
F
F
F
F
V
V
verdade que está
verdade que está
DISJUNÇÃO
Regra da Disjunção:
Só é falsa se as proposições
simples que a compõem
forem ambas falsas.
V
V
V
F

Regra da
DISJUNÇÃO
EXCLUSIVA
∨
Uma disjunção exclusiva é verdadeira quando as proposições disjuntas têm valores de
verdade diferentes e falsa quando estas têm o mesmo valor de verdade.

Vejamos a seguinte disjunção exclusiva:
«Ou o Simão vai à praia ou vai ao campo.»
Formalização: P V Q
• Uma disjunção exclusiva só é verdadeira quando uma das variáveis é verdadeira e a outra
falsa ou vice-versa.
Regra:
Dicionário:
P: Sara vai à praia.
Q: Simão vai ao campo.
Enquanto que para a disjunção inclusiva ser verdadeira é necessário que as variáveis p e q em (“p v q”) sejam verdadeiras,
pelo contrário, na disjunção exclusiva só é verdadeira quando uma disjunta é verdadeira e a outra é falsa.
P Q P V Q
V V F
V F V
F V V
F F F

TABELA DE VERDADE
Exemplo
Ou foste ao restaurante ou jantaste
em casa.
Dicionário:
P: Vou ao restaurante.
Q: Vou jantar em casa.
P V Q
Formalização:
Duas:
P e Q
P Q
sempre a mesma.
V
V
V
V
F
F
F
F
conectivas?
Disjunção Exclusiva
P V Q
V
V
F
F
F
F
V
V
verdade que está
verdade que está
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA
Regra da Disjunção Exclusiva:
Só é verdadeira quando uma
proposição elementar for
verdadeira e a outra falsa e
vice-versa.
F
V
V
F

Regra da
CONDICIONAL
→
Uma condicional (implicação) é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente
é falso. Esta proposição é verdadeira em todas as outras situações.

Vejamos a seguinte condicional:
«Se a Saphira é uma gata, então a Saphira é carnívora.»
Formalização: P → Q
• Uma condicional é falsa apenas quando a antecedente é verdadeira e a consequente é falsa.
Regra:
Dicionário:
P: A Saphira é uma gata.
Q: A Saphira é carnívora.
As proposições condicionais têm um antecedente e um consequente. É preciso ter cuidado na formalização,
já que nem sempre é fácil identificar corretamente a antecedente e a consequente.
Exemplos de proposições:
- Saphira é carnívora se é uma gata.
- Desde que Saphira seja uma gata, é carnívora.
- É preciso que Saphira seja carnívora para seja gata.
• Saphira ser uma gata é
condição suficiente para ela
ser carnívora.
• Saphira ser carnívora é
condição necessária para
ser uma gata.

TABELA DE VERDADE
Exemplo
Se a Joana é saudável então é
inteligente.
.
Dicionário:
Q: A Joana é inteligente.
P → Q
Formalização:
Duas:
P e Q
P Q
sempre a mesma.
V
V
V
V
F
F
F
F
conectivas?
CONDICIONAL
P → Q
V
V
F
F
F
F
V
V
verdade que está
verdade que está
CONDICIONAL
Regra da Condicional:
Só é falsa se a antecedente
for verdadeira e a
consequente falsa.
V
F
V
V

Regra da
BICONDICIONAL
↔
Uma bicondicional (equivalência) é verdadeira quando as duas proposições que a
constituem têm o mesmo valor de verdade, ou seja, quando são ambas verdadeiras ou
ambas falsas.

Vejamos a seguinte bicondicional:
«O João perde dinheiro se, e só se, o João perder a carteira.»
Formalização: P ↔ Q
• Uma bicondicional é verdadeira apenas quando as proposições (variáveis) tem o mesmo
valor de verdade.
Regra:
Dicionário:
P: João perde dinheiro.
Q: João perde a carteira.
Outros exemplos de proposições bicondicionais:
- João perde dinheiro, se e apenas se, João perde a carteira.
- João perde dinheiro, se e somente se, João perder a carteira.
- João perde dinheiro é a condição necessária e suficiente para João perder a carteira.

