Fisica moderna relatividade_1

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Fisica moderna relatividade_1

  1. 1. Relatividade Restrita FSC5163 - Física 3 Aula I 1
  2. 2. Bibiografia:Capítulo 1 – Relatividade ICapítulo 2 – Relatividade II (até página 64)Física Moderna – 3ª edição - Paul A. Tipler, Ralph A. LlewellynCapítulo 42 – Relatividade página 123Fundamentos de Física – Ótica e Física Moderna – Volume 4 – 4ª edição Halliday, Resnick e Walker 2
  3. 3. Conhecimento Científico no Final do Século XIX Em 1900 alguns físicos pensavam que a física estava praticamente completa. Lord Kelvin recomendou que os jovens não se dedicassem à física, pois só faltavam alguns detalhes pouco interessantes, como o refinamento de medidas. 3
  4. 4. Conhecimento Científico no Final do Século XIX Lord Kelvin, no entanto, mencionou que havia “duas pequenas nuvens” no horizonte da física: - os resultados negativos do experimento de Michelson e Morley; - a dificuldade em explicar a distribuição de energia na radiação de um corpo negro. 4
  5. 5. Conhecimento Científico no Final do Século XIXA ruptura da física clássica ocorreu em muitos setores ao mesmo tempo:- os resultados negativos do experimento de Michelson e Morley contrariava a relatividade newtoniana;- o espectro de radiação de um corpo negro não estava de acordo com as previsões da termodinâmica;- o efeito fotoelétrico e os espectros dos átomos não podiam ser explicados pela teoria eletromagnética;- os fascinantes fenômenos associados aos raios X e à radioatividade pareciam ser totalmente fora do contexto da física clássica. 5
  6. 6. Século XX- Mecânica Quântica e Relatividade:formuladas no início do século XX, dissiparam essas “nuvens escuras” de Kelvin, e forneceram respostas para todos esses enigmas e muito mais. 6
  7. 7. Física Moderna 7
  8. 8. Princípio da Relatividade:-> Invariância das equações que expressam as leis da física: As leis da física descobertas na Terra seriam as mesmas qualquer quefosse o ponto tomado como centro, ou seja, as mesmas equações seriamobtidas fosse qual fosse a origem do sistema de coordenadas. -> O caráter relativista das leis da física começou a ser reconhecido: Muito cedo na história da física clássica: ANTES de Galileu e Newton,Nicolau Copérnico, já havia mostrado que o cálculo dos movimentos dosplanetas se tornaria mais simples e preciso se o antigo sistema aristoteliano,baseado na idéia de que a Terra é o centro do universo, fosse substituído porum modelo no qual os planetas se moviam em torno do Sol, e não a Terra. Emsua teoria, a localização da Terra não era considerada como especial ouprevilegiada. É a escolha da origem do referencial copernicano no Sol quepermite uma descrição simples do movimento planetário. 8
  9. 9. Relatividade Clássica:REFERENCIAIS: Quais são os referenciais em que as leis físicas são válidas? → Somente nos referenciais inerciais!As Leis de Newton, que descrevem o movimento em sistemas mecânicos, nãose aplicam a sistemas que possuam uma aceleração em relação a umreferencial inercial; nenhum sistema acelerado é um referencial inercial.NEWTON descobriu que, usando-se um certo tipo de referencial, torna-se muitomais simples determinar os movimentos a partir de suas causas: o referencialinercial. Qualquer referencial fixo em relação às estrelas fixas é um referencialinercial. Qualquer referencial em movimento com velocidade constante emrelação a um referencial inercial também é inercial. Como essa velocidade éarbitrária, há uma infinidade de referenciais inerciais, cada um dos quais emmovimento relativo com velocidade constante em relação a qualquer outro. Emmuitas situações, o referencial terrestre pode ser considerado inercial como boaaproximação. 9
