1. O documento introduz o conceito de derivada em matemática e seu uso para calcular taxas de mudança.
2. A derivada surgiu no século XVII e foi desenvolvida por cientistas como Leibniz e Newton para lidar com variáveis contínuas.
3. A derivada é uma ferramenta central no cálculo e permite aproximar valores de uma função à medida que os pontos se aproximam da curva.
1. O texto discute conceitos fundamentais da matemática como limites, paradoxos e dialética através de exemplos históricos como o Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga e a Esponja de Menger.
2. Zenão de Eleia usava paradoxos lógicos para questionar princípios matemáticos, como a impossibilidade de se completar uma série infinita de distâncias cada vez menores.
3. O conceito de limite esteve presente ao longo da história da matemática e foi fundamental para o desenvolvimento do
1. O texto descreve as propriedades geométricas e algébricas das circunferências, incluindo sua definição como conjunto de pontos equidistantes de um ponto central e métodos para representá-las algebraicamente.
2. A equação geral de uma circunferência é dada por (x-a)2+(y-b)2=r2, onde (a,b) são as coordenadas do centro e r é o raio.
3. Existem dois métodos para obter o centro e raio a partir da equação geral: por completação de
1) René Descartes estabeleceu a relação entre curvas no plano cartesiano e equações algébricas, mapeando cada ponto geometricamente no plano por sua posição cartesiana dada por pares ordenados de números.
2) Pierre de Fermat também contribuiu para o desenvolvimento da geometria analítica, associando equações de curvas e superfícies a coordenadas, mostrando que a álgebra pode ser usada para resolver problemas geométricos.
3) A geometria analítica fornece uma correspondência biunívoca entre
1) O documento discute o desenvolvimento da ciência desde a antiguidade até o século XX, com destaque para grandes descobertas como a de Copérnico, Kepler, Galileu e Newton.
2) É destacado que as novas descobertas sobre o cosmos colocam em questão noções comuns e levam a uma visão do universo em constante mudança e cheio de novidades.
3) Os avanços científicos desafiam a imaginação humana e levam a questionar os limites do conhecimento.
[Programação] Workshop: Novos Enfoques na Ultrassonografia de Carcaça - UnoesteAgroTalento
O workshop e curso irão discutir novos avanços na ultrassonografia de carcaça para melhorar a produção de gado de corte. O evento reunirá especialistas para debater como a técnica pode ser mais bem empregada e criativa no sistema de produção, e capacitar técnicos. O objetivo é promover a pecuária de precisão para maior competitividade e lucratividade.
A regra da cadeia fornece uma fórmula para calcular a derivada de uma função composta f(g(x)) em termos das derivadas de f e g. A fórmula é d/dx[f(g(x))] = (d/du[f(u)])*(d/dx[g(x)]), onde u = g(x). O documento apresenta exemplos ilustrando como aplicar a regra da cadeia para calcular derivadas de funções compostas.
O documento explica as regras da cadeia para derivar funções compostas de uma e várias variáveis. A regra da cadeia para funções de uma variável estabelece que a derivada de uma função composta é o produto da derivada da função externa pela derivada da função interna. As regras da cadeia para funções de várias variáveis generalizam esse princípio para derivadas parciais. Exemplos ilustram como aplicar essas regras para calcular velocidades e derivadas de funções definidas por equações.
1) O documento discute o conceito e aplicações de derivadas no cálculo de esforços em vigas. 2) É explicado como derivar funções de momento fletor e esforço cortante para determinar esforços máximos em diferentes tipos de vigas. 3) A derivada é uma ferramenta importante no dimensionamento de vigas para suportar carregamentos.
1. O texto discute conceitos fundamentais da matemática como limites, paradoxos e dialética através de exemplos históricos como o Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga e a Esponja de Menger.
2. Zenão de Eleia usava paradoxos lógicos para questionar princípios matemáticos, como a impossibilidade de se completar uma série infinita de distâncias cada vez menores.
3. O conceito de limite esteve presente ao longo da história da matemática e foi fundamental para o desenvolvimento do
1. O texto descreve as propriedades geométricas e algébricas das circunferências, incluindo sua definição como conjunto de pontos equidistantes de um ponto central e métodos para representá-las algebraicamente.
2. A equação geral de uma circunferência é dada por (x-a)2+(y-b)2=r2, onde (a,b) são as coordenadas do centro e r é o raio.
3. Existem dois métodos para obter o centro e raio a partir da equação geral: por completação de
1) René Descartes estabeleceu a relação entre curvas no plano cartesiano e equações algébricas, mapeando cada ponto geometricamente no plano por sua posição cartesiana dada por pares ordenados de números.
2) Pierre de Fermat também contribuiu para o desenvolvimento da geometria analítica, associando equações de curvas e superfícies a coordenadas, mostrando que a álgebra pode ser usada para resolver problemas geométricos.
3) A geometria analítica fornece uma correspondência biunívoca entre
1) O documento discute o desenvolvimento da ciência desde a antiguidade até o século XX, com destaque para grandes descobertas como a de Copérnico, Kepler, Galileu e Newton.
2) É destacado que as novas descobertas sobre o cosmos colocam em questão noções comuns e levam a uma visão do universo em constante mudança e cheio de novidades.
3) Os avanços científicos desafiam a imaginação humana e levam a questionar os limites do conhecimento.
[Programação] Workshop: Novos Enfoques na Ultrassonografia de Carcaça - UnoesteAgroTalento
O workshop e curso irão discutir novos avanços na ultrassonografia de carcaça para melhorar a produção de gado de corte. O evento reunirá especialistas para debater como a técnica pode ser mais bem empregada e criativa no sistema de produção, e capacitar técnicos. O objetivo é promover a pecuária de precisão para maior competitividade e lucratividade.
A regra da cadeia fornece uma fórmula para calcular a derivada de uma função composta f(g(x)) em termos das derivadas de f e g. A fórmula é d/dx[f(g(x))] = (d/du[f(u)])*(d/dx[g(x)]), onde u = g(x). O documento apresenta exemplos ilustrando como aplicar a regra da cadeia para calcular derivadas de funções compostas.
O documento explica as regras da cadeia para derivar funções compostas de uma e várias variáveis. A regra da cadeia para funções de uma variável estabelece que a derivada de uma função composta é o produto da derivada da função externa pela derivada da função interna. As regras da cadeia para funções de várias variáveis generalizam esse princípio para derivadas parciais. Exemplos ilustram como aplicar essas regras para calcular velocidades e derivadas de funções definidas por equações.
1) O documento discute o conceito e aplicações de derivadas no cálculo de esforços em vigas. 2) É explicado como derivar funções de momento fletor e esforço cortante para determinar esforços máximos em diferentes tipos de vigas. 3) A derivada é uma ferramenta importante no dimensionamento de vigas para suportar carregamentos.
O desafio da implementação | encontros com o nexoNexial
O documento discute a importância de equilibrar diferentes perfis profissionais em uma empresa, como visionários, executores, detalhistas e implementadores. Também enfatiza a necessidade de colocar os profissionais certos nos cargos adequados para maximizar o sucesso da organização.
O documento descreve a programação cultural do projeto Hype Maniçoba em 2009, incluindo uma festa com apresentações musicais e artísticas regionais na Bahia. O texto também fornece a receita tradicional do prato típico baiano "Mandioca Hype".
A algebta surgiu da necessidade de representar problemas matemáticos de forma mais abstrata, utilizando símbolos em vez de objetos concretos. Isso permitiu resolver problemas cada vez mais complexos. A álgebra é basicamente o estudo de polinômios e equações algébricas, que surgiu com o trabalho do matemático persa Al-Khwarizmi no século 9.
1) O documento descreve as seções cônicas, em especial a parábola. Apresenta sua definição geométrica como o lugar dos pontos de uma distância fixa de um foco e uma reta.
2) Explica como construir graficamente uma parábola e identificar seus elementos como foco, vértice e diretriz.
3) Deriva a equação algébrica de uma parábola a partir de seus elementos geométricos.
O documento discute estatística, seu desenvolvimento histórico e aplicações atuais como censos demográficos. Apresenta gráficos com dados populacionais do Brasil e taxas de venda de agrotóxicos em três países europeus.
O documento discute os problemas causados pela poluição do ar, como doenças respiratórias e danos ao meio ambiente. A poluição é gerada principalmente por veículos e atividades industriais e afeta a saúde humana e os ecossistemas. O efeito estufa contribui para o aquecimento global e pode causar graves problemas no futuro.
O documento discute a evolução histórica da matemática, desde os primeiros estudos de movimentos aparentemente aleatórios até a definição formal dos números complexos. Trata dos principais conceitos como fractais, conjunto de Mandelbrot e representação geométrica dos números complexos.
} O documento discute as razões para resistir às mudanças, como preferir o "jeito antigo" e não ter tempo para aprender coisas novas. Também aborda como a tecnologia disponibiliza poder para as pessoas, mas algumas resistem à mudança.
Relatório de pesquisa para o cliente IBRAVIN realizado como Trabalho de Conclusão da Disciplina "Pesquisa em Comunicação Publicitária" (Fabico 2009/1). A técnica de pesquisa utilizada foi grupo focal, aliada a instrumentos de técnicas projetivas.
