O documento apresenta uma introdução ao curso de Lógica Computacional ministrado por Diego Silveira Costa Nascimento no Instituto Federal do Rio Grande do Norte. A ementa do curso inclui tópicos como lógica proposicional, tabelas-verdade, implicação lógica e quantificadores. O objetivo é apresentar os conceitos básicos da lógica formal e discutir sua aplicação no raciocínio computacional e desenvolvimento de sistemas e programas.
Desenvolver o raciocínio lógico;
Familiarizar o aluno com o modelo sequencial de computação;
Apresentar técnicas e linguagens para representação e construção de algoritmos simples;
Apresentar conceitos básicos de linguagens de programação;
Raciocínio Lógico básico com tabela verdade: Conjunção, Disjunção, Negação, Implicação e Bi-Implicação. Conceitos básicos de raciocínio lógico. Explicação clara e objetiva com exercícios resolvidos sobre o tema abordado.
Curso de Introdução à Lógica de Programação
Lógica
O que é lógica?
A lógica no cotidiano
Princípios da lógica clássica
Tipos de lógicas
Lógica de Programação
O que é lógica de programação?
Conceito de E/S e Processamento
Operadores Lógicos
Algoritmos
O que é algoritmo?
Características
Métodos para criação
Exercícios
Fluxograma
O que é um fluxograma?
Simbologia
Exemplo de diagrama
Linguagem de Programação
Um breve história
Como funciona uma Lprog
Tipos de Lprog
Programação funcional
Programação estruturada
Introdução
Variáveis e tipos de dados
Operadores
Estruturas de decisões
Estruturas de repetições
Programação orientada à objetos
Introdução
Criando e utilizando objetos
Técnicas de OO
Herança
Polimorfismo
Sobrecarga
Encapsulamento
Interfaces
Desenvolver o raciocínio lógico;
Familiarizar o aluno com o modelo sequencial de computação;
Apresentar técnicas e linguagens para representação e construção de algoritmos simples;
Apresentar conceitos básicos de linguagens de programação;
Raciocínio Lógico básico com tabela verdade: Conjunção, Disjunção, Negação, Implicação e Bi-Implicação. Conceitos básicos de raciocínio lógico. Explicação clara e objetiva com exercícios resolvidos sobre o tema abordado.
Curso de Introdução à Lógica de Programação
Lógica
O que é lógica?
A lógica no cotidiano
Princípios da lógica clássica
Tipos de lógicas
Lógica de Programação
O que é lógica de programação?
Conceito de E/S e Processamento
Operadores Lógicos
Algoritmos
O que é algoritmo?
Características
Métodos para criação
Exercícios
Fluxograma
O que é um fluxograma?
Simbologia
Exemplo de diagrama
Linguagem de Programação
Um breve história
Como funciona uma Lprog
Tipos de Lprog
Programação funcional
Programação estruturada
Introdução
Variáveis e tipos de dados
Operadores
Estruturas de decisões
Estruturas de repetições
Programação orientada à objetos
Introdução
Criando e utilizando objetos
Técnicas de OO
Herança
Polimorfismo
Sobrecarga
Encapsulamento
Interfaces
Petic – Plano EstratéGico De Tecnologia Da InformaçãOHugo Souza
Apresentação para o trabalho na matéria de Sistemas de Informações Empresariais do curso de Pós-graduação em Gestão de Projetos em TI da Universidade Federal de Sergipe - UFS
O assunto abordado no começo da disciplina de Lógica para ciência da computação. O material ajuda bastante para ter uma base no começo e obter sucesso na disciplina.
Logica Computacional kowalski espanol,
la logica computacional y el pensamiento humano,
como ser artifiacialmente inteligente,
computacional logic and human thinking,
how to be artificially intelligent,
Roberto Antonio Kowalski,
Profesor Emérito Robert A. Kowalski,
Resumo da matéria de Raciocínio Lógico para Concurso INSS 2016, cargo de Técnico do Seguro Social. Leia o post completo no blog: http://www.estrategiaconcursos.com.br/blog/resumo-de-raciocinio-logico-p-inss/
1. Lógica Computacional
Diego Silveira Costa Nascimento
Instituto Federal do Rio Grande do Norte
diego.nascimento@ifrn.edu.br
28 de maio de 2014
2. Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Tautologia, Contradição e Contingência
5 Implicação Lógica
6 Equivalência Lógica
7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo
8 Inferência Lógica
9 Demonstração Indireta
10 Sentenças Abertas
11 Quantificadores
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 2 / 121
3. Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Tautologia, Contradição e Contingência
5 Implicação Lógica
6 Equivalência Lógica
7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo
8 Inferência Lógica
9 Demonstração Indireta
10 Sentenças Abertas
11 Quantificadores
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 3 / 121
4. Objetivos da Disciplina
Apresentar a disciplina de Lógica;
Discutir o cenário no qual a disciplina poderá ser aplicada;
Apresentar um pouco da história da lógica;
Fazer com que o estudante consiga no futuro relacionar os aspectos
abstratos da computação com sua implementação; e
Incentivar a escrita dos algoritmos antes de sua implementação
propriamente dita.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 4 / 121
5. Motivações em Estudar Lógica
O estudo desta disciplina faz o aluno adquirir ou aperfeiçoar seu raciocínio
lógico no intuito de desenvolverem programas e sistemas em uma
determinada linguagem de programação.
A Lógica é apresentada como uma técnica eficiente para:
a organização de conhecimentos em qualquer área;
raciocinar corretamente sem esforço consciente;
interpretar e analisar informações rapidamente;
aumentar a competência linguística (oral e escrita);
adquirir destreza com o raciocínio quantitativo; e
detectar padrões em estruturas (premissas, pressuposições, cenários,
etc.)
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 5 / 121
6. Lógica
A palavra Lógica deriva do Grego (logos), que significa: palavra,
pensamento, ideia, argumento, relato, razão lógica ou princípio lógico.
Definição
Lógica é a ciência das leis ideais do pensamento e a arte de aplicá-las à
pesquisa e à demonstração da verdade.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 6 / 121
7. Origem da Lógica
A Lógica teve início na Grécia em 342 a.C.;
Aristóteles sistematizou os conhecimentos existentes em Lógica,
elevando-a à categoria de ciência;
Em sua obra chamada Organum (“ferramenta para o correto pensar”),
estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje são
considerados válidos.
Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de
conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos
conhecimentos; e
A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia à Lógica a
formulação de leis gerais de encadeamentos lógicos que levariam à
descoberta de novas verdades.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 7 / 121
8. Argumento Lógico
Em Lógica, o encadeamento de conceitos é chamado de argumento;
As afirmações de um argumento são chamadas de proposições;
Um argumento é um conjunto de proposições tal que se afirme que
uma delas é derivada das demais;
Usualmente, a proposição derivada é chamada de conclusão, e as
demais, de premissas; e
Em um argumento válido, as premissas são consideradas provas
evidentes da verdade da conclusão.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 8 / 121
10. Inferência Lógica
Lógica dispõe de duas ferramentas principais que podem ser utilizadas pelo
pensamento na busca de novos conhecimentos: a dedução e a indução.
Dedução
Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se
verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão; e
De forma geral, a dedução sempre preserva a verdade.
Indução
Um argumento indutivo fornece provas cabais da veracidade da
conclusão, ou seja, apenas que forne indicações dessa veracidade; e
De forma geral, a indução nem sempre preserva a verdade.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 10 / 121
11. Exemplos de Inferências Dedutiva e Indutiva
Em outras palavras, na dedução, a conclusão é consequência necessária das
premissas, e na indução, a conclusão é consequência plausível das
premissas.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 11 / 121
12. Princípios Lógicos
A Lógica Formal repousa sobre três princípios fundamentais que permitem
todo seu desenvolvimento posterior, e que dão validade a todos os atos do
pensamento e do raciocínio. São eles:
Princípio da Identidade
Afirma A = A e não pode ser B, o que é, é;
Princípio da Não Contradição
A = A e nunca pode ser não-A, o que é, é e não pode ser sua
negação, ou seja, o ser é, o não ser não é; e
Princípio do Terceiro Excluído
Afirma que Ou A é x ou A é y, não existe uma terceira possibilidade.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 12 / 121
13. Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Tautologia, Contradição e Contingência
5 Implicação Lógica
6 Equivalência Lógica
7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo
8 Inferência Lógica
9 Demonstração Indireta
10 Sentenças Abertas
11 Quantificadores
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 13 / 121
14. Logica Proposicional
Definição
É um sistema formal no qual as fórmulas representam proposições que
podem ser formadas pela combinação de proposições atômicas usando
conectivos lógicos e um sistema de regras de derivação, que permite que
certas fórmulas sejam estabelecidas como “teoremas” do sistema formal.
Em termos gerais, um cálculo proposicional é frequentemente apresentado
como um sistema formal que consiste em um conjunto de expressões
sintáticas (fórmulas bem formadas, ou fbfs), um subconjunto distinto
dessas expressões, e um conjunto de regras formais que define uma relação
binária específica, que se pretende interpretar como a noção de equivalência
lógica, no espaço das expressões.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 14 / 121
15. Proposições
Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que
exprimem um pensamento de sentido completo;
As proposições transmitem pensamentos; e
Afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de
determinados entes.
Exemplos
A Lua é um satélite da Terra;
Sócrates é um homem;
Eu estudo Lógica;
Todos os homens são mortais; ou
Não existe homem infiel.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 15 / 121
16. A Linguagem da Lógica Proposicional
Considere o conjunto de símbolos:
A = {(, ), ¬, ∧, ∨, →, ↔, p, q, r, s, . . .}
A esse conjunto é chamado de alfabeto da Lógica Proposicional;
As letras são símbolos não lógico (letras sentenciais); e
O restante são símbolos lógicos (parênteses e conectivos lógicos);
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 16 / 121
17. Letras Sentenciais
As letras sentenciais são usadas para representar proposições elementares
ou atômicas, isto é, proposições que não possuem partes que sejam
também proposições.
Exemplos
p = O céu é azul;
Q = Eu estudo lógica;
r = 2 + 2 = 4; ou
s = Sócrates é um homem.
Importante
As partes dessas proposições não são proposições mais simples, mas sim,
componentes subsentenciais: expressões, palavras, sílabas ou letras.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 17 / 121
18. Conectivos Lógicos
As proposições compostas são obtidas combinando proposições
simples através de certos termos chamados conectivos;
A Lógica dispõe de cinco tipos de conectivos e seus operadores:
Não (Negação), ¬ ;
E (Conjunção), ∧;
Ou (Disjunção), ∨;
Se – então (Condicional), →;e
Se e somente se (Bicondicional), ↔.
Exemplos
Não está chovendo;
Está chovendo e está ventando;
Está chovendo ou está nublado;
Se choveu, então está molhado; ou
Será aprovado se e somente se estudar.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 18 / 121
19. Operador de Negação: ¬
A característica peculiar da negação, tal como ela se apresenta na lógica
proposicional clássica, é que toda proposição submetida à operação de
negação resulta na sua contraditória.
Exemplo
p = Está chovendo.
Ler-se ¬p, como: “Não está chovendo.”
Importante
O fato expresso por uma proposição não pode ocorrer ao mesmo tempo e
sob o mesmo modo e circunstância que o fato expresso pela negação dessa
mesma proposição.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 19 / 121
20. Tabela Verdade: ¬
Se p é uma proposição, a expressão ¬p é chamada negação de p; e
Claramente, a negação inverte o valor verdade de uma expressão.
Exemplo
p ¬p
V F
F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 20 / 121
21. Operador de Conjunção: ∧
A característica peculiar da conjunção está no fato de fórmulas conjuntivas
expressarem a concomitância de fatos. A fórmula (p ∧ q) expressa que o
fato expresso por p ocorre ao mesmo tempo que o fato expresso por q.
Exemplo
p = Está chovendo.
q = Está ventando.
Ler-se p ∧ q, como: “Está chovendo e está ventando.”
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 21 / 121
22. Tabela Verdade: ∧
Se p e q são proposições, a expressão p ∧ q é chamada conjunção de p
e q; e
As proposições p e q são chamadas fatores da expressão.
Exemplo
p q p∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 22 / 121
23. Operador de Disjunção: ∨
A característica peculiar da disjunção consiste no fato de proposições
disjuntivas expressarem que pelo menos um de dois fatos ocorre. A fórmula
(p ∨ q) expressa que, dentre os fatos expressos por p e q respectivamente,
pelo menos um deles ocorre.
Exemplo
p = Está nublado.
q = Está chovendo.
Ler-se p ∨ q, como: “Está nublado ou está chovendo.”