  10. 10. r Transformação de Galileu: r = xx + yy + zz (Referencial R); ˆ ˆ ˆ r r ´= x´x´+ y´ y´+z´z´ (Referencial R´); ˆ ˆ ˆ r R = Xx + Yy + Zz (Origem O´ wrt R) ˆ ˆ ˆ Componentes cartesianas: x = x´+ X / vx = v´x + Vx / ax = a´x y = y´+Y / v y = v´y + Vy / a y = a´ y z = z´+Z / vz = v´z + Vz / az = a´z r r r r r r r r r = R + r ´ / v = v´+V / a = a´ r r r r F = ma = ma´= F ´Validade:-> os eixos de R´ permaneçam paralelos aos eixos de R (direções dos eixos R´ // aos R);-> a origem O´ se mova em MRU relativamente a R.Todo referencial que esteja se movendo com velocidade constante em relação aum referencial inercial também é um referencial inercial. As Leis de Newton sãoinvariantes em todos os referenciais inerciais. 10
  11. 11. Transformação de Galileu:As Leis de Newton são invariantes, ou seja, conservam a mesma formaem qualquer referencial que esteja se movendo com velocidadeconstante em relação a um referencial inercial.De acordo com as Leis de Newton: - NÃO EXISTE uma posição especial ou privilegiada para medir o espaço e o tempo; - NÃO EXISTE nenhuma velocidade especial ou privilegiada para o referencial inercial usado nas medidas: todos os referenciais inerciais são equivalentes; 11
  12. 12. Transformação de Galileu:É impossível detectar um movimento retilíneo uniforme de um referencial emrelação a outro qualquer. Galileu deu o exemplo de experiências de mecânicafeitas no porão de um navio, com as escotilhas fechadas, que seriam incapazesde distiguir se o navio estaria ancorado ou em movimento retilíneo uniforme.Princípio da Relatividade Newtoniana: As Leis de Newton são invariantesem todos os referenciais inerciais.• Esse princípio deixa de valer para referenciais não-inerciais: aparecem asforças de inércia (centrífuga, Coriolis, etc.).A transformação de Galileu envolve a suposição implícita deque os intervalos de tempo medidos pelos relógios dos doisobservadores são iguais, isto é, que t=t´. 12
  13. 13. A velocidade da LuzA visão de Newton foi extremamente bem-sucedida na descrição de fenômenos que vão domovimento de um projétil ao movimento de planetas, mas não conseguiu descrever osfenômenos eletromagnéticos.A Teoria do Eletromagnetismo de Maxwell, foi um dos grandes trunfos da ciência doséculo XIX. Fenômenos físicos aparentemente descorrelacionados, envolvendo a eletricidade,o magnetismo e a ótica passaram a ser compreendidos em termos de um único conjunto deleis e princípios físicos fundamentais.Uma consequência fundamental dessa teoria é a propagação de ondas eletromagnéticas.O exemplo mais importante de onda eletromagnética é a luz. Ele calculou a velocidade destasondas e pôde expressá-la em termos de duas constantes fundamentais da eletrostática e damagnetostática: a permissividade elétrica do vácuo ε0 e a permeabilidade magnética do vácuoµ0, de uma forma muito simples: 1 c= = 3 ×108 m / s ε 0 µ0 Unificação: eletricidade+ótica+magnetismo 13
  14. 14. A velocidade da LuzTodas as ondas eletromagnéticas, e não apenas a luz se propagam no vácuocom a velocidade c, não importando o valor do comprimento de onda, nem osdetalhes do processo de geração da onda - por exemplo, se o emissor da onda estáou não em movimento. Essa é uma previsão fundamental das equações de Maxwell:c é uma constante universal da Física, que representa a velocidade depropagação das ondas eletromagnéticas no vácuo. Entretanto, a noção de umavelocidade absoluta, representada por uma constante universal, está emconflito direto com algumas das noções básicas da Mecânica. Apesar da completa equivalência entre os referenciais inerciais, a descrição domovimento de uma dada partícula é diferente em dois referenciais distintos. Em rparticular, a velocidade v de uma dada partícula em relação a um referencial r v´inercial R difere da velocidade da mesma partícula em relação a um outroreferencial R´ pela lei de composição de velocidades de Galileu: r r r v = v´+V 14