TABELA DE VERDADE
Exemplo
Deus perdoa se e só se for bom.
Dicionário:
P: Deus perdoa.
Q: Deus é bom.
P ↔ Q
Formalização:
Duas:
P e Q
P Q
sempre a mesma.
V
V
V
V
F
F
F
F
conectivas?
BICONDICIONAL
P ↔ Q
V
V
F
F
F
F
V
V
verdade que está
verdade que está
BICONDICIONAL
Regra da Bicondicional:
Só é verdadeira se os seus
dois lados tiverem o mesmo
valor de verdade.
V
F
F
V

Em síntese,
P Q ¬ P ¬ Q P ∧ Q P V Q P V Q P → Q P ↔ Q
V V F F V V F V V
V F F V F V V F F
F V V F F V V V F
F F V V F F F V V

Exercícios
Proposição:
A Catarina estuda e, se estiver com atenção,
Catarina está estudar.
Dicionário:
P: A Catarina estuda.
Q: A Catarina está com atenção.
Formalização:
P ∧ (Q → P)
Quantas variáveis
temos?
2 (P e Q)
P Q P ∧ Q → P
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
Só é verdadeira se as
duas proposições
conectadas forem
também verdadeiras.
V
Regra da condicional:
Só é falsa se a
antecedente for
verdadeira e a
consequente falsa.
F
F
V
V
V
F
V
Qual a conectiva com
maior âmbito?
A conjunção – ora
essa é a última
conectiva que vamos
avaliar.

Há um padrão relativamente fico para elaborar tabelas de verdade. Se seguirmos esse padrão, elas serão de
fácil leitura; se não o seguirmos, serão caóticas. Ao construirmos uma tabela de verdade, para que todas as
combinações possíveis (verdadeiro/falso) sejam tidas em consideração, importa saber:
• Se a fórmula for constituída por uma única
proposição simples, teremos duas combinações
possíveis (dois valores de verdade – e uma
proposição):
P
V
F
• Para as fórmulas constituídas por duas
proposições simples, teremos quatro
combinações possíveis:
P Q
V V
V F
F V
F F

3 variáveis (P,Q,R)
• Quando a fórmula incluir três
proposições simples, teremos oito
combinações possíveis:
P Q R
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Combinações
possíveis para
aferir o valor de
verdades das
proposições
simples.

RECONHECER O QUE SÃO
PROPOSIÇÕES/FÓRMULAS LÓGICAS:
TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA

TAUTOLOGIA
As fórmulas proposicionais podem ser classificadas como tautológicas, contraditórias ou contingentes:
• Uma tautologia é quando a fórmula proposicional tem valor de verdade “V” em todas as possíveis
combinações de valores de verdades. Ou seja, uma fórmula diz-se tautológica se, e apenas se, resultar
verdadeiras em todas as atribuições de valores de verdade nas suas variáveis.
Exemplo:
Proposição:
A Etiópia é um país
africano ou a Etiópia
não é um país
africano.
Dicionário:
P: A Etiópia é um país
africano.
Formalização:
P V ¬ P
Tabela de Verdade
P
V
F
P ¬ P
V
V V
V
F
F
V
O que se avalia é a
conectiva com maior
âmbito: Neste caso, a
disjunção que revela
que são todas
verdadeiras – ora,
estamos perante uma
tautologia.

