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8º Ano Ensino Fundamental
Professora Carmen Beatriz Pacheco
OS NOTÁVEIS DE UM
TRIÂNGULO
JUSTIFICATICA
O estudo da Geometria constitui parte
importante no currículo, visto que os alunos
desenvolvem a capacidade de compreender,
descrever e representar de forma organizada o
espaço em que vivem.
Este projeto fará uso do Software Régua e Compasso
onde poderemos explorar a geometria com maior
agilidade e melhor visualização, proporcionando
aos alunos, conteúdos do currículo de maneira que
a construção do conhecimento seja de forma
prazerosa e efetiva.
Vamos agora construir dois triângulos com
as mesmas dimensões usando a cartolina.
Agora pense e responda:
Existe um ponto D pertencente ao triângulo
que seja possível suspendê-lo através de
um barbante, deixando-o em equilíbrio?
Procurem este ponto, de modo a
suspender o triângulo,
equilibrando-o através do
barbante
Existe alguma técnica para resolver
este problema?
Vamos assistir ao vídeo
” A COMUNIDADE”
 Você gostou do vídeo?
 O que você viu?
 O que você sentiu?
 O que ouviu?
 O que você aprendeu?
 Utilize agora o outro triângulo que você
construiu e tente encontrar o seu ponto de
equilíbrio, lembrando das informações do vídeo.
Leitura de imagem relativa às informações contidas no vídeo: O que você viu? O que você sentiu? O que ouviu? O que você aprendeu?Leitura de imagem relativa às informações contidas no vídeo: O que você viu? O que você sentiu? O que ouviu? O que você aprendeu?Leitura de imagem relativa às informações contidas no vídeo: O que você viu? O que você sentiu? O que ouviu? O que você aprendeu?Leitura de imagem relativa às informações contidas no vídeo: O que você viu? O que você sentiu? O que ouviu? O que você aprendeu?
Pesquise na internet e/ ou livros sobre os os
pontos notáveis de um triângulo e
exemplos práticos.
Após a pesquisa, com o seu grupo, faça
uma breve explanação do seu trabalho.
Conhecendo o software Régua e Compasso
É um programa de geometria dinâmica, isto é
sua função é possibilitar o trabalho com
construções geométricas que podem ser
alteradas movendo um dos pontos básicos,
permitindo a preservação das propriedades
originais. Dessa forma permite explorar diversos
aspectos relativos à Geometria Plana
Euclidiana e à Geometria Analítica.
www.professores.uff.br
BARRA DE FERRAMENTAS
CAIXA PARA NOMEAR PONTO, RETA, ÂNGULO
CIRCUNFERÊNCIA
CAIXA PARA EDITAR UMA EXPRESSÃO
CONSTRUÇÃO DO BARICENTRO DE UM
TRIÂNGULO
Processo de construção:
1- Determinar três pontos A, B e C.
2- Na função segmento traçar segmento de reta
dos pontos AB, BC e CA.
3- Na função ponto médio determinar o ponto
médio de cada um desses segmentos.
4- Na função ponto marcar os pontos D, E e F,
pontos médios dos lados.
5- Na função segmento traçar a mediana de
cada lado do triângulo.
6- Na função ponto marcar G ponto de
intersecção das medianas.
7- G é o Baricentro do triângulo.
8- Com a ferramenta mover ponto, mover os
vértices A, B e C.
* O que acontece com a figura?
* E se movimentarmos os pontos médios do lado
do triângulo: D, E e F, o que acontece? Fazer
todos os registros.
* Explique com suas palavras o que é o baricentro
de um triângulo.
Mediana
 A mediana de um triângulo é o segmento
compreendido entre o vértice e o ponto
médio do lado oposto a esse vértice.
 As três medianas de uma triângulo
encontram-se em um ponto interior
chamado de BARICENTRO.
BARICENTRO
 O baricentro também pode ser
chamado de centro de gravidade do
triângulo, dividindo assim cada
mediana dentro da razão de 2:1.
Construção do circuncentro de um triângulo
Processo de construção:
1- Desenhar um triângulo ABC.
2-Marcar os pontos médios D, E e F dos lados AB,
BC e AC.
3- Na função perpendicular, traçar a
perpendicular de cada lado do triângulo
passando pelo seu médio. Cada reta traçada
representa a mediatriz de um lado do triângulo.
4- Pelas construções feitas o que você entende por
mediatriz?
5- Marcar o ponto de intersecção das três
perpendiculares e nomeá-la por T Esse ponto
recebe o nome de circuncentro.
