1) René Descartes estabeleceu a relação entre curvas no plano cartesiano e equações algébricas, mapeando cada ponto geometricamente no plano por sua posição cartesiana dada por pares ordenados de números.
2) Pierre de Fermat também contribuiu para o desenvolvimento da geometria analítica, associando equações de curvas e superfícies a coordenadas, mostrando que a álgebra pode ser usada para resolver problemas geométricos.
3) A geometria analítica fornece uma correspondência biunívoca entre
1. O texto descreve as propriedades geométricas e algébricas das circunferências, incluindo sua definição como conjunto de pontos equidistantes de um ponto central e métodos para representá-las algebraicamente.
2. A equação geral de uma circunferência é dada por (x-a)2+(y-b)2=r2, onde (a,b) são as coordenadas do centro e r é o raio.
3. Existem dois métodos para obter o centro e raio a partir da equação geral: por completação de
O documento discute a evolução histórica da matemática, desde os primeiros estudos de movimentos aparentemente aleatórios até a definição formal dos números complexos. Trata dos principais conceitos como fractais, conjunto de Mandelbrot e representação geométrica dos números complexos.
1. O texto discute conceitos fundamentais da matemática como limites, paradoxos e dialética através de exemplos históricos como o Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga e a Esponja de Menger.
2. Zenão de Eleia usava paradoxos lógicos para questionar princípios matemáticos, como a impossibilidade de se completar uma série infinita de distâncias cada vez menores.
3. O conceito de limite esteve presente ao longo da história da matemática e foi fundamental para o desenvolvimento do
1. O documento introduz o conceito de derivada em matemática e seu uso para calcular taxas de mudança.
2. A derivada surgiu no século XVII e foi desenvolvida por cientistas como Leibniz e Newton para lidar com variáveis contínuas.
3. A derivada é uma ferramenta central no cálculo e permite aproximar valores de uma função à medida que os pontos se aproximam da curva.
O documento apresenta a programação semanal de atividades relacionadas à leitura em uma escola, incluindo a leitura de poemas, contos, dramatizações e encontros com autores.
Este documento descreve as diretrizes para a aplicação do Acordo Ortográfico de 1990 nos manuais escolares para o ano letivo de 2011/2012. Ele especifica que o acordo será aplicado nos manuais dos 1o e 2o anos de todas as disciplinas, do 4o ano de Matemática, dos 5o e 6o anos de todas as disciplinas exceto algumas, e do 7o ano de Língua Portuguesa e do 8o ano de Matemática.
O espetáculo "Os Corvos", estrelado por Luis Ferron e Luis Arrieta, explora a temática da morte através da dança. Inspirado nas experiências dos coreógrafos cuidando de seus pais idosos, a peça usa movimentos delicados para representar o envelhecimento e a passagem entre a vida e a morte. A música ao vivo de Tchaikovsky e Ravel complementa a reflexão sobre a inevitabilidade da morte e o renascimento contínuo.
1. O texto descreve as propriedades geométricas e algébricas das circunferências, incluindo sua definição como conjunto de pontos equidistantes de um ponto central e métodos para representá-las algebraicamente.
2. A equação geral de uma circunferência é dada por (x-a)2+(y-b)2=r2, onde (a,b) são as coordenadas do centro e r é o raio.
3. Existem dois métodos para obter o centro e raio a partir da equação geral: por completação de
O documento discute a evolução histórica da matemática, desde os primeiros estudos de movimentos aparentemente aleatórios até a definição formal dos números complexos. Trata dos principais conceitos como fractais, conjunto de Mandelbrot e representação geométrica dos números complexos.
1. O texto discute conceitos fundamentais da matemática como limites, paradoxos e dialética através de exemplos históricos como o Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga e a Esponja de Menger.
2. Zenão de Eleia usava paradoxos lógicos para questionar princípios matemáticos, como a impossibilidade de se completar uma série infinita de distâncias cada vez menores.
3. O conceito de limite esteve presente ao longo da história da matemática e foi fundamental para o desenvolvimento do
1. O documento introduz o conceito de derivada em matemática e seu uso para calcular taxas de mudança.
2. A derivada surgiu no século XVII e foi desenvolvida por cientistas como Leibniz e Newton para lidar com variáveis contínuas.
3. A derivada é uma ferramenta central no cálculo e permite aproximar valores de uma função à medida que os pontos se aproximam da curva.
O documento apresenta a programação semanal de atividades relacionadas à leitura em uma escola, incluindo a leitura de poemas, contos, dramatizações e encontros com autores.
Este documento descreve as diretrizes para a aplicação do Acordo Ortográfico de 1990 nos manuais escolares para o ano letivo de 2011/2012. Ele especifica que o acordo será aplicado nos manuais dos 1o e 2o anos de todas as disciplinas, do 4o ano de Matemática, dos 5o e 6o anos de todas as disciplinas exceto algumas, e do 7o ano de Língua Portuguesa e do 8o ano de Matemática.
O espetáculo "Os Corvos", estrelado por Luis Ferron e Luis Arrieta, explora a temática da morte através da dança. Inspirado nas experiências dos coreógrafos cuidando de seus pais idosos, a peça usa movimentos delicados para representar o envelhecimento e a passagem entre a vida e a morte. A música ao vivo de Tchaikovsky e Ravel complementa a reflexão sobre a inevitabilidade da morte e o renascimento contínuo.
Geometria analítica: ponto, reta e circunferênciaMarcos Medeiros
O documento contém 7 questões sobre geometria analítica que abordam pontos, retas e circunferências. As questões tratam de determinar equações de retas e circunferências dadas condições, encontrar comprimentos e pontos notáveis em figuras geométricas como quadrados e paralelogramos.
O documento apresenta os cinco casos de congruência de triângulos:
1) Caso LAL - Dois lados e o ângulo entre eles congruentes;
2) Caso ALA - Dois ângulos e o lado entre eles congruentes;
3) Caso LLL - Os três lados congruentes;
4) Caso LAAo - Um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto ao lado congruentes;
5) Caso especial - Para triângulos retângulos com um cateto e a hipotenusa congru
O documento discute a definição de circunferência e sua equação reduzida. Apresenta as posições relativas entre pontos, retas e circunferências, como secante, tangente e externa. Também explica as posições relativas entre duas circunferências, como tangentes, secantes, externas, internas ou concêntricas. Por fim, fornece exemplos para ilustrar os conceitos.
1) O documento discute posições relativas entre retas e circunferências.
2) Uma reta pode ser secante, tangente ou exterior a uma circunferência dependendo se corta a circunferência em 0, 1 ou 2 pontos.
3) Se uma reta é tangente, é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
1. O documento apresenta as definições e fórmulas fundamentais para geometria analítica, incluindo equações de circunferências, distâncias entre pontos e posições relativas de pontos e retas em relação a circunferências.
2. São listados 10 exercícios para a prova sobre esses conceitos, como determinar pontos de interseção de retas e circunferências e equações de circunferências tangentes a retas.
3. As respostas aos exercícios são fornecidas.
Geometria analítica - Coeficiente angular e equação reduzida da retatpmoliveira
Este documento apresenta um projeto de ensino de Geometria Analítica com 8 aulas. A primeira aula revisa coordenadas cartesianas e distância entre pontos. As aulas seguintes abordam coeficiente angular, equação da reta, e uso do software Geogebra para ilustrar os conceitos. A avaliação dos alunos ocorrerá ao longo das atividades formais e informais.
Este plano de aula tem como objetivo ensinar sobre a interseção entre retas e circunferências na geometria analítica. A aula usará resolução de problemas com uma história de Dragon Ball Z para motivar os alunos do ensino médio. Os alunos irão identificar equações de circunferências, discutir posições relativas entre retas e circunferências, e representar e resolver sistemas de equações graficamente.
Primeira parte de uma tentativa bem humorada de explicar alguns conceitos básicos sobre a circunferência e as suas propriedades, como base de sustentação para as aulas de Trigonometria.
Dedicado aos alunos do Gauss, um Cursinho Comunitário Pré-Universitário de Atibaia - SP.
Esta obra foi licenciada sob uma Licença Creative Commons Atribuição 3.0 Brasil.
Este documento discute geometria analítica e equações de retas no plano cartesiano. Ele fornece a equação geral de uma reta, explica como calcular o coeficiente angular de uma reta que passa por um ponto, e dá exemplos de como escrever equações de retas com base em pontos e coeficientes angulares.
1) A aula ensina sobre o desenvolvimento do espírito crítico ao estudar, relacionando novos assuntos com o que já se sabe.
2) Serão revisados conceitos de geometria analítica como equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre pontos.
3) Exemplos resolvidos irão aplicar esses conceitos em exercícios.
1) O documento explica como calcular a equação geral de uma reta a partir dos pontos que a compõem, usando a fórmula da matriz.
2) É mostrado como encontrar a equação da reta passando pelos pontos A(-1,2) e B(-2,5), resultando em -3x - y - 1 = 0.
3) É verificado se pontos pertencem a equações de retas, como P(-3,-1) que pertence à reta x-y+2, ao contrário de Q(1,2).
O documento discute conceitos geométricos como ponto, reta e circunferência. Apresenta fórmulas para calcular distância entre pontos e ponto médio, equações de retas e circunferências, e relações entre essas figuras geométricas como posições relativas, ângulos e distâncias.
1) O documento discute definições e propriedades de logaritmos, incluindo a definição de logaritmo, propriedades de logaritmos, mudança de base e equações logarítmicas.
2) É apresentada a definição formal de logaritmo como a função inversa da exponencial e são mostradas algumas propriedades como a adição e subtração de logaritmos.
