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Cálculo do volume de líquido no interior de um cilindro deitado em função da altura (h) formada entre o fundo do cilindro e a superfície deste líquido
Alunos:  Carlos Eduardo Gonçalves Arantes   Cassiano Germanovix de Oliveira   Eduardo Rovanni do Nascimento   Rodrigo de Jesus Godoy Curso: Engenharia Elétrica Disciplina: Cálculo II  Professor: Valdemir Antunes  Turma: 3º Semestre
Entendendo o Problema Calcular o volume do líquido contido no cilindro , em função da altura h
Entendendo o Problema Calcular o volume do líquido contido no cilindro , em função da altura h L h R
Limites de Integração L h +R -R 0 y x z -R+h
Limites de Integração L 0 y x z No eixo y - os limites são 0 e L
Limites de Integração h 0 y x z -R+h No eixo z - os limites são -R e -R+h -R
Limites de Integração 0 y x z No eixo x os limites são  e
Limites de Integração Como,  e  Temos que:     
Obtendo a integral tripla (Por simetria)
Resolvendo a integral tripla por coordenadas cartesianas
Para resolver a integral acima, é necessário que façamos uso da técnica de substituição trigonométrica
Utilizando substituição trigonométrica
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para: 0    h    2R; L > 0; e R > 0.
Testando a validade da equação Há 3 pontos onde pode-se testar a validade da equação através da lógica e geometria espacial: Quando h=0; Quando h=R;  (Meio Cilindro) Quando h=2R (Cilindro inteiro).
Quando h=0
Quando h=R (Meio Cilindro)
Quando h=2R (Cilindro Inteiro)
Obtendo a equação específica Para o cilindro utilizado na prática temos: R = 7,275 cm L = 29,8 cm Assim:
Medidas Realizadas Para comprovar na prática a equação, foi inserido um volume pré-definido de líquido no recipiente e medido a altura h. Foram realizadas 4 medidas: V=0 (Sem líquido) V=1L V=2L V=3L
Valores Obtidos Para V=0    h = 0; Para V=1L    h = 3,726 cm; Para V=2L    h = 6,17 cm; Para V=3L    h = 8,486 cm;
Volume Obtido Para h = 0    V=0; Para h = 3,726 cm    V = 1002,047 ml (esperado 1000 ml); Para h = 6,170 cm    V = 2000,166 ml (esperado 2000 ml); Para h = 8,486 cm    V = 3000,77 ml (esperado 3000 ml);
Fatores contribuintes para a margem de erro Erro de paralaxe na leitura; Deformações e/ou irregularidades na superfície; Precisão da escala do paquímetro; Possível inclinação do paquímetro na obtenção das medidas; Ângulo de contato formado entre o líquido e o vidro devido à tensão superficial, dependente das características do líquido utilizado;

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Cálculo do volume

  • 1. Cálculo do volume de líquido no interior de um cilindro deitado em função da altura (h) formada entre o fundo do cilindro e a superfície deste líquido
  • 2. Alunos: Carlos Eduardo Gonçalves Arantes Cassiano Germanovix de Oliveira Eduardo Rovanni do Nascimento Rodrigo de Jesus Godoy Curso: Engenharia Elétrica Disciplina: Cálculo II Professor: Valdemir Antunes Turma: 3º Semestre
  • 3. Entendendo o Problema Calcular o volume do líquido contido no cilindro , em função da altura h
  • 4. Entendendo o Problema Calcular o volume do líquido contido no cilindro , em função da altura h L h R
  • 5. Limites de Integração L h +R -R 0 y x z -R+h
  • 6. Limites de Integração L 0 y x z No eixo y - os limites são 0 e L
  • 7. Limites de Integração h 0 y x z -R+h No eixo z - os limites são -R e -R+h -R
  • 8. Limites de Integração 0 y x z No eixo x os limites são e
  • 9. Limites de Integração Como, e Temos que:  
  • 10. Obtendo a integral tripla (Por simetria)
  • 11. Resolvendo a integral tripla por coordenadas cartesianas
  • 12. Para resolver a integral acima, é necessário que façamos uso da técnica de substituição trigonométrica
  • 14.  
  • 15.  
  • 16.  
  • 17.  
  • 18.  
  • 19.  
  • 20.  
  • 21.  
  • 22.  
  • 23.  
  • 24.  
  • 25. Para: 0  h  2R; L > 0; e R > 0.
  • 26. Testando a validade da equação Há 3 pontos onde pode-se testar a validade da equação através da lógica e geometria espacial: Quando h=0; Quando h=R; (Meio Cilindro) Quando h=2R (Cilindro inteiro).
  • 28. Quando h=R (Meio Cilindro)
  • 30. Obtendo a equação específica Para o cilindro utilizado na prática temos: R = 7,275 cm L = 29,8 cm Assim:
  • 31. Medidas Realizadas Para comprovar na prática a equação, foi inserido um volume pré-definido de líquido no recipiente e medido a altura h. Foram realizadas 4 medidas: V=0 (Sem líquido) V=1L V=2L V=3L
  • 32. Valores Obtidos Para V=0  h = 0; Para V=1L  h = 3,726 cm; Para V=2L  h = 6,17 cm; Para V=3L  h = 8,486 cm;
  • 33. Volume Obtido Para h = 0  V=0; Para h = 3,726 cm  V = 1002,047 ml (esperado 1000 ml); Para h = 6,170 cm  V = 2000,166 ml (esperado 2000 ml); Para h = 8,486 cm  V = 3000,77 ml (esperado 3000 ml);
  • 34. Fatores contribuintes para a margem de erro Erro de paralaxe na leitura; Deformações e/ou irregularidades na superfície; Precisão da escala do paquímetro; Possível inclinação do paquímetro na obtenção das medidas; Ângulo de contato formado entre o líquido e o vidro devido à tensão superficial, dependente das características do líquido utilizado;