6- Registrar o que você entendeu sobre o
significado de circuncentro.
7- Com a ferramenta mover os pontos mover os
vértices A, B ou C do triângulo, o ponto G,
circuncentro do triângulo passa a ocupar
diferentes localizações:
a) Quando o circuncentro estará na região
interna da figura?
b) Quando o circuncentro estará sobre um dos
lados da figura?
c) Quando o circuncentro estará na região
externa da figura?
8-Por que o circuncentro é equidistante dos
vértices do triângulo ABC?
Mediatriz
A mediatriz de cada lado do triângulo
é uma reta perpendicular, passando
pelo ponto médio do lado do
triângulo.
As três mediatrizes de um triângulo
encontram-se em um ponto chamado
CIRCUNCENTRO.
CIRCUNCENTRO
CIRCUNCENTRO
ponto
interior do
Triângulo
ponto
exterior
ao
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CIRCUNCENTRO
No triângulo retângulo é o ponto médio da
Hipotenusa
Construção do ortocentro de um
triângulo
Processo de construção:
1- Desenhar um triângulo ABC.
2- Na função perpendicular, traçar a
perpendicular de cada lado do triângulo
passando pelo vértice oposto a cada lado.
3- Marcar o ponto de intersecção de cada lado e
nomeá-lo por “ O “.
4- O ponto “ O ” é o ortocentro do triângulo ABC.
5- Escreva o que você entendeu sobre o que vem a
ser o ortocentro por meio das construções.
6- Movimentar o vértice A e observar as medidas
dos ângulos internos da figura e registrar o que
acontece quando:
a) o ortocentro está na parte interna do
triângulo?
b) o ortocentro está na parte externa do
triângulo?
c) o ortocentro coincide com um dos três vértices
do triângulo?
7- Mover o vértice B, ou o vértice C do triângulo e
verificar se ocorrem as mesmas observações
anteriores.
Altura
A altura de um triângulo é um segmento
perpendicular a um lado de um triângulo
e de origem no vértice oposto a esse lado.
As três alturas de um triângulo encontram-
se em um único ponto chamado de
ORTOCENTRO.
O ORTOCENTRO pode ser externo ao
triângulo.
O ORTOCENTRO, no triângulo acutângulo,
é um ponto interno.
O ORTOCENTRO no triângulo
obtusângulo é um ponto externo
O ORTOCENTRO no triângulo retângulo é o
vértice do ângulo de 90°.
Construção do Incentro de um
triângulo
Processo de construção:
1- Desenhar um triângulo ABC.
2- Na função bissetriz traçar a bissetriz de
cada ângulo desse triângulo.
3- Marcar a intersecção das bissetrizes.
Nomeá-la com a letra I.
4- O que você entendeu por bissetriz?
5- “ I “ é um elemento de destaque no
triângulo. Por quê? Que nome ele recebe?
6- Por que o ponto “ I “ equidista dos lados
do triângulo?
7- De acordo com a sua construção,
observação e análise, o que vem a ser
incentro?
Bissetriz
As três bissetrizes internas do triângulo
encontram-se em um único ponto
interior chamado de INCENTRO.
O INCENTRO é o único ponto
equidistante dos três lados.
O INCENTRO é o centro de uma
circunferência inscrita no triângulo.
INCENTRO
Em um triângulo isósceles a Mediana,
Bissetriz, Mediatriz e a Altura relativa a
base ( lado diferente), coincidem-se.
No triângulo equilátero, a Bissetriz, a
Mediana e a Altura são coincidentes.
Portanto, em um triângulo equilátero, o
ORTOCENTRO, INCENTRO, BARICENTRO e
CIRCUNCENTRO são coincidentes
Desafios
Utilizando o Software régua e compasso e utilizando os
conceitos de Pontos Notáveis de um triângulo, resolver
em dupla os seguintes problemas:
1-Sua família tem um terreno em forma triangular. Eles
querem instalar uma luminária em cada lateral do
terreno de modo a gastar a menor quantidade possível
de fio para instalar três luminárias, uma em cada
parede (aresta), do terreno a partir de um ponto
interior do terreno equidistante das três laterais do
triângulo.
● Como determinar um ponto equidistante de todas as
paredes (arestas) de um triângulo?
2- Onde uma empresa de telefonia deve instalar
uma antena para celulares em um bairro de
uma cidade, considerando três pontos quaisquer
deste bairro, de tal forma que o sinal do celular
atinja, estes três pontos, com a mesma
intensidade do sinal do celular.