3) O documento também aborda o cologaritmo, logaritmo natural, gráficos e equações envolvendo funções logarít
Este documento apresenta exercícios sobre elipses, incluindo determinar seus focos, excentricidades, eixos, áreas e pontos de intersecção com outras curvas. O documento contém 8 questões que abordam como calcular propriedades geométricas básicas de elipses dadas suas equações ou elementos constituintes, como centro, vértices e focos.
Formulas geral para geometria analiticaElieser Júnio
(1) O documento resume fórmulas fundamentais de geometria analítica para operações com vetores e equações de retas em 3 dimensões, incluindo soma, multiplicação por escalar, produto interno, norma, produto vetorial e produto misto; (2) Também apresenta fórmulas para cálculo de ângulos entre vetores e retas, posições relativas de retas e mudanças de sistemas de coordenadas; (3) As fórmulas são expressas algebraicamente em notação vetorial e matricial.
O documento discute os problemas relacionados ao uso de drogas como o crack, álcool e tabaco. O crack é feito da planta da cocaína e é muito mais potente e viciante, levando à dependência química e comportamentos de risco. O álcool afeta o cérebro, estimulando a liberação de neurotransmissores que causam euforia inicialmente, mas levando à inibição com consumo contínuo. Fumar traz riscos significativos de doenças respiratórias e câncer.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo:
1) Sistema de coordenadas cartesianas e localização de pontos no plano.
2) Noções de quadrantes, bissetrizes e distância entre pontos.
3) Condições para alinhamento de três pontos no plano.
O texto é acompanhado por exemplos resolvidos e exercícios propostos sobre os tópicos apresentados.
Este documento apresenta o plano de ensino de matemática para alunos do 3o ano do ensino fundamental de uma escola municipal. O plano descreve os objetivos gerais e específicos para quatro unidades, abordando temas como adição, subtração, multiplicação, divisão e representações numéricas. A metodologia inclui atividades práticas e o uso de recursos visuais para facilitar a compreensão dos conceitos matemáticos.
1) A teoria de Arrhenius define ácidos e bases em termos de íons liberados em solução aquosa, sendo ácidos substâncias que liberam H+ e bases substâncias que liberam OH-.
2) A teoria de Brønsted-Lowry define ácidos e bases em termos de doação e aceitação de prótons, sendo ácidos espécies doadoras de prótons e bases espécies aceitadoras de prótons.
3) A teoria de Lewis define ácidos e bases em termos de doação e aceitação de pares de el
O documento discute as teorias sobre ligação covalente, incluindo a regra do octeto de Lewis e exceções a ela. A ligação covalente dativa é explicada onde um átomo fornece elétrons para completar o octeto de outro átomo, ilustrado pelo exemplo da molécula de ozônio O3.
Geometria analítica: ponto, reta e circunferênciaMarcos Medeiros
O documento contém 7 questões sobre geometria analítica que abordam pontos, retas e circunferências. As questões tratam de determinar equações de retas e circunferências dadas condições, encontrar comprimentos e pontos notáveis em figuras geométricas como quadrados e paralelogramos.
O documento apresenta os cinco casos de congruência de triângulos:
1) Caso LAL - Dois lados e o ângulo entre eles congruentes;
2) Caso ALA - Dois ângulos e o lado entre eles congruentes;
3) Caso LLL - Os três lados congruentes;
4) Caso LAAo - Um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto ao lado congruentes;
5) Caso especial - Para triângulos retângulos com um cateto e a hipotenusa congru
O documento discute a definição de circunferência e sua equação reduzida. Apresenta as posições relativas entre pontos, retas e circunferências, como secante, tangente e externa. Também explica as posições relativas entre duas circunferências, como tangentes, secantes, externas, internas ou concêntricas. Por fim, fornece exemplos para ilustrar os conceitos.
1) O documento discute posições relativas entre retas e circunferências.
2) Uma reta pode ser secante, tangente ou exterior a uma circunferência dependendo se corta a circunferência em 0, 1 ou 2 pontos.
3) Se uma reta é tangente, é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
1. O documento apresenta as definições e fórmulas fundamentais para geometria analítica, incluindo equações de circunferências, distâncias entre pontos e posições relativas de pontos e retas em relação a circunferências.
2. São listados 10 exercícios para a prova sobre esses conceitos, como determinar pontos de interseção de retas e circunferências e equações de circunferências tangentes a retas.
3. As respostas aos exercícios são fornecidas.
Geometria analítica - Coeficiente angular e equação reduzida da retatpmoliveira
Este documento apresenta um projeto de ensino de Geometria Analítica com 8 aulas. A primeira aula revisa coordenadas cartesianas e distância entre pontos. As aulas seguintes abordam coeficiente angular, equação da reta, e uso do software Geogebra para ilustrar os conceitos. A avaliação dos alunos ocorrerá ao longo das atividades formais e informais.
Este plano de aula tem como objetivo ensinar sobre a interseção entre retas e circunferências na geometria analítica. A aula usará resolução de problemas com uma história de Dragon Ball Z para motivar os alunos do ensino médio. Os alunos irão identificar equações de circunferências, discutir posições relativas entre retas e circunferências, e representar e resolver sistemas de equações graficamente.
Primeira parte de uma tentativa bem humorada de explicar alguns conceitos básicos sobre a circunferência e as suas propriedades, como base de sustentação para as aulas de Trigonometria.
Dedicado aos alunos do Gauss, um Cursinho Comunitário Pré-Universitário de Atibaia - SP.
Esta obra foi licenciada sob uma Licença Creative Commons Atribuição 3.0 Brasil.
Este documento discute geometria analítica e equações de retas no plano cartesiano. Ele fornece a equação geral de uma reta, explica como calcular o coeficiente angular de uma reta que passa por um ponto, e dá exemplos de como escrever equações de retas com base em pontos e coeficientes angulares.
1) A aula ensina sobre o desenvolvimento do espírito crítico ao estudar, relacionando novos assuntos com o que já se sabe.
2) Serão revisados conceitos de geometria analítica como equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre pontos.
3) Exemplos resolvidos irão aplicar esses conceitos em exercícios.
1) O documento explica como calcular a equação geral de uma reta a partir dos pontos que a compõem, usando a fórmula da matriz.
2) É mostrado como encontrar a equação da reta passando pelos pontos A(-1,2) e B(-2,5), resultando em -3x - y - 1 = 0.
3) É verificado se pontos pertencem a equações de retas, como P(-3,-1) que pertence à reta x-y+2, ao contrário de Q(1,2).
O documento discute conceitos geométricos como ponto, reta e circunferência. Apresenta fórmulas para calcular distância entre pontos e ponto médio, equações de retas e circunferências, e relações entre essas figuras geométricas como posições relativas, ângulos e distâncias.
1) O documento discute definições e propriedades de logaritmos, incluindo a definição de logaritmo, propriedades de logaritmos, mudança de base e equações logarítmicas.
2) É apresentada a definição formal de logaritmo como a função inversa da exponencial e são mostradas algumas propriedades como a adição e subtração de logaritmos.
3) O documento também aborda o cologaritmo, logaritmo natural, gráficos e equações envolvendo funções logarít
Este documento apresenta exercícios sobre elipses, incluindo determinar seus focos, excentricidades, eixos, áreas e pontos de intersecção com outras curvas. O documento contém 8 questões que abordam como calcular propriedades geométricas básicas de elipses dadas suas equações ou elementos constituintes, como centro, vértices e focos.
Formulas geral para geometria analiticaElieser Júnio
(1) O documento resume fórmulas fundamentais de geometria analítica para operações com vetores e equações de retas em 3 dimensões, incluindo soma, multiplicação por escalar, produto interno, norma, produto vetorial e produto misto; (2) Também apresenta fórmulas para cálculo de ângulos entre vetores e retas, posições relativas de retas e mudanças de sistemas de coordenadas; (3) As fórmulas são expressas algebraicamente em notação vetorial e matricial.
O documento discute os problemas relacionados ao uso de drogas como o crack, álcool e tabaco. O crack é feito da planta da cocaína e é muito mais potente e viciante, levando à dependência química e comportamentos de risco. O álcool afeta o cérebro, estimulando a liberação de neurotransmissores que causam euforia inicialmente, mas levando à inibição com consumo contínuo. Fumar traz riscos significativos de doenças respiratórias e câncer.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo:
1) Sistema de coordenadas cartesianas e localização de pontos no plano.
2) Noções de quadrantes, bissetrizes e distância entre pontos.
3) Condições para alinhamento de três pontos no plano.
O texto é acompanhado por exemplos resolvidos e exercícios propostos sobre os tópicos apresentados.
Este documento apresenta o plano de ensino de matemática para alunos do 3o ano do ensino fundamental de uma escola municipal. O plano descreve os objetivos gerais e específicos para quatro unidades, abordando temas como adição, subtração, multiplicação, divisão e representações numéricas. A metodologia inclui atividades práticas e o uso de recursos visuais para facilitar a compreensão dos conceitos matemáticos.
1) A teoria de Arrhenius define ácidos e bases em termos de íons liberados em solução aquosa, sendo ácidos substâncias que liberam H+ e bases substâncias que liberam OH-.
2) A teoria de Brønsted-Lowry define ácidos e bases em termos de doação e aceitação de prótons, sendo ácidos espécies doadoras de prótons e bases espécies aceitadoras de prótons.
3) A teoria de Lewis define ácidos e bases em termos de doação e aceitação de pares de el
O documento discute as teorias sobre ligação covalente, incluindo a regra do octeto de Lewis e exceções a ela. A ligação covalente dativa é explicada onde um átomo fornece elétrons para completar o octeto de outro átomo, ilustrado pelo exemplo da molécula de ozônio O3.
O documento fornece uma introdução sobre a história da química, mencionando o Big Bang e a formação dos primeiros elementos químicos. Também descreve brevemente a formação da Terra e da vida, assim como o desenvolvimento inicial da humanidade e da ciência. Finalmente, apresenta uma lista de tópicos a serem discutidos sobre grandes figuras históricas da química.