CONTRADIÇÃO
• Uma contradição é quando a fórmula proposicional tem valor de verdade “F” em todas as possíveis
combinações de valores de verdades. Ou seja, uma fórmula diz-se contraditória se, e apenas se,
resultar falsa em todas as atribuições de valores de verdade nas suas variáveis.
Exemplo:
Proposição:
A Etiópia é um país
africano e não é um
país africano.
Dicionário:
africano.
Formalização:
P∧¬ P
Tabela de Verdade
P
V
F
P ¬ P
∧
V F
F
F
F
V
O que se avalia é a
conectiva com maior
âmbito: Neste caso, a
conjunção que revela
que são todas FALSAS
– ora, estamos perante
uma CONTRADIÇÃO.

CONTINGÊNCIA
• Uma contingência é quando a fórmula proposicional tem valor de verdade “V” em algumas
circunstâncias e o valor “F” nas outras circunstâncias. as possíveis combinações de valores de
verdades. Ou seja, uma fórmula diz-se contingente se, e apenas se, existem atribuições de valores de
verdade às variáveis que a tornam verdadeira e outras atribuições que a tornam falsa.
Exemplo:
Proposição:
Não é verdade que a
Etiópia é um país
africano ou não é um
país europeu.
Dicionário:
africano.
Q: A Etiópia é um país
europeu.
Formalização:
¬ (P V ¬Q) Tabela de
Verdade
P Q ¬ ¬Q
V
P
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V F
F
V
V
V
V
F
V
1º 2º
3º
4º
Ordem das operações:
V
F
F
F

Exercícios
Proposição:
Romeu ama Julieta, mas Julieta
não lhe retribui o amor.
Dicionário:
P: Romeu ama Julieta.
Q: Julieta retribui o amor.
Formalização:
P ∧ ¬ Q
Quantas variáveis
temos?
2 (P e Q)
P Q P ∧ ¬Q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
duas proposições
conectadas forem
Regra da negação:
Altera o valor de
verdade da variável. Se
é falsa fica verdadeira,
se é verdadeira fica
falsa.
F
F
Tabela de
Verdade:
1.º 2.º
3.º
F
V
F
V A conjunção é entre
a coluna da variável
«P» e «¬ Q»
F
V
Olhando para a conectiva com maior âmbito – a conjunção – fórmula
contingente.
Qual o tipo de
fórmula?

Exercícios
Proposição:
A Catarina estuda e, se estiver com atenção,
Catarina está estudar.
Dicionário:
P: A Catarina estuda.
Q: A Catarina está com atenção.
Formalização:
P ∧ (Q → P)
Quantas variáveis
temos?
2 (P e Q)
P Q P ∧ Q → P
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
duas proposições
conectadas forem
V
V
Só é falsa se a
antecedente for
verdadeira e a
consequente falsa.
F
F
V
F
V
V
Tabela de
Verdade:
Olhando para a
conectiva com maior
âmbito – a conjunção –
fórmula contingente.
Qual o tipo de
fórmula?

Exercícios
Formalização:
¬ [¬ P → (Q ∧ R)]
Quantas variáveis
temos?
3 (P, Q e R)
P Q R
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V V
F
F
F
F
F
F
F
F
1.º
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
2.º 3.º
4.º
Regra da
conjunção:
Só é verdadeira se
as proposições
que a compõem
forem ambas
verdadeiras.
V
F
F
F
V
F
F
F
5.º
Regra da
condicional:
Só é falsa se a
antecedente for
verdadeira e a
consequente falsa.
Para aferir a condicionante: o antecedente é “¬ P” e
o consequente a conjunção entre Q e R – (Q ∧ R)
V
V
V
V
V
F
F
F
Para aferir negação: tenho de negar a conetiva que faz ligação
entre todas as variáveis, como a condicionante.
6.º
Conectiva com
maior âmbito
F
F
F
F
F
V
V
V
Qual o tipo da
fórmula?
Basta olhar
para a
conectiva com
maior âmbito:
Contingente
(algumas
verdadeiras,
outras falsas).
¬ ¬ P → Q ∧ R