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 23 / 121
24. Tabela Verdade: ∨
Se p e q são proposições, a expressão p ∨ q é chamada disjunção
inclusiva de p e q; e
As proposições p e q são chamadas parcelas da expressão.
Exemplo
p q p∨q
V V V
V F V
F V V
F F F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 24 / 121
25. Operador Condicional: →
A característica peculiar dessa operação consiste em que um condicional
(p → q) expressa que a ocorrência do fato expresso por p garante
necessariamente a ocorrência do fato expresso por q.
Exemplo
p = Choveu.
q = Está molhado.
Ler-se p → q, como: “Se choveu, então está molhado.”
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 25 / 121
26. Tabela Verdade: →
Se p e q são proposições, a expressão p → q é chamada condicional
de p e q;
A proposição p é chamada antecedente, e a proposição q consequente
da condicional; e
A operação de condicionamento indica que o acontecimento de p é
uma condição para que q aconteça.
Exemplo
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 26 / 121
27. Operador Bicondicional: ↔
A característica peculiar dessa operação consiste em que um bicondicional
(p ↔ q) assevera que os fatos expressos por p e q são interdependentes,
isto é, ou os dois ocorrem juntos ou nenhum dos dois ocorrem.
Exemplo
p = Será aprovado.
q = Estudar.
Ler-se p ↔ q, como: “ Será aprovado, se e somente se estudar.”
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 27 / 121
28. Tabela Verdade: ↔
Se p e q são proposições, a expressão p ↔ q é chamada bicondicional
de p e q; e
A operação de bicondicionamento indica que p é uma condição para
que q aconteça, e vice-versa.
Exemplo
p q p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 28 / 121
29. Parênteses: (e)
A necessidade de usar parênteses na simbolização das proposições se deve
ao fato de se evitar qualquer tipo de ambiguidade.
Exemplo
p = Estudar.
q = Fazer a prova.
r = Fazer o trabalho.
s = Serei aprovado.
Ler-se ((p ∧ q) ∨ r) → s, como:
“ Se ((estudar e fazer a prova) ou fazer o trabalho), então será aprovado.”
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 29 / 121
30. Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Tautologia, Contradição e Contingência
5 Implicação Lógica
6 Equivalência Lógica
7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo
8 Inferência Lógica
9 Demonstração Indireta
10 Sentenças Abertas
11 Quantificadores
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 30 / 121
31. Tabela-verdade de uma Proposição Composta
Dadas várias proposições simples p, q, r, . . ., podemos combiná-las pelos
operadores lógicos ∧, ∨, →, ↔ e construir proposições compostas:
Exemplo
P(p, q) = ¬p ∨ (p → q)
Q(p, q) = (p ↔ ¬q) ∧ q
R(p, q, r) = (p → ¬q ∨ r) ∧ ¬(q ∨ (p ↔ ¬r))
Então, com o emprego das tabelas-verdade das operações lógicas
fundamentais já estudadas: ¬p, p ∧ q, p ∨ q, p → q e p ↔ q;
É possível construir a tabela-verdade correspondente a qualquer
proposição composta; e
A tabela-verdade exibirá exatamente os casos em que a proposição
composta será verdadeira (V ) ou falsa (F), admitindo-se que o seu
valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 31 / 121
32. Ordem de Precedência dos Operadores
1 Percorra a expressão da esquerda para a direita, executando as
operações de negação, na ordem em que aparecerem;
2 Percorra novamente a expressão, da esquerda para a direita,
executando as operações de conjunção e disjunção, na ordem em que
aparecerem;
3 Percorra outra vez a expressão, da esquerda para a direita, executando
desta vez as operações de condicionamento, na ordem em que
aparecerem; e
4 Percorra uma última vez a expressão, da esquerda para a direita,
executando as operações de bicondicionamento, na ordem em que
aparecerem.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 32 / 121
33. Construindo a Tabela-verdade
Dada uma expressão proposicional composta, e dados os valores lógicos das
proposições simples que a compõe, podemos, com a ordem de precedência,
calcular o valor lógico da expressão dada.
Expressão Proposicional Composta
P(p, q) = ¬(p ∧ ¬q)
Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes às duas
proposições simples p e q.
Exemplo
p q
V V
V F
F V
F F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 33 / 121
34. Construindo a Tabela-verdade (cont.)
Em seguida, forma-se a coluna para ¬q.
Exemplo
p q ¬q
V V F
V F V
F V F
F F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 34 / 121
35. Construindo a Tabela-verdade (cont.)
Depois, forma-se a coluna para p ∧ ¬q.
Exemplo
p q ¬q p∧¬q
V V F F
V F V V
F V F F
F F V F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 35 / 121
36. Construindo a Tabela-verdade (cont.)
Por fim, forma-se a coluna relativa aos valores lógicos da proposição
composta ¬(p ∧ ¬q).
Exemplo
p q ¬q p∧¬q ¬(p∧¬q)
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 36 / 121
37. Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Tautologia, Contradição e Contingência
5 Implicação Lógica
6 Equivalência Lógica
7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo
8 Inferência Lógica
9 Demonstração Indireta
10 Sentenças Abertas
11 Quantificadores
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 37 / 121
38. Tautologia
Definição
Tautologia é toda proposição composta P(p, q, r, . . .) cujo valor lógico é
sempre verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições
simples p, q, r, . . .
As tautologias são também denominadas proposições tautológicas ou
proposições logicamente verdadeiras.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 38 / 121
39. Tautologia: Demonstração I
Proposição
¬(p ∧ ¬p)
Exemplo
p ¬p p∧¬p ¬( p∧¬p)
V F F V
F V F V
Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente
verdadeira e falsa é sempre verdadeiro.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 39 / 121
40. Tautologia: Demonstração II
Proposição
p ∨ ¬p
Exemplo
p ¬p p∨¬p
V F V
F V V
Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre
verdadeiro.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 40 / 121
41. Contradição
Definição
Contradição é toda proposição composta P(p, q, r, . . .) cujo valor lógico é
sempre falso, quais quer que sejam os valores lógicos das proposições
simples p, q, r, . . .
As contradições são também denominadas proposições contraválidas ou
proposições logicamente falsas.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 41 / 121
42. Contradição: Demonstração I
Proposição
p ∧ ¬p
Exemplo
p ¬p p∧¬p
V F F
F V F
Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e
falsa é sempre falso.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 42 / 121
44. Contingência
Definição
Contingencia é toda a proposição composta que não é tautologia nem
contradição.
