O documento discute conceitos fundamentais sobre retas no espaço, incluindo: 1) projeção de uma reta sobre um plano; 2) determinação da posição de uma reta no espaço através de suas projeções sobre dois planos ortogonais; 3) pertinência de ponto e reta; 4) posições que uma reta pode assumir no espaço.

1. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Prof. Marcelo Gitirana

2. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Sumário
 Projeção de uma reta
sobre um plano
 Determinação de uma
reta no espaço
 Pertinência de ponto e
reta
 Posições da reta
 Traços de retas
(horizontal e vertical)
 Posições relativas de
duas retas
 Retas concorrentes
 Retas paralelas
 Retas de perfil

3. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Estudo da reta
Projeção de (A)(B) s/ ()
()
(B)
(A)
(D)
(C)
B
A
DC
A projeção de uma reta sobre
um plano é o lugar das
projeções de todos os seus
pontos sobre esse plano
A projeção será sempre
uma reta, excetuando
quando a reta for
perpendicular ao plano
A projeção será sempre
menor que a própria
reta, excetuando
quando esta for
paralela ao plano de
projeção.
Reta
Projeção
Projetantes
()
Projeção
em VG

4. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Determinação de reta
(’)
()
A’
A
A’
A
B’
B
(A)
(B)
B’
B
De um modo geral, a posição
de uma reta no espaço fica
bem determinada quando são
conhecidas as projeções dessa
reta sobre dois planos
ortogonais

5. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Pertinência de
ponto e reta
()
(B)
(A)
(C)
B
A C
Se o ponto (C) pertence à
reta (A)(B), a projeção C
pertence à projeção AB.
E isto vale para os planos
() e (’)!

6. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Pertinência de
ponto e reta
r'
r
A'
A
t'
t
B'
B
C'
C
E
E’
F
F’
Regra Geral: um ponto pertence a uma reta, quando as
projeções deste ponto estão sobre as projeções de
mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal do
ponto sobre a projeção horizontal da reta e a projeção
vertical também sobre a projeção vertical da reta.
Exceção: retas de perfil
(vistas adiante).

7. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Posições da reta
 Reta qualquer
 Reta horizontal (ou de
nível)
 Reta frontal
 Reta fronto-horizontal
(paralela à LT)
 Reta vertical
 Reta de topo
 Reta de perfil
 Retas pertencentes à
semiplanos ou à linha
de terra

8. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Posições da reta
Reta qualquer
(’)
()
(r)
r’
r
r'
r
A reta é oblíqua
a () e a (’).
Na épura, é caracterizada por
possuir ambas as projeções
oblíquas à LT.

9. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Posições da reta
Reta horizontal (de nível)
(’)
()
A’
A
B’
B
B
B’
A
A’
(B)
(A)
A reta é oblíqua a
(’) e paralela a ().
Na épura, a projeção
vertical é paralela à LT.
Projeção
horizontal VG.

10. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Posições da reta
Reta frontal (de frente)
(’)
()
A
A’
B
B’
B’
BA’
A
(B)
(A)
A reta é oblíqua a
() e paralela a (’).
A projeção horizontal
é paralela à LT.
Projeção
vertical VG.

11. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Posições da reta
Reta fronto-horizontal (║ à LT)
(’)
()
A
A’
B
B’
B’
B
A’
A
(B)
(A)
A reta é paralela
a (’) e a ().
Projeções vertical e
horizontal em VG.

12. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Posições da reta
Reta vertical
(’)
()
AB
A’
B’
(A)
(B)
A’
B’
AB
A reta é
perpendicular a ().
Projeção horizontal
reduzida a um ponto.
Projeção
vertical em VG.

13. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Posições da reta
Reta de topo
(’)
()
A’B’
B
A
(B)(A)
BA
A’B’
A reta é
perpendicular a (’).
Projeção vertical
reduzida a um ponto.
Projeção
horizontal em VG.

14. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Posições da reta
Reta de perfil
(’)
()
B
A
(B)
(A)
BA
A’
B’
A’
B’
É ortogonal (ou perpendicular)
à linha de terra.
Por apresentar
particularidades, será
estudada com mais
detalhes mais adiante.

15. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Retas pertencentes à
semiplanos ou à linha de terra
Tal como ocorreu quando do estudo de um
ponto, também a reta pode estar contida dentro
de qualquer dos semiplanos ou em coincidência
com a linha de terra.
No primeiro caso, terá uma
das projeções sobre a linha
de terra.
No segundo, ambas as
projeções coincidirão com
aquela linha.
Exercícios 16 a
23 da 2. lista.
Em classe os 16,
17, 19, 21 e 23.

16. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Traços de retas
(’)
()
(r)
(V)
(H)
r
r'
Chama-se “traço de
uma reta sobre um
plano” o ponto em
que essa reta fura ou
atravessa esse plano.Traço
vertical
Traço
horizontal
H’
H
V’
V
Uma reta paralela a um
plano não terá traço
sobre esse plano!
Este procedimento não se
aplica às retas de perfil.

17. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Traços de retas
Conclusões
Uma reta só possui dois traços quando é oblíqua aos
dois planos () e (’) (reta qualquer ou de perfil)
As demais retas (horizontal, frontal,
vertical e do topo) possuem apenas um
traço.
As retas fronto-horizontais não possuem
traços nos planos () e (’).

18. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Posições relativas
de duas retas
(s)
(M)
()
(r)
()
(r)
(s)
(M)
(r1)
(s1)
Retas reversas ou
‘não coplanres’ Retas coplanares
Concorrentes Paralelas

19. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Retas concorrentes
Caso I
()
r
s
M
(r)
(s)(M)
r
s
M
r'
s’M’
O ponto de interseção das projs. verticais e
das projs, horizontais estiverem numa
mesma linha de chamada

20. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Retas concorrentes
Caso II
()
rs
O
(r) (s)
(O)
rs
O
r’ s'
O’
Duas projs. de mesmo
nome se confundem e as
outras duas se cortam

21. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Retas concorrentes
Caso III
()
r
Mu
(r)
(u)
(M)
r
Mu
r'
u’
M’
Uma das projeções de uma das retas se
reduz a um ponto situado sobre a
projeção de mesmo nome da outra reta

22. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Retas paralelas
Caso I
()
r
(r)
s
(s)
r
r'
s
s’
As projeções de mesmo
nome são paralelas

23. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Retas paralelas
Caso II
()
rs
(r)
(s)
rs
r’
s'
Duas projs. de mesmo
nome se confundem e as
outras duas são paralelas

24. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Retas paralelas
Caso III
()
r
(r) (s)
s
(r)
r
(s)
s
Exercícios 24 a
39 da 2. lista.
Em classe os 24,
25, 27, 28, 29, 30,
32, 35, 38 e 39.
As suas projeções sobre um mesmo plano
se reduzem, cada uma, a um ponto

25. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
(1’)
Reta de perfil
(’)
()
r
(r)
r
r’
r’
Nem toda reta pertencente
ao plano (1`) é de perfil.
A reta vertical e a de topo
também pertencem a (1`).
Plano (1`)
perpendicular
a () e a (’)
É oblíqua a () e a (’) e
perpendicular (ou
ortogonal) à LT.
Para estudá-la
necessitamos
rebatê-la em (’)!

26. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
(1’)
Reta de perfil
Ortogonal e perpendicular à LT
(’)
()
(r)
r
r’
(1’)
(’)
()
(r)
r
r’
Perpendicular à LT.Ortogonal à LT.
Uma reta pode estar no (1’) sem ser de
perfil (vertical e de topo, por exemplo).

27. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Reta de perfil
Traços da reta de perfil
Antes de resolver na
épura, vamos ver o que
acontece no espaço.
()
(’)
(A)
(B)
B
A
A’
B’
A1 B1
(A1)
(B1)
(V)V’
VH’ H1
(H)H

28. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Reta de perfil
Traços da reta de perfil
A
A’
B’
B
(B1)
(A1)
H1
H’
V’
A1 B1
H
V
VG

29. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Reta de perfil
Traços da reta de perfil
B’
A’
B
A
B1
(B1)
A1
(A1)
V’(V)
V H1
H(H)
Regra Geral: a projeção
horizontal sempre se rebate
no sentido contrário ao dos
ponteiros do relógio.
Porém, para obtermos o
(H), o sentido é o dos
ponteiros do relógio.
1. diedro
2. diedro

30. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Pertinência de ponto a
reta de perfil
A
B
A’
B’
(M) pertence à
reta (A)(B)?
M
M’ (M1)
(B1)
(A1)
(M) Não pertence
à reta (A)(B)!
Poderíamos também ter
checado se a relação
BM/BA = B’M’/B’A’.
Se for verificada, (M)
pertence a (A)(B).

31. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Retas de perfil paralelas
ou concorrentes
(’’)
(’)
()
(B)
(A)
BA
A’
B’
(D)
(C)
DC
C’
D’
1° mesmo plano de perfil.
Parecem
paralelas
Poderiam tb ser
conc./perp.
(’’)
(’’’)
(’)
()
(E)
(F)
E F
F’
E’
Parecem
reversas
Poderiam tb
ser paralelas
ou ortogonais
AB
B’
A’ (A)
(B)
2° planos de perfil distintos.
Mesmo
abscissa.
Abscissa
distintas.
Verificamos
rebatendo em (’)

32. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Paralelismo e pertinência
de reta de perfil
As retas (A)(B) e
(C)(D), de perfil, são
coplanares.
(B1)
(A1)
(C1)
D
C’
A’
D’
A
C
B’
B
(D1)
Porém serão
concorrentes
ou paralelas?
Vemos que as retas
(A)(B) e (C)(D)
parecem ser, de fato,
paralelas entre si.
Podemos realizar este
mesmo procedimento
quando duas retas de
perfil não possuem a
mesma abscissa.

33. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
// entre 2 retas em planos
de perfil dist. – verific. s/ rebat.
B
A
A’
B’
D
C
C’
D’
M’
M
São paralelas!
B
A
A’
B’
D
C
C’
D’
M’
1
M 2
Não são
paralelas!

34. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Conc. de retas de perfil qd.
uma é de perfil – s/ rebatimento
A
B
A’
B’
D
C
C’
D’
1’
1
2’
2
M’
M
Estão alinhados
logo, são
concorrentes!
Chegaríamos ao
mesmo resultado
por rebatimento.
O’
O
Tomamos dois
pontos (1) e (2)
arbitrários.

35. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Conc. de retas de perfil qd.
uma é de perfil – c/ rebatimento
A
B
A’
B’
D
C
C’
D’
Bateu: logo
concorrentes!
O’
O
(B1)
(A1)
(O1)
Exercícios 40 a
52 da 2. lista.
Em classe
os 40, 41,
42, 43, 45
e 47.

36. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)