[1] O documento apresenta uma tabela periódica dos elementos químicos organizados em linhas e colunas de acordo com suas propriedades.
[2] Os elementos são agrupados de acordo com suas massas atômicas crescentes e propriedades químicas semelhantes.
[3] A tabela permite visualizar tendências periódicas e prever propriedades dos elementos de acordo com sua posição no sistema periódico.
1) O documento descreve um experimento para estimar o tamanho de moléculas adicionando um ácido orgânico insolúvel em água sobre uma superfície de água. Isso forma um círculo de moléculas organizadas.
2) Ao medir a área do círculo e o volume de ácido adicionado, calcula-se que cada molécula ocupa um volume de 5,12x10^-22 cm3.
3) Dada a massa e densidade do ácido, calcula-se que 282g desse ácido contém aproxim
O documento discute reações químicas, incluindo seus componentes, tipos, equações e propriedades. É descrito que uma reação química envolve a transformação de substâncias em novos compostos, e exemplos de reações como combustão e dupla troca são apresentados. Equações químicas representam graficamente as reações através de índices, coeficientes e símbolos para reagentes e produtos.
[1] O documento discute conceitos de oxidação e redução, onde oxidação é a perda de elétrons e redução é o ganho de elétrons.
[2] É definido que o agente oxidante provoca oxidação e sofre redução, enquanto o agente redutor provoca redução e sofre oxidação.
[3] São apresentadas regras para balancear reações de oxidação-redução, identificando os elementos que oxidam e reduzem e calculando as variações no seu número de oxidação.
O documento descreve a história da tabela periódica, incluindo as contribuições de Döbereiner, Newlands e Mendeleiev. Explica a organização dos elementos de acordo com seus números atômicos em períodos e grupos, e as propriedades dos metais, ametais e gases nobres.
O documento resume os principais pontos sobre a tabela periódica, incluindo:
1) Uma breve história da tabela periódica desde as primeiras tentativas no século XIX até a versão atual baseada no número atômico;
2) A organização atual da tabela periódica em períodos e grupos com base no número atômico;
3) As propriedades químicas dos elementos em cada grupo.
O documento apresenta 8 regras para determinar o número de oxidação de átomos em substâncias iônicas e moleculares. A regra 1 trata de elementos em substâncias simples, a regra 2 de íons monoatômicos, e as demais regras tratam de elementos em substâncias compostas, incluindo hidrogênio, oxigênio, calcogênios e halogênios. A regra 8 estabelece que a soma dos números de oxidação em uma substância ou íon deve ser igual a zero ou à carga do íon, respectivamente
O documento descreve três tipos de reações químicas: 1) Reações de síntese e análise, onde novas substâncias são formadas a partir de outras; 2) Reações de deslocamento ou troca simples, onde um elemento desloca outro de uma substância composta; 3) Reações de substituição ou dupla troca, onde duas novas substâncias compostas são formadas a partir de outras duas existentes.
1. O documento apresenta regras para determinar o número de oxidação (Nx) de elementos em substâncias químicas.
2. As regras indicam que, em substâncias simples, Nx é igual a zero, e em íons simples Nx é igual à carga do íon.
3. A soma dos Nxs de todos os átomos em substâncias compostas é igual a zero.
O documento discute oxidação e redução, definindo-as como ganho ou perda de elétrons respectivamente. A oxidação aumenta o número de oxidação (NOX) e a redução o diminui. Reações redox envolvem um elemento sofrendo oxidação e outro redução, com o número total de elétrons mudando de lugar sendo igual.
O documento discute a evolução do modelo atômico desde os gregos antigos até Bohr. Aborda as ideias de Demócrito, Dalton, Thomson, Rutherford e Bohr sobre a estrutura atômica.
1) Distribuição em camadas:
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 4d10 4f14 5s2 5p6
2) Distribuição em ordem energética:
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 4d10 4f14 5s2 5p6
3) O subnível mais energético é o 5p.
4) A camada de valência é a 5p.
5) 2 elétrons na camada 1s, 2 na 2s,
O documento discute termos da química presentes em um poema de Augusto dos Anjos. Três palavras se referem a óxigênio (O2), nitrogênio (N2, 78%) e carbono, elementos importantes para a vida. Uma quarta palavra refere-se a uma série homóloga cujo primeiro membro é o metano (H3C-O-CH3).
O documento discute os tipos de ligação química, notação de Lewis, geometria molecular, hibridação de orbitais e teorias da ligação covalente. Resume os principais tipos de ligação (iônica, covalente e metálica), a regra do octeto e exemplos de geometrias moleculares com base no número de pares de elétrons.
O documento discute os tipos de ligação química, incluindo ligação iônica, covalente e metálica. Explica como a regra do octeto influencia a formação dessas ligações e como a eletronegatividade determina o caráter iônico ou covalente. Também aborda as características dos compostos formados por cada tipo de ligação.
O documento discute os tipos de ligações químicas, incluindo ligações iônicas, covalentes e coordenadas. Também aborda a polaridade de ligações e moléculas, bem como ligações intermoleculares como interação dipolo-dipolo, pontes de hidrogênio e ligação de Van der Waals.
As leis das reações químicas podem ser resumidas em duas categorias principais:
1) Leis ponderais - relativas às massas das substâncias que participam das reações químicas. Incluem a lei da conservação das massas e a lei das proporções constantes.
2) Leis volumétricas - relativas aos volumes das substâncias que participam das reações químicas. De acordo com a lei de Gay-Lussac, os volumes dos gases reagentes e produtos formam uma proporção constante de números inteiros pequ
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
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Slideshare Lição 10, Betel, Ordenança para buscar a paz e fazer o bem, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, 2° TRIMESTRE DE 2024, ADULTOS, EDITORA BETEL, TEMA, ORDENANÇAS BÍBLICAS, Doutrina Fundamentais Imperativas aos Cristãos para uma vida bem-sucedida e de Comunhão com DEUS, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Comentários, Bispo Abner Ferreira, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
Egito antigo resumo - aula de história.pdfsthefanydesr
O Egito Antigo foi formado a partir da mistura de diversos povos, a população era dividida em vários clãs, que se organizavam em comunidades chamadas nomos. Estes funcionavam como se fossem pequenos Estados independentes.
Por volta de 3500 a.C., os nomos se uniram formando dois reinos: o Baixo Egito, ao Norte e o Alto Egito, ao Sul. Posteriormente, em 3200 a.C., os dois reinos foram unificados por Menés, rei do alto Egito, que tornou-se o primeiro faraó, criando a primeira dinastia que deu origem ao Estado egípcio.
Começava um longo período de esplendor da civilização egípcia, também conhecida como a era dos grandes faraós.
1_10_06_2024_Criança e Cultura Escrita, Ana Maria de Oliveira Galvão.pdf
Cap.1 geometria analítica-ponto e reta
1. t
GeemefrÍo enalÍiÍca:
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relaçõesentrecurvasno plano e
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culares,ond,e cadapontof,ca perÍeitamehte r^m, assim,'traduzidas" meiode equa-
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Foi RenéDescartes (1596-1650), filóso- nhad,o descobrír
em umafórmala quedisct-
fo famoso por suafrase: "penso,logoerísto': plinasse mciocinio unifcasse conheci.
o e o
que, percebendo essaconespondêncía, es- mento,Sua obut maisÍamosa.,o Discurso
do metodoparabem ccinduzìr razàoa e
procurar a verdadenas ciêÍrciag de 1637,
contém Lrèsapëndices ilustramo "mè-
que
todo" com exemplospráticos. LÌtu desses
apêndices, chamadoA Geomelúra, contém
as ídéias básícasda Geometríaanalítica
2. VamosÍecordaf âp icação representação pontosno
a dê de
(cham anteriorm ntedc Geometri panocârtesiano.
A lustraçãoabaixo
mosÍaumasaa ceaua.
ada e a
cartesi ).Ësse
ana simples ndiceécon-
apé
siderado alguns
por estud iosos "maioÌ
o
avaço, em um sópasso,11o progresso
d.as cíêncías eratas:
Oufro estudioso Matenàtica que
da r
colúríbaiu p6ríí o desenvolúmento da
GeometrÌa analtticaíoi ofrancèsPiene
Fefthat (1601- 1665). Sua cohttibuiçào
nes.e Lampo numtertodenominado
eslà
lntroduçãoaoslugaresplanose sólidos
pot
escrito voltade 1636.porém publi-i a)Locallze mesaque esténa terceiía
a fileka, partirdã parede
a
quecontêm lousa/ naprimerãíle ra, partiÍdêparede
a e a que
cado14 anosdepois suamorte.Assím
d,e
contéma poíta,marc.ndo,a coÍì um X.
aomoDecartes, Fermat associou eqaa- b) Representa asmesas
ndo num p ano, acoÍdo
de com oesque-
ções curvasesuperíícíÊs,
a maa seguiÍ, rnãrcou suacorna letÍap. ExplÌque
PaLrlo a como
Ernbora comuma idëiadeque
seja estásltuada mesa Pau (vocêpodetomarcornoexem
a de o
ploa maneiÍa descrita Ìtern
no a).
a Geometuía analítíca é uma redaçãa
da Geometria Algebra, escritos
à os de
Descartes mostram que saapreocupa-
trtrtr
ção era a. cottstraçãogeométrící e a
possibílidade encontrar corres-
d,e um trn n 2e
pondente geométrícoàs operações al- ntr tr
gébricas.Já com rclação a Ferma.t,o
usode coord,eadassurgeda aplícação
n n tr &
da Álgebru da Renascença proble-
a
c)Seconslderarmos eÌxos, coincjdÌndo a pãredêda
dois um corn
mas geométrícos Antíguídade. Isso
da lousa outrocorÍìa parede porta,
e da sendo inteÍsecção
sua a
mostra qae os caminhos percorridos oílgerndessesisterna êlxos, repreçentarmos
de e a posjçãô
de
por eles foram índ,ependentes, século
O cada por
mesa metode parordenado n),
Lrrn (m, noquaméa
XVIIÍoi, assim, distância parede ponaà mesa n a distância paÍede
da da e da
marcado um gran-
por
da Ìousa mesa, uaI par corresponderá çãoda rnesã
à q à pos de
de avançona Matemátícaao ser esta Pau o/
desligadad,asimplesaplícaçao às ne- d) lvlaÍque, esquemã
no acÌma, mesade Rosa,
a representada
cessídades econômíca,s e tecnológíca.s, poÍ (1,3)e dê Martã,
a repÍesentadd (2,4).
por
Começaremos estudoda Geome-
o
tria analítíca, nestecapítulô,por seus
elementos púmítívos, o ponto e a reta.,
obseruaqdo como a recarsode proces-
sosalgéb cos ímprime uma precísão
qasmedídas noscá.lcalos e coL-
e não
trada na Geometriae como, por oatro
lado, a representuçAo geométríca torna
lt
concfetasas expressões algébrícas,na
maíoría das wzes Ìão d,bstratas.