1) A Net Aula Unicanto tem o objetivo de reforçar os conteúdos estudados pelos alunos por meio de resumos, webaulas, exercícios resolvidos e gabaritados. Isso pretende auxiliar principalmente os alunos com dificuldades de tempo para estudar e concluir os estudos.
2) A plataforma pretende ser mais um instrumento de aprendizagem e estímulo para os alunos continuarem seus estudos no ensino fundamental, médio, formação profissional e acadêmica.
- O documento fornece instruções para modelar uma face humana no Blender, incluindo dividir a tela em duas janelas 3D, adicionar imagens de referência, alinhar as janelas e preencher as áreas com polígonos.
O documento resume as principais ideias de um trabalho de ciências sobre meio ambiente realizado por alunos do 6o ano. Em 3 frases ou menos:
1) O trabalho trata da importância da coleta seletiva, da reciclagem e da redução da poluição para preservar o meio ambiente.
2) Ele propõe formas de transformar o lixo em algo útil, reinventar espaços naturais e necessidades do ambiente para viver de forma sustentável.
3) O documento enfatiza a importância de consumir menos recursos naturais
Este documento apresenta os objetivos e programa da disciplina de Gestão da Informação e do Conhecimento. Discute os trabalhadores do conhecimento e as fases da criação e desenvolvimento do conhecimento organizacional, incluindo fontes do conhecimento, abstração do conhecimento e conversão do conhecimento.
1) O documento descreve a chegada dos primeiros imigrantes italianos ao Brasil em 1874.
2) A imigração italiana para o Brasil só foi oficializada em 1875, apesar de ter começado antes.
3) Antes disso, a viagem dos imigrantes em navios era arriscada e perigosa.
O documento discute como a internet pode ser usada para promover a comunicação entre a universidade e a terceira idade. Primeiro, apresenta o envelhecimento demográfico e como a web 2.0 possibilita a participação dos idosos. Em seguida, destaca exemplos de tecnologias sociais na web que buscam a comunicação com a terceira idade. Por fim, defende que a universidade pode se comunicar com esse público pela internet de forma personalizada.
O documento discute o gênero musical rock progressivo, destacando suas principais características como a fusão de estilos como jazz e música erudita e o uso de efeitos e instrumentos eletrônicos. Grupos como Rush, Yes, Genesis e Eloy são citados como exemplos do estilo. O texto também fornece uma breve bibliografia sobre o assunto.
1) Era uma noite fria de inverno e os pastores dormiam abrigados com suas mantas. Um pastor convida os outros a irem a Belém para ver Jesus recém-nascido.
2) Um pastor chorava desconsolado embaixo de uma árvore porque queria ir ver Jesus, mas seus pés estavam presos na terra. Um lenhador ouve o choro e leva a árvore para presentear o menino Jesus.
3) Quando chega a Belém, a árvore se ajoelha diante de Jesus e diz que trouxe
O documento conta a história de um pastor que encontra uma árvore chorando na noite de Natal porque queria ver Jesus recém-nascido. O lenhador tira a árvore da terra e a leva para Belém para presentear o menino. Quando chega, a árvore fica contente por poder ver Jesus e ser colocada em seus galhos como presente de Natal.
O documento discute os problemas relacionados ao uso de drogas como o crack, álcool e tabaco. O crack é feito da planta da cocaína e é muito mais potente e viciante, levando à dependência química e comportamentos de risco. O álcool afeta o cérebro, estimulando a liberação de neurotransmissores que causam euforia inicialmente, mas levando à inibição com consumo contínuo. Fumar traz riscos significativos de doenças respiratórias e câncer.
1) A teoria de Arrhenius define ácidos e bases em termos de íons liberados em solução aquosa, sendo ácidos substâncias que liberam H+ e bases substâncias que liberam OH-.
2) A teoria de Brønsted-Lowry define ácidos e bases em termos de doação e aceitação de prótons, sendo ácidos espécies doadoras de prótons e bases espécies aceitadoras de prótons.
3) A teoria de Lewis define ácidos e bases em termos de doação e aceitação de pares de el
O desafio da implementação | encontros com o nexoNexial
O documento discute a importância de equilibrar diferentes perfis profissionais em uma empresa, como visionários, executores, detalhistas e implementadores. Também enfatiza a necessidade de colocar os profissionais certos nos cargos adequados para maximizar o sucesso da organização.
O documento descreve a programação cultural do projeto Hype Maniçoba em 2009, incluindo uma festa com apresentações musicais e artísticas regionais na Bahia. O texto também fornece a receita tradicional do prato típico baiano "Mandioca Hype".
A algebta surgiu da necessidade de representar problemas matemáticos de forma mais abstrata, utilizando símbolos em vez de objetos concretos. Isso permitiu resolver problemas cada vez mais complexos. A álgebra é basicamente o estudo de polinômios e equações algébricas, que surgiu com o trabalho do matemático persa Al-Khwarizmi no século 9.
1) O documento descreve as seções cônicas, em especial a parábola. Apresenta sua definição geométrica como o lugar dos pontos de uma distância fixa de um foco e uma reta.
2) Explica como construir graficamente uma parábola e identificar seus elementos como foco, vértice e diretriz.
3) Deriva a equação algébrica de uma parábola a partir de seus elementos geométricos.
O documento discute estatística, seu desenvolvimento histórico e aplicações atuais como censos demográficos. Apresenta gráficos com dados populacionais do Brasil e taxas de venda de agrotóxicos em três países europeus.
O documento discute os problemas causados pela poluição do ar, como doenças respiratórias e danos ao meio ambiente. A poluição é gerada principalmente por veículos e atividades industriais e afeta a saúde humana e os ecossistemas. O efeito estufa contribui para o aquecimento global e pode causar graves problemas no futuro.
O documento discute a evolução histórica da matemática, desde os primeiros estudos de movimentos aparentemente aleatórios até a definição formal dos números complexos. Trata dos principais conceitos como fractais, conjunto de Mandelbrot e representação geométrica dos números complexos.
} O documento discute as razões para resistir às mudanças, como preferir o "jeito antigo" e não ter tempo para aprender coisas novas. Também aborda como a tecnologia disponibiliza poder para as pessoas, mas algumas resistem à mudança.
Relatório de pesquisa para o cliente IBRAVIN realizado como Trabalho de Conclusão da Disciplina "Pesquisa em Comunicação Publicitária" (Fabico 2009/1). A técnica de pesquisa utilizada foi grupo focal, aliada a instrumentos de técnicas projetivas.
1) A Net Aula Unicanto tem o objetivo de reforçar os conteúdos estudados pelos alunos por meio de resumos, webaulas, exercícios resolvidos e gabaritados. Isso pretende auxiliar principalmente os alunos com dificuldades de tempo para estudar e concluir os estudos.
2) A plataforma pretende ser mais um instrumento de aprendizagem e estímulo para os alunos continuarem seus estudos no ensino fundamental, médio, formação profissional e acadêmica.
- O documento fornece instruções para modelar uma face humana no Blender, incluindo dividir a tela em duas janelas 3D, adicionar imagens de referência, alinhar as janelas e preencher as áreas com polígonos.
O documento resume as principais ideias de um trabalho de ciências sobre meio ambiente realizado por alunos do 6o ano. Em 3 frases ou menos:
1) O trabalho trata da importância da coleta seletiva, da reciclagem e da redução da poluição para preservar o meio ambiente.
2) Ele propõe formas de transformar o lixo em algo útil, reinventar espaços naturais e necessidades do ambiente para viver de forma sustentável.
3) O documento enfatiza a importância de consumir menos recursos naturais
Este documento apresenta os objetivos e programa da disciplina de Gestão da Informação e do Conhecimento. Discute os trabalhadores do conhecimento e as fases da criação e desenvolvimento do conhecimento organizacional, incluindo fontes do conhecimento, abstração do conhecimento e conversão do conhecimento.
1) O documento descreve a chegada dos primeiros imigrantes italianos ao Brasil em 1874.
2) A imigração italiana para o Brasil só foi oficializada em 1875, apesar de ter começado antes.
3) Antes disso, a viagem dos imigrantes em navios era arriscada e perigosa.
O documento discute como a internet pode ser usada para promover a comunicação entre a universidade e a terceira idade. Primeiro, apresenta o envelhecimento demográfico e como a web 2.0 possibilita a participação dos idosos. Em seguida, destaca exemplos de tecnologias sociais na web que buscam a comunicação com a terceira idade. Por fim, defende que a universidade pode se comunicar com esse público pela internet de forma personalizada.
O documento discute o gênero musical rock progressivo, destacando suas principais características como a fusão de estilos como jazz e música erudita e o uso de efeitos e instrumentos eletrônicos. Grupos como Rush, Yes, Genesis e Eloy são citados como exemplos do estilo. O texto também fornece uma breve bibliografia sobre o assunto.
1) Era uma noite fria de inverno e os pastores dormiam abrigados com suas mantas. Um pastor convida os outros a irem a Belém para ver Jesus recém-nascido.
2) Um pastor chorava desconsolado embaixo de uma árvore porque queria ir ver Jesus, mas seus pés estavam presos na terra. Um lenhador ouve o choro e leva a árvore para presentear o menino Jesus.
3) Quando chega a Belém, a árvore se ajoelha diante de Jesus e diz que trouxe
O documento conta a história de um pastor que encontra uma árvore chorando na noite de Natal porque queria ver Jesus recém-nascido. O lenhador tira a árvore da terra e a leva para Belém para presentear o menino. Quando chega, a árvore fica contente por poder ver Jesus e ser colocada em seus galhos como presente de Natal.