3- Dados os pontos A, B e C, determine a
circunferência que os contenha esses pontos.
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Arquimedes

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Os notáveis de um triângulo

  • 1. 8º Ano Ensino Fundamental Professora Carmen Beatriz Pacheco OS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO
  • 2. JUSTIFICATICA O estudo da Geometria constitui parte importante no currículo, visto que os alunos desenvolvem a capacidade de compreender, descrever e representar de forma organizada o espaço em que vivem. Este projeto fará uso do Software Régua e Compasso onde poderemos explorar a geometria com maior agilidade e melhor visualização, proporcionando aos alunos, conteúdos do currículo de maneira que a construção do conhecimento seja de forma prazerosa e efetiva.
  • 3. Vamos agora construir dois triângulos com as mesmas dimensões usando a cartolina. Agora pense e responda: Existe um ponto D pertencente ao triângulo que seja possível suspendê-lo através de um barbante, deixando-o em equilíbrio?
  • 4. Procurem este ponto, de modo a suspender o triângulo, equilibrando-o através do barbante Existe alguma técnica para resolver este problema?
  • 5. Vamos assistir ao vídeo ” A COMUNIDADE”
  • 6.  Você gostou do vídeo?  O que você viu?  O que você sentiu?  O que ouviu?  O que você aprendeu?  Utilize agora o outro triângulo que você construiu e tente encontrar o seu ponto de equilíbrio, lembrando das informações do vídeo. Leitura de imagem relativa às informações contidas no vídeo: O que você viu? O que você sentiu? O que ouviu? O que você aprendeu?Leitura de imagem relativa às informações contidas no vídeo: O que você viu? O que você sentiu? O que ouviu? O que você aprendeu?Leitura de imagem relativa às informações contidas no vídeo: O que você viu? O que você sentiu? O que ouviu? O que você aprendeu?Leitura de imagem relativa às informações contidas no vídeo: O que você viu? O que você sentiu? O que ouviu? O que você aprendeu?
  • 7. Pesquise na internet e/ ou livros sobre os os pontos notáveis de um triângulo e exemplos práticos. Após a pesquisa, com o seu grupo, faça uma breve explanação do seu trabalho.
  • 8. Conhecendo o software Régua e Compasso É um programa de geometria dinâmica, isto é sua função é possibilitar o trabalho com construções geométricas que podem ser alteradas movendo um dos pontos básicos, permitindo a preservação das propriedades originais. Dessa forma permite explorar diversos aspectos relativos à Geometria Plana Euclidiana e à Geometria Analítica. www.professores.uff.br
  • 9.
  • 11. CAIXA PARA NOMEAR PONTO, RETA, ÂNGULO CIRCUNFERÊNCIA
  • 12. CAIXA PARA EDITAR UMA EXPRESSÃO
  • 13. CONSTRUÇÃO DO BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO Processo de construção: 1- Determinar três pontos A, B e C. 2- Na função segmento traçar segmento de reta dos pontos AB, BC e CA. 3- Na função ponto médio determinar o ponto médio de cada um desses segmentos. 4- Na função ponto marcar os pontos D, E e F, pontos médios dos lados. 5- Na função segmento traçar a mediana de cada lado do triângulo.
  • 14. 6- Na função ponto marcar G ponto de intersecção das medianas. 7- G é o Baricentro do triângulo. 8- Com a ferramenta mover ponto, mover os vértices A, B e C. * O que acontece com a figura? * E se movimentarmos os pontos médios do lado do triângulo: D, E e F, o que acontece? Fazer todos os registros. * Explique com suas palavras o que é o baricentro de um triângulo.
  • 15. Mediana  A mediana de um triângulo é o segmento compreendido entre o vértice e o ponto médio do lado oposto a esse vértice.  As três medianas de uma triângulo encontram-se em um ponto interior chamado de BARICENTRO.
  • 17.  O baricentro também pode ser chamado de centro de gravidade do triângulo, dividindo assim cada mediana dentro da razão de 2:1.
  • 18. Construção do circuncentro de um triângulo Processo de construção: 1- Desenhar um triângulo ABC. 2-Marcar os pontos médios D, E e F dos lados AB, BC e AC. 3- Na função perpendicular, traçar a perpendicular de cada lado do triângulo passando pelo seu médio. Cada reta traçada representa a mediatriz de um lado do triângulo. 4- Pelas construções feitas o que você entende por mediatriz?