I
3. 10 . (onterto
ttatemi,rka &Aptk4ôês
ff? sistemacanesiano
ortogonal
Existe umacorrespondência biunívoca entreospontosde plânoeoconjuntodos
um paresordenãdosde números
reais, é,a cada
isto pontodo planocorresponde únicoparoÍdenado
um (x,y)eacada parordenado y) está
(x, associado
um únìcopontodoplano.Arelação biunívocâ é única,
não depende sjstema eixos
do de onogonais adotado.
Para estabelecer dessas
uma correspondências biunívocas usados
são doisêixos ortogonais(eixoxê eixoy)que
íotmam o sistema cattesianoottogonol, Aintese<çáo dos eixosx e y é o ponto O, chamadode o/iqemdo sjstema.
Exemplo:
Ao pãrordenado números
de reâis:
. (0,0)estáassociado ponto O (origem),
o I
. (3,2)estáassociado ponto Â;
o
. ( 1,4)estáâssociâdo ponto B;
o
. ( 2, -3)está âssociado ponto C;
o
. (2,-1) estáâssociâdo ponto D.
o
Considerando ponto Â(3,2),dizemos
o que o número3 é a coor-
denada ou a abacÍt9 do ponto Aeo númêro2 é a coordenada
x you
a oidênâdado oonto A,
Observaçôês:
1.) Oseixos e y chama seeixos
x m coordenadosdividem plânoem quâtro
e o
regiõeschamadâs quddrontet cujaidentìÍcação feitâconforme fìgura.
é a
O sinalpositivoou negativoda abscissâ dâ ordenada
e variade acordo
com o quadrante.
2q) Seo ponto P pertence eixox, suas
ao coordenadas (a,0),com a C lR.
sáo
31) Seo ponto P pertênceaoeixoy,suas coordenadâs (0,b),com b € lR.
são
O pontoOtO,0l
pertence doiseixos,
aos
4ã) SeopontoP penence bissetriz quadrantes
à dos Ímpares, coordenadastêm
suas ordenãdô
iqualàabscissa,
ou
seja, dotipo{â,â)coma e R.
são
5?) Seo ponto P pertence bìssetriz
à pares,
dosquadrantes suascoordenadastêm
abscissa ordenada
e opostas,
òu
seja, dotipo (a,-a)com â c lR,
são
4. .
Qpílülo1 GqgmeÍia ponto
analÍtka: êÍeli 'tl
propostos
Exercí<ios
l.obseÍÌe a ÍguÍa e d"tetn ê oò porÌos o- sô,è.
ce 3. Nofetângu daiigura, = 2aeBÌ = a. Dêascooroe-
o ÃE
suâs
cooÍdenadas nadas véftices rcünguo
dos do
clc
d)D
4. 0 èlo dek,. ab"roo o oo-.o "
oLe P . 2k pele-
t
ceà bss€trz quadÍantes
dos ímpares,
é:
a) .pl
-r. r dr
"),+ + "r+
5. O Éio da cìrcunfeÉncia f-
da
glrmrnede undadesQuais
2
sãoas coordenadês pon
dos
tosA,B,CeD?
2. ÍVlarque sisternâ coofdenadas
nurn de cartesianas
orto-
gonais pontos:
os
a)Atr, íl Nt0, -ìl
-21 6" Sabendo P[a b], comab > 0, emqu€quadrante
que s€
blDtO,3) d ci4, 4)
cl qt3 :2). encontm ponto
o P]
hlM(-4,ol
dt-a---tã D Rt3,
o) 7. Sabendo P[2m+ 1. -3rn 4] peftence terceifo
que ao
e)P(-1, 5l quadEnte
determin€ possiv€is
os valofes de m
feas
ffil Distância
entredoispontos
Dadosdois pontos, e B, a distânciâentreeles,que seráindicadapor d(A, B),é a medidado segmentode
extremidâdesAe B,
Exemplos:
te) 3e)
d{A,B) = 3 1:, d (A , B )= 2 + 4 : 6
B(-2,4)
l.
L
3
ot-r,,rf'' "
d ( 4 8 ) = 3 + 2 :s d(A,B):4 1=3
5. 12 . ConreÌro&Ad
ÀlatemáÌ.à (àóe5
:
ld(4,B)]'] 3':+ 2'?+ d(4,B): 14J [d(4,8)]'z 3: + 5, + d(A, : út
B)
-
Podêmog que indica â dìstânciã
determinaruma expressão entre A e B, quaisquerque sejâmA(xa,ya)
yB).
e B(xB,
OtriânguloABCretânguloem
é C,logopodemos a relação Pitágoras:
usar de
(xB xÀ)': {yB ya)'? d(4, B) = úx,
ld{A,B)1'?: + - 3 xJ' +(y, y^f
Obseryaçâo: expressão
A obtidâpâraâ dìstância
€ntredoispontosA e B independe localizâçáo e B,ou seja,
da deA
valeparaA e B quaìsquer,
Vejamos 29,49e 6-Õ
no exemplos analisados
anteriormente:
2 e ) a (2 , - r ) e B(3 ,-1 )rd (A ,B ):ú 3 (r)I + ( r ) 1r ) l' = ,6'+ C = ús:s
4q) a (2 , 1 ) e B ( -2 ,4 )+a i A e l :l i i2 tr2 )F+ ( a lf = ' 6' + * = r ç= :
6q) Â (2 , 2 ) e B ( 1 ,-3 )+d (4 ,B ):,fr 2 )F +I( - 3) - 2) l'= !6t+ ( - sf
( = v5t
Concluímos,
então,quea
distância pontos e B quâisquerdo
entredois A plano, yB),
talqueA(xa,ya)B(xB, é:
e
=arn. = o(,, -
er
',t'
* tv; vJ
@_, para
I veirìque ostfes I
ourÍosexemPros. ,,
I
1. Umpor'ìto 2) é eqüid
P(a, stanre ponros
dos A[3, èg 6a+/+1=4 4a+ / +4+
B[2,4) Calcue abscssa ponto
a do P. +-6a+4a=4+4 I t=
Resoluçâol ) 2a:-2..2a=2:+a=1
Como é eqüidistante A € B, d€vernoster:
P d€
= dtP,Bl = Verifcandol
dtP,A)
= Jt3 - aÍ + (r z)' = .,1t2 â)' + (4 2)'1
.+
=1 G- a f' + r =út âf'+4 =
=[3 a],+l =(2-a),+4= Então, abscjssa ponto é ]
a do P
6. Gpílulol. Geomer
aãna/írkãrponro
Êrel.
2. Demonstrc o ÍângLro
que comvénces 2, 4].
A[ Corno : I3 + 52,podernos
65 que
afÍrnaf o tánguto
Bi 5. ll e ct-6 5)é sósceles. ABCé fetângulo C.
em
Resolução:
p[x,
4. Cons urnponto y] ta queasLtadtstâncaaopon
dere
UrnÍángulo é isósceles
qlandotem dos adoscon to A[3,2) é semprc vezes suad stânc aoponto
duas a a
gruent€s(med iguaisl.
das Vamos calc!af, então, B( 4 ll. Nessâs condçÕes,€ncontfeurnaequação
as
Ínedidas ados rángLr ÁBC:
dos do o quesela sâtisfeita ascoordenadas ponto
com do p.
Resolução:
dtA. = i[.t+ A' + 0
B) 4), = Deacordo o pÍoberna,
com d€vernosteÍ
=" 6+s =" 4 ã = : ú d(P A) = 2d(p B) o! sejê,
[dtp,A)], = 4ldtp,Bll,
d(4,c) = ít-6 + 2Ì + (5 aÌ = . ,) -t2 ,r_4- 1-J- ll _y.1.
= ! ' i 6 + r = fi =9-6x+xr+4-4y+yz= -
=4fl6+8x+x,+ 1 2y+y,)=
drB.C'- ir 6-cJ 5 -J,- 6 =9.6x1'x:+4-4y+yr:
=64+32x+4xr+4 8y+4yr+
d(4,Cl = d(B Cl,o trìánguto é sósceres.
Como + -3x'z- 3y, - 38x+ 4y - 55 = 0 +
ABC
= 3x'+ 3y'+ 38x- 4y+ 55 = 0
3. CoJìsideEndo ces
osvéft At- t, -3) Bt6,ll eCt2, 5),
vefique o rânguo ABC fetângu
se é o. 5, A Íìred
atrzdeumsegnì€nto é a reta
AB forrnâda pelos
pontos eqüdstanì
que deA€ B. Encontre rclâção
uma
Resoluçâo: p[x,
eǹ ascoordenadas y do ponto y), sabendo
xe
Paru tfânglo fetánguo quadrado !m ado
ser o de que ele pertence medatrzdo segrnento coÍn
à AB,
deve guêlà soma quadÉdos outfos
sef dos dos oots. A[3,2]e Bt-2 41.