O documento discute os problemas relacionados ao uso de drogas como o crack, álcool e tabaco. O crack é feito da planta da cocaína e é muito mais potente e viciante, levando à dependência química e comportamentos de risco. O álcool afeta o cérebro, estimulando a liberação de neurotransmissores que causam euforia inicialmente, mas levando à inibição com consumo contínuo. Fumar traz riscos significativos de doenças respiratórias e câncer.
1) A teoria de Arrhenius define ácidos e bases em termos de íons liberados em solução aquosa, sendo ácidos substâncias que liberam H+ e bases substâncias que liberam OH-.
2) A teoria de Brønsted-Lowry define ácidos e bases em termos de doação e aceitação de prótons, sendo ácidos espécies doadoras de prótons e bases espécies aceitadoras de prótons.
3) A teoria de Lewis define ácidos e bases em termos de doação e aceitação de pares de el
O documento discute as teorias sobre ligação covalente, incluindo a regra do octeto de Lewis e exceções a ela. A ligação covalente dativa é explicada onde um átomo fornece elétrons para completar o octeto de outro átomo, ilustrado pelo exemplo da molécula de ozônio O3.
O documento fornece uma introdução sobre a história da química, mencionando o Big Bang e a formação dos primeiros elementos químicos. Também descreve brevemente a formação da Terra e da vida, assim como o desenvolvimento inicial da humanidade e da ciência. Finalmente, apresenta uma lista de tópicos a serem discutidos sobre grandes figuras históricas da química.
[1] O documento apresenta uma tabela periódica dos elementos químicos organizados em linhas e colunas de acordo com suas propriedades.
[2] Os elementos são agrupados de acordo com suas massas atômicas crescentes e propriedades químicas semelhantes.
[3] A tabela permite visualizar tendências periódicas e prever propriedades dos elementos de acordo com sua posição no sistema periódico.
1) O documento descreve um experimento para estimar o tamanho de moléculas adicionando um ácido orgânico insolúvel em água sobre uma superfície de água. Isso forma um círculo de moléculas organizadas.
2) Ao medir a área do círculo e o volume de ácido adicionado, calcula-se que cada molécula ocupa um volume de 5,12x10^-22 cm3.
3) Dada a massa e densidade do ácido, calcula-se que 282g desse ácido contém aproxim
O documento discute reações químicas, incluindo seus componentes, tipos, equações e propriedades. É descrito que uma reação química envolve a transformação de substâncias em novos compostos, e exemplos de reações como combustão e dupla troca são apresentados. Equações químicas representam graficamente as reações através de índices, coeficientes e símbolos para reagentes e produtos.
[1] O documento discute conceitos de oxidação e redução, onde oxidação é a perda de elétrons e redução é o ganho de elétrons.
[2] É definido que o agente oxidante provoca oxidação e sofre redução, enquanto o agente redutor provoca redução e sofre oxidação.
[3] São apresentadas regras para balancear reações de oxidação-redução, identificando os elementos que oxidam e reduzem e calculando as variações no seu número de oxidação.
O documento descreve a história da tabela periódica, incluindo as contribuições de Döbereiner, Newlands e Mendeleiev. Explica a organização dos elementos de acordo com seus números atômicos em períodos e grupos, e as propriedades dos metais, ametais e gases nobres.
O documento resume os principais pontos sobre a tabela periódica, incluindo:
1) Uma breve história da tabela periódica desde as primeiras tentativas no século XIX até a versão atual baseada no número atômico;
2) A organização atual da tabela periódica em períodos e grupos com base no número atômico;
3) As propriedades químicas dos elementos em cada grupo.
O documento apresenta 8 regras para determinar o número de oxidação de átomos em substâncias iônicas e moleculares. A regra 1 trata de elementos em substâncias simples, a regra 2 de íons monoatômicos, e as demais regras tratam de elementos em substâncias compostas, incluindo hidrogênio, oxigênio, calcogênios e halogênios. A regra 8 estabelece que a soma dos números de oxidação em uma substância ou íon deve ser igual a zero ou à carga do íon, respectivamente
O documento descreve três tipos de reações químicas: 1) Reações de síntese e análise, onde novas substâncias são formadas a partir de outras; 2) Reações de deslocamento ou troca simples, onde um elemento desloca outro de uma substância composta; 3) Reações de substituição ou dupla troca, onde duas novas substâncias compostas são formadas a partir de outras duas existentes.
1. O documento apresenta regras para determinar o número de oxidação (Nx) de elementos em substâncias químicas.
2. As regras indicam que, em substâncias simples, Nx é igual a zero, e em íons simples Nx é igual à carga do íon.
3. A soma dos Nxs de todos os átomos em substâncias compostas é igual a zero.
O documento discute oxidação e redução, definindo-as como ganho ou perda de elétrons respectivamente. A oxidação aumenta o número de oxidação (NOX) e a redução o diminui. Reações redox envolvem um elemento sofrendo oxidação e outro redução, com o número total de elétrons mudando de lugar sendo igual.
O documento discute a evolução do modelo atômico desde os gregos antigos até Bohr. Aborda as ideias de Demócrito, Dalton, Thomson, Rutherford e Bohr sobre a estrutura atômica.
1) Distribuição em camadas:
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 4d10 4f14 5s2 5p6
2) Distribuição em ordem energética:
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 4d10 4f14 5s2 5p6
3) O subnível mais energético é o 5p.
4) A camada de valência é a 5p.
5) 2 elétrons na camada 1s, 2 na 2s,
O documento discute termos da química presentes em um poema de Augusto dos Anjos. Três palavras se referem a óxigênio (O2), nitrogênio (N2, 78%) e carbono, elementos importantes para a vida. Uma quarta palavra refere-se a uma série homóloga cujo primeiro membro é o metano (H3C-O-CH3).
O documento discute os tipos de ligação química, notação de Lewis, geometria molecular, hibridação de orbitais e teorias da ligação covalente. Resume os principais tipos de ligação (iônica, covalente e metálica), a regra do octeto e exemplos de geometrias moleculares com base no número de pares de elétrons.
O documento discute os tipos de ligação química, incluindo ligação iônica, covalente e metálica. Explica como a regra do octeto influencia a formação dessas ligações e como a eletronegatividade determina o caráter iônico ou covalente. Também aborda as características dos compostos formados por cada tipo de ligação.
O documento discute os tipos de ligações químicas, incluindo ligações iônicas, covalentes e coordenadas. Também aborda a polaridade de ligações e moléculas, bem como ligações intermoleculares como interação dipolo-dipolo, pontes de hidrogênio e ligação de Van der Waals.
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
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Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
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póxirnada r.edidado rao, o5 adosde.âda Íâng! o rêm de se
aproxmêrbastânte qle
deâ,oqlefazcom hâja'nf nroírránquos
b) Cà.! e a áreado circLr sê9! ndo a propoÍa de Keper ConrÈ
o
À I
)À -rb
22t"
"Na Matemática, â experiência
se AqLr, bases Íâng! 05 sãoas cordas cír.! o EnËo,
as dos do d
nãointervémdepois sedeuo pri-
que q!antotendei !asoma?
.) Compêre teslltado
o en.ontÌado corna fórn-ru da áÌ€ado.ír-
a
meiropasso, porquenãoé maispre-
é c! o quevocêconhece
cisol' oontes Mi.anda)
de dl Vocêécàpèzdedes€nvolver rãcÌocínio oqo paraLrma
ané esfera
no cãsodo cálcLro se! vo Lrme?
dô 5u9€Íao:maqine eíeÍa
a
"Não é paradoxodizer que em con-rpoía pirãmlde5 vérlices
de coÍì nocenÍo dè estera ba
€
nossos momentosmais teóricospo- ses nunitesmaispróximas sLrpeífíce.
dâ
Neste câpí1! vocêtrabahará
o com o.on.eÌro det.xa de vêria
demos estarmaispróximos nossas
de
çãol Então,vèmo! os prtrneiros
dar passos aqui.
aplicações maisprátic A.N.
as: whitehead)
2. A ètuÍado ni vedeá!!ade!mreseruatóroconìaformadeum
conJërimos ídéíade que estacíêncíc!
a parè epipedo
e varlo!d uíânte periodo qLre abaÍecido,
o em ío como
tem emsí seupróprio objetode estudo.
O coaceíto derívadaaparece
de no Alturâ (em
daá9uâ meirôt ob"-"çã. í"ir";;í;;i;â;
séculaXVII descoberto Leíbníze
por
Newton,quanclo cálculo estava
o já sen- i lJ
1,5 :'r,o,u
2q hora ]
do desenvolvído vfutudeda pleo-
em 2,5
2,5 3chora
3chora
cupação matemritícos,
de comoGalileu zr +.Áóii
j s.noã l
eKeple como conceíto quantidades
de
indívísíveis.