  • 19. 5- Marcar o ponto de intersecção das três perpendiculares e nomeá-la por T Esse ponto recebe o nome de circuncentro. 6- Registrar o que você entendeu sobre o significado de circuncentro. 7- Com a ferramenta mover os pontos mover os vértices A, B ou C do triângulo, o ponto G, circuncentro do triângulo passa a ocupar diferentes localizações: a) Quando o circuncentro estará na região interna da figura?
  • 20. b) Quando o circuncentro estará sobre um dos lados da figura? c) Quando o circuncentro estará na região externa da figura? 8-Por que o circuncentro é equidistante dos vértices do triângulo ABC?
  • 21. Mediatriz A mediatriz de cada lado do triângulo é uma reta perpendicular, passando pelo ponto médio do lado do triângulo. As três mediatrizes de um triângulo encontram-se em um ponto chamado CIRCUNCENTRO.
  • 24. CIRCUNCENTRO No triângulo retângulo é o ponto médio da Hipotenusa
  • 25. Construção do ortocentro de um triângulo Processo de construção: 1- Desenhar um triângulo ABC. 2- Na função perpendicular, traçar a perpendicular de cada lado do triângulo passando pelo vértice oposto a cada lado. 3- Marcar o ponto de intersecção de cada lado e nomeá-lo por “ O “. 4- O ponto “ O ” é o ortocentro do triângulo ABC. 5- Escreva o que você entendeu sobre o que vem a ser o ortocentro por meio das construções.
  • 26. 6- Movimentar o vértice A e observar as medidas dos ângulos internos da figura e registrar o que acontece quando: a) o ortocentro está na parte interna do triângulo? b) o ortocentro está na parte externa do triângulo? c) o ortocentro coincide com um dos três vértices do triângulo? 7- Mover o vértice B, ou o vértice C do triângulo e verificar se ocorrem as mesmas observações anteriores.
  • 27. Altura A altura de um triângulo é um segmento perpendicular a um lado de um triângulo e de origem no vértice oposto a esse lado. As três alturas de um triângulo encontram- se em um único ponto chamado de ORTOCENTRO. O ORTOCENTRO pode ser externo ao triângulo.
  • 28. O ORTOCENTRO, no triângulo acutângulo, é um ponto interno.
  • 29. O ORTOCENTRO no triângulo obtusângulo é um ponto externo
  • 30. O ORTOCENTRO no triângulo retângulo é o vértice do ângulo de 90°.
  • 31. Construção do Incentro de um triângulo Processo de construção: 1- Desenhar um triângulo ABC. 2- Na função bissetriz traçar a bissetriz de cada ângulo desse triângulo. 3- Marcar a intersecção das bissetrizes. Nomeá-la com a letra I. 4- O que você entendeu por bissetriz?
  • 32. 5- “ I “ é um elemento de destaque no triângulo. Por quê? Que nome ele recebe? 6- Por que o ponto “ I “ equidista dos lados do triângulo? 7- De acordo com a sua construção, observação e análise, o que vem a ser incentro?
  • 33. Bissetriz As três bissetrizes internas do triângulo encontram-se em um único ponto interior chamado de INCENTRO. O INCENTRO é o único ponto equidistante dos três lados. O INCENTRO é o centro de uma circunferência inscrita no triângulo.
  • 35. Em um triângulo isósceles a Mediana, Bissetriz, Mediatriz e a Altura relativa a base ( lado diferente), coincidem-se. No triângulo equilátero, a Bissetriz, a Mediana e a Altura são coincidentes. Portanto, em um triângulo equilátero, o ORTOCENTRO, INCENTRO, BARICENTRO e CIRCUNCENTRO são coincidentes
  • 36. Desafios Utilizando o Software régua e compasso e utilizando os conceitos de Pontos Notáveis de um triângulo, resolver em dupla os seguintes problemas: 1-Sua família tem um terreno em forma triangular. Eles querem instalar uma luminária em cada lateral do terreno de modo a gastar a menor quantidade possível de fio para instalar três luminárias, uma em cada parede (aresta), do terreno a partir de um ponto interior do terreno equidistante das três laterais do triângulo. ● Como determinar um ponto equidistante de todas as paredes (arestas) de um triângulo?
  • 37. 2- Onde uma empresa de telefonia deve instalar uma antena para celulares em um bairro de uma cidade, considerando três pontos quaisquer deste bairro, de tal forma que o sinal do celular atinja, estes três pontos, com a mesma intensidade do sinal do celular. 3- Dados os pontos A, B e C, determine a circunferência que os contenha esses pontos.
  • 38. “Aquele que tentou e não conseguiu é superior aquele que nada tentou.” Arquimedes