Re6oluçào:
dA.Bì -JL6-D tt .3Ì - Jrg--6 SeP[x,y) pedence med
à atdzdeAB,então
= J6s= t./ãFl,= os dtP A; = 61pBl, ou seja.
ldtp All, = ldtp Bll,
d ( 4cl = J( 2+ rl, + i 5+31, =!6+4
, =
t 3ì, _ t) /r _ ( ._2)) (i _ (_ _Jl. ,
= + = r:
"/iã [.,4ã],
=rxr-ox+9+yz-4y14=
=x?+4x+4+yr+By+16='
diB,c) = ii2 - 6Í + t-5 rlz = !í6-1 36 =
+ 2x 12y 7=A)2x+12y= Ì êunadas
= Jsz.+ (Jsz)" sz
= Tnane de€xpTessafâação
|as re €nÌre
rey.
i1tg:Eqr'!@< dados
E. Ca a dstância ospontos
clle entrc @ Quale a d stância ponïoA[cos a, senêJ ao porìto
do
al A{3 , € Btr,a) dl Mt0, 2l € N [./6, -2J B(sen -cos al?
a,
bl Et3, e F(3,51 el Pt3, 3l e qi 3,3l
-rl I1. Umponto peftenc€ eixo âbscssâs é €qüÌdis
P âo d€s e
cl Ht-2, 5l e O(0, fl C(-a, 0l e D(0,
0l ra'redosoonLos .2JeBLt { euatssÍ;o coo.
AL a!
3l
denadas porìto
do P)
A
tgl Á dstáncia poJìro ]J aoponro
do A[a. B[0,2]é guaa [?
A aosc'"ade - r oorÌoP é -6 e s. ã d stáncE ponro
ao
" 3,CacLreovaorda âbscssã
a q0 3) e J7a. DercÍn d o-oelaoa po-ro.
-F oo
7. 14 . tomexto kaçóe5
Matemátka &Ap
Ì 3" Consderc um pontoP[x,y] cujad stâncÌa ponto
ao l :1,Demonstfe uÍntriângulocom vértices
q!e A[0 5],
A[5 3] ó sempíeduasvezesdstância Pao ponto
a de Bt3,-21 e Ct-3, -21 é isósce e calcu o seu
€s e
Bí --'. e5)dsco d çoes,
escÍe/a 1a eq-cÉo
J perímetÍ0.
quedeve satisfeita ascooÍdenadasponto
sef corn do P.
L,l!s!ls jlvEqr
Sejam g e Ptrêspontosdo
A, plano que
cartesìano,tais PdivideosegmentoiiB
numarazão =
r
nadarazão seção.
dè Observe figura
nâ que
âbaixo ostÍângulosAPCPBDsão
e semelhantes. PB
Então,temosì
AP X I_X P YE- Y'
pB xp -xg yp-ys
Coordenadas pontomédiode um segmento reta
do de
Dadoum segmento íeta ABtal que A(xÀ, e B(xB, vamosdeterminar coordênadãs M, o ponto
de yÀ) yB), as de
médiode A-B.
À(r"yJ
O ponto médioé o ponto divisorquedivideo segmento duaspârte5
em Sendo e B os pontosextre'
iguais. A
mosdo segmento com ponto médioM,teremos4
A-8, = L Ponanto:
t!18
;ì;
.# =* I. -) = x , - x , = xÁ- xM = 2 xv= x" *" = l!+
,,=
_+- r =
. g v : -& -r - y s - yo y*.- 2 yu - y^ - v,- y, &+
-
/48 yM - yB * - r - ys
yM
Coordenadas baricentro um triângulo
do de
Dôdo triângulo devértjces ya, B{xB, e C(xc,
um ABC A(xa, yB) yc),vamos
dêtêÊ
minaras
coordenadas baricenío
dec, dotriángulo
ABC.
ladoBc.Então = laj-lL
Seja o pontomédiodo
M xM y, = &+
"
Seja bâricentro Íiânguloquedivide medianã êmduas
Go do a AM partes,
em
oueumaé o dobro outra,
da Nesse E = z.
caso,
GM
8. .
CâpituloI GeomerÍladèlítka:
Ponanto:
.lq= *, ,o
,o =r= ". 2xM= x Á x c â 3 x c = x a + 2 x M= 3 x o = * o + z Ì o & -
cM xc X u -r" "
Xu xc
= 3xc:xÀ+xB+x.= xn = xot!+x.
. *: } j + - r :} 2yM y a- y c+ 3 y c y a+ 2 y M 3 y c y À 2 y s y . = +
: = = +
}=zv" + 1
Y,- Y Y -Y t 'n z
ys- y.- y,- Y +Y 32
- 3 yc= yo
6. Detemin€ pontornédio Ã8, nossegu
M, de nr€sca- Resolução:
como
nal!a! Y
al Ai3,-21 e Bi-t, 6)
zz)
1Y. ],enuo.
bl Ato,7l e Bi6, 0l
- a= - r .= t**= 6ìx= _13
Aí 1 .-Lì" Bí_] ' ì
"] 2 3) | 3/
-. l3+v
Resolução: 24=-=13+y=48-y:35
ConsideÉndo yM],
M[xM, temos:
LoSo,
B[-]3,3b1.
alx".= - ' '=1=r 8. Caculeoscornpf
mentosdasmedanasdeumtfaÍrguo
'22
devertces
A[2, 6],B(-4 2) e CtO,4l.
- ! -' =
v",= -:= a
'22
Mtr,-4)
bìr =i :=::?
22-
7+A 7 -1
Yv
22
"(. .i)
i)","ft Resohrção:
Obseruandoa ÍguÍa,temos:
M, é o pontornédio adoA-Bi
do
M, é o pontomédìo adom;
do un triângulo
M3 é o ponto
médodo tado m
Cálcu dascoofdenâdas Mjl
o d€
t2
J x= ::= l
v.,= r =_
' 22
. ïodorriânguto
M Í_ ]. Lì
4 2) Cálculo coordenád€sM2i
das de
7, Umâdasextrem dadesde urnsegmento o po|ro 0+2 =
é *= t
A(7, l3) e a ouÌÍa o ponto yl. Sendo ,- triângulo.
é Bix, Mt-3,2a)
0 ponto rnédto,deterÍnrne coordenadâs extrerni_
as da 46
dade do segÍnento.
B
9. Ma$mÍka. ontexto Ap
& kaçõe5
Cálcu dascoordenadasMs:
o de .1:t^ tP ' ^
- -
04 3 v, v" v t 3l-
2 y)-2i 6-36-3y ,
-211+3)-3(12-
á5)7=30+)?=6
v= :3
- Logo,
P(S,
6).
Vâmos
cacular,
agorâ, comprmentos Ínedia-
os das
Ì U. Seos vélKesde ur InángLlo os pollocAf . l)
são
Bt 2,3l e C(-4, 2), deteÍnìne cooÍdenadas
as do
lúediane sendoA(2, e Ms(-2,3):
ÃMs, -6) bâfc€ntrc
dessetâng!lo.
d(A,M3)= {(-2 -2Í + (3 + 6)' Resolução:
{
lvledana sendo 4,2)eM,(1,-l):
6M,, B(
dtB. = 10 4I + l-1- 2)' =
rvlt +
=rr5+s = l E
i,4ediana sendo
õM| C(0,4l e Mi[-], -21:
d(c, = ./(-r ol' + t-2 - 4y
r,1,) -
9. Dados pontosA[5, ]21 € B[]5, 31,deteÍm o
ne G:baricenÍo
[ponto encontrc med
d€ das anas]
os
ponto
Pdo segmentoÂBta quea râzão
entre Ínedi'
âs xo + It + xc
sabernos xc =
que e
:.
das APe PBsearouala
de
3
Resolução:
apz 3
PB3 5
Fazendo y),temos:
P[x,
I + 3 + r-2 ì 2
2x^x,5x
3
. 3 x 15
.+2t - lb) - 3(5- x)r2x- 30 = 15- 3r- Loqo, coôÍdenádâs barcenÍosão-i
as do e: 0u
33
sep, -*. * I.
cl
+5x=45=x=9
15. DeteÍm o pontomédio segmento e*rrcmidâ- 18, Numtiárìguo sósceles,aturae a med€na
ne do de a rclátivâs
à
des: bâse segmentos ncldentes.
são co Calcule medidã
a dâ
a)A[-],6) e B(-5,4l âltum isósceles véÊ
relatva base de urntriângulo
à BC de
b)A(r,-71 e B(3, -5) ucesAi5,3), Bt2,'21 Ct8,2).
e
c) A(-r, O e B(5,-2) 19. J.r osraleog"ÍÌo ABCD. M(l -2) e o oonlo e_
de
d)A( a, 2) eB(-2,-4) que
contrcdasdiagonais e BD.Sabe-se A[q, 3) e
AC
16. uÍnâ das e*uemìdades um segÍnento o ponro
de é 6(6. ) sàooorsvéÍtcesco1sec-ïvos. vel ilueâs
Ura
A[ 2, -2]. $bendo qle M[3, 2] é o pontomédio dagonàs cortam
se mutuamente Íneio,
ao dercrmrneas
desse s€gmento, caculeas coordenâdas ponto
do coofdenadas vértcesC e D.
dos
B[x,y], queé a oltm extrernidadesêgmento.
do 20. Delerm ascoordenadas ponto yl quedivide
ne do P(x, o
17. Câlcule compÍimentos medianas tÍiângulo
os dãs do Apl
segÍre_lo 0) e Br'7.20ì 'ìa dzão_ -
A[2.
cujosvédices ospontosA[0,0), 2) e C(2,4)
são B(4, PB4
10. (ò p i t ülol'úeoneüià a n a trÌc à :o o n t0 ê rp Ìà
'17
.tïïli;."::.ï:",:",T:.:":.p^"::ï.1,-"-dlll"1" Deterrnine
o bâficenrrc
dotÍiânsurovértÌces3J,
de 12,
I s ê9. ì o etre T ro a d e? . trê r' B j F r Ìrp .ocÍ
ê1r dó ls ,
] ," 6 l t,
È s glas
Condiçãode atinlramentode três pontos
Dizemos quetrêspontosdistintosestãoalinhados,ouquetrêspontossão
colÌredres, quandoexÍsteumaretaque passa petostres.