As contingências são também denominadas proposições contingentes ou
proposições indeterminadas.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 44 / 121
46. Contingência: Demonstração II
Proposição
p ∨ q → p
Exemplo
p q p∨q p∨q → p
V V V V
V F V V
F V V F
F F F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 46 / 121
47. Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Tautologia, Contradição e Contingência
5 Implicação Lógica
6 Equivalência Lógica
7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo
8 Inferência Lógica
9 Demonstração Indireta
10 Sentenças Abertas
11 Quantificadores
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 47 / 121
48. Implicação Lógica
Definição
Diz-se que uma proposição P(p, q, r, . . .) implica logicamente uma
proposição Q(p, q, r, . . .), se Q(p, q, r, . . .) é verdadeiro todas as vezes em
que P(p, q, r, . . .) é verdadeiro.
Notação
P(p, q, r, . . .) ⇒ Q(p, q, r, . . .)
Importante
Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente uma
contradição implica uma contradição.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 48 / 121
49. Propriedades da Implicação Lógica
É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições utiliza-se
das propriedades reflexiva (R) e transitiva (T).
Exemplo
(R) P(p, q, r, . . .) ⇒ P(p, q, r, . . .)
(T) Se P(p, q, r, . . .) ⇒ Q(p, q, r, . . .) e
Q(p, q, r, . . .) ⇒ R(p, q, r, . . .), então
P(p, q, r, . . .) ⇒ R(p, q, r, . . .)
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 49 / 121
50. Demonstração de Implicação Lógica I
Proposições
p ∧ q, p ∨ q e p ↔ q
Exemplo
p q p∧q p∨q p↔q
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F F V
A proposição p ∧ q é verdadeira somente na linha 1, e nesta linha, as
proposições p ∨ q e p ↔ q também são verdadeiras. Logo, a primeira
proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é:
p ∧ q ⇒ p ∨ q e p ∧ q ⇒ p ↔ q
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 50 / 121
51. Demonstração de Implicação Lógica II
Proposições
p ↔ q, p → q e q → p
Exemplo
p q p↔q p→q q→p
V V V V V
V F F F V
F V F V F
F F V V V
A proposição p ↔ q é verdadeira nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas,
proposições p → q e q → p também são verdadeiras. Logo, a primeira
proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é:
p ↔ q ⇒ p → q e p ↔ q ⇒ q → p
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 51 / 121
52. Tautologias e Implicação Lógica
Teorema
A proposição P(p, q, r, . . .) implica a proposição Q(p, q, r, . . .) isto é:
P(p, q, r, . . .) ⇒ Q(p, q, r, . . .)
se e somente se a condicional:
P(p, q, r, . . .) → Q(p, q, r, . . .)
é tautológica.
Importante
Os símbolos → e ⇒ são distintos, pois o primeiro é de operação lógica
(aplicado, por ex., às proposições p e q dá a nova proposição p → q),
enquanto que o segundo é de relação (estabelece que a condicional
P(p, q, r, . . .) → Q(p, q, r, . . .) é tautológica).
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 52 / 121
53. Demonstração de Tautologia e Implicação Lógica
Condicional
(p → q) ∧ p → q
Exemplo
p q p→q (p→q)∧ p (p→q)∧ p → q
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F V F V
Portanto, simbolicamente: (p → q) ∧ p ⇒ q
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 53 / 121
54. Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Tautologia, Contradição e Contingência
5 Implicação Lógica
6 Equivalência Lógica
7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo
8 Inferência Lógica
9 Demonstração Indireta
10 Sentenças Abertas
11 Quantificadores
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 54 / 121
55. Equivalência Lógica
Definição
Diz-se que uma proposição P(p, q, r, . . .) é logicamente equivalente a uma
proposição Q(p, q, r, . . .), se as tabelas-verdade destas duas proposições
são idênticas.
Notação
P(p, q, r, . . .) ⇔ Q(p, q, r, . . .)
Importante
Em particular, se as proposições P(p, q, r, . . .) e Q(p, q, r, . . .) são ambas
tautológicas ou são ambas contradições, então são equivalentes.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 55 / 121
56. Propriedades da Equivalência Lógica
É imediato que a relação de equivalência lógica entre proposições utiliza-se
das propriedades reflexiva(R), simétrica (S) e transitiva (T), isto é,
simbolicamente:
Exemplo
(R) P(p, q, r, . . .) ⇔ P(p, q, r, . . .)
(S) Se P(p, q, r, . . .) ⇔ Q(p, q, r, . . .), então
Q(p, q, r, . . .) ⇔ P(p, q, r, . . .)
(T) Se P(p, q, r, . . .) ⇔ Q(p, q, r, . . .) e
Q(p, q, r, . . .) ⇔ R(p, q, r, . . .), então
P(p, q, r, . . .) ⇔ R(p, q, r, . . .)
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 56 / 121
57. Demonstração de Equivalência Lógica I
Proposições
¬p → p e p
Exemplo
p ¬p ¬p→p
V F V
F V F
A proposição ¬p → p e p são equivalentes nas colunas 1 e 2, isto é:
¬p → p ⇔ p
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 57 / 121
58. Demonstração de Equivalência Lógica II
Proposições
p → p ∧ q e p → q
Exemplo
p q p∧q p→p∧q p→q
V V V V V
V F F F F
F V F V V
F F F V V
A proposição p → p ∧ q e p → q são equivalentes nas colunas 4 e 5, isto é:
p → p ∧ q ⇔ p → q
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 58 / 121
59. Tautologias e Equivalência Lógica
Teorema
A proposição P(p, q, r, . . .) é equivalente à proposição Q(p, q, r, . . .), isto é:
P(p, q, r, . . .) ⇔ Q(p, q, r, . . .)
se e somente se a bicondicional:
P(p, q, r, . . .) ↔ Q(p, q, r, . . .)
é tautológica.
Importante
Os símbolos ↔ e ⇔ são distintos, pois o primeiro é de operação lógica
(aplicado, por ex., às proposições p e q dá a nova proposição p ↔ q),
enquanto que o segundo é de relação (estabelece que a bicondicional
P(p, q, r, . . .) ⇔ Q(p, q, r, . . .) é tautológica).
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 59 / 121
60. Demonstração de Equivalência Lógica
Proposições
(p ∧ ¬q → c) e (p → q)
Exemplo
p q c p∧¬q p∧¬q→c p→q (p∧¬q→c) ↔ (p→q)
V V F F V V V
V F F V F F V
F V F F V V V
F F F F V V V
...
