6 vibração de sistemas continuos

2.353 visualizações

Publicada em

vibração de sistemas continúos.

Publicada em: Tecnologia
0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
2.353
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
4
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
81
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

6 vibração de sistemas continuos

  1. 1. Vibração e Ruido Universidade Metodista de AngolaFaculdade de Engenharia Mecâtronica Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala 1
  2. 2. Programa 5-Vibração de Sistemas Continuos  5.1-Introdução  5.2- Vibração transversal de cordas e cabos  5.3- Vibração longitudinal de barras  5.4-Vibração lateral de Vigas  5.5-Metodo de Rayleigh  5.6-Metodo de Rayleigh-Ritz Davyd da Cruz Chivala 2
  3. 3. 5-Vibração de Sistemas Continuos 5.1-Introdução Ate agora vimos casos discretos aonde a massa a mola e amortecedor são assumidos estar em certos pontos discretos. Contudo, exitem sistemas aonde esta abordagem não é possivel. Para tal nos devemos considerar uma distribuição continua da massa, mola e amortecedor, e assumimos que todas as infinitas partes que constituem o corpo vibram livremente, por esta razão diz-se que sistemas continuos são sistemas com infinitos graus de liberdade Davyd da Cruz Chivala 3
  4. 4. 5-Vibração de Sistemas Continuos 5.1-Introdução Quando o sistema é modelado como discreto as equações diferenciais ordinarias que descrevem os movimentos são simples de resolver, por outro lado quando sistemas é modelado como continuo as equaçes diferenciais parciais que o descrevem tem solução mais complexa. A equação diferencial parcial para obtenção das frequencias é de quarta ordem e para resolução da mesma teremos de recorrer as soluçoes iniciais e as condições de fronteira. Davyd da Cruz Chivala 4
  5. 5. 5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos Considere o sistema constituido de um cabo de ( ) comprimento l sugeito a uma força f x, t por unidade de comprimento como mostrado na figura abaixo Davyd da Cruz Chivala 5
  6. 6. 5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos ( ) O deslocamento transversal w x, t é assumido como sendo pequeno. Olhando para o troço AB Davyd da Cruz Chivala 6
  7. 7. 5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos A somatoria de forças que actuam sobre a corda é: ∂2w (P + dP )sin (θ + dθ ) + f (x, t ) − P sin θ = ρdx 2 (1) ∂t Aonde P é a força nas extremidades da secção AB, ρ a massa por unidade de comprimento, e θ o angulo que a AB faz com o eixo x. para o comprimento elementar dx temos: ∂P dP = dx ∂x ∂w sin θ ≈ tan θ = ∂x Davyd da Cruz Chivala 7
  8. 8. 5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos ∂w ∂ 2 w E sin (θ + dθ ) ≈ tan (θ + dθ ) = + 2 dx ∂x ∂x Simplificando (1) vem: ∂  ∂w( x, t )  ∂ 2 w(x, t )  P ∂x  + f (x, t ) = ρ (x ) ∂t 2 ∂x   se admitir-mos que a corda é uniforme e que a força longuitudinal é constante teremos então: ∂ 2 w( x, t ) ∂ 2 w(x, t ) + f ( x, t ) = ρ P ∂x 2 ∂t 2 Davyd da Cruz Chivala 8
  9. 9. 5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos ( ) Se f x, t = 0 , o sistema vibra em vibração livre e a equação sera: ∂ 2 w( x, t ) ∂ 2 w( x, t ) P =ρ ou ∂x 2 ∂t 2 ∂ 2 w( x, t ) ∂ 2 w( x, t ) c2 = (2) que é a equacão da onda. ∂x 2 ∂t 2 P c = 2 ρ Davyd da Cruz Chivala 9