Ma.k taftle,o usodecoorcle- i rt 6sho. I
nadasa.dotado Fermate Descartes
por
J '.f."
a) Qla ÍoÌocrescmênrodo nívelda águadetie reser/atóro
enÍe
cotltribuíupara o arançoda análíse in- oi na dá i s horâeofi na da4ehora?
rtnitusímaLÍ.cilítuda pela conjunção b) OLranÌonírelda
o por
ág!àcresceu hoÊ,en'r médiè,nesseperíodo?
qle
c) tulostÍe o cresc mentoriédio hoÍáÍÌo a tlrè dè ágla no
dà
álgebra/geometría.
r€seÍvâtóro enireâ 1êe a 73 horanãofo ÌSUèao cÍe5cimenro
Este tópico pode ser consíd.erado médi ohoéri o€nÍeofnal da a e4Êhora
l
um elo e tre a conclasao dafonnaçAo qle
d) l,1ostre entÍea 5s e 7?hora, nire da ágLrâ
o âumento!em
médi :horára 5do ql e entr€ tê e4qhora.
ma è
matemátícad,oenshlomédíoe o írlícío
daformação do ensinosuperior, Neste 3. Estrnaseqle daqui t anos, população !ma ceriacomunlda
a a d€
aryítalo serão íntrodazidas as iqter- d€.e; d.d. oo D t..0-
prctações algebríca e geotuétrica d,o a) Qlalé a pôpLr
âçãoatlaldessacorÌrLrn
dãde?
co ceitode de vada de wmafunçã.o e bl Qualseíá popuâçãode5sè
a cornLrndâdedaq! a I ànol
c) Quanto essâpopuaçãô cres.erá, médiâ,
eÌn nessÊ leano?
suaspr imeíras lícações.
ap d)Ql a será pop! ação
a desra.om!n dêdedâqu 2 ânos?
a
e) QLranto essapopLrlaçãocrÊscerá, méda, dLrrante
em esseç
2
3. 228 . contexto
MaterÌìári(à &Aplkaçôes
Explorando idéia de derivada
a
Vamosiniciar explorâçáo
a por
intuitivada idéiade delivddo meioda idéiade votioçAo
deumafunção.
Consideremosgráfìco:
o
Ì
t
Obseruemos quandoa variável
que, porevaiatéx1", o conjuntodevalores
independente "passa
x daÍunçâo
'passapor f{xJ e chegaatéf(x,)".chamâmos voiaçãomédiaddÍunçáonesse
de trechoo quociente:
f(x,)- f(xo)
Exemplor
percorrido um ponto móvelnê55êtempo,temos
indepêndênte o tempote S é o espãço
Seavariável é por que
Séfunçãodete escrevemos5 S(t),
- que éa equação horáriâ ponto materialemmovimento.
do
Entreos instantes e tl, o ponto materialse desloca s(to)até S(). A variação
to de médiada funçãoS nesse
1Úecho avelocidade
oú médiacom entreto e tt é dadapor:
que o ponto mâterialsedesloca
s(t,)- s(to)
v _
observemos que,fìxandox./ a vâíiaçãomédiada Íu nção,rêlôtivamenteà variaçáo variável, é constante
da náo
e dêpendedê xr, Assim, tomandováriosx1 câdâvez mais próximos , é possível
de (masnem sempre) que essa
variação médiatêndâ a um determinado valor.Ocorrêndo isso,no limite,quandox1 tende a xd a variaçáomédia
tende a um valor quê será chàmadode taxa de vaiação instantâneano ponto . À tãxa dê variâçãoinstantâneãdâ
íunçãono ponto xochamaúos de deivada daÍunçáoÍ em Íêlação variávelxno pontoxoe Íeprêsentamos
à por:
. í{xJ
Vamos numa
escrevêìà lìnguãgem convenìênte.
mais
' FazendoÀx: xoêÀy: f(xr) f(), temos:
xj -
Avariaçáo dê pela
média umaÍunçãoédada razão:
_ f(x J- f{xo) _ f(xo + Áx)- í(xol
^y
Ax Xr Xo ax
4. Comoconsideramos variâôdo
xl paraseaproximâr apenas x, e a variação
de, vamoschâmá-lo de médiada
funçãopassâ,
entâo,a serdadapoí:
Ày f(x) f(xo) _ f(xo + Àx) f(x0) (taxa variação
de médiada
Áx X xo funçãono intervalo x])
[xo,
Assim, variação
a da í àva ávelxnoponto
instantânea funçãoÍ no ponto xooua derivada íunção emrclação
do
xoé dadapor:
f'(xo):
Âlimo^y
Àx
que
Dizer Ax -ì o é o
que
mesmo drzêr r xo
x
,. í(x) f(x^)
r lx^l = llm
x+ xo x xo
ou,ainda:
lq!-érl jqll
Í{xo) .limo
Exemplo:
No casodo ponto materialemmovimento, quandotr tendea to,a velocidade
médiapodetendera um valoÊ
limiteque daráa velocidade
instantânea instanteto.
no
And logd
menre exemplo
ao er Át t
ânr ior.tazendo toeÀS--S(tr) sko), Lemos:
médiaédada pelaÍâzão:
Avelocidade
_ +
_ 5(t,) s(to) s{to s(t")
^s
Àt t, ro ^t)
Comofìzemos tenderã to,podemos
t1 apenas
chamá-lo médiano intervalo
det, e a velocidade detoa t1édadâ,
então,Dor:
5(t)- s(to) S o + À0 S(t")
^s
Àt t-to
instantânea instânteto é obtida quândofazemos tenderâ to ou, equivalentêmente,
Logo,a velocidâde no t
quandofazemos tenderâ O,Ponanto,
Àt por
representando ,,ìa velocìdade instantânea ihstanteto,
no temos:
v-,= lrm v-= rrm -
'i r'-D rÌ-à Àt
.. s(t)- 5(t")
v ,,, = l l m -
t-to
ou,âinda:
.. s(t^+ Ât) - 5(t.)
v,. = ltm -
At
então,que primeira
Concluímos, a idéiade derivada umãfunçãoínum pontoxodo seudomínioé avâriação
de
instantânea a funçãoÍsofÍeem relação vaíiávelxnum pontoxo.Quandoessa
que à variáveléo tempo,a derivada
ìnstantánea um
é â velocidade de ponto materialemmovimentonum deteÍminado instantet^
5. l. Quaéa dervadâ tunção = x3noponto = 2,
da f[D + 8Âx+ (^xl':l l5
Resolução:
= liÍn lls
Estamos pÍocuÍando e teÍnos : 2,f[x] = x3.
t'(21 xo
Então: = 8Àx+ r^xl' + Àxì
f(xì=rl2)=23=8 ax Âr+0 ^Ìf8
-' ^x
(xo + Àxl = ft2 + : (2 + Lx)3 =, : hm 8+ m
^xl
= i2 + Àx)[4 + 4^x + iÂx],] = ^=8+0=8
= I + 12^x+ 6[^x]'+ [Àx)3 Podernos prob
Íesolvefesse eÍna outra
de mâneiÍa:
Portanto: Í
_'r f f3ì = trm ta t"i
m [x':+ 2x) ]5
fr2ì = lim r_o t^or - xr3 x-3
^x . x'+2x 15 3ltx+ 5l
ft2 + ft2l =|lrn-=||ín tx
: lrÍn ^xl x-3 tx 3l
( 2+ L x )3 -2 3 : m fx+5ì=8
= ltÍn
f'[3] = I
Logo,
=,- l + r 2^ x+6 tÁ À )':+t^xl r/ 3. Ca,cJa d"riv€da rç;o.,j lmportoxo 0.
e aê.
AX
Resolução:
: _ Âín2+6^ {+t^r)'z1 o gúÍco daiunção = x , vern
Esboçándo í[x)
;:t o Â1
= liÍn l2+ hÍn 6^x+ tm fò(1':=t2
'í *- 'í ! . _ _ - - -
Logo,f'Q)= 12.
PodenrostaÍnbéÍn essepfobemade ouÍâ
resoiver
maneira:
í'txJ = hm 'r"r 'r^or Í- n
- xixo x-xí
ìs" r-rn
" r-"
Íì - Írnì
., '.', _
Y| l- n
!r ':Il
Í'f2 l: m '!-r= tm " "=
,-2 2 ,-2 2
x 0 x-0
^ ^
( x- 2 )(x'+2x+A ) que g(x) = IL
lâ vrmos nâoexisle mte da íunçào
o
- lrÍn =x mr[f+]+4)=
(x 2) quando xtendea 0,poisqLrando
xtendeâ 0 pelâ rcÈ
d
_ ta esse
limite igual l; quando tende 0 pelaes
é â x a
ln ' , l i n 2 ' n L -4 -q -1 -1 2
qu€Ída, é gua a -t.
ele
Loso, - l2
f'(21
2. Dererminef'[3),sâbendo f[x] = x, + 2x.
que
Rêsolução:
=3
i [xJ=ít3 ]= s 'z+2.3=15
f(xo+ Âxl = f[3 + = t3 + ÂxÍ + 2[3+ ÂxJ:
= I + 6Áx+ (Âx)'z ^x]6 + 2Áx: 15+ 8^x+ [^x),
+
+
r'[3]= liÍn Íi3 Àx) fi3)
6. .
Gpírulo8 lntmd!çãoàsde
vadas
Comoo I m te à d reitae o imte à esqueÍda difercn-
são siÇ= si2l= 2, 2.2+ 5= 5
les , c onc - ho s q u e ;o p i (Ìe o | T --r.OJ s el a, st + À0=s(2+^0 = t2+ Át),- 2[2+ + 5:
^t]
: / + 4Lr+ - / - 2Àr+s lÀr)'z2Át+s
:
ír1 ì - ífn ì
(Lt), +
nào e,i).p o rif -i-:- e, poÍú-,o. -ão êste Portanto:
í't01. sit,+ À0- sttll
v.., = im
Logo,nãoexste a dedvâdâ lunção
da f[x] = x no Àt
= (Ào'z+2a+d-l
tÍn
4- UÍnponto Ínaleral move
s€ sobfe qLra
lma traletóÍia Át
quer segundoequâção
a hoúraS(t)= t'? 2t + 5,eÍn
- Àír^, + rì
qLre é dado meÍos[rn]et é dado segundos
S ern em = m -"-":1 : m lirn 2=
[s]. DeterÍnineveocidâde pontornaterial Ìns
a do no ^l+
tante = 2 s.
to =A+2:2
Resolução:
vr!,r= 2 m/s.
Logo, Assim, velocdade instant€
a no
Pfecrsamos deterrninar =S' . TeÍnos
v
=2séde2m/s.
propostos
Exercícios
J
DetenÌ a defvada íunçãol:lR Rdefrìidapor:
ne da Umapatícu se move
a sobreumatmjetófiasegundoa
=
ãJl[x]= 2x+ I noPontox l; equaÉohoÉria dada xo [eÍnqu€S é dadoemÍn€'
aba
b)f(x)= x'z I no pontox- 2.
- trcse t é dado seglndoslDeteftnine, cada
ern em caso,
avelocdade pârtÍc!1a instante
dâ no indcado.
DeterÍnine sabendo l: R > R é defnida
f'[2]. que poÍ
a)S = 2t,+ l0Ì I noinstantet= s. 3
ltxl-x3-1.
blS - t?+ 3tnoinstantêt: 2s.
,r. DeteÍmnef'[]), existìÍ,
se sâbendo í:lR ) lRé de
que =
c) S = ts + t, + 2t + I noìnstantet I s.
Ínidaporf[x] = x L A aceeÍação é a varlaçâo v
a inslanlânea veocidad€
dâ
: UÍnponto maÌefasemove sobr€ ú4etóÍia
uma segun emrelação têmpo nlm lnstante
ao t ou seja, a deÉ
é
L,
doa equação hoÍára S[t] = 2t'z I [emqueS é dado
+ vada veocidadev nsknte
da no tb:arq)= vi,,). Saben-
emmetros€t dado seoLrndosl.
é em Detem avelo
Íìe do queum pontomatedal velocidade
tem varláveldada
cidâdeno ÍìstanteÌ= 3 s. =
peiaexpressâov3t'? I, deÌeftnine acelemção,
+ sua eÍn
rj, llmapaÍtÍcula rnove InhâÍeta
se €m segundoequação
â
hoÍária = 3t + 2 [S enìmetros t ernsegundosj.
S[t] e âJt= ls;
Detemnea veocidade partícu no nsÌante = 2 s
da a t blÌ=4s
@À
geométrica derivada
[;C A interpretação da
Jáestudamos Geometria
em a da que,dadaumarêtar, seucoefìciente
analítica inclinaçáo reta.Vimos angular
6= Y:-Y'
em que Pl(xÌ,yr)e Pr(xr, sâodois pontosquaisquerda
yr) retaÍ.Châmandodeoo
ânguloque rforma com oeixo x, o coeficiente é a tangentedecqou seja:
m
m=tga
. Considerâmos à paÍìr do eixo x, em diÌEção
d
a r no sentidoanti-horário.
. Não exìst€m quandor é paràlehao €Ìxo y.
7. 232 . (onrexro
MatemátÌo &Aptk.çõ6
Vejamos, agorã, que vem a seta ìncnação funçóes de curvas
o de (ou
que as repíesentam) um deteíminado
em ponto.Intuitivamente, inclina-
a
ção de y = Í(x) em (xo,f(xJ) é à inclinaçãoda rcta tangenreem (xo,f(xo))ou
simplesmente .em
porexemplo, inclinação funçãof(x): x,, ou da curvaquea repíes€nta, pontoxo
Consideremos, ã da no
A inclinaçãoda édadapor:
secânteAB
f(xo I h) -t(Ç _ txo I hrr xá 2xoh h
- -2xo_h
{xo rh) xo h -r'
À medidaque B vai se apÍoximando Â, ou seja,
de quandoh vaitendendoa 0, a retaABvai se ãproximando
signifÌca â inclinação f(x) : x, em vaitendendo a 2x0.
cadavezmaisda retatangentetem xo.lsso que de
Numalinguagem maisprecisa,
escrevemos:
,. f(x"+ h)- f (x . ) :
(2xo+ h) :2xo
hlimo
queé exâtamentef'(), a deíÍvadadafunçãof no pontoxo(comâ diferença
dequeaqui(hâmamos
oacréscimode
h em lugardeÀx).Portanto, existindof'(xo),
existÍrá íetatãngentee:
a
f(xJ:tgd
que é o coeficiente
angularda Íetât, tangenteao gráfìco y = f{x) no ponto {xo,
de f(xo)).
Assintâ equação reta
da
tangent€ao gráfìcodey: f(x)no ponto (, f(xJ)édada por:
,,,.-,- Y f(xo)
ou: y - Í{): f'(xo)(x xJ
Obsêrvação:Para ponto,o gráficoda funçãonão podedar"salto"(não
ôdmitirretatângenteem um determinado
podeserdescontínuonele)nemmudârbruscamente dìreção
de (formar"bíco,,)
nesseponto,Nãoâdmitemtangen,
teem osseguintes gïáfìcos funções:
de
8. (apíülo . lntmdudoàs
I dêíivadas
Retas paralelas eixoy nãotêm coefìciente
ao angular,pois m : tg 90onãoestádeÍìnido.Assim, a tangen-
se
te ao gráíi(o de umafunçãonum ponto é paralela eixo y, ã funçãotambémnão admitederivadanesse
ao ponto
e dizemos que náo exìstea tangenteao gráficopor esseponto. Sãoexemplosdissoas sêguintesfunções,nos
pont05xo indicados:
r
5- Deterrììineequâção Íetatângente gráÍcoda
â dâ ao Logo, = 2x I é a eqLrâção rctakngente
y dâ ao
lunção: gúÍco de f[x] = x'zno ponloxD= ]
â)f(x) - x'? ponto = l;
no xo b) f[x] = x3no pontoxo= 2
b)f(x) = x3no ponto = 2.
xo
Resolução: ll2) = 23:8
al ítxl = x'? ponto = l
no
A equação rcia tangente gráfcode f(x) = x'z
da ao f't2l= hrqof t 2 + h l-í t 2 l
noPonto=1édâdaPol
y ltrl = f'o)tx rl Írr+ hìe-Á ì
Como = l'?= l, basta
ftll calcular
f'(11:
4 0 ' , ! t^ r r
Í,r. ì
'"y
t,m
h _ :o h
_
= lim [r2h+6h'?+hr]
h
(r+h )-ftD
+ f0l : =Ím í t l2 + 6 h + h ' l
hlimo
Poftanto:
y-l(21 = íi2lix 2)ëy 8-121x 2)<)
( í +2h+h" l) le+r) <JY= l2x 16
= hlì m o[ 2 + h ]= 2
y ftll - f'tlltx lJ {-y - I = 2tx- 1l<ì
Logo, = 121- 166.
y feta ao
tangente
"Ouaçâoda
gÍáÍcodeÍ[x] = xr noPonto = 2.
xo
L Dada íunção R + R deínidâ f(x) = x'? 1,
por 9, Dada fLrnçãolRJ lRdeínlda f(x) = 4, 6s-
I a f: + a
temlne:
i: por
a)í'12)l a)l'( 2)l
b)a equaçâo retatangente gúncode f[x] n0
da ao bl a equação rctaiangente gÍáÍìco f(x) no poflo
da ao de
Ponto = 2
9. 234 l,falemftkaConlexto
' &Aplìc!Õej
10" Dada tunção r RdeÍnida f[x] : x'? 2x+ I, deteÍm a equação rera
a f:lR pof - ne da rângenÌe gráfco f(x)no pon
ao de
Ì ì" Dado gÉncoì
o
al det€Ímne eqLração fetatangente gÍáÍìco iunção = af no ponto
a dâ ao da ftxl
bl veÍifÌque no ponto = 0 nãoexiste
que xo í'[0], ou selâ. pontonãoexiste
nesse a
portanto exist€ Íetatang€nte.
derivada; não a
ffi Funçâo
derlvada
ConsÌderêmos funçáoÍcom domínioE e l(l C E)o conjuntode todososx pãraos quaisexiste derivada
uma a
f'(x).A funçãoque â câdax € lassocia derivadaí'(x)é
a chamada funçião
de Aexpressão Í'é dadapor:
defivodd. de
fO=n,'t.!IjjL:l!9.
6. Sabendo f(xl = x'z,
que obtenha íunção
a ou p
derivada, sjnì esmentedervacla,
a f'[x].
Resoluçâo:
li" t =nrt ! . , 9 a Ï A = n g , Il'z+ 2Nh h':]
+
^:l
=hmo[2x+h]=2x
f'(x) : 2x
Logo,
Sequiséssemosf'[]l,teÍíarnosí'[]l=2.1=2E.sequiséssernosf'[xi],reríanìosÍ'(xJ=2x0.
7. Detefininedefvada função
a da cosseno, sela,
ou í'[x], sabendo í[x] = cosx. Ems€guida,
deÌemine que deteÍmine
a
equação reta
da tângentef[x) no ponto = a
a x,
Resol$ção:
f'..x): liÍÌì
f(x + h) ftxl =
lrTn
costx + hl cosx [[cos .cos h - sen{ .senh)
| cosx]
- h
= r g msx.[cosh
,I ]l senhl
rì I [:a-
cosh-l
h
.. ..
l rrn senr. l rrn
h+ o
senh
l---;íi -t-
ì+ o h
= cosx. 0 sen I : -senx
x.
Logo,
f'[x] = senx
da ao x,: a:
Equação Íet€taìgente gúÍco def[x] no ponto
limo ì:ï r = 0 ê uma àplici4o
h
../xì Jt
^
4 2
do limitefundamênhl
trigonométrìco
4'
ÌIto i9!Ix : I veiao capÍtuto
anterioÍ
.í,t ì h
"
4 "2
E
4, /
10. CàDítulo lntÍodu(aoà5de,ivadd
8' 215
a tangentegÉfco í(xl= cos nopon-
Logo.Íeta ao d€ x Resolução:
"l Lerbrâ 10, que. veo.rdad"; o"" d ri..d
ddda
tox^= aé d adapol de Sttl,o! seja:
stt+ h) - stÌl
y rtxJ= í'txoltx l <-
- vftì:Sftì= hrn
Como
* "' - Í f(4'/= fírÍ^
rì a ì- str+ h) s(rl=
4.' 4J = [2(t h]3 [r+ h] + ll [2É+ t+ ]l:
+ +
= 2[t3 3t'?h 3th':+ +t+ h + I 2rl
+ + h]l
.tE( nìl<+ -t I = 6rrh 6th,+ 2h3 h
+ +
' "E
2 2 4)
6 f h + 6 rh ' + 2 h ' + h {
vftl = lirn
l, (lr" !ãì
<3V=
' X+l h (6 t ' + 6 rh + 2 h ' + t l
2 l. I 2) : llm
Porcnro, = s€n e a rcta
f[xJ x procurada
é = liÍn f6f + 6Ìh+ 2h'?+1l = 6t?+ l
J , x+l -( -l t E ". ' r E ì r
+-
Logo. = 6t'? l.
v[t] +
' 2 || I 2) a veocidade instante: 2 s rsto
bl PfocuÉrnos no I é
procurcmos ouv[2] Podânto:
S'[2]
Veja gÉfco:
o vl2)=6 2'1+1=25
Logo.dêocaãd"orpd . L l d n o ', d 1 | ê ;
de 25m/s.
cl  ace p€la olr
eração dada dervadâ velocdBde,
é dâ
s€jâ, = v'[t] ÂssÍÌr
a[t]
airl = v'ttl : hm r::ri:
.- I6tr+ hÌ + rl [6r + ]l
h
t2th+ 6h': fítr2r+ 6hl
h+0
m-=
Ìì r,
8. llmapadícua Ínove
s€ sobrc trajetór obedecen
uÍna a = mo[]2t+ 6hJ l2t
=
h
do à equaçãohorária = 2t3+ t + I [S dâdo
S(t) €fir
mçtros t dado seglrndosl.
eÍn Determ ne: Logo, : ] 2t.
a[i)
e
a) afunçâoveocldade lunção ternpo;
em do dlA aceleÍação instante = 3 s é dad, po v'[3]
no t
ouat3l:
bl a velocdade p2ÍícLrlâ instante= 2 s;
da no t
at3l=12.3=36
aceleração íunção ternpo;
c) a Íunção em do Logo, aceeração paftícula insiante : 3 s
a da no t
dlâ âceleração panícu no instant€= 3 s.
da a t é de36 m/s,.
propostos
Exercícios
.. DeteÍm asíunçôes
ne deÍivadas dasfunções: 15" Usando ex€rcício
o anteÍoÍ,
determ
ne
al (xl = x3 dl rnixl = !ç
bl ?txl = -2x'?
c) g(x) = xr + x1
elhtxl:x'?+l
íl ntxl= I
"[+) ,
,)h'l+.J "(+)
cl s'tol
ì .1, Usando exefcíco
o anteof,deterrìrine: que
Ì E, Mostrc a dervada função:
da
a)Í'Cl) cl s't2l el h'tol alf:lR ì lRdefnida f[x] : ax + b [emquea e b são
por
b){'(-r) dl m'ta) Íl n'(3) númercs a I 0) é iguala
reas, a;
r Determ asfunçôes
ne derivadasdasfunções: bl constantefllR lRdeÍnida f[x] = k para
ì pof qLrâlquef
a) f[x) : senx clg[xJ=1+senx x€ R.ólgua a0;
blh[x):2.cosx dl {[x] = I - cosx cJidentdadeÍ: Rdefrndâ
RJ =
pofí[x] xéigua la
I
11. .
Mãteíníi(a Conterto
&Âo|i.âder
[' JDerivadas algumasfunçôeselementares
de
Vejamos,
agora,como asderivâdâs âlgumas
sáo de funçõês
elementares.
Derivada da função aÍim: f(x) : ax * b, a e lR, b € lR
Considerando = ax + b, temos:
f(x)
f(x h) f(x) à{x+h)-b-(ax- b) _aí ,
hhí-
Entáo:
Í
f'(x)- lim a-a
Logo,podemos que:
escrever
sef(x) = âx + b, entãof'(x): a
Exemplos:
l'q) Sef(x) = 2x + 3,entãof'(x)= 2.
2q) Sef(x) = :-x + 5, entãof'(x):- ^.
Derivadaa. funçao iUentiOaOe: - x
f(x)
SenafunçãoafimdadaanteíioímentefizeÍmosâ:1eb:0,teremosafunçãoìdentidade(x)=xepodere
sef(x) : x' êntãof'(x) : l
Derivada da função constante: Í(x) : k, k C lR
Senafunção a :0e b: kteremosf'(x)a = 0.Assim,
aÍimf(x):ax+ b fìzermos :
sef(x): k entâo : 0
f'(x)
Exemplos:
le) Se : 8,entãof'(x):0.
f(x)
2q) se(x) : 1ã, entãof'(x) o.
=
Derivada da função potência com expoente natural: f(x) : x', n C lN
ConsìdeÍemosafunçãoÍlR+lRdefinidapor(x):xi,n€lN.Aderivadadeíédadapor:
,. f(x I h) f(x) , (x I h)" x
'- hJ o h)o
h h
ndo
Usa o desenvolvimento binômiode Newlon,temos:
do
n
u'r,,' ínì" í"ì*' -í"ìu. --...*í rìu
0/ r/ 2 / n / " í"ìn-
n,
nr, " " n ì r , , " . , - . . . , í " Ì " o n
'-í 2/
" " r,
Logo:
" .n ]- "
ri*l = l'9"'[' "."*"'.[l)*o'.... .[" i ,) " '
h
=,,,' ' '
L". /n
l l trx '-...-l
21 n
/ ô
lh ' l- nx
l J 'x.h" l
I
'
I
12. f'(x) = nxn ì. Assim,
Portanto,
1
sef(x)= x",n € lN,entãoÍ'(x)= nx"
Exernplos:
=
1q)5ef(x)= t', entãoí'(x) óx5
2r) Sef(x): x'z, f
então (x): 2x.
Derivada da função cosseno: f(x) : 6s. x
Noexerc[cio 7 q
rcsolvido Ítostramos ue:
& f'(x)=
seÍ(x)= cos entáo senx
Derivadada função seno:Í(x) : sen x
SeÍ(x) = senx, então:
rhì
sent- J
t "n ( " + t" n = ri .- : llm . - ..os í2x+ hì | =
t_
f l* l: h-o.
ri l) " n- u h2./
h
t
Íh ì
2/ . -.ot t
- ti. ,l ti,n .orÍ '*-j l- t .o.
h- o n h-0 . 2 ) "
t
Logo:
sef(x) sen êntão = cos
- x, f'(x) x
:
Derivada produtode uma constanté umafunção:g(x) c'Í(x)
do por
temos:
comog(x)= c. f(x),
c . Í(x hì - c f(x) . ctf(x+ h) í(x)l
--
s,G)=.L'1,,eg+4:I'T" h i'T" h
=.. I[ÌIL-J.Í4 =.. 1'1*y
n1;,'
se9(x)= c ' f(x),entãog'(x) - c Í'(x)
Exemplos:
1e)Se - 2 senx,entãof'(x):2
í(x) cosx.
2e)sef(x): 3. cos então
x, : (-3x-senx): 3 senx,
f'(x)
Derivadada Íunção logarítmica Funçã DêÌiv.dâ
í(r): ax + b(a,b € R ) f'(x) = a
natural (base e): f(x) = 1n x íx)=x r'(x): l
Êpossívêl quê:
demonstrar (x):k(keR) f'(x) = 0
f({ = x" ln e lN)
l
=
sef(x)= ?nx,êntãof'(x) ;
obtidas aqui:
âté 9!t =lt!x) q-EI'=
!li4-
oquadro-resumo deíivadas
Veja das
(x )= { n x =
í(")
+
13. 238 Màremi . ConteÍtoApkaçóej
G I
9, ÉnconÍ€ equação reta
a da tangente c!Na:
à r ' l' x ì = I = í r z ì = l
.'
al y = xt noponto = l;
xo ,' 2
bly = ín x no ponto = 2
xo Âssm, PonÌo = 2,temos:
no xo
Resoluçâo:
-íí2'-1.2)r ?)- t ? 2'L
al y = x5noponto = l
x!
Itxl =x5=ftxJ = r(r) = 15= I +v=lx+fínz
'2 lì
f'txl = 5x4=f'trl =5 la=5
Noponto ll, t€rnos: ogo. a eq d!ào da e.d l"rgpnle: L,1d v fn (
[],
I lì ^ ì-j i. ì- noPontoxo=2éY= x+(?n2 1l
+y:5x 4
Lagoa equâção retâ
da tângente curva = x5no
à y
lO.Qualé a derivada função : x3nopontox0 2?
da í[x] =
ponio ll é y = 5x 4
[],
bly=lnxnopontoxo=2 Resolução:
í[x] = {n x Í'(x)= 3'-Í'(2) = 3.2, = 12
ijP_te[figqgqgoperatórias gqlyqse:
ae!
Vejãmos,
ãgora, píopriedades
ãlgumas que
operatórias derivadas, admìtiremos
das veÍdãdeiíâs de-
sem
Derívãda uma soma (ÕudiÍerençâ)de Íunções
de
Aderivada soma(oudiferença)de
da duãsfunçóes iguâlàsomô{ou diferença)dàs
é derivadas
dessas
funções.
seíe g sãofunções
Ou seja, deriváveis pontox,
no entãoÍ+ 9 (ouf g)também derivávelnesse
é pontoe:
=f'(x)+s'(x)
(f+ s)'(x)
:f'{x)- 9'(x)
(f- s)'(x)
11. DeteÍnine sabendo
f'[x), que Logo:
.lrLl 7--r d)'tl l ?'' I'ixl = 3,s'tx) = 3.5x'= r5x'
blÍ[x]=lnx cosx elf[x):ax':+ bx+ c Ou, ainda:
cl í[x] = 3xó t3x5)' 3tx5l' 3.5x4= r5xr
= =
Resoluçâo: Logo, f'(xl - I 5xr
aJf[x]=x'?+x+l dl í[x) = 3x'? 2x + ]
+
Í'[x]= [x,+x + ]l' = [x,]'+xr + l' = í'txl = t3x'? 2x + ll' = t3xl' + tzx)' + l' =
+
:2x+l+0 :2x+l =3(x1' + 2x' + 1' 3. 2x+ 2. I + 0 = 6x+ 2
-
Logo, : 2x+ l
f'[x] Logo. f'(x) = 6x + 2
blf[x]:{n x-cosx
e)í[x]=ax'z+bx+c
l'[x] = [{n x - cos : [fn x]' - [cos =
x]' x]'
f'txl = tâx? bx + cl' = tax,l' + tbx)' + c' =
+
= am' + bx'+ c' = â.2x + b.l +0=2ax+b
=
Ponanto,l'[x] 2ax+ b.
Porbnto, =
f'tl + s€nÀ
ObseÍvaÉo O I opj, pnlF a o . oa ,pld ldnqe-
"r
cl f(xl = 3x5 qladrática = ax? bx + c nopofto
Ìe à turnção f[x] +
Nestecaso,= 3 e g(x)= x5.
k =
Então,f[x) 3. g[x] xoé dâdo porí'[xJ = 2axo b
+
14. Drtrl=Ì r n" +z.co s, Logo,r'()J=- 2.sen
ru*r=[].2"-rz.*.,)'= I 2. Determine o co€ÍÌc angulaf reta
€nte da tang€ntecLr
à f-
vay = x3+ x, + x + I nopontoxo l
=
=[* Resolução:
*-;'*,''-",,'
0 coef ente
c angular dado í,(x0). m:
é pof Ass
ftx) = tx3 + x + ll,= tx),+ ix1,+ (x),+ 01,=
+x,
&,, 2,,o.'r =3x,+2x+t+0=3x,+2x+l
- *
J : " Logo
= L Í'txJ =Í'fl) =3. l,+ 2. I + I =3 +Z+ I = 6
t
2 . . "n "
3x Poriânto,co€ÍcÌ€nte af procuradoiguala
o angu é 6
Derivada uÍn produtode Íunçôes
de
A deíivãda produto duasfunções
do de é;9ualàderivada pdmeira
dã funçãovezes segunda a primeira
a mais
funçãovezes derívada segunda. seja, Í e g são
a da Ou se funções
derìváveis pontox,
no então também derivá
fg é
(fS)'(x):f'(x)s{x) f(,s'(x)
+
Exèmplo:
:
Sef(x) 2x + 1 e g(x)= xs,temos:
=
. (fs)(x) 2x4 x3+ (fs)'(x) 8x3 3x: O
+ = +
. f'(x):2 e s'(x)
:3x2
. f'(x)S(x) 2xre (x)S'(x) (2x+ 1)3x2 6x3 3x,
= : = +
. f'(x)g(x) f(x)g'(x) 2x3 6x3 3x2: 8x3 3x, O
+ : + + +
Q que :
Comparando e @,ver;ficamos (fg)'(x) f'(x)g(x) flx)g'(x).
+
bl ítxl = tx, + 3x+ tlifn x)
'['] tJ 3, I rr | í 3, tj í.ì.1
= [ 2 r+ 3 ] f n r + [ x ,+ 3 (+ lì -: =
=2x.{nx+3.{nx+x+3+-
L o q ot x l = 2 { í n 1 + 3 . (n x + ì + 3 + -
Í
üerivaclade um quocientede funções
A deíivâda quociente duasfunções igualàderivada numeÍadorvezes denomtnaoor
do de é do o menoso nu_
meradorvezes derivada denomìnador, tudo jssosobreo dênominâdor
a do e elevado quadrado. seja, fe 9
ao Ou se
deriváveis ponto x, com g(r 10, entãoI tambémé derìvávelnesse
sãofunçóes no ponto e
í r Y,.., flx)s(x) íx)91x)
-
ltl'"'- G("t--
15. 240 .
Matemíka cont*to Âplkaçõe!
&
Exemploi
Sef(x)= 3x'z x - 10 e g{x)= x - 2,parax + 2,teúos:
-
_1 10 (x-2)(3x+5)
. í1ìt'.r= : : "+ s*{ !) ' 1 ,,1: 3 O
s./ ; , x-2 s,/
. f ' ( x) :6 x l eg '(x)=1
. f'(x)g(x) (6x- lxx - 2): 6x':- 13x+ 2 ef(x)g'(x) (3x'z x - l0)l : 3x'z x
: : - l0
:
. ts(x)1': (x - 2)'z: x2 4x + 4
Logo: t
f ' ( x ) g( x) f( x) g'(x) (6x'z-13x+2) (3x': x
- _ 1 0 ) _ 3 x 2 -1 2 x + 1 2 3(x' 4x + 4) : 3
@
Is(x)]': x ' -4 x + 4
compãrando(iD,
(De veriticamos
aue = f'(x)s(x)-f(x)s'(x)
llJ'rxt ls(x)l'
f'[x], que:
14. Determine sâbendo l-{nx
í,txl =
Logo,
a)ftxl -
sen
x
- cl ÌL* J= tgr= -
b)(x) = IIa
c) f[x] = tg x ,,r.. [senx]'cosx senr ' [cosx]'
d) f[x) = cotgx '.,. .""
Rosolução:
cosx.cos x - senx. I senx)
ã)(x):
- = l. =secrx
x'tx+ll
f ' G ) = t - --::t= tx'zÌix+ì
[x + ]1'?
Portanto, f[x] = tg x,então - seCx
se f'tx)
2 xCx+t)-x'?[]+01
[x + ])'z tx + rl': cosx
o lÌ L x j= c o rg x = -
x'z+2x x(x+ 2)
[x + ]l' tx + llz [cosx]'sen x cosx . [ser x)'
= *t^+1)
rooo.rr^t(x+D.
I senx)sen - cosx . cosx
x
-sen',x- costx sen'x +cos'x
.,.- t{n x)'x {n x . (x)'
'",_ *
= __: = -cossec,
x
l.x- {nx.t
l-{nx
Logo,sef[x] = cotgx, entãof'[x] = cossec'?
x.
16. .
Qpítulo6 lnÌroduçáoàsdeíivadãr 241
Derivadada Íunção composta
5eÍéderjvávelnopontoxegdêrivávelemf(x),entâoaíunçãocompostagoféderivávelnopontoxe:
:
h'(x) (s of)'{x): s,((x))f(x)
Exêmplo:
Dadasasfunçõesf(x)=x'z1eg(,:y,,vamoscalcular(gof)'(r,depoìsg'(f(x))í,(x)econíìrmârquesã
. (go fxx): g(flx) = g(x,- 1) (x2 l)2: x4- 2x, + I + (goD,(x):4x3 4x
-
f'(x)- 2x
9'íy):2y
g'((x)): s'(x'?- 1)= 2(x'? l) : 2x? 2
=
. s'(íx))í'{x) (2x'z 2)2x:4x1 - 4x
Portanto,temos ô 0'(x)= S'(flx))í'(x).
(9
15. Detem h'(x),sabendo
ne que: bl htx) : sef iín x)
a) h[x] : sen(2x+ rl b) h[x] = sen[dnx] Nestecaso,y=l[xJ -{nx e g(y]=seny.
Resolução:
al h(x)= sen(2x+ lJ í'íxì= l
Nestecaso,y f[xl = 2x + I e g(yl = seny
=
l e h(x) = (g o D txl.Âsslm:
Í'(x)= l2x+ 1)'=2
S'[Y) cos = çes *1
= Y 64n
g'(Y)= cosy = cos[2x+ 1] =
Portânto:
= tfnx). L= L.cost{nxl
h'txl s'tylí'txl cos
h'tx) : s'o/lf ixl = cos(2x+ 1) .2 =
-2.cos[2x+]l
I
I
Derivada da função inversa
queadmite
Seíé umaíunção pontot comf(x)10, então:
inversa derivávelno
eé
=
(f )'(f(x)) -f
r'IxÌ
Ousejâ, representada = y(x), suãinvêrsa dada
sêâfunçáoé pory ã será porx = x(y).
E,assimi
'I
sex: x(y), =
entãox'(y)
tGt
17. MaremÍkà (onreÍto ldi.àçd6
. &
Exemplo:
Afunçãof(x):3x - 6é btetiva. existeí !, inversa Podemos
Logo, deÍ, dêteíminâr fazendo:
f-'(x)
x=3y-6+3y : x + 6 + y : + x +2
3
1
entáo,f-r(x) :
Temos, + 2.
ãx
vamoscalculãr compãrarf'(x)e r)'(x):
Agora, ê (f
. Í(x)= 3x 6+ f'(x):3
.(f j)(x)= x +2r(Ír)'(x)=:
33
l .
Então, ì) íx) -
(f
f,(x)
16. Sef(x) 2x+1,det€Ímner)'(yl.
= (f 17. Sey= v2,6"1"-1n"derivada suanversa,
da
"
Rêsolüçâo: Rêsolução:
y = í.a) 2x+ I =y'(xl = f'(x)= (2x+ ll' = 2
=
y = x, .ì y,(x)= 2x
-- I I I
6- 1 r u1 l = l
= y_,+_Vy -
- - '' Í'(xl 2 -rt y t _ vt_t 2 r- Z , l;
Deout|a Tnane temos:
m,
y = 2x+ I +y'(x) = 2
A inversa função= 2x+ I é dada
da y pof
vl
2
ll
-- v'i'l 2
q!e, a função= l]-1 em
observe sedeÍivarmos x
2
íelacão v. obteÍemosr'fvì ].
a =
-2
&
hifl Derivadas outrasfunções
de
Função logarítmica: Í(x) : |sg. 1 ,t'
Recordamos sef(x) : {n x (bâse êntãof'(x)= 1. Âgoraprocuramosf'{x)quandoÍx) lo9"x.
que, e), -
Fazendo mudança base,tem05l
a de
. loq- x
loo x- -" J log_ - log,ê . log"x
x
'" loô ê
Então:
f(x): log"e. log"x
Usando derivada produto,
a do temos:
Í'(x) = (log" e)1
Ouseja:
18. qtilqq8 . Ìnrrcdução
às
deÍivadó 243
f(x) : 6r
Funçãoexponencial:
que:
Sabemos
f(x) = ar <r x = lo9ãf(x)
VamosderivaÍambos membros iglaldadêx - loga
os da que
Í(x),observando o segundomembroé umafun-
çãocomposta:
r:-f.tog"e.f' tx)
ou seja:
f{")
f'(*): ,
lo9" e
comof(x)= a'e - loq-a,temos:
-L e
log.
f'(x) = ar ' logêa : at ln a
''seflrdl-= ëntãof'(x)= a&,logê = ax'ln a .
al, a
Se o :
Obs€rvação: considerarmoscôsoparticularf(x) €È,teremos:
Í'(x)=er.lne:ex.1=ex
Ou sejal
f'(x) : e'
seÍ(x) = êx,então í{x) = er
18, DeterÍn h'[x],sabendo
ne que: 2x
âl htxl = os"tx, + rl b) htxl = e' L0g0,nuJ=- ogae.
Resolução:
bl h[x)= e"
al htxl = oga + ll
tx,
Ìmta-se uma
de função
composta.
Assm: T dtaseranoe oe - nâ'dnFo corposta.
n Assr:
f[x]=x'z+1 v=Ítxl=x'z
sty)= os"Y sol = eY
f'txl= 2x í'(x) = 2Y
ll s'tyl = eY
g'01 = -:. og"e=::--:, og.e Entào,
y'ÌLrJ vern:
Então,vem: h'ixl = g'tylí'txl= e!. 2x= e;' . 2x= 2xe"
'tì - ...loq e. Í'ri - _-.log. e.2À Logo, = 2xer
h'[x]
ÌtYl - r'+l
2x
x':+l -r"-
Funçãopotênciacom expoentereal
Já estudamos funçãopotência
a com expoentenaturale vimosque,sef(x) : x^,n ë lN,entáof'(x) : nx" '
Vamosgeneralizaesseresultado
r paral
h(x):x"(x>0ecr€lR)
quel
Sabemos
er""= x (lembremos a'q b =b)
que
19. 244 .
MàretubGConÌeÍto&AdG(@s
Então:
h(x):X"=(eh9":e" s'
Considèrandoy f(x) : e.{n xe9(y) = ev,vem'
Ìêmos aí umafunçãocomposta. =
lg'tY; =s'
f (x )-o
Portanto:
1l
h(x) -gív)f'(x)-e" o -dx'I
"';-x" ;-o'x'x
"t-o"
h'(x)= ox" r,0elR.
Logo,
A5sìm: Í
sef(x)= r, d e lR,x > 0,entâof'(x): o,c ' (a € LR, > 0)
x
19. Determinederivada função:
a da t^
a) = Jx (x>O
f(x) cf(xf=+
Então:
bl ítx) : {f d)hGl = ./6- l'lt) = 2x, 1=-2x1=-:-
RêsoÌrção: 2
LogoÌlxl= I
a)í(x)= ./x = x'
-! Obseve ,âo exlsÍe derlvada ponto = 0.
que a no x
Entâo: dl htxl = r6os x
= -:x ? ll TÍata-se uma
de Ílnçãocornposta.
AssiÍn:
f/rxl = -:x2
22 Y=f[x)=cosx
!
=.t
sor
f'(xl =
Logo,
2lx Então:
f'[x) = -sen x
Obse've ro porÌo - 0 nio er,r,ed
qre dFr[3a".
I
bljtxl=iÇ=xr
Então: Portanto: l
h'ixl= s'(y)í'txl
= sen =
xl
f ix_ . , (r ut-t
- l= 3 3 I
3x3
3içt I
= ,-..",, =
l 2160sx
Logo. Ì Lx J = -.
senx
Observeque no ponto x = 0 nã,aexÌsteaderyada. z!COS X
Vamosveragora doisq uadros-resu asderivadas suâspropriedades:
em mo e
(x)=k(kelR)
(a,bcelR,a*0) f'(x)=2ax+b
=ax+b(a,belB)
=
f'(x) -senx
20. (aDÍülo8' lnÌrodmosdêrivúas 245
f' (x)= a' .{ n a
DerlvadàIndl<!d! (alaulâda
Dêrlvada
li) (f + s), (x) +
f'(x) S'(x)
rl(rl s 14
k.f' (x)
l _. I
6à)(fi), (, ou x : x(,
propostos
ExeÍcícios
i : . Delermrne deÍivadas seguintes
ss das íunções: . Detemine dervadas seguntesíunções:
as das
al í[x] = 100 d)(x): xÁ a)ftxl:--L cl f[x] = cotgx
b)(t = vç +x, elí[x]=x,,+x 4
b)(x) = I
clr txl - x;+x 0(xl=xt x3 2x
'18.DeteÍm asderivadas seguintes r,:r DeterminJ derivadas seg!intes
as das íLrnções
com-
ne das funçôes: postas:
al l[x] = 3xa c)í[x]= l0x3+2x'? a) h(x)= s€nx'g dl hixl= {n ivx J
bl ltxl = {2x' - 2x dl ítxl = x" 1
bl htxl= logrotx':+ ll el hixl- e'""
i g, Deterrnineas derivadâs segLrntes
dâs funçôesi
c) hS)= .,ç' + x.
a)f(x) = e'+ ín x + k cl í[x] = senx+ !-
b) f(xl = cosx + a' dl f[x) = log, x - rg x 'l' Detemine derìvadas funçõ€s
as d€s inversas se-
das
':i gu ntesfunções:
DeLernre de Naoês segur'ìtes !òFs:
ã. das l.
aly=f(x)- i[ c]y=l[x] =x3+ 1
a) f[x] = x3 ln x
b)y = f[x] = -x, + 2 dly = ítx): a"
b)f(x)= [x'? x + ]l[cosx]
+
' ' DeÌeÍnne as defivadas seguinies
dâs f!nçôes
cJrLxJ=vx.senx
d) f[x] = [ax, + bx + c)(ax + b] altul: {i
' - Dere neasde tàdès segJ e" ÍLrçõe'
n das b)(xl - iF
a)l[x):2 lnx+5 cosx I
bl í(x) =x'? cosx k tgx cl fixl = x5