...
...
...
...
...
...
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 60 / 121
61. Proposições Associadas a uma Condicional
Definição
Dada a condicional p → q, chama-se proposição associada a p → q as três
proposições condicionais que contêm p e q:
1 Proposição recíproca de p → q é q → p;
2 Proposição contrária de p → q é ¬p → ¬q; e
3 Proposição contrapositiva de p → q é ¬q → ¬p.
Exemplo
p q p→q q→p ¬p→ ¬q ¬q→ ¬p
V V V V V V
V F F V V F
F V V F F V
F F V V V V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 61 / 121
62. Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Tautologia, Contradição e Contingência
5 Implicação Lógica
6 Equivalência Lógica
7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo
8 Inferência Lógica
9 Demonstração Indireta
10 Sentenças Abertas
11 Quantificadores
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 62 / 121
63. Propriedades da Conjunção
Seja p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições
também simples cujos valores lógicos respectivos são verdadeiro e falso,
temos as propriedades a seguir: idempotente, comutativa, associativa e
identidade.
Idempotente
p ∧ p ⇔ p
Exemplo
p p∧p p∧p↔p
V V V
F F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 63 / 121
64. Propriedades da Conjunção (cont.)
Comutativa
p ∧ q ⇔ q ∧ p
Exemplo
p q p∧q q∧p p∧q↔q∧p
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 64 / 121
65. Propriedades da Conjunção (cont.)
Associativa
(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
Exemplo
p q r p∧q (p∧q)∧r q∧r p∧(q∧r)
V V V V V V V
V V F V F F F
V F V F F F F
V F F F F F F
F V V F F V F
F V F F F F F
F F V F F F F
F F F F F F F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 65 / 121
66. Propriedades da Conjunção (cont.)
Identidade
p ∧ t ⇔ p e p ∧ c ⇔ c
Exemplo
p t c p∧t p∧c p∧t↔p p∧c↔c
V V F V F V V
F V F F F V V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 66 / 121
67. Propriedades da Disjunção
Seja p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições
também simples cujos valores lógicos respectivos são verdadeiro e falso,
temos as propriedades a seguir: idempotente, comutativa, associativa e
identidade.
Idempotente
p ∨ p ⇔ p
Exemplo
p p∨p p∨p↔p
V V V
F F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 67 / 121
68. Propriedades da Disjunção (cont.)
Comutativa
p ∨ q ⇔ q ∨ p
Exemplo
p q p∨q q∨p p∨q↔q∨p
V V V V V
V F V V V
F V V V V
F F F F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 68 / 121
69. Propriedades da Disjunção (cont.)
Associativa
(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Exemplo
p q r p∨q (p∨q)∨r q∨r p∨(q∨r)
V V V V V V V
V V F V V V V
V F V V V V V
V F F V V F V
F V V V V V V
F V F V V V V
F F V F V V V
F F F F F F F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 69 / 121
70. Propriedades da Disjunção (cont.)
Identidade
p ∨ t ⇔ t e p ∨ c ⇔ p
Exemplo
p t c p∨t p∨c p∨t↔t p∨c↔p
V V F V V V V
F V F V F V V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 70 / 121
71. Propriedades da Conjunção e Disjunção
Seja p, q e r proposições simples quaisquer, podemos representar as
propriedades: distributiva, absorção e regras De Morgan.
Distributiva
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) e p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Exemplo
p q r q∨r p∧(q∨r) p∧q p∧r (p∧q) ∨ (p∧r)
V V V V V V V V
V V F V V V F V
V F V V V F V V
V F F F F F F F
F V V V F F F F
F V F V F F F F
F F V V F F F F
F F F F F F F F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 71 / 121
72. Propriedades da Conjunção e Disjunção (cont.)
Absorção
p ∧ (p ∨ q) ⇔ p e p ∨ (p ∧ q) ⇔ p
Exemplo
p q p∨q p∧(p∨q) p∧(p∨q) ↔p
V V V V V
V F V V V
F V V F V
F F F F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 72 / 121
73. Propriedades da Conjunção e Disjunção (cont.)
Regras De Morgan (1806–1871)
¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q e ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
Exemplo
p q p∧q ¬(p∧q) ¬p ¬q ¬p∨¬q
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 73 / 121
74. Negação da Condicional
Demonstração
Como p → q ⇔ p ∧ ¬q, temos:
¬(p → q) ⇔ ¬(¬p ∨ q) ⇔ ¬¬p ∧ ¬q
ou seja:
¬(p → q) ⇔ p ∧ ¬q
Exemplo
p q p→q ¬(p→q) ¬q p∧¬p
V V V F F F
V F F V V V
F V V F F F
F F V F V F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 74 / 121
75. Negação da Bicondicional
Demonstração
Como p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p), temos:
p ↔ q ⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)
e portanto:
¬(p ↔ q) ⇔ ¬(¬p ∨ q) ∨ ¬(¬q ∨ p) ⇔ (¬¬p ∧ ¬q) ∨ (¬¬q ∧ ¬p)
ou seja:
¬(p ↔ q) ⇔ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
Exemplo
p q ¬p ¬q p∧¬q ¬p∧q (p∧¬q) ∨ (¬p∧q) p↔q ¬(p↔q)
V V F F F F F V F
V F F V V F V F V
F V V F F V V F V
F F V V F F F V F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 75 / 121
76. Dedução
Definição
Dado um argumento P1, P2 e P3 → Q chama-se demonstração ou
dedução de Q a partir das premissas P1, P2, . . . Pn, a sequência finita de
proposições X1, X2, . . . Xm, tal que cada Xi ou é uma premissa ou decorre
logicamente de proposições anteriores da sequência, e de tal modo que a
última proposição Xm seja a conclusão Q do argumento dado.
Desta forma, se for possível obter a conclusão Q através do procedimento
de dedução, o argumento é válido, caso contrário, não é válido.