  10. 10. 5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos A equação (2) é resolvida por separação de variaveis, ou seja tem como solução: ( ) w x, t = W x T t ( ) ()(3) Subistindo em (2) obtemos: c 2 2 dW (x ) = 1 d 2T (t ) (4) 2 2 W dx T dt Verifica-se que o lado esquerdo tem dependençia apenas de x e o lado direito apenas de t, então o valor comun a estas equações é uma constante qualquer a . Davyd da Cruz Chivala 10
  11. 11. 5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos dito isto tens que: : c d W (x ) 1 d T (t ) 2 2 2 2 = 2 =a (5) W dx T dt Que é escrita d 2W (x ) a 2 − 2W =0 (6) dx c d 2T (t ) 2 − aT = 0 (7) dt Davyd da Cruz Chivala 11
  12. 12. 5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos Sendo que a e uma constante geralmente negativa podemos então escrever a = −ω 2 subistituindo em (6) e (7) obtemos: d W (x ) ω 2 2 2 + 2 W =0 (8) dx c d 2T (t )  2 (9) 2 +ω T = 0 dt Que tem soluções dada por: Davyd da Cruz Chivala 12
  13. 13. 5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos ωx ωx W (x ) = A cos + B sin (10) c c T (t ) = C cos ωt + D sin ωt (11) Aonde ω é a frequencia de vibração e A, B,C e D contantes obtidas pelas condições de fronteira e condições iniciais. Davyd da Cruz Chivala 13
  14. 14. 5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos  Condições de fronteira ∂w( x, t )w( x = 0, t ) = 0 P = −kw(w = l , t ) ∂x x =l Davyd da Cruz Chivala 14
  15. 15. 5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos Condições de fronteira ∂w( x, t ) =0 ∂x x =0,l Davyd da Cruz Chivala 15
  16. 16. 5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos Exemplo 1: determine a equação de movimento de uma corda fixada nos dois extremos? Atendendo a que a corda esta fixada nos dois extremos teremos condições de fronteira dada por w( x = 0, t ) = 0 w(x = l , t ) = 0 Subistituindo em 10 teremos: ωl B sin =0 sendo que B não pode ser igual a zeroteremos c Davyd da Cruz Chivala 16
  17. 17. 5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra Considere uma barra elastica de comprimento l e de secção transversal variavel A(x) w( x = 0, t ) = 0 w(x = l , t ) = 0 ∂u P = σA = EA ∂x (1) σ tensão axial , E modulo de elasticidade do corpo Davyd da Cruz Chivala 17
  18. 18. 5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra ∂u U deslocamento axial e extensão axial. Se assumir-mos a existençia∂x de forças externas por unidade de comprimento f(x,t), teremos que a soma das forças será: ∂ 2u (P + dP ) + fdx − P = ρAdx 2 ∂t ∂P dP = dx ∂x teremos Davyd da Cruz Chivala 18
  19. 19. 5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra ∂P ∂u 2 dx + fdx = ρAdx 2 (2) ∂x ∂t Subistituindo 1 em 2 teremos ∂  ∂u (x, t ) ∂ 2u  EA(x ) ∂x  + f (x, t ) = ρA( x ) ∂t 2 (3)∂x   Para uma barra uniforme teremos: Davyd da Cruz Chivala 19
  20. 20. 5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra ∂ 2 u ( x, t ) ∂ 2 u ( x, t )EA + f (x, t ) = ρA ∂x 2 ∂t 2 Se vibra livremente: ∂ 2 u ( x, t ) ∂ 2 u ( x, t ) c2 = (4) ∂x 2 ∂t 2 E c= ρ Davyd da Cruz Chivala 20
  21. 21. 5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra  A solução será dada por:  ωx ωx u (x, t ) = U (x )T (t ) =  A cos + B sin (C cos ωt + D sin ωt )  c c   Aonde U(x) depende simplemente de x e T(t) depende do tempo. Davyd da Cruz Chivala 21