  15. 15. A velocidade da LuzSe, no referencial R, a velocidade de propagação é c, então, de acordo com a leide composição de velocidades de Galileu, a velocidade no referencial R´, emmovimento com velocidade V, ao longo da mesma direção e sentido da propagaçãoda luz, seria c-V.  a velocidade da luz valeria c apenas num referencial específico  c = 1 = 3 ×10 m / s 8 é derivada das equações de Maxwell, seria preciso ε0 µ0 concluir também que estas só valeriam nesse referencial especial. Que referencial especial seria esse? Todas as ondas mecânicas correspondem à propagação deperturbações de um meio material. Onde não há meio material, não há propagação! 15
  16. 16. A velocidade da Luz Ondas numa corda - referencial “natural” é aquele em que ela está em repouso e onde cada ponto executa um movimento transversal à direção de extensão da corda, à medida que ela se propaga; - a velocidade de propagação depende das propriedades físicas da corda: v = (T/µ)1/2 Som: sólido, líquido ou gasoso. Deveria haver um meio suporte para propagação das OEM: - Se o éter existe de fato e o observador se move em relação a ele, assim como pode se mover em relação ao ar, então, devemos compor as velocidades da luz e do observador. - Se o éter não existe, a velocidade da luz é absoluta e, portanto, sua medida não dependerá do observador. 16
  17. 17. A velocidade da Luz Durante o século XIX, e mesmo nas primeiras décadas após a formulação doeletromagnetismo por Maxwell, acreditava-se que a luz também só poderia sepropagar através de um meio material.Então deveria existir um meio material ocupando todo o espaço entre asestrelas e os planetas, já que a luz se propaga das estrelas até o nosso planeta. Este meio material hipotético, conhecido pelo nome de éter, estaria emrepouso em relação às estrelas. Para ser consistente com o caráter transverso das ondas eletromagnéticas,o éter deveria ser rígido, como no exemplo da corda vibrante tensionada. Aomesmo tempo, o éter não poderia oferecer resistência ao movimento doscorpos celestes, o que parecia estar em contradição com a primeira condição! 17
  18. 18. A velocidade da Luz No referencial terrestre, a velocidade de propagação de um feixe de luz aolongo da direção de movimento do planeta Terra seria c´=c-V; onde V é avelocidade da Terra. Por conseguinte, c´≠ ce c´ variaria com a direção de propagação.Se acreditássemos na existência do éter, então, o referencial especial ondevaleriam as equações de Maxwell, e onde a velocidade da luz seria c, seria oreferencial Copernicano das estrelas fixas, pois nele o éter estaria emrepouso. Deveria ser possível, por experiências de propagação da luz, detetar ummovimento retilíneo uniforme em relação a ele, ou seja, o princípio darelatividade não seria válido na eletrodinâmica.A equação de composição das velocidades de Galileu mostra que não épossível manter o princípio da relatividade com validade simultânea das equaçõesde Maxwell e das leis da Mecânica Newtoniana: uma das duas teria de serabandonada! 18
  19. 19. A velocidade da LuzTeria de ser válida, portanto, uma das seguintes opções:1) A mecânica newtoniana e as equações de Maxwell são válidas, mas oprincípio da relatividade não se aplica a todas as leis físicas: existe um referencialabsoluto (o éter), onde a velocidade da luz é c em todas as direções, e deve serpossível, por meio de experiências eletromagnéticas, detetar um movimentoretilíneo e uniforme em relação ao referencial absoluto do éter.2) O princípio da relatividade aplica-se a todas as leis físicas e à mecânicanewtoniana é correta. Nesse caso, as equações de Maxwell teriam de sermodificadas, e deveria ser possível observar desvios das leis da eletrodinâmicaclássica.3) O princípio da relatividade aplica-se a todas as leis físicas, e asequações de Maxwell são corretas. Nesse caso, a mecânica newtoniana e atransformação de Galileu não podem ser corretas: deve ser possível observardesvios das leis da mecânica newtoniana => única compatível com os fatosexperimentais. 19