A, I e C sãotrêspontosalinhados.
Vejamos que ocoffequandotrês
o pontosA,B e C estãoalinhados:
Peloteoremade Tales:
AB A,B, AB x, x
AC A,C, ac O
AB A,B, AB
Ac A,C, AC
(D
h - y1
Comparando e @, temos:
Q
x: xr_Y:-Y,_y:-!,
_ Y t-Yt..> Yz -l t Y r-y, = n*
Yi-yj Xu X, X:X ,X:X :X,
+(x3 - xrxy, y,) (x, x,)(yj yr)= o + xry,- x3y,
- -xJ,+ !ú _x2,, +x,yt+xJt =o.+
lí
+xry: - xry3+ xry3 xryr + x3yr- x3y,: O
Oprimeiro
termo iguãÍdade
da corresponde
aoder"r,
"""," lï; ;; ;l Verifìqu€ o prìmêlÍo
que
podemos
DâL dizerque: l"' y, rl
SetrêspontosA(x| y1),
B(xzyJ e C(x3, estãoãtinhados,
yj) então:
]"' r' t
D = lx, y, 1 l:0
lx: Y: l
I L -*"0*.0*"0*o-o-.'
I
+ coruna abs.Èsas
dâs dospontos.
Obseruação:
Fâzendo
ocâminhoinverso,
podemos
verifica tambémquel
r
v' 'l
l'' y, 1
SeD:]x, 0,êntão
A(xi, ),S(x,, e C(x3, são
yr y,) yJ pontos
- cotineares
(recíproca pr.priedade
da anteri.r).
J
l x: Yr 1l
11. t8 .
Màtêníio tunrxlo AplloÍôer
&
I l.VerÍquese os pontos
Ai-3, 51,
80, ll e C(3,-1) 12. Sab€ndo ospontos -4), Bt- 1,-2) e C(2,t)
que Aia,
estão
alinhados. estão
ainhados,câÌclle
ovaorde a.
Resolução: Rêsoluçâo:
Usando coordenadas,
as cacuiâmosdeterminante:
o Seospontos estão
âlÌnhados,
devemosteÍ:
13 5 r
D=l r 1 1 =-3+15-l-3-5-3= 2 1 :A
3tl 211
=+15 15=0 Resovendoa equáqão,
teÍnos: .i
Corno = 0,os pontos
D dados
estão
alinhados. -2a-8-1+ / / -a=a,+
Observaçâo: ) 2a-a=8+ 1+3a= -9âa= -3
Logo, _3.
a:
13. Detêm o valofdex modo ospontosA[ 3,]l
ne de que
B[x,2] e C[-3, -]) sejaÍn vértices umnìesmo
os de
triángLro.
Resolução:
que
Para A, B e C sejâm vé(jces Ltm
os de tfiânguo,
eesnãodevem estaÍalinhados.
Então,
l-: r rl
Il z r l^ o - d-3-'+d--3,0,
t
geÒÍn€alcamente,pontos
AÍguÊrlustra, queos dados l- 3 - r r l
es6o" inhddo'.Tes ó
eÍão 1JÌa Tìesìa Íelê.oL sejd, è x -x + 3 + 3 = 2 x + -6 + x + -3
o processo Ít co qLre
ana gêrânte prcp edade.
a Logo,I -3.
x
23.Verifqueseos pontos: 25. Considerando fetar que passa
uma peospontos
al A(0,2),8t 3, l) e C[4,5] esião
alinhados; A(- I , 2l e B[4,2) e intercectaeixo
o y nopontoP,
blAt l, 31, al eCt-4, 10J
Bt2, podemsefosvénces detemine coodenadasoonto
as do P.
d€ uÍnmesmo ângulo.
t
24. DeteÍm x de mane queos pontos 51,
ne ra Ai3, Btl, 3l
e C(x,1)sejam vértices umt ângúlo.
os de
âo de uma reta
Seja â medida ânguloquea retaÌforma com o eixox. A medidãddo ânguloé considerada eixox para
o do do
a retâÌ, no senüdoanti-horário, denomina-se
e ,inclin
acãoda tetaJ.
12. Qpilülo1 ' Gmmetria ítka:
ma Fnroeera 19
Quantoà inclinação retãsnão-parâlelas eixox, podemos
de ao ter:
0o< a < 9 0 o 90o<o<180o
,
Sea reta ré paralelâao eixo )ç dizemos
que suainclinação
ézêro,ou seja, : 0..
d
podemos
Entáo, dizerque,pârâcadaretaÍroângulo d é únìcoê talque O.< d < 180".
CoeÍiciente
angularde uma Íeta
Consideremos retarde inclinação em relação eixox,
uma d ao
o coeÍiciente
angularoua dêclividade
dessaretaré o númerorealm queexpressa tangentêt.gonomêtrica
â
de suaincrinaçãoa, seja:
ou
m = tg,g ,
Vamosobservar vários
os câsos,
considerando < a < l8O.:
Oo
Parao-0',temos Para < q < 'ì80',
90"
m --tg0=tg0q:0. temos cr< 0:ì m < 0.
tg
4e)
Para0"<a<90', Para : 90', a tg a nãoé defìnida.
e Dizemos
então
temostge>0=m>0. que,quandoor= 90o, é, quandoa retaé verti
isto
cal,elã nãotem declividade.
13. 20 e .
Àlatemát Conro(o
&Aplka!Õês
agoraque é possível
Vejamos angulardê uma retaa partìrdascoordenadas dois de
calcular coefìciente
o de
Comoparao=0'(retahorizontal)adeclividadeé0eparao:90'(retaverticât)nãohádeclividade,vamos
ânalisar casos 0'< a < 90'e 90'< o < 180":
os de
1r)0.<a<90"
Sejã Íetadeterminada
Ìa porA(,yr)e B(x,,
y:)e seja
C(x,,yr).
NoÌriánguloretângulo
ABCG é reto),
temos:
d(C.B) Av
- d(4,C) Ax xz Xr
Então:
-_ v, v1
2r)90.<o<180"
A(x,,yr), yr)e c(xtr,
B(x,, y1)
retángulo (e é reto),temos:
NotÍiângulo ABC
.l/a aÌ
^v
d(A,
c) Àx
Comotg(180" o) : -tg e, vem:
v,
4 v,
,ì Àv ,2 ,l
tqo - Ìaa-:jL=
- x -x . -m - Ax X : -^ ,
Então:
Obsêrvequex, xÍjá quer nãoé paralela eìxo
+ ao y.
Podemos se yr)e
concluirque, A(xr, B(xr,yr)são pontos
dois quaisquer retaÌ, quenãoé paralela
distintos na ao
eixoy(xr xr),a
+ declividâdeo coeficiente
ou angulaÍde indìcaremos m,é dada
Ì,que por por:
v. v,
^v
ax x: Xr
Assim,temosduâsmaneira5 obteÍ o coeficiente
de angular de umareta,quandoele
existir:
. conhecendoainclinaçãooda m=
reta,calculamos t9 d;
. conhecendodois y': yr
pontos
A(xr,yr)e calculamos :
B(x/yr)dareta, m .
x: Xr
Naprática,é
maisdifÍcilobterâìnformâçáo
sobreã inclinàçãoda porissoé importante
reta, nuncaesquecerque
rn=J:-Jror.; Yr, Y:
ObseÌvaçáo: Agoravocêpode utilizâroutro métodoparaveriÍicar âlinhamento três pontos,
o de comparando
os
angulâres retasque passam
coeficientes dãs pelospontosdois a dois,Porexemplo, veíiÍicâçáo alinhamen-
na do
to de trê5pontosA{x| yì), B(x,,yr)e c(x3,y3)podgrn65 q66rÍs f!-l]!
vsrifiça1ss =
Ficaa seucÍitério
:.
usaresse
métodoou continuarutilizandoo determinanteparaverifìcaroalinhâmento náo de três pontos.
ou
14. -
(apíülo1 ' Gúmeíiâ ftìGr
ana poÌrrorcta
e
21
14. Calcule coeÍciente
o angutar rctaquepassa
da pelos
pontosA[2,3) B[4,D
e Oânsulooéasudo
Resoluçâo: ' [0'<d<90'],poìs
7-3 4 =2oum= " ConÍÌrm€
aonsrrulndo
a
= a =t
4'2 2 242- frguÌaaomA€8.