P Q R
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Ordem das operações: 1.º 2.º
F
F
F
3.º
as proposições que a
compõem forem
ambas verdadeiras.
V
V
F
F
F
F
F
F
F V
V
(P V Q) (pvq) ∧ r ↔
Exercícios
Formalização:
¬[(P V Q) ∧ R] ↔ [(P V Q) ∧ R]
Quantas variáveis temos?
3 (P, Q e R)
F
F
Regra da Bicondicional:
Uma bicondicional é
verdadeira apenas
quando as proposições
(variáveis) tem o
mesmo valor de
verdade.
Regra da disjunção:
Uma disjunção
inclusiva só é falsa
se as proposições
simples que a
compõem forem
ambas falsas.
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
A negação apenas nega a
primeira fórmula complexa:
[(PVQ) ∧ R].
4.º
F
F
F
F
Conectiva com
maior âmbito -
Contradição
¬

Exercícios
Formalização:
[¬ Q ∧ (P → Q)] → ¬P
Quantas
variáveis
temos?
2 (P e Q)
∧
P Q
V
V
V
F
F
3.º
4.º
Regra da
conjunção:
as proposições
que a compõem
forem ambas
verdadeiras.
5.º
Conectiva
com maior
âmbito
Regra da
condicional:
Só é falsa se a
antecedente for
verdadeira e a
consequente falsa.
Para aferir a CONJUNÇÃO: entre
a variável “¬ Q” e a proposição
complexa “(P → Q)”.
Qual o tipo da
fórmula?
Basta olhar para a
conectiva com
maior âmbito -
condicional:
Tautologia (Todas
as proposições
são verdadeiras.)
¬ Q P → Q → ¬P
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
Para aferir a CONDICIONAL:
entre a conjunção que reúne a
“¬ Q” e a a proposição complexa
“(P → Q)” e a variável “¬P”-
V
V
V
V
Tabela de
verdade:

FORMALIZAÇÃO DE
ARGUMENTOS
TABELAS DE VERDADE

Argumento
-Determinar as condições de verdade das seguintes fórmulas-
Se Deus existe, a vida faz sentido.
Porém, Deus não existe.
Logo, a vida não faz sentido.
Dicionário:
P: Deus existe
Q: A vida faz sentido.
Formalização:
P → Q
¬ P
∴ ¬ Q
(1)
(2)
(3)
TABELA
DE
VERDADE
P Q P → Q ¬ P ∴ ¬ Q
V V
V F
F V
F F
Argumento:
Regra da
condicional:
Só é falsa se a
antecedente for
verdadeira e a
consequente falsa.
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
V

Como determinar a validade de um
argumento?
Inspetor de Circunstâncias
Num argumento válido é impossível que de duas premissas verdadeiras a
conclusão seja falsa.

Inspetor de Circunstâncias
Podemos determinar a validade de muitos argumentos através de tabelas de verdade. Para determinar a validade
de um desses argumentos, constrói-se uma tabela de verdade que mostre os valores de verdade de cada uma
das premissas e da conclusão em todos os casos possíveis.
A validade é, assim, uma propriedade ou característica dos argumentos como um todo, e não das premissas nem
da conclusão.
Num argumento válido:
- é impossível todas as premissas serem verdadeiras e a conclusão falsa, simultaneamente.
- a conclusão não pode ser falsa, se todas as premissas forem verdadeiras.
- a conclusão tem de ser verdadeira, se todas as premissas forem verdadeiras.
(1) V
(2) V
(3) ∴ F = inválido

Argumento
Se Deus existe, a vida faz sentido.
Porém, Deus não existe.
Logo, a vida não faz sentido.
Dicionário:
P: Deus existe.
Q: A vida faz sentido.
Formalização:
P → Q
¬ P
∴ ¬ Q
(1)
(2)
(3)
TABELA DE VERDADE
P Q P → Q ¬ P ∴ ¬ Q
V V
V F
F V
F F
Argumento:
Só é falsa se a
antecedente for
verdadeira e a
consequente falsa.
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
V
O argumento é válido?
Não, na 3ª linha
podemos verificar uma
circunstância em que
as premissas são
verdadeiras mas a
conclusão é falsa.
P1 P2 Concl
3