  20. 20. O experimento de Michelson e MorleyTeste experimental da primeira opção. Se ela fosse válida, deveria ser possível detetar ummovimento retilíneo uniforme em relação ao éter usando a lei de Galileu de composição develocidades c´= c-V: a velocidade da luz num referencial em movimento relativo aoéter deveria ser diferente em direções diferentes.Um referencial onde o Sol estaria em repouso é com boa aproximação um referencialinercial. A velocidade de translação da Terra (V) em relação a esse referencial é da ordem de30km/s. Pela lei de composição de velocidades, isso daria origem a desvios da ordem de V / c ≈ 10− 4na velocidade de propagação da luz.Numa série de experiências realizadas entre 1881 e 1887, Albert Michelson, emcolaboração com Edward Morley, procuraram detetar esses desvios usando ointerferômetro de Michelson. Não observaram nenhum deslocamento, o quepermite descartar a opção 1. 20
  21. 21. O experimento de Michelson e Morley - Seus braços têm comprimentos L1 e L2 - F é a fonte de luz - DF é uma placa semiespelhada divisora do feixe E2 - E1 e E2 são espelhosF L2 - A é o anteparo 1) A Terra está se movendo em relação ao hipotético éter com velocidade V na direção L1. L1 E1 Como c e V são paralelos ao longo de L1 temos: Ida: Volta: c c V V c´ c´ L1 L 2L c 2 L1c 2 L1 Tempo total para ida e volta t1 = + 1 = 2 1 2= = ao longo de L1: c −V c + V c −V 2 ( V 2  c 1− β 2 c 1 − 2  )  c  V onde β = 21 c
  22. 22. O experimento de Michelson e Morley E2 2) Percurso na direção L2. Visto do referencial do éter o percurso é oblíquo. L2 c´= c 2 − V 2 = c 1 − β 2 O1 O2 V onde β = c V c c´ c´ c V Tempo total para L2 L2 2 L2 t2 = + = ida e volta ao c 1− β 2 c 1− β 2 c 1− β 2 longo de L2: 22
  23. 23. O experimento de Michelson e Morley A diferença de caminho ótico entre os dois percursos é: 2 L1 2 L2 2  L  ∆L = c(t1 − t2 ) = − =  1 − L2  c(1 − β 2 ) c 1 − β 2 1− β 2  1− β 2    Se girarmos agora de 900 o dispositivo todo, os papéis de L1 e L2 são intercambiados. A figura observada anteriormente sofrerá um deslocamento correspondente ao caminho ótico: 2 L1 2 L2t1 = ´ ; t´2 = c 1− β 2 ( c 1− β 2 ) ∆L − ∆L = ´ 2  ( L1 + L2 ) 1 − 1   1− β 2  1− β 2     2 L2 ∆L = c(t − t ) = ´ ´ ´ L −  1 2 2  1 2  1− β  1− β  23
  24. 24. O experimento de Michelson e Morley Expansão em série de Taylor: 1 2 1V2 ( ∆L = 1 − β ) 2 −1/ 2 ≈ 1+ β = 1+ 2 2 c2 β << 1 Expansão em série de Taylor: 1 1 3 2u 2 5 ´´´ 3 u 3 (1(+)x=) 2 V  − x = −  f u f2(0) += 1 −(0)u + f ´´ (0) −+ f x + ... f x+ x ´ (0) c 2 8 2! 16 3! f ′f(u()u) = u ´ u = ⇒ f ´ (0) = 0 2 3/ 2  2 (1 − u ) 1 ∆L´ − ∆L = ( L1 + L2 ) 1 −  1 − β 1 + 2u  2 2  2  1− β  f ´´ (u ) = ´ ′′(0) = ⇒ ff (0) = 1 1 (1 − u ) 2 5/ 2  1  1  ∆L′ − ∆L = 2( L1 + L2 ) 1 − 1 − β 2 1 + β 2   2  2   1  ∆L′ − ∆L = −( L1 + L2 ) β 2 1 + β 2  ≅ −( L1 + L2 ) β 2 24  2 
  25. 25. O experimento de Michelson e Morley A diferença de caminho ótico em termos de franjas é: ∆L´ − ∆L ( L1 + L2 ) 2 δm = =− β λ λ ∆L´ − ∆L  1  (L + L )  1  δm = = 2 1 + β 2  1 2 1 − 1 − β 2  λ  2  λ  2   1 2  ( L1 + L2 )  1 2  = 2 − β  1 + β   2  λ  2  (L + L ) ≅ − 1 2 β2 λ 25
  26. 26. O experimento de Michelson e Morley Ou seja, o fenômeno é de 2ª ordem em V/c (β). Por ser tão pequeno que se necessita de uma técnica interferométrica! Na 1ª experiência de Michelson e Morley (1881), era L1 ~ L2 ~ 1,2m e λ = 6x10-7m (luz amarela) |δm|~0,04 de franja -> Não observou Na experiência (1887), era L1 ~ L2 ~ 11m |δm|~0,4 de franja -> colocaram como limite δm<0,01 -> não observaram nenhum deslocamento Vários outros experimentos feitos não observam nenhum deslocamento, o que permite descartar a opção 1. -Resultados experimentais, descartam modificações na eletrodinâmica preditas pela teoria de Ritz, por medidas diretas da velocidade da luz na desintegração π0 -> γ + γ, realizadas no CERN em 1964 (c´=c+kv, k = 0,0 +- 1,3)x10-4. 26