O método dedutivo é mais eficente para demonstração de implicações e
equivalências lógicas do que quando utiliza-se de tabelas-verdade.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 76 / 121
77. Demonstração da Implicação I
Implicação
p ∧ q ⇒ p
Exemplo
p ∧ q → p ⇔
¬(p ∧ q) ∨ p ⇔
(¬p ∨ ¬q) ∨ p ⇔
(¬p ∨ p) ∨ ¬q ⇔
Tautologia ∨¬q ⇔
Tautologia
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 77 / 121
78. Demonstração da Implicação II
Implicação
(p → q) ∧ p ⇒ q
Exemplo
(p → q) ∧ p ⇔
(¬p ∨ q) ∧ p ⇔
(p ∧ ¬p) ∨ (p ∨ q) ⇔
Contradição ∨(p ∨ q) ⇔
p ∨ q ⇒
q (Absorção)
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 78 / 121
79. Demonstração da Equivalência I
Equivalência
p → q ⇔ p ∨ q → q
Exemplo
p ∨ q → q ⇔
¬(p ∨ q) ∨ q ⇔
(¬p ∧ ¬q) ∨ q ⇔
(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ q) ⇔
(¬p ∨ q) ∧ Tautologia ⇔
p → q
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 79 / 121
80. Demonstração da Equivalência II
Equivalência
(p → q) ∧ (p → ¬q) ⇔ ¬p
Exemplo
(¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q) ⇔
¬p ∨ (q ∧ ¬q) ⇔
¬p∨ Contradição ⇔
¬p
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 80 / 121
81. Forma Normal das Proposições
Definição
Uma proposição está na forma normal (FN) se e somente se, quando
muito, contém apenas os conectivos: ¬, ∧ e ∨.
Exemplo
¬p ∧ q, ¬(p ∨ ¬q) ou p ∨ (p ∧ q)
Há duas representações de formas normais para uma proposição:
Forma normal conjuntiva (FNC); e
Forma normal disjuntiva (FND).
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 81 / 121
82. Forma Normal Conjuntiva
Definição
Uma proposição está na forma normal conjuntiva (FNC) se e somente se
são verificadas as seguintes condições:
Contém, quanto muito, os conectivos: ¬, ∧ e ∨;
O conectivo de negação ¬ não aparece repetido e não tem alcance
sobre os conectivos ∧ e ∨; e
O conectivo ∨ não tem alcance sobre o conectivo ∧.
Exemplo
p ∨ ¬q, p ∧ ¬q ∧ r, e (p ∨ q) ∧ q
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 82 / 121
83. Forma Normal Disjuntiva
Definição
Um proposição está na forma normal disjuntiva (FND) se e somente se são
verificadas as seguintes condições:
Contém, quando muito, os conectivos: ¬, ∧ e ∨;
O conectivo de negação ¬ não aparece repedito e não tem alcance
sobre os conectivos ∧ e ∨; e
O conectivo ∧ não tem alcance sobre o conectivo ∨.
Exemplo
p ∨ ¬q, p ∨ ¬q ∨ r, e (p ∧ q) ∨ q
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 83 / 121
84. Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Tautologia, Contradição e Contingência
5 Implicação Lógica
6 Equivalência Lógica
7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo
8 Inferência Lógica
9 Demonstração Indireta
10 Sentenças Abertas
11 Quantificadores
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 84 / 121
85. Argumento
Definição
Chama-se argumento toda a afirmação de que uma dada sequência finita
P1, P2, . . . , Pn(n ≥ 1) de proposições tem como consequência ou
acarreta uma proposição final Q.
Um argumento de premissas P1, P2, . . . , Pn e de conclusão Q indica-se
por:
P1, P2, . . . , Pn Q
Importante
Um argumento P1, P2, . . . , Pn Q é válido se e somente se a condicional:
P1 ∧ P2 ∧ . . . ∧ Pn → Q é tautológica.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 85 / 121
86. Inferência
Definição
É o processo pelo qual se chega a uma proposição, firmada na base de uma
ou outras mais proposições aceitas como ponto de partida do processo.
Um método mais eficiente para demonstrar, verificar ou testar a
validade de um dado argumento P1, P2, . . . , Pn Q consiste em deduzir
a conclusão Q a partir das premissas P1, P2, . . . , Pn mediante o uso de
certas regras de inferência.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 86 / 121
87. Regras de Inferência
Definição
As regras de inferência constituem relações específicas entre proposições:
As regras de inferência são:
Regra de Adição (AD);
Regra de Simplificação (SIMP);
Regra da Conjunção (CONJ);
Regra de Absorção (ABS);
Regra Modus ponens (MP);
Regra Modus tollens (MT);
Regra do Silogismo disjuntivo (SD);
Regra do Silogismo hipotético (SH);
Regra do Dilema construtivo (DC); e
Regra do Dilema destrutivo (DD).
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 87 / 121
88. Regra da Adição
Definição
Dada uma proposição p, dela se pode deduzir a sua disjunção com
qualquer outra proposição, isto é, deduzir p ∨ q, ou p ∨ r, etc.
Exemplo
(i)
p
p ∨ q
(ii)
p
q ∨ p
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 88 / 121
89. Regra de Simplificação
Definição
Da conjunção p ∧ q de duas proposições se pode deduzir cada uma das
proposições, p ou q.
Exemplo
(i)
p ∧ q
p
(ii)
p ∧ q
q
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 89 / 121
90. Regra da Conjunção
Definição
Permite deduzir de duas proposições dadas p e q (premissas) a sua
conjunção p ∧ q ou q ∧ p (conclusão).
Exemplo
(i)
p
q
p ∧ q
(ii)
p
q
q ∧ p
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 90 / 121
91. Regra da Absorção
Definição
Está regra permite, dada uma condicional p → q como premissa, dela
deduzir como conclusão uma outra condicional com o mesmo antecedente
p e cujo consequente é a conjunção p ∧ q das duas proposições que
integram a premissa, isto é, p → p ∧ q.
Exemplo
p → q
p → (p ∧ q)
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 91 / 121
92. Regra Modus Ponens
Definição
Também é chamada Regra de Separação e permite deduzir q
(conclusão) a partir de p → q e p (premissas).
Exemplo
p → q
p
q
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 92 / 121
93. Regra Modus Tollens
Definição
Permite, a partir das premissas p → q (condicional) e ¬q (negação do
consequente), deduzir como conclusão ¬p (negação do antecedente).
Exemplo
p → q
¬q
¬p
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 93 / 121
94. Regra do Silogismo Disjuntivo
Definição
Permite deduzir da disjunção p ∨ q de duas proposições e da negação ¬p
(ou ¬q) de uma delas a outra proposição q (ou p).
