O documento descreve como calcular o tempo necessário para resfriar uma cerveja de 25,7°C para a temperatura ideal de consumo de 4°C usando a lei de resfriamento de Newton. Os alunos coletam dados experimentais para determinar a constante de resfriamento k e aplicam a equação resultante para calcular que o tempo necessário é de 51 minutos.

1. Trabalho de Cálculo III Alunos: Eduardo Barone, Larissa Chionpato, Ronald Lobão, Tiago Feijó e William Pratezi

2. Como todos sabem as férias se aproximam (se Deus quiser) e você não vê a hora de tomar “aquela” gelada, na temperatura exatamente ideal...

3. ...temperatura ideal??? Isso já não é mais problema para ninguém.

4. Pois Newton , que também devia apreciar uma “gelada”, já definiu em uma lei, que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente .

5. Sendo T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente, temos a taxa de variação da temperatura do corpo como dT/dt, e a lei de Newton pode ser formulada como: dT/dt = - k(T-Tm), ou como dT/dt + kt = kTm , onde k é uma constante positiva de proporcionalidade. Escolhendo-se para k um valor positivo, torna-se necessário o sinal negativo na lei de Newton a fim de tornar dt/DT negativa em um processo de resfriamento.

6. Então colocando a cervejinha à temperatura de 25,7ºCelsius (temperatura da cerveja no tempo 0 segundos) em um freezer mantido à temperatura constante de -22ºC. Após 30 minutos a temperatura do corpo é 11,4ºC. Dessa maneira vamos demonstrar o tempo necessário para a temperatura da cerveja atingir 4º C, que é a temperatura ideal para ser consumida e causar aquela sensação de bem estar.

7. Temperatura inicial da cerveja: T(0) = 25,7º C;

8. Temperatura do freezer: Tm = - 22º C;

9. Aplicando na fórmula de Newton T´ + KT = KTm, temos: T´ + KT = -22K P(t) = K I(t,T) = e ∫p(t) dt = e ∫ Kdt = e Kt e kt (T´+KT) = e kt . K – 22 d/dt (te kt ) = - 22K e kt ∫ d/dT (t e kt ) = ∫ -22K e kt dt t e kt = - 22e kt + c t = (- 22e kt ) + ( c ) e kt e kt t = -22 + c e- kt

10. Então, aplicando a temperatura inicial da cerveja no tempo 0 segundos, temos: t(o) = 25,7º 25,7 = -22 + c e -k.0 e -0 c = 25,7 + 22 c = 47,7 Substituindo c na fórmula obtida anteriormente, temos: t = -22 + 47,7 e- kt

11. Tendo a temperatura de 11,4ºC após 30 minutos, foi possível definir o valor de K: t(30) = 11,4º t = -22 + 47,7e- kt 11,4 = -22 + 47,7e -k.30 11,4 +22 = 47,7e -k.30 (33,4/47,7) = e -k.30 k= -(1/30) ln (33,4 / 47,7) k = 0,011879 Jogando o valor obtido na fórmula, temos: t = -22 + 47,7e -0,011879t

12. Através de várias pesquisas, adotamos a temperatura ideal para o consumo da cerveja como 4ºC. Logo: t(?) = 4º t = -22 + 47,7 e -0,011879 t 4 = - 22º + 47,7 e -0,011879 t 4 + 22 = 47,7 e -0,011879 t _ 26 = e -0,011879 t 47,7 t = _ 1 ln ( _ 26_ ) 0,011879 47,7 t = 51 minutos

13. E constatamos na prática que a temperatura da cerveja após 51 minutos no freezer é:

14. Este trabalho é um exemplo da aplicação da engenharia num simples fato do dia-a dia... ...naquele barzinho, aquela cervejinha que deve estar na temperatura ideal, tudo isso exige cálculos, exige engenharia!