Divisibilidade e equações Diamantina.

1. IMPLICAÇÕES DO
ALGORITMO DE EUCLIDES

2. IMPLICAÇÕES
 Dois números inteiros a e b são primos entre si se, e somente se, existem inteiros m
e n tais que
a × n + b × m = 1.
 Sejam a e b dois números naturais não ambos nulos e c um terceiro número natural
não nulo:
mdc(c × a, c × b) = c × mdc(a, b).
 Sejam a, b e c três números naturais não nulos:
mmc(c × a, c × b) = c × mmc(a, b)

3. NÚMERO DE DIVISORES A PARTIR DA
FATORAÇÃO PRIMA
 Seja n um número natural escrito na sua decomposição em fatores primos como
O número de divisores de será dado por:

4. EXEMPLO
 Os divisores positivos de são:
 Usando a aplicação anterior:

5. PROBLEMAS
1- Seja um número natural menor que 1.000 que possui 14 divisores distintos também
naturais. Determine quantos divisores terá .
2- Pedro e Marta discutiam sobre a prova de matemática do colégio. Uma das questões
apresentava o seguinte enunciado:
“O número N= 2x
.43
.54
possui 80 divisores naturais. Qual é o valor de x?”
Qual a forma correta de encontrar o valor de x?

6. EQUAÇÕES DIOFANTINAS
LINEARES

7. EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES
 São equações do tipo onde a, b e c são números inteiros dados e x e
y são incógnitas a serem determinadas.
Problema 1: De quantos modos podemos comprar selos de cinco e
de três reais, de modo a gastar cinquenta reais?
Uma equação diofantina admite solução se, e somente se, mdc(a,b)
divide c.

8. PROBLEMA 2
Diga quais são as equações diofantinas a seguir que possuem pelo
menos uma solução:
(a) 3x + 5y = 223
(b) 5x + 15y = 33
(c) 2x + 16y = 2 354
(d) 3x + 12y = 312
(e) 23x + 150y = 12 354
Obs: toda equação diofantina com mdc(a,b)=1 possui solução,
independente do valor de c.

9. SOLUÇÃO GERAL
Seja uma solução particular,arbitrariamente dada,da equação
ax + by = c,onde mdc(a, b) = 1.Então as soluções da equação são da forma
,
para t variando nos inteiros.

10. EXEMPLO
A equação 3x + 5y = 50 (problema 1) admite a solução particular .
Assim, a solução geral dessa equação é dada por
Para t=0:
Para t=1:
Para t=2:
Para t=3:

11. USANDO O LEMA DE EUCLIDES PARA
ENCONTRAR SOLUÇÕES
Caso a ou b seja grande, podemos usar o algoritmo de Euclides de trás para a frente
para determinar inteiros n e m tais que
e depois multiplicar ambos os membros da equação acima por c, obtendo
,
dando-nos a solução particular

12. EXEMPLO NUMÉRICO
 3x + 5y = 50, queremos uma solução usando o algoritmo de Euclides.
Temos do algoritmo que:

13.  Substituímos
Ficando:
Logo, para se chegar a uma solução de basta multiplicar:

14. PROBLEMAS
1- De que maneiras podemos comprar selos de cinco e de sete reais, de modo a
gastar cem reais?
2- Em Gugulandia, o jogo de basquete é jogado com regras diferentes. Existem
apenas dois tipo de pontuações para as cestas: 5 e 11 pontos. É possível um time
fazer 39 pontos em uma partida?
3-Considere dois tambores de capacidade suficientemente grande, um deles vazio e
o outro cheio de líquido. Determine se e possível colocar exatamente um litro do
lıquido do tambor cheio, no vazio, usando dois baldes, um com capacidade de 5
litros e o outro com capacidade de 7 litros.

15. PROBLEMAS
3-Considere dois tambores de capacidade suficientemente grande, um deles vazio e
o outro cheio de líquido. Determine se e possível colocar exatamente um litro do
lıquido do tambor cheio, no vazio, usando dois baldes, um com capacidade de 5
litros e o outro com capacidade de 7 litros.

16. PROBLEMAS
4- Ana é uma estudante de engenharia e está trabalhando em um projeto de energia
renovável. Ela precisa comprar painéis solares e baterias para um sistema de
energia autossuficiente para uma pequena comunidade. Cada painel solar custa R$
250, e cada bateria custa R$ 150. Ana tem um orçamento de R$ 2500 e quer gastar
todo o seu dinheiro comprando uma combinação de painéis solares e baterias.
Quantos painéis solares e quantas baterias Ana pode comprar com exatamente R$
2500?

17. SE TEMOS DUAS OU MAIS EQUAÇÕES
RESOLVEMOS POR SISTEMA DE EQUAÇÕES
 Exemplo 1:
 Lembre-se: podemos usar substituição (método da substituição) ou a adição
(método da adição) das equações com o objetivo de eliminar uma das incógnitas.

18. EXEMPLO 2
 Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de
R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10
notas?

19. EXEMPLO 3
 Considere a soma das medidas de uma base e da altura relativa a essa base de um
triângulo igual a 168 cm e a diferença igual a 24 cm. É correto afirmar que as
medidas da base e da altura relativa a essa base medem, respectivamente:

20. PROBLEMA 1
1- Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi
entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que
cada caixa continha dois frascos de detergente a mais no aroma limão do que no
aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão foi de:

21. PROBLEMA 2
 2- Joaozinho desenhou em seu caderno 20 figuras geométricas. Como só existiam
triângulos e pentágonos e ele desenhou 78 vértices, determine a quantidade de
pentágonos desenhados.

22. PROBLEMA 3
 Numa prova de 20 questões, um aluno fez 16 pontos. Sabe-se que ele ganhava 5
pontos para cada resposta certa e perdia 2 pontos para cada resposta errada.
Quantas respostas ele acertou?

23. PROBLEMA 4
Jose e Maria, acompanhados de seu filho Pedro, queriam se pesar. Para tanto,
utilizaram uma balança defeituosa que só indicava corretamente pesos superiores a
60 kg. Dessa forma, eles se pesaram, dois a dois, e obtiveram os seguintes
resultados:
• Jose e Pedro: 87 kg;
• Jose e Maria: 123 kg; e
• Maria e Pedro: 66 kg.