Argumento
TABELA DE VERDADE
P Q P → Q ¬ P ∴ ¬ Q
V V
V F
F V
F F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
V
Não, na 3ª linha
as premissas são
verdadeiras mas a
conclusão é falsa.
NOTA: É incorreto dizer que esta forma argumentativa é inválida na terceira fila e válida na quarta. Um
argumento ou é válido ou não, sendo incorreto afirmar que é válido em algumas circunstâncias e
inválido noutras. Ser válido é não haver qualquer circunstância em que as premissas são verdadeiras e
a conclusão falsa. Basta haver uma circunstância em que as premissas são verdadeiras e a conclusão
falsa para que o argumento seja inválido.

Argumento
Dicionário:
P: Portugal saiu da crise.
Q: Os Portugueses continuam
desempregados.
Formalização:
P → ¬ Q
Q
∴ ¬ P
(1)
(2)
(3)
P Q
V V
V F
F V
F F
Argumento:
Só é falsa se a
antecedente for
verdadeira e a
consequente falsa.
V
Sim, na 3ª linha
(circunstância)
as premissas são
verdadeiras e a
conclusão também.
¬ Q Q
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
1.º
2.º 3.º
4.º
P1 P2 Concl.3
Se Portugal sair da crise, então
os portugueses não vão
continuar desempregados.
Os portugueses continuam
desempregados.
Logo, Portugal não saiu da
crise.
P → ¬Q ∴ ¬ P

Argumento
Dicionário:
P: A ética depende da vontade de Deus.
Q: Algo só é bom porque é desejado por
Deus.
Formalização:
P ↔ Q
¬ Q
∴ ¬ P
(1)
(2)
(3)
TABELA DE VERDADE
P Q P ↔ Q ¬ Q ∴ ¬ P
V V
V F
F V
F F
Argumento:
Regra da bicondicional:
Só é verdadeira se os
seus dois lados tiverem
o mesmo valor de
verdade (as duas falsas
ou duas verdadeiras).
V
V
F
F
Sim, em nenhuma
circunstância
identificamos premissas
verdadeiras e conclusão
falsa. Na última linha
podemos verificar que de
duas premissas
verdadeiras a conclusão
é igualmente verdadeira.
A ética depende da vontade de
Deus, se e só se, algo só é bom
porque é desejado por Deus. Mas
não é verdade que algo só é bom
porque é desejado por Deus. Assim,
a ética não depende da vontade de
Deus.
V
V
V
V
F
F
F
F
P1 P2 Concl.3

Argumento
Dicionário:
P: Os marcianos são verdes.
Q: Os marcianos são vermelhos.
Formalização:
(1) P V Q
(2) P → ¬Q
(3) ¬ P
(4) ∴ Q
Os marcianos são verdes ou os
marcianos são vermelhos. Se os
marcianos são verdes, então não
são vermelhos. Os marcianos não
são verdes. Logo, os marcianos
são vermelhos.
Argumento:
Vamos construir a tabela de verdade… Com 2 variáveis (P e Q).
(P V Q); (P →¬ Q); ¬P; ∴ Q

TABELA DE VERDADE
P Q P V Q → ¬ Q ¬ P ∴ Q
V V
V F
F V
F F
Só é falsa se a
antecedente for
verdadeira e a
consequente falsa.
V
V
F
V
O argumento é
válido?
Sim, em nenhuma
circunstância
identificamos
premissas
verdadeiras e
conclusão falsa.
Na quarta linha
podemos verificar
que de duas
premissas
verdadeiras a
conclusão é
igualmente
verdadeira.
V
V
V
V
F
F
F
F
(P V Q); (P →¬ Q); ¬P; ∴ Q
Regra da
disjunção:
Uma disjunção
inclusiva só é
falsa se as
proposições
simples que a
compõem forem
ambas falsas.
4.º 2.º
V
V
V
1P 2P 3P 4
CONCL.
F
V
V
F
F
5.º