ì
propostos
Exercídos
:ìi:.,Determine coefrciefte
o anglrlar dectivìdade)
[ou da
|eraquepassâ petospontos:
al4t3,2) e Bt 3, -r)
bl At2,-3) e Bt-4,31
cl P,t3,2l e P,t3,-2)
dl Prt l, 4l ê P,t3,2l
el P(5,21 qt 2, -3)
e
0 4t200, 100) 8(300,801
e
ll: Seo é a Íned da Ìncl
da nâção urnê e m é a sua
de rcta
(o!
declivdâde coeÍìciente
angLtlat,
cornplete
a raDeEl
Equação reta quandosão conhecidos ponto
da um
Á(xo,yo) e a cieclividade da reta
m
Jávimosquedois pontosd istintos
dêtermina umareta,ou seja,
m dadosdoispontosd istintos,
existeumaúnica
rètaque pâssa
pelosdoispontos,
Damesma formã,um ponto A(xo,yo)e declividade dêterminâm
a m p(x,
umaretâÍ.Considerando y) um ponto
genérlcodessareta,veremos sepode chegaraumaequação, variáveis e, a panÍrdos números yoe
que de x xo, m,
que seíâchamadaequacàoda rcta r.
15" DetenÌin€ equação retar quepassa
a da peloponÌo
Al4.2l e tenìlnclinaçãode
45..
Resoluçâo:
consdefar pontop[x, y] q-ue
Varnos Lm penence
ã
NotfiânguloAPC é fero],
[ô temos:
ãT' Dì
UIÀ, UJ
=y-2=Ã(x-4)=y-2
Os paÌes y] quesatisfazem
[x,
=y-2 x+4=0+-x+y+2=0+ eçsaisualdãd€(soluções
da
equâçãol r€presentam
os
pontos rêtari t0, -21,[5,5J,
da
Logo, equação tlo,8l,( t _t e oütr3s.
a pedida
éx y - Z = 0.
15. 22 . (omeÍro Ap
MatemáÌka & kaçõe5
16, Deteffnineequação rctar quepassa
a da peo pomo Sem = -2, então Jìcinação ré urnâìguo obtu,
a de
angulaf = -2.
A[5,3) etemcoeícierìte m so,ou seja. 0 : 2.
tg
NotrlánglloACP,retángLr C,emq!€ P[x,y] é urn
o eÍn
p0nt0g€nófco rcta,
da Ìernos:
2=i-y 3 = -2[x 5)-
(y
{J=
yo) fr(x to)
1y - 3= -2x+ l0 = 2x- y - 3 t0 ={ =
=2x+y t3=0
f
Então, equação rctaré 2x + y - t3- 0
a da
podemos
Genericãmente obterâ equaçáo retaque passâ um ponto A(xo,
da por yo)etem um coefìciente
ân-
gular
m:
Considerando ponto P(x, qualquersobrea
um y) reta,temos:
m- Y-Yo y-y":m(x-x^)
-
ObseÌvaçõesl
1e)Aequaçãoy % = m(x xo)independe m serpositivo nêgativo da localização pontoA.
de ou e do
2:) Sea retaé paralela eixo)ç temosm = 0 e â equaçáo retasêrá
ao da dadâpory = yo.
3ã)Sea retaé paralelâ eixoy,todosos pontosda retatêm a mesma
âo abscissa equaçáo
ea sêrádãdapor x: xô,
17. Deteffnine €quação retaqle passa
a da peloponro R€solüção:
A(-1, 4) e Ìemcoefciente
angul€r
2. Jásabernos calcuÌaro
como coefrciente
angularda
rcta
R€dução: determináda pontos ], -21 e B[5,2):
pelos A[
Usando equâção - yo]= m(x xJ, temos:
a [y 2+2 2
n=Ys-]yA -4
Y-4=2[x t ]ll =r y - 4 = 2(x+ 1l + xe -Xa 5+l 6 3
.+y - 4- 2x+ 2=. -2x+y 6:0= usando pontoA[ ], -2l,temos:
o
= 2x y+6=0
y-t /ì-^( | ll-i'2-'-t.'lJ-
é 2x y + 6 = 0.
procLrmda
Aequação
18. Derermineeqirâção r€taquepassâ
a da petos
pontos =3y+€=2x+2ã2x 3y 4=0
- At-], -2) e Bts,2l. Aêqlaçãoda fetaABé 2x - 3y 4 = 0.
16. :
CapÍtulo 6!omèÍaanâtíriGrpontoercra
1'
outta resolução: 0s pontos r têrn
de ordenada quaquerqueseja
7, a
Chamando P(x,y) um pontogenéÍico retaAB,
de da
podemos aímãrqLt€ A e I estão
P, alnhâdos.
Logoi Logo, equação ré y = 7.
a de
V]
l Podemos jlstiÍcarass i seÍé pâÉela
tambérn m ao
l-l 2 ll:0:+-â+5y-2+10+y U=A= €ixo temcoeftcient€
x anguiaÍ = 0.
m
5 21
=-4x+6y+8=0= Log0:
=4x-6y 8=0=2x 3y-4-0 Y 7=0(Ì 4l=y 7=a+y=7
A €quação fetaAB é 2x 3y - 4 = 0.
da
oJ
19, DeteÍmÌnea equação retanosseguintes
da casos:
al r passa [4, , e é paráteta e]xo
pof ao x.
b) r passa (4,, e é paË€taaoeixo
por y.
Resolução:
êJ
Ser é pâralea eixo seus
âo y, pontos abscissa
têm
4, quaiquer seja ord€nâda.
que â
Logo, eqLiação fetaré x = 4
a dâ
propostos
Exerddos ,
r' DetenÌìne eqLração retaqLte
a da saÌisfaz segutnt€s
âs dJPassapelos
pontosA[3, e Bt-5,41.
])
condlgôes: el Passê
peopontop[-3, 4] eé pamtela exoy.
au
a)A declvdade 4 e passa ponto
é pelo A[2, -3).
b)A nclinâçãode 45'e passa ponÌo p(4, ll. 29, Vedftq!€ o ponto
se p[2, 3) penence fetaÌ quepassa
à
é peto
pelo
cJP€ssa pontoM[-2, S] e teÍncoeíicienre pelos
pontosA[ì, e B(0, 31.
]l
€n_
gular
0.
t
Vimosque a êquação retaque passâ um pontoA(xo, com dêclividade é dadaporl
da por yo) m
Y-Yo:m(x_xoj
se escolhermos ponto particulãr n),istoé, o ponto em que a retaintersectâ
o (0, o eixoy, parao ponto (xor
yÕ),
teremos:
y- n - m(x-0)+y- n : mx+y= mx+ n
o númeroreaI n, que é a ordènada ponro em que â reta Intêrsecta eixo é chamado
do o y,
. coeficiente
linear
Lcoêt5crênre tinêÍ
Lcoe6.iêntêanqúÌãÌ
17. MatemiÍie CorteÍtoAplkàçôes
&
Essaforma é especialmente
importantepoÍque permiteobter o coeficiente
angular uma retaa pâftirde uma equação,
de alémde expressar claÍamente a
y
coordenãda em funçãode x.
Éconhecida como formdfeduzido equãçáoda
dã reta.
íì
20. Detemne o coeÍcient€
ângular o co€Íìc
e €nt€ neaf rn =
SLrbstituindo 3 naparne eqLração
|a remos:
da fetadeequação + 3y : I
2x 3-n=_5= n=_8=n=8
Resoluçào: Logo,âequação = 3x
coffespondenteéy + 8.
2x+3V=l=3v= Zx+l:v: ?x+]
33
Faça exercÍcio
o r€solyido de
2l
Logo, coeÍcient€
o angLraf rn: : e o coeÍcente
é umaterc€ira rnanêirâ,
usndo o
lr
3 X Y ìI
21. Dêêrn êclo.rd .o. io" o" eo.d.aodd ."u. -l 5r
passa pelospontosA[],51e Bt-3, t).
3 t1
Resolução:
Vârnos,incalm€nte, cacular coefcient€
o anguafd€ 22. Detemne
â equação fe.llzida r€ta coftaos ei
cla que
xosnospontos 5, 0] e [0.3].
[
v" v. l5-6
Resolução:
-3+t 2 - A€quação daforrna = rnx+ n e.como Íetacorta
é y a
Usandoponto ].5l.temos:
o A[ o ex0y em[0.3], ternos = 3.
n
Y-Yr =mtx x,l+jr 5=3[x+]l+ Ficân'ìosentão, y = mx + 3. Como retapassa
com a
+y 5=3x+3+y=3x+8 Ìambem ponto 5,0].
peo vern:
[
Looo. pouú!;o o(
"
p -3 -8.
"d"ei 0 = Íìr[ 5]+3=5m=3+rn=9
Autu resoiuÇàt 5
A equação Í€duzidê rctaé dafoÍma : mx+ n
da y
Corno passa [-] 5l temos:
ea pof Logo €qìração
a pfocuÉdê = :x + 3.
éy
5:m[ ]l+n 23. Delenìlne €qlação
a feduzda rctar quepassa
da peta
Corno tambérn
ea passa [ 3, ]l,vern:
pof orrg€rnteminc Íìação 60'
e de
I =mi 3l+n
0svaofes m e n seéocaculados Í€solução
de pela Resolução:
do
A equâção ÍeduzÌda r é dafoffna = mx+ n
de y
Corno rpassa pela ofgem(0,01, tenìos = 0
n
fm -n = s ['+/=s Como ncinação de 60",então:
â é
[3m n=] lsÍl í:r m=ts60'=!ã
2rn:6=rn=3 Logo, €qlação
a rcduzi.la.le y = Jgx.
re
Exercício-spropostos
: Dada reta
a quet€rn eqLração3x4y = 7,detefm
a + ne Escr€va foffìraÍedu
fa
s!a decividad€. zda a eqLração reta
da
que passapeos pontos
r" Determne eqdação fetade coeÍicent€
a da arrgla Plr-2. e P't-1, -51
7)
m = 2 e queIntersecta y no ponto
o exo A[0, 3J
EscfevaeqLrâção:
a
.l Uína passa ponto ], 5l €rem
reta peo P[ coefcien al darctabssetrizdos
quadrânÌes
ímparcs:
bl dafetab ssetdz quadÉntes
dos pâÍesi
te anglrlâr = :-. EscrevaequaÇão rctanaforrna
rn a da cl do exox;
dl do exoy.