  22. 22. 5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra Condições de Fronteira ∂u (0, t ) = 0u (0, t ) = 0 ∂x u (0, t ) = 0 ∂u∂u (l , t ) = 0 (l , t ) = 0∂x u (l , t ) = 0 ∂x Davyd da Cruz Chivala 22
  23. 23. 5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra Exemplo: calcule a frequência natural da barra apresentada na figura abaixo Em x=o teremos u(0,t)=0 ou A=0 ∂u ∂ 2u Em x=l teremos AE ( ) l, t = −M (l , t ) ∂x ∂t 2 Davyd da Cruz Chivala 23
  24. 24. 5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra  Teremos então: ω ωl ωlAE cos (cos ωt + D sin ωt ) = Mω sin (cos ωt + D sin ωt ) 2 c c c  Simplificando teremos: ω ωl ωl AE cos = Mω sin 2 c c c  ou α tan α = β ωl AEl Aρl m α = e β= 2 = = c cM M M Davyd da Cruz Chivala 24
  25. 25. 5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra Estimando o valor de ω com base no racio β teremos Valor de β 0.01 0.1 1 10.0 100.0 ω 0.1 0.3113 0.8602 1.4291 1.5549 Davyd da Cruz Chivala 25
  26. 26. 5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas Consideremos o diagrama de corpo livre da viga apresentado abaixo: Davyd da Cruz Chivala 26
  27. 27. 5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas Secçionado-a teremos: M(x,t) momento flector , V(x,t) esforço cortante e f(x,t) força externa por unidade de comprimento Davyd da Cruz Chivala 27
  28. 28. 5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas a soma de força aplicada a viga será: ∂2w − (V + dV ) + f (x, t )dx + V = ρA( x)dx 2 ( x, t ) (1) ∂t Somando os momentos de força aplicadop em O teremos: (M + dM ) − (V + dV )dx + f (x, t )dx − M = 0 dx (2) 2 ∂V ∂M dV = dx e dM = dx ∂x ∂x Davyd da Cruz Chivala 28
  29. 29. 5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas arranjando as equações (1) e (2) teremos: ∂V ∂2w (x, t ) + f (x, t ) = ρA( x) 2 (x, t ) (3) ∂x ∂t ∂M ( x, t ) − V ( x, t ) = 0 (4) ∂x Subistituindo (4) em (3) teremos: ∂2M ∂2w − 2 (x, t ) + f (x, t ) = ρA( x) 2 ( x, t ) ∂x ∂t (5) Davyd da Cruz Chivala 29
  30. 30. 5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas Usando a teoria de Euler-Bernoulli: ∂2w M (x, t ) = EI (x ) 2 ( x, t ) (6) ∂x Subistituindo (6) em (5) teremos:∂ 2  ∂ w 2  ∂ w 2   EI ( x ) (x, t ) + ρA(x ) 2 (x, t ) = f (x, t ) (7)∂x  2 ∂x 2  ∂t Para vigas uniforme teremos: ∂4w ∂2w EI 4 (x, t ) + ρA 2 ( x, t ) = f (x, t ) (8) ∂x ∂t Davyd da Cruz Chivala 30
  31. 31. 5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas Para vivração livre teremos: ∂4w ∂2w c 2 4 ( x, t ) + 2 ( x, t ) = 0 ∂x ∂t (9) EI c= ρA Derivada de segunda ordem no tempo: duas condições iniciais Derivada de quarta ordem no espaço : 4 condiçoes de fronteira Davyd da Cruz Chivala 31
  32. 32. 5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas Solução: separação de variaveis. ( ) ( ) () w x, t = W x T t (10) Subistituindo em (9) teremos: c d W (x ) 2 4 1 d T (t ) 2 =− = a = ω2W ( x ) dx T (t ) dt 4 2 (10) Aonde a = ω 2 é uma constante positiva d 4W (x ) − β 4W (x ) = 0 (11) dx 4 Davyd da Cruz Chivala 32
  33. 33. 5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas d 2T (t ) + ω 2T (t ) = 0 (12) dt 2Aonde: ω2 ρAω 2 β =4 2 = c EIA equação (12) tem como solução: T (t ) = A cos ωt + B sin ωt Davyd da Cruz Chivala 33
  34. 34. 5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigasA solução da equação (11)será dada por: W ( x ) = Ce sx (13)Aonde: C e s são constantes.Subistituindo em (11) s 4 − β 4 = 0 (14) Davyd da Cruz Chivala 34

×