Argumento
Dicionário:
P: Os marinheiros viajam de barco.
Q: Os marinheiros enjoam.
R: Os marinheiros atravessam oceanos.
Formalização:
(1) P → (¬Q ∧ R)
(2) Q ∧ ¬ R
(3) ∴ ¬ P
Se os marinheiros viajam de barco,
então, não enjoam e atravessam
oceanos. Os marinheiros enjoam,
embora não atravessem oceanos.
Por conseguinte os marinheiros
não viajam de barco.
Argumento:
Vamos construir a tabela de verdade… Com 3 variáveis (P, Q, R).
P → (¬Q ∧ R); Q ∧ ¬ R; ∴ ¬ P

Tabela de verdade:
P Q R
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
1.º 3.º
2.º
F
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
Regra da
conjunção:
Só é falsa se as
proposições que a
compõem forem
ambas falsas.
V
F
Regra da
condicional:
Só é falsa se a
antecedente for
verdadeira e a
consequente
falsa.
4.º
F
F
F
F
F
V
V
F
P1 P2 Concl.3
→ (¬Q ∧ R) ¬ R ∴ ¬P
F V
F
F
V
F
V
V
V
O argumento é
válido?
Sim, basta
verificar na 6ª
circunstância
em que as
premissas são
verdadeiras e
a conclusão
também. Em
nenhum outro
caso as
premissas são
verdadeiras e
a conclusão
falsa.
[P → (¬Q ∧ R)]; Q ∧ ¬ R; ∴ ¬ P
¬Q (Q ∧ ¬R)
V
V
F
F
6.º
F
F
V
V
F
V
V
V
5.º

Argumento
Dicionário:
P: Há conhecimento.
Q: Algumas coisas são conhecidas sem
provas.
R: Nós podemos provar cada premissa
por argumentos prévios infinitamente.
Formalização:
(1) P → (Q V R)
(2) P
(3) ¬ R
(4) ∴ Q
Se há conhecimento, então algumas
coisas são conhecidas sem provas ou
nós podemos provar cada premissa por
argumentos prévios infinitamente. Ora,
há conhecimento. Porém, nós não
podemos provar todas as premissas por
argumentos prévios infinitamente.
Portanto, algumas coisas são
conhecidas sem provas.
Argumento:
P → (Q V R); P; ¬ R, ∴ Q

Tabela de verdade:
P Q R
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
1.º 3.º
2.º
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
5.º
Conectiva com
maior âmbito
Regra da
conjunção:
Só é falsa se as
proposições que a
compõem forem
ambas falsas.
V
V
F
Regra da
condicional:
Só é falsa se a
antecedente for
verdadeira e a
consequente
falsa.
4.º
P1 P3 Concl.4
→ Q V R ¬ R ∴ Q
(1) [P → (Q V R)]; (2) P; (3) ¬ R, (4 Concl.) ∴ Q
F
V
V
F
V
V
V
V
V
O argumento é
válido?
Sim, na
segunda linha
temos uma
circunstância
em que tanto
as premissas
como a
conclusão são
verdadeiras.
P
V
V
V
V
F
F
F
F
P2

Argumento
Dicionário:
P: Deus existe no pensamento.
Q: Deus existe na realidade.
R: Um ser mais perfeito do que Deus é
concebível.
Formalização:
(1) P
(2) [(P ∧ ¬ Q) → R]
(3) ¬ R
(4) ∴ Q
Deus existe no pensamento. Ora,
se Deus existe no pensamento e
não na realidade, então um ser
mais perfeito do que Deus é
concebível. Mas, não é concebível
um ser mais perfeito do que Deus.
Deste modo, Deus existe na
realidade.
Argumento:
P, [(P ∧ ¬ Q) → R], ¬ R,∴ Q