Exemplo
(i)
p ∨ q
¬p
q
(ii)
p ∨ q
¬q
p
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 94 / 121
95. Regra do Silogismo Hipotético
Definição
Esta regra permite, dada duas condicionais: p → q e q → r (premissas),
tais que o consequente da primeira coincide com o antecedente da segunda,
deduzir uma terceira condicional p → r (conclusão) cujo antecedente e
consequente são respectivamente o antecedente da premissa p → q e o
consequente da outra premissa q → r.
Exemplo
p → q
q → r
p → r
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 95 / 121
96. Regra do Dilema Construtivo
Definição
Nesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção dos seus
antecedentes, e a conclusão é a disjunção dos consequentes destas
condicionais.
Exemplo
p → q
r → s
p ∨ r
q ∨ s
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 96 / 121
97. Regra do Dilema Destrutivo
Definição
Nesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção da negação
dos seus consequentes, e a conclusão é a disjunção da negação dos
antecedentes destas condicionais.
Exemplo
p → q
r → s
¬q ∨ ¬s
¬p ∨ ¬r
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 97 / 121
98. Validade Mediante Regras de Inferência I
Argumento
p → q, p ∧ r q
Exemplo
(1) p → q
(2) p ∧ r
(3) p 2 – SIMP
(4) q 1,3 – MP
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 98 / 121
99. Validade Mediante Regras de Inferência II
Argumento
p ∧ q, p ∨ r → s p ∧ s
Exemplo
(1) p ∧ q
(2) p ∨ r → s
(3) p 1 – SIMP
(4) p ∨ r 3 – AD
(5) s 2,4 – MP
(6) p ∧ s 3,5 – CONJ
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 99 / 121
100. Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Tautologia, Contradição e Contingência
5 Implicação Lógica
6 Equivalência Lógica
7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo
8 Inferência Lógica
9 Demonstração Indireta
10 Sentenças Abertas
11 Quantificadores
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 100 / 121
101. Demonstração Indireta
Definição
Um método frequentemente empregado para demonstrar a validade de
um dado argumento:
P1, P2, . . . , Pn Q
chamado também por “Demonstração por Absurdo” consiste em admitir a
negação ¬Q da conclusão Q, isto é, supor ¬Q verdadeira, e daí deduzir
logicamente uma contradição qualquer C a partir das premissas
P1, P2, . . . Pn e ¬Q, isto é, demonstrar que é válido o argumento:
P1, P2, . . . , Pn, ¬Q C
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 101 / 121
102. Validade Mediante Demonstração Indireta I
Argumento
p → ¬q, r → q ¬(p ∧ r)
Exemplo
(1) p → ¬q
(2) r → q
(3) p ∧ r Negação de Q
(4) p 3 – SIMP
(5) r 3 – SIMP
(6) ¬q 1,4 – MP
(7) q 2,5 – MP
(8) q ∧ ¬q 6,7 – CONJ (Contradição)
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 102 / 121
103. Validade Mediante Demonstração Indireta II
Argumento
¬p → q, ¬q ∨ r, ¬r p ∨ s
Exemplo
(1) ¬p → q
(2) ¬q ∨ r
(3) ¬r
(4) ¬p ∧ ¬s Negação de Q
(5) ¬p 4 – SIMP
(6) q 1,5 – MP
(7) ¬q 2,3 – SD
(8) q ∧ ¬q 6,7 – CONJ (Contradição)
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 103 / 121
104. Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Tautologia, Contradição e Contingência
5 Implicação Lógica
6 Equivalência Lógica
7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo
8 Inferência Lógica
9 Demonstração Indireta
10 Sentenças Abertas
11 Quantificadores
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 104 / 121
105. Sentenças Abertas com uma Variável
Definição
Chama-se sentença aberta com uma variável em um conjunto A, uma
expressão p(x) tal que p(a) é falsa (F) ou verdadeiro (V ) para todo a ∈ A.
Em outros termos, p(x) é uma sentença aberta em A se e somente se p(x)
torna-se uma proposição (verdadeira ou falsa) todas as vezes que se
substitui a variável x por qualquer elemento a do conjunto A(a ∈ A).
Exemplo
São sentenças abertas em N = {1, 2, 3, . . . , n, . . .} as seguintes expressões:
x + 1 > 8
x + 5 = 9
x é primo
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 105 / 121
106. Sentenças Abertas com duas Variáveis
Definição
Dados dois conjuntos A e B, chama-se sentença aberta com duas variáreis
em A ∧ B, uma expressão p(x, y) tal que verdadeira (V ) ou falsa (F) para
todo o par ordenado (a, b) ∈ AxB. Em outros termos, p(x, y) é uma
sentença aberta em AxB se e somente se p(x, y) torna-se uma proposição
(verdadeira ou falsa) todas as vezes que as variáveis x e y são substituídas
respectivamente pelos elementos a e b de qualquer par ordenado (a, b)
pertencente ao produto cartesiano AxB dos conjuntos A e B
((a, b) ∈ AxB).
Exemplo
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 6}. São sentenças abertas em
AxB as seguintes expressões:
x é menor que y
x é o dobro de y
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 106 / 121
107. Sentenças Abertas com n-Variáveis
Definição
Chama-se sentença aberta com n variáveis em A1xA2x . . . xAn, uma
expressão p(x1, x2, . . . , xn) tal que p(a1, a2, . . . , an) é verdadeira (V ) ou
falsa (F) para toda n-upla (a1, a2, . . . , an ∈ A1xA2x . . . xAn).