  27. 27. Os Postulados de Einstein No início do século XX, a Física se encontrava num impasse. E ao invés de modificar o Eletromagnetismo de Maxwell, era necessário romper com a mecânica newtoniana. Einstein apresentou as bases da Teoria da Relatividade no artigo “Sobre a Eletrodinâmica de Corpos em Movimento”. Para derivar a lei de composição das velocidades de Galileu, é preciso adotar o conceito newtoniano de tempo absoluto, isto é, supor que o tempo é o mesmo para todos os referenciais inerciais. Einstein descartou essa hipótese (que parece tão natural) e REFORMULOU o conceito de tempo, levando a uma completa revolução das leis da Mecânica. 27
  28. 28. Teoria da Relatividade: -> É composta por duas teorias bem diferentes, a restrita (1905) e a geral (1916).RESTRITA:trata da comparação entre os movimentos observados em diferentesreferenciais que estejam se movendo com velocidade constante uns emrelação aos outros.GERAL:trata de referenciais acelerados e dos efeitos da gravidade. Éimportante para a cosmologia e para o estudo dos eventos que ocorremnas proximidades de massas muito grandes (estrelas). 28
  29. 29. Os Postulados de EinsteinA Teoria da Relatividade Restrita de Einstein é derivada a partir de doispostulados fundamentais:Princípio da Relatividade Restrita: As leis físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais. As equações de Maxwell são confirmadas como leis físicas válidas, e daí decorre:Princípio da constância da velocidade da luz: A velocidade da luz no vácuo (OEM), c, é a mesma em todas as direções e em todos os referenciais inerciais, e é independente do movimento da fonte. 29
  30. 30. Tempo e SimultaneidadeAnalisar detalhadamente o problema da contagem de tempo, tomando como baseos dois postulados anteriores. Os intervalos de tempo entre dois eventos não são, em geral, iguais para diferentes referenciais.  O conceito de tempo está diretamente relacionado à noção de eventos simultâneos.  A noção de simultaneidade não é absoluta: 2 eventos que são simultâneos para um determinado referencial inercial ocorrem em instantes de tempo diferentes para outro referencial. 30
  31. 31. Tempo e Simultaneidade Uma fonte de luz (lâmpada), F, e dois detetores de EXEMPLO: luz, D1 e D2, são fixados sobre uma plataforma que se movimenta com velocidade V constante ao longo do eixo OX do referencial S (que supomos ser inercial). - D1, D2 e F estão alinhados ao longo da direção paralela ao eixo OX; - As distâncias entre D1 e F e entre F e D2, são iguais. - O referencial S´ acompanha o movimento da plataforma e, portanto, está em movimento em relação a S com velocidade V ao longo do eixo OX  é o referencial próprio ou referencial de repouso do conjunto (por construção, a fonte, os detetores estão em repouso no referencial S´). 31
  32. 32. Tempo e Simultaneidade EXEMPLO:Referencial S´ A fonte F é ligada. A luz emitida por ela se propaga até chegar aos detetores D1 e D2. - Pelo princípio da relatividade, a propagação da luz em S´ ocorre como em qualquer outro referencial inercial. Para ambos os sentidos de propagação ao longo do eixo O´X´, a velocidade vale c. - Como os detetores D1 e D2 estão à mesma distância da fonte F, eles irão detetar a luz simultanemente. - O início da detecção de luz por D1 e D2 do ponto de vista do referencial S´ são silmultâneos. 32