Tabela de verdade:
(1) P, (2) [(P ∧ ¬ Q) → R], (3) ¬ R, (4)∴ Q
P Q R
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
1.º 3.º
2.º
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
5.º
Regra da
conjunção:
as proposições
que a compõem
forem ambas
verdadeiras.
V
V
F
F
F
F
F
F
F
Regra da
condicional:
Só é falsa se a
antecedente for
verdadeira e a
consequente
falsa.
F
V
V
V
V
V
V
V
6.º
Conectiva com
maior âmbito 4.º
F
F
F
F
V
V
V
V
P1 P2 P3 Concl.4
P (P ∧ ¬ Q) ¬ Q → ¬ R ∴ Q

Tabela de verdade:
(1) P, (2) [(P ∧ ¬ Q) → R], (3) ¬ R, (4)∴ Q
P Q R P (P ∧ ¬ Q) ¬ Q → ¬ R ∴ Q
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
1.º 3.º
2.º
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
5.º
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
6.º
Conectiva com
maior âmbito 4.º
F
F
F
F
V
V
V
V
P1 P2 P3 Concl.4
O argumento é
válido?
Sim, não
existe nenhum
caso em que
as premissas
sejam todas
verdadeiras e a
conclusão
falsa.

Formas de
Inferência Válida
Para determinar a validade de um argumento basta saber o seguinte: caso as
premissas sejam verdadeiras é impossível que a conclusão seja falsa – ou seja, é
inválido o argumento que apresente premissas verdadeiras e conclusão falsa.
No entanto, nem sempre necessitamos de construir tabelas de verdade para
verificar a validade dos argumentos. Existem formas/fórmulas lógicas que nos
garantem a sua validade. Quais são?
Modus Ponens; Modus Tollens; Silogismo disjuntivo; Silogismo hipotético;
Contraposição e Leis de De Morgan.

(1) (P → ¬Q)
(2) P
(3) ∴ ¬Q
(Se – então =
condicional)
(Afirma o antecedente)
(Afirma o consequente)
(1) (A →B)
(2) A
(3)∴ B
1.º exemplo: 3.º exemplo:
2.º exemplo:
(1) [(¬P → (Q → R)]
(2) ¬ P
(3) ∴ (Q → R)
(1) [(P ∧ Q) → (¬ (R V S ) ∧ Q → T)]
(2) (P ∧ Q)
(3) ∴ (¬ (R V S ) ∧ Q → T)
(1) Condicional
(2) Afirma antecedente
(3) Afirma consequente
na conclusão.
Assim, podemos encontrar outras fórmulas
lógicas mais complexas que estão de acordo
com as regras do Modus Ponens, por exemplo:
Em todos os exemplos cumpre-se a
regra do Modus Ponens, preservando
a validade seja em qual caso for:
Regra do Modus Ponens
«Se P, então Q. P. Então, Q.»

Se a justiça é respeitada, os
cidadãos cumprem a lei.
A justiça é respeitada.
Logo, os cidadãos cumprem a
lei.
Dicionário:
P: A justiça é respeitada.
Q: Os cidadãos cumprem a lei.
Formalização:
(1) P → Q
(2) P
(3) ∴ Q
Argumento:
O Modus Ponens é uma forma argumentativa válida em
que:
1. A primeira premissa é uma proposição condicional.
2. A segunda premissa afirma o antecedente do
condicional da primeira premissa.
3. A conclusão afirma o consequente.
1ª Premissa = condicional
2ª Premissa = Afirma o antecedente
A Conclusão = Afirma o consequente
Não necessitamos de recorrer a uma
tabela de verdade para demonstrar
a sua validade. Mas para comprovar
que este forma lógica é sempre e
necessariamente válida, vejamos:
Regra do Modus Ponens

Ii lógica proposicional - formalização de proposições e argumentos (7)

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