18. (apíÌulol. 6úÍìetdâanaíÌtc:ponroerch
Snrmasegmentáriada equação da reta
Consideremos retaÌ que não pâssa (0,0),inteÍsêcta êixox no ponto A{a,
uma por o QJ Intersecta eixoy no
e o
ponto A(0,b).
Calculando coeíiciente
o angular,temos:
o_b b
. â-0 a
Usando foíma reduzida : mx + n, em que m =
a y ! n : b, u"r,
a " Podenoscì€gàrão m€smo
b resultãdo
tonsiderando
!m
Y= - x + b+ay= -bx+ ab=bx + ay= ab pontogenérìco y) e
Ptx,
-,""," ll..
ltbã
Dividindo doismembros
os porâb (a + 0 e b + 0),têmos:
bxâvabx
---' +
aDaoabati
=) - +::1 lo r
-=-
Esta â forma
é segmenfárd equação retaquenáopassâ (0,0)e intersecta eixos pontos
da dâ por os (ô,
nos O)
e (0,b).
Exemplos:
1e)AfoÍma segmentáriâ
daequação retâ corra eixos (5, e (0,_21"a .. -L = 1.
da que os em O)
2e)Aretacuja equação naÍorma segmentária + I : .l (ortâoseixos (5,0) (0,2).
éI em ê
39)Sey:2x 5 é a equaçâode Íeta íorma
uma na podemos
reduzidô, chegaÍà
forma segmentárÌa:
y = 2x - s .+ 2x - y : s = 4 - ,L : r :- + I : j
55:-s -
2
tssàretacorla eixoç
os em - . 0J e (0, 5,
l
ì
., ......, l
24- Escrevâ íonÌa segrnentáda
na a equação rcÌaque
da
passa
pelospontos -]l e [-2, 4]. = -! 1 -, L = r
[j, 14 -14
Resolução: Tb
Determinamos
o coeÍcient€
angulâr:
Outraresoluçao:
m= =_1::
ConsideraÍnos gené co p(x,yl e fazemos:
o ponto
Usêndo ponto
o [3, ]1,ternos:
y+t=-[{
^gom
vâÍnos
I
3]
obÌeraeqlraçâo íorma
y+l=-[x-3]=5v+5=3À
na segrnentáÍìâ:
l;ir
-a
-x 4 12- 2-3y +4x= 0=
9+
33;1-5y:14341-L=1
'
ì3x qv=,r-3*-5Y
5y = t 4 -1 :l = t=
-, . 14 -14
- 3x
ã5
19. 26 , (onrexro
íftremátka. &Artka.óes
propostos
ExeÍ(í(ios
35, Escrevâ foffna
n€ a equação retaque
segrnentáÍia da ' Nafg!É dada, ponto é a of gern sstemâ
o O do de
satisíaz seguintes çô€s:
as cond coofdenadas oftogonaisOABC uÍnquadrado ado
e é de
al Passapelos
ponlosA(3,01 B[0,2]
e 4 Sabendo M é o ponro
que rnódio O*A N, o poJìb
de e
blP€ss€ pelos
pontos 0.)_q decliviçade
A(5, tem 2; médode OC,escreva equação rctaqlr€psssa
a da por
'c$kssapetospontoíp,3r: p"trâs);
-3),e C e M e a equação fetaquepassa
da porA e IÌ.
oìSud eq-açao /,ore i - -ì - 5
êo
:i ii, NaíguÍEdâda, ponto é aoÍigem sistema cooÊ
o O do de
denadasorrogonais
e OABC umquâdEdo ado3.
é de
Escre s equ€çãoda sLrpoi€ diagona
rcta da AC Í
geratda reta
ftll Equação
Todaretado plânopossuiumaequação
dêÍormai
âx+by+c-O
naquala,becsãoconstanteseâêbnãosãosimultaneamentenulos,Elaédenomifiàdaequaçãogeraldarcta.
Exemplot
ì
.y :x - I podeserescrità tormà
nà geralpor I ay -4=O-
3x
xv = I pode 1erdadana Íormageíàlpor 5x 2y 10 = 0.
. t
Z t
. y:5, queé pârâlela eixoX podeserdàda
ao porox+ ìy- 5 =o,
. x - 2,queé umâretavenical,
podeserdadâ por 1x + 0y 2=0.
.y - 3 5(x- 1)podeserdada por5x - ly - 2 : 0.
-
Observaçôes:
13) Vimosque a equação retapode serescrita várias
da de formas, resolução exercícios
Na de devemos escolhera
maÍsconveniente relaçáoaos
em dadose à proposta problema.
do
Assim:
. nâformay- yo=m(x-xo,identifìcamosainclinaçãoddareta(m:tgC[)eumpontodareta(xo,yo);
. nâ formareduzida mx + n, jdentificamos inclinaçáoo
y: â (m: tg o),o pontode interseciãoda
retacom o
eixoy (0,n) e aindâo ponto (1,m + n);
I
. naformasegmentària + + = t, idenrificâmos pontos intersetção retacom oseixos: O)e(0,b),
os de da (â,
b
x
v tl
. quandofazemosxr y, I :0, identiíicamos fazêrcálcu doispontosdâ rêtà(xr,yr)e{x/yr),
sem los
Y, 1
. aformageralax by + c:0 podeserobtida partìrde
+ â quàlquer dasantêriores.
uma
20. Apftulol . GeoneÍia
daÌítjor
p0nÌo
ereta
2ã)A mesma pode diversas
reta teÍ representações
naformâ geral, seja, + 2y _ 1:O,2x+4y _2=0,
ou x
x 2y + 1= 0 e inÍinitâs
equaçõesequivarentes por
a essa;. e.r" i"reo,e pr"r"riuut ,,obter
equação
geralda
reta,,a,,obìer umd
d equacãogeralda comonoexercício
reta,,, "rcrever
resolvido abaixo, exemplo,
31) Dadaumaequaçao 26 por
gerarde retar: ax + by + c = o,seucoefìciente
uma
,sanao.n.-. " o"ã"_ì"r"0,'0"rapidamente
""n"i", '
ou-. ffi---
4') A Í e t a r t a l q u e à x-b y.c-o i n re rse cràoseixosnospontosf- !,0ì"Í0,_..
à
1. ll*,"*".,,",i- l
' b/ ,,
Jobservàcò€s
Í
25. Escreva fomâs reduzÌda,
nas segmentáfa gera â
e ConoA,B e p estão alÍìhados,devemos
eq!€ção rerâquepêssa
da p€toporìto _6J e tem tefi
[],
Inctnação t3b.
de t
]'
Resolução: I 4 '] = 0 = 4x+ 3y- 3 - 12- V+ 3x = 0 =
I
Pelosdados prcblema mais
do é coJìveniente
escrcv€f 1s-: ri
rnr"r'en,ea.c-aL:oêorndg ,,.. n.. -,r. ,- 7x+ 2y - 15 = 0
Uomo = 135".
a então: zr. ê rgL' " ddd" .o po ro O e d
rÌ=tga=tgt35o= l o.i geì oo st,, I d o-
coo del add)otogonar e qB C Dê qLèr doo ae
E,como retapassa [], 6),temos:
a por -n
y+6=-t[x-]l èdo3J2 -s.Íeê Lnà poLêç:o gpra, retêdeÌetr
oa
nâdap€os ponÌosA e D.
Daiveml
5_ |
| " --"
. Ìorma segrnentãria:
y + 6 = - x + t = ì+y= s=-]:+{ =r
. foma o€ral:
y + 6 = - x + l =x+y-t+6 =0 +
+x+y+5=0 Resolução:
S€a ÍÌgu|a !m quadÍ€do
é Ìemos = OD.
OA
ADltdìooo eo,erêdeDttaoo.d.ro .érg-o,p€.g.
. Essa reminctinaçàoI35',
ÌPtã de passpeto
ponrc. lo AOD temos
r/, ôJ€ conãeixos [ 5,01eÍ0,_5ì.
€m fAD -rAO| OOr.- ;J. i - lo{r ! OAJ_
. O^rnân€ulo eta
qu€ d€rêÍmina oseixos !m
com e 2[oA]:= 163 1941: e = 64 =.
=
InangutoretànsÌrto
lsóscetes. a medtda
cltcute dà -
spnooêçcn. no is pr a d- coordenaoas
o1oou,
ar,
temosAt-3,01, B[0. 3].Ct3,0l Dt0.3l
26, Dere-r-,ne
,.o 9",u, ,"trì*1,-o,o o",0.
o" umaequação geral fetadeteffninâda DonÌos
"qur.;o da peios
pontos
A[], 4) e B[3, 3) AeDédadapor:
Resolução:
Vanìos
caÌcu a dectivÌdadefeta:
âr dâ
l' v tl
o I = o + -s + 3 y -3 x = o +
] -:
lo 3 r l
Conslderando
o ponto
A[], 41,
ternos: =3x 3y+9=O=x-y+3=0
Loqo.Lr
êequeÇão
ge.dtoètetae., _ j _ C
Y-Y =mLx x j=y 4=-:[x-]l=
2- .o. LreÌe^-Trne
os oofÌosde i.te.òecç;o et oe equd_
oê
77
=y-4 =--x+_+2v-8= 7+73 ção3x 2y- l2 - 0comoseixosxey
Resoluçào:
=7x+2y 15=0 o ponto intercecção o exox t€rnordenada
de com 0.
Logo,
íâzendo = 0,temos
y
Auïa resaluçaa:
3x 2.0 tZ=0=3x-12=0=3x=12+
unì p[x,
Corìsderamos porìto y] quatqler rctaque
da
passa ospontos B.
pe Ae Então, retacortro eixo noponto 0].
a r [4,