  33. 33. Tempo e Simultaneidade - Pelo princípio da invariância da velocidade da luz o Referencial S estado de movimento da fonte F (com velocidade V) não modifica a velocidade de propagação da luz, que também vale c para os dois sentidos de propagação ao longo do eixo X. - Enquanto a luz se propaga a partir de F, o detetor D1 se aproxima e detetor D2 se afasta de F. - Como a velocidade é a mesma nos dois sentidos de propagação, a detecção em D1 é anterior à detecção de D2 do ponto de vista do referencial S.Os dois eventos são simultâneos do ponto de vista do referencial S´ masnão do ponto de vista do referencial S → A simultaneidade é relativa. Ela nãoé uma propriedade absoluta ou intrínseca de dois eventos dados, devendosempre ser definida em relação a um dado referencial. 33
  34. 34. Intervalo relativístico No espaço-tempo quadridimensional da relatividade, pode-se definiruma medida para um dado par de eventos, chamada intervalorelativístico que é uma propriedade intrínseca do par de eventosconsiderado e, portanto, é invariante quando tomamos diferentesreferenciais inerciais.Rotações Espaciais A distância entre dois pontos espaciais quaisquer P1 e P2 é invariantepor qualquer rotação dos eixos coordenados, porque ela representauma distância (ou comprimento) que é uma propriedade intrínseca dopar de pontos P1 e P2 e, portanto, independe da escolha dos eixoscoordenados: P P2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 + ( z2 − z1 ) 2 1 34
  35. 35. Intervalo relativístico- A fonte F é ligada e começa a emitir luz- O detetor D começa a detectar a luz emitida por F.Num certo referencial inercial S: - as coordenadas do evento “fonte é ligada” são (t1,x1,y1,z1); - as coordenadas do evento “detecção por D” são (t2,x2,y2,z2);- a distância percorrida pela luz da fonte até o detetor vale: d = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) 2 2 2- O tempo transcorrido entre o instante da emissão da luz e o instante de sua detecção vale t2 – t1. 35
  36. 36. Intervalo relativísticoPelo postulado da invariância da velocidade da luz, a velocidade depropagação vale c no referencial S, mesmo que a fonte esteja em movimentoem relação a S.Portanto, a distância percorrida satisfaz a relação: d = c(t2-t1)E as coordenadas espaço-temporais dos eventos satisfazem a equação: ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 + ( z2 − z1 ) 2 = c(t2 − t1 ) 36
  37. 37. Intervalo relativísticoReferencial S´: descrição dos mesmos dois eventosAs coordenadas espaço-temporais serão, em geral, diferentes:evento “fonte ligada”: (t´1,x´1,y´1,z´1)evento “detecção por D”: (t´2,x´2,y´2,z´2)Entretanto, a equação anterior continuará sendo satisfeita, já que pelopostulado da invariância da velocidade da luz, a velocidade depropagação também vale c em S´: ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 + ( z2 − z1 ) 2 = c(t2 − t1 ) ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 37
  38. 38. Intervalo relativísticoO que as coordenadas dos eventos nos referenciais S e S´ têm emcomum???Ambos os conjuntos satisfazem à mesma equação!OBJETIVO: definir um intervalo relativístico (∆ s) que seja invariante quando muda-se de referencial.Referencial S: ( ∆s ) 2 = c 2 (t2 − t1 ) 2 − ( x2 − x1 ) 2 − ( y2 − y1 ) 2 − ( z2 − z1 ) 2 144444 2444444 4 3 c 2 ( t2 −t1 )2 ( ∆s ) = 0 2 38
  39. 39. Intervalo relativísticoO que as coordenadas dos eventos nos referenciais S e S´ tem emcomum???Referencial S´: c 2 ( t´ −t1 ) 2 ´ 6444447444448 4 2 4 ( ) 2 ∆´ s = c 2 (t2 −t1 ) 2 −( x2 − x1 ) 2 −( y2 − y1 ) 2 −( z´ − z1 ) 2 ´ ´ ´ ´ ´ ´ 2 ´ ( ∆s ) 2 ´ =0 Portanto, ∆s=∆s´ pode ser nulo, positivo ou negativo. Embora o transcurso de tempo seja diferente para diferentes referenciais, é possível definir uma grandeza invariante: o intervalo relativístico. Todos os referenciais inerciais medem o mesmo intervalo relativístico entre dois eventos dados. 39
  40. 40. Exercícios:
  41. 41. Solução:
  42. 42. Solução:

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