Exemplo
A expressão x + 2y + 3z < 18 é um sentença aberta em NxNxN, na qual, o
termo ordenado (1, 2, 3), satisfaz esta sentença aberta, pois,
1 + 2 ∗ 2 + 3 ∗ 4 < 18.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 107 / 121
108. Operações Lógicas sobre Sentenças Abertas
As operações lógicas que definimos para proposições estendem-se
naturalmente à sentenças abertas, e como podemos lembrar, são elas:
Não (Negação), ¬ ;
E (Conjunção), ∧;
Ou (Disjunção), ∨;
Se – então (Condicional), →;e
Se e somente se (Bicondicional), ↔.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 108 / 121
109. Operação de Negação
Exemplo
A negação da sentença aberta em R (Conjunto dos números reais):
“x < 2”
Assim, para x = 0, x = −1, x = 2, x = 5, x = π e x = 8, 57, temos
sucessivamente:
x x < 2 ¬(x < 2)
0 V F
-1 V F
2 F V
5 F V
π F V
8,57 F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 109 / 121
110. Operação de Conjunção
Exemplo
A conjunção das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais):
“x > 2” ∧ “x < 8”
Assim, para x = 5, x = π, x = 2, x = −1 e x = 8, 57, temos
sucessivamente:
x x > 2 x < 8 x > 2 ∧ x < 8
7 V V V
π V V V
2 F V F
-1 F V F
8,57 V F F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 110 / 121
111. Operação de Disjunção
Exemplo
A disjunção das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais):
“x < 2” ∨ “x > 8”
Assim, para x = 0, x = −1, x = 2, x = 5, x = π e x = 8, 57, temos
sucessivamente:
x x < 2 x > 8 x < 2 ∨ x > 8
0 V F V
-1 V F V
2 F F F
5 F F F
π F F F
8,57 F V V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 111 / 121
112. Operação Condicional
Exemplo
A condicional das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais):
“x < 2” → “x > 8”
Assim, para x = 0, x = −1, x = 2, x = 5, x = π e x = 8, 57, temos
sucessivamente:
x x < 2 x > 8 x < 2 → x > 8
0 V F F
-1 V F F
2 F F V
5 F F V
π F F V
8,57 F V V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 112 / 121
113. Operação Bicondicional
Exemplo
A bicondicional das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais):
“x < 2” ↔ “x > 8”
Assim, para x = 0, x = −1, x = 2, x = 5, x = π e x = 8, 57, temos
sucessivamente:
x x < 2 x > 8 x < 2 ↔ x > 8
0 V F F
-1 V F F
2 F F V
5 F F V
π F F V
8,57 F V F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 113 / 121
114. Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Tautologia, Contradição e Contingência
5 Implicação Lógica
6 Equivalência Lógica
7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo
8 Inferência Lógica
9 Demonstração Indireta
10 Sentenças Abertas
11 Quantificadores
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 114 / 121
115. Quantificador
Definição
O termo quantificação tem vários significados (gerais e específicos). Ele
cobre toda ação que quantifique observações e experiências, traduzindo-as
para números através da contagem e mensuração. É, portanto, a base para
a matemática e para a ciência. Na linguagem e na lógica, a quantificação é
uma construção que especifica a quantidade de indivíduos de um domínio
de discurso que se aplicam a (ou satisfazem) uma fórmula aberta.
Os dois tipos fundamentais de quantificação na lógica de predicados são:
Universal, ∀x; e
Existencial, ∃x.
Importante
Os quantificadores são interdefiníveis. Isto significa que uma fórmula com
quantificador universal pode ser transformada em uma fórmula que contém
apenas quantificadores existencial e vice-versa.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 115 / 121
116. Quantificador Universal: ∀x
Definição
Seja p(x) um sentença aberta em um conjunto não vazio A(A = ∅) e seja
Vp o seu conjunto-verdade:
Vp = {x|x ∈ A ∧ p(x)}
Quando Vp = A, isto é, todos os elementos do conjunto A satisfazem a
sentença aberta p(x), podemos, então, afirmar:
“Para todo elemento x de A, p(x) é verdadeira (V )”; ou
“Qualquer que seja o elemento x de A, p(x) é verdadeira”.
Exemplo
Todo homem é fiel.
Todo homem é mortal.
Toda criança é verdadeira.
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117. Quantificador Existencial: ∃x
Definição
Seja p(x) um sentença aberta em um conjunto não vazio A(A = ∅) e seja
Vp o seu conjunto-verdade:
Vp = {x|x ∈ A ∧ p(x)}
Quando Vp não é vazio (Vp = ∅), então, um elemento, pelo menos, do
conjunto A satisfaz a sentença abeta p(x), e podemos afirmar:
“Existe pelo menos um x ∈ A” tal que p(x); ou
“Para algum x ∈ A tal que p(x)”.
Exemplo
Existe vida em outros planetas.
Existe mamífero que voa.
Existe cidadão honesto.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 117 / 121
118. Negação de Proposições com Quantificador
Definição
A negação da proposição (∀x ∈ A)(p(x)) é equivalente a afirmação de que,
para ao menos um x ∈ A, p(x) é falsa ou ¬p(x) é verdadeira. Logo,
subsiste a equivalência:
¬[(∀x ∈ A)(p(x))] ↔ (∃x ∈ A)(¬p(x))
Analogamente, a negação da proposição (∃x ∈ A)(p(x)) é equivalente a
afirmar de que, para todo x ∈ A, p(x) é falsa ou ¬p(x) é verdadeira. Logo,
subsiste a equivalência:
¬[(∃x ∈ A)(p(x))] ↔ (∀x ∈ A)(¬p(x))
Essas duas importantes equivalências são conhecidas por segunda regra
de negação DE MORGAN.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 118 / 121
119. Quantificação Múltipla
Toda a sentença aberta precedida de quantificadores, um para cada
variável, isto é, com todas as variáveis quantificadas, é uma proposição,
pois, assume um dos valores lógicos V ou F.
Exemplo
1 (∀x ∈ A)(∀y ∈ B)(p(x, y));
2 (∀x ∈ A)(∃y ∈ B)(p(x, y)); ou
3 (∃x ∈ A)(∀y ∈ B)(∀z ∈ C)(p(x, y, z)).
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 119 / 121
120. Quantificação Múltipla
Exemplo
Consideramos os conjuntos:
H = {Jorge, Cláudio, Paulo}, M = {Suely, Cármen}
e seja p(x,y) a sentença aberta em HxM:“x é irmão de y”. A proposição:
(∀x ∈ H)(∃y ∈ M)(p(x, y))
se pode ler: “Para todo x de H existe pelo menos um y de M tal que x é
irmão de y.” A proposição:
(∃y ∈ M)(∀x ∈ H)(p(x, y))
se pode ler: “Pelo menos uma das mulheres de M é irmã de todos os
homens de H”.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 120 / 121
121. Comutativa dos Quantificadores
Quantificadores do mesmo tipo podem ser comutados:
Exemplo
(∀x)(∀y)(p(x, y)) ↔ (∀y)(∀x)(p(x, y))
(∃x)(∃y)(p(x, y)) ↔ (∃y)(∃x)(p(x, y))
Quantificadores de tipos diferentes não podem em geral ser
comutados:
Exemplo
(∀x)(∃y)(x é filho de y) = (∃x)(∀y)(x é filho de y)
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 121 / 121