O documento discute regras de L'Hopital para calcular limites indeterminados na forma 0=0 ou 1=1 usando derivadas. Apresenta exemplos de cálculo de limites indeterminados e discute novos símbolos de indeterminação como 00, 10 e 11.

1. Aula 13
Limites indeterminados e as regras
de L'Hopital
Nesta aula, estaremos apresentando as regras de L'Hopital, regras para calcular limites
indeterminados, da forma 0=0 ou 1=1, usando derivadas. Estaremos tamb¶m exami-
e
nando gr¶¯cos de fun»~es envolvendo fun»~es exponenciais.
a co co
Diremos que o limite lim f (x)=g(x) tem a forma indeterminada 0=0, se o quociente
x!a
de fun»~es reais f (x)=g(x) est¶ de¯nido em um conjunto da forma I ¡ fag (sendo I
co a
um intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), f (x) e g(x) s~o cont¶
a ³nuas
e deriv¶veis para x 6a, e lim f (x) = lim g(x) = 0.
a =
x!a x!a
Diremos que o limite lim f (x)=g(x) tem a forma indeterminada 1=1, se o quociente
x!a
de fun»~es reais f (x)=g(x) est¶ de¯nido em um conjunto da forma I ¡ fag (sendo I
co a
um intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), f (x) e g(x) s~o cont¶
a ³nuas
e deriv¶veis para x 6a, e lim f (x) = §1, lim g(x) = §1.
a =
x!a x!a
Os mesmos conceitos s~o de¯nidos analogamente se tivermos x ! a+ ou x ! a¡ ,
a
ou ainda se a = §1.
S~o duas as chamadas regras de L'Hopital. Uma para formas indeteminadas 0=0 e
a
outra para formas indeterminadas 1=1. Ambas podem ser enunciadas conjuntamente
em um ¶nico teorema (que n~o demonstraremos).
u a
Teorema 13.1 (Regras de L'Hopital) Se lim f(x)=g(x) tem uma forma indeter-
x!a
minada 0=0 ou 1=1, ent~o
a
f (x) f 0 (x)
lim = lim 0
x!a g(x) x!a g (x)
caso o limite lim f 0 (x)=g 0 (x) exista (sendo ¯nito ou in¯nito). O mesmo vale se a ¶
e
x!a
substitu¶ por a+ ou a¡ , ou se a = +1 ou ¡1.
³do
108

2. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 109
x2 ¡ x ¡ 2
Exemplo 13.1 Calcular lim
x!2 3x2 ¡ 5x ¡ 2
Solu»~o. Um c¶lculo direto nos d¶ a forma indeterminada 0=0. Pelo m¶todo tradicional,
ca a a e
usando fatora»~es, fazemos
co
x2 ¡ x ¡ 2 (x ¡ 2)(x + 1) x+1
lim = lim = lim = 3=7
x!2 3x2 ¡ 5x ¡ 2 x!2 (x ¡ 2)(3x + 1) x!2 3x + 1
Aplicando regras de L'Hopital, n~o necessitamos da fatora»~o:
a ca
x2 ¡ x ¡ 2 (x2 ¡ x ¡ 2)0 2x ¡ 1
lim = lim = lim = 3=7
x!2 3x2 ¡ 5x ¡ 2 x!2 (3x2 ¡ 5x ¡ 2)0 x!2 6x ¡ 5
No caso de quociente de polin^mios, n~o precisamos das regras de L'Hopital, mas
o a
µs vezes as regras de L'Hopital s~o nosso unico recurso para o c¶lculo de um limite:
a a ¶ a
x ¡ sen x
Exemplo 13.2 Calcular lim
x!0 x3
O limite ¶ indeterminado, da forma 0=0, a agora n~o podemos colocar em evid^ncia
e a e
nenhuma pot^ncia de x. Aplicando L'Hopital, temos
e
x ¡ sen x (x ¡ sen x)0
lim = lim
x!0 x3 x!0 (x3 )0
1 ¡ cos x
= lim (= 0=0, aplicamos novamente L'Hopital)
x!0 3x2
sen x sen x
= lim = 1=6 (usando lim = 1)
x!0 6x x!0 x
e2x
Exemplo 13.3 Calcular lim
x!+1 x3
Aqui temos uma indetermina»~o da forma 1=1. Aplicando L'Hopital, temos
ca
e2x (e2x )0
lim = lim
x!+1 x3 x!+1 (x3 )0
2e2x
= lim (= 1=1, aplicamos novamente L'Hopital)
x!+1 3x2
(2e2x )0
= lim
x!+1 (3x2 )0
4e2x
= lim (= 1=1, aplicamos novamente L'Hopital)
x!+1 6x
8e2x +1
= lim = = +1
x!+1 6 6

3. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 110
No c¶lculo de limites, sabemos que tamb¶m 0 ¢ 1 e (+1) ¡ (+1) s~o s¶
a e a ³mbolos
de indetermina»~o. No caso 0 ¢ 1 tamb¶m podemos aplicar regras de L'Hopital, ap¶s
ca e o
uma manipula»~o conveniente das fun»~es no limite.
ca co
Suponhamos que lim f (x)¢g(x) ¶ indeterminado na forma 0¢1, isto ¶, lim f (x) =
e e
x!a x!a
0 e lim g(x) = 1.
x!a
Neste caso, primeiramente fazemos
f(x)
lim f (x) ¢ g(x) = lim = 0=0
x!a x!a 1=g(x)
e ent~o, aplicando L'Hopital, calculamos
a
f 0 (x)
lim
x!a (1=g(x))0
ou ent~o
a
g(x)
lim f (x) ¢ g(x) = lim = 1= § 1
x!a x!a 1=f (x)
e ent~o, por L'Hopital, calculamos
a
g 0 (x)
lim
x!a (1=f (x))0
Exemplo 13.4 Calcular lim x ¢ ln x.
+ x!0
Temos lim x ¢ ln x = 0 ¢ (¡1). Recorde-se que lim ln x = ¡1 (veja aula 9).
+ +
x!0 x!0
Neste caso, fazemos
ln x
lim x ¢ ln x = lim
+ + 1 (= ¡1= + 1)
x!0 x!0
x
(ln x)0 1=x
= lim ¡ 1 ¢0 = lim
+ + ¡1=x2
= lim (¡x) = 0
x!0 x!0 x!0+
x
13.1 Novos s¶
³mbolos de indetermina»~o
ca
³mbolos de indetermina»~o 00 , 10
Estudaremos agora procedimentos para lidar com os s¶ ca
1
e1 .
Em toda a literatura de matem¶tica universit¶ria, adota-se, ainda que sub-liminar-
a a
mente µs vezes, a de¯ni»~o 0 = 1. No c¶lculo de limites no entanto, 00 ¶ um s¶
a ca 0
a e ³mbolo
de indetermina»~o. O exemplo abaixo explica porqu^.
ca e
Consideremos a fun»~o f (x) = xk=ln x (k constante), de¯nida para x > 0. Vimos
ca
na aula 9, que lim ln x = ln 0+ = ¡1.
+
x!0

4. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 111
+
Assim, utilizando ¶lgebra de limites, temos lim f (x) = 0k= ln 0 = 0k=¡1 = 00 .
a + x!0
k
ln(xk= ln x )
No entanto, f (x) = xk= ln x = e = e ln x ¢ln x = ek , ou seja, f (x) ¶ a fun»~o
e ca
constante ek , e portanto lim f (x) = ek .
+
x!0
Tamb¶m s~o formas indeterminadas, ou seja, s¶
e a ³mbolos de indetermina»~o, as ex-
ca
1 0
press~es 1 e 1 .
o
Suponhamos que o limite lim f(x)g(x) tem uma das formas indeterminadas 00 , 10
x!a
ou 11 . Aqui deveremos ter f (x) > 0 no dom¶ da fun»~o f g .
³nio ca
Em qualquer um desses casos, fazemos
g(x)
f (x)g(x) = eln f (x) = eg(x)¢ln f (x)
e ent~o
a
lim f (x)g(x) = eL
x!a
sendo
L = lim [g(x) ¢ ln f (x)]
x!a
Para as formas indeterminadas 00 , 10 e 11 , o limite L = lim [g(x) ¢ ln f (x)]
x!a
ter¶ sempre a forma indeterminada 0 ¢ 1 (ou 1 ¢ 0), e reca¶
a ³mos ent~o em um caso
a
anteriormente estudado.
Exemplo 13.5 Calcular lim xx (aqui, x ! 0 signi¯ca x ! 0+ ).
x!0
Solu»~o. Aqui temos uma indetermina»~o 00 . Seguindo procedimento descrito acima,
ca ca
fazemos
x
xx = eln x = ex¢ln x
e ent~o lim xx = eL , sendo L = lim x ln x.
a + +
x!0 x!0
Pelo exemplo 13.4, L = 0 e portanto lim xx = e0 = 1
+ x!0
Exemplo 13.6 Calcular lim (1 + sen 2x)1=x .
x!0
Aqui temos uma indetermina»~o 11 .
ca
1=x 1
Fazemos (1 + sen 2x)1=x = eln(1+sen 2x) = e x ¢ln(1+sen 2x) . Ent~o
a
lim (1 + sen 2x)1=x = eL , sendo
x!0
1 ln(1 + sen 2x)
L = lim ¢ ln(1 + sen 2x) = lim (= 0=0).
x
x!0 x!0 x
Aplicando L'Hopital,

5. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 112
ln(1 + sen 2x) [ln(1 + sen 2x)]0 1
lim = lim = lim ¢ 2 cos 2x = 2.
x!0 x x!0 (x) 0 x!0 1 + sen 2x
Portanto lim (1 + sen 2x)1=x = e2 .
x!0
As regras de L'Hopital, nos casos de indetermina»~o 0=0 e 1=1, dizem que
ca
lim f (x)=g(x) = lim f 0 (x)=g 0 (x), mas somente quando este ¶ltimo limite ¶ efetivamente
u e
x!a x!a
comput¶vel.
a
No exemplo abaixo, temos uma indetermina»~o 1=1 para a qual a regra de
ca
0 0
L'Hopital n~o se aplica porque o limite lim f (x)=g (x) n~o existe, mas o limite
a a
x!a
lim f (x)=g(x) ¶ calcul¶vel.
e a
x!a
x + sen x
Exemplo 13.7 Calcular lim .
x!+1 x
Solu»~o. Temos sen x ¸ ¡1, da¶ x + sen x ¸ x ¡ 1 para todo x 2 R.
ca ³
Logo lim (x + sen x) ¸ lim (x ¡ 1) = +1. Assim sendo, lim (x + sen x) =
x!+1 x!+1 x!+1
x + sen x
+1, e o limite lim ¶ indeterminado na forma 1=1.
e
x!+1 x
(x + sen x)0
Aplicando L'Hopital, consideramos lim = lim (1 + cos x). Este
x!+1 (x)0 x!+1
limite n~o existe (n~o ¶ ¯nito nem in¯nito) pois quando x cresce inde¯nidamente, cos x
a a e
¯ca oscilando inde¯nidamente entre ¡1 e +1.
sen x
Entretanto lim = 0, pois, sendo x > 0, como ¡1 · sen x · 1,
x!+1 x
1 sen x 1
¡ · ·
x x x
1 sen x sen x
Como lim = 0, temos 0 · lim · 0, e portanto lim = 0.
x!+1 x x!+1 x x!+1 x
x + sen x ³ sen x ´
Assim, lim = lim 1 + =1+0=1
x!+1 x x!+1 x
13.2 Novos casos de gr¶¯cos envolvendo fun»~es ex-
a co
ponenciais. Dois exemplos
2
Exemplo 13.8 Esbo»ar o gr¶¯co de f (x) = 2xe¡x .
c a
2 2 2
Solu»~o. Temos D(f ) = R = ]¡ 1; +1[, e f 0 (x) = 2e¡x ¡ 4x2 e¡x = 2e¡x (1 ¡ 2x2 ).
ca p
³ticos de f s~o § 2=2. Lembremo-nos de que, por deriva»~o em cadeia,
Os pontos cr¶ a ca
u 0 u 0
(e ) = e ¢ u .

6. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 113
p p p
Assim, Temos f 0 (x) > 0 se ¡ 2=2 < xp
p < 2=2, e f 0 (x) < 0 se x > 2=2 ou
p
se x < ¡ 2=2.p Portanto f ¶ crescentep [¡ 2=2; 2=2], e decrescente em cada um
e em
dos intervalos [ 2=2; +1[ e ]¡ 1; ¡ 2=2].
p p
x1 = ¡ 2=2 ¶ um ponto p m¶
e de ³nimo local de f , e x2 = 2=2 ¶ um ponto de
p ¡1=2 p p e ¡1=2
m¶ximo local de f . Temos f (¡ 2=2) = ¡ 2e
a p ¡1=2 e f ( 2=2) = 2e . Para o
esbo»o do gr¶¯co, usaremos 2e
c a ¼ 1; 4 ¢ 0; 6 = 0; 84
2 2 2 2
f 00 (x) = ¡12xe¡x + 8x3 e¡x = 4e¡x (2x3 ¡ 3x) = 4e¡x x(2x2 ¡ 3).
p
f 00 (x) = 0 se e somente se x = § 6=2 ou x = 0.
A varia»~o de sinais de f 00 , com a correspondente an¶lise das concavidades do
ca a
gr¶¯co de f , ¶ dada no diagrama abaixo.
a e
y'' _ - √ 6/2 0 _ √ 6/2
+ +
y = f(x) x
p p
S~o pontos de in°ex~o do gr¶¯co osp
a p p a a pontos P1 = (¡ p ¡ 6e¡3=2 ), P2 =
6=2; p
(0; 0) e P3 = ( 6=2; 6e¡3=2 ). p Temos, p ¼ 1; 3, f(¡ 6=2) = ¡ 6e¡3=2 ¼
6=2
¡2; 5 ¢ 2; 2 ¼ ¡0; 6, f (0) = 0 e f ( 6=2) = 6e¡3=2 ¼ 0; 6.
Pesquisando a exist^ncia de ass¶
e ³ntotas do gr¶¯co temos
a
2
lim 2xe¡x = §1 ¢ e¡1 = §1 ¢ 0.
x!§1
Para evitarmos a indetermina»~o, fazemos
ca
2 2x 1
lim 2xe¡x = lim x2 (= ).
x!§1 x!§1 e 1
Aplicando regras de L'Hopital, temos
2x (2x)0 2 2
lim = lim 2 0 = lim 2 = = 0.
x!§1 ex
2
x!§1 (ex ) x!§1 2xex §1
Assim, a reta y = 0 (eixo x) ¶ ass¶
e ³ntota horizontal do gr¶¯co de f .
a
Com base nos elementos estudados, o gr¶¯co de f ¶ esbo»ado na ¯gura 13.1.
a e c
y
1
1 2 x
-1
Figura 13.1.

7. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 114
Exemplo 13.9 Esbo»ar o gr¶¯co de f (x) = xx , x > 0.
c a
Solu»~o. Do exemplo 13.5, temos lim xx = 1. Esta ¶ uma informa»~o relevante para
ca +
e ca
x!0
esbo»armos o gr¶¯co de f nas proximidades de 0.
c a
No exemplo 10.1, da aula 9, obtivemos f 0 (x) = xx (1 + ln x).
Assim, f 0 (x) = 0 se e somente se ln x = ¡1, isto ¶, x = e¡1 = 1=e. Como
e
ln x = loge x tem base e > 1, a fun»~o ln ¶ crescente, e portanto f 0 (x) > 0 quando
ca e
ln x > ¡1, logo para x > e¡1 = 1=e, e f 0 (x) < 0 para x < 1=e.
Da¶ a fun»~o xx ¶ decrescente no intervalo ]0; 1=e] e crescente no intervalo
³, ca e
[1=e; +1[, sendo 1=e um ponto de m¶ ³nimo local (e absoluto) de f . Temos ainda
f (1=e) = (1=e)1=e ¼ 0; 7.
Finalmente, f 00 (x) = xx ¢ [(1=x) + (1 + ln x)2 ], e assim f 00 (x) > 0 para todo x > 0,
e ent~o o gr¶¯co de f tem concavidade sempre voltada para cima.
a a
Obviamente lim xx = +1. O gr¶¯co de f ¶ esbo»ado na ¯gura 13.2.
a e c
x!+1
y
4
1
x
0 1/e 1 2
Figura 13.2.
Al¶m disso,
e
f(x) xx
lim = lim = lim xx¡1 = +1
x!+1 x x!+1 x x!+1
e portanto o gr¶¯co de f n~o tem ass¶
a a ³ntotas.
13.3 Problemas
1. Calcule os seguintes limites, aplicando regras de L'Hopital se necess¶rio.
a

8. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 115
x cos x ¡ sen x ln x
(a) lim (b) lim p
x!0 x3 x!+1 3 x
3 2
x ¡ 2x ¡ x + 2
(c) lim (d) lim xn e¡x (n inteiro positivo)
x!1 x3 ¡ 7x + 6 x!+1
(e) lim xn e¡x (n inteiro positivo) (f) lim x ln x
x!¡1 + x!0
ln(sen 2x)
(g) lim (h) lim (x2 )x
x!0 ln(sen 3x) x!0
(i) lim (1 + 3x)1=x (j) lim x1=(x¡1)
x!0 x!1
(k) lim (cos x)1=x (l) lim x¸ e¡x (¸ real positivo)
x!0 x!+1
Respostas. (a) ¡1=3. (b) 0. (c) 1=2. (d) 0. (e) +1 se n ¶ par, ¡1 se n ¶
e e
3
³mpar. (f) 0. (g) 1. (h) 1. (i) e . (j) e. (k) 1. (l) 0.
¶
2. Calcule as equa»~es das retas ass¶
co ³ntotas do gr¶¯co de cada uma das seguintes
a
fun»~es.
co
ln x ¡ ¢
1 x
(a) f (x) = p (b) y = 1 + x (c) y = 2x ¢ e¡1=x
3
x
2 ¡x sen x
(d) y = x e (e) y =
x
Respostas. (a) y = 0, e x = 0. (b) y = e. (c) x = 0, e y = 2x ¡ 1. (d) y = 0.
(e) y = 0.
3. Esboce os gr¶¯cos das seguintes fun»~es.
a co
2 2 2 ln(2x)
(a) y = 2xe¡x (b) y = e¡x (c) y = 2x2 e¡x (d) y = .
x
Respostas. (Daremos as derivadas como suporte µs solu»~es.)
a co
2 2
(a) y 0 = 2(1 ¡ x)e¡x , y 00 = 2(x ¡ 2)e¡x , (b) y 0 = ¡2xe¡x , y 00 = (4x2 ¡ 2)e¡x
2 2
(c) y 0 = 4xe¡x (1 ¡ x2p y 00 = 4e¡x (1 ¡ 5x2 + 2x4 )
),
p
00 s~o § 1 5 § 17, sendo aproximadamente §0; 5 e §1; 5).
(os zeros de y a 2
(d) y 0 = 2[1 ¡ ln(2x)]=x2 , y 00 = 2[¡3 + 2 ln(2x)]=x3 .
(a) (b)
y y
1
0 1 2 3 x
-1
-1 0 1 x
-2
Dados num¶ricos. e¡1=2 ¼ 0;6.
e
-3
Dados num¶ricos. 2e¡1 ¼ 0;7
e
4e¡2 ¼ 0;5.

9. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 116
(c) (d)
y y
1 2
1
-2 -1 0 1 2 x
3/2
e/2 e /2 x
Dados num¶ricos. f (0;5) ¼ 0;4
e 0 1 2 3 4 5
f (1;5) ¼ 0;5
-1
-2
-3
Dados num¶ricos. e=2 ¼ 1;4
e
e3=2 =2 